第四章 数据分布特征的描述

第四章 数据分布特征的描述 第一节 数据分布的集中趋势一、描述分布集中趋势的主要指标及其作用1、描述分布集中趋势的主要指标：平均数、众数、中位数2、作用：（1）反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平； （2）便于比较同类现象在不同单位间的发展水平；（3）能够比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律； （4）分析现象之间的依存关系时也常借助于平均指标。

二、数值型数据集中趋势的测定 (一)算术平均数算术平均数(Arithmetic mean)也称为均值(Mean)，是全部数据算术平均的结果。

算术平均法是计算平均指标最基本、最常用的方法。

计算公式为：总体单位总量总体标志总量算术平均数=很多社会经济现象，总体标志总量常常是总体单位变量值的算术总和。

例如，工人工资总额是总体中每个工人工资的总和，某地区小麦总产量是所有耕地小麦产量的总和。

在总体标志总量和总体单位总量的基础上，就可以计算平均指标。

算术平均数与强度相对数都是两个总量指标的比值，也都是有名数，都反映了相互联系的两个现象之间的数量对比关系，计算方法也非常相似。

但它们却是两个性质不同的统计指标，主要区别有两点：其一，子项指标与母项指标的关系不同。

平均数的子项指标与母项指标属于同一个统计总体，是同一统计总体的总体标志总量与总体单位总量的比值，而强度相对数则是来自两个不同总体但有联系的总量指标之比；其二，算术平均数的子项指标（标志总量）随着母项指标（总体单位数）的变动而变动，二者互相适应，而强度相对数的子项指标同母项指标之间不存在这样的关系。

算术平均数在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要度量值，通常用x （读作x bar -）表示。

根据所掌握数据形式的不同，算术平均数有简单算术平均数和加权算术平均数。

1.简单算术平均数(Simple arithmetic mean) 未经分组整理的原始数据，其算术平均数的计算就是直接将一组数据的各个数值相加除以数值个数。

设统计数据为12,,x x …,n x ，则算术平均数x 的计算公式为：121nini xx x x x nn =+++==∑ （3.11）[例3.3] 某班级40名同学统计学的考试成绩原始资料如表3.1—2所示。

表3.2 40名同学统计学原始成绩该班40名同学统计学的平均成绩为：64707875308977.234040X ++++=== （分）2.加权算术平均数(Weighted arithmetic mean)根据分组整理的数据计算算术平均数，就要以各组变量值出现的次数或频数为权数计算加权的算术平均数。

设原始数据被分成k 组，各组的变量值为12,,x x …,k x ，各组变量值的次数或频数分别为12,,f f …,k f ，则加权的算术平均数为：11221121ki ik ki kkii x fx f x f x f x f f f f==+++==+++∑∑ （3.12）[例3.4] 根据例3.3提供的40名同学的统计学成绩原始资料分组整理如表3.1—3，根据此表资料计算平均成绩。

表3. 3 40名同学统计学成绩汇总表根据（3.12）式得11306076.540Ki ii Kii x fx f=====∑∑根据（3.12）式计算的平均成绩是76.5分，而与根据（3.11）式计算的平均成绩77.23分相比，相差0.73分，显然77.23分是准确的平均成绩，因为（3.11）式所用的是原始数据的全部信息。

而（3. 12）式是用各组的组中值代表各组的实际数据，使用代表值时是假定各组数据在各组中是均匀分布的，但实际情况与这一假定会有一定的偏差，使得利用分组资料计算的平均数与实际的平均值会产生误差，它是实际平均值的近似值。

加权算术平均数其数值的大小，不仅受各组变量值（i x ）大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数（i f ）大小的影响。

如果某一组的权数大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对算术平均数的影响就越大，反之，则越小。

实际上，我们将（3.12）式变形为下面的形式，就更能清楚地看出这一点。

1111Ki iKi iiKKi iii i x ff x x ff======∑∑∑∑ （3.13）由（3.13）式可以清楚地看出，加权算术平均数受各组变量值（i x ）和各组权数即频率∑iiff 大小的影响。

频率越大，相应的变量值计入平均数的份额也越大，对平均数的影响就越大；反之，频率越小，相应的变量值计入平均数的份额也越小，对平均数的影响就越小。

这就是权数权衡轻重作用的实质。

当我们掌握的权数不是各组变量值出现的频数，而是频率时，可直接根据（4.3.3）式计算算术平均数。

如例3. 2，根据各组的频数计算的频率分别为：0.05、0.2、0.4、0.25、0.1，各组频率之和为1，则用频率计算的加权算术平均数为：11550.05650.2750.4850.25950.1KiiKi ii f x x f====⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑∑76.5=（分）从计算结果看，用频率加权计算的结果与用频数加权计算的结果是一致的。

需要指出的是，当各组变量值出现的频数（i f ）或频率∑iiff 相等时，权数的作用就消失了，这就意味着各组变量值对总平均的结果所起的作用是一样的，此时，加权算术平均数就等于简单算术平均数。

在实际生活中，我们也会经常遇到由相对数计算平均数的情况。

一般地说，求相对数的平均数应采用加权平均的方法，此时，用于加权平均的权数不再是频数或频率，而应根据相对数的含义，选择适当的权数。

下面举一个实例说明。

[例3.5] 某公司所属10个企业资金利润率分组资料如表3.4，要求计算该公司10个企业的平均利润率。

表3.4 某公司所属10个企业资金利润率分组资料该例子的平均对象是各企业的资金利润率，表中的企业数虽然是次数或频数，但却不是合适的权数。

要正确计算公司10个企业的平均资金利润率，因为资金利润率=利润总额/资金总额，所以计算平均资金利润率需要以资金总额为权数，才能符合该指标的性质。

因此，该公司10个企业的平均利润率为：115%4010%8015%14031=11.9%4080140260Kiii K ii xf x f==⨯+⨯+⨯===++∑∑算术平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。

从统计思想上看，算术平均数是一组数据的重心所在，它是消除了一些随机因素影响后或者数据误差相互抵消后的必然性的结果。

例如每年分季度的观测数据，各年同季的数据由于受一些偶然性随机因素的影响，其数值表现出一定的差异性，但将各年同季的数据加以平均，计算的算术平均数，就消除了一些随机因素的影响，反映出季节变动必然性的数量特征。

再如，对同一事物进行多次测量，由于测量误差所致，或者其它因素的偶然影响，使得测量结果不一致，但利用算术平均数作为其代表值，则可以使误差相互抵消，反映出事物固有的数量特征。

另外，算术平均数具有下面一些重要的数学性质，这些数学性质在实际中有着广泛的应用，同时也体现了算术平均数的统计思想。

⑴各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即1()0nii xx =-=∑ 或1()0kiii x x f=-=∑⑵各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即21()minnii x x =-=∑（最小） 或21()minkii i x x f =-=∑（最小）（二）调和平均数（Harmonic mean ）在实际工作中，经常会遇到只有各组变量值和各组标志总量而缺少总体单位数的情况，这时就要用调和平均数法计算平均指标。

为了方便调和平均数的概念和计算方法的说明，我们先看一个简单的例子。

[例3.6] 市场上早、中、晚蔬菜的价格分别是早晨： 0.67公斤/元，中午0.5公斤/元，晚上0.4公斤/元。

现在，我们分别按四种方法在购买蔬菜，分别计算平均价格（不管按什么方法购买，平均价格都应该等于花费的现金除所买蔬菜的数量）：第一种买法：早、中、晚各买一公斤则蔬菜平均价格为：nx X ∑=34.05.067.0++=0.523（元/公斤）第二种买法：早晨买1公斤，中午买2公斤，晚上买3公斤则蔬菜平均价格为：∑∑=f f x X =32134.025.0167.0++⨯+⨯+⨯=0.523（元/公斤）第三种买法：早、中、晚各买一元 在这种情况下，计算蔬菜平均价格比上述两种方法稍微复杂一些，我们得先计算出一元钱所购买蔬菜的数量，然后再计算蔬菜的平均价格。

要计算蔬菜的平均价格，首先应该计算出早、中、晚各花费1元钱所购买蔬菜的数量：其中：早晨购买蔬菜的数量=67.01=1.5（公斤）； 中午购买蔬菜的数量=5.01=2（公斤）；晚上购买蔬菜的数量=4.01=2.5（公斤）。

蔬菜平均价格为：5.05.225.134.015.0167.01111=++=++++=X （元/公斤）这种计算平均指标的方法同算术平均法有很大的不同，由于资料中缺乏总体单位总量，所以，就不可能直接用算术平均的方法计算平均指标。

为了达到计算目的，首先要用变量值的倒数计算出总体单位总量来，然后再计算平均指标，调和平均数法因此而得名，也正是由于这个原因，调和平均数又称为倒数平均数。

第四种买法，早晨买1，中午买2，晚上买3元钱和第三种买法一样，我们还是得先计算出早晨、中午和晚上所购买蔬菜的数量，然后再计算平均价格。

早晨购买蔬菜的数量=67.01=1.5（公斤）； 中午购买蔬菜的数量=5.04=4（公斤）；晚上购买蔬菜的数量=4.03=7.5（公斤）。

蔬菜平均价格为：46.05.745.164.035.0267.01321=++=++++=X =（元/公斤）在上述计算平均价格的过程中，早、中、晚三个时段购买蔬菜所花费的现金是计算平均价格的权数，这种方法我们称为加权调和平均法。

由以上分析过程得出调和平均数的定义：调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数，习惯上用(H)表示。

计算公式为： 简单调和平均数：∑==+++=kj jnxnnx x x H 1211111（3.14）加权调和平均数12112112Kiki Kk ii ki m m m m H m m m m x x x x==+++==+++∑∑ （3.15） 在实际工作中，调和平均数通常是作为算术平均数的变形使用的，也就是由于受所掌握资料的限制，有时不能直接采用算术平均数的计算公式计算平均数，这就需要使用调和平均数的形式进行计算。

为了更好地理解调和平均数的应用场合，我们看下面的例子。

[例3.6] 某商品有三种不同的规格，销售单价与销售量如表3.5所示，求这三种不同规格商品的平均销售单价。

表3.5 某商品三种规格的销售数据从平均价格的实际意义看，其计算方法应该是：销售量销售额平均价格=根据题中给出的原始数据（三种规格的销售单价和销售量），可以求出销售额（xf ）数据，因此计算平均价格在形式上采用的是加权算术平均数公式，即11737233.51220Ki ii Kii x fx f=====∑∑（元/件）如果已知的不是销售量数据，而是销售额，如表3.1—6所示，就应改变计算方法。