高考广东卷近三年命题规律探讨与备考建议广东省佛山市教育局教研室 彭海燕2013年高考尘埃落定，这份专家精心打造的试题保持了与前两年的高度一致.考虑到近三年的命题专家组成特点，意料之中，情理之中.特别是保持了与2012年的命题指导思想：降低难度，在稳定中让考生尽可能地获得与其能力相一致的分数，理科难度保持在0.55-0.65之间，考虑到文科生的实际，文科难度争取在0.5-0.55之间.应该来说，今年也达到了这个目标，考生考完数学普遍轻松，这非常了不起，也是十分值得肯定的，当倍加珍惜与呵护.考虑高考命题的延续性和专家组成，以及高考命题的导向性，笔者试着对近三年的考题做些梳理，以期探讨命题规律，希望给2014年高三教师备考以启示. 其中的有关认识与思考就教于同行，敬请批评指正.1 命题规律探讨考虑到保密要求提高，笔者估计命题专家基本上是集中后，在不到一个月（完成命题、审题、磨题、定题等一系列工作）的时间内完成的两套试题（一份正题一份备用题）的命制工作.在如此短的时间内要高质量完成两套试题并且保证创新以及科学性，乃至于难度、梯度、区分度等方方面，实属不易.这就必然要求命题专家能掌握一定的命题技巧以及快速成题的方式方法，从而形成一些规律性，而我们就应该关注这些命题规律，让我们的备考会有方向性和针对性.1.1源于教材 高于教材这是高考命题来源的核心.“源于教材、高于教材”这一从上世纪90年代开始形成的命题观点得到广泛的关注与重视,以至于成为今天高考命题的原则，毕竟教材是教师施教和学生学习的主要材料，毕竟回归教材利于稳定，更重要地是高考命题需要寻求教材的支撑.至于命题如何回归教材的方法与技巧，教师同仁可以参见相干的文章，笔者不在这里展开.事实上，高考广东卷近三年的客观题大部分以及16题基本上源于教材，并且基本上没有大的改动，以考查基本知识基本方法和基本技能为主，特别是近两年，考生得分也十分理想，成为高考平均分提高的关键，从而充分说明这一命题手法的必要性.同时考虑到体现公平性和贴近学生实际的命题要求，在应用问题的命题上也往往需要从教材中选材构造试题，哪怕是试题的创新，也应是源于教材.在此仅以三角函数为例加以说明.例1-1（2011.文16）已知函数1()2sin()36f x x π=-，R x ∈.（1）求(0)f 的值； （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0,πβα，()1063,322135f f παβπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．求()sin αβ+的值.（2011.理16）已知函数()12sin ,R 36f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. （1）求54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0,πβα，()1063,322135f f παβπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．求()cos αβ+的值.例1-2（2013.理16）已知函数()),.12f x x x R π=-∈ （1）求()6f π-的值；（2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求(2)3f πθ+． 教材探源 上述考题例1-1，是由人教A 版教材必修4（2012年7月第17次印刷）中两个考题组合、嫁接改造混编而成.题1 （P53）例1 画出函数12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的简图. 题2（P146）1.已知,αβ都是锐角，()45sin ,cos 513ααβ=+=，求sin β的值. 上述考题例1-1，是由人教A 版教材必修4（2012年7月第17次印刷）习题3.1A 组18题： 已知()()1cos cos sin sin ,3αββαββ+++=且3(,2)2παπ∈，求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 手法探究相对于教材两个基本题，上述高考题做了加法，借用了题1的函数，改造了题2的呈现方式，数据本身没做调整，同时综合进了诱导公式，以函数形态呈现.如果非要寻求这种命题风格肇起，可以视作源于广东卷2008年的高考16题.2010年在2008年基础上改造了函数，使之不再限于()sin f x A x =的形态，拓展了到了()()sin f x A x ωϕ=+，进一步拓展了命题空间，也因此形成了高考广东卷三角函数命题的指导思想，即“关注三角的函数形态，综合考查三角变换（同角三角函数变换，诱导变换，简单的恒等变换）”.2012年延续了上述做法，无论是命题形式，还是考查要求都保持了高度稳定，数据也基本上没有作调整. 2013年延续了上述想法和做法，但是降低了变换的要求，考查也更为直接一些，难度也降低了些. 得失探讨这样做的好处是显而易见的，一是稳定，能够让考生以较稳定的心态进入到后续解答题的作答中去；二是基本实现了课标对三角的定位，难度不大，但考查的知识点丰富，真正落实双基要求；三是命题易操作，便于构造和保证科学性.不足是容易导致模式化，使得造成新的应试教育（虽然是现实，但高考应力图改变，这是教育的责任），形成教学固化，不利于深化新课标和实施素质教育.从2012年高考卷文科近20%的人为零分（理科近10%），2013年的高考从目前阅卷结果来看，文科仍然将近16%的人得0分，就可以看出这种模式的弊端.七年课标命题，五年都是这样，足够稳定吧，但是2014年的高考老师有足够理由怀疑，从而转向重点关注与三角形以及向量有关的三角问题. 因为这样的命题手段时间越长，备考的教师越怀疑今年会变化，调整命题方向，这就造成了所谓“教考脱离”和应试八股.1.2 陈题迁移 旧貌新颜高考30年，特别是分省自主命题以来产生了大量优秀的试题，这些试题都是命题专家呕心沥血制作，经过了考生的检验和命题专家披沥，在经过时间的沉淀后成为经典.对这些试题在新的历史阶段，新的考查要求下进行通过简单变形、易位变形、类比变形等多种改造变形命题方法，挖掘原有高考数学试题的深刻内涵，使陈题“旧貌换新颜”，一直是高考数学命题的常用方法.这一点在高考广东卷近三年中表现得尤为明显，6个解答题，其中三分之二皆源于往年高考的改编.下面以数列为例加以说明.例2-1（2013.理19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2*112121,,.33n n S a a n n n N n +==---∈ （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有121117 (4)n a a a +++< 例2-2（2012.理19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=--()N n *∈，且123,5,a a a +成等差数列.(1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a +++<. 例2-3（2011.理20）设0b >,数列}{n a 满足b a =1,11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ,1112n n n b a ++≤+． 例2-4（2011.文20）设0b > ,数列}{n a 满足b a =1,11(2)1n n n nba a n a n --=≥+-． （1） 求数列}{n a 的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n ba ．考题探源 上述三年的考题，无论是从命题形式上还是考查要求上，如出一辙，都是递推数列求通项以及利用放缩法证明不等式.2013年的考题甚至可以说是2012年考题的延续，两题都是研究,n n a S 之间的递推关系，解题方法基本一致，放缩后的处理惊人相似.因此有考生考完后说，“数列与去年一样，想不拿高分都不行”！ 上述考题中，考题3源于题7，题4源于题8，考题5源于题8.例2-1-1（2006年安徽理21）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =，2(1)n n S n a n n =--，12n =， （1）写出n S 与1n S -的递推关系式(2)n ≥，并求n S 关于n 的表达式；（2）设1()n n n S f x x n+=，()(R)n n b f p p =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 例2-2-1（2006.全国Ⅰ理22）设数列{}n a 的前n 项和为14122,333n n n S a +=-⨯+n ∈N *. (Ⅰ)求1a 与通项n a ； (Ⅱ)设2nn n T S =，证明：12332n T T T T ++++<. 例2-3-1（2006.江西理22）已知数列{}n a 满足：132a =，且113(2)21n n n na a n n a n *--=∈+-N ，≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对一切正整数n ，不等式122!n a a a n ⋅⋅⋅<⋅恒成立．例2-3-2（2006.四川理22） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=-（Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式.上述考题基本上属于简化变形的处理手法，即将以往高考题作特殊化、具体化、局部化、低维化、简单化处理，这样往往能得到背景深刻的考题，从而使得过往的高考题走向重生.上述数列考题相对于原有考题，新改造的考题本质上没有太大变化.其中在通项求解的考查方向和技巧性要求上一致，都是通过变换，转化为1()n n a ka f n +=+的递推形式，进而在进一步转化为等比等差数列.对于例2-1（例2-1-1），通过两题的对比来看，在通项的求解变形上是一致的，都只要根据套路，利用公式()111,2n n n a S a S S n -==-≥，可以得到111n n a a n n+-=+的（而例2-1-1最终也类似地处理得到1111n n n n S S n n -+-=-）.因而有2n a n = .至于211n k k =∑的放缩更是常见的（备考中教师一般都会总结），需要放缩后进行裂项，所以()2131115117141424n n k k k k k n ==<++=+-<∑∑-.值得注意的本题放缩时要从第三项开始，否则得不到74.当然这个问题，笔者猜想，命题者极有可能是从()()211=1216n n k S k n n n ==++∑逆向构造的，即()()()()()22122211121211123333n n n n S S S n n n n n a n n n n n +=++⇒=+-++⇒=---.这也是一种重要的命题手段.例2-2与例2-2-1高度相似，只是数据做了调整，在放缩方法上调整得更为丰富了些而已，由于要达成放缩结果一致的目标，同时又要避免太过相似，因此做了数据的调整，根据套路，得到一个是32n n n a =-，另一个是42n n n a =-.也正是这一数据的调整，使得放缩的空间大了许多，方法也多样起来，这也是这道题改编的亮点所在，通过多样的解法考查考生的创新能力（对本题放缩方法感兴趣的老师可以参考文[2]）.相对而言，例2-2-1中，对目标式进行了构造（总觉得不那么自然），将试题考查重心放在对()()13222121nn n n T +=⨯--的裂项技巧上，放缩方法的考查较为单一.因此改造后得到广东高考题显得更为流畅自然，不矫揉造作.例2-3可以视作是以例2-3-1为骨干，借鉴了例2-3-2参数处理以及表达式的分段结果. 例2-3-1的第（2）问的背景为贝努利不等式：设),,2,1(1n i a i =->且同号，则∑∏==+>+ni in i i a a 111)1(，考查的是数列{}n a 的前n 项的一个整体性质，而例2-3的第（2）问的背景则为n 项均值不等式，考查的是数列{}n a 的通项n a 所具有的共同性质.本题按理是常规的，至少第一问的求通项对训练有素的高三学生来说不是问题，但由于前面的考题耽误了太多的时间，使得这个题的作答不够时间，最后变成了一道废题.本题的难点在于第二问，涉及到n 元均值不等式，对于理科生来说，不等式选讲是必选，但是考纲中并没有对n 元均值不等式的要求，因此毫无疑问这个要求是超纲的.文科则绝对是超纲了，并且文科考生对于不等式的要求要低得多，如此处理显然有失公平公允.其实，完全可以采取不超纲的处理，比如只是证明2n =或3n =的情形一样可以达到考查目标，当然这是后话.从改编改造的题目本身来看，都非常好，都是好题，且明显在深度和创新空间上要大得多，这也充分说明了广东命题人高超的命题手法以及对问题深刻的认识.得失探讨改造改编过往的经典高考题，需要对问题的深入理解，以及深厚的数学功底，这一点广东的命题专家都做得很好，改编后的考题虽然还有“残留”，但总体来说，很漂亮很精彩，内涵丰富，能充分考查学生的能力.并且，改编过往的高考题能够极大地降低命题所存在的风险，可以寻求支撑，因为这些考题在最初都是有教材支撑的，其次，我们看到这种“残留”是有意义的，能够让学生有似曾相识的感觉，从而不会引起较大的心理变化和负担，让考生能够快速进入状态，有利于考生稳定的发挥，这也是命题追求稳定的应有之意.但我们同时也要看到这其中所蕴含着的惰性以及缺乏深入改革的决心.如果大家都在故纸堆里改编改造，那跟明清时期在四书里寻章摘句的八股命题又有和分别呢？都在做以前的考题，如何才能创新，更别谈培养创新人才了.对于递推数列，高考广东卷的命题人那是“真爱”.从课标命题开始，一往情深，从分式线性递推数列开始，历经各种递推形式，只有想不到，没有做不到的形式.可是，数列在课标只有12课时，远不是核心，“数列的递推关系给出的就是数列的差分方程．如果是线性差分方程（包括我们熟知的等差、等比数列），是有通解公式的．换句话说，有通性通法，用不着特殊．至于非线性的差分方程，它是现代数学（例如，动力系统等）研究的对象．并不适合在中学讲授．对这类方程，由于无法得到一般的通项公式，数学家关心的是这种数列的极限行为．这种极限行为十分复杂，例如，会出现混沌现象．现在的考题却是找特殊的差分方程，让学生求这种数列的通项公式．这些方程和方法十分特殊，考查的仅是技巧．这种考试并不能很好地考核学生理解数学的能力．”[]5正因为从2007年开始，每年的数列复习占据了和函数一样的地位和时间，甚至在三轮次的复习中都是作为核心内容来复习，其中递推数列又占据了数列复习时间的大部分，使得学生苦不堪言，直言数列太难学了，而对于一些基础薄弱的学校学生而言，基本上都是放弃，这又回到了当初面对解析几何时的态度，反正做不了，不如不学.我们以为在深化课标改革的当下，高考对于数列的态度可以适当有所变化，探索新的命题方向.高考广东卷近三年的高考命题基本客观题和16、17题部分以教材部分的问题改变为主，18-21题则基本上都是改造往年的他省高考题为主，如2011年理18题，立体几何，改编自2004年全国大纲卷Ⅰ理20题，2011年理21和2013年文理科19题都改编改造自2005年的江西高考理22，研究的都是抛物线与切点弦相关的阿基米德三角形性质问题.至于所导数的考查则基本上改变了前四年的命题方式，转而与其他省份一起，着眼于导数研究函数的性质和分类整合思想的考查，难点基本上集中在分类讨论那繁复的层次上了，这在其他省份有大量对应的考题可以参考.2 备考建议2014年的怎么复习备考，通过上述的分析与探讨，我们认为在复习中有以下几个方面值得关注.2.1回归教材挖掘内涵抛开教材的高考复习无异于缘木求鱼，势必会给复习工作带来难以估量的严重后果.通过上述对广东高考试题的分析，不难发现教材是高考试题的基本来源，大多数的考题都是在教材题目基础上的组合、加工和发展的结果.这告诉我们在高考的复习备考，特别是一轮复习备考要基于教材展开，要将回归教材作为高考复习的基本公理.2.1.1全面梳理主干知识与核心概念，注重数学理解高考对支撑学科知识体系的主干知识进行了重点考查，因此在回归教材的过程中，要重点关注高考中所突出的主干知识.下表是近四年对主干知识考查分布.从上表中可以看出，高考对函数知识（函数、三角、数列）的考查达到了全面且必要的深度，高考解答题6个题占有三个大题，并且近三年有两个（数列、函数与导数）在压轴题.从中可以看出，函数是主干知识中的核心概念.同时我们要看到，在函数中，函数的定义是核心，函数是研究运动变化的模型，这也就强化了单调性这个核心中的核心，也因此我们在备考时紧紧把握函数的单调性，在指对幂函数中单调性直接与一个参数有关，因而抓住了这个参数也就把握了指对幂函数.同理，由于三角函数是研究周期运动变换的模型，因此三角函数的核心就是周期，也就是参数ω ，要紧紧围绕着这个核心来组织内容进行复习.在把握周期基础上，要更多地关注变换，而三角变换的核心无疑是同角三角函数关系以及诱导变换，简单的恒等变换只是公式的直接运用，远不是重点.在数列中，等差等比数列的通项与前n 项和是核心，递推数列应该是围绕着等差等比数列理解熟练的基础上去展开.基于此，我们以为在备考时要对考纲中的近200个知识点进行全面梳理，明确哪些是重要概念，在这些重要概念中，哪些又是核心概念.然后便是围绕着核心概念强化数学理解，对相关知识伞状展开逐一突破.梳理7年的高考命题，明确教材的不同内容在高考中的不同角色（如不等式、导数需要视作是工具来进行复习）.哪些内容适合什么题型；哪些内容会在高考中提高要求,哪些不提高，哪些不考；哪些具有较高的生长点，哪些生长空间不够.根据笔者的研究，还是以函数为例，函数的性质，如奇偶性，都是在客观题中，且都是对常见函数奇偶性的识别，这就要求我们对具有奇偶性的函数进行梳理识记，明确具有奇偶性函数，以及通过运算得到的构造型奇偶函数，如()()(),()()()F x f x f x G x f x f x =+-=-- 以及分段型奇偶函数(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩， (),0()(),0g x x G x g x x >⎧=⎨--<⎩为奇函数（注，若在原点处有定义，则补充(0)0f =.）而对于函数单调性的考查在基本上是以导数为工具在解答题中针对三个二次问题具体研究的.核心概念最有力量.希望老师们集中精力于核心概念中来，真正实现“轻负增效”的高考备考.2.1.2强化蕴含思想方法的概念推导理解，挖掘内涵教材中一些公式定理或者概念常常蕴含着问题解决的思想方法，因此需要在全面梳理核心概念的基础上进一步强化对这些蕴含着丰富思想方法的概念和公式定理进行再研究和推导.如在等差数列通项的求解过程中，我们得到了一个累差的式子()()()111221n n n n n a a a a a a a a ----=-+-++-.我们注意到右边是n 个式子的和，这启发我们，如果一个数列1n n n a b b +=-，则可以采取上述累差来解决求和问题，即对任何一个数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若数列1n n n a b b +=-，则1111(),n n k k n k S b b b b n N*++==-=-∈∑.这便是裂项求和的思想.这样对于裂项求和方法的讲解就不再是“魔术师帽子突然冒出来的兔子”，让方法有了源头.同样地，在等比数列前n 项和中，蕴含着错位相减法，当然如果能够对这两个方法进行进一步探究，便能得到两个方法之间的双向沟通.即设{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，且 {}n n a b 的前n 项和为n S .则因为11()1n n n b b b q+=--，所以 1111111121()11[()]1()1(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b q a b a b a a b qa b a b dq b b q q ++++++++=--=-+---=+--- 所以{}n n a b 的前n 项和为11111121()1(1)n n n n k k n k a b a b dq S a b b b q q +++=-==+---∑. 如此这样便对数列求和的两个核心方法融会贯通了.再如，对于数列与不等式，难度较大，学生常常会问，老师为什么要这样放缩，你是怎么想到的，根据是什么.其实，放缩的核心就在于实数的大小和不等式的性质（函数单调性），数列不等式考查的落脚点就在必修5中第三章的第一节《不等关系与不等式》中，而这个常常在备考中没有引起足够的重视.类似的问题较多，需要大家去发现梳理，这也是回归教材要以所在，也是回归教材区别于初次接触教材的关键.2.2精选考题 拓展研究高考选拔的特点是以解题能力的高低为标准，一次性闭卷来决定胜负的，因此，高考复习要以解题训练为中心，并最终表现为学生解题能力的提高.而解题训练的素材便是题目，题目来自于哪里？毫无疑问，过往的高考题无疑是最优质的素材，高考试题是各省命题专家经过深思熟虑和严密讨论命制出来的,又经过全国教师的研究，科学性强（漏洞也清楚）,解题思路明朗,解题书写规范,评分标准清晰.通过上面的分析也可以看出，高考广东卷，在数列以及解析几何部分基本上改编自往年的高考试题，这就要求我们重视以高考题作为例练习题，进行拓展研究.2.2.1高考备考选题应与时俱进30年的高考积累了丰富的高考题，我们不可能一一都拿来做一遍，这就意味需要选择，如何选择？笔者在文[7]中给与了建议，高考备考选题应与时俱进.根据当前的课标要求和能力要求以及时代特征进行选题.我们以为，除了上述的要求外，对于选题还应做到，选择那些具有较高探究价值可以进一步拓展的高考题；具有多样解法的高考题；具有丰富知识点的高考题；具有可以改造改编空间的考题；具有重要数学思想方法的考题等.2.2.2从高考题中来，到高考题中去将高考题作为例练习题，我们以为，不能单单是做题，还应该充分了解和分析试题的来源、考查的重点和解题的方法，充分发挥每一道题的价值.研习高考题，要从高考题中寻找重点复习的资料，即研究试题的来源，通过试题来源的研究发现复习的资料；从高考中寻找重点考查的知识点，复习时才能有的放矢；从高考题的解答中学习解题的解题方法和技巧，做到“以战养战”；从高考题中积累解决创新问题的经验.参考文献[1]李明.注重稳定中创新深化新课标理念[J].中学数学教学参考（上半月），2009（11）：45-47.[2]陈淼君.放缩法引领下的数列不等式证明[J].中学数学（高中版），2013（1）：77-78.[3]陈镇明邓春源.回归传统彰显能力[J].中学数学研究（广州），2011（8）18-21.[4]赵霜廖运章.若干2010年高考数学试题的命题渊源[J].数学通讯（下半月），2010（9）47-50.[5]张饴慈王尚志薛文叙.体现课标理念突出导向作用[J].数学通报，2012（2）6-11.[6]裴光亚.回归课本-高考数学复习的公理[J].中学数学教学参考（上半月），2008（3）：29-31.[7]彭海燕.高考备考选题应与时俱进[J].中学数学教学参考（上半月），2010（4）：55-57,64.。
