2018高考数学文科异构异模复习考案撬分法习题 第八章 立体几何 8-2 含答案 精品

………………………………………………………………………………………………时间：分钟基础组.设，，是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是( )．当⊥α时，若⊥β，则α∥β．当⊂α时，若⊥β，则α⊥β．当⊂α，且是在α内的射影时，若⊥，则⊥．当⊂α，且⊄α时，若∥α，则∥答案解析的逆命题为：当⊥α时，若α∥β，则⊥β，由线面垂直的性质知⊥β；的逆命题为：当⊂α时，若α⊥β，则⊥β，显然错误；的逆命题为：当⊂α，且是在α内的射影时，若⊥，则⊥，由三垂线的逆定理知⊥；的逆命题为：当⊂α，且⊄α时，若∥，则∥α，由线面平行的判定定理可得∥α.故选.．对于空间的两条直线，和一个平面α，下列命题中的真命题是( )．若∥α，∥α，则∥．若∥α，⊂α，则∥．若∥α，⊥α，则∥．若⊥α，⊥α，则∥答案解析对，直线，可能平行、异面或相交，故错误；对，直线与可能平行，也可能异面，故错误；对，与垂直而非平行，故错误；对，垂直于同一平面的两直线平行，故正确．．已知直线和平面α，β，α∩β＝，⊄α，⊄β，且在α，β内的射影分别为直线和，则直线和的位置关系是( )．相交或平行．相交或异面．平行或异面．相交、平行或异面答案解析依题意，直线和的位置关系可能是相交、平行或异面，故选.．已知，，为三条不同的直线，且⊂平面，⊂平面，∩＝.①若与是异面直线，则至少与，中的一条相交；②若不垂直于，则与一定不垂直；③若∥，则必有∥；④若⊥，⊥，则必有⊥.其中正确命题的个数是( )．．．．答案解析命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中和有可能垂直；命题④中当∥时，平面，有可能不垂直，故选.. 已知正四棱柱－中，＝，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )点击观看解答视频答案解析如图，连接.由题意知綊，所以四边形为平行四边形，故∥.所以∠为异面直线与所成的角．不妨设＝＝，则＝，＝，＝，在△中，∠＝＝＝，故选.. 设，，是空间中的三条直线，下面给出四个命题：点击观看解答视频①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则∥；③若与相交，与相交，则与相交；④若⊂平面α，⊂平面β，则，一定是异面直线．上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号)．答案①。

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )点击观看解答视频A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛答案 B解析 设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×13πR 2×5＝3203π(立方尺)，因此堆放的米约有3203×1.62π≈22(斛)．故选B.2．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323cm 3D.403cm 3答案 C解析 该几何体是由棱长为2的正方体和底面边长为2，高为2的正四棱锥组合而成的几何体．故其体积为V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323cm 3.3.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )点击观看解答视频A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π答案 C解析 如图，过点D 作BC 的垂线，垂足为H .则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R ＝AB ＝1，高h 1＝BC ＝2，其体积V 1＝πR 2h 1＝π×12×2＝2π；圆锥的底面半径r ＝DH＝1，高h 2＝1，其体积V 2＝13πr 2h 2＝13π×12×1＝π3.故所求几何体的体积为V ＝V 1－V 2＝2π－π3＝5π3.故选C.4．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727 B.59 C.1027D.13答案 C解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为 3 cm ，高为 2 cm.则零件的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3)．而毛坯的体积V ＝π×32×6＝54π (cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 2V ＝20π54π＝1027.故选C.5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4答案 B解析 由三视图知，原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的四分之一圆柱，故几何体的体积为8－2×π×2×14＝8－π.故选B.6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113 答案 B解析 由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258，故选B. 7．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2π D.4π3答案 D解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径R ，则2R ＝12＋12＋22＝2，解得R ＝1，所以V ＝4π3R 3＝4π3.8．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由三视图可得原石材为如下图所示的直三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，且AB ＝8，BC ＝6，BB 1＝12，AC ＝82＋62＝10.若要得到半径最大的球，则此球与平面A 1B 1BA ，BCC 1B 1，ACC 1A 1相切，故此时球的半径与△ABC 内切圆的半径相等，故半径r ＝6＋8－102＝2.故选B.9.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.点击观看解答视频答案8π3解析 由三视图可得该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体，圆柱的底面圆的半径为1 m ，高为2 m ，圆锥的底面圆的半径和高都是1 m ，且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合，故该组合体的体积为2π＋2×13π＝8π3(m 3)．10．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．答案7解析 底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π×r 2×4＋π×r 2×8＝28π3r2＝196π3，解得r ＝7.11．三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案 14解析 由题意知，V D －ABE ＝V A －BDE ＝V 1，V P －ABC ＝V A －PBC ＝V 2.因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以S △BDE S △PBC ＝14. 设点A 到平面PBC 的距离为d ， 则V 1V 2＝13S △BDE ·d 13S △PBC ·d ＝S △BDE S △PBC ＝14. 12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．答案 32解析 设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r 1，h 1，r 2，h 2，则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，h 1h 2＝r 2r 1.又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，所以r 1r 2＝32，则V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 1r 2＝32. 13．已知三棱锥P －ABC 的各顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥平面ABC ，ACBC＝3，则三棱锥与球的体积之比为________．答案3∶8π解析 如图，依题意，AB ＝2R ，又ACBC＝3，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝30°，因此AC ＝3R ，BC ＝R ，V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13×R ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3R ×R ＝36R 3.而V 球＝4π3R 3，因此V P －ABC ∶V 球＝36R 3∶4π3R 3＝3∶8π.。

………………………………………………………………………………………………时间：分钟基础组.已知，为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )．∥，⊥α⇒⊥α．α∥β，⊂α，⊂β⇒∥．⊥α，⊥⇒∥α．⊂α，⊂α，∥β，∥β⇒α∥β答案解析选项中，如图①，∥，⊥α⇒⊥α一定成立，选项正确．选项中，如图②，α∥β，⊂α，⊂β，与互为异面直线，∴选项不正确．选项中，如图③，⊥α，⊥，⊂α，∴选项不正确．选项中，如图④，⊂α，⊂α，∥β，∥β，但α与β相交，∴选项不正确．．直线，均不在平面α，β内，给出下列命题：①若∥，∥α，则∥α；②若∥β，α∥β，则∥α；③若⊥，⊥α，则∥α；④若⊥β，α⊥β，则∥α.其中正确命题的个数是( )．．．．答案解析对命题①，根据线面平行的判定定理知，∥α；对命题②，如果直线与平面α相交，则必与平面β相交，而这与α∥β矛盾，故∥α；对命题③，在平面α内取一点，设过，的平面γ与平面α相交于直线.因为⊥α，所以⊥，又⊥，所以∥，则∥α；对命题④，设α∩β＝，在α内作′⊥β，因为⊥β，所以∥′，从而∥α.故四个命题都正确．．已知，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )．若⊥α，⊥β，则α∥β．若α∥γ，β∥γ，则α∥β．若⊂α，⊂β，∥，则α∥β．若，是异面直线，⊂α，∥β，⊂β，∥α，则α∥β答案解析由线面垂直的性质可知正确；由两个平面平行的性质可知正确；由异面直线的性质易知也是正确的；对于选项，α，β可以相交、可以平行，故错误，选.．平面α∥平面β，点，∈α，，∈β，则直线∥直线的充要条件是( )．∥．∥．与相交．，，，四点共面答案解析充分性：，，，四点共面，由平面与平面平行的性质知∥.必要性显然成立．．如图，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件时，就有∥平面.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案位于线段上解析连接，，，则∥，∥，∴平面∥平面，只要∈，则⊂平面，∴∥平面.(答案不唯一)．给出下列关于互不相同的直线、、和平面α、β、γ的三个命题：①若与为异面直线，⊂α，⊂β，则α∥β；②若α∥β，⊂α，⊂β，则∥；③若α∩β＝，β∩γ＝，γ∩α＝，∥γ，则∥.其中真命题为．答案③解析①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的、.②中与也可能异面．。

1.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )点击观看解答视频A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案 D解析A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．2．如图，三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝π2，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P －DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．解 (1)证明：如图，由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC .又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE .(2)设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ， 所以PE 为四棱锥P －DFBC 的高．在Rt △PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 体积V P －DFBC ＝13·S DFBC ·PE ＝13·718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3.所以，BC ＝3或BC ＝3 3.3．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.4．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.5．如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC 的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明(1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE ∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.6. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．解(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C 为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，AO∩BC1＝0，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD ＝34.由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点， 所以点B 1到平面ABC 的距离为217， 故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217. 7．如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.8．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.点击观看解答视频求证：(1)直线PA ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA . 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3， EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .。