线性变换

(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中 一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2， ，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应

第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。

注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。

通识教育平台数学课程系列教材第一节向量空间第二节向量的线性相关性第三节向量空间的基及向量的坐标第四节欧氏空间第五节线性变换定义1一、线性变换的定义设σ是向量空间V 到向量空间W 的一个映射，如果σ满足:1) σ( α+ β) = σ( α) + σ( β),2) σ( k α) = k σ( α).其中α,β为V 中任意向量，k 为任意实数σ有上面的性质也说成σ保持向量的线性运算. 简言之，线性映射就是保持线性关系的映射.则称σ是V 到W 的一个线性映射. σ(α) 称为α在σ下的象，也可记为σα.§5 线性变换向量空间V 到其自身的线性映射称为V 中的线性变换.(1) 向量空间中变换的写法σ: ( x , y ) →( x + y , x -y ), (x , y ) ∈R 2σ( x , y ) = (x + y , x -y ), ( x , y ) ∈R 2注：(2)).()()(2121βαβασσσk k k k +=+可简写成σ(α+ β) = σ(α) + σ(β),σ(k α) = k σ( α).(3) 通常用花体字母T , S , … 来表示V 中的线性变换. 向量α在线性变换T 下的像，记为T (α) 或T α.上一页例1设A为n 阶实矩阵，对任意的n维行向量α，令T(α)=αA, α∈V.事实上, 设α, β∈V，因为T(α+ β) = (α+ β)A= αA+ βA= T(α) + T( β).T(kα) = ( kα)A = k (αA)= k T( α)故T是R n中线性变换.例2设V 是一向量空间，λ∈R . 对任意的α∈V ，令T (α) = λα，则T 是V 中的一个线性变换.所以T 是V 中的线性变换. 称这种变换为数乘变换.E (α) = α, O (α) = 0.上一页事实上, 设α, β∈V ，k ∈R ，因为T (α+ β) = λ(α+ β)= λα+ λβ= T (α) + T ( β).T (k α) = λ( k α)= k (λα)= k T (α)特别地，当λ= 1 时，T (α) = α，T 称为恒等变换，记为E ；当λ= 0时，T (α) = 0，T 称为零变换，记为O ，即例3R 3 中σ( x , y , z ) = (x , y , 0) 是线性变换.事实上, 设α= ( x 1, y 1, z 1) , β=( x 2, y 2, z 2)σ(α+ β) = σ( x 1+ x 2, y 1 + y 2, z 1+ z 2 )= ( x 1+ x 2, y 1 + y 2, 0)= ( x 1, y 1, 0) + ( x 2, y 2, 0)= σ(α) + σ( β).证σ(k α) = σ(k x 1, k y 1, kz 1 )= ( k x 1, k y 1, 0)= k (x 1, y 1, 0)= k σ( α).故σ( x , y , z ) = (x , y , 0) 是R 3 中线性变换，称之为R 3 中向xOy 面的投影变换.x y z ( x , y , z )(x , y , 0)0上一页例4在R 2 中，设0≤ θ<2π, 令σ：(x , y )→(x cos θ-y sin θ, x sin θ+ y cos θ)则σ是R 2的一个线性变换.称线性变换σ是绕原点按逆时针方向旋转θ角的旋转变换.xy ( x , y )0θ事实上，由σ( (x , y )+(x 1 , y 1))=σ(x +x 1, y +y 1)证上一页)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x k +-=)cos sin ,sin cos (θθθθky kx ky kx +-=),()),((ky kx y x k σσ=).,(),(11y x y x σσ+=)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x +-=)cos sin ,sin cos (1111θθθθy x y x +-+)]cos )(sin )(,sin )(cos )[(1111θθθθy y x x y y x x ++++-+=二、线性变换的性质和运算§5 线性变换定理1设T 是V 中的线性变换，则（1）T 把零向量变到零向量，把α的负向量变到α的像的负向量，即T ( 0 ) = 0, T ( -α) = -T (α).（2）T 保持向量的线性组合关系不变，即)(2211s sk k k ααα+++ T = k 1T (α1)+k 2T (α2)+…+k s T (αs )（3）T 把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，即若α1, α2, …, αs 线性相关，则T (α1 ), T (α2), …, T (αs )也线性相关.定义2设L(V) 是向量空间V中的全体线性变换的集合，定义L(V)中的加法、数乘与乘法如下：（1）加法：(T+S)α= T ( α) +S (α) ；（2）数乘：(k T)α= k T (α) ；（3）乘法：(T S)α= T (S (α)) ,其中，α∈V，k∈R,T ,S ∈L(V).易验证，T +S，T S 以及k T 都是V 中的线性变换.§5 线性变换三、线性变换的矩阵设V 是一个m 维向量空间,α1,α2,…,αm 是V 的一组基.T 是V 的一个线性变换.(1)T (α1)=a 11α1+ a 21α2 + … a m 1αm ,T (α2)=a 12α1+ a 22α2 + … a m 2αm ,……………T (αm ) = a 1m α1+ a 2m α2 + … a mm αm ,可用矩阵形式表示为：设则设,,2211m m k k k V ααααα+++=∈∀ (k 1α1+k 2α2+…+ k m αm )= k 1T (α1)+k 2T (α2)+…+k m T (αm )因此，若已知基向量α1,α2, …,αm 在线性变换T 下的像，就可知道V 中任意向量在线性变换T 下的像了.= (α1, α2, …, αm )(T (α1), T (α2), …, T (αm ))⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mm m m m m a a a a a a a a a 212222111211A (T (α1), T (α2), …, T (αm ) ) = (α1, α2, …, αm ) A.称矩阵A 为线性变换T 在基α1, α2, …, αn 下的矩阵.记T (α1, α2, …, αm ) = (T (α1), T (α2), …, T (αm ) )则有T (α1, α2, …, αm ) = (α1, α2, …, αm )A因此，取定V 的一组基后，对于V 的线性变换T 有唯一确定的m 阶方阵A 与它对应.T A在给定基下一一对应(1)V 中的全体线性变换组成的集合L (V ) 与全体实m 阶方阵所成集合R m X m 之间存在一一对应关系.注意：(2)线性变换的和、数乘和乘法对应于相应的矩阵之间的和、数乘和乘法.(3)线性变换可逆（即存在V 的一个变换S ，使得TS =E ）当且仅当T 对应的矩阵A 可逆，且T 的逆变换对应的矩阵就是A -1.例2例1R n 中恒等变换E (α) = α在每一组基下的矩阵为n 阶单位阵.R n 中零变换O (α)=0在任意基下的矩阵为零矩阵.R n 中线性变换T (α) = k α,k ∈R . T 在每一组基下的矩阵为数量矩阵k E n .例3求R 3 中的线性变换T (x 1, x 2, x 3)在标准基下的矩阵.T (e 1) = T (1, 0, 0 ) = (a 1 , b 1, c 1) = a 1e 1+b 1e 2+c 1e 3解所以T 在标准基下的矩阵为),,(332211332211332211x c x c x c x b x b x b x a x a x a ++++++=T (e 2) = T (0, 1, 0 ) = (a 2 , b 2, c 2) = a 2e 1+b 2e 2+c 2e 3T (e 3) = T (0, 0, 1 ) = (a 3 , b 3, c 3) = a 3e 1+b 3e 2+c 3e 3.321321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c b b b a a a A练习求R 2 中旋转变换σ(x , y ) = (x cos θ-y sin θ, x sin θ+ y cos θ)在标准基e 1= (1, 0), e 2= (0, 1)下的矩阵.σ(e 1) = (cos θ, sin θ) = cos θ⋅e 1+ sin θ⋅e 2,,σ(e 2) = (-sin θ, cos θ) = -sin θ⋅e 1+cos θ⋅e 2,,,.cos sin sin cos ),())(),((2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθe e e e σσ解若设(x , y )的象σ(x , y )在e 1, e 2下的坐标为(x ', y ')则x ' = x cos θ-y sin θy ' = x sin θ+ y cos θ.cos sin sin cos ''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x θθθθ四、象与原象的坐标变换公式设α1,α2, …, αn 是向量空间V 的一组基，线性变换σ在基α1, α2, …, αn 下的矩阵为A. 如果ξ与σ(ξ)在该基下的坐标分别为(x 1, x 2, …, x n ) 和(y 1, y 2, …, y n )，则(3)§5 线性变换得由n n y y y αααξ+++= 2211)(σ),,,(21n ααα =.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y nn x x x αααξ+++= 2211).()()()(2211n n x x x ασασασξσ+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x 2121))(,),(),((ααασσσ),,,(21n ααα =.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x A 将(3)与(4)比较得.2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y α的坐σ(α)的坐σ的矩(4)定理2设α1,α2,…,αn 是向量空间V 的一组基，线性变换σ在基α1,α2,…,αn 下的矩阵为A .如果ξ与σ(ξ)在该基下的坐标分别为(x 1,x 2,…,x n )和(y 1,y 2,…,y n )，则.2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y例4设σ是R 4的一个线性变换，对∀(x 1,x 2,x 3,x 4)∈R 4,σ(x 1,x 2,x 3,x 4)=(2x 1+x 2,3x 1-x 3,x 3,x 1+x 4),求σ在标准基ε1,ε2,ε3,ε4下的矩阵.σ(ε1) = σ(1, 0, 0, 0) = (2, 3, 0, 1)=2ε1+ 3ε2+ε4,σ(ε2) = σ(0, 1, 0, 0)= (1, 0, 0, 0)=ε1,,σ(ε3) = σ(0, 0, 1, 0) = (0, -1, 1, 0)=-ε2 + ε3,σ(ε4) = σ(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1)=ε4.解因为))(),(),(),((4321εεεεσσσσ.1001010001030012),,,(4321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεε所以σ在ε1, ε2, ε3, ε4下的矩阵为.1001010001030012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 上一页定理3设α1,α2,⋯,αm 和β1,β2,⋯,βm 是向量空间V 的两组基.线性变换σ在这两组基下的矩阵分别为A 与B ,从基α1,α2,⋯,αm 到基β1,β2,⋯,βm 的过渡矩阵是C ,则五、同一线性变换在不同基下的矩阵B =C -1AC .§5 线性变换线性变换与矩阵的对应关系是在取定了空间的一组基的情况下建立的.如果取不同的基，同一线性变换对应的矩阵一般是不相同的.于是得B =C -1AC.●●●由 证,),,(),,(2121A m m αααααα =σ,),,(),,(2121B m m ββββββ =σ.),,,(),,(2121C m m αααβββ =),,(21m βββ σ[][]C C m m ),,,(),,,(2121αααααα σσ==AC m ),,(21ααα =.),,,(121AC C m -=βββ (线性变换保持线性关系)定义4设A,B为两个n阶矩阵,如果存在可逆矩阵C,使得B=C-1AC,则称A与B相似,记作A~B.由定理3知线性变换在不同基下的矩阵是相似的;反之,若两矩阵相似,那么它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵.定理设B=C-1AC,如果线性变换σ在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A，且则σ在基β1, β2, ⋯, βn 下的矩阵为B.(β1, β2, ⋯, βn) = (α1, α2, ⋯, αn )C.σ基α1, α2, ⋯, αn下Aσ基(β1, ⋯, βn) = (α1, ⋯, αn)CBB = C-1AC.下上一页*相似是矩阵之间的一种关系,它具有下面三个性质:1. 反身性:A~A;2. 对称性:如果A ~B, 则B ~A;3. 传递性:如果A~B, B ~C, 则A~C.例2线性变换σ在基β1, β2下的矩阵为上一页设α1,α2与β1 , β2 是向量空间V 的两组基，由基α1,α2到基β1, β2的过渡矩阵为C ,线性变换σ在基α1,α2下的矩阵为求线性变换σ在基β1, β2下的矩阵B.,2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C ,0112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 解AC C B 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111011221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11011112.1011⎪⎪⎫ ⎛=定理4设σ是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：六、正交变换(1) σ是正交变换；§5 线性变换定义5设σ为欧氏空间V 中的线性变换, 如果对于任意的α, β∈V , 都有),,(),(βασβσα=则称σ为V 中的正交变换.(2) σ保持向量的长度不变，即对于任意的;)(,αασα=∈V 的标准正交基；也是的标准正交基，则是如果V V m m )(,),(),(,,,)3(2121ασασασααα (4) σ在任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵.B =C -1AC .例6定义映射上述映射显然为一个线性变换，σ在标准正交基下的矩阵为(,)(cos sin ,sin cos ).x y x y x y σθθθθ=-+.cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθA .,为正交矩阵即且满足A E AA A A T T ==故坐标旋转变换是一个正交变换，它保持向量的长度不变.七、线性变换的特征值与特征向量§5 线性变换给定V 中的一个线性变换σ，是否存在V 的一组基，使σ在此组基下的矩阵为对角矩阵？事实上，的特征向量的属于特征值也是，非零实数的特征向量，则对任意的属于特征值是如果.λσξλσξk k 定义6设σ是向量空间V 的一个线性变换,如果存在实数λ和V 中一非零向量ξ,使得λξξ=)(σ那么λ称为σ的一个特征值, ξ称为σ的属于特征值λ的一个特征向量.1.线性变换的特征值与特征向量的概念例7设σ是数乘变换：σ(α)=λα, α∈V，则λ是σ的特征值，V中非零向量都是σ的属于特征值λ的特征向量.2. 线性变换可对角化的条件定理5设V为m维向量空间，为V中的一个线性变换.那么存在V的一组基，使得σ在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是σ有m个线性无关的特征向量.设σ可对角化, 则存在V 的一组基α1, α2, ⋯αm , 使σ在此基下的矩阵为对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m Λλλλ 21即σ(α1, α2, …, αm ) = (α1, α2, …, αm )Λ证则mi i i i ,2,1,)(==ααλσ反之,如果σ有m 个线性无关的特征向量,就取它们为基,则σ在此基下的矩阵就是对角形矩阵.因此α1,α2,⋯αm 就是σ的m 个线性无关的特征向量.上一页注意：从以上证明可知，如果线性变换σ在某一组基下的矩阵为对角阵A ，则这组基由σ的特征向量组成，且矩阵A 的对角元就是线性变换σ的特征值.方阵与线性变换是一一对应的，可类似引入方阵的特征值与特征向量的概念.3.矩阵的特征值与特征向量的概念定义1设A 是一个m 阶实方阵, 如果存在实数λ和非零的m 维列向量ξ, 使得λξξ=A 那么λ称为方阵A 的一个特征值, ξ称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（1）设m 阶方阵A 是m 维向量空间V 上线性变换σ在一组基下的矩阵，则λ是σ的特征值的充要条件是λ为矩阵A 的特征值.结论：从线性变换与矩阵的对应关系可得如下结论.设R m 中线性变换σ在基α1, α2, …, αm 下的矩阵为A . 即的特征向量于特征值的属是矩阵是的特征向量的充要条件征值的属于特是线性变换则为下的坐标中非零向量，它在基为..),,,(,,,2121λλσξαααξA X x x x X V Tm m =（2）m 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有m 个线性无关的特征向量.即m 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 有m 个线性无关的特征向量.σ的特征值= A 的特征值ξ= (α1, α2, …, αm ) XA 的属于λ的特征向量σ的属于λ的特征向量练习设R 2 的线性变换σ为σ: (x 1, x 2)→(2x 1+ 4x 2, -x 1),求σ在基α1= (1, -1), α2= (-1, 2) 下的矩阵.上一页σ在标准基ε1, ε2下的矩阵为,0142⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 而由ε1, ε2 到α1, α2 的过渡矩阵为,2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C 解那么σ在α1, α2 下的矩阵为B =C -1AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111014221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211101421112.73135⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=。

第2讲线性变换第2讲线性变换第2讲线性变换第2谈线性变换内容：1.线性变换2.线性变换的矩阵则表示，特征值与特征向量3.线性变换的值域、核及维持不变子空间线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，线性空间v中自身到自身的一种线性映射称为v的一个线性变换，线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系．介绍线性变换的基本概念并讨论它与矩阵之间的联系．§1线性变换1线性变换t是v到自身v的定义1.1设v是数域p上的线性空间，一个态射，即为对于v中的任一元素x均存有唯一的y∈v与之对应，则表示t为v 的一个转换或算子，记作t(x)=y,表示y为x在转换t下的象，x为y的原象．若态射t 还满足用户:t(kx+ly)=kt(x)+lt(y)，∀x,y∈v,k,l∈p,表示t为v的线性变换．1.1二维实向量空间r=⎨⎨⎨ξi∈r,i=1,2⎨，将其绕原点转动θ角的操作方式就是一个线性变换．证明：x=⎨⎨ξ1⎨⎨η1⎨⎨η1=ξ1cosθ-ξ2sinθy=t(x)=，,⎨⎨⎨η⎨⎨ξ2⎨⎨2⎨⎨η2=ξ1sinθ+ξ2cosθ⎨η1⎨⎨cosθ⎨η2⎨⎨sinθ-sinθ⎨⎨ξ1⎨∈r2。

可见该操作t⎨⎨⎨cosθ⎨⎨ξ2⎨证明其为线性变换．⎨x⎨⎨z⎨⎨kx⎨⎨lz⎨⎨kx+lz1⎨∀x=⎨1⎨,z=⎨1⎨∈r2,k,l∈r,kx+lz=⎨1⎨+⎨1⎨=⎨1⎨，xzkxlzkx+lz2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨cosθ-sinθ⎨⎨kx1+lz1⎨t(kx+ly)=⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨kx2+lz2⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨x1⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨z1⎨，=k⎨+l⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨x2⎨⎨sinθcosθ⎨⎨z2⎨=kt(x)+lt(z)所以,t是线性变换．2几种常用的线性变换把线性空间v的任一向量都变成其自身的转换称作单位转换或并集转换，记作te，即为：te(x)=x,把线性空间v中的任一向量都变为零向量的变换称为零变换，记为t0，即t0(x)=0,∀x∈v．如果t1,t2就是v的两个转换，∀x∈v，均存有t1(x)=t2(x)，则表示转换t1与t2成正比，记作t1=t2．4）满秩（线性）变换若（线性）转换t将所有的线性毫无关系元素组仍转换为线性毫无关系的元素组，则称作八十秩（线性）转换．5）变换的和t1+t2，∀x∈v，(t1+t2)(x)=t1(x)+t2(x)，则t=t1+t2．6）变换的数乘kt：∀x∈v，(kt)(x)=kt(x)．7）负变换：(-t)(x)=-t(x)．8）转换的乘积t1t2：∀x∈v，(t1t2)(x)=t1(t2(x))．9）连分数t-1：∀x∈v，若存有转换s使(st)(x)≡x，则表示s为t的连分数s=t-1．10）变换的多项式：tn=ttt，并规定t0=te;f(t)=∑ant→f(t)=∑ant→f(t)(x)=∑antn(x)．说明：变换的乘积不满足交换律；只有满秩变换才有逆变换，st=te．3线性变换的性质1）线性变换把零元素仍变成零元素2）正数元素的象为原来元素的象的负元素3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组．特别注意，线性毫无关系的元素组经过线性变换不一定就是线性并无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关．§2线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量非常有限佩线性空间的任一元素（向量）都可以由基元素（向量）唯一线性则表示，元素（向量）可以用座标则表示出，通过座标把线性变换用矩阵则表示出，从而可以把比较抽象化的线性变换转变为具体内容的矩阵去处置．1线性变换的矩阵则表示设t是线性空间vn的一个线性变换，且{x1,x2,,xn}是vn的一个基，x=∑ξixi=[x1，则存在唯一的坐标表示⎨ξ1⎨⎨ξ⎨xn]⎨2⎨,有⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨t(x)=t(ξ1x1+ξ2x2++ξnxn)⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨2=[t(x1)t(x2)t(xn)]⎨⎨=t(x1x2xn)⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξ⎨n⎨⎨ξn⎨要确定线性变换t，只需确定基元素在该变换下的象就可以了．2.1设t(xi)=[x1x2xn]⎨2i⎨，⎨⎨⎨⎨⎨ani⎨⎨a11⎨axn]⎨21⎨⎨⎨an1a12a22an2a1n⎨a2n⎨⎨=[xxx]a，12n⎨t(x1,x2,,xn)=[x1对于任意元素x，在该基下，变换后t(x)的坐标表示为⎨η1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨η⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨t(x)=[x1x2xn]⎨2⎨，即t(x)=t(x1,x2,,xn)⎨2⎨=[x1,x2,,xn]a⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ηξ⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨⎨η1⎨可知：⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,即为：x⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨2⎨，t(x)⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,把a称作t⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨{x1,x2,,xn}下的矩阵表示．定理2.1设{x1,x2,,xn}就是vn的一个基为，t1、t2在该基下的矩阵分别为a、b．则存有（1）(t1+t2)[x1（2）(kt1)[x1（3）(t1t2)[x1（4）t-1[x1x2xn]=[x1x2xn](a+b)x2xn]=[x1x2xn](ka)x2xn]=[x1x2xn](ab)x2xn]=[x1x2xn]a-1推断2.1设f(t)=∑aiti为纯量t的m次多项式，t为线性空间vn的一个线性变换，且在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，则f(t)[x1x2xn]=[x1x2xn]f(a)，其中f(a)=∑aiai，推论2.2设线性变换t在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，元素x在该基下的坐标为(ξ1,ξ2,,ξn)，则t(x)在该基⎨η1⎨⎨η⎨下的坐标(η1,η2,,ηn)满足⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨．⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨定理2.2设t在vn的两个基为{x1,x2,,xn}及{y1,y2,,yn}的矩阵分别为a和b，且[y1则b=c-1ac.y2yn]=[x1x2xn]c，即a和b相近，记作a~b．线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看成同一个线性变换在两组不同基下的矩阵．定理2.3n阶方阵a和b相近的充要条件就是a和b为同一线性变换在相同基下的矩阵则表示．2特征值与特征向量定义2.2设t是数域p上线性空间v中的线性变换．如果对于数域p中某一数λ,存在非零向量α，使得t(α)=λα则称λ为t的一个特征值，而α称为t的对应于特征值λ的一个特征向量．式(1)说明，在几何上，特征向量α的方位，经过线性变换后维持维持不变．特征向量不是被特征值惟一确认；但是，特征值却被特征向量惟一确认．设x1,x2,,xn是线性空间vn的基，线性变换t在该基下的矩阵表示是a=(aij)．令λ0是t的特征值，属于λ0的特征向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn,则由式(1)知t(x)及λ0x的坐标分别是⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,λ0⎨2⎨，有a⎨2⎨=λ0⎨2⎨，即⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξξξ⎨n⎨⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨(λ0e-a)⎨2⎨=0,（2）⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨由于x≠0，因此，ξ1,ξ2,,ξn不全系列为零，从而就存有det(λ0e-a)=-a21-an1-a12-an2-a1n-a2n定义2.3设a=(aij)是数域p上的n阶矩阵，λ是参数，称-a12-an2det(λe-a)=为矩阵的特征多项式．它是p上的一个n次多项式．ϕ(λ)的根(或零点)λ0，即ϕ(λ)=0，称作a的特征值(根)；而适当于方程组（2）的非零解向量(ξ1,ξ2,,ξn)t称为a的属于特征值λ0的特征向量．表明：如果λ0就是线性变换的特征值，那么λ0必定就是矩阵a的特征多项式ϕ(λ)=det(λe-a)的一个根；反之，如果λ0就是ϕ(λ)在数域p中的一个根，即为存有ϕ(λ0)=det(λ0e-a)=0,那么齐次线性方程组（2）就存有非零求解．于是非零向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn就满足用户式(1)，从而λ0就是t的特征值，所x就是t的属λ0的特征向量．以，欲求线性变换t的特征值和特征向量，只要求出t的矩阵a的特征值和特征向量就行了．换言之，t的特征值与a的特征值相一致，而t的特征向量在vn的基下的坐标(列向量)与a的特征向量相一致．因此，计算特征值和特征向量的步骤如下：第一步：挑定数域p上的线性空间vn的一个基为，写下线性变换t在该基下的矩阵a；第二步：算出a的特征多项式ϕ(λ)在数域p上的全部根，它们就是t的全部特征值；第三步：把求出的特征值逐个代入方程组(2)，求解出来矩阵a属每个特征值的全部线性毫无关系的特征向量．第四步：以a的属每个特征值的特征向量为vn中德博瓦桑县基下的座标，即为得t的适当特征向量．例2.1设线性变换t在v3的基x1,x2,x3下的矩阵是a=212⎨，谋t的特征值和特征向量．求解难求出a的特征多项式就是-2=(λ+1)(λ-5).ϕ(λ)=det(λe-a)=-2因此，t的特征值是λ1=一1(二重特征值)和λ2=5．特征方程(λ1e-a)x=0的一个基础解系为:(1,0,-1)t，(0,1,-1)t,t的属于λ1的t的属λ1的两个线性毫无关系的特征向量为y1=x1-x3，y2=x2-x3，全体特征向量为:k1y1+k2y2,(k1,k2∈p不同时为零)；特征方程(λ2e-a)x=0的一个基础卢播为(1,1,1)t，记y3=x1+x2+x3，则t的属于λ2的全体特征向量为：k3y3，(k3∈p不等于零)．定理2.4对于线性空间vn的线性变换t的任一特征值的属于λ0的全部特征向量，再添上零向量所构成的集={x(x)=λ0x,x∈vn}就是vn的一个线性子空间．事实上，设x,y∈vλ，则有t(x)=λ0x，t(y)=λ0y；于是：t(x+y)=t(x)+t(y)=λ0x+λ0y=λ0(x+y)，t(kx)=k(tx)=k(λ0x)=λ0(kx)，这就是说明x+y与kx均属于vλ．§3线性变换的值域、核及维持不变子空间1线性变换的值域和核定义3.1设数域p上的线性空间vn和vm，t是vn到vm的一个线性态射，t的全体像是共同组成的子集称作t的值域，用r(t)表示，也称为t的像是空间，记作tvn，即为r(t)=tvn=t(α)∈vn⊂vm；所有被t变为零元素（零向量）的元素（向量）形成的子集称作t的核，记作ker(t)或t-1(0)，有时也表示ker(t)为t的零空间，记作n(t)，即为n(t)=ker(t)=α(α)=0,α∈vn⊂vn．当t就是线性变换时，表示r(t)和n(t)分别为线性变换t的值域和核．可以证明，r(t)和n(t)分别是vm和vn的线性子空间．定义3.2称r(t)的维数dimr(t)为线性变换t的秩，记为r(t)；表示n(t)null(t)．的维数dimn(t)称为线性变换t的零度，记为⎨110⎨⎨3.1设t(x)=ax,a=110⎨，求t解令a={a1,a2,a3},x=(x1,x2,x3)t，其中a1=(1,1,0);a3=(0,0,1)r(t)={x1a1+x2a2+x3a3}=span(a1,a3)，ax=0的x=(1,-1,0)t=kα，故n(t)=span{α}.2线性变换的不变子空间定义3.3如果t就是线性空间v的线性变换，v1就是v的子空间，并且对于任一一个x∈v1，都存有t(x)∈v1，则表示v1就是t的维持不变子空间．定义3.4以cm表示全体m维复向量在复数域c上构成的线性空间，a为m⨯n复矩阵，其列(向量)为α1,α2,,αn．显然，αi∈cm，i=1,2,,n．子空间span(α1,α2,,αn)称为矩阵a的列空间(值域)，记作r(a)，即r(a)=s pan(α1,α2,,αn)．a=(α1,α2,,αn)y=(y1,y2,,yn)∈cnr(a)=ayy∈cn似乎，a的秩等同于a的值域的维数，即rank(a)=dimr(a)．定义3.5设a为m⨯n为丛藓科扭口藓矩阵，表示线性方程组ax=0在复数域上的求解空间为n(a)={xax=0}.的化零空间(核)，记作n(a)，即为显然，n(a)是cn的一个子空间，称n(a)的维数为a的零度，即null(a)=dimn(a).定理3.1（1）dimr(t)+dimn(t)=dimvn（2）dimr(a)=rank(a)（3）dimr(a)+dimn(a)=n，n为a的列数．基准3.2设a=⎨⎨⎨,求null(a)．1-13⎨⎨求解由ax=0Champsaurx=k(-5,1,2)t，故null(a)=1．定理3.2设a为m⨯n矩阵，则rank(a)+null(a)=n．证明因为齐次线性方程组ax=0的求解空间的维数(基础卢播涵盖的线性毫无关系向量的个数)为n-rank(a)，故上式设立．下面给出怎样利用不变子空间的概念将线性变换的矩阵简化为简单的准对角矩阵或对角矩阵．假设s={α1,α2,,αk}就是t的维持不变子空间w的一个基为，可以将s扩充为v的一个基s={α1,α2,,αk,αk+1,,αn}．t是v上的一个线性转换．对s中的每个基为向量αj,t(αj)∈w，可以则表示成t(α1)=a11α1++ak1αkt(αk)=a1kkα1++akkαkt(αk+1)=a1k+1α1++akk+1αk+ak+1k+1αk+1++ank+1αnt(αn)=a1nα1++aknαk+ak+1nαk+1++annαn⎨a11⎨⎨⎨ak1线性变换t在基s下的矩阵就是a=⎨⎨0⎨⎨⎨⎨0a可以分块译成a=0a12⎨⎨.a22⎨⎨akk+1ak+1k+1ank+1⎨，ak+1n⎨⎨⎨ann⎨⎨定理3.3如果v1⊕v2=v，并且v1，v2就是t的两个维持不变子空间，即t(v1)⊆v1，t(v2)⊆v2．则线性变换t的矩阵为依据对角形0⎨⎨.⎨a22⎨特别地，若所有vi都就是一维子空间时，则矩阵a精简为对角矩阵a=diag(a1,a2,,an)=⎨⎨⎨.⎨⎨an⎨⎨定理3.4设t是线性空间vn的线性变换,λ1,λ2,,λn是t的全部不同的特征值,则t在某一基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是dimvλ1+dimvλ2++dimvλn=n.可知，线性变换t的矩阵简化为一个准对角矩阵(或对角矩阵)与线性空间vn可分解为若干个不变子空间的直和是相当的．。