新教材人教版高中数学必修第二册 6 模块综合检测

第六章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A ．BC → B ．AB →C ．AC →D ．AM→ 答案 C解析 原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →.2．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( )A ．(2,16)B ．(－2，－16)C ．(4,16)D ．(2,0) 答案 A解析 设D (x ，y )，由题意可知AD→＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3,1)，BC →＝(1，－4)，所以2AB →－3BC →＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 C解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.4．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 答案 B解析 设向量a ，b 的夹角为θ，则|c |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ，则cos θ＝－12.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A ．152B ．15C ．8155D ．6 3答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0. ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝152. 6．向量BA→＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非直角三角形B ．等边三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)，∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)，∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C ＝90°，且|CA→|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形．7．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32 答案 B解析 由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB→|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos120°|BC →|＝－12.8.如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝4，AD ＝BC ＝5，E 是DC 的中点，点P 在线段BC 上运动(包含端点)，则EP →·BP→的最小值是( )A ．－95 B ．0 C ．－45 D ．1答案 A解析 由四边形ABCD 是等腰梯形可知cos B ＝55.设BP ＝x (0≤x ≤5)，则CP ＝5－x .所以EP →·BP →＝(EC →＋CP →)·BP →＝EC →·BP →＋CP →·BP →＝1·x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋(5－x )·x ·(－1)＝x 2－655x .因为0≤x ≤5，所以当x ＝355时，EP →·BP→取得最小值－95.故选A ．9．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km答案 B解析 如图，设行驶15分钟时，甲船到达M 处，由题意，知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ×BN cos120°＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以MN ＝13(km)．10．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝( )A ． 3B ．2C ．2 3D ．4答案 B解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12，∴|a ×b |＝2×2×12＝2.11．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3 答案 C解析 ∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， ∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2.12．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标分别为(a,0)，(0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP→的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2答案 D解析 AB→＝OB →－OA →＝(0，a )－(a,0)＝(－a ，a )，∴AP→＝tAB →＝(－at ，at )． 又OP→＝OA →＋AP →＝(a,0)＋(－at ，at )＝(a －at ，at )， ∴OA →·OP →＝a (a －at )＋0×at ＝a 2(1－t )(0≤t ≤1)． ∴当t ＝0时，OA →·OP→取得最大值，为a 2. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案 (－4，－2)解析 设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝－4，y ＝－2.即a ＝(－4，－2)．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.答案2解析 由题知，AB →·AC →＋BA →·BC→＝2， 即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC→＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 15．如图，在正方形ABCD 中，已知|AB →|＝2，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AB →·AN→的最大值是________．答案 4解析 ∵AB →·AN →＝|AB →||AN →|·cos ∠BAN ，|AN →|cos ∠BAN 表示AN →在AB →方向上的投影，又|AB →|＝2，∴AB →·AN→的最大值是4. 16．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM→＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB→＝________.答案 －2解析 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0,3)．设M 点的坐标为(x ，y )，则CM→＝(x ，y －3)，CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)，又CM →＝16CB →＋23CA →，即(x ，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，所以MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－12，所以MA →·MB →＝－2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b sin B ＝a sin A ＋(c －a )sin C ．(1)求B ；(2)若3sin C ＝2sin A ，且△ABC 的面积为63，求b . 解 (1)由b sin B ＝a sin A ＋(c －a )sin C 及正弦定理， 得b 2＝a 2＋(c －a )c ，即a 2＋c 2－b 2＝ac . 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)由(1)得B ＝π3，所以△ABC 的面积为12ac sin B ＝34ac ＝63，得ac ＝24. 由3sin C ＝2sin A 及正弦定理，得3c ＝2a ， 所以a ＝6，c ＝4.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝36＋16－24＝28， 所以b ＝27.18．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M分别是AD ，DC 的中点，F 为BC 上一点，且BF ＝13BC ．(1)以a ，b 为基底表示向量AM→与HF →；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.解 (1)由已知，得AM→＝AD →＋DM →＝12a ＋b . 连接AF ，∵AF→＝AB →＋BF →＝a ＋13b ，∴HF →＝HA →＋AF →＝－12b ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知，得a ·b ＝|a ||b |cos120°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6，从而AM →·HF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 19．(本小题满分12分)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →＋yOB→.(1)若AP→＝PB →，求x ，y 的值； (2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值． 解 (1)若AP→＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12. (2)若AP→＝3PB →， 则OP →＝OA →＋34AB →＝OA →＋34(OB →－OA →) ＝14OA →＋34OB →，OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14OA →＋34OB →·(OB →－OA →) ＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22＝－3.20．(本小题满分12分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x4，cos 2x 4，函数f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．解 由题意，得f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.(1)由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋π6－1＝－12. (2)已知a cos C ＋12c ＝b ，由余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又因为A 为三角形的内角，所以A ＝π3， 从而B ＋C ＝2π3，易知0<B <2π3，0<B 2<π3， 则π6<B 2＋π6<π2，所以1<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π6＋12<32，故f (B )的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.21．(本小题满分12分)在四边形ABCD 中，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC→∥DA →.(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC→⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积． 解 (1)如右图所示．因为AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)， 所以DA→＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又因为BC→∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0， 即x ＋2y ＝0.(2)AC→＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD→＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)． 因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1. 当y ＝3时，x ＝－6，于是BC→＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． 所以|AC→|＝4，|BD →|＝8， 所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2，于是有BC→＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)．所以|AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a ，b 满足关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)求a 与b 的数量积用k 表示的解析式f (k )；(2)a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k 值；(3)求a 与b 夹角的最大值． 解 (1)由已知|a |＝|b |＝1.∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， ∴k 2|a |2＋2k a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2k a ·b ＋k 2|b |2)，∴8k a ·b ＝2k 2＋2，∴f (k )＝a ·b ＝k 2＋14k (k >0)．(2)∵a ·b ＝f (k )>0，∴a 与b 不可能垂直．若a ∥b ，由a ·b >0知a ，b 同向， 于是有a ·b ＝|a ||b |cos0°＝|a ||b |＝1， 即k 2＋14k ＝1，解得k ＝2±3. ∴当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b ＝k 2＋14k (k >0)，∴cos θ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤()k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2， ∴当k ＝1k即k ＝1时，cos θ取到最小值为12. 又0°≤θ≤180°，∴a 与b 夹角θ的最大值为60°.。

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。

第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴=. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值.6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 21616ABC abc S ab C ∆∴====8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D 【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b .14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52.15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒. 在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AEEAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===.在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC=︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒.在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE ABAE ︒=+-=+-=，故BE ∴船速的大小为/h)3BEt==.四、17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b .又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ，221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b .18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜，4sin 5B ∴=.由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a BA b⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==，142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C=-，sin 02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =.（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞，2C π∴＞，cos C ∴==. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(4221444c a b abab ⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，cos 8AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin β∴= ()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=-= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin ADα=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）.∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F . （1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫⎪⎝⎭.222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)g g g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册模块综合测评含解析模块综合测评(时间:120分钟，满分：150分)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足（z－1)i＝1＋i，则z等于（)A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋iC[由(z－1)i＝1＋i,两边同乘以－i，则有z－1＝1－i,所以z ＝2－i.]2．已知向量a与b的夹角为30°，且｜a｜＝1，|2a－b｜＝1，则｜b｜等于（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C［由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝错误!|b｜,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2错误!｜b|＋b2＝1,由此求得|b｜＝错误!，故选C．］3．设z＝11＋i＋i，则｜z|等于（）A．12B．错误!C．错误!D．2B[∵z＝错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋错误!i，∴|z|＝错误!＝错误!.]4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40），[40，60)，［60,80)，[80，100］．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为（0.01＋0.005)×20＝0.3。

∴该班学生人数n＝错误!＝50。

］5．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．错误!cmB［S＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝表2(cm)．]6．已知向量a＝(cos θ－2，sin θ），其中θ∈R，则|a|的最小值为(）A．1 B．2 C． 5 D．3A［因为a＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a|＝错误!＝错误!＝错误!，因为θ∈R，所以－1≤cos θ≤1，故|a｜的最小值为错误!＝1。

模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________． 【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ． 又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）2.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB u u r u u rg 取最小值时，P 点的坐标是（ ）A.(2,0)B.(4,0)C.10,03æöç÷èøD.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=u u r u u u r u u u r ，圆O 的半径为2，则OB CB =u u u r u u rg （ ）A.1-B.2-C.1D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +ÎR u u r u u u r的最小值为（ ）A.B.5C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ）A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+×-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角q 为（ ）A.34p B.4pC.3pD.23p 9.已知sin 1sin cos 2a a a =+，且向量(tan ,1)AB a =u u u r ，(tan ,2)BC a =u u u r ，则AC u u u r 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0u u r u u r u u u r，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sl ==，则23l l ×取到最大值时，2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c p=+=，则ac=（ ）A.2B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=u u r u u u r u u r u u u r u u r，则ABC △的形状不可能是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12×=12e e .若向量b 满足1×=×=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-≤a b ，则×a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ^，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB l m =+u u r u u u r u u u r，则l =________，m =________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==u u r u u u r a b 为邻边作OADB Y ，11,33BM BC CN CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，用,a b 表现,,OM ON MN u u u r u u u r u u u r.18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =.（1）若4b =，求sin A 的值；（2）若4ABC SD =，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-，（1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4p +，试求AC BC u u u r u u u rg 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明：（1）BE CF ^；（2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x p æöæö=-ç÷ç÷èøèøb ，函数()2f x =×a b ，()4g x f x pæö=ç÷èø.（1）求()f x 在,2p p éùêúëû上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++L 的值；（3）已知t ÎR ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a \=可化为sin sin A B =又sin 22sin cos 2,sin sin B B B A B B B =\==，cos B \=.2.【答案】A【解析】由已知可得111122×=´´=a b ，211()122-×=-×=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-××=a b a a a a .3.【答案】D【解析】Q 点P 在x 轴上，\设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x \=--=-u u r u u r，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x \×=---=-+=--u u r u u r ，\当3x =时，PA PB ×u u r u u r 取最小值.P \点的坐标是(3,0).4.【答案】D【解析】OA OC OB +=u u r u u u r u u u rQ ，OA OC =u u r u u u r ，\四边形OABC 是菱形，且120AOC Ð=°，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB \×=´´°=u u u r u u r.5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++u u r u u u r，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t \+=+++=++=++u u r u u u r ≥，\当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +u u r u u u r取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ÐÐÐ，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ì+-=ï´´ïï+-=í´´ïï+-=ï´´î＞即()()222100,280,680,a a a a a ì-ïï-íï+ïî＞＞＞解得a ，故选B .7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====Q，sin 8cC \=，1sin 216ABC abc S ab C D \====.8.【答案】C【解析】22(2)(54)5680+×-=+×=-Q a b a b a a b b ，又11,63,cos 2q ==\×=\=a b a b ，又[0,],3pq p q Î\=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2a a a =+Q ，cos sin a a \=，tan 1a \=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC a \=+==u u u r u u u r u u u r .故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P \到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S l l ++===.由此可得223231216l l l l +æö×=ç÷èø≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF \+=u u r u u u r .由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=u u r u u r u u r ，2PA PC PF +=u u r u u u r u u u r ，两式相加，得20PA PB PC ++=u u r u u r u u u r.0PA xPB yPC ++=u u r u u r u u u r Q ，\根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=.二、11.【答案】AC 【解析】3B p=Q，a c +=，2222()23a c a c ac b \+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb p+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c æöæö-+=ç÷ç÷èøèø，解得2a c =或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD【解析】P Q 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=u u r u u u r u u r u u u r u u r，|||()()|0CB PB PA PC PA \--+-=u u r u u r u u r u u u r u u r，即||||CB AC AB =+u u r u u u r u u u r ，||||AB AC AC AB \-=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方并化简得0MC AB ×=u u u r u u u r ，AC AB \^u u u r u u u r，90A °\Ð=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为q .1cos cos 2q q \×=×==1212e e e e ，又0q °°≤≤180，60q \=°.()0×-=Q 12b e e ，\b 与,12e e 的夹角均为30°，从而1||cos30°=b .14.【答案】52【解析】|4|-==a b ，52×≥a b ，即×a b 的最小值为52.15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=u u r u u u r u u u r，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB l m l m =+\-=-+u u r u u u r u u u rQ ，22,22,l m l m -+=-ì\í+=î解得6,52.5l m ì=ïïíï=ïî16.km /h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE Ð=°，150EAC Ð=°.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AEEAC C=Ð，sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x°Ð\===g .在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC=°，sin sin120BC C AB \===°g 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE °=+-=+-=g g，故BE =.\船速的大小为/h)BEt==.四、17.【答案】解：BA OA OB =-=-u u r u u r u u u rQ a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA \=+=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r a b .又OD =+u u u r a b ，222333ON OC CN OD \=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，221511336626MN ON OM \=-=+--=-u u u r u u u r u u u r a b a b a b .18.【答案】解：3cos 05B =Q ，且0B p ＜＜，4sin 5B \==.由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a BA b´\===.（2）1sin 42ABC S ac B D ==Q ，142425c \´´´=，5c \=.由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-´´´=，b \=.19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C=-，sin 02C Q ＞，1cos sin 222C C \-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =.（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C p\＞，2C p\＞，cos C \==.易得2sin c R C =，22294sin (44c R C \==，由余弦定理得，2229(42214c a b ab ab ææ=+=+-+ççççèè≥g g ，902ab \＜≤，cos AC BC ab C éö\=Î÷ê÷ëøu u u r u u u r g g ，即AC BC u u u r u u u r g的取值范围是éö÷ê÷ëø.20.【答案】解：如图所示，设ACD a Ð=，CDB b Ð=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD b +-+-===-´´g，sin b \==()11sin sin 60sin cos60sin 60cos 27a b b b °°°æö\=-=-=--=ç÷èøg在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD a=°，21sin 15sin 60AD a \==°（千米）.\这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-u u r u u u r u u u r Q ，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--u u u r u u u r u u u r ，(1)(2)2(1)0BE CF \×=-´-+´-=u u r u u u r ，BE CF \^u u r u u u r ，即BE CF ^.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-u u r ，(2,)BP x y =-u u r ，由（1）知(2,1)CF =--u u u r ，(1,2)BE =-u u r ，FP CF u u r u u u r Q ∥，2(1)x y \-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE u u r u u r ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-ì\í=-+î解得6,58,5x y ì=ïïíï=ïî即68,55P æöç÷èø.222268455AP AB æöæö\=+==ç÷ç÷èøèøu u u r u u u r ，||||AP AB \=u u u r u u u r ，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x p ö=×=-+=+=÷øab 1sin 22sin 223x x x p æö-+=-+ç÷èø,2x p p éùÎêúëûQ，252333x p p p \-≤，1sin 23x p æö\--ç÷èø≤，\当3232x p p -=，即1112x p =时，()f x 取得最小值1，当2233x p p -=，即2x p =时，()f x .（2）由（1）得()sin 23f x x p æö=-+ç÷èø()sin 423g x f x x p p p æöæö\==-ç÷ç÷èøèø4T \=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g \+++=+++==+++L .又(1)(2)(3)(4)g g g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g \++++=´++=L=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ÎZ 时，由图象可知，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++ÎZ ＜≤时，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++ÎZ ≤≤时，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋1，a1＝1，则此数列的第3项是()A．13B．10C．7D．42．{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12D．2C．123．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝()A．15B．30C．32D．774．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝()A．－63B．－21C．21D．635．函数f(x)＝xx2＋1的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)6．数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．127．函数f(x)＝ln xx＋1的图象大致是()8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程可能是()A ．3x ＋y ＝0B ．24x －y －54＝0C ．9x －y －24＝0D ．12x －y －24＝010．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|<|a 5|11．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{a n }称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等方差数列C ．{(－1)n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列12．设f (x )＝x a ·cos x ，x ∈π6，π3的最大值为M ，则()A ．当a ＝－1时，M <3B ．当a ＝2时，M <33C ．当a ＝1时，M >32D ．当a ＝3时，M <12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________.14.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0，则实数a ＝________.15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)，则q ＝______；若a 1与a 5的等差中项为8，则p ＋q ＝________.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.(1)求该数列中a2的值；(2)求该数列的通项公式a n.18.(12分)(1)求曲线y＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．19.(12分)设f(x)＝a ln x＋12x－32x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．20.(12分)设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)，a3＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)n项和．21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝13，a na n＋1＝2a n＋1(n∈N*且n≥2)．(1)(2)n项和T n.22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，则此数列的第3项是()A ．13B ．10C ．7D ．4A解析：因为a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3a 1＋1＝3×1＋1＝4，所以a 3＝3a 2＋1＝3×4＋1＝13.故选A ．2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝()A ．－2B ．－12C ．12D ．2B解析：∵a 7－2a 4＝－1，∴a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，∴d ＝－12.3．已知函数f (x )＝3x 2＋2，则f ′(5)＝()A ．15B ．30C ．32D ．77B解析：依题意f ′(x )＝6x ，所以f ′(5)＝30.故选B ．4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则S 6＝()A ．－63B ．－21C ．21D ．63B解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，1＋a 1q ＝－1，1－a 1q 2＝－3，1＝1，＝－2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－643＝－21.故选B ．5．函数f (x )＝xx 2＋1的单调递增区间是()A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)B解析：f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝x 2＋1－2x ·x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2＝(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，所以当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(－1,1)．故选B ．6．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是()A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：数列{log 2a n }是以0为首项，公差为1的等差数列，log 2a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，a n＝2n －1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1>1025，2n >1026.因为210＝1024,211＝2048，所以，最小n 值是11.选C ．7．函数f (x )＝ln xx ＋1的图象大致是()C解析：由f (x )＝ln xx ＋1，得f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2(x >0)．令g (x )＝1＋1x－ln x ，则g ′(x )＝－1x 2－1x ＝－1＋x x 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1＋1e 2－ln e 2＝1e 2－1<0，所以存在x 0∈(e ，e 2)，使得g (x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．故选C ．8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝1x＋a＝0，得a≠0，x＝－1a.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－1a<1且a<0，所以a<－1.故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是()A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0C．9x－y－24＝0D．12x－y－24＝0AB解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x20－3，y0＝x30－3x0.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是() A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|<|a5|AC解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．11．在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a n}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列ACD解析：对于A，{a n}是等方差数列，可得a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a2n}是首项为a21，公差为d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a2n－a2n－1＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D,数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k…，a2k，…，数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，….∵a2kn＋k－a2kn＋k－1＝a2kn＋k－1－a2kn＋k－2＝…＝a2kn＋1－a2kn＝p，∴a2kn＋k－a2kn＝(a2kn＋k－a2kn＋k－1)＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k－2)＋…＋(a2kn＋1－a2kn)＝kp，∴a2k(n＋1)－a2kn＝kp,所以，数列{a kn}是等方差数列，故D 正确．故选ACD．12．设f(x)＝x a·cos x，x∈π6，π3的最大值为M，则()A．当a＝－1时，M<3B．当a＝2时，M<33C．当a＝1时，M>32D．当a＝3时，M<12AB解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝cos xx在区间π6，π3上递减，所以M＝cosπ6π6＝33π<3，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－xtanx)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，即M＝π218<33，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，x<tan x恒成立，所以f(x)＝x cos x<tan x cos x＝sin x≤32，所以M<32，故选项C 错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，∴M＝12·>12，故选项D错误．故选AB．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，S99－S55＝－4，则a n＝________.－2n＋11解析：设公差为d，因为S99－S55＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.－2解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.02解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝(a1＋a5)×52＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．－1解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0，当x ＝0时，可得0≤b ≤1，结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0.令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0.又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ′′(x )＝12x 2－6x ，令f ′′(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在0，12上递减，在12，＋∞上递增．又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ＜0，f ′(1)＝1＋a ≥0.又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点．故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1.所以ab ＝－1.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解：(1)由等差数列性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7.(2)设等差数列公差为d ，∴a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2·(a 2＋d )＝7(7－d )(7＋d )＝7(49－d 2)＝231.解得d ＝±4，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ，即a n ＝4n －1或a n ＝－4n ＋15.18.(12分)(1)求曲线y ＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)当x ＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.(2)设切点为x 0，1x 0，则切线的斜率为－1x 20，∴切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，∵切线过点(4,0)，∴－1x 0＝－1x 20(4－x 0)，解得x 0＝2，∴所求切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.19.(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2－32.由f ′(1)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.(2)由(1)可知，f (x )＝2ln x ＋12x －32x ＋1，f ′(x )＝－(3x －1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝1，又因为函数f (x )定义域为(0，＋∞)，所以f (x )(1，＋∞)故f (x )的极大值为f (1)＝0，f (x )的极小值为2－2ln 3.20.(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝1，所以a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知1a n a n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝n 项和S n …＋＋13－12n ＋1－＝13－n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3).21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)(2)n 项和T n .(1)证明：因为a na n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＝a n ＋1＋2a n a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)，且1a 2－1a 1＝2，1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)得1a n ＝2n －1，3na n ＝(2n －1)3n ，则T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)3n ①，3T n ＝1×32＋…＋(2n －3)3n ＋(2n －1)3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋2(32＋…＋3n )－(2n －1)3n ＋1＝3＋2×9×(1－3n －1)1－3－(2n －1)3n ＋1＝2(1－n )3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)3n ＋1＋3.22.(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x 的导数为f ′(x )＝e x (2－x 2)．由f′(x)＞0，解得－2<x<2，由f′(x)＜0，解得x＜－2或x> 2.即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2)．(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·e x的导数为f′(x)＝e x[a－x2＋(a－2)x]．由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，即为a－x2＋(a－2)x≥0，即有x2－(a－2)x－a≤0，则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥3 2，则a的取值范围为3 2，＋。

人教A 版必修第二册各章综合测验第六章平面向量及其应用 ............................................................................................... 1 第七章复数 ..................................................................................................................... 14 第八章立体几何初步 ..................................................................................................... 22 第九章统计 ..................................................................................................................... 36 第十章概率 (49)第六章平面向量及其应用(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → ＝( ) A ．2CD → ＋CA → B ．CD → －2CA →C ．2CD → －CA → D ．CD → ＋2CA→ 【解析】选C.在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → ＝CD → ＋DB → ＝CD → ＋AD → ＝CD → ＋(AC → ＋CD → )＝2CD → －CA → .2．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(0，2)，且λa ＋μb ＝(2，8)，则λ－μ＝( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 【解析】选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(0，2)， 所以λa ＋μb ＝(λ，λ＋2μ)， 因为λa ＋μb ＝(2，8)，所以(λ，λ＋2μ)＝(2，8)，所以λ＝2，μ＝3， 所以λ－μ＝－1.3．向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(x ，1)，若3a －b 与c 共线，则x ＝( ) A ．1 B ．－3 C ．－2 D ．－1【解析】选D.向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(x ，1)，则3a －b ＝(1，－1)，又3a －b 与c 共线，则1×1－(－1)·x＝0，解得x ＝－1.4．(2021·宁波高一检测)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．4D ．12 【解析】选B.因为a ＝(2，0)，|b |＝1 所以|a |＝2，a·b ＝2×1×cos 60°＝1 所以|a ＋2b |＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝2 35．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A ．62 B ．63 C ．12 D ．32【解析】选B.A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， 故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝csin C， 即b ＝c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60° ＝63. 6．如图所示，下列结论正确的是( )①PQ → ＝32 a ＋32 b ；②PT → ＝32 a －b ；③PS → ＝32 a －12 b ；④PR → ＝32a ＋b .A ．①② B．③④ C．①③ D．②④【解析】选C.①根据向量的加法法则，得PQ → ＝32 a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT → ＝32 a －32 b ，故②错误；③PS → ＝PQ → ＋QS → ＝32 a ＋32 b －2b ＝32 a －12 b ，故③正确；④PR → ＝PQ → ＋QR →＝32 a ＋32 b －b ＝32 a ＋ 12b ，故④错误． 7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力f 4，则f 4＝( ) A ．(－2，－2) B ．(2，－2) C ．(－1，2)D ．(－2，2)【解析】选D.由物理知识，知物体平衡，则所受合力为H ，所以f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(－2，2).8．(2021·济宁高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若 tan C ＝7 ，cos A ＝528 ，b ＝3 2 ，则△ABC 的面积为( ) A ．37B ．372C ．374D ．378【解析】选B.因为tan C ＝sin C cos C ＝7 且sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝144，cos C ＝24 .又cos A ＝528 ，所以sin A ＝1－cos 2A ＝148 ，故sin B ＝sin [π－(A ＋C)]＝sin (A ＋C) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝378. 因为a sin A ＝b sin B ，b ＝3 2 ，故a ＝b sin A sin B ＝2，S △ABC ＝12 ×ab sin C＝12 ×2×3 2 ×144 ＝372.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cD ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )【解析】选BD.a ∥b 且b ∥c ，当b 为零向量时，则a 与c 不一定共线，即A 错误；由向量乘法的分配律可得：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ，即B 正确； 因为a ·b ＝a ·c ，则a·(b ＋c )＝0， 又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b ＋c )，即C 错误；向量加法满足结合律，即：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，即D 正确．10．(2021·青岛高一检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a －b )·(2b －c )的值可能为( ) A ．－2 B ．3－ 3 C ．0D ．－ 2【解析】选ACD.|a|＝|b|＝|c|＝1，a ·b ＝12 ，则cos θ＝12 ，θ＝60°，所以|b －a|＝a 2＋b 2－2a·b ＝1，则(a －b )·(2b －c )＝2a·b －a·c －2b 2＋b·c ＝1－2＋c·(b －a )＝－1＋cos α，其中α为c 与b －a 的夹角，且α∈[0，π]，因为cos α∈[－1，1]， 所以cos α－1∈[－2，0].11.(2021·南通高一检测)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP → ＝xOA → ＋yOB → ()x ，y∈R ，则下列结论正确的为( )A ．当x ＝0时，y∈[]2，3B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12 ，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x －y 的最大值为－1【解析】选BCD.当x ＝0时，OP → ＝yOB → ，则P 在线段BE 上，故1≤y≤3，故A错．当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12 (EB → ＋BC → )＝3OB→ ＋12 (－2OB → ＋AB →) ＝－12 OA → ＋52OB →，故B 对．x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对．如图，过P 作PM∥AO，交OE 于M ，作PN∥OE，交AO 的延长线于N ，则：OP → ＝ON → ＋OM → ；又OP → ＝xOA → ＋yOB → ；所以x≤0，y≤1；由图形看出，当P 与B 重合时，OP →＝0·OA → ＋1·OB → ；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x －y 取最大值－1，故D 正确． 12．(2021·怀化高一检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，cos 2A－cos2B－cos2C＝cosA cos B＋cos C－cos 2B且c＝ 3 ，则下列结论中正确的是( )A．C＝π3B．C＝2π3C．△ABC面积的最大值为3 4D．△ABC面积的最大值为33 4【解析】选BC.因为cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcos B＋cos C－cos 2B，所以(1－sin2A)－(1－sin2B)－(1－sin2C)＝cosA cos B－cos (A＋B)－(1－2sin2B)，所以sinA sin B＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，可得cosC＝－12，可得C＝2π3，故A错误；B正确；又c＝ 3 ，可得3＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以S△ABC ＝12ab sin C≤12×1×32＝34，故C正确；D错误．三、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a＝(2，－2)，b＝(x，2)，若a·b＝6，则x＝____________．【解析】因为a＝(2，－2)，b＝(x，2)，所以a·b＝2x－4，又因为a·b＝6，所以2x－4＝6，解得x＝5.答案：514．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若2a sin B ＝ 3 b ，b ＋c ＝5，bc ＝6，则a ＝__________． 【解析】因为2a sin B ＝ 3 b ， 所以2sin A sin B ＝ 3 sin B. 所以sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＝12 ，因为bc ＝6，b ＋c ＝5， 所以b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32－2×6×12 ＝7，所以a ＝7 .答案：715．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点．若AD → ·EB → ＝2，则AB → 的模为__________．【解析】因为在平行四边形ABCD 中，EB → ＝EC → ＋CB → ＝12 DC → －BC → ，又DC → ＝AB → ，BC → ＝AD → ， 所以EB → ＝12AB → －AD → ，所以AD → ·EB → ＝AD → ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD → ＝12 AB → ·AD → －AD → 2＝12 |AB → ||AD→ |cos 60°－|AD → |2＝14 |AB → |－1＝2，所以|AB → |＝12. 答案：1216．(2021·天津高一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若m ＝()b －c ，a －b ，n ＝()sin C ，sin A ＋sin B ，且m ⊥n ，则A ＝________；若△ABC 的面积为2 3 ，则△ABC 的周长的最小值为____________．【解析】由条件可知m ·n ＝()b －c sin C ＋()a －b ()sin A ＋sin B ＝0， 由正弦定理可得()b －c c ＋()a －b ()a ＋b ＝0， 所以bc －c 2＋a 2－b 2＝0即bc ＝b 2＋c 2－a 2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12 ，因为0<A<π，所以A ＝π3； S ＝12 bc sin A ＝34 bc ＝2 3 ，解得bc ＝8， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc≥2bc－bc ＝8即a≥2 2 ，当b ＝c ＝2 2 时，等号成立，b ＋c≥2bc ＝4 2 ，当b ＝c 时等号成立， 所以a ＋b ＋c≥2 2 ＋4 2 ＝6 2 ， 当b ＝c 时，a ＋b ＋c 时取得最小值6 2 . 答案：π3 6 2四、解答题(共70分)17．(10分)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求： (1)2AB → ＋AC → 的模；(2)cos ∠BAC. 【解析】(1)如图，AB →＝(－1，1)，AC → ＝(1，5)，故2AB → ＋AC → ＝(－2，2)＋(1，5)＝(－1，7)， 故|2AB → ＋AC → |＝ （－1）2＋72＝5 2 ； (2)cos ∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝（－1，1）·（1，5）1＋1 1＋52＝－1＋5 2×26＝2 1313. 18．(12分)如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB → ＝a ，AD → ＝b ，试用a ，b 表示DC → ，BC → ，MN →.【解析】由题意知四边形ANCD 是平行四边形． 则DC → ＝AN →＝12 AB → ＝12a ，BC →＝NC → －NB → ＝AD → －12 AB → ＝b －12 a ，MN → ＝CN → －CM → ＝－AD →－12 CD →＝－AD → －12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＝14a －b .19．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/时).(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，所以sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.20．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac＝ 3 ，②c sin A＝3，③c＝ 3 b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝ 3sin B，C＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选条件①ac＝ 3 .在△ABC中，sin A＝ 3 sin B，即b＝33a，ac＝ 3 ，所以c＝3a，cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋a23－3a223a23＝32，所以a＝ 3 ，b＝1，c＝1. 选条件②c sin A＝3.在△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin π6＝3，所以a＝6.因为sin A＝ 3 sin B，即a＝ 3 b，所以b＝2 3 ，cos C＝a2＋b2－c22ab＝36＋12－c22×6×23＝32，所以c＝2 3 ，选条件③c＝ 3 b.由sin A＝ 3 sin B可得a＝ 3 b，又c＝ 3 b，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝36≠cosπ6，与已知条件C＝π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．21．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ 3 ac.(1)求角B的大小；(2)若2b cos A＝ 3 (c cos A＋a cos C)，BC边上的中线AM的长为7 ，求△ABC【解析】(1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32 ，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6. (2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝ 3 (c cos A ＋a cos C)，可得2sin B cos A ＝ 3 (sin C cos A ＋sin A cos C)， 即2sin B cos A ＝ 3 sin B ， 因为sin B≠0，所以cos A ＝32， 所以A ＝π6， 于是C ＝π－A －B ＝2π3.设AC ＝m ，则BC ＝m ，AB ＝ 3 m ，CM ＝12m ，由余弦定理可知AM 2＝CM 2＋AC 2－2CM·AC·cos 2π3，即(7 )2＝14 m 2＋m 2－2·12 m·m·(－12 )＝74m 2，解得m ＝2. 于是S △ABC ＝12 CA·CB sin 2π3 ＝12 ×2×2×32＝ 3 .22．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sinA ＋C2＝(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sinA ＋C2＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以sinA ＋C2＝sin B. 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2 ＝cos B2， 故cos B 2 ＝2sin B 2 cos B2.因为cos B 2 ≠0，故sin B 2 ＝12 ，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝12 ac sin B ＝34 a. 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A<90°，0°<C<90°， 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C<90°，tan C ＞33 ，故12 <a<2，从而38 <S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32 .第七章复数(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分) 1．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A ．12 iB ．－12 iC ．12D ．－12【解析】选C.i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ） ＝1＋i 2 ＝12 ＋12i. 2．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y∈R ，则复数x ＋yi ＝( ) A ．－2＋i B ．1－2i C ．2＋iD ．1＋2i【解析】选C.(x －i)i ＝y ＋2i 即xi ＋1＝y ＋2i ，故y ＝1，x ＝2， 所以复数x ＋yi ＝2＋i.3．设z 1＝－3＋4i ，z 2＝2－3i ，其中i 为虚数单位，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】选B.因为z 1＝－3＋4i ，z 2＝2－3i ， 所以z 1＋z 2＝－3＋4i ＋2－3i ＝－1＋i ，所以z 1＋z 2在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．4．(2021·舟山高一检测)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i【解析】选B.由题意，复数z1＋i＝2＋i ，可得z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，所以z ＝1－3i.5．如图，在复平面内，向量OP → 对应的复数是1－i ，将OP → 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A.1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i【解析】选 D.要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P ＝＋，从而可求P 0对应的复数．因为00O P ＝OP → ，0OO 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.6．已知a ，b∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i【解析】选D.由a －i 与2＋bi 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.7．如果一个复数和它的模的和为5＋ 3 i ，那么这个复数是( ) A ．115B ． 3 iC ．115 ＋ 3 iD ．115＋2 3 i【解析】选C.设这个复数为a ＋bi(a ，b∈R ). 由题意得a ＋bi ＋a 2＋b 2 ＝5＋ 3 i ，即a ＋a 2＋b 2 ＋bi ＝5＋ 3 i ，由复数相等可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3， 解得⎩⎨⎧a ＝115，b ＝3，所以复数为115＋ 3 i.8．设复数z ＝cos x ＋isin x ，则函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z 的部分图象可能是( )【解析】选A.f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x ＋isin x ＋1cos x ＋isin x ＝2|cos x|，所以f(x)的图象为A.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．已知复数z ＝21－i，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为iB ．|z|2＝2C ．z 2为纯虚数D ．z ＝－1＋i【解析】选BC.因为复数z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，则z 的虚部为1，A 不正确．|z|2＝2，B 正确．z 2＝(1＋i)2＝2i 为纯虚数，C 正确．z ＝1－i ，D 不正确．10．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值不能为( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2【解析】选CD.因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2＋4＝4＋1，解得a ＝±1.11．已知z 1与z 2是共轭虚数，有下列4个命题，其中一定正确的有( ) A ．z 21 <|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈RD ．z 1z 2∈R 【解析】选BC.z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋bi ，z 2＝a －bi(a ，b∈R ，b≠0). A ．z 21 ＝a 2－b 2＋2abi ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确； B ．z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； C ．z 1＋z 2＝2a∈R ，正确；D ．z 1z 2 ＝a ＋bi a －bi ＝（a ＋bi ）2（a －bi ）（a ＋bi ） ＝a 2－b 2a 2＋b 2 ＋2ab a 2＋b 2 i 不一定是实数，因此不一定正确．12．设i 为虚数单位，复数z ＝(a ＋i)(1＋2i)，则下列命题正确的是( ) A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2C ．实数a ＝－12 是z ＝z (z 为z 的共轭复数)的充要条件D ．若z ＋|z|＝x ＋5i(x∈R )，则实数a 的值为2 【解析】选ACD ．z ＝(a ＋i)(1＋2i)＝a －2＋(1＋2a)i ， 所以选项A ：z 为纯虚数，有⎩⎨⎧a －2＝0，1＋2a≠0可得a ＝2，故正确；选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有⎩⎨⎧a －2<0，1＋2a<0 解得a<－12 ，故错误；选项C ：a ＝－12 时z ＝z ＝－52 ；z ＝z 时1＋2a ＝0即a ＝－12 ，它们互为充要条件，故正确；选项D ：z ＋|z|＝x ＋5i(x∈R )时，有1＋2a ＝5即a ＝2，故正确． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________． 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ） ＝（6＋14）－5i 12－（2i ）2 ＝20－5i5 ＝4－i.答案：4－i 14．若1＋ai1－i＝2－i(其中i 是虚数单位)，则实数a ＝________. 【解析】因为1＋ai1－i＝2－i ，所以1＋ai ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ，所以a ＝－3. 答案：－315．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1－b 的最小值为________． 【解析】因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数，所以2a ＋b ＝2，所以4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1 ＝222a ＋b －1 ＝2 2 .当且仅当a ＝14 ，b ＝32 时取等号．答案：2 216．已知2＋i ，2－i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0在复数范围内的两个根，则p ＝________，q ＝________．【解析】由题意得(2＋i)＋(2－i)＝－p ，(2＋i)(2－i)＝q ，所以p ＝－4，q ＝5.答案：－4 5 四、解答题(共70分)17．(10分)计算：(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i；(2)4＋5i（5－4i ）（1－i ）. 【解析】(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i ＝（2＋i ）（－2i ）1－2i＝2（1－2i ）1－2i＝2.(2)4＋5i （5－4i ）（1－i ） ＝（5－4i ）i （5－4i ）（1－i ） ＝i1－i ＝i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ） ＝i －12 ＝－12 ＋12i. 18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a∈R ，当a 取何值时，(1)z∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 是零． 【解析】(1)z∈R ，只需a 2－7a ＋6＝0， 所以a ＝1或a ＝6.(2)z 是纯虚数，只需⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，所以a ＝－2.(3)因为z ＝0，所以⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，所以a ＝1.19．(12分)已知z 1＝m 2＋1m ＋1 i ，z 2＝(2m －3)＋12i ，m∈R ，i 为虚数单位，且z 1＋z 2是纯虚数． (1)求实数m 的值； (2)求z 1·z 2的值．【解析】(1)z 1＋z 2＝(m 2＋2m －3)＋(1m ＋1 ＋12)i ，因为z 1＋z 2是纯虚数所以⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝01m ＋1＋12≠0解得m ＝1.(2)由(1)知z 1＝1＋12 i ，z 2＝－1＋12 i ，所以z 2＝－1－12i ，所以z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－12i＝－1－12 i －12 i ＋14 ＝－34－i.20．(12分)已知复数z 1＝m ＋(m 2－2m)i ，z 2＝1＋(－m 2＋3m －1)i ，其中x∈R . (1)若复数z 1为实数，求m 的值； (2)求|z 1＋z 2|的最小值．【解析】(1)由复数z 1为实数，则m 2－2m ＝0，解得m ＝2或m ＝0. (2)因为z 1＋z 2＝(m ＋1)＋(m －1)i ， 所以|z 1＋z 2|＝（m ＋1）2＋（m －1）2 ＝2m 2＋2 ，当m ＝0时，故|z 1＋z 2|的最小值为 2 . 21．(12分)已知x 2－(3－2i)x －6i ＝0. (1)若x∈R ，求x 的值； (2)若x∈C ，求x 的值． 【解析】(1)x∈R 时，由方程得(x 2－3x)＋(2x －6)i ＝0. 则⎩⎨⎧x 2－3x ＝0，2x －6＝0， 得x ＝3. (2)x∈C 时，设x ＝a ＋bi(a ，b∈R )，代入方程整理，得(a 2－b 2－3a －2b)＋(2ab －3b ＋2a －6)i ＝0.则⎩⎨⎧a 2－b 2－3a －2b ＝0，2ab －3b ＋2a －6＝0， 得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－2 或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝0.故x ＝3或x ＝－2i.22．(12分)若z∈C ，4z ＋2z ＝3 3 ＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ为实数)，i 为虚数单位． (1)求复数z ；(2)求|z －ω|的取值范围．【解析】(1)设z ＝a ＋bi(a ，b∈R )，则z ＝a －bi ， 所以4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝3 3 ＋i ， 即6a ＋2bi ＝3 3 ＋i ，所以⎩⎨⎧6a ＝33，2b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12，所以z ＝32 ＋12i. (2)|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sin θ－icos θ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θi＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6 .因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6 ≤1，所以0≤2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ≤4，所以0≤|z－ω|≤2，故|z －ω|的取值范围是[0，2].第八章立体几何初步(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( ) A ．23 B ．76 C ．45 D ．56【解析】选D.棱长为1的正方体的体积为1，8个三棱锥的体积为8×13 ×12 ×12×12 ×12 ＝16 ，所以剩下的几何体的体积为1－16 ＝56. 2．如图，α∩β＝l ，A ，B∈α，C∈β，C ∉l ，直线AB∩l＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不通过点MD ．点C 和点M【解析】选D.通过A ，B ，C 三点的平面γ，即通过直线AB 与点C 的平面，因为M∈AB，所以M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，所以γ和β的交线必通过点C 和点M.3．已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3 B ．2 2 C ．32 D ．34【解析】选A.由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×3 2＝ 3 ，由图易得AO⊥BC，所以S△ABC ＝12×2× 3 ＝ 3 .4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5 －1和3，则此组合体的外接球的表面积是( )A．16π B．20π C．24π D．28π【解析】选B.设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则：OO21＋12＝R2，而OO1＝ 5 ＋2－R，故R2＝1＋( 5 ＋2－R)2，所以R＝ 5 ，所以S＝4πR2＝20π.5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为( )A.22B． 3 C．12D．32【解析】选C.过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝52＋24＝ 3 ，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝ 3 ，所以cos ∠AFH＝12 .6．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【解析】选D.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故排除A；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n⊂α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n⊂α，m⊂α，则m与α不垂直，故排除C.7．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】选B.作AE⊥BD，交BD于E，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥面BCD，BC⊂面BCD.所以AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC，又因为AE∩AD＝A，所以BC⊥面ABD，而AB⊂面ABD，所以BC⊥AB即△ABC为直角三角形．8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2 ，BD⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )A.A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′­BCD的体积为1 3【解析】选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′­BCD ＝VC­A′BD＝16，D不正确．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积不可能是( )A． 2 π B．(1＋ 2 )πC．2 2 π D．(2＋ 2 π)【解析】选CD.若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l＝ 2 ，这时表面积为12×2π·1·l＋π·12＝(1＋ 2 )π；若绕斜边旋转一周时，旋转体为两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为2 2，两个圆锥的母线长都为1，所以表面积S＝2×12×2π·22×1＝ 2 π，综上所述该几何体的表面积为 2 π或(1＋ 2 )π.故选项CD符合题意．10.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是( )A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1【解析】选ACD.连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C，D正确．11．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )A.直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8D．点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，因为AM与DD1不垂直，所以AF与DD1不垂直，故A选项错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为98，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．12．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P­BC­A的大小为45°D．BD⊥平面PAC【解析】选ABC.如图所示，A.取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD 相交于点O.因为侧面PAD为正三角形，所以PM⊥AD.又底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD 是等边三角形． 所以AD⊥BM.又PM∩BM＝M. 所以AD⊥平面PMB ，因此A 正确． B ．由A 可得：AD⊥平面PMB ，所以AD⊥PB，所以异面直线AD 与PB 所成的角为90°，正确． C ．因为平面PBC∩平面ABCD ＝BC ，BC∥AD， 所以BC⊥平面PBM ，所以BC⊥PB，BC⊥BM. 所以∠PBM 是二面角P­BC­A 的平面角， 设AB ＝1，则BM ＝32 ＝PM ，在Rt△PBM 中，tan ∠PBM＝PMBM＝1， 所以∠PBM＝45°，因此正确． D ．因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，因此D 错误． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC ­A 1B 1C 1与四棱锥P­ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1＝________．【解析】设AB ＝a ，在△ABC 中AB 边所对的高为b ，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高为h ， 则V 1＝12 abh ，V 2＝13 ×ah·b，所以V 2V 1 ＝13abh 12abh ＝23.答案：2314．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________cm.【解析】设上、下圆柱的半径分别是r cm ，R cm ，高分别是h cm ，H cm.由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H)＝πr 2h ＋πR 2(28－h)，又r ＝1，R ＝3，故H ＋h ＝29.即这个简单几何体的总高度为29 cm. 答案：2915．如图所示，ABCD­A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．【解析】长方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，因为AB∥A 1B 1，A 1B 1与A 1C 1所成的角，就是AB 与A 1C 1所成的角， 所以AB 与A 1C 1所成的角为30°，因为AA 1∥BB 1，BB 1与B 1C 所成的角就是AA 1与B 1C 所成的角，连接AC ，则AC∥A 1C 1， 所以∠BAC＝30°，因为AA 1＝a ，∠BAB 1＝30°，所以AB ＝ 3 a ，所以BC ＝a ，所以∠BB 1C ＝45°， 所以AA 1与B 1C 所成的角为45°. 答案：30° 45°16．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1B1的中点，P在AD上，若平面CMN⊥平面A1BP，则ADAP＝________．【解析】因为M，N分别是AB，A1B1的中点，所以AA1∥MN.根据正方体的性质可得MN⊥面ABCD，即可得MN⊥PB.当P为AD中点时，CM⊥PB，又CM∩MN＝M.所以PB⊥面NMC，即可得平面CMN⊥平面A1BP.则ADAP＝2.答案：2四、解答题(共70分)17．(10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P­EFGH，下半部分是长方体ABCD­EFGH.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥P­EFGH的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积．【解析】(1)该安全标识墩的体积V＝VP­EFGH ＋VABCD­EFGH＝13×402×60＋402×20＝64000 cm3.(2)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合图象可知OP＝60 cm，OG＝12EG＝20 2 cm，可得PG＝602＋（202）2＝2011 cm.于是四棱锥P­EFGH的侧面积S1＝4×12×40×（2011）2－202＝1 60010 cm2，四棱柱EFGH­ABCD的侧面积S2＝4×40×20＝3 200 cm2，故该安全标识墩的侧面积S＝S1＋S2＝1 600(10 ＋2) cm2.18．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝ 2 ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求这个四棱锥的体积．【解析】(1)在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.(2)因为PA＝PD＝ 2 ，AO＝1，所以PO＝AP2－AO2＝2－1 ＝1所以V＝13×PO×S四边形ABCD＝13×1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋22×1＝12.19．(12分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【解析】(1)因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，所以AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.20．(12分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．(1)求证：BC1⊥平面A1C1CA；(2)求证：平面EFP⊥平面BCC1B1 .【证明】(1)因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1C A∩平面BCC1B1＝CC1，BC1⊥C1C，所以BC1⊥平面A1C1CA.(2)因为P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．所以PF∥AA1，PE∥AC，因为PF∩PE＝P，AA1∩AC＝A，所以平面EFP∥平面A1C1 CA，因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，所以平面EFP⊥平面BCC1B1 .21．(12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36 2 ，求a的值．【解析】(1)在图①中因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.因为BC＝12AD＝ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．由图①知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝36 2 ，得a＝6.22．(12分)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝π3，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝14BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D­CEG的体积；若不存在，请说明理由．【解析】(1)连接PF，因为△PAD是等边三角形，所以PF⊥AD.因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝π3，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG⊥平面ABCD. 由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D ， 所以BF⊥平面PAD. 又BF ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD⊥平面PAD ，又平面ABCD∩平面PAD ＝AD ，且PF⊥AD， 所以PF⊥平面ABCD.连接CF 交DE 于点H ，过H 作HG∥PF 交PC 于G ，所以GH⊥平面ABCD. 又GH ⊂平面DEG ， 所以平面DEG⊥平面ABCD. 因为AD ∥BC，所以△DFH∽△ECH， 所以CH HF ＝CE DF ＝12 ，所以CG GP ＝CH HF ＝12 ，所以GH ＝13 PF ＝33 ，所以V D­CEG ＝V G­CDE ＝13 S △CDE ·GH＝13 ×12 DC·CE·sin π3 ·GH＝112.第九章统计(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( ) A．9 B．10 C．12 D．13【解析】选D.n＝3＋120×360＋80×360＝13.2．某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟．结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为( )A．98分钟 B．90分钟 C．88分钟 D．85分钟【解析】选 C.由分层抽样的性质可得抽取男生100×400400＋600＝40人，女生100×600400＋600＝60人，则样本中学生每天运动时间的平均值x＝40×100＋60×80100＝88(分钟)，故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟．3．若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn，下列结论正确的是( )A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4 C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8【解析】选D.样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，所以样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn的平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8.4．某工厂12名工人的保底月薪如下表所示，第80百分位是( )工人保底月薪工人保底月薪1 2 890 7 2 8502 2 860 83 1303 3 050 9 2 8804 2 940 10 3 3255 2 755 11 2 9206 2 710 12 2 950A.3 050 B．2 950 C．3 130 D．3 325【解析】选A.把这组数据从小到大排序：2 710，2 755，2 850，2 860，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325，所以i＝n×p%＝12×80%＝9.6，所以第80百分位是3 050.5．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为( )A.2 800 B．3 000 C．3 200 D．3 400【解析】选D.高一年级交稿2 000份，在总交稿数中占比80360＝29，所以总交稿数为2 000÷29＝9 000，高二年级交稿数占总交稿数的144360＝25，所以高三年级交稿数占总交稿数的1－2 9－25＝1745，所以高三年级交稿数为9 000×1745＝3 400.6．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3，21，17，19，36，8，32，24，则该班学生总数最可能为( )A.39人B．49人C.59人D．超过59人【解析】选A.因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以1～10，11～20，21～30，31～40，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3，8，17，19，21，24，32，36，恰好使1～10，11～20，21～30，31～40四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右．7．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[10，15)和[25，30)为二等品，在区间[10，15)和[30，35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是( )A.0.03 B．0.05C.0.15 D．0.25【解析】选D.在区间[10，15)和[30，35)为三等品，由频率分布直方图得在区间[10，15)和[30，35)的频率为(0.02＋0.03)×5＝0.25，所以从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25.8．“一世”又叫“一代”．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”．而当代中国学者测算“一代”平均为25年．另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便，超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为( )A.23年 B．22年 C．21年 D．20年【解析】选B.设“一代”为x年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，所以家族企业的平均寿命为：0.54×0.5x＋0.28×1.5x＋0.14×2.5x＋0.04×3.5x＝26，解得x≈22.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．某旅行社调查了所在城市20户家庭2020年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的( )A.众数是1.4 B．中位数是1.5C.中位数是1.6 D．众数是1.62【解析】选AB.依题意可得这组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5.10．某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是( )A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩C.甲班学生比乙班学生发挥稳定D.甲班不及格率高于乙班不及格率【解析】选ABC.A.因为每个班的总人数不确定，故无法比较；B.甲班及格人数占比80%，乙班及格人数占比90%，故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；C.无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；D.甲班不及格率为20%，乙班不及格率为10%，故D 正确．11．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x ，s 2，新平均分和新方差分别为x 1，s 21 ，若此同学的得分恰好为x ，则( ) A.x ＝x 1 B ．s 2<s 21 C.s 2>s 21D ．s 2＝s 21【解析】选AC.设这个班有n 个同学，分数分别是a 1，a 2，a 3，…，a n ，假设第i 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是()n －1 x ，方差为s 2＝1n －1。

综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对于数列1,37,314,321,…,398是这个数列的()A.不在此数列中B.第13项C.第14项D.第15项答案:D2.已知等差数列{a n},且a1+a2+a3+a4=10,a13+a14+a15+a16=70,则前16项的和等于()A.140B.160C.180D.200解析:∵a1+a2+a3+a4+a13+a14+a15+a16=4(a1+a16)=80,∴a1+a16=20.∴所求和为=160.答案:B3.若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(3)的值为()A.0B.-1C.8D.-8解析:f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,则f'(1)=12-2f'(1)·1-1,得f'(1)=0.故f'(x)=x2-1,从而f'(3)=8.答案:C4.设等比数列{a n}的前6项和S6=6,且1-为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9=()A.-2B.8C.10D.14解析:由题意得2-a2=a1+a3,∴a1+a2+a3=2,又S6=6,∴a4+a5+a6=4.又{a n}为等比数列,∴S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,∴42=2(S9-S6),∴S9-S6=8,即a7+a8+a9=8.答案:B5.两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n,T n,且,则=()A. B.C. D.解析:.答案:D6.若函数f(x)=x3-ax2+ax在区间(0,1)上有极大值,在区间(1,2)上有微小值,则实数a的取值范围是()A. B.C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.解析:f'(x)=x2-2ax+a,由题意知,f'(x)=0在区间(0,1),(1,2)上都有根,则f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0,即解得1<a<.故选A.答案:A7.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)解析:设F(x)=,x>0,则F'(x)=<0,∴F(x)=在区间(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为奇函数,且f(-1)=0,∴f(1)=0,于是F(1)=0.∴在区间(0,1)上,F(x)>0;在区间(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.答案:A8.已知函数f(x)=-1+ln x,若存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,1]D.[3,+∞)解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),不等式-1+ln x≤0有解,即a≤x-x ln x在区间(0,+∞)上有解.设h(x)=x-x ln x,则h'(x)=1-(ln x+1)=-ln x.令h'(x)=0,可得x=1.由h(x)的单调性可得,当x=1时,函数h(x)=x-x ln x取得最大值1.要使不等式a≤x-x ln x在(0,+∞)上有解,只要a小于等于h(x)的最大值,即a≤1.所以选C.答案:C二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,则下列等式肯定成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.=a2a8D.=b2b8解析:A.由等差数列的性质可知2a4=a2+a6,故A肯定成立;B.b4=S8-S6=a7+a8,b2=S4-S2=a3+a4,b6=S12-S10=a11+a12,又由题意可得2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12,所以2b4=b2+b6,故B肯定成立;C.=a2a8⇔(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),整理可得a1=d,故C可能成立;D.b8=S16-S14=a15+a16,当=b2b8时,(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),即(2a1+13d)2=(2a1+5d)·(2a1+29d),得2a1=3d,这与已知≤1冲突,故D不行能成立.答案:AB10.下列函数中,存在极值点的是()A.y=2|x|B.y=-2x3-xC.y=x ln xD.y=x sin x解析:对于A,x=0是函数的微小值点;对于B,y'=-6x2-1<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于C,y'=1+ln x.令y'=0,解得x=.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.所以x=是函数的微小值点;对于D,y'=sin x+x cos x.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.又当x=0时,y'=0,所以x=0是函数的微小值点.故选ACD.答案:ACD11.已知函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,则实数m的取值可以是()A.-1B.1C.2D.3解析:设f(x)=m e x-x-2m,则f'(x)=m e x-1.要使函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,需f(x)有两个零点.当m≤0时,f'(x)=m e x-1<0,函数f(x)在R上单调递减,不行能有两个零点,不符合题意,舍去.当m>0时,由f'(x)=0得x=ln.当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,且f(0)=-m<0.所以f≤f(0)<0.又当x➝-∞,f(x)➝+∞,x➝+∞时,f(x)➝+∞,所以当m>0时,函数f(x)有两个零点,即函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,视察各选项,知m的取值可以是1,2,3.故选BCD.答案:BCD12.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是()A.f(x)的定义域是(0,+∞)B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点解析:∵f(x)=,∴ln x≠0,∴x>0,且x≠1,即f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故A错误;当x∈(0,1)时,ln x<0,∴f(x)<0.故B正确;由f(x)=,得f'(x)=.当0<x<1时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(0,1)上单调递减.设g(x)=x ln x-1,则g'(x)=ln x+1.当x>1时,g'(x)>0,则g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.又g(1)=-1<0,g(2)=2ln2-1>0,∴存在x0∈(1,2)使g(x0)=0,即f'(x0)=0.∴当1<x<x0时,g(x)<0,即f'(x)<0,当x>x0时,g(x)>0,即f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,1)和(1,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,x=x0为f(x)唯一的一个极值点.故C正确,D错误.故选BC.答案:BC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.若等差数列{a n}满意a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大.解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0.∴数列{a n}的前8项和最大.答案:814.已知周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则该圆柱体积的最大值为cm3. 解析:设矩形相邻两边长分别为x(0<x<10)cm,(10-x)cm,绕长为(10-x)cm的一边旋转得到的圆柱的体积V(x)=πx2(10-x)=10πx2-πx3,则V'(x)=20πx-3πx2.令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=.当x∈时,V'(x)>0,V(x)在区间上单调递增;当x∈时,V'(x)<0,V(x)在区间上单调递减,因此当x=时,V(x)取得最大值为cm3.答案:15.设直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2的三个交点分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),其中a<b<c,则实数m 的取值范围是,a2+b2+c2的值为.解析:设f(x)=x(x-2)2,则f'(x)=3x2-8x+4.令f'(x)=0,解得x=或x=2.由f(x)的单调性,得f(x)的极大值为f,微小值为f(2)=0.若直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2有三个交点,则0<m<,即m的取值范围为.设g(x)=f(x)-m=x(x-2)2-m=x3-4x2+4x-m.若直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2有三个交点,且其坐标分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),则方程x3-4x2+4x-m=0有三个根,分别为a,b,c,即x3-4x2+4x-m=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc.故a+b+c=4,ab+bc+ac=4,于是a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.答案:816.数列{a n}满意:na n+2+(n+1)a n=(2n+1)·a n+1-1,a1=1,a2=6,令c n=a n cos ,数列{c n}的前n项和为S n,则S4n=.解析:∵na n+2+(n+1)a n=(2n+1)a n+1-1,∴na n+2-na n+1=(n+1)a n+1-(n+1)a n-1,∴.∴=1-,,,……(n≥2).上述n-1个式子相加得5-=1-,即a n+1-a n=4n+1(n≥2).又当n=1时,a2-a1=4×1+1=5也成立,∴a n+1-a n=4n+1.∴a2-a1=4×1+1,a3-a2=4×2+1,a4-a3=4×3+1,……a n-a n-1=4(n-1)+1(n≥2),上述n-1个式子相加得a n-1=(n-1)(2n+1),即a n=n(2n-1)(n≥2).又当n=1时,a1=1×(2×1-1)=1也成立,∴a n=n(2n-1).∵c n=a n cos,∴c4k-3+c4k-2+c4k-1+c4k=0-(4k-2)(8k-5)+0+4k(8k-1)=32k-10(k∈N*).∴S4n=(c1+c2+c3+c4)+(c5+c6+c7+c8)+…+(c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n)=(32×1-10)+(32×2-10)+…+(32n-10)=16n2+6n.答案:16n2+6n四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)记c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.解:(1)设等比数列{b n}的公比为q.则q==3,于是b1==1,b4=b3q=9×3=27.设等差数列{a n}的公差为d.已知a1=b1=1,a14=b4=27,由a14=a1+13d,得d==2.∴a n=a1+(n-1)d=2n-1.(2)由(1)知a n=2n-1,b n=3n-1,∴c n=a n+b n=(2n-1)+3n-1.∴{c n}的前n项和S n=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1==n2+.18.(12分)已知在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:由a1=-60,a17=-12知,等差数列{a n}的公差d==3.所以a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n≤0,即3n-63≤0,得n≤21,即{a n}中前20项是负数,从第21项起为非负数.设S n和S n'分别表示{a n}和{|a n|}的前n项和.当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n.当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+-2n2-n+1260.综上,S n'=19.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+bx+c,(1)当c=0时,f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,求a,b的值;(2)若f(x)在点A(-1,8),B(3,-24)处有极值,求f(x)的解析式.解:(1)当c=0时,f(x)=x3-2ax2+bx,则f'(x)=3x2-4ax+b.由题意得f(1)=3,f'(1)=1,即解得(2)因为f(x)=x3-2ax2+bx+c,所以f'(x)=3x2-4ax+b.由题意知-1,3是方程3x2-4ax+b=0的两根,所以解得a=,b=-9.由f(-1)=-1-2a-b+c=8,a=,b=-9,可得c=3,所以f(x)=x3-3x2-9x+3.检验知,符合题意.20.(12分)已知成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列是等比数列.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列{b n}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意得(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故数列{b n}是第3项为5,公比为2的等比数列.所以其通项公式为b n=b3·q n-3=5·2n-3.(2)证明:数列{b n}的前n项和S n==5·2n-2-,即S n+=5·2n-2.所以S1+=2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.21.(12分)设函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)求全部使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的a的值.(注:e为自然对数的底数)解:(1)函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=-2x+a=-.由于a>0,故当x∈(0,a)时,f'(x)>0,于是f(x)的单调递增区间为(0,a);当x∈(a,+∞)时,f'(x)<0,于是f(x)的单调递减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,则a≥e.由(1)知f(x)在区间[1,e]上单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只需解得a=e.因此当a=e时,e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.22.(12分)已知函数f(x)=ln x-f'(1)·x+ln ,g(x)=-f(x).(注:e为自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数h(x)=x2-x+m,若存在x1∈(0,1],对随意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.解:(1)∵f'(x)=-f'(1),∴f'(1)=1-f'(1).∴f'(1)=.∴f(x)=ln x-x+ln.∴f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.∵当0<x<2时,f'(x)>0;当x>2时,f'(x)<0,∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).(2)∵g(x)=2x--ln x-ln,∴g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=2-.∵2x2-x+2=2>0,∴当x∈(0,1]时,g'(x)>0,函数g(x)在区间(0,1]上单调递增.∴函数g(x)在区间(0,1]上的最大值为g(1)=ln2-1.∵h(x)=x2-x+m=+m-,∴h(x)在区间[1,2]上的最大值为h(2)=2+m.而“存在x1∈(0,1],对随意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在区间(0,1]上的最大值不小于h(x)在区间[1,2]上的最大值”.∴ln2-1≥2+m,解得m≤ln2-3.因此实数m的取值范围为(-∞,ln2-3].11。

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模块综合检测（时间：120分钟,满分：150分）一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则z＝错误!在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析:选B。

z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!i，其对应的点错误!位于第二象限．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α,β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B。

对于A,α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交,所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B。

3．如图所示的直观图,其平面图形的面积为( )A．3 B．6C．3错误!D。

错误!解析：选B.由直观图可得，该平面图形是直角边边长分别为4,3的直角三角形,其面积为S＝错误!×4×3＝6.4．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样法从中抽取容量为20的样本,则在一级品中抽取的比例为( ）A。

第六章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下面几个命题： ①若a b =，则||||a b =； ②若||0a =，则0a =；③若向量a ，b 满足||||=⎧⎨⎩∥a b a b ，则=a b .其中正确的个数是（ ） A .0B .1C .2D .32.化简11(28)(42)32a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）A .2a b -B .2b a -C .b a -D .a b -3.下列各组的两个向量共线的是（ ） A .1(2,3)=-a ，1(4,6)=b B .2(2,3)=a ，2(3,2)=b C .3(1,2)=a ，3(7,14)=bD .4(3,2)=-a ，4(6,4)=b4.已知λ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A .||||λλ=a a B .||||λλ=a a C .||||||λλ=a aD .||0λ>a5.已知||8AB =u u u r ，||5AC =u u u r ，则||BC u u u r的取值范围为（ ）A .[3,8]B .(3,8)C .[3,13]D .(3,13)6.下列三个说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =u u u r u u u r”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；②若=a b ，=b c ，则=a c ； ③=a b 的充要条件是||||=a b 且∥a b . 其中正确的个数是（ ） A .1B .2C .3D .07.设非零向量a ，b ，下列四个条件中，使“||||=a b a b 成立的充分条件是（ ） A .∥a bB .2=a bC .∥a b 且||||=a bD .=-a b8.如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ，μ为实数），则22λμ+=（ ）A .58B .14C .1D .5169.在ABC △中，14AN NC =u u u r u u u r ，若P 是直线BN 上的一点，且满足25AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为（ ） A .4-B .1-C .1D .410.已知D 为三角形ABC 所在平面内一点，且1132AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则BCD ABD SS =△△（ ）A .16B .13C .12D .2311.已知向量(1,2)=-a ，(, 4)x =b ，且∥a b ，则||-a b 等于（ ）A.B.C.D.12.如图，在ABC △中，0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r ，CA a =u u u r ，CB b =u u u r，已知P ，Q 分别为线段CA ，CB （不含端点）上的动点，PQ 与CG 交于点H ，且H 为线段CG 中点，若CP m =u u u r a ，CQ n =u u u r b ，则11m n+=（ ）A .2B .4C .6D .8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.在ABC △中，||||||1AB BC CA ===u u u r u u u r u u u r ，则||AB BC -=u u u r u u u r__________.14.如图所示，两根成120︒角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小是__________.15.在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则实数λμ+=__________. 16.已知向量AB u u u r ，BC u u u r ，MN u u u u r 在正方形网格中的位置如图所示，若MN AB BC λμ=+u u u u r u u u r u u u r （,λμ∈R ），则λμ=__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.[10分]平面内给定三个向量(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ， （1）求满足m n =+a b c 的实数m ，n ； （2）若()(2)k +-∥a c b a ，求实数k .18.[12分]已知在平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且12BM AB =，点N 在BC 上，且13BN BC =.求证：M ，N ，D 三点共线.19.[12分]设两个非零向量a 与b 不共线.（1）若AB a b =+u u u r ，28BC a b =+u u u r，3()CD a b =-u u u r ，求证；A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +与a kb +共线.20.[12分]已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(3,4)B 及OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r.求：（1）若点P 在第二象限，求t 的取值范围.（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.21.[12分]已知平面上三点A ，B ，C ，(2,3)BC k =-u u u r ，(2,4)AC =u u u r.（1）若A ，B ，C 三点不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； （2）若ABC △为直角三角形，求k 的值.22.[12分]已知点(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，设向量AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CA =u u u rc .（1）若m n =+a b c ，求实数m ，n 的值；（2）若2CN =-u u u r b ，3CM =u u u u r c ，求向量MN u u u u r的坐标.第六章综合测试答案一、 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】A 9.【答案】B10.【答案】B 11.【答案】B 12.【答案】C 二、13.14.【答案】10 N 15.【答案】4316.【答案】2 三、17.【答案】解：（1）因为a mb nc =+， 所以(3,2)(1,2)(4,1)(4,2)m n m n m n =-+=-++，所以43,22,m n m n -+=⎧⎨+=⎩解得5,98.9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）因为()(2)a kc b a +-∥，又(34,2)a kc k k +=++，2(5,2)b a -=-， 所以2(34)(5)(2)0k k ⨯+--⨯+=，所以1613k =-. 18.【答案】证明：由题意画出图像，如图，因为12BM AB =，点N 在BC 上且13BN BC =， 所以32DM DA AM DA AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，23DN DC CN DC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为DC AB =u u u r u u u r ，DA CB =u u u r u u u r所以22323323DN AB DA DA AB DM ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u u r ， 所以DM u u u u r，与DN u u u r 共线.又它们有公共点D ，所以M ，N ，D 三点共线.19.【答案】（1）证明：AB a b =+u u u r ∵，28BC a b =+u u u r ，3()CD a b =-u u u r，283()5()5BD BC CD a b a b a b AB =+=++-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ∴， AB u u u r ∴与BD u u u r共线.又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.（2）解：若ka b +和a kb +共线，则存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+， 即ka b a k b λλ+=+，,1,k k λλ=⎧⎨=⎩∴解得1k =±.20.【答案】解：（1）(1,2)(2,2)(21,22)OP OA t AB t t t =+=+=++u u u r u u u r u u u r ， 由题意得210,220,t t +⎧⎨+⎩＜＞解得112t --＜＜.（2）不能.理由如下：若四边形OABP 是平行四边形，则只需OP AB =u u u r u u u r，而(2,2)AB =u u u r ，(21,22)OP t t =++u u u r， 由此需要212,222,t t +=⎧⎨+=⎩但此方程组无实数解，所以四边形OABP 不能成为平行四边形.21.【答案】解：（1）由A ，B ，C 三点不能构成三角形，得A ，B ，C 三点在同一直线上，即向量BC u u u r 与AC u u u r平行，∴4(2)230k --⨯=，解得12k =.（2）∵(2,3)BC k =-u u u r ，∴(2,3)CB k =--u u u r，∴(,1)AB AC CB k =+=u u u r u u u r u u u r.若ABC △为直角三角形，则当A ∠是直角时，AB AC ⊥u u u r u u u r ，即0AB AC ⋅=u u u r u u u r，∴240k +=，解得2k =-.当B ∠是直角时，AB BC ⊥u u u r u u u r ，即0AB BC ⋅=u u u r u u u r， ∴2230k k --=，解得3k =或1k =-.当C ∠是直角时，AC BC ⊥u u u r u u u r ，即0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴1620k -=，解得8k =.综上，k 的值为2-或1-或3或8.22.【答案】解：（1）∵m n =+a b c ，∴(5,5)(6,3)(1,8)m n -=--+，65,385,m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩∴解得1m =-，1n =-.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，∵3CM c =u u u u r ，2CN b =-u u u r，即()113,4(3,24)x y ++=，()223,4(12,6)x y ++=，1133,424,x y +=⎧⎨+=⎩∴22312,46,x y +=⎧⎨+=⎩解得110,20,x y =⎧⎨=⎩229,2,x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,20)M ，(9,2)N ，∴(9,18)MN =-u u u u r.。

第六章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．在ABC △中，若2sin b a B =，则A 等于（ ） A ．30°或60°B ．450或60°C ．120°或60°D ．30或150°2．已知向量()1,m =a ，()3,2=-b ，且()+⊥a b b ，则m =（ ） A ．8-B ．6-C ．6D ．83．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB共线的单位向量为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知非零向量a ，b 满足||4||=b a ，且()2+⊥a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．3πB ．2πC ．23π D ．56π 5．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6sin sin sin 5b c B c C a A ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则sin A =（ ）A ．45-B ．45 C ．35- D ．356．已知在ABC △中，()0BC AB AC +=，则ABC △一定为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．向量()1,2=a ，()1,1=b ，且a 与λ+a b 的夹角为锐角，则实数λ满足（ ）A ．53λ-＜B ．53λ-＞C ．53λ-＞且0λ≠D ．53λ-＜且5λ≠- 8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2sin sin sin B A C =，a c ＜，且61cos 72B =，则ca=（ ） A ．169 B ．32 C ．85 D ．949．如图6-5-1，在ABC △中，23AN NC = ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．3410．如图6-5-2，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为（ ）A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．11．已知O 为ABC △内一点，若分别满足①||||||OA OB OC == ；②OA OB OB OC OC OA ==；③++=0OA OB OC ；④++=0aOA bOB cOC（其中a ，b ，c 为ABC △中角A ，B ，C 所对的边）．则O 依次是ABC △的（ ） A ．内心、重心、垂心、外心 B ．外心、垂心、重心、内心 C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心12．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，2b =，ABC S =△，则2sin sin 2sin a b cA B C+-+-为（ ）A B C ．4D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+=a b ________．14．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6-=a b ，||4+=a b ，则向量b 在向量a 上的投影为________．15．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+ ，12AQ AP BC =+，则APQ △的面积为________．16．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知13a b c -=，3sin 2sin B A =，22+32ac c ≤≤，设ABC △的面积为S ，t =t 的最小值为________． 三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）设向量a ，b 满足||||1==a b ，且|2|-=a b （1）求|23|-a b 的值；（2）求3-a b 与2-a b 的夹角 ．18．（12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设4a =，3c =，1cos =8B ．（1）求b 的值； （2）求ABC △的面积．19．（12分）已知向量a ，b 不共线，k =+c a b ，=-d a b ． （1）若∥c d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向；（2）若||||=a b ，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，⊥c d ．20．（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B ． （1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin =2sin C A ，求ABC △的周长．21．（12分）已知a ，b 是两个单位向量． （1）若|3|3-=a b ，求|3|+a b 的值； （2）若向量a ，b 的夹角为3π，求向量2m =+a b 与23n =-b a 的夹角α．22．（12分）如图6-5-3，为拓展某湿地旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120︒的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米． （1）求MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=， 化简2sin b a B =得sin 2sin sin B A B =。

模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A．6πB．12πC．18π D．24π答案：B3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是()A．8π cm2B．12π cm2C．2π cm2D．20π cm2答案：B4．已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B′-ABC 的体积为()A.14 B.12C.36 D.34答案：D5．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则等于() A．2 B．－2C．4 D．1答案：A6．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于()A．6 B．2C. 3 D．2 3答案：C7．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为()A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离答案：D8．过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝0或k＝43B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k13≤k＜1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k＜1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k≤1答案：C9．在四周体A-BCD中，棱AB，AC，AD两两相互垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心答案：A10．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：12π12．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案：(1)③⑤(2)②⑤13．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC 的体积是2 6.其中正确的序号是________(写出全部正确说法的序号)．答案：①②14．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝22＋42＝25，所以r＝5，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离|0－4＋2k|k2＋1＞2，解得k＜34.所以k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，34.16．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)依据三视图，画出该几何体的直观图．(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1)该几何体的直观图如图①所示．(2)证明：如图②.①连接AC，BD交于点O，连接OG，由于G为PB的中点，O 为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO ⊥平面PBD .由于AO ⊂平面AGC ，所以平面PBD ⊥平面AGC .17．(本小题满分12分)已知点P (2,0)，及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；(2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝4时，求以线段AB 为直径的圆的方程． 解：(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)， 又圆C 的圆心为(3，－2)，r ＝3，由|3k －2k ＋2|k 2＋1＝1⇒k ＝－34.所以直线l 的方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0，当k 不存在时，l 的方程为x ＝2，符合题意． (2)由弦心距d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝5，又|CP |＝5，知P 为AB 的中点，故以AB 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y 2＝4.18．(本小题满分12分)多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P -EFG 的体积．解：(1)法一：如图，取AD 的中点H ，连结GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . ∵G 、H 分别为BC 、AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH .∴E ，F ，H ，G 四点共面．∵F ，H 分别为DP 、DA 的中点，∴PA ∥FH .∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA ∥平面EFG .法二：∵E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点． ∴EF ∥CD ，EG ∥PB . ∵CD ∥AB ， ∴EF ∥AB .∵PB ∩AB ＝B ，EF ∩EG ＝E ， ∴平面EFG ∥平面PAB . ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA ∥平面EFG .(2)由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ， 又∵GC ⊂平面ABCD ， ∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形， ∴GC ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD .∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.∵GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13S △PEF ·GC ＝13×12×1＝16.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当MN ＝455时，求MN 所在直线的方程． 解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥ 3或a ≤－ 3.即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)如图所示，设MN 与AC 交于点D . ∵MN ＝455，∴DM ＝255.又MC ＝2，∴CD ＝4－45＝455. ∴cos ∠MCA ＝4552＝255，∴AC ＝2255＝5，OC ＝2，AM ＝1，MN 是以A 为圆心，半径AM ＝1的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0，或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0.因此，MN 所在的直线方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.20．(本小题满分12分)(四川高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接MC ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .连接BM .由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第六章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）
1.已知平面向量 a = (−1, 2) ； b = (1,0) ，则向量 3a + b 等于（ ）
A. (−2,6)
C.若 a 和 b 都是单位向量，则 a = b 或 a = −b
D.零向量与任何向量都共线
uuur uuur uuur
uuur
4.在四边形 ABCD 中，设 AB = a, AD = b, BC = c ，则 DC 等于（ ）
D. (2, −6) uuur
D. DB
A. a − b + c
B. b − (a + c)
（1）求 3a + b − 3c 的值； （2）求满足 a = mb + nc 的实数 m,n 的值；
uuur （3）若线段 AB 的中点为 M ，线段 BC 的三等分点为 N （点 N 靠近点 B ），求 MN .
6 / 15
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 22.（12 分）如图，已知河水自西向东流，流速为 v0 = 1 m / s ，设某人在静水中游泳的速度为 v1 ，在水中的
C.外心
D.内心
uuur uuur
uuur
9.已知 O, A, B 是平面内的三个点，直线 AB 上有一点 C ，满足 AB + AC = 0 ，则 OC = （ ）
uur uuur A. 2OA − OB
uur uuur B. −OA + 2OB
C.
2
uur OA

第六章 平面向量及其引用章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B.5．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)解析：选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)．所以2AB →－3BC →＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，得2ac ·sin B ＝3ac ，得sin B ＝32，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin A a ＝sin B ＝32，故选D.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac＝( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选A.因为sin 2B ＝2sin A sin C ，所以由正弦定理，得b 2＝2ac .又a >c ，cos B ＝14，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ×14＝2ac ，即2×⎝⎛⎭⎫a c 2－5×a c ＋2＝0，解得a c ＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．直角梯形解析：选C.由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选 C.AB →·AC →＝(AD →＋DB →)·(AD →＋DC →)＝(AD →＋DB →)·(AD →－DB →)＝AD →2－DB →2＝4－6＝－2.10．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．32解析：选A.设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋b ）＝18，65＋17＝2（a 2＋b 2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4. 所以cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin ∠BAD ＝45，S ＝4×5×45＝16.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( )A.233B.253C.263D.283解析：选B.由3a cos C ＝4c sin A 得a sin A ＝4c 3cos C ，又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得csin C ＝4c 3cos C ⇒tan C ＝34，由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5，由tan C ＝34⇒sin C ＝35，又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )＝t a ＋2t b ，又向量a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，所以⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：1214．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sinA ，则△ABC 的面积为________．解析：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a . 又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.答案：23316．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．解析：示意图如图，设塔高x 米，则BC ＝x 米，BD ＝3x 米(x >0)． 因为CD ＝100米，∠BCD ＝80°＋40°＝120°，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，所以3x 2＝x 2＋1002－2×100×x ×⎝⎛⎭⎫－12， 所以2x 2－100x －10 000＝0.所以x 2－50x －5 000＝0.所以x ＝100或x ＝－50(舍去)． 答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .解：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d 时，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． 所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. 所以15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， 所以k ＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值． 解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝4＝12×2c ×45，所以c ＝5，所以b ＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD→＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)因为c ＝2，C ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝433， 所以a ＋b sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab .因为a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得 17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解：(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ， 所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4.在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6， 所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE＝12AB ·AE ·sin ∠BAE12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC，所以BEEC ＝2，所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ＝12×DC ×AC ×sin C －12EC ×AC ×sin C ＝12×DE ×AC ×sin C＝156.第七章 复数 章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：选C.i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i.2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1·z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D.z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，对应的点(4，－2)在第四象限．3．已知复数z ＝(m 2－m －6)＋(m 2＋2m －8)i(i 为虚数单位)，若z <6，则实数m ＝( ) A ．2 B ．2或－4 C ．4D ．－2或4解析：选A.因为z <6，所以z ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6<6，m 2＋2m －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－3<m <4，m ＝－4或m ＝2.所以m ＝2，故选A.4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 上的点，且AC →＝3 CB →，则点C 对应的复数是( )A ．4iB ．2＋4i C.72i D ．1＋72i解析：选C.两个复数对应的点分别为A (6，5)，B (－2，3)，设点C 的坐标为(x ，y )(x ，y ∈R )，则由AC →＝3CB →，得AB →＝4CB →，即(－8，－2)＝4(－2－x ，3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝72，故点C 对应的复数为72i ，故选C.5．设i 为虚数单位，若复数z 满足z －1＋i ＝i ，其中z －为复数z 的共轭复数，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C.22D ．2解析：选B.由题意得z －＝i(1＋i)＝－1＋i ，所以z ＝－1－i ，所以|z |＝（－1）2＋（－1）2＝2，故选B.6．设i 是虚数单位，z －是复数z 的共轭复数．若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，又z ·z －i ＋2＝2z ，所以(a 2＋b 2)i ＋2＝2a＋2b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.7．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋1＋2i 的模为( )A. 2B. 3C. 6D.11解析：选C.2－i a ＋i ＝（2－i ）（a －i ）（a －i ）（a ＋i ）＝2a －1－（2＋a ）ia 2＋1.若2－ia ＋i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0－（2＋a ）≠0， 解得a ＝12，则z ＝2a ＋1＋2i ＝2＋2i ，则复数z 的模为22＋（2）2＝ 6.8．i 是虚数单位，复数z ＝a ＋i(a ∈R )满足z 2＋z ＝1－3i ，则|z |＝( ) A.2或 5 B ．2或5 C. 5D ．5解析：选 C.依题意，得z 2＋z ＝(a ＋i)2＋a ＋i ＝a 2－1＋a ＋(2a ＋1)i ＝1－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＋a ＝1，2a ＋1＝－3，解得a ＝－2， 所以|z |＝|－2＋i|＝（－2）2＋12＝ 5.9．复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( )A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )解析：选C.由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3由复数相等的定义，得⎩⎨⎧cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3，(k ∈Z )，所以n ＝6k －1(k ∈Z )．故选C.10．已知复数z 1的实部为2，复数z 2的虚部为－1，且z 1z 2为纯虚数，z 1·z 2为实数，若z 1＋z 2对应的点不在第一象限，则z 1－z 2对应的点在( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D.设z 1＝2＋b i ，z 2＝a －i ，a ，b ∈R ，则z 1z 2＝2＋b i a －i ＝2a －b ＋（2＋ab ）ia 2＋1为纯虚数，所以2a －b ＝0且2＋ab ≠0.因为z 1·z 2＝(2＋b i)(a －i)＝(2a ＋b )＋(ab －2)i 为实数，所以ab ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.又z 1＋z 2＝(2＋a )＋(b －1)i 对应的点不在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2不符合，于是z 1－z 2＝(2－a )＋(b ＋1)i ＝3－i 对应的点在第四象限．11．已知z 1与z 2是共轭复数，有4个命题：①z 21<|z 2|2；②z 1z 2＝|z 1z 2|；③z 1＋z 2∈R ；④z 1z 2∈R .其中一定正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③解析：选B.z 1与z 2是共轭复数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R ，b ≠0)．①z 21＝a 2－b2＋2ab i ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确；②z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； ③z 1＋z 2＝2a ∈R ，正确；④z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝（a ＋b i ）2（a －b i ）（a ＋b i ）＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不一定是实数，因此不一定正确，故选B.12．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z ＝( ) A ．－2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2iD ．2－2i解析：选D.因为x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，所以b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，即b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0.根据复数相等的充要条件，得b 2＋4b ＋4＝0且a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝－2.故复数z ＝2－2i ，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．复数2＋i1＋i的共轭复数是________．解析：2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ，其共轭复数为32＋12i.答案：32＋12i14．已知z 1＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6，z 2＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3，则z 1z 2的代数形式为________．解析：z 1z 2＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6×2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3＝32×2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝3i.答案：3i15．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， |x ＋1＋y i|＝（x ＋1）2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝（y －1）2＋x 2， 则（x ＋1）2＋y 2＝（y －1）2＋x 2.所以复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线． 答案：到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.如图所示，⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.答案： 3三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)是实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i（2＋i ）2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解：因为z 2＝15－5i （2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝（15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－75i25＝1－3i. (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝11＋3i 10＝1110＋310i. 19．(本小题满分12分)已知复数z 1＝－2＋i ，z 1z 2＝－5＋5i(其中i 为虚数单位)． (1)求复数z 2；(2)若复数z 3＝(3－z 2)[(m 2－2m －3)＋(m －1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．解：(1)因为z 1z 2＝－5＋5i ， 所以z 2＝－5＋5i z 1＝－5＋5i －2＋i ＝3－i.(2)z 3＝(3－z 2)[(m 2－2m －3)＋(m －1)i] ＝i[(m 2－2m －3)＋(m －1)i] ＝－(m －1)＋(m 2－2m －3)i ，因为z 3在复平面内所对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（m －1）>0，m 2－2m －3<0，解得－1<m <1，故实数m 的取值范围是(－1，1)．20．(本小题满分12分)设z －为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3. (1)若z 为纯虚数，求z ； (2)若z －z －2为实数，求|z |.解：(1)设z ＝b i(b ∈R )，则z －＝－b i ， 因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ， 因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z －2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i. 因为z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0， 因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋（±3）2＝132. 21．(本小题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的辐角的主值是3π4的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，说明理由．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋5aa 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i ，因为z ＋5z ∈R ，所以b －5ba 2＋b 2＝0，因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5，又z ＋3＝a ＋3＋b i 的辐角的主值为3π4，所以a ＋3＝－b .把a ＋3＝－b 与a 2＋b 2＝5联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ，此时z ＋3＝2－2i 或z ＋3＝1－i 的辐角的主值均为7π4.所以满足条件的虚数z 不存在．22．(本小题满分12分)复数z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2是一元二次方程mx 2＋nx ＋1＝0(m ，n ∈R )的一个根．(1)求m 和n 的值；(2)若(m ＋n i)u －＋u ＝z (u ∈C )，求u . 解：(1)因为z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2＝－12－32i ， 所以z －＝－12＋32i ，由题意，知z ，z －是一元二次方程mx 2＋nx ＋1＝0(m ，n ∈R )的两个根，所以⎩⎨⎧－n m ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ，1m ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1.(2)设u ＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则(1＋i)(c －d i)＋(c ＋d i)＝－12－32i ，即2c ＋d ＋c i ＝－12－32i ，所以⎩⎨⎧2c ＋d ＝－12，c ＝－32，解得⎩⎨⎧c ＝－32，d ＝－12＋3，所以u ＝－32＋⎝⎛⎭⎫3－12i.第八章 立体几何初步 章末检测（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间中有三条线段AB ，BC ，CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是（ ）A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能 解析：选D.如图可知AB ，CD 有相交，平行，异面三种情况， 故选D.2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为（ ）A.14＋24 B.2＋22C.14＋22D.12＋ 2 解析：选 B.将直观图 ABCD 还原后为直角梯形 A ′BCD ′，其中 A ′B ＝2AB ＝2，BC ＝1＋22， A ′D ′＝AD ＝1.所以平面图形的面积 S ＝12×（1＋1＋22）×2＝2＋22.3.对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ） A.a ⊂α，b ⊂α B.a ⊂α，b ∥α C.a ⊥α，b ⊥αD.a ⊂α，b ⊥α解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a 和b ，所以可以在直线a 上任取一点A ，则A ∉b ，过A 作直线c ∥b ，则过直线a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α.4.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为（ ） A.3∶π B.2∶π C.1∶2πD.1∶3π解析：选B.设正方体的棱长为a ，则球的直径为2R ＝3a ，所以R ＝32a .正方体的表面积为6a 2.球的表面积为4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫32a 2＝3πa 2，所以它们的表面积之比为6a 2∶3πa 2＝2∶π.5.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1­ABCD 的体积与长方体的体积的比值为（ ）A.12B.16C.13D.15解析：选C.设长方体过同一顶点的棱长分别为a ，b ，c ，则长方体的体积为V 1＝abc ，四棱锥A 1­ABCD 的体积为V 2＝13abc ，所以棱锥A 1­ABCD 的体积与长方体的体积的比值为13.6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点Q 是棱DD 1上的动点，则过A ，Q ，B 1三点的截面图形是（ ）A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能解析：选D.当点Q 与点D 1重合时，截面图形为等边三角形AB 1D 1，如图（1）；当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形AB 1C 1D ，如图（2）；当点Q 不与点D ，D 1重合时，令Q ，R 分别为DD 1，C 1D 1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB 1，如图（3）.故选D.7.给出下列命题：①过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；②如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直； ③若直角三角形ABC 在平面α内的射影仍是直角三角形，则平面ABC ∥平面α. 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2D.3解析：选A.对于①，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然①不正确；对于②，容易判断②是错误的；对于③，平面ABC 与平面α也有可能相交，因此③不正确.故选A.8.如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A.平面ABC ⊥平面ABDB.平面ABD ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED.平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C.因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理，DE ⊥AC ，又DE ∩BE＝E ，于是AC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ADC ，所以平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE .故选C.9.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ）A.l 1⊥l 4B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.10.在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为（ ）A.30°B.60°C.90°D.120°解析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝2.因为M 为A ′C 的中点，所以MC ＝AM ＝22.且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ，所以∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角.因为AC ＝1，MC ＝AM ＝22，所以∠CMA ＝90°.11.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是（ ）A.PB ⊥ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.直线BC ∥平面P AED.直线PD 与平面ABC 所成的角为45°解析：选D.选项A ，B ，C 显然错误.因为P A ⊥平面ABC ，所以∠PDA 是直线PD 与平面ABC 所成的角.因为ABCDEF 是正六边形，所以AD ＝2AB .因为tan ∠PDA ＝P A AD ＝2AB2AB ＝1，所以直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.故选D.12.已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋43，则球O 的体积等于（ ）A.423πB.823πC.1623πD.3223π解析：选B.由题意可知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r ，且四棱锥的高h ＝r ，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2r 的正三角形，底面为边长为2r 的正方形，所以该四棱锥的表面积为S ＝4×34（2r ）2＋（2r ）2＝23r 2＋2r 2＝（23＋2）r 2＝4＋43，因此r 2＝2，r ＝2，所以球O 的体积V ＝43πr 3＝43π×22＝82π3，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.如果用半径R ＝23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是 Ｗ.解析：设圆锥筒的底面半径为r ，则2πr ＝πR ＝23π，则r ＝3，所以圆锥筒的高h ＝R 2－r 2＝（23）2－（3）2＝3. 答案：314.已知a ，b 表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面. ①若α∩β＝a ，b ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β；②若a ⊂α，a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，α∩γ＝b ，则a ⊥b ； ④若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β. 上述命题中，正确命题的序号是 Ｗ.解析：对①可举反例，如图，需b ⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a ，b 不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.答案：②④15.已知直二面角α-l -β，A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离为 Ｗ.解析：如图，作DE ⊥BC 于点E ，由α-l -β为直二面角，AC ⊥l ，得AC ⊥β，进而AC ⊥DE ，又BC ⊥DE ，BC ∩AC ＝C ，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离.在Rt △BCD 中，利用等面积法得DE ＝BD ·DC BC ＝1×23＝63. 答案：6316.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥P A；④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是Ｗ.解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确.同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝P A2＋PC2＝AC2，所以PC⊥P A，又PC∥OM，所以OM⊥P A，结论③正确.由于M，N分别为侧棱P A，PB 的中点，所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN 所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误.答案：①②③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.（1）求证：BD⊥PC；（2）若平面PBC与平面P AD的交线为l，求证：BC∥l.证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面P AC，因为PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC.（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD.所以BC∥平面P AD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面P AD的交线为l.所以BC∥l.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面P AC，∠APC＝90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，且PB＝4PN.（1）求证：平面PCE⊥平面P AB；（2）求证：MN∥平面P AC.证明：（1）因为AB⊥平面P AC，所以AB⊥PC.又∠APC＝90°，所以AP⊥PC，又AB∩AP＝A，所以PC⊥平面P AB.又PC⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面P AB.（2）取AE的中点Q，连接QN，QM，在△AEC中，因为M是CE的中点，所以QM∥AC.又PB＝4PN，AB＝4AQ，所以QN∥AP，又QM∩QN＝Q，AC∩AP＝A，所以平面QMN∥平面P AC.又MN⊂平面QMN，所以MN∥平面P AC.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积.解：（1）证明：连接AC交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点.又D是AB中点，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2， 即DE ⊥A 1D .所以V 三棱锥C -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，E 为AD 的中点，过A ，D ，N 的平面交PC 于点M .求证：（1）EN ∥平面PDC ； （2）BC ⊥平面PEB ； （3）平面PBC ⊥平面ADMN .证明：（1）因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC .又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ， 所以AD ∥MN . 又因为AD ∥BC ， 所以MN ∥BC .又因为N 为PB 的中点， 所以M 为PC 的中点， 所以MN ＝12BC .因为E 为AD 的中点， DE ＝12AD ＝12BC ＝MN ，所以DE ═∥MN ， 所以四边形DENM 为平行四边形， 所以EN ∥DM .又因为EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， 所以EN ∥平面PDC .（2）因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°，E 为AD 的中点， 所以BE ⊥AD .又因为PE ⊥AD ，PE ∩BE ＝E ， 所以AD ⊥平面PEB . 因为AD ∥BC ， 所以BC ⊥平面PEB . （3）由（2）知AD ⊥PB .又因为P A ＝AB ，且N 为PB 的中点， 所以AN ⊥PB . 因为AD ∩AN ＝A ， 所以PB ⊥平面ADMN . 又因为PB ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面ADMN .21.（本小题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到图（2）中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .（1）求证：CD ⊥平面A 1OC ；（2）当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值. 解：（1）证明：在题图（1）中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝90°，所以BE ⊥AC ，BC ＝ED ，即在题图（2）中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC . 又BC ═∥ED ，所以四边形BCDE 是平行四边形， 所以CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .（2）由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高.由题图（1），可知A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1­BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.（1）求证：B1C∥平面A1BM；（2）求证：AC1⊥平面A1BM；（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）证明：连接AB1交A1B于O，连接OM.如图所示.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C.又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.（2）证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.又AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因为M为棱AC的中点，AC＝2，所以AM＝1.又AA1＝2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，所以∠AC1C＝∠A1MA，所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M＝M，所以AC 1⊥平面A 1BM .（3）存在点N ，且当点N 为BB 1的中点， 即BN BB 1＝12时，平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 设AC 1的中点为D ，连接DM ，DN .如图所示. 因为D ，M 分别为AC 1，AC 的中点， 所以DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又N 为BB 1的中点，所以DM ∥BN ，且DM ＝BN ， 所以四边形DMBN 是平行四边形， 所以BM ∥DN .因为BM ⊥平面ACC 1A 1， 所以DN ⊥平面ACC 1A 1. 又DN ⊂平面AC 1N ，所以平面AC 1N ⊥平面ACC 1A 1.第九章 统计 章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n ＝( )A ．96B ．72C ．48D ．36解析：选B.由题意得39n －29n ＝8，所以n ＝72.故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15)，6；[15，20)，8；[20，25)，13；[25，30)，35；[30，35)，46；[35，40)，34；[40，45)，28；[45，50)，15；[50，55)，10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是( )A ．0.69B ．0.46C ．1D ．不存在解析：选B.由题可知，样本在[35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0.46.3．2019年高考某题的得分情况如下：其中众数是(A．37.0% B．20.2%C．0分D．4分解析：选C.因为众数出现的频率最大．4．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为()A．网易与搜狗的访问量所占比例之和B．腾讯和百度的访问量所占比例之和C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和D．新浪与小说的访问量所占比例之和解析：选A.本题考查扇形统计图中部分占总体的百分比的大小．由访问网站的扇形比例图得，网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%；腾讯和百度的访问量所占比例之和为23%，超过21%；淘宝与论坛的访问量所占比例之和为22%，超过21%；新浪与小说的访问量所占比例之和为22%，超过21%.故选A.5．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为()A．15.5 B．15.6C．15.7 D．16解析：选B.由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为0.1，0.2，0.25，0.25，0.15，0.05，频数分别为3，6，7.5，7.5，4.5，1.5，所以平均值为11×3＋13×6＋15×7.5＋17×7.5＋19×4.5＋21×1.530＝15.6.故选B.6．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则3x 1＋5，3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数和标准差分别为( )A.x －，s B ．3x －＋5，sC ．3x －＋5，3sD ．3x －＋5，9s 2＋30s ＋25解析：选C.因为x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －， 所以3x 1＋5，3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数为3x －＋5， s ′2＝1n [(3x 1＋5－3x －－5)2＋…＋(3x n ＋5－3x －－5)2]＝1n ×32[(x 1－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝9s 2. 所以s ′＝3s .7．某地区某村前三年的经济收入分别为100，200，300万元，其统计数据的中位数为x ，平均数为y ，经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2y解析：选C.依题意，前三年经济收入的中位数x ＝200，平均数y ＝100＋200＋3003＝200，第四年收入为600万元，故这四年经济收入的中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y .故选C.8．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是( )①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值； ②甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值； ③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平； ④甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④解析：选B.对于①，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，故①正确；对于②，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故②错误；对于③，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，236<4，故③正确；对于④，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故④错误．所以正确为①③，故选B.9．在一次20千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将其比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A ．39B ．35C ．15D ．11解析：选D.由频率分布直方图知，成绩在[13，15)内的频率为1－0.38－0.32－0.08＝0.22，所以成绩在[13，15)内的人数为50×0.22＝11，所以获奖的人数为11.故选D.10．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A．1% B．2%C．3% D．5%解析：选C.由图1所示，食品开支占总开支的30%.由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的3030＋40＋100＋80＋50＝110，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×110＝3%.故选C.11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确的结论是()A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：选A.计算可得甲批次样本的平均数为0.617，乙批次样本的平均数为0.613，由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617，0.613，则甲批次的总体平均数与标准值更接近．故选A.12．对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人，调查数据如下：则该县( ) A ．是小康县B ．达到标准①，未达到标准②，不是小康县C ．达到标准②，未达到标准①，不是小康县D ．两个标准都未达到，不是小康县解析：选B.由图表可知：年人均收入为7 050＞7 000，达到了标准①；年人均食品支出为2 695，而年人均食品支出占收入的2 6957 050×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②，所以不是小康县．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a ，解得a ＝30.答案：3014．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的第25百分位数为________，第75百分位数为________．解析：因为14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以第25百分位数为第4个数据154，第75百分位数为第11个数据161.答案：154 16115．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中x ≠5，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为________．解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以2＋x 2＝32×2＝3，解得x ＝4，故该组数据的平均数为1＋2＋2＋4＋5＋106＝4.所以该组数据的方差为16×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，即标准差为3.答案：316．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1， 解得x ＝0.3， 即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：其中文科考生抽取了2名．(1)求z 的值；(2)若不低于550分的6名文科考生的语文成绩分别为111，120，125，128，132，134.计。