【高中必修3数学算法案例总结】高中数学必修1

高中数学必修三算法案例知识点算法案例:主要有辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、k进制化十进制的算法。

辗转相除的定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。

若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。

更相减损术的定义：就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。

比较辗转相除法与更相减损术的区别：1都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

2从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。

辗转相除法的一个程序算法的步骤：第一步：输入两个正整数m,nm>n.第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.更相减勋术的一个程序算法步骤：第一步：输入两个正整数a,ba>b;第二步：若a不等于b,则执行第三步;否则转到第五步;第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步;第五步：输出最大公约数b.1、算法概念：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.2、算法的特征①有限性：算法中的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。

②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可。

③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。

1．3算法案例一、本节知识结构二、教学重点与难点重点：通过3个典型的算法案例，使学生通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程，以及将程序框图转化为程序语句的过程，帮助学生进一步体会算法的基本思想，以及算法在解决问题的过程中所体现的特点．难点：理解算法案例的内容以及具体算法的关键步骤．三、编写意图与教学建议教科书选择了3个有典型性的、又有一定难度的算法案例，这些案例的教学都不要求画完整的程序框图以及编写完整的算法程序，也不要求学生记忆它们的具体步骤，教学中要注意把握这种要求，适当控制教学难度．辗转相除法是西方古代数学中的一个典型算法，更相减损术和秦九韶算法都是我国古代数学中的著名算法，而排序法和进位制算法则是计算机科学中普遍使用的算法．与前面介绍的算法相比，这3个算法较为复杂，其中蕴涵的算法思想更为深刻，也更能体现算法的重要性和有效性．教学中，要注意抓住这3个算法的关键步骤，引导学生理解其中的“算理”．教师可以通过讲解、画程序框图、举简单例子说明、让学生自己归纳等多种手段，帮助学生克服理解上的困难．1．“辗转相除法与更相减损术”的设计意图与教学建议．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法：“设有不相等的二数，若依次从大数中不断地减去小数，若余数总是量不尽它前面一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互质．”这个算法的关键步骤是做带余除法1111r q n m +=(0≤1r ＜1n )由上式可以看出，1m 、1n 和1n 、1r 有相同的公约数，因此也有相同的最大公约数，可表示为gcd(1m ,1n )=gcd(1n ,1r )(gcd 是greatest common divisor 的简写)．当1r =0时，gcd(1m ,1n )=1n ．当1r ＞0，令12n m =，12r n =，继续做带余除法：2222r q n m +=(0≤2r ＜2n )，3333r q n m +=(0≤3r ＜3n )，……由于1r ＞2r ＞3r ＞…因此r 在有限次地减小之后，总可以达到0．设0=k r ，则有k k k q n m =．故gcd(1m ,1n )=gcd(2m ,2n )=gcd(3m ,3n )=…= gcd(k m ,k n )=k n ．以上是辗转相除法的“算理”．教师可以在求两个具体数(如8 251与6 105)的最大公约数的过程中，讲述上面的“算理”，突出递归的作用．教师可以多举几个例子，通过具体例子来说“理”，以利于学生更好地把握“算理”，而不要把上述抽象的式子和符号直接地呈现给学生．教科书在这部分安排了一个“思考”栏目：“你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗?”教学时可以先引导学生思考：“辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构?”然后，帮助学生认识在这一算法中，带余除法是一个反复执行、直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构．教科书还画出了这个循环结构的程序框图(图1)，以帮助学生进一步地、直观地理解这一步骤．有了上面的准备，就可以让学生自己写出辗转相除法的程序了．教科书在这部分还介绍了中国古代算法中的“更相减损术”，与辗转相除法形成对比．尽管这两种算法分别来源于东西方古代数学名著，但二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但实质都是一个不断的递归过程．教科书如此设计的意图是想让学生在比较两种算法的过程中，使学生对递归思想能有一个初步的认识．例1的教学中，教师可以先让学生自己按照更相减损术的步骤，逐步求出98与63的最大公约数．然后，再引导学生思考在第一步98－63=35中，98与63和63与35有相同的约数，因此也有相同的最大公约数，可表示为gcd(98，63)=gcd(63，35)．由于63≠35，继续做减法．由于每一步中得到的减数及差都是正数，且它们的值在逐渐减小，所以经过有限步后，总会出现减数与差相等的情况．在本例中，我们可以得到gcd(98，63)=gcd(63，35)=gcd(35，28)=gcd(28，7)=gcd(21，7)=gcd(14，7)=gcd(7，7)，所以98和63的最大公约数等于7．讲解完本例后，可以让学生做35页的练习第1题．2．“秦九韶算法”的设计意图与教学建议．秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法．在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数表达式．因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是用函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题．实际上，在解决数学问题和实际问题中，常需要求多项式的值．教科书在正式介绍秦九韶算法之前，先让学生自己求一元多项式，1)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值，学生可能会想到很多算法．教科书对两种算法的运算效率进行了比较与分析，这样做的目的是为了使学生了解，解决同一个问题的算法可能有很多种，但算法有“好”“坏”之分，其判断标准之一是运算的效率．这里通过统计乘法和加法的运算次数来衡量算法的好坏，并为下面说明秦九韶算法的有效性做铺垫．但是关于计算的复杂性问题，在教学中不宜过多涉及．教科书也只是从“讲故事”的角度说明了某些算法计算机是无法执行的，以提高学生学习的兴趣．接着，教科书引入了秦九韶算法，这个算法的特点在于把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，即把求0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--的值转化为求递推公式⎩⎨⎧=+==--).,....,2,1(,10n k a x v v a v k n k kn 中n v 的值．通过这种转化，把运算的次数由至多2)1(n n +次乘法运算和n 次加法运算，减少为至多n 次乘法运算和n 次加法运算，大大提高了运算效率．教师可以使用几个具体的例子，即对具体多项式的分解、转化求值来讲解秦九韶算法，然后再归纳出教科书上用一般形式给出的算法．这时还可以提醒学生，用递推公式表示的步骤都可以用循环结构来实现．下面介绍一种表示秦九韶算法的直观方法．例如计算当5=x 时，多项式64562)(234-+--=x x x x x f 的值．由于 64562)(234-+--=x x x x x f,6)4)5)62(((6)4562(223-+--=-+--=x x x x x x x x 根据秦九韶算法，我们有,465262=-⨯=-x,1555454=-⨯=-x,794515415=+⨯=+x3896579679=-⨯=-x .列成表表示为教科书在这部分的最后，还画出了程序框图帮助学生进一步熟悉算法步骤．教师可以在总结这部分内容时，要求学生自己画出求4=n 或5的一元多项式的秦九韶算法的程序框图．教学中，可以结合《九章算术》、秦九韶的生平和他的著作《数书九章》，向学生介绍中国古代数学的特点、成就和对世界数学发展的贡献．例如，尽管秦九韶算法是距今700多年前提出的，但现在仍然是多项式求值的比较先进的算法；秦九韶是享誉世界的数学家，美国当代数学史家萨顿(G ．Sarton)说，秦九韶是“他那个民族、他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．3．“进位制”的设计意图与教学建议．由于在不同的进位制转换中存在有趣的算法，而且进位制本身及其转换属于计算机的基础知识，有助于了解计算机的工作原理，因此教科书选择了“进位制”作为第4个算法案例，同时还介绍了进位制数的表示方法等相关知识．在内容编排上，教科书首先介绍了进位制的定义和进位制数的形式表示．一个点进制数可以表示成一般形式：)(011.....k n n a a a a -(0<k a n <,0≤1-n a ，…，1a ，0a <k ),对于这种表示的理解学生可能有一定的困难，教学中应当让学生明确两个要点，一是第1个数字n a 不能等于0，二是每一个数字n a ，1-n a ，…，0a 都必须小于k ．除了十进制数和二进制数，常见的还有16进制数，由于其中需要表示超过10的数字，规定字母A ～E 对应10～16，例如C7A16HEX =12×164+7×163+10×162+1×161+6×160=817 686．教科书设计了一个思考栏目，要求学生把一般形式①写成各位上数字与k 的幂的乘积之和的形式．教师可以让学生先把十进制数、二进制数等表示成各位上数字与志的幂的乘积之和的形式，再对一般的形式进行操作就不难了，即有)(011.....k n n a a a a -=+⨯+⨯--111010n n n n a a …0011010⨯+⨯+a a关于进位制之间的转换，教科书以十进制和二进制之问的转换为例进行讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换．这样做的原因是，计算机是以二进制形式来存储和计算数据的，而一般我们输入给计算机的数据是十进制数，因此计算机必须将十进制数转换为二进制数，而把运算结果由二进制数转换为十进制数输出．非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算②式中等号右边的值，就得到了相应的十进制数．描述为算法步骤是：第一步，从左到右依次取k 进制数)(011.....k n n a a a a -各位上的数字，乘以相应k 的幂，k 的幂从n 开始取值，每次递减l ，递减到0，即n n k a ⨯，11--⨯n n k a ，…，11k a ⨯，00k a ⨯；第二步，把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数． 在教科书提供的一个把k 进制数口(共有n 位)转化成十进制数b 的程序中，就使用了这个算法．其中的语句“a ：a ＼10”“t=a MOD 10”用于取出走进制数各位上的数字．把十进制数转换为二进制数可用教科书上提供的“除2取余法”，教师可以展示算法过程，让学生来总结算法步骤．“除k 取余法”是把十进制数转换为k 进制数的算法，如例6把十进制数转换为五进制数．另外，教师还可以引导学生思考，怎样在非十进制之间实现转换，一个自然的想法是利用十进制作桥梁．这里提供一种二进制与16进制之间互化的方法，这也是实际使用的方法之一．下表是16进制数与二进制数的对照表，利用这个表，就可以逐段进行转换了．例如，C7A16(16)=1100 0111 1010 0001 0110(2)．4．阅读与思考“割圆术”的教学建议．教科书设计本阅读材料的意图是：(1)“割圆术”这个算法本身很有趣，操作性强，“算理”明确，借助图形来讲解易懂易学；(2)“割圆术”是由中国古代的数学家刘徽提出的，是当时计算圆周率的比较先进的算法，至今仍具有一定的应用价值；(3)“割圆术”能被翻译成计算机程序上机运行，这体现了中国古代数学的算法特征；(4)围绕着圆周率的计算这个问题有很多有趣的故事，例如可以讲述从古至今许多数学家孜孜不倦地计算圆周率的故事，还可以介绍一些经典而有趣的算法，等等，这些都会对学生有一定的吸引力．教科书首先介绍了“割圆术”的算法步骤，这个算法的关键思想是用内接正多边形和外切正多边形“内外夹逼”圆，则圆的面积值在二者的面积值中间，而圆的半径是“1”，因此圆的面积值即为圆周率的值．接着，教科书选取了“割圆术”的一部分，即用内接正多边形逼近圆周率，经分析整理后，确定了其中的递归关系，并写出了相应的计算机程序．这个程序输入的是用于逼近圆的内接正多边形的边数k n 6=(*N k ∈，且k ≥2)，输出的是内接正多边形的边数和它的面积(即圆周率的近似值)．学生在学习本材料时可能遇到的困难是理解“割圆术”中的“内外夹逼”的思想和递推关系，教师可在这两个环节加以指导．。

教学目标：1．进一步体会算法的思想，能设计解决简单问题的算法；2．进一步学习有条理地、清晰地表达问题，提高逻辑思维能力；3．在理解的基础上进一步熟练几种算法的使用，并能根据程序框图来编写循环结构及伪代码．教学重点：1．系统化本章的知识结构；2．提高对几种常见算法思想的认识；3．提升算法设计、优化和表达的能力．教学难点：1．算法的设计和优化；2．对算法思想的认识．教学方法：1．通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；2．通过模仿、操作、探索、经历设计算法、设计框图、编写程序以解决具体问题的过程发展应用算法的能力；3．在解决具体问题的过程中学习一些程序框图及循环结构，感受算法的重要意义．教学过程：三、建构数学1．本章知识结构2．三种基本逻辑结构；3．五种基本算法语句；4．三个算法案例．四、数学运用2．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是( )A．一个算法只能含有一种逻辑结构；B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构；流程图算法的描述算法自然语言顺序结构选择结构循环结构顺序结构选择结构循环结构输语句伪代码循环语句赋值语句条件语句入C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构；D．—个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合．3．下列给出的赋值语句中正确的是( )A．3←A B．M←-MC．B←A←2 D．x+y←0例2 算法、程序框图和算法语句的设计、编写1．设计一个程序语句，输入任意三个实数，将它们按从小到大的顺序排列后输出．2．某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0．2元，如果通话时间超过3分钟，则不超过部分收取0．2元，超过部分以每分钟0．1元收取通话费(通话时间以分钟计，不足1分钟时按1分钟计)，试设计一个计算通话费用的算法．要求写出算法，画出流程图，编制程序．3.适合方程a2＋b2＝c2的一组正整数称为勾股数或商高数，设计一个满足a≤30，b≤40，c≤50的勾股数的算法．五、要点归纳与方法小结1．算法思想作为数学的一种基本思想，就是探求解决问题的一般性方法，并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述，主要作用是使计算机能代替人完成某些工作，这也是学习算法的重要原因之一．算法思想在解决某些问题时，只要能设计出一系列可操作或可计算的有限而明确的步骤，就可以通过实施这些步骤来解决问题．2．算法设计并不是一次就能成功的．我们应先有一个基本的框架，其中含有最典型最重要或最核心的算法语句或结构．然后再来思考其中的每一步的执行情况，增添一些细节，逐步完善流程图与程序．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

新课标人教A版必修3第一章算法初步知识点总结及典型题归类解析一、算法设计(一)基本知识点算法的描述一般有三种方法:自然语言、算法框图(也叫流程图)和程序语言.(二）典型习题举例1、例1 下列关于算法的说法正确的有________个．( )①求解某一类问题的算法是惟一的．②算法必须在有限步操作之后停止．③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊．④算法执行后一定产生确定的结果．A．1 B．2C．3 D．4解析：C由算法特性知，算法具有有穷性、确定性、可输出性，故②③④均对，选C.2．例2 已知两个单元分别存放了变量x和y，下面描述交换这两个变量的值的算法中正确的为( )A．S1把x的值给y；S2把y的值给x.B．S1把x的值给t；S2把t的值给y；S3把y的值给x.C．S1把x的值给t；S2把y的值给x；S3把t的值给y.D．S1把y的值给x，S2把x的值给t；S3把t的值给y.解析：C 为了达到交换的目的，需要一个中间变量t，通过t使两个变量来交换．S1先将x的值赋给t(这时存放x的单元可以再利用)；S2再将y的值赋给x(这时存放y的单元可以再利用)；S3最后把t的值赋给y，两个变量x和y的值便完成了交换．方法小结：这好比有一碗酱油和一碗醋．我们要把这两碗盛装的物品交换过来，需要一个空碗(即t)；先把醋(或酱油)倒入空碗，再把酱油(或醋)倒入原来盛醋(或酱油)的碗，最后把倒入空碗中的醋(或酱油)倒入原来盛酱油(或醋)的碗，就完成了交换．3．例3 请说出下面算法要解决的问题________．第一步，输入三个数，并分别用a、b、c表示；第二步，比较a与b的大小，如果a<b，则交换a与b的值；第三步，比较a与c的大小，如果a<c，则交换a与c的值；第四步，比较b 与c 的大小，如果b <c ，则交换b 与c 的值； 第五步，输出a 、b 、c .答： 输入三个数a ，b ，c ，并按从大到小顺序输出． 解析：第一步是给a 、b 、c 赋值．第二步运行后a >b . 第三步运行后a >c .第四步运行后b >c ，∴a >b >c .第五步运行后，显示a 、b 、c 的值，且从大到小排 二、算法框图及其画法 (一)基本知识点(1)对于比较简单的算法框图,可以通过对问题的分析,建立相应的数学模型或过程模型,进而选择顺序结构、选择结构、循环结构中的一种或几种画出算法框图即可.(3)顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构;条件结构主要用于一些需要进行条件判断的算法,如分段函数求值、大小关系判断等;循环结构主要用于一些有规律的重复计算,如累加求和、累乘求积等。

1.3算法案例[读教材·填要点]1．辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老有效的算法．(2)更相减损术：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．2．秦九韶算法功能它是一种用于计算一元n次多项式的值的方法改写后的形式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0计算方法从括号最内层开始，由内向外逐层计算v1＝a n x＋a n－1，v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．(2)其他进制与十进制间的转化：①其他进制转化为十进制其他进制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式．②十进制化成k进制——“除k取余法”．[小问题·大思维]1．辗转相除法与更相减损术有什么联系？提示：(1)都是求两个正整数的最大公约数的方法．(2)二者的实质都是递推的过程．(3)二者都要用循环结构来实现．2．辗转相除法与更相减损术有什么区别？提示：(1)计算上，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主．(2)在计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数大小差别较大时计算次数的区别较明显．(3)从输出结果看，辗转相除法当余数为0时输出除数，更相减损术当差和减数相等时输出差(或差与约简的数的乘积)．3．用秦九韶算法求x＝2时，f(x)＝x3＋3x2＋x＋1的值，第一个一次多项式的值是什么？提示：用秦九韶算法知，f(x)＝[(x＋3)x＋1]x＋1，∴由内向外第一个一次多项式的值为2＋3＝5.求最大公约数[例1][自主解答]用辗转相除法：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0.故80和36的最大公约数是4.用更相减损术检验：80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝20，20－8＝12，12－8＝48－4＝4.故80和36的最大公约数是4.——————————————————求两数的最大公约数可用辗转相除法和更相减损术两种方法，一般地，用辗转相除法比用更相减损术运算步骤更简捷、更有效．所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．——————————————————————————————————————1．用两种方法求378和90的最大公约数．解：法一：辗转相除法：378＝90×4＋18，90＝18×5＋0，所以378与90的最大公约数是18.法二：更相减损术：因为378与90都是偶数．所以用2约简得189和45.189－45＝144,144－45＝99，99－45＝54,54－45＝9，45－9＝36,36－9＝27，27－9＝18,18－9＝9.所以378与90的最大公约数为2×9＝18.秦九韶算法的应用[例2]用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x4－6x3－5x2＋4x－6在x＝5时的值．[自主解答]由于f(x)＝2x4－6x3－5x2＋4x－6＝(((2x－6)x－5)x＋4)x－6.根据秦九韶算法，我们有：v0＝2，v1＝2x－6＝2×5－6＝4，v2＝4x－5＝4×5－5＝15，v3＝15x＋4＝15×5＋4＝79，v4＝79x－6＝79×5－6＝389.——————————————————1．秦九韶算法的步骤2．应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的问题(1)要正确将多项式的形式进行改写．(2)计算应由内向外依次计算.(3)当多项式函数中间出现空项式，要以系数为零的齐次项补充.——————————————————————————————————————2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1 397.所以当x＝2时，多项式的值为1 397.进位制及其转化[例3]将八进制数3 726(8)，化成十进制数．[自主解答]∵3 726(8)＝3×83＋7×82＋2×8＋6＝2 006，∴3 726(8)＝2 006.将本例改为“化为五进制数”其结果又该如何？解：把上式中各步所得余数从下到上排列得到2 006＝31 011(5)，∴3 726(8)＝31 011(5)．——————————————————1．非十进制数之间的转化，需先将其先化为十进制数，再将十进制数化为另一进制数．如：八进制数化为二进制数，则先将八进制数化为十进制数；再将十进制数化为二进制数．2．注意除k取余法的余数取法：从下向上．——————————————————————————————————————3．将八进制数74化成二进制数．解：首先将八进制数74化成十进制数：74(8)＝7×81＋4×80＝60(10)，然后再将十进制数60化成二进制数.所以60(10)＝111 100(2)．综上可得76(8)＝111 100(2)．若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，求正整数a，b.[巧思]先将这两个数化为十进制数，再利用两数相等，同时注意a，b的取值范围来求a，b的值．[妙解]∵10b1(2)＝1×23＋b×21＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2.即9a－2b＝7.又∵a∈{1,2}，b∈{0,1}．∴当a＝1时，b＝1，符合题意；当a＝2时，b＝11不合题意．2∴a＝1，b＝1.1．下列各数中，可能是五进制的数是()A．55B．106C．732 D．2 134解析：五进制的数是0～4之间的数．答案：D2．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：由294＝84×3＋42,84＝42×2知，共需做2次除法．答案：B3．用秦九韶算法求多项式的值，可用哪种结构的算法实现()A．顺序结构B．条件结构C．循环结构D．A、B两种答案：C4．用秦九韶算法求f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值，需进行乘法运算和加法运算的次数分别为()A．6 6 B．5 6C．6 5 D．612解析：改写多项多f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，则需要6次乘法和6次加法．答案：A5．将二进制数101 101(2)化为八进制数，结果为________．解析：101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝32＋8＋4＋1＝45.101 101(2)＝55(8)．答案：55(8)6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13在x＝6时的值．解：f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13，v0＝3，v1＝3×6＋12＝30，v2＝v1x＋8＝30×6＋8＝188，v3＝v2x－3.5＝188×6－3.5＝1 124.5，v4＝v3x＋7.2＝1 124.5×6＋7.2＝6 754.2，v5＝v4x＋5＝6 754.2×6＋5＝40 530.2，v6＝v5x－13＝40 530.2×6－13＝243 168.2，∴f(6)＝243 168.2.一、选择题1．关于进位制说法错误的是()A．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一C．满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标注基数解析：一般情况下，不同的进位制须在数的右下角标注基数，但十进制可以不用标注，所以不是必须在数的右下角标注基数，所以D错误．答案：D2．下列四个数中，数值最小的是()A．25(10)B．111(10)C．10 110(2)D．10 111(2)解析：C中10 110(2)＝1×24＋1×22＋2＝22，D中，10 111(2)＝23.答案：C3．用更相减损术求1 515和600的最大公约数时，需要做减法次数是()A．15 B．14C．13 D．12解析：1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.∴1 515与600的最大公约数是15.则共做14次减法．答案：B4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六0123456789 A B C D E F 进制十进制0123456789101112131415 例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于()A．6E B．72C．5F D．B0解析：A×B用十进制表示10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用16进制表示6E.答案：A二、填空题5．103(5)化为十进制数为________．解析：103(5)＝1×52＋0×51＋3＝28.答案：286．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是________．解析：78－36＝42,42－36＝6，36－6＝30,30－6＝24,24－6＝18，18－6＝12,12－6＝6.答案：67．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r＜b)成立的q和r 的值分别为________．解析：用333除以24，商即为q，余数即为r.333÷24＝13…21.答案：13218．已知k进制数132与十进制数30相等，则k的值为________．解析：由题意得1×k2＋3×k＋2＝30.即k2＋3k－28＝0.解之得k＝4或k＝－7(舍去)．答案：4三、解答题9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5，当x ＝－0.2时的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((0.008 33x＋0.041 67)x＋0.166 67)x＋0.5)x＋1)x＋1.按照从内到外的顺序依次计算一次多项式当x＝－0.2时的值：v0＝0.008 33；v1＝0.008 33×(－0.2)＋0.041 67＝0.040 004；v2＝0.040 004×(－0.2)＋0.166 67＝0.158 669 2；v3＝0.158 669 2×(－0.2)＋0.5＝0.468 266 16；v4＝0.468 266 16×(－0.2)＋1＝0.906 346 768；v5＝0.906 346 768×(－0.2)＋1＝0.818 730 646.∴当x＝－0.2时，多项式的值为0.818 730 646.10．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？解：由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27(10)．又27×1 000＝27 000，所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯．。

人教版高中数学必修三第一章算法初步算法案例分析算法案例分析自主学习1.算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。

后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

2. 2．算法的重要特征：（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；（2）确定性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件．（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的算法是毫无意义的．师生互动例1解：算法如下：第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

点评：通过例1明确算法具有两个主要特点：有限性和确定性。

练1解：第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.点评：在日常生活中做任何一件事情，者是按照一定规则，一步一步进行，比如在工厂中生产一部机器，先把零件一道道工序进行加工，多面手一，又把各种零件按一定法则组装成一产，了完整机器，它们的工艺流程就是算法；在农村，种庄稼有耕地、播种、育苗、施肥、中耕、收割等各个环节，这些栽培技术也是算法。

总之，在任何这些数值计算或非数值计算的过程中所采取的方法和步骤，都称之为算法。

例2。

解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

算法案例——辗转相除法一、教材分析1、地位作用：与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，从日常生活的电子邮件发送到繁忙的交通管理，从与人们生产、生活息息相关的天气预报到没有硝烟的战争模拟等等都离不开计算机算法。

算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。

在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程，求解方程的步骤，以及将要学习的数列求和等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法思想。

本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法，巩固算法三种描述性语言（自然语言、流程图和伪代码），提高学生分析和解决问题的能力。

2、教学目标：（1）知识目标：①理解辗转相除法原理；②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法；③能应用迭代算法思想。

（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；②培养学生自主探索和合作学习的能力。

（3）情感目标：①使学生进一步了解从具体到抽象，抽象到具体的辨证思想方法，对学生进行辨证唯物主义教育；②创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。

3、教学重点与难点：（1）教学重点：①理解辗转相除法原理；②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法。

（2）教学难点：①理解和区分两种循环结构表达辗转相除法；②能应用迭代算法思想。

二、教法学法1、教法：以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，并采用多媒体教学，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开。

2、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。

三、教学过程设计：1、情景设置――感知辗转相除法（发给每位学生一张长为22cm ，宽为6cm 的纸条）【问1】这张长方形的纸，先拿短边往长边上折，得到一个正方形，从长方形上裁掉这个正方形后继续将短边往长边上折，一直到最后剩下来的是正方形为止，最后得到的边长是几的正方形？【师生互动解答】22＝6×3＋4；6 ＝ 4×1＋2；4 ＝ 2×2＋0 ＝> 最后正方形的边长为2cm 。