第七章图像变换

第七章图形变换7.1尺规作图1.(2021·长春)在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD 为等腰三角形.下列作法不正确的是(A)AB的长为半径画弧,两弧交2.(2021·湖南益阳)如图,在△ABC中,AC>BC,分别以点A,B为圆心,以大于12于点D,E,经过点D,E作直线分别交AB,AC于点M,N,连接BN.下列结论正确的是(B)A.AN=NCB.AN=BNBC D.BN平分∠ABCC.MN=123.如图,OG平分∠MON,A,B是射线OM,ON上的点,连接AB.按以下步骤作图:①以点B为圆心,任意长为半CD长为半径作弧,两弧相交于点径作弧,交AB于点C,交BN于点D;②分别以点C和点D为圆心,大于12E;③作射线BE,交OG于点P.若∠ABN=140°,∠MON=50°,则∠OPB的度数为(B)A.35°B.45°C.55°D.65°4.(2022·北京)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA 长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为(2,0).第4题图第5题图AC的长5.(2022·江苏苏州)如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,分别以A,C为圆心,大于12为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为10.6.(2021·黑龙江绥化)(1)如图,已知△ABC,P为边AB上一点,请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E,使AE+EP=AC;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若AC=6 cm,AP=3 cm,则△APE的周长是9cm.解:(1)如图所示,点E即为所求.7.(2021·湖北鄂州)如图,∠AOB=40°,按下列步骤作图:①在OA边取一点D,以点O为圆心,OD长为半径画MN,交OB于点C,连接CD;②以点D为圆心,DO长为半径画GH,交OB于点E,连接DE.则∠CDE的度数为(B)A.20°B.30°C.40°D.50°【解析】由作法得OD=OC,DO=DE,∴∠OCD=∠ODC=1(180°-∠COD)=70°,∠DEO=∠DOE=40°,∴∠CDE=2∠OCD-∠DEO=30°.8.[一题多解]如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,已知点A(-√2-1,0),B(0,√2+1).根据作图痕迹,可知点E的坐标为(C)A.(1,1)B.(√2,4-2√2)C.(1,√2)D.(√2+1,2√2-2)【解析】过点E作EH⊥AC于点H.解法1:由作图痕迹知,AE是∠CAB的平分线.又∵△ABC为等腰直角三角形,∴EH=EB,AB=AH,△CEH为等腰直角三角形,∴EH=CH.由题知OA=OB=OC=√2+1,∴AH=AB=2+√2,∴OH=AH-OA=1,∴EH=CH=OC-OH=√2,∴点E的坐标为(1,√2).解法2:易得AB=BC=2+√2,△CEH为等腰直角三角形,EB=EH.设EH=x,可得CE=2+√2-x=√2EH=√2x,解得x=√2,∴OH=OC-CH=1,∴点E的坐标为(1,√2).过点E作EH⊥AC于点H.解法1:由AB=AH,得出CH的值,即可求解;解法2:由△CEH为等腰直角三角形,CE=√2EH=√2BE,即可求解.9.(2022·浙江绍兴)如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是10°或100°.【解析】在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,∴∠ACB=60°.分两种情况:①当点D在线段BA上时,由作图可知AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=1×(180°-80°)=50°,∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=10°;②当点D在射线2BA 上时,由作图可知AC =AD ,∴∠ACD =∠ADC =40°,∴∠BCD =∠BCA +∠ACD =100°.综上所述,∠BCD 的度数是10°或100°.10.如图,四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形,点D ,G 分别在AB ,AC 上,点E ,F 在BC 上. (1)用尺规作出△ABC 的高线AH ;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若正方形DEFG 的边长为8,BC =18,求AH 的长.解:(1)如图所示,AH 即为所求.(2)设AH 交DG 于点K.∵四边形DEFG 是正方形,∴DG ∥EF , ∴△ADG ∽△ABC ,∴AK AH =DGBC . ∵BC =18,DG =DE =8, ∴AH−8AH =818,∴AH =725.。

第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．2．点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．3．在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（-3，-2）D．（2，-3）7.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（-2，-3）B．（-2，6）C．（1，3）D．（-2，1）8.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°9．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2 10.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．11.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．12.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．13.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．第二十五讲相似图形（一）：【知识梳理】1.比例基本性质及运用（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即a bb c=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．（3）比例的性质，①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。

7.3图形的平移、对称(折叠)、旋转与位似1.[跨学科试题]下面四种化学仪器示意图中,是轴对称图形的是(B)2.(2021·江苏苏州)如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B,则下列四个图形中正确的是 (B)3.如图,△OAB的边OB在x轴的正半轴上,O是原点,点B的坐标为(3,0),把△OAB沿x轴向右平移2个单位长度,得到△CDE,连接AC,DB.若△DBE的面积为3,则图中阴影部分的面积为(D)B.1A.12C.2D.324.(2021·浙江嘉兴)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤,然后剪出图⑤中的阴影部分,则阴影部分展开铺平后的图形是(D)A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形5.如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,其中OE=2OB,则△ABC与△DEF的周长之比是(A)A.1∶2B.1∶4C.1∶3D.1∶96.(2022·黑龙江大庆)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处.若∠1=56°,∠2=42°,则∠A的度数为(C)A.108°B.109°C.110°D.111°7.[HK版教材九上P110 C组复习题第1题改编]如图,在边长为1的正方形网格中,正方形ABCD和正方形OEFG是位似图形,点F的坐标是(1,1),点C的坐标是(4,4),则它们的位似中心的坐标是(-2,-2)或(4 3,43 ).【解析】分两种情况讨论:①当位似图形在位似中心同侧时,连接DG,AO交于一点M(-2,-2),该点即为位似中心;②当位似图形在位似中心异侧时,连接DE,AF交于一点N(43,43),该点即为位似中心.综上所述,位似中心的坐标为(-2,-2)或(43,4 3 ).8.正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC各顶点的位置如图所示.将△ABC平移,使点A移到点D的位置,E,F分别是B,C的对应点.(1)画出平移后的△DEF;(2)在AB上找一点P,连接CP,使得线段CP平分△ABC的面积.解:(1)如图所示,△DEF即为所求.(2)如图所示,线段CP即为所求.9.(2022·合肥蜀山区二模)如图,平面直角坐标系中的△ABC的三个顶点坐标分别为A(-5,0),B(-1,-4),C(-1,0),M为线段AB的中点.(1)点M关于y轴的对称点M1的坐标为(3,-2).(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1);(3)再将点M1沿y轴正方向平移,在平移过程中,直接写出当平移的距离d在什么范围时,点M1在△A1B1C1的内部(不包括边界).解:(2)如图所示,△A1B1C1即为所求.(3)观察图形可知2<d<4.10.如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;,求CB'的长.(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=8,cos ∠BAC=45解:(1)四边形ACC'A'是菱形.理由:由平移的性质可得AA'=CC',且AA'∥CC',∴四边形ACC'A'是平行四边形,∠AA'C=∠A'CB'.由题意,得CD平分∠ACB',∴∠ACA'=∠A'CB',∴∠ACA'=∠AA'C,∴AA'=AC,∴四边形ACC'A'是菱形.(2)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,cos ∠BAC=ABAC =45,∴AC=10,∴BC=√AC2−AB2=√102−82=6,∴B'C'=BC=6.由(1)得四边形ACC'A'是菱形,∴CC'=AC=10,∴CB'=CC'-B'C'=10-6=4.11.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2023次得到正方形OA2023B2023C2023.如果点A的坐标为(1,0),那么点B2023的坐标为(C)A.(1,-1)B.(0,-√2)C.(√2,0)D.(-1,1)【解析】∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴点B的坐标为(1,1).连接OB.由勾股定理,得OB=√2,由旋转得OB=OB1=OB2=OB3=…=√2.∵每次将正方形绕点O逆时针旋转45°,∴点B1的坐标为(0,√2),点B2的坐标为(-1,1),点B3的坐标为(-√2,0),……,且规律是8次一循环.∵2023÷8=252……7,∴点B2023的坐标为(√2,0).12.[开放题]如图,在2×6的方格纸中,已知格点P,请按要求画格点图形(顶点均在格点上).(1)在图1中画一个锐角三角形,使P为其中一边的中点,再画出该三角形向右平移2个单位长度后的图形;(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形,使三边长都不相等,再画出该三角形绕点P旋转180°后的图形.图1图2解:(1)如图1所示,△ABC和△A'B'C'即为所求.(答案不唯一)(2)如图2所示,△DEP和△D'E'P即为所求.(答案不唯一)图1图213.(2022·四川广元)在Rt△ABC中,AC=BC,将线段CA绕点C旋转α(0°<α<90°),得到线段CD,连接AD,BD.(1)如图1,将线段CA绕点C逆时针旋转α,则∠ADB的度数为135°.(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α.①在图2中依题意补全图形,并求∠ADB的度数;②若∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连接BE.用等式表示线段AD,CE,BE之间的数量关系,并证明.图1图2解:(2)①依题意补全图形如图1.由旋转的性质知CD=CA=CB,∠ACD=α,∠BCD=90°+α,∴∠ADC=90°-α2,∠BDC=45°-α2,∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=45°.②√2CE=2BE-AD.证明:如图2,过点C作CG⊥CE,交EB的延长线于点G.∵BC=CD,CE平分∠BCD,∴CE垂直平分BD,∴BE=DE.由①知∠ADB=45°,∴∠EBD=45°,∴∠FEB=45°,∴∠G=45°,∴CE=CG,EG=√2CE.易知△ACE≌△BCG(SAS),∴AE=BG.∵EG=BE+BG=BE+AE=BE+DE-AD=2BE-AD,∴√2CE=2BE-AD.图1图2。