八年级升九年级(八升九)数学

第九讲分式的运算［教学内容］《动态数学思维》暑期衔接版，八升九第九讲“分式的运算”.［教学目标］知识技能1.能类比分数的混合运算探究出分式的混合运算法则；2.会进行简单的分式四则混合运算.数学思考引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力，体会分类讨论、整体代换、降次等数学思想方法.问题解决经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.情感态度在解题过程中培养学生学会如何去克服困难，完成任务.进一步培养学生严谨的治学态度，实事求是的精神.[教学重点、难点]重点：分式四则混合运算难点：分式值为0及有意义的条件[教学准备]动画多媒体语言课件第一课时播放动画课件：师：在我们的日常生活中，我们经常会商场买一些东西，你经常会去哪些商场呢？ 生：自由回答.师：你为什么会选择这些商场呢？也就是说这些商场吸引你的地方在于什么呢？ 生：自由回答.师：在数学中我们是如何来计算一个新建的购物中心的吸引力的呢？我们一起来看一看吧.启动性问题新建购物中心的吸引力有多大购物中心的吸引力可考虑两个重要因素：一是购物中心的占地面积S ；二是购物中心与居民区之间的距离d .如果用F 表示每季度的平均购物次数，依据经验，F 与S 近似成正比，与d 2近似成反比，即F=2kS d （k 为常数）.不知你想过没有，为什么我们会较多光顾规模较小的购物中心？你能通过上述公式理解这一现象吗？生尝试解答.师：生活中处处留心皆数学，这个吸引力我们可以用数学的公式来表示，也看得出数学在生活中的作用.下面我们一起来回顾下分式的基本概念、性质和运算法则. 回顾：符号法则运算法则基本性质定义分式A CBC , A B =a b c±=； ad bc bd bd =±c ac d bd=； c a d b ÷=⨯a b)n =nn a b 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中的两个，1 x 和21xx x.2b2；（下一步）1x 和21x x x的最简公分母是答案：解：（1）因为1和1x 和21x x x 的最简公分母为1x =(1)(1)(1)(1)x x x x x =231x x x ，21x x x =2(1)(1)(1)x x x =321x x x . 教师指定两名学生上台板演，其他学生独立完成后仔细观察板演同学的解答过程并指正.22411241111x x x x x x =224224111x x x x x 23441)2(1)4111x x x x x =33444411x x x x 43481)4(1)11x x x x =7881x x . 答案：D第二课时 ()(2x y x x y -+-31x =1,求解析一：取倒数，利用完全平方公式31x =1可得31x x =1，即2291x x -+取倒数，然后化简求值31x =1可得31x x =1，即1x ）2=16，即＋21x=14. 2291x x =x 2＋1x-9291x =5. 解析二：降次.31x =1可得=4x -1整体代入31x =1可得1=24(41)9(4x x --=1.11的大小n＜11n.1 1-nm=1)(1)1)(1)m n mm m m=(1)m nm m.1)n m ＞0，即11. ）若正分数n m （）中分子和分母同时增加k k . ）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地a a . 所以住宅的采光条件变好了．学生猜测（1）中的结论，并说明自己猜想的依据111a a a a --+-的值的时候要注意保证原来式子中的每一项都有意义，故学生独立完成此题，指定学生讲解.521x x 的值. =x+1，然后代入521x x 进行降次化简的值再带入计算比较繁琐，因此考虑利用已521x x =（x x （+ =x （x x 2答案：【类似性问题】1. D2. D3. B4. 212v t v v + 5. 解：原式= 111)1()1(12--+-•-+-a a a a a a a ）（=1-1a a -=11a --. 当a=0时，原式=101--=1.6. 解：由210x x 得 21x x . 所以原式= 2222(1)2142(1)(21)x x x x x x x x x 142(121)x x x x x =5313(1)2x x x .手册答案1. C2. A3. C4. C5. x -66. 222as a b - 7. 2 8.6536 9. 解:原式=1()()b a b a b a b a b a ⎛⎫+-⨯ ⎪-+-⎝⎭=()()a a b a b a b a +⨯+-=1a b -. 10. 解：原式=2222(3)541(2)2a b b a b a a b a b a ⎛⎫--+÷- ⎪--⎝⎭=2(3)21(2)(3)(3)a b a b a a b b a b a a --⨯--+-=31(3)b a a b a a--+ =23b a-+. 解方程组4,2,a b a b +=⎧⎨-=⎩得3,1.a b =⎧⎨=⎩因为当a=3，b=1时，3b -a=0，所以原分式无意义. 11. 解：因为abc=1，所以111a b c ab a bc b ac c = 111a b c ab a ac c abcb a =1111a ab ab a ab a a ab =11ab a ab a =1.。

靖江外国语九年级数学暑假作业（五）主备：朱哲 审核：张明娟一、选择题：1、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、1)1(=-y xB 、11+=x y C 、21x y = D 、x y 31= 2、若y 与－3x 成反比例，x 与z4成正比例，则y 是z 的（ ）A 、正比例函数B 、 反比例函数C 、一次函数D 、 不能确定 3、已知直线y=ax （a ≠0）与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是（ ） A ．（﹣2，6）B ．（﹣6，﹣2）C ．（﹣2，﹣6）D ．（6，2）4、已知点（-1，y 1）,(2,y 2),(3,y 3)在反比例函数xk y 12--=的图像上，下列结论中正确的是（ ）A ．y 1 >y 2 >y 3 B.y 1 >y 3 > y 2 C. y 3 >y 1 >y 2 D. y 2 >y 3 >y 1 5、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、不能确定6、已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为4210⨯小时，这种显示器工作的天数为d （天），平均每天工作的时间为t （小时），那么能正确表示d 与t 之间的函数关系的图象是（ ）二、填空题1、若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限，则k = _______2、已知y -2与x 成反比例，当x =3时，y =1，则y 与x 间的函数关系式为 ；3、 设有反比例函数y k x=+1，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是_________4、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图，点M 是图像上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是 ；5、若一次函数y=kx +1的图象与反比例函数y =x1的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 。

《动态数学思维》教案（3）解这个方程，得：_______________；（4）检验：_____________；（5）答：比赛组织者应邀_______个队参赛. 答案：（1）x-1，28；（2）12x(x-1)=28；（3）x1=8，x2=-7；（4）x2=-7＜0（舍去）；（5）8.学生独立完成，并请一名学生讲解.以渔得鱼（学生独立完成，并指定基础薄弱的学生回答）学校组织“运动让生活更美好”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队有多少支？答案：解：设参赛球队有x支，则12x(x-1)=21，解得：x1=7，x2=-6.因为-6＜0，所以舍去.答：参赛球队有7支. 总结：1.单循环赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.2.双循环赛制问题符合“射线条数”的几何模型，n个点之间有n(n-1)条射线. 从而双循环比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).三、知识检验若经过两轮传播后数值为n，则有方程m(1+x)2=n.3.单循环赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.4.双循环赛制问题符合“射线条数”的几何模型，n个点之间有n(n-1)条射线. 从而双循环比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).如图所示，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？答案：（1）解：设鸡场的宽为x米，则长为（33-2x+2）米.则x(35-2x)=150，解得：x1=10，x2=7.5.当x=10时，35-2×10=15，15＜18，符合题意.当x=7.5时，35-2×7.5=20，20＞18，不符合题意.答：鸡场的长为15米，宽为10米.（2）解：设鸡场的宽为x米，则长为（33-2x+2）米.则x(35-2x)=200，整理得：2x2-35x+200=0.因为 =b2-4ac=(-35)2-4×2×200=-375＜0，所以该方程无实数根.答：围成鸡场的面积不能达到200平方米.总结：①应用一元二次方程解决图形面积问题时，首先确定图形边长的数量关系，然后由图形面积建立一元二次方程并求解；②注意所求结果需满足实际情况.拓展延伸：2.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S.（1）求出S 关于t 的函数关系式； （2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？答案：（1）解：①当t ＜10s 时，P 在线段AB 上，此时CQ =t ，PB =10-t . 所以S =12t (10-t )=-12t 2+5t . ②当t ＞10s 时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ =t ，PB =t -10.所以S =12t (t -10)=12t 2-5t . （2）解：因为S △ABC =12AB ·BC =50.①当t ＜10s 时，S =-12t 2+5t =50. 整理得t 2-10t +100=0无解. ②当t ＞10s 时，S =12t 2-5t =50. 整理得t 2-10t -100=0，（2）若该酒店希望每天净利润为14000元且能吸引更多的游客．．．．．．．，则每件客房的定价应为多少元？答案： （1） 60-10x ；200+x ；20(60-10x). （2）解：由题意可得：(200+x -20)(60-10x)=14000. 整理得：x 2-420x +32000=0， 解得：x 1=100，x 2=320.当x =100时，200+100=300（元），60-10010=50（间）. 当x =320时，200+320=520（元），60-32010=28（间）. 所以当x =100时，能吸引更多的游客. 答：每间客房的定价应为300元. 总结：①应用一元二次方程解决销售利润问题，可由该结构图表示：②注意所求结果需满足题意要求.拓展延伸：1.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但是商店为了适当增加销售，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元.（1）第二周单价降低x 元后，这周销售的销量为 （用x 的关系式表示）.（2）求这批旅游纪念品第二周的销售价格.答案：（1）200+50x ；（2）由题意得：4×200+(4-x )(200+50x )+(4-6)(600-200-200-50x )=1250. 整理得：x 2-2x +1=0. 解得：x 1=x 2=1. 10-1=9（元）.答：这批旅游纪念品第二周的销售价格为9元.三、知识检验6.如图所示，小华要将一幅长120cm ，宽20cm 的书法进行装裱，装裱后的矩形面积是5600cm 2，并使上、下、左、右边衬的宽度相同，那么四周边衬的宽度是多少厘米？7.某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个.定价每增加1元，销售量将减少10个.（1）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少．．．．．．，则每个定价为多少元？（2）当每个小家电定价为多少元时，商店可获得的利润最大.8.某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图①、图②和图③所示（阴影部分为草坪）.请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解.①甲方案设计图纸为图①，设计草坪的总面积为600平方米；②乙方案设计图纸为图②，设计草坪的总面积为600平方米；③丙方案设计图纸为图③，设计草坪的总面积为540平方米.拓展创新：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=6cm，BC=8cm.有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm／s，在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm／s.若设P出发后时间为t 秒.连接AP，PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值.答案：解：①当0≤t≤2时，如图所示，点Q与点C重合.由题可知PC=8-2t，QC=6.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)×6=3，整理得7-2t=0，解得t=3.5.∵3.5＞2，∴当0≤t≤2时，△PCQ面积不能为3cm2 .②当2＜t≤4时，如图所示.由题可知PC=8-2t，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)(8-t)=3，.整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7（舍），t2=6-7. ∴当t=6-7秒时，△PCQ面积为3cm2 .③当4＜t≤8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(8-t)=3，整理得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7.∴当t为5秒或7秒时，△PCQ面积为3cm2 .④当t＞8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=(t-2)-6=t-8.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(t-8)=3，整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7，t2=6-7（舍）.∴当t =6+7秒时，△PCQ面积为3cm2 .综上所述，当t为6-7秒、5秒、7秒、6+7秒时，△PCQ面积为3cm2 .四、课堂小结1.传播问题：设平均每轮每个传播的数值为x.初始值第一轮第二轮m m+mx(m+mx)+(m+mx)x若经过两轮传播后数值为n，则有方程m(1+x)2=n.2. 赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.双循环（分主客场）比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).3.平均增长(下降)率问题：设平均增长(下降)率为x.原始值第一次增长(下降)第二次增长(下降)a a±ax(a±ax)±(a±ax)x若经过两次相同百分率的变化后数值为b，则有方程a(1±x)2=b.4. 应用一元二次方程解决销售利润问题，可由该结构图表示：5. 注意所求结果需满足题意要求.知识检验答案2. D3. 94. 405.解：（1）设每年的平均增长率为x，则2500(1+x)2=3600，解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍）.0.2=20%.答：每年的平均增长率为20%.（2）3600×(1+0.2)=4320（万元）答：2017年该县投入的教育经费为4320万元.6.解：设四周边衬的宽度为x cm，则(120+2x)(20+2x)=5600，解得：x1=10，x2=-80（舍）.答：四周边衬的宽度是10cm.7.解：（1）设定价为x元，则销售量为[400-10(x-50)]元，由题意可得：(x-40)[400-10(x-50)]=6000，解得：x1=60，x2=70，当x=60时，进货量为400-10×10=300（个）；当x=70时，进货量为400-10×20=200（个）.所以当x=20时，进货量较少.答：每个定价为70元，可获得利润6000元，并且使进货量较少.（2）设定价为x元，利润为W元，则：W=(x-40)[400-10(x-50)]=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2+6250所以当x=65时，W最大为6250.答：即每个定价为65元，获得的利润最大，最大利润为6250元.8.解：设道路宽度都为x m，①(35-2x)(20-2x)=600；②(35-x)(20-x)=600；③(35-2x)(20-x)=540.拓展创新：①当0≤t≤2时，如图所示，点Q与点C重合.由题可知PC=8-2t，QC=6.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)×6=3，整理得7-2t=0，解得t=3.5.∵3.5＞2，∴当0≤t≤2时，△PCQ面积不能为3cm2 .②当2＜t≤4时，如图所示.由题可知PC=8-2t，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)(8-t)=3，.整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7（舍），t2=6-7. ∴当t=6-7秒时，△PCQ面积为3cm2 .③当4＜t≤8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(8-t)=3，整理得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7.∴当t为5秒或7秒时，△PCQ面积为3cm2 .④当t＞8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=(t-2)-6=t-8.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(t-8)=3，整理得t2-12t+29=0，解得t17，t2=67（舍）.∴当t 7△PCQ面积为3cm2 .综上所述，当t为67秒、5秒、7秒、7秒时，△PCQ面积为3cm2 .。

第6讲 线段的垂直平分线考点讲解：1. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

如图，∵AC BC MN AB =⊥，，点P 在直线MN 上，∴PA PB =2. 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

∵PA PB =，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上。

3. 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（三角形的外心）如图，△ABC 中，边AB 和BC 的垂直平分线MN 和GH相交于点P ，根据线段垂直平分线的性质定理则有PA=PB=PC ，根据线段垂直平分线的判定定理，点P 在线段AC 的垂直平分线上，因此，△ABC 三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

【典型例题】例1. 如图所示，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AC 于点D 。

求∠DBC 的度数．例2. 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，过直角边AC 上的一点P 作直线交AB于点M ，交BC 的延长线于点N ，且∠APM ＝∠A ．求证：点M 在BN 的垂直平分线上．例3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求证：CM=2BM．例4. 如图，河的同侧有A、B两个村庄，要在河边修一扬水站向两个村庄铺设管道供水，若铺设的管道最短，扬水站应建在哪个位置？说明理由。

例5.如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E 是BC边的中点，当点P运动到AC上的什么位置时，PB+PE的值最小？最小值是多少？【模拟试题】一、选择题1. 如左下图，AC=AD，BC=BD，则（）A、CD垂直平分ABB、AB垂直平分CDC、CD平分∠ACBD、以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是 ( )A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等边三角形3. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是 ( )A、6 cmB、7 cmC、8 cmD、9 cm4. 三角形三边垂直平分线的交点的位置一定在（）A、三角形内部B、三角形外部C、三角形的一条边上D、三种情况都有可能二、填空题5. 三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________6. 如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上．7. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+DC=_____cm；△ABC的周长是__________cm.8. 如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=__________度．三、解答题9. 已知：如图所示，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线．求证：△ADE是等边三角形．10．已知：如图所示，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：点D在线段BE的垂直平分线上．。

巩固练05一次函数变量与常量的定义：在问题研究的过程中，可以取不同数值的量叫做，数值不变的量叫做。

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定任意一个x的值，都会有一个的y与之对应，那么就称y是x的函数，其中是x，y是。

自变量的取值范围：①被开方数；②分母。

画函数图像的三个步骤：①；②；③。

函数的三中表示方法：①；②；③。

正比例函数：形如的函数，其中是比例系数。

一次函数：形如的函数。

正比例函数、一次函数的图像和性质与k、b的关系：函数K的值b的值与x轴的交点与y轴交点经过象限y随x的变化情况大致图像正比例函数)0(≠=kkxy＞k0=b（0，0）0＜k一次函数)0(≠+=kbkxy＞k＞b＜b＜k＞b＜b函数的平移：平移规则：①左右平移：，在上进行加减。

②上下平移：，在后面进行加减。

待定系数法求一次函数解析式的步骤：①设——设一次函数解析式：。

②代——找出题目中或函数图像上的已知点代入函数解析式得到关于方程或方程组。

③求——求解出方程或方程组的。

④反代——将求出的的值反代入函数解析式得出函数解析式。

一次函数与方程：①若一次函数)0(≠+=k b kx y 过点（m ，n ），则方程n b kx =+的解为。

②若一次函数)0(≠+=k b kx y 与一次函数)0(≠+=a c ax y 的交点坐标为)(n m ，，则方程c ax b kx +=+的解为;方程组⎩⎨⎧-=--=-c y ax by kx 的解为。

一次函数与不等式：①若一次函数)0(≠+=k b kx y 过点（m ，n ），则不等式n b kx ＞+就是函数图像在坐标系中函数值大于n 的部分所对应的x 的值；不等式n b kx ＜+就是函数图像在坐标系中函数值小于n 的部分所对应的x 的值。

②若一次函数)0(≠+=k b kx y 与一次函数)0(≠+=a c ax y 的交点坐标为)(n m ，，则c ax b kx ++＞就是)0(≠+=k b kx y 的图像在)0(≠+=a c ax y 的图像上方的部分所对应的x 的值；c ax b kx ++＜就是)0(≠+=k b kx y 的图像在)0(≠+=a c ax y 的图像下方的部分对应的x 的值。

第一讲二次根式的性质与运算［教学内容］暑期衔接版，八升九第一讲“二次根式的性质与运算”.[教学目标]知识与技能1.掌握二次根式的概念，并会根据二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.2.理解二次根式的双重非负性.3.理解二次根式的性质并能够根据性质对二次根式进行化简计算.数学思考在研究二次根式性质的过程中，建立符号意识，独立思考，体会类比、分类讨论的思想方法. 问题解决经历二次根式性质的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力.情感态度1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界.2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.[教学重点、难点]重点：二次根式的概念与性质.难点：二次根式的概念的理解及性质的运用.[教学准备]动画多媒体语言课件.第一课时第二课时答案：【类似性问题】1. D2. C3. C4. A5. 56. 解：根据题意得解得所以3x+2y=3×2+2×5=16，故3x+2y的平方根是±4．7.解：∵,∴解得6≤x<9.又∵x为奇数，∴x=7.∴===8+2.手册答案1. B2. C3. C4. A5. C6. B7.（1）（2）（3）（4）（5）（6）8.9. 810. x11. 3ab12.解：∵c＜a＜0＜b，∴原式=｜b-a｜-｜b｜+｜c-b｜-｜a-c｜=b-a-b-（c-b）-（a-c）=b-a-b-c+b-a+c=-2a+b．13.解：（1）∵（ab-2）2+=0，∴解得（2）当a=2，b=1时，===1-=．。

段老师九年级暑假培优课堂 ：一元二次方程应用题（三） 一、循环赛问题（握手问题）例1.2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；……；求n 条直线相交，最多有多少个交点？例2、参加一个足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？例3为弘扬亚运精神，九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（即每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？请列方程解答此问题。

练习1、新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．102、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握了10次，设有x 人参加这次聚会，则列方程正确的是（ ） A 、(1)10xx -= B 、(1)102x x -= C 、(1)10xx += D 、(1)102x x += 二、传播问题例4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么有如下表格（表格分析法较直观）例5..某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？传染源 传染人数第0轮 1第1轮 x第2轮1+x练习1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（ ）A 、(1)121xx x ++=B 、1(1)121x x ++=C 、2(1)121x += D 、(1)121x x += 2.某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x 个小分支，那么依题意可得方程为 .三、增长率问题例6、为迎接”2011李娜和朋友们国际网球精英赛”，某款桑普拉斯网球包原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下列所列方程中正确的是 A.12%)1(1682=+a B.12%)1(1682=-a C.12%)21(168=-a D.12%)1(1682=-a 例7、2010年“十一”期间，武汉市接待游客人数达204.83万人次，比去年同期增长22.46%，下列说法：①2009年“十一”期间的旅游人次为204.83(122.46%)⨯-万；②2009年“十一”期间的旅游人次为%46.22183.204+万；③若按相同的增长率计算，2012年“十一”期间的的旅游人次将达到2%)46.221(83.204+⨯万；④若2011年“十一”期间的人次比2010年同期减少22.46%，那么2011年与2009年“十一”期间的旅游人次相同，其中正确结论的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4例8.为了应对市场竞争，某手生产厂计划用两年的时间把某种型号的手机的生产成本降低64%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数。

专题三——几何证明与计算10．（2010重庆）已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（D ）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤20、如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片 ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan ∠AED=2 ；③S △AGD=S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG . 其中正确结论的序号是 .10．如图，在正方形ABCD 的对角线上取点E ，使得∠BAE =︒15，连结AE ，CE ．延长CE 到F ，连结BF ，使得BC=BF ．若AB =1，则下列结论：①AE=CE ；②F 到BC 的距离为22； ③BE +EC =EF ；④8241+=∆AE DS ； ⑤123=∆EBF S ．其中正确的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个24． 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF ＝AD ，MF ＝MA ． （1）若∠MFC ＝120°，求证：AM ＝2MB ； （2）求证：∠MPB ＝90°－ 12 ∠FCM ．ABCDE F第10题图24．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。

八升九20天学习计划1. 制定20天学习计划和规划，明确目标。

2. 分析自己的优势和劣势，明确需要加强的科目和知识点。

3. 制定合理的学习时间和休息时间安排，确保有足够的睡眠和休息。

第二天：目标：建立学习信心，开始科目复习1. 复习上学期的知识，重新温习基础知识点。

2. 认真对待每一门科目，建立学习信心。

3. 制定每天科目复习时间表，确保每门科目都有充足的时间复习。

第三天：目标：加强语文阅读能力，提高作文水平1. 阅读文章，提高阅读理解能力。

2. 多写作文，提高写作水平。

3. 多背诵一些范文，丰富语言表达能力。

第四天：目标：加强数学基础，熟练解题1. 复习数学基础知识，强化基本概念。

2. 熟练解题，掌握解题技巧。

3. 多做一些练习题，提高解题速度和正确率。

第五天：目标：提高英语听力和口语水平1. 多听英语资料，提高听力水平。

2. 多练口语，提高口语表达能力。

3. 利用网络资源进行英语学习，提高英语水平。

第六天：目标：加强科学学习能力1. 定期阅读科学类书籍，开拓科学视野。

2. 多做一些科学实验，提高实践能力。

3. 关注科学新闻，了解最新的科学进展。

第七天：目标：加强历史和地理知识学习1. 多读历史和地理书籍，加深对历史和地理的理解。

2. 多看地理和历史纪录片，增加对历史和地理的了解。

3. 整理历史和地理知识，提高记忆能力。

第八天：目标：巩固所学知识点，查漏补缺1. 对所学知识点进行巩固，确保每一个知识点都掌握透彻。

2. 找出已掌握和未掌握的知识点，并进行巩固和填补。

3. 制定每天知识点查漏补缺的时间表，确保每一个知识点都没有遗漏。

第九天：目标：模拟考试，检验自己的学习成果1. 进行一次模拟考试，检验自己的学习成果。

2. 对模拟考试的结果进行分析，找出自己的不足之处。

3. 制定针对性的学习计划，针对自己模拟考试的成绩进行提高。

第十天：目标：放松心情，适当调整学习状态1. 适当放松心情，参加一些课外活动，舒缓紧张的学习状态。

八升九的学习计划书一、自我介绍大家好，我叫xxx，今年八月份即将升入九年级。

我是一个爱好学习的学生，对知识充满了好奇心和热情。

在过去的学习生涯中，我努力学习，取得了一些成绩，但也存在不足之处。

在即将进入九年级的学习生活中，我希望通过刻苦努力和科学的学习计划，进一步提高自己的学习能力，取得更大的进步。

二、学习目标在九年级，我将会更加全面地学习各个学科知识，同时培养自己的实践能力和创新意识。

具体来说，我希望在以下几个方面取得进步：1.语文学科：提高阅读能力，掌握更多的文学知识，提高写作水平。

2.数学学科：巩固基础知识，提高解题能力，培养数学思维。

3.英语学科：拓展词汇量，提高听说读写能力，提升英语水平。

4.科学学科：加强实验能力，深入理解科学知识，培养科学思维。

5.思想品德：培养正确的人生观、价值观，锻炼自律意识和责任意识。

三、学习方法1.合理规划学习时间，每天安排固定的学习时间，保持高效学习状态；2.养成良好的学习习惯，及时复习所学知识，保持知识的持续积累；3.注重实际运用，多做习题、多实践，培养解决问题的能力；4.结合学科特点，采取不同的学习方式，如看书、听讲、实验等；5.多维度了解知识，关注最新的科学技术和学科前沿资讯，丰富自己的知识储备。

四、分阶段学习计划1.暑假期间（7月-8月）在暑假期间，我将以复习和预习为主，巩固八年级知识，为九年级学习打好基础。

语文学科：阅读名著、诗词，总结写作技巧，准备开学作文。

数学学科：复习八年级数学知识，预习九年级知识，多做习题。

英语学科：背诵英语单词，练习听说读写，准备开学英语作文。

科学学科：通过实验、观察，加深科学知识的理解。

思想品德：阅读励志故事，培养正确的人生观和价值观。

2.第一学期（9月-12月）语文学科：阅读文学作品，练习写作技巧，多参加课外读书活动。

数学学科：系统学习代数、几何、函数等知识，多做习题巩固。

英语学科：掌握基础语法、词汇，多参加口语活动，提高英语水平。

四川省渠县崇德实验学校暑假衔接班九年级数学上册第二阶段（第1章-第3章）测试题(测试内容：第一章-第三章测试时间;120分钟满分:120分)姓名：_____________考号：__________班级：__________________得分：________________________一、选择题(每小题3分，共36分)1.若方程(m-3)x n+2x-3＝0是关于x的一元二次方程，则（）A.m＝3，n≠2B.m=3,n=2C.m≠3,n＝2D.m≠3,n≠22.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率3.用配方法解方程x2-1＝6x，配方后的方程是（）A.(x-3)2=9B.(x-3)2=1C.(x-3)2=10D.(x+3)2=94.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A.10cmB.8cmC.6cmD.5cm5.从如图所示的四个带圆圈的数字中，任取两个数字(既可以是相邻，也可以是相对的两个数字)相互交换它们的位置，交换一次后能使①、②两数在相对位置上的概率是（）A.13B.12C.23D.346.如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC 拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线相等的平行四边形是菱形7.一元二次方程(1-k)x2-2x-1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A.k>2B.k<2C.k＜2且k≠1D.k＞2且k≠18.已知平行四边形ABCD，下列结论中，不正确的是（）A.当AB＝BC时，它是菱形B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当AC＝BD时，它是正方形D.当∠ABC＝90°时，它是矩形9.从正方形铁片上截去2cm宽的一个矩形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A.100cm2B.121cm2C.144cm2D.169cm210.利用平方根去根号可以构造一个“整系数”方程、例如:x+1时，移项得x-1(x-1)2＝2，所以x2-2x+1＝2，即x2-2x-1＝0.仿照上述构造方法,当x=12时，可以构造出一个“整系数”方程是（）A.4x2+4x+5=0B.4x2+4x-5=0C.x2+x+1=0D.x2+x-1＝011.如图为太阳伞示意图，当伞收紧时，点P与点A重合，当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动;当点P到达点B时，伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN，则下列说法错误的是（）A.四边形PNCM可能会出现为正方形B.四边形PNCM的面积始终不变当∠CPN＝60°时，CP＝AP D.四边形PNCM的面积始终不变12.如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且BE＝14AB，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H，以下四个结论:①FG 12EH；②△DFE是直角三角形；③FG=12DE；④DE＝EB+BC.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题3分，共18分)13.方程x2＝-x的解是___________14.在一个不透明的袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅拌，不断重复上述试验5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中约有白球________个15.某种文化衫两次降价后，每件从192元降到108元，平均每次降价的百分率为___________16.如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是___________17.三张完全相同的卡片，正面分别标有数字0，1，2，先将三张卡片洗匀后反面朝上，随机抽取一张，记下卡片上的数字m，放置一边，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字n，则满足关于x的方程x2+mx+n＝0有实数根的概率为____________18.如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线1于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线于点A3，作正方形A3B3C3B4，…依此规律，A2018A2019_____________三、解答题(共66分)19.(6分)解方程:4x2+12x+9＝0.20.(8分)完全相同的四张卡片，上面分別标有数字1，2，-1，-2，将其背面朝上，从中任意抽出两张(不放回)，把第一张的数字记为a，第二张的数字记为b，以a，b分别作为一个点的横坐标与纵坐标.求点(a，b)在第四象限的概率.(用树状图或列表法求解)21.(9分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，将四边形CDFE 沿EF折叠后得到四边形C’D’FE，点D的对称点D与点B重合，连接DE.求证:四边形BEDF是菱形.22.(9分)在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96m2.(1)求矩形地面的长;(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少?23.(10分)如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等(若指针恰好落在分界线上，则重转)(1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转____度能与标有“4”的扇形的起始位置重合.(2)现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢(赢的一方先看).游戏规则:姐妹俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢;若指针所指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢.这个游戏规则对双方公平吗?请利用树状图或列表法说明理由？24.(10分)已知:矩形ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2-mx+2m +14＝0的两个实数根.(1)当m 为何值时，四边形ABCD 是正方形?求出这时正方形的边长？(2) 若AB 的长为2，那么矩形ABCD 的周长是多少?25.(14分)如图，正方形ABCO 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为(6，6)，将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度a(0°＜a ＜90°)，得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于H ，连CH ，CG.(1)求证:△CBG≌△CDG;(2)求∠HCG 的度数;并判断线段HG ，OH ，BG 之间的数量关系，说明理由;(3)连接BD，DA，AE，EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形?如果能，请求出点H的坐标;如果不能，请说明理由？。

八升九年级暑假计划表八升九年级暑假学习计划表。

一、语文。

1. 基础知识巩固。

- 每天背诵一首古诗词（可参考人教版九年级语文课本古诗词部分），了解诗词的创作背景、作者生平以及诗词的含义，并且默写下来，进行字词纠错。

- 复习八年级课本中的重点字词、成语、病句类型等基础知识。

每周进行一次字词小测试，自我检测掌握情况。

2. 阅读理解提升。

3. 作文积累与练习。

- 每周积累五个作文素材，包括名人故事、历史事件、社会热点等，并将其整理到素材本上，同时写下可以运用的作文主题。

- 每两周写一篇作文，可以是命题作文、半命题作文或者材料作文，写完后自己进行修改，也可以请家长或老师帮忙批改。

二、数学。

1. 复习八年级知识。

- 用两周时间回顾八年级数学的所有知识点，包括函数（一次函数、反比例函数）、几何（三角形全等、平行四边形等）、整式与分式等内容。

重新做一遍课本后的练习题，对于做错的题目进行整理和分析，找出自己的薄弱环节。

- 根据自己的薄弱知识点，有针对性地观看教学视频（如哔哩哔哩上的优质数学教学视频）进行强化学习。

- 每预习完一个章节，制作一个思维导图，梳理知识点之间的关系，加深对知识的理解和记忆。

3. 刷题巩固。

三、英语。

1. 词汇积累。

- 每周复习本周背诵的单词，通过默写、单词拼写游戏等方式进行巩固。

2. 语法学习。

- 预习九年级英语课本中的重点语法知识，如被动语态、虚拟语气等。

预习过程中，可以结合例句来理解语法规则，并尝试做一些简单的语法练习。

3. 阅读与听力训练。

- 每天阅读一篇英语短文（可以是英语报纸、杂志上的文章或者英语阅读理解练习题），阅读后完成相应的阅读理解题目，并对文章中的好词好句进行摘抄和背诵。

- 每周进行三次英语听力训练，可以听英语广播（如BBC英语广播）、英语电影或者英语听力练习题。

听力训练时，要注意听力技巧的运用，如预测听力内容、抓住关键词等。

四、物理。

1. 复习八年级知识。

- 回顾八年级物理的力学部分，包括力、重力、弹力、摩擦力、牛顿定律等知识点。

（北师版数学）2021年暑假初二升初三名师辅导精品课堂（3）辅导范围：一元二次方程（3）；辅导时间：120分钟；学生姓名：一、课堂精炼1．（2021·浙江八年级期末）如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为123,1x x ==，那么这个一元二次方程是（ ）A ．2340x x ++=B ．2430x x +-=C ．2430x x -+=D ．2340x x +-=【答案】C【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1=3，x 2=1，∴3+1=-p ，3×1=q ，∴p =-4，q =3，∴一元二次方程是x 2-4x +3=0，故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算． 2．（2021·山东济南市·八年级期末）若m 、n 为一元二次方程2220x x --=的两个实数根，则mn m n --的值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4-【答案】D【分析】根据韦达定理可得m ＋n ＝2，mn ＝-2，再代入mn m n --＝mn −（m ＋n ）即可．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2220x x --=的两个实数根，∴m ＋n ＝2，mn ＝-2，，∴mn m n --＝mn −（m ＋n ）＝-2-2＝-4，故选：D ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1+x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a． 3．（2021·合肥市第四十八中学九年级其他模拟）已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两根，那么2a a b +-的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得2290a a +-=，2a b +=-，将2a a b +-整理成()22a a a b +-+，代入即可求解．【详解】解：∵a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两根，∴a 2+2a −9=0，a +b =−2，∵a 2+a −b =a 2+2a −(a +b )=9−(−2)=11，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键． 4．（2021·四川宜宾市·中考真题）若m 、n 是一元二次方程x 2＋3x ﹣9＝0的两个根，则24m m n ++的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．12【答案】C【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m ＋n =−3，mn =−9，而m 是方程的一个根，可得m 2＋3m −9=0，即m 2＋3m =9，那么m 2＋4m ＋n =m 2＋3m ＋m ＋n ，再把m 2＋3m 、m ＋n 的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，∴m ＋n ＝−3，mn ＝−9，∵m 是x 2＋3x −9＝0的一个根，∴m 2＋3m −9＝0，∴m 2＋3m ＝9，∴m 2＋4m ＋n ＝m 2＋3m ＋m ＋n ＝9＋（m ＋n ）＝9−3＝6．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根x 1、x 2之间的关系：x 1＋x 2=−b a -，x 1•x 2=c a． 5．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根 【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．6．（2021·江苏南通市·九年级二模）若22x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根，则m ＋n 的值为（ ）A ．－4B ．－3C ．3D ．5【答案】B【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系可求解m 、n 的值，然后问题可求解．【详解】解：由题意得：((224,221m n =-+=-==，∴413m n +=-+=-；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．5【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义，得211310x x -+=，结合根与系数的关系，得1x +2x =3，进而即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，∴211310x x -+=，即：21131x x -=-，1x +2x =3，∴211252x x x --=2113x x --2(1x +2x )=-1-2×3=-7．故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握20ax bx c ++=（a ≠0）的两根为1x ，2x ，则1x +2x =b a -，1x 2x =c a，是解题的关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，则2122021x x -的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2021D ．2021- 【答案】B【分析】 根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120211x x =-，121x x ⋅=，再代入通分计算即可求解．【详解】∵方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，∴211202110x x -+=，121x x ⋅=，∴21120211x x =-， ∴2122021x x -=21202112021x x --=1222220011222x x x x x -⋅-=22202112021x x ⨯--=22x x -=-1． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．9．（2021·江苏徐州市·九年级二模）已知一元二次方程x 2﹣5x +c ＝0有一个根为4，则另一个根为___．【答案】1【分析】设方程的另一个根为x 2，根据两根之和得出x 2+4＝5，解之可得答案．【详解】解：设方程的另一个根为x 2，则x 2+4＝5，解得x 2＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q ＝0的两根时，x 1+x 2＝﹣p ，x 1x 2＝q ．10．（2021·天津河北区·八年级期末）已知x 1，x 2为方程x 2﹣3x ﹣7＝0的两个根，则1211+x x ＝___． 【答案】37-【分析】 利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1•x 2=-7，再变形1211+x x 为1212x x x x +⋅，代入计算即可求解． 【详解】解：∵x 1，x 2是方程x 2-3x -7=0的根，∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=-7， ∴1211+x x =1212x x x x +⋅=37-， 故答案为：37-． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．（2021·安徽池州市·八年级期末）已知m 2-2m -1=0，n 2-2n -1=0且m ≠n ，则n m m n+的值为____． 【答案】-6【分析】 m n ，是一元二次方程2210x x --=的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可求解．【详解】解：根据题意得，mn ，是一元二次方程2210x x --=的两个不相等的实数根， ∴2m n +=，1mn =- ∴2222()222=61n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-- 故答案为：-6．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系相结合解题是一种经常使用的解题方法．12．（2021·四川雅安市·中考真题）已知一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n ，则11m n +的值为______． 【答案】12021【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n∴1m n +=-，2021mn =- ∴111120212021m n m n mn +-+===- 故答案为：12021． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解． 13．（2021·四川成都市·九年级二模）已知a ，b 分别为一元二次方程x 2＋2x ﹣2011＝0的两个实数根，则a 2﹣3a ﹣5b ＝___．【答案】2021【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2220110a a +-=，即222011a a +=，则235a a b --化简为225()a a a b +-+，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：a 为一元二次方程2220110x x +-=的根，2220110a a ∴+-=，222011a a ∴+=， a ，b 分别为一元二次方程2220110x x +-=的两个实数根，2a b ∴+=-，223525()20115(2)2021a a b a a a b ∴--=+-+=-⨯-=．故答案为2021．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解． 14．（2021·江苏南京市·中考真题）设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =， ∵122x x =，∴233x =，∴21x =，∴12x =，∴122k =⨯=;故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为 b a -，两根之积为c a．15．（2021·江苏南通市·九年级二模）设α，β是一元二次方程2370x x +-=的两个根，则252ααβ++=______．【答案】1【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．【详解】解:∵,αβ是一元二次方程2370x x +-=的两个根，∴2370αα+-=，+3αβ=- ，∴原式＝()2252=+3+2ααβαααβ+++＝7－6＝1． 【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．16．（2021·辽宁丹东市·九年级一模）关于x 的方程2240mx x -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】14m <，且0m ≠ 【详解】略17．（2021·四川广元市·九年级一模）已知关于x 的一元二次方程()212022-++=m mx m x 有两个不等的实数根1x ，2x ．若12112+=m x x ，则m 的值为______． 【答案】2【分析】根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2（m +2），x 1•x 2=m ，变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵()22424022m m b ac m =-=+-⨯⨯>，且0m ≠， ∴1m >-，且0m ≠，∵12x x 、是方程()212022-++=m mx m x 有两个实数根， ∴()1222m x x m++=，121x x =， ∵12112+=m x x ， ∴12122x x m x x +=，即()222m m m +=， 整理得：220m m --=，解得：1221m m ==-，．∵1m >-，且0m ≠，∴2m =．故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．18．（2021·江西南昌市·九年级一模）若实数a 、b 满足a 2﹣8a +5＝0，b 2﹣8b +5＝0，则a +b 的值_____．【答案】8或8±【分析】分类讨论：当a ＝b ，解方程易得原式＝；当a ≠b ，可把a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：当a ＝b 时，由a 2﹣8a +5＝0解得a ＝，∴a +b ＝；当a ≠b 时，a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，∴a +b ＝8．故答案为8或．【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a 、b 进行分类讨论是解题关键．19．（2021·湖北荆门市·九年级其他模拟）已知1x ，2x 是一元二次方程2220-++=x x m 的两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得等式12112m x x +=-成立?如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）1m ≤-；（2）存在满足条件的m =【分析】（1）根据方程的系数，结合一元二次方程根的情况，得到根的判别式，转化为解关于m 的一元一次不等式，即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，得到关于m 的方程，解之即可． 【详解】（1）依题意得：0∆≥，44(2)0m ∴-+≥，解得1m ≤-．（2）依题意得：122x x +=，122x x m =+12112m x x +=-，即1212(2)x x m x x +=-， 2(2)(2)m m∴=-+，解得1m =2m =又1m ≤-，m ∴=∴存在满足条件的m =【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，涉及一元一次不等式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值． 【答案】（1）12m >；（2）1 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得12250x x m =-+>，124x x +=，得到1522m <<，根据两个根和m 都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根， ∴()164250m ∆=--+>，解得12m >； （2）设该方程的两个根为1x 、2x ， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴12250x x m =-+>，124x x +=，∴1522m <<， ∴m 的值为1或2，当1m =时，方程两个根为11x =、23x =； 当2m =时，方程两个根1x 与2x 不是整数； ∴m 的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．21．（2021·江苏淮安市·八年级期末）某地为引导旅客来旅游及消费，计划5月至9月开展全城推广活动．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】共有30名员工去旅游． 【分析】设该单位这次共有x 名员工去旅游，由题意易得人数是超过25人的，则有()2000402554000x x --=⎡⎤⎣⎦，然后求解即可． 【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游，由题意得： ∵25×2000=50000＜54000， ∴人数比25人多，∴()2000402554000x x --=⎡⎤⎣⎦ 解得：1230,45x x ==，当30x =时，()200040302518001700-⨯-=>，符合题意；当45x =时，()200040452512001700-⨯-=<，不符合题意； 答：共有30名员工去旅游． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．22．（2021·安徽合肥市·八年级期末）超市销售某种儿童玩具，经市场调查发现，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x 元，每天可售出y 件．（1）写出y 与x 之间的函数关系式 （不要求写出自变量取值范围）；（2）当x 取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？ 【答案】（1）1502y x =-；（2）此时每天可销售45件． 【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润2250元”即可得到结论； 【详解】 （1）1502y x =-； （2）解：由题意得()1405022502x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得1210,50x x == 每件利润不得超过60元020x ∴≤≤，因此取10x =，此时15010452y =-⨯=答：此时每天可销售45件． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 二、课后作业23．（2021·江苏泰州市·中考真题）关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值为 ___． 【答案】2．先根据根与系数的关系得到12121,1x x x x +==-，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2， ∴12121,1x x x x +==-， ∴x 1+x 2﹣x 1•x 2=1-（-1）=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 为一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根，则有1212,b cx x x x a a+=-=，熟记知识点是解题的关键．24．（2021·湖北中考真题）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个实数根,αβ．且111αβ+=．则m =_______． 【答案】3 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22,m m m αβαβ+==-，再根据111αβ+=可得一个关于m的方程，解方程即可得m 的值． 【详解】解：由题意得：22,m m m αβαβ+==-，111αβαβαβ++==， 221mm m∴=-，化成整式方程为230m m -=， 解得0m =或3m =，经检验，0m =是所列分式方程的增根，3m =是所列分式方程的根， 故答案为：3．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．25．（2021·湖南娄底市·2是方程20x x c --=的一个根，则该方程的另一个根为______．【答案】1 【分析】2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可以求出方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为x 1，由x 12＝111--=，得x 1=1，故答案是：1． 【点睛】根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键．26．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）已知关于x 的一元二次方程2220x x a --=有两个不相等的实数根12,x x ，则12x x +=________；若21118x x +=-，则a =________． 【答案】2 12± 【分析】根据根与系数的关系可得12x x +和12x x ，再根据21118x x +=-得到21128x x x x =+-，代入即可求出a 值． 【详解】 解：由题意可得：12221x x -+=-=，212x x a =-， ∵122112118x x x x x x ++==-， ∴21128x x x x =+-，∴()228a =-⨯-，解得：12a =±， 故答案为：2，12±．【点睛】本题考查了一元一次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程得到12x x +和12x x ．27．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·九年级一模）若实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，则代数式33m n mn +的值为______． 【答案】98 【分析】由题意得：m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，利用跟与系数的关系，得出10m n +=，1⋅=m n ，进而即可求解． 【详解】解：∵实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=， ∴m 、n 是方程21010x x -=+的两个根， ∴10m n +=，1⋅=m n ，∴33m n mn +=222()()2mn m n mn m n mn ⎡⎤+=+-⎣⎦ =21102198⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦，故答案是：98． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数m 、n 看作是方程21010x x -=+的两个根，是解题的关键．28．（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程250x x m ++=的一个根为2-，则另一个根为________． 【答案】3- 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，代入求解即可设另一个根为2x ，根据根与系数的关系有：12bx x a+=-即225x -+=- 解得：23x =- 故答案为3- 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 29．（2021·全国九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1＝0． （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值． 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为0，m 的值为1- 【分析】（1）由△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝（m +1）2+4＞0可得答案； （2）设方程的另外一根为a ，根据一元二次方程根与系数的关系得出2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解之即可得出答案．【详解】（1）证明：∵△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1） ＝m 2+6m +9﹣4m ﹣4 ＝m 2+2m +1+4 ＝（m +1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另外一根为a ， 根据题意，得：2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解得：01a m =⎧⎨=-⎩，所以方程的另一根为0，m 的值为1-．本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．30．（2021·苏州科技城外国语学校八年级期中）已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=有两个不相等的实数根12,x x ． （1）求m 的取值范围； （2）若12114m x x +=，求m 的值． 【答案】（1）1m >-且0m ≠；（2）2 【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△0>，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出122m x x m ++=，1214x x =，结合12114m x x +=，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合1m >-且0m ≠，即可确定m 的值． 【详解】 解：（1）关于x 的一元二次方程2(2)04mmx m x -++=有两个不相等的实数根， ∴20[(2)]404m m m m ≠⎧⎪⎨=-+-⨯⨯>⎪⎩， 解得：1m >-且0m ≠． （2）1x ，2x 是一元二次方程2(2)04mmx m x -++=的实数根， 122m x x m +∴+=，1214x x =．121212114x x m x x x x ++==，即4(2)4m m m+=， 220m m ∴--=，解得：11m =-，22m =． 又1m >-且0m ≠，【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）由二次项系数非零及根的判别式△0>，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合12114m x x +=，找出关于m 的一元二次方程．31．（2021·山东济南市·八年级期末）受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元． （1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？【答案】（1）平均每天可售出60个；（2）这种电子产品的销售单价定为70元合适． 【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解；（2）设这种电子产品的销售单价定为x 元，由题意易得()605010020160010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：10020102060-÷⨯=（个）；答：平均每天可售出60个．（2）设这种电子产品的销售单价定为x 元，由题意得：()605010020160010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭， 解得：1290,70x x ==， ∵要让利于消费者， ∴70x =；答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．三、挑战自我32．（2021·广东汕头市·九年级一模）甲、乙两人同解方程组515410ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=-⎩（1）求a ，b 的值；（2）若关于x 的一元二次方程20-+=ax bx m 两实数根为1x ，2x ，且满足12727-=x x ，求实数m 的值．【答案】（1）72a b =⎧⎨=-⎩；（2）5m =-【分析】（1）将31x y =-⎧⎨=⎩代入方程②求出b 的值，将54x y =⎧⎨=-⎩代入方程①求得a 的值，即可得出答案，（2）再将a ，b 的值代入20-+=ax bx m 中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m 的值． 【详解】解：（1）根据题意得()()554154310a b ⎧+⨯-=⎪⎨⨯--=-⎪⎩解得72a b =⎧⎨=-⎩ （2）当72a b =⎧⎨=-⎩时，一元二次方程20-+=ax bx m 化为2720++=x x m ，由根与系数关系得1227+=-x x ，127⨯=mx x 联成方程组得{x 1+x 2=−277x 1−2x 2=7，解得{x 1=57x 2=−1∴m =−5【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．33．（2021·浙江八年级月考）已知关于x 的一元二次方程2(4)240x m x m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若12,x x 为方程的两个根，且22124n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的数图象是否经过点(5,9)A -，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）经过，理由见解析【分析】（1）根据判别式公式得△=m 2≥0，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2和x 1x 2关于m 的表达式，整理n =x 12+x 22-4，得n =（m +2）2，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m +4）]2-4（2m +4）=m 2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）根据题意得：x 1+x 2=m +4，x 1x 2=2m +4，n =x 12+x 22-4=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-4，=（m +4）2-2（2m +4）-4=m 2+4m +4=（m +2）2即n =（m +2）2，经过（-5，9）．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．。

学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题 第2讲-一次函数与平行四边形学习目标1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．教学内容上次课预习内容，让每个孩子将自己准备的问题展示给大家看，（下面两个例题给选择，时间够就两个都讲，不够就选讲）1． 已知点A 、B 、C 、D 可以构成平行四边形，且点A （－1，0），点B （0，3），点C （3，0），则第四个顶点D 的坐标为_________________________；参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）；2．已知一次函数334y x =-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，如果点C 在y 轴上，存在点D 使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ．xy BCA OxyD 2D 3D 1BCA Oy参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --；例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标．参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1），设直线AC 的表达式为1y kx =+， ∴1221,2k k =+=； ∴直线AC 的表达式为112y x =+． （2）设点C 的坐标为（2,1m m +），∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）．∵BA ＝BC ，∴22BA BC =； ∴222(20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-．∴21260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）． ∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16， ∴D （0，16）．例题2：如图，在平面直角坐标系中，点C （－3,0），B （0，3），且∠OBA ＝∠BCO ，直线BA 与x 正半轴交于点A 。

九年级数学暑假作业（二）主备: 刘立华 审核 :朱静1.用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ）A 、（1）（2）（4）B 、（2）（3）（4）C 、（1）（3）（4）D 、（1）（2）（3）2.一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积S 等于( )A 、48cm 2B 、24cm 2C 、12cm 2D 、18cm 23.矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm 和5cm 两段，则该矩形的周长为 （ ）cm A 、20 B 、22 C 、26或22 D 、304.如图，平行四边形ABCD 的面积为24，E 为AB 上的中点，连接CE 、AC ，DE 、AC 的交点为O ，则三角形OCE 的面积为 （ ）A ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．65．如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ） A ． 1B ．3C ． 2D ．3＋1二、填空题6.依次连接四边形ABCD 各边的中点所得的四边形是矩形，则原四边形 。

7.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ， )．8．如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。

9.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =10.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有 (填序号) ．三、解答题：11.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF ∽△DEC ； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE 的长．12.如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC. 设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.(1) 求证：OE=OF（2）若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3) 当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由.第4题第5题21LDCBA 第8题图HGODCA13.如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP 并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．14.（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE．连接BE，CD．BE 与CD有什么数量关系？简单说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE．求BE的长．AB C图1AB CFDGE图2AB C图3。

精锐教育1对3辅导讲义锐角三角比的概念正弦余弦正切余切{特殊的锐角三角比30°/45°/60°{锐角三角比构造直角三角形解直角三角形及其应用1、仰角、俯角如图1所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角．2、水平距离、垂直距离、坡面距离如图2所示，BC 代表水平距离，AC 代表垂直距离，AB 代表坡面距离．3、坡度、坡角如图3所示，把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lh i =，坡度一般写成l h :的形式，如⎪⎭⎫ ⎝⎛==515:1i i 即．坡面与水平的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：αtan==lhi.坡度越大，则α角越大，坡面越陡．4、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于︒90的水平角，叫方向角，如右图，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东︒60，北偏西︒30，西南方向，南偏东︒20．例1：通过学习三角的三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。

我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadABCAB==底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。

根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°= 。

（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是。

（3）如图②，已知3sin5A=，其中∠A为锐角，试求sadA的值。

东南西北BACD铅垂线仰角俯角视线水平线视线图1AB C垂直距离坡面距离水平距离图2图3解：（1）1（2）0<sadA <2（3）设AB=5a ，BC=3a ，则AC=4a如图，在AB 上取AD=AC=4a ，作DE ⊥AC 于点E 。

图10DCBA 精锐之星二〇一一年暑假辅导期末测试数学试卷（七升八）姓名：___________ 得分：__________总分栏题号 一 二 三 总分 得分答题说明：（1）本试卷共二大页，总分100分，答题时间为100分钟。

（2）答题必须用黑色或者蓝色签字笔或钢笔。

（3）做题时，请认真读完题目要求再答题。

（4）不得使用修正液、涂改液等。

（5）不得提前交卷。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ）．（A ）AB ∥CD ，AD=BC; （B ）∠A=∠B ，∠C=∠D; （C ）AB=CD ，AD=BC; （D ）AB=AD ，CB=CD 2．在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5∶4，则∠C 等于（ ） A.60° B.80° C.100° D.120°3．下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A.2x 2+7=0B.2x 2+23x +1=0C.5x 2+x1+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=04．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ）A ．外角和等于360°B ．对角线互相平分C ．内角和等于360°D ．有两条对角线5．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（ ）A 、①④⑤B 、②⑤⑥C 、①②③D 、①②⑤ 6．若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =07．下列一元二次方程中，有实数根的是（ ）A 、x 2－x ＋1=0B 、x 2－2x+3=0C 、x 2+x －1=0D 、x 2＋4=08．一项工程，甲队做完需要m 天，乙队做完需要n 天，若甲乙两队合做，完成这项工程需要天数为（ ）A.m +nB.21(m+n ) C.mnn m + D.nm mn +9．如图10，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，那么它的四个内角按一定顺序的度 数比可能为（ ）A 、3:4:5:6B 、4:5:4:5C 、2:3:3:2D 、2:4:3:3 10. 如图2，反比例函数xky =和一次函数kkxy -=在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）二.填空题: (每小题3分,共30分)1．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．2．在中，两邻边的差为4cm ，周长为32cm ，则两邻边长分别为________． 3．某商场在一次活动中对某种商品两次降价5%，该种商品原价为a ，则二次降价后该商品的价格为___________.AB CDB 4．一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x （厘米），应满足方程__________.5．等腰梯形的上底是10cm ，下底是14cm ，高是2cm ，则等腰梯形的周长为______cm ． 6．已知方程0132=+-x x 的两根是21,x x ，则：=+21x x ，21x x = 7．若菱形的周长为24 cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为______ cm 2。

靖江外国语学校九年级数学暑假作业（四）主备:倪红艳 审核：丁建红一、选择题1. 在x 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、m a 1+中,分式的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 2. 下列方程中，分式方程有（ ）①531_212=x x ②5322=-x x ③0522=-x x ④035225=+-x x A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 如果把分式yx xy22+中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ）A.扩大4倍B.扩大2倍C.不变D.缩小2倍 4. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A.263-a B. xy yx --22 C. 424-x y D. 112++m m 5. 对于非零的两个实数a 、b ，规定11a b b a⊕=-.若1(1)1x ⊕+=则x 的值为（ ）A. 23B. 1C. 21- D. 21二、填空题6.⑴若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = ．⑵关于x 的分式方程442212-=++-x x k x 有增根x=-2，则k 的值是 ．⑶若关于x 的分式方程112=--x ax 的解为正数，那么a 的取值范围是 . 7. ⑴若=++=+1,31242x x x x x 则_____________． ⑵已知113x y -=，则代数式21422x xy yx xy y----的值为_____________．⑶设a >b >0，a 2＋b 2—6ab ＝0，则a bb a+-的值等于_____________．8．⑴函数12-+=x x y 中自变量x 的取值范围是_________；当 x = 时，分式96122+---x x x 的值为0． ⑵已知分式ax x x +--532，当2=x 时，分式无意义，则_____=a ． 9.今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为_________元． 三、解答题10. 计算：（1）111111a a a a ⎛⎫+÷+ ⎪+-+⎝⎭ （2） xx x x x x x x 4)44122(22-÷+----+11.⑴先化简，再求值：1112421222-÷+--•+-a a a a a a ，已知02=-a a ．⑵已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值．12．解下列分式方程： （1） x x x --=+-21321 （2）2163524245--+=--x x x x13.某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？14.某服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T 恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折销售，很快全部售完。

八年级暑假作业设计布置（语文、数学、英语、）
八年级暑假作业设计布置（语文、数学、英语、）八年级语文(八升九)
1、读《三国演义》。

要求：每天看20页，并在书上做相应的总结与感悟。

2、预习九年级《语文》上册。

要求：背诵书上的古诗文，并在由家长监督作业本上默写。

3、每周写一篇周记，字数不少于500字。

八年级(2)班数学(八升九)
一、学具准备。

1、准备家庭作业本，课堂练习本，作业本，疑难问题本、假期作业本，错题登记本各1个，共计6个大本。

2、九年级课本上、下册，备教辅一本。

二、预习作业。

1、预习九年级上册课本第21章二次根式;第22章一元二次方程;第24章圆;通过预习总结各章的知识要点，完成课后练习题，做到假期作业本上，以备查用并注明学习日期。

2、记录自己学习的困惑，疑难问题登记在疑难问题本上。

八年级英语(八升九)
一、时态回顾。

1、一般现在时。

定义：
公式一：(1)肯定式举例;。