人教版高中数学同步解析与测评学考练数学A版选修4-5不等式选讲4.2

4.2用数学归纳法证明不等式同步检测一、选择题1. 用数学归纳法证明不等式：2413212111>+++++n n n （1>n ，*∈N n ），在证明1+=k n 这一步时，需要证明的不等式是（ ）A ．2413212111>+++++k k k B ．2413121213111>+++++++k k k k C ．2413121213121>+++++++k k k k D ．2413221121213121>+++++++++k k k k k 错误！未找到引用源。

答案：D解析：解答：当1+=k n 时，那不等式左边的式子中的n 都换成1+k ，得到2413221121213121>+++++++++k k k k k ． 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据 2. 用数学归纳法证明不等式()1111n 1>2322n n N *-++++∈，第二步由k 到k+1时不等式左边需增加（ ） A ．12k B.111212k k-++C.1111121222k k k --++++ D.1111121222k k k--+++++ 答案：D解析：解答：由题意，n=k 时，最后一项为112k -，n=k+1时，最后一项为12k ∴由n=k 变到n=k+1时，左边增加了2k -（2k-1+1）+1=2k-1项，即为1111121222k k k--+++++故选D ．分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据数学归纳法证明的步骤分析计算即可 3. 用数学归纳法证明2413212111>+++++n n n 时，由k 到k+1，不等式左端的变化是（ ）A.增加)1(21+k 项 B.增加121+k 和221+k 两项C.增加121+k 和221+k 两项且减少11+k 一项 D.以上结论均错 答案：C解析：解答：n=k 时，左边=11k ++12k ++......+1k k+， n=k 时，左边=()111k +++()112k +++……+()()111k k +++=(11k ++12k ++......+1k k +)-11k ++121k ++122k + 故选C分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据观察不等式“2413212111>+++++n n n 左边的各项，他们都是以 11n +开始，以 12n项结束，共n 项，当由n=k 到n=k+1时，项数也由k 变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论． 4. 用数学归纳法证明：“*1111(1,)2321nn n n N ++++<>∈-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +答案：C解析：解答：因为用数学归纳法证明：“*1111(1,)2321nn n n N ++++<>∈-”时，由(1)n k k =>不等式成立，等式左边有21k -，因此推证1n k =+时，左边应121+-k ，因此应该增加的项数是2k ，选C分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的方法分析计算即可 5. 用数学归纳法证明11112321nn ++++<- （,1n N n +∈>）时，第一步应验证不等式（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++<答案：B解析：解答：数学归纳法中，一般情况下第一步验证1n =时的情况。

人教A版高中数学选修4-5全册同步检测题目录第一章不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质试题1.1.2基本不等式试题1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式试题1.2.1绝对值三角不等式试题1.2.2绝对值不等式的解法试题第1章不等式和绝对值不等式测评第二章证明不等式的基本方法2.1比较法试题2.2综合法与分析法试题2.3反证法与放缩法试题第2章证明不等式的基本方法测评第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式试题3.2一般形式的柯西不等式试题3.3排序不等式试题第3章柯西不等式与排序不等式测评第四章用数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法试题4.2用数学归纳法证明不等式举例试题第4章用数学归纳法证明不等式测评选修4-5模块综合测评1.不等式的基本性质课后篇巩固探究A组1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是()A.ac>bcB.a c>b cC.log a(a-c)>log b(b-c)D.aa-c >bb-cc<0,∴-c>0.又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac<bc.故aa-c −bb-c=ab-ac-ab+bc(a-c)(b-c)=c(b-a)(a-c)(b-c)>0.即aa-c >bb-c.2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是()A.a²lg x>b²lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a²2x>b²2xa>b,当lg x≤0时,a²lg x>b²lg x不成立,故A错误.当x=0时,ax2=bx2,故B错误.若a=0,b=-1,则a2<b2,故C错误.∵2x>0,∴a²2x>b²2x,故D正确.3.若角α,β满足-π2<α<β<3π2,则α-β的取值范围是()A.(-2π,2π)B.(-2π,0)C.(-π,0)D.(-π,π)-π<β<3π,所以-3π<-β<π.又α-β=α+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是()A.1a >1bB.ba>1C.a2>b2D.ab<a+b-1a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab<a+b-1.5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则m+n=3,m-n=-2,所以m=1,n=5.因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以12≤12(a+b)≤52,-52≤52(a-b)≤152,故-2≤3a-2b≤10.6.已知0<a<1,则a,1a,a2的大小关系是.(从小到大)a-1=(a+1)(a-1)<0,∴a<1.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2<a<1.2<a<17.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是.0<a-b<2,1<c2<4,则0<(a-b)c2<8.8.设a>b>c>0,若x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z之间的大小关系是.(从小到大)x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x<y.同理可得y<z,故x,y,z之间的大小关系是x<y<z.9.若3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,b2的取值范围.3<a<7,1<b<10,所以4<a+b<17,即a+b∈(4,17).因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19,即3a-2b∈(-11,19).因为9<a2<49,所以1<12<1.又1<b<10,所以1<b2<10,即b2∈1,10.10.导学号26394000在等比数列{a n}中,若a1>0,q>0,前n项和为S n,试比较S3 a3与S5a5的大小.q=1时,S33=3,S55=5,所以S33<S55.当q>0,且q ≠1时,S 3a 3−S 5a 5=a 1(1-q 3)a 1q 2(1-q )−a 1(1-q 5)a 1q 4(1-q )=q2(1-q 3)-(1-q 5)q 4(1-q )=q 2-1q 4(1-q )=-q -1q 4<0,所以有S33<S55.综上可知有S33<S55.B 组1.(2017河北衡水模拟)已知0<a<b<1,c>1,则( ) A.log a c<log b c B. 1 c< 1 cC.ab c <ba cD.a log c 1<b log c 1a=14,b=12,c=2,得选项A,B,C 错误.由0<a<b<1,c>1,则1a >1b >1,logc x 在定义域上单调递增.故a log c 1b <b logc 1a .2.已知a ,b ∈R ,则下列条件中能使a>b 成立的必要不充分条件是( ) A.a>b-1 B.a>b+1 C.|a|>|b| D.3a >3b 解析因为a>b ⇒a>b-1,但a>b-1a>b ,所以“a>b-1”是“a>b ”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b ”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b ”的既不充分也不必要条件;“3a >3b ”是“a>b ”的充要条件.3.导学号26394001已知实数a ,b ,c 满足b+c=3a 2-4a+6,c-b=a 2-4a+4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c ≥b>a B.a>c ≥b C.c>b>a D.a>c>bc-b=a 2-4a+4=(a-2)2≥0易知c ≥b ,又由已知可解得b=a 2+1>a ,所以c ≥b>a.4.若a ,b ∈R ,且a 2b 2+a 2+5>2ab+4a ,则a ,b 应满足的条件是 .(ab-1)2+(a-2)2>0,则a ≠2或b ≠1.≠2或b ≠15.设x>5,P= x -4− x -5,Q= x -2− x -3,试比较P 与Q 的大小关系.P= x -4− x -5=x -4+ x -5,Q= x -2− x -3=x -2+ x -3,又 x -4+ x -5< x -2+ x -3,所以Q<P. 6.导学号26394002已知θ∈ 0,π6 ,且a=2sin 2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a 与b 的大小.θ∈ 0,π6 ,所以a=2sin 2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0.因为a=2sin 2θ+sin2θ=2sin θ(sin θ+cos θ)=2sin θ,又θ∈ 0,π6 ,所以sin θ∈ 0,12 ,2sin θ∈(0,1), 即0<ab <1,故a<b.2.基本不等式 课后篇巩固探究A 组1.下列结论正确的是( ) A.若3a +3b ≥2 a b ,则a>0,b>0 B.若b+a≥2,则a>0,b>0C.若a>0,b>0,且a+b=4,则1a +1b ≤1 D.若ab>0,则 ab ≥2aba +ba ,b ∈R 时,则3a >0,3b >0,所以3a +3b ≥2 a b (当且仅当a=b 时,等号成立),故选项A 错误.要使b+a≥2成立,只要b>0,a>0即可,这时只要a ,b 同号,故选项B 错误.当a>0,b>0,且a+b=4时,则1a +1b=4ab.因为ab ≤ a +b 2 2=4,所以1a +1b=4ab ≥1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C 错误.当a>0,b>0时,a+b ≥2 ab ,所以2aba +b ≤2 ab = ab .而当a<0,b<0时,显然有 ab ≥2ab a +b ,所以当ab>0时,一定有 ab ≥2aba +b(当且仅当a=b ,且a ,b>0时,等号成立),故选项D 正确.2.若a<1,则a+1a -1的最大值是( )A.3B.aC.-1D.2 aa -1a<1,所以a-1<0,所以a+1a -1=a-1+1a -1+1≤-2 (1-a ) 1-a +1=-1,当且仅当1-a=11-a ,即a=0时,取最大值-1,故选C .3.(2017全国模拟)已知x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +13y 的最小值是( ) A.2B.2C.4D.2 3lg 2x +lg 8y =lg 2,∴lg(2x ²8y )=lg 2,∴2x+3y =2,∴x+3y=1. ∵x>0,y>0,∴1x +13y =(x+3y ) 1x +13y=2+3y +x ≥2+2 3y ·x=4, 当且仅当x=3y=12时,等号成立.故选C .4.函数f (x )=x+4-1的值域是( ) A.(-∞,-3]∪[5,+∞) B.[3,+∞)C.(-∞,-5]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)x>0时,x+4x -1≥2 x ·4x-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+4x -1=- (-x )+ -4-1≤-2 (-x )· -4-1=-5(当且仅当x=-2时,等号成立),故函数f (x )的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).5.若正数x ,y 满足x+4y=4,则xy 的最大值为 .x+4y ≥2 =4 xy (当且仅当x=4y 时,等号成立),又x+4y=4,所以4 xy ≤4,即xy ≤1,故xy 的最大值为1.6.(2017山东高考)若直线xa +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .直线xa +yb =1过点(1,2),∴1a +2b =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b ) 1a +2b =4+ b a +4a b ≥4+2 b a ·4ab=8. 当且仅当b=2a 时“=”成立.7.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .4x+600³6=4 x +900≥4³2 900=240,当且仅当x=900,即x=30时等号成立.8.已知x>1,y>1,且xy=1 000,求lg x²lg y的最大值.x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0,所以lg x²lg y≤lg x+lg y22=lg xy22=lg100022=322=94,当且仅当lg x=lg y,即x=y时,等号成立, 故lg x²lg y的最大值等于9.9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证1+1x 1+1y≥9.=1+11+1 =1+x+y1+x+y=2+yx 2+xy=5+2yx+xy≥5+4=9,当且仅当yx =xy,即x=y=12时,等号成立,所以1+1x1+1y≥9.10.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元.如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?x米(0<x≤5).由题意可得,总造价y=32x×150+12×400+5 800=900 x+16+5 800(0<x≤5).由基本不等式可知y=900 x+16+5 800≥900³2x×16x+5 800=13 000(元),当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.由上可知,当侧面的长度为4米时,总造价最低.B组1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是()A.ab≤1B.ab≥1C.a2+b2≥4D.a2+b2≤4ab≤a+b2=1(当且仅当a=b时,等号成立),而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab ≥2,故选项A正确.2.爬山是一种简单有趣的户外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇),则甲、乙两人上山下山所用的时间t 1,t 2的关系为( )A.t 1>t 2B.t 1<t 2C.t 1=t 2D.不能确定h ,则依题意有t 1=ℎ1+ℎ2=h ²v 1+v212>h ²2 v 1v 212=h ²v v , t 2=2ℎv 1+v 22=h ²412<h ²2v v =h ²v v ,故t 1>t 2.3.(2017天津高考)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为.a ,b ∈R ,且ab>0,∴a 4+4b 4+1≥4a 2b 2+1=4ab+1≥4 当且仅当 a 2=2b 2,4ab =1ab ,即 a 2= 2,b 2=2时取等号 .4.导学号26394006已知关于x 的二次不等式ax 2+2x+b>0的解集为x x ≠-1a,且a>b ,则a 2+b2a -b的最小值为 .x 的方程ax 2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1,所以a 2+b2a -b =(a -b )2+2ab a -b =(a-b )+2a -b ≥2 (a -b )·2a -b=2 2 当且仅当a -b =2a -b时,等号成立 ,故a 2+b 2a -b的最小值为2 .25.已知a>2,求证log (a-1)a>log a (a+1).log (a-1)a-log a (a+1)=lg a lg (a -1)−lg (a +1)lg a =lg 2a -lg (a -1)lg (a +1)lg a lg (a -1),而lg(a-1)lg(a+1)< lg (a -1)+lg (a +1)2= lg (a 2-1)22<lg a 222=lg 2a ,即lg 2a-lg(a-1)lg(a+1)>0. 又a>2,∴lg a lg(a-1)>0,∴lg2a-lg(a-1)lg(a+1)lg a lg(a-1)>0,即log(a-1)a-loga(a+1)>0,∴log(a-1)a>loga(a+1).6.导学号26394007某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入100万元进行技术革新.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数n的关系是g(n)=n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为n+1元,进行技术革新投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)100n+1-100n(n∈N+).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100n+1-100n=1 000-80n+1n+1≤520.当且仅当=n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A 组1.若a>0,则2a+12的最小值为( )A.2 2B.3 23C.1D.3a+12=a+a+12≥3 a ·a ·123=3,当且仅当a=12,即a=1时,2a+12取最小值3.2.设x ,y ,z ∈R +,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( )A.(-∞,lg 6]B.(-∞,3lg 2]C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)x ,y ,z ∈R +,所以6=x+y+z ≥3 xyz 3,即xyz ≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz ≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).3.已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z 的最小值为( ) A.3 63B.2 2C.12D.12 532x >0,4y >0,8z >0,所以2x +4y +8z =2x +22y +23z ≥3 x 2y 3z 3=3 x +2y +3z 3=3³4=12.当且仅当2x =22y =23z ,即x=2y=3z ,即x=2,y=1,z=2时,等号成立.4.若a ,b ,c 为正数,且a+b+c=1,则1a +1b +1c 的最小值为( ) A.9B.8C.3D.13a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1+1+1=a +b +c +a +b +c +a +b +c=3+b +c +a +c +a +b ≥3+6 b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·bc6=3+6=9 当且仅当b a =c a =a b =c b =a c =b c, 即a =b =c =1时,等号成立 .5.用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长³宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( ) A.2³5 B.2³5.5 C.2³6.1 D.3³5长方体水箱长、宽、高分别为x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x ²4+2y ²4=xy+8+8≥3 xy ··3=12当 且仅当xy =8y=8x,即x =y =2,z =1时,等号成立 .故要制作容积为4 m 3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m 2,所以选项A,B 排除,而选项C,D 均够用,但选项D 剩较多,故选项C 正确.6.若a ,b ,c 同号,则b a +c b +ac ≥k ,则k 的取值范围是 .a ,b ,c 同号,所以b a ,c b ,a c >0,于是b a +c b +ac ≥3 b a ·c b ·ac 3=3(当且仅当a=b=c 时,等号成立),因此k 的取值范围是k ≤3.≤37.若x<0,则2-x 2的最大值为 .2=- x 2-2x =- x 2+ -2x ,因为x 2+ -2x =x 2+ -1x + -1x≥3 x 2· -1 · -13=3 当且仅当x 2=-1,即x =-1时,等号成立 ,所以2-x 2≤-3,即2-x 2的最大值为-3.38.若a>b>0,则a+1(a -b )b 的最小值为 .a>b>0,所以a-b>0,于是a+1(a -b )b =(a-b )+b+1(a -b )b ≥3 (a -b )·b ·1(a -b )b3=3,当且仅当a-b=b=1(a -b )b ,即a=2,b=1时,a+1(a -b )b的最小值为3.9.已知实数a ,b ,c ∈R ,a+b+c=1,求4a +4b +4c 2的最小值,并求出取最小值时a ,b ,c 的值.-几何平均不等式,得4a +4b +4c 2≥3 4a ·4b ·4c 23=3 4a+b+c 23(当且仅当a=b=c 2时,等号成立).∵a+b+c=1, ∴a+b=1-c.则a+b+c 2=c 2-c+1= c -12 2+34,当c=12时,a+b+c 2取得最小值34. 从而当a=b=14,c=12时,4a +4b +4c 2取最小值,最小值为3 2. 10.导学号26394008已知x ,y 均为正数,且x>y ,求证2x+1x 2-2xy +y 2≥2y+3.x>0,y>0,x-y>0,所以2x+1x 2-2xy +y 2-2y=2(x-y )+1(x -y )2=(x-y )+(x-y )+1(x -y )2≥3 (x -y )·(x -y )·1(x -y )23=3,所以2x+1x 2-2xy+y 2 ≥2y+3当且仅当x -y =1(x -y )2时,等号成立.B 组1.若log x y=-2,则x+y 的最小值为( )A.3 232B.2 333C.3 32D.2 23log x y=-2得y=1x 2,因此x+y=x+1x 2=x 2+x 2+1x 2≥3 x 2·x 2·1x 23=3 232 当且仅当x2=1x 2,即x = 23时,等号成立 .2.设x>0,则f (x )=4-x-12x 2的最大值为( ) A.4- 2B.4- 2C.不存在D.5x>0,∴f (x )=4-x-12=4- x +x +12≤4-3 x 2·x 2·12x 23=4-32=52 当且仅当x2=12x 2时,等号成立 .3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V ,则下列不等式正确的是( ) A.V ≥πB.V ≤πC.V ≥πD.V ≤π,设圆柱的半径为R ,高为h ,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S ²h=πR 2²h=π²R ²R ²h ≤π R +R +ℎ 3=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.4.设三角形的三边长为3,4,5,P 是三角形内的一点,则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ,y ,z ,三角形的面积为S ,则S=12(3x+4y+5z ). 因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=12³3³4=6,所以3x+4y+5z=2³6=12,所以12=3x+4y+5z ≥3 3x ·4y ·5z 3=3 60xyz 3,所以xyz ≤16,当且仅当3x=4y=5z ,即x=4,y=1,z=4时,等号成立.5.导学号26394009设x ,y ,z>0,且x+3y+4z=6,求x 2y 3z 的最大值.6=x+3y+4z=x2+x2+y+y+y+4z ≥6 2·2·y ·y ·y ·4z 6=6 x 2y 3z 6,所以x 2y 3z ≤1. 当且仅当x 2=y=4z ,即x=2,y=1,z=14时,等号成立,所以x 2y 3z 的最大值为1. 6.导学号26394010设a 1,a 2,…,a n 为正实数,求证a 1n +a 2n +…+a n n+1a 1a 2…a n≥2 n .a 1,a 2,…,a n 为正实数,∴a 1n +a 2n +…+a n n ≥n a 1n a 2n …a n n n=na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立. 又na 1a 2…a n +1a 1a 2…a n≥2 n ,当且仅当na 1a 2…a n =1a 1a 2…a n时,等号成立,∴a1n+a2n+…+a n n+1≥2n.a1a2…a n1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=|a|-|b||a-b|,n=|a|+|b||a+b|,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴|a|-|b||a-b|≤1≤|a|+|b||a+b|.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值范围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.17.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式|a+b||a|-|b|≥1成立的充要条件是.1⇔|a+b|-(|a|-|b|)|a|-|b|≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证a+b2<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴|x|>m≥|a|,|x|>m≥|b|,|x|>m≥1,∴|x|>|a|,|x|2>|b|.∴ax +bx2≤ax+bx2=|a| |x|+|b||x|2<|x||x|+|x|2|x|2=2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min =log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)²x≥0,(1-y)²(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=-x-5,x≤-12,3x-3,-1<x<4, x+5,x≥4.作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-12时,函数取得最小值-9.-923.已知a和b是任意非零实数,则|2a+b|+|2a-b||a|的最小值为.≥|2a+b+2a-b||a|=4.4.下列四个不等式:①logx10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③b+a≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴logx10+lg x=1+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,b与a同号,∴ba +ab=ba+ab≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).<0的解集是()4.不等式|x-1|-4|x-2|A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}分母|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log 2x|<|2x|+|log 2x|的解集为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab ≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x ²log 2x>0.又x>0,所以log 2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为 .2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是 .|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x )2,整理得10x>-5,即x>-12,故原不等式的解集为 x x >-1.x >-18.若关于x 的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a= .0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4. 当a>0时,有-8<x<4,因为不等式的解集为(-1,2),所以 -8=-1,4a =2,解得 a =8,a =2,两值相矛盾舍去.当a<0时,有4a <x<-8a ,则 4a=-1,-8a=2,解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f (x )= |x +1|+|x -a |-2(a ∈R ). (1)若a=3,解不等式:f (x )≥2;(2)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围.当a=3时,不等式f (x )≥2即为 |x +1|+|x -3|-2≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是 x +1+x -3≥6,x ≥3,或-(x +1)-(x -3)≥6,x ≤-1,或(x +1)-(x -3)≥6,-1<x <3,从而x ≥4,或x ≤-2.故原不等式解集为{x|x ≥4或x ≤-2}.(2)f (x )的定义域为R ,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立, 所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g (x )=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|, 于是|a+1|≥2,解得a ≥1,或a ≤-3.故实数a 的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞). 10.已知函数f (x )=|x+a|+|2x-1|(a ∈R ). (1)当a=1时,求不等式f (x )≥2的解集;(2)若f (x )≤2x 的解集包含 12,1 ,求a 的取值范围.当a=1时,不等式f (x )≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x ≥12时,不等式为3x ≥2,解得x ≥23,故x ≥23; ②当-1≤x<12时,不等式为2-x ≥2,解得x ≤0,故-1≤x ≤0; ③当x<-1时,不等式为-3x ≥2,解得x ≤-2,故x<-1. 综上,原不等式的解集为 x x ≤0或x ≥2. (2)因为f (x )≤2x ,所以|x+a|+|2x-1|≤2x ,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x ≤-a+1.由已知得 -a -1≤12,-a +1≥1,解得-3≤a ≤0.故a 的取值范围是 -32,0 .B 组1.不等式 xx -1 >xx -1的解集为( ) A.[0,1) B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)xx -1 >xx -1,所以xx -1<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3|a|对任意实数x 恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立, 所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即-4+b<x<4+b.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则0≤-4+b3<1,3<4+b3≤4⇒4≤b<7,5<b≤8,故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-1时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-1.当-12<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>32.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为 x x<-12或x>1.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.当a=2时,f(x)+|x-4|=-2x+6,x≤2, 2,2<x<4, 2x-6,x≥4.当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=-2a,x≤0,4x-2a,0<x<a,2a,x≥a.由|h(x)|≤2,解得a-1≤x≤a+1.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以a-12=1,a+12=2,于是a=3.第一讲 不等式和绝对值不等式测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若1<1<0,给出下列不等式:①a+b<ab ;②|a|>|b|;③a<b ;④b+a>2.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个b<a<0,所以a+b<ab ,|a|<|b|,ba >0,从而ba +ab >2,因此①④正确.2.设集合A={x||x-a|<1,x ∈R },B={x||x-b|>2,x ∈R }.若A ⊆B ,则实数a ,b 必满足( ) A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3A={x|a-1<x<a+1},集合B={x|x<b-2或x>b+2},又A ⊆B ,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b ≤-3或a-b ≥3,因此选D .3.对于x ∈R ,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为( ) A.[0,+∞) B.(0,2) C.[0,2) D.(0,+∞),|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P 在点A 右侧时|PB|-|PC|>8,故x ≥0.4.下列函数中,最小值为2的是( ) A.y=x+1x B.y=x 2-2x+4 C.y=x 2+1x 2 D.y= x 2+2+2y=x 2+12中,x 2>0,所以y=x 2+12≥2 x 2·12=2,当且仅当x=±1时,函数的最小值为2.5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a 等于 ( )A.8B.2C.-4D.-2-4<ax+2<4,则-6<ax<2,所以(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),故a=-2.6.“a=2”是“关于x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的( ) A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空得a>1,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|<a 有解,所以充分性成立,所以“a=2”是“关于x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的充分不必要条件,故选C .7.已知f (x )=2x+3(x ∈R ),若|f (x )-1|<a 的必要条件是|x+1|<b (a ,b>0),则a ,b 之间的关系是( ) A.b ≥aB.b<aC.a ≤bD.a>b|f (x )-1|<a 可得-a -22<x<a -22, 由|x+1|<b 可得-b-1<x<b-1,由题意可得 -b -1≤-a -22,b -1≥a -22,解得b ≥a 2.8.若x ∈(0,π),则y=sin x cos 2x的最大值等于( ) A.4B.2 3C.23D.492=sin 2xcos 4x=1²2sin 2x ²cos 2x ²cos 2x ≤1 2sin 2x 2+cos 2x2+cos 2x 2 3=4 当且仅当sin 2x 2=cos 2x 2时,等号成立 ,所以y ≤2 39,故所求最大值为2 39.9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是( ) A.[0,5) B.[0,13) C.[0,9) D.[0,4)2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.10.若不等式x 2<|x-1|+a 的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,7) B.(-∞,7] C.(-∞,5) D.(-∞,5]x 2<|x-1|+a 等价于x 2-|x-1|-a<0,设f (x )=x 2-|x-1|-a ,若不等式x 2<|x-1|+a 的解集是区间(-3,3)的子集,则 f (-3)=5-a ≥0,f (3)=7-a ≥0,解得a ≤5,故选D .11.(2017陕西宝鸡一模)在正项等比数列{a n }中,a 2 016=a 2 015+2a 2 014,若a m a n =16a 12,则4+1的最小值等于( ) A.1B.32C.53D.136{a n }的公比为q (q>0),由a 2 016=a 2 015+2a 2 014,得q 2=q+2, 解得q=2或q=-1(舍去).又因为a m a n =16a 12,即a 12²2m+n-2=16a 12,所以m+n=6. 因此4+1=1(m+n ) 4+1=16 5+4n m +m n ≥16 5+2 4n m ·m n =32, 当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B .12.设0<x<1,a ,b 都为大于零的常数,若a 2x+b21-x≥m 恒成立,则m 的最大值是( )A.(a-b )2B.(a+b )2C.a 2b 2D.a 2+b 21-x=a 2x +b21-x[x+(1-x )]=a 2+b2+a 2(1-x )+b 2x 1-x≥a 2+b 2+2ab =(a+b )2,当且仅当x1-x =ab 时,等号成立.由a 2x+b21-x≥m 恒成立,可知m ≤(a+b )2.故m 的最大值是(a+b )2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若x>-2,且x ≠0,则1x 的取值范围是 .x>-2,且x ≠0,所以当x>0时,有1x >0;当-2<x<0时,有1x <-12,综上,1x 的取值范围是-∞,-1∪(0,+∞).-∞,-12 ∪(0,+∞)14.(2017山东淄博模拟)已知f (x )=lg x2-x ,若f (a )+f (b )=0,则4+1的最小值是 .(x )=lg x2-x ,f (a )+f (b )=0,∴lg a 2-a +lg b2-b=0,∴ab (2-a )(2-b )=1, 整理,得a+b=2(a ,b ∈(0,2)), 则4a +1b =12(a+b ) 4a +1b=12 5+4b a +ab ≥1 5+2 4b ×a =9. 当且仅当a=2b=4时,等号成立.15.若关于x 的不等式|x+1|+|x-3|≥a+4对任意的实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .a+4a ≤4,所以(a -2)2a ≤0,解得a 的取值范围为(-∞,0)∪{2}.-∞,0)∪{2}16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s (单位:米)与时间t (单位:分)之间的关系满足关系式为s=0.2t 2-14t+2 000,则平均速度的最小值是 米/分.v (t )=s=0.2t 2-14t +2000=0.2t+2000-14≥2 0.2t ·2000-14=2³20-14=26,当且仅当0.2t=2000t,即t=100时,取得最小值.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a (a ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x+a|+|x-2|的最小值.因为3∈A ,且1∉A ,所以 32-2 <a ,且 12-2 ≥a ,解得12<a ≤32.又因为a ∈N +,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即-1≤x ≤2时取到等号. 所以f (x )的最小值为3.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=m-|x-2|,m ∈R +,且f (x+2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m 的值;(2)若a ,b ,c ∈R +,且1+1+1=m ,求证a+2b+3c ≥9.f (x+2)=m-|x|,所以f (x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x|-m ≤x ≤m }, 又f (x+2)≥0的解集为[-1,1],所以m=1.(1)知1a +12b +13c =1,又a ,b ,c ∈R +,所以a+2b+3c=(a+2b+3c ) 1+1+1=3+a 2b +3c 2b +2b a +3c a +a 3c +2b3c =3+ a +2b + 3c +2b + 3c +a ≥3+2 a 2b ·2b a +2 3c 2b ·2b 3c +2 3c a ·a3c=3+6=9(当且仅当a=2b=3c 时,等号成立).故a+2b+3c ≥9.。

选修4－5不等式选讲1．不等式的性质和绝对值不等式(1)能利用三个正数的算术平均—几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广形式(n个正数的形式)．(2)理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．(3)掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．2．不等式的证明(1)了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式．(2)能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题．(3)理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．知识点一绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：(2)|ax＋b|≤①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．易误提醒1．对形如|f (x )|>a 或|f (x )|<a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立条件．如|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时成立，其他类似推导．[自测练习]1．设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |. 答案：B2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]3．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ≤－1)，2x －1(－1<x <2)，3(x ≥2).当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2.又当x ≥2时，f (x )＝3>1.所以解集为{x |x ≥1}．答案：[1，＋∞) 知识点二 不等式的证明 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c 全为正实数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b >0⇔a >b .步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B >0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，等号当且仅当ad ＝bc 时成立． 易误提醒 (1)在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．[自测练习]4．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤tD ．s <t解析：∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 答案：A5．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，则3x ＋4y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得3x ＋4y ＝3·x ＋4·y ≤[(3)2＋(4)2](x ＋y )＝7. 答案：7考点一 绝对值不等式的解法|1．(2015·高考山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)解析：当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A. 答案：A2．(2015·南宁二模)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解：(1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a . ∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， ∴a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤x ≤1＋t 2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t <2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)． ∴当0≤t <2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t2＋1；当t ＝2时x ∈[2，＋∞)．求解该类问题的关键是去绝对值符号，常运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．考点二 不等式的证明|不等式的证明是考查热点、归纳起来常见的命题角度有： 1．比较法证明不等式． 2．综合法证明不等式． 3．分析法证明不等式． 4．放缩法证明绝对值不等式． 探究一 比较法证明不等式1．(2016·莆田模拟)设a ，b 是非负实数．求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． 证明：因为(a 2＋b 2)－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． 探究二 综合法证明不等式2．(2015·长春三模)(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. (2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2， 从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .探究三 分析法证明不等式3．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2. 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． 探究四 放缩法证明绝对值不等式 4．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．考点三 绝对值不等式的综合应用|(2015·郑州二检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn ≥4， 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a . f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围． 解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2， ∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ＋2－x ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x －1＋2－x ≥2， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2， 解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞.34.绝对值不等式中最值思想的应用【典例】 (1)求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．(2)若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围． [思考点拨] 利用绝对值不等式直接求最值．[解] (1)|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2， 当且仅当(1－x )(x ＋1)≥0，即－1≤x ≤1时取等号． 故当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.(2)因为a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立所以a <(|x ＋1|－|x －2|)min . 因为||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3. 所以(|x ＋1|－|x －2|)min ＝－3.所以a <－3，即a 的取值范围为(－∞，－3)．[方法点评] (1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．[跟踪练习] (2015·辽宁协作体一模)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |－2.(1)解不等式f (x )≥0；(2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )≥0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－1－2x ＋x －2≥0，或②⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <0，2x ＋1＋x －2≥0，或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x ＋1－x －2≥0，解不等式组①得x ≤－3，不等式组②无解，解不等式组③得x ≥1，∴所求的不等式解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)f (x )≤|x |＋a ，即为|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇔⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤1＋a2. 由绝对值的几何意义，知⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |的最小值为－12，故要满足题意，只需－12≤1＋a2⇒a ≥－3.A 组 考点能力演练1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1得1≤x ≤2， ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. (2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即x <|a |＋1. 2．(2016·唐山一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a 2， 当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2≤0且x －a2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪1＋a 2＝1，解得a ＝－4或0. 3．已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明： a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.证明：因为a ，b ，c >0，且互不相等，abc ＝1，所以a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab <1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c， 即a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.4．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求z ＝a ＋2b ＋3c 的最小值．解：(1)∵f (x ＋2)＝m －|x |，∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又∵f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，∴m ＝1. (2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又∵a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得z ＝a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9， ∴z ＝a ＋2b ＋3c 的最小值为9.5．(2016·大庆模拟)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|. (1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围． 解：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x ≤－4}．当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |－4<x <－1}．当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x >5}．综上，原不等式的解集为{x |x <－1，或x >5}．(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9. ∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10， 故所求a 的取值范围是{a |－8≤a ≤10}．B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷改编)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． 解：当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意； 当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤a x －1－2a ，a <x ≤－13x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6； 当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >af (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.2．(2015·高考湖南卷)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．3．(2015·高考陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值． 解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.4．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，则△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。

1吉林省松原市宁江区实验高级中学2021学年度高中数学选修4-5不等式选讲双基训练金卷不等式选讲（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下面对命题“函数是奇函数”的证明不是综合法的是（ ）A ．且有，则是奇函数 B ．且有，所以，则是奇函数C ．且，∵，∴，∴，则是奇函数D ．取，，又，，则是奇函数2．，，下列命题正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则D ．若，则3．已知，，若，则下列结论中，不可能成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若不等式的解集为，则实数a 等于（ ） A ． B ．C ．D ．5．设，与的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定 6．已知，则，，的值（ ）A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于17．设，，且，则（ ）A ．B ．此卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号C．D．8．已知关于的不等式的解集不是空集，则的最小值是（）A．B．C．D．9．不等式的解集为，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．与的大小不确定11．函数的最大值为（）A．5B．8C．10D．1212．已知，且，则的最小值为（）A．5B．6C．8D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知，有下列不等式：①；②，③；④．其中一定成立的不等式的序号是_______．14．已知，则，，从大到小的顺序为___________．25．若不等式对恒成立，则的取值范围是________．16．已知实数，，，，满足，，则实数的取值范围为_____________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知，证明：；（2）已知，证明：．218．（12分）已知实数满足．（1）求的最小值；（2）若，求的最大值．19．（12分）用数学归纳法证明不等式：．20．（12分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围．321．（12分）已知关于x的不等式有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足，求证：．22．（12分）已知，为实数，且，．（1）求证：；（2）求的最小值．4不等式选讲（A）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】D项中，选取特殊值进行证明，不是综合法，故选D．2．【答案】B【解析】选项A，取，，显然满足，但不满足，故错误；选项B，由和不等式的性质，平方可得，故正确；选项C，取，，显然满足，但不满足，故错误；选项D，取，，显然满足，但不满足，故错误，故选B．3．【答案】B【解析】，，所以，因此，即或或，因此选B．4．【答案】C【解析】因为的解集为，所以和是方程的根，所以解得，故选C．5．【答案】B【解析】；，，，，根据不等式的开方性质可以得出，，再根据不等式相加性质可以得出，显然可以得到，即成立，因此本题选B．6．【答案】D【解析】令，则，排除A，B；令，，，则，，排除C，对于D，假设，，，则，，，相加得，矛盾，故选D．7．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，因为，，所以，故答案为A．8．【答案】A【解析】，由关于的不等式的解集不是空集，故，解得，即的最小值是，本题选择A选项．9．【答案】B【解析】因为，所以，所以，即，解得．故选B．10．【答案】A【解析】取两组数：与，显然是顺序和，是乱序和，所以，即，故选A．11．【答案】C【解析】由已知得，函数的定义域为，设向量，，则，，，当且仅当时，即时，等号成立，解得，属于定义域范围，所以，该函数可以取得最大值为10，答案选C．12．【答案】D【解析】，当且仅当，，时等号成立，即的最小值为9，本题选择D选项．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】①③④【解析】逐一考查所给的四个说法：，则，说法①正确；当时，不成立，说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得，说法③正确；，则，说法④正确，综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④．14．【答案】【解析】因为，所以，所以成立，故答案为．25．【答案】【解析】∵，∴对恒成立，∴或对恒成立，即或对恒成立，∴，解得，故答案为．16．【答案】【解析】由柯西不等式得，当且仅当取等号，即，解得，所以，e的取值范围是，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，因为，故，即，故成立．（2）由基本不等式可得，故，同理有，，相加可得，当且仅当时取等号，即得证．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，当且仅当时等号成立，即，当且仅当时等号成立，又因为，所以，当且仅当，，时等号成立，即的最小值为．（2）因为，，所以，所以，又因为，所以，即，当且仅当时，等号成立．19．【答案】证明见解析．【解析】证明：（1）当时，左边，∴时成立．（2）假设当时成立，即，那么当时，左边，∴时也成立．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，①；②；③，∵，∴不等式的解集为．（2）不等式解集为恒成立，设，则，①当时，；②当时，；③当时，，∴．∵恒成立，由，得，∴的取值范围是．21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由绝对值不等式得，若不等式有解，则满足，解得，∴．（2）由（1）知正数a，b，c满足，即，∴，当且仅当，即时，取等号，∴成立．22．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为，，所以．（2），所以，当且仅当时取等号，解得，，所以当，时取最小值．。

第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1 比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒ab ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的a b＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27348＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4.2a1＋a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)． 答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( )A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3D ．不能确定解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a的大小关系是______________．答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a ＋b . 证明：证法一 左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法二左边－右边＝ab＋ba－(a＋b)＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab ＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法三左边右边＝ab＋baa＋b＝（a）3＋（b）3ab（a＋b）＝a＋b－abab＝1＋（a－b）2ab≥1，所以ab＋ba≥a＋b.三层练习12．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得 0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．习题课 不 等 式1．若a ，b ， c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( ) A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c 答案: D2．若1a <1b<0，则下列等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案: C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④ 答案: C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7答案: D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 答案: C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．7 答案: D7．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________． 答案: 68．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0，2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0. ∴(xy －32)(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0， ∴xy ≥32， 即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案：189．(2014·上海高考文科)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为______．解析：当时x ＞0，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.答案：(－∞，2]．10．(2014·辽宁卷)对于c ＜0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为______．解析：因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值． 故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1 答案：－111．(2014·湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时． 解析：(1)依题意知，l ＞0，v ＞0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋12l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v ＋18v ＋100≤76 000v ＋100v＋18≤2 000， 当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)10012．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1. 求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0. 又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y （x ＋y ＋z ）＝2， 即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y （x ＋y ＋z ），xyz （x ＋y ＋z ）＝1时取等号．13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值；(2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值．解析：(1)y ＝x 2x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2（x －1）·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3.∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0.∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋3≤－2（1－2x ）·1（1－2x ）＋3＝1.当且仅当1－2x ＝11－2x ，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.14．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3， 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ，∵x ＞0，∴0＜y ＜6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y ，∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272， 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1 不等式1．1.1 不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案:＞0 ＝0 ＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.答案:＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N，且n ＞1)． (6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞nb (n ∈N，且n ＞1)． 思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b . 思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b . 答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a－d＞b－c，从而有a d ＜b c.答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2. 答案：＜ 4．“a ＞b ”与“1a＞1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a ＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b>1 D ．lg(b －a )<0 答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y(0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以 A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断 C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c<b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________． A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c.∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 答案: D2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2解析：由a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ≥2ab 得0＜ab ≤1，令t ＝ab ，则t ∈(0，1]．因为y ＝t ＋1t在(0，1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝2.答案：A 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，∴(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，∴1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －ac＞0 C.b 2c ＞a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0可得b a ＞c a .故A 恒成立．∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －a c＞0.故B 恒成立．∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0.故D 恒成立．当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立． 答案：C5．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：依题意知a ＞0，b ＞0，c ＞0，故2a＞1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＜1，∴log 12a ＞1，0＜log 12b ＜1，0＜log 2c ＜1，即0＜a ＜12，12＜b ＜1，1＜c ＜2，从而a ＜b ＜c .答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 答案：C7．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[4，5] 答案：A8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3 D ．k ≤－3 答案：B9．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －b ＋b －c )恒成立， 所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [（a －b ）＋（b －c ）]min＝4. 答案：C10．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜1或x ＞2} D ．{x |1＜x ＜2} 解析：方法一 当x ＜1时，2x －1＜0，不等式恒成立，故选C. 方法二 |x |＞2x －1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ]，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1，若函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数， 则5－2m ＞1，则m ＜2，.故p ⇒q ，q ⇒ /p . 答案：A12．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |x ＞1} D ．{x |x ＞2}解析：因为|a －b |≤|a |＋|b |，其中等号成立的条件为ab ≤0，所以由原不等式成立得 2x ·log 2x ＞0，所以x ＞1. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝______________． 解析：由集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}解出A ＝{x |－4≤x ≤5}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}＝{x |x ≥ －2}；故A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5} 14．已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012＝1，＝且x 1，x 2，…，x 2012都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)的最小值是________．解析：∵x 1是正数，∴1＋x 1≥2x 1，同理：1＋x 2≥2x 2，…，1＋x 2012≥2x 2012，各式相乘，得(1＋x 1)·(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012＝22012.等号成立的条件为x 1＝x 2＝…＝x 2012＝1.答案：2201215．设a ＞b .①ac 2＞bc 2；②2a ＞2b ；③1a ＜1b；④a 3＞b 3；⑤a 2＞b 2.其中正确的结论序号有________．解析：若c ＝0，①错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，则③⑤错． 答案：②④16．若a ＋1＞0，则不等式x ≥x 2－2x －ax －1的解集为________．解析：由题意得x －x 2－2x －ax －1≥0∴x ＋ax －1≥0.又a ＋1＞0，∴－a ＜1， ∴x ≤－a 或x ＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a ]∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，a ]∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1.解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1，∴x －2x ＞1或x －2x ＜－1，∴x 2－x －2x ＞0或x 2＋x －2x＜0，∴－1＜x ＜0或x ＞2或x ＜－2或0＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或－1＜x ＜0或0＜x ＜1或x ＞2}．18．(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R? 解析：(1)当a ＝1时，原不等式可变形为 |x ＋3|＋|x －7|＞10，可解得其解集为 {x |x ＜－3或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|≥lg10＝1对任意x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时对任意x ∈R 都成立．19．(本小题满分12分)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解析：∵x ＞3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3＋x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号． ∴当x ＝4时，函数的最小值为5.20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且当x ∈[2，3]时，g (x )＝－x 2＋4x －4.(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|＜2|x 2－x 1|； (3)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|≤1. (1)解析：由题意知f (x ＋1)＝g (1－x )⇔ f (x )＝g (2－x )．当－1≤x ≤0时， 2≤2－x ≤3，∴f (x )＝－(2－x )2＋4(2－x )－4＝－x 2； 当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，∴f (－x )＝－x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2（－1≤x ≤0），x 2（0＜x ≤1）.(2)证明：∵当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0＜x 1＋x 2＜2，∴|f (x 2)－f (x 1)＝|x 22－x 21|＝|(x 2－x 1)(x 2＋x 1)|＜2|x 2－x 1|.(3)证明：当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0≤x 21≤1，0≤x 22≤1，∴－1≤x 22－x 21≤1，即|x 22－x 21|≤1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＝|x 22－x 21|≤1.21．(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 的距离的最小值．解析：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立，所以O 点到l 的距离的最小值为2.22．(本小题满分12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析：(1)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64；(2)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时上式等号成立， ∴y max ＝92083(千辆/时)．第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______． 答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______． 答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明： 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．直接法 答案：C3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定 答案：B4．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1；当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n <13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾． 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14， 所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有。

学业分层测评（二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D ．1【解析】 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12，当且仅当x ＝1时，等号成立，∴f (x )max ＝12.【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b【解析】 取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b .故选B.【答案】 B3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值为54 B ．最小值为54C．最大值为1 D.最小值为1【解析】∵x≥52，∴x－2≥12，∴f(x)＝(x－2)2＋12(x－2)＝12(x－2)＋12(x－2)≥2x－22·12(x－2)＝1，当且仅当x－22＝12(x－2)，即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.【答案】 D4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2 cd的最小值是()A．0 B．1C．2 D.4【解析】由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴(a＋b)2cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．【答案】 D5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的关系是()A．x>y B．y>x C．x>2y D.y>2x【解析】因为a，b是不相等的正数，所以x2＝a＋b2＋ab<a＋b2＋a＋b2＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.【答案】 B二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.【导学号：32750010】【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(x＋y)24＝34(x＋y)2，∴(x＋y )2≤43，∴|x ＋y |≤233，即x ＋y 的最大值为23 3. 【答案】 23 37．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】 因为x ＞0，y ＞0，所以x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝xy 3，即xy 3≤1，解得xy ≤3，所以其最大值为3.【答案】 38．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2＋2ab )＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”，∴所求最小值为2.【答案】 2三、解答题9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ay x 时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18.① 又a ＋b ＝10，② 由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝2. 10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 【证明】 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. [能力提升]1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )A ．40B ．10C ．4 D.2【解析】 因为x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y 2， ∴xy ≤x ＋4y 4＝10，∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.【答案】 D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D.2千米处【解析】 由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8. 当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．【答案】 A3．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x ＞0)的最小值是________． 【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1. 当且仅当x ＋1＝3时取等号．【答案】 23－14．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围. 【导学号：32750011】【解】 由x >0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x ＋3恒成立．又x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴x ＋1x ＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0<1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。

不等式选讲（选修4-5人教实验Ａ版）一、选择题（每小题5分，共50分）1．不等式125x x -++≥的解集为( ) A.(][)+∞-∞-,22, B.(][)+∞-∞-,21, C.(][)+∞-∞-,32, D.(][)+∞-∞-,23,2.如果正数a ，b ，c ，d 满足a+b=cd=4，那么（） A.ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B.ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C.ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D.ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 3．设0,0,1x y xy A x y+>>=++,11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（）A ．AB =B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．函数46y x x =-+-的最小值为（） A ．2B ．4 D ．6 5．设,a b cn >>∈N ，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3C ．4 D ．66．不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)7．设,,a b c +∈R ，且1ab c ++=，若1(1)M a =-11(1)(1)b c∙--，则必有（）A ．108M ≤<B ．118M ≤<C ．18M ≤<D ．8M ≥8．若,a b +∈R ，且,a b M ≠=, N =M 与N 的大小关系是（）A ．M N >B ．M N <C ．M N ≥D ．M N ≤ 9．,,,a b c d +∈R ，设a bS a b c b c d =+++++c d c d a d a b ++++++，则下列判断中正确的是（）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<10．已知函数f （x ）=log 2（x+1）且a ＞b ＞c ＞0，则()f a a 、()f b b 、()f c c 的大小关系是（） A.()f a a ＞()f b b ＞()f c c B.()f c c ＞()f b b ＞()f a aC.()f b b ＞()f a a ＞()f c cD.()f a a ＞()f c c ＞()f b b二、填空题（每小题5分，共20分） 11．若1,1,1,x y z x y z ≥≥≥=，且l gx yx y ∙lg 10z z ∙≥，则_____x y z ++=.12．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是. 13．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为.14．设a 、b 、c 是三角形的三边长，则的最小值是.三、解答题（共80分） 15．（12分）已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 16．（12分）解不等式：7340x x +-->.17．（14分）已知a ，b ，0c >，且不全相等，求222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.18．（14分）已知1a ，2a ，…，+∈R n a ，且121=n a a a .求证：n n a a a 2)1()1)(1(21≥+++ .19.（14分）已知：,a b +∈R ，n ∈N ，n >1，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a .20.（14分）设,,a b c +∈R , 求证：32a b c b cc aa b++≥+++.不等式选讲答题纸得分：一、选择题1．2．3．4．5．6．7． 8．9． 10．二、填空题11． 12． 13． 14．三、解答题15.16.17.18．19. 20．不等式选讲参考答案1.D 解析：当x ≤－2时，原不等式可以化为(1)(2)x x ---+≥5，解得x ≤－3，即不等式组2,125x x x ≤-⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是(,3]-∞-；当21x -<<时，原不等式可以化为(1)(2)x x --++≥5，即3≥5，矛盾，所以不等式组21,125x x x -<<⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集为∅；当x ≥1时，原不等式可以化为(1)(2)x x -++≥5，解得x ≥2，即不等式组1,125x x x ≥⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是[2,)+∞.综上所述，原不等式的解集是(,3][2,)-∞-+∞.2.A 解析：因为a+b=cd=4，由基本不等式得a+b ≥ab ≤4.又cd ≤2()4c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立.故选A. 3．B 解析：11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B <. 4．A 解析：46462y x x x x =-+-≥-+-=.5．C 解析：24a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++≥------， 114a b b c a c ∴+≥---.而ca n cb b a -≥-+-11恒成立，∴4n ≤. 6．B 解析：因为3322a b a b -=-，所以222,()()a ab b a b a b a b ab ++=++-+=.又2()04a b ab +<<，所以22()0()()4a b a b a b +<+-+<，解得413a b <+<.7．D解析：()()()(1)(1)(1)a b c a b c a b c b c a c a b M a b c abc +++++++++=---=≥8=.8．A 解析：,a b≠>>>9．B 解析：a b c da b c b c d c d a d a b +++++++++++1,a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c a b c d+++>+++==+++++++++++++++ 即1S >.因为a a a b c a c <+++，c c c d a a c <+++，b b b c d b d <+++，,d dd a b d b <+++ 所以1a c c a a b c c d a a c a c +<+=++++++，1,b d d bb c d d a b d b b d +<+=++++++ 所以2a b c da b c b c d c d a d a b+++<++++++++，即2S <.所以1 2.S << 10．B 解析：特殊值法.令a=7，b=3，c=1，满足a ＞b ＞c ＞0， ∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+. 11．12解析：lg lg lg 222lg()1lg lg lg 1,x y z x y z x y z ⋅⋅≥⇒++≥而2222lg lg lg (lg lg lg )2(lg lg lg lg lg lg )x y z x y z x y y z z x ++=++-++2[lg()]2(lg lg lg lg lg lg )12(lg lg lg lg lg lg )1,xyz x y y z z x x y y z z x =-++=-++≥即lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++≤， 而lg ,lg ,lg x y z 均不小于0， 得lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++=，此时lg lg 0x y ==，或lg lg 0y z ==，或lg lg 0z x ==， 得1,10x y z ===，或1,10y z x ===，或1,10,x z y ===12.x y z ++=故12．[3,0)-解析：233111x y x x x x==++++，10,2,x x x <∴+≤-∴111x x ++≤-， ∴131030301111y x x x x-≤<⇒-≤<⇒-≤<++++.13．1ab bc ca ++>-解析：构造单调函数()()1f x b c x bc =+++，则(1)(1)(1)0f b c =++>，(1)(1)(1)(1)(1)0f b c b c -=-+-+=-->，即11x -<<，()0f x >恒成立，所以()()10f a b c a bc =+++>，即1ab bc ca ++>-.14．3解析：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+，且20c a b --≤，20a b c --≥.∴3111a b c a b cb c a c a b a b c b c a c a b a b c ++-=-+-+-+-+-+-+-+-+-222a b c b a c c a b b c a c a b a b c------=++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--c b a b a c c b a a c b c b a c b a .∴3a b cb c a c a b a b c++≥+-+-+-. 15．证法一：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++2222()2()a b c a b c ≥++-++，22223()()1a b c a b c ∴++≥++=.22213a b c ∴++≥. 证法二：22222221()33a b c a b c a b c ++++-=++-2222221(222222)31[()()()]0,3a b c ab bc ac a b b c a c =++---=-+-+-≥2221.3a b c ∴++≥证法三：2222222(111)()()1,a b c a b c ++++≥++=即2223()1a b c ++≥，2221.3a b c ∴++≥16．解：原不等式可化为73410,x x +--> 当43x >时，原不等式为7(34)10,x x +-->得52x <+，即4532x <<+； 当473x -≤≤时，原不等式为7(34)10,x x ++->得124x >--，即14243x --<≤；当7x <-时，原不等式为(7)(34)10,x x -++->得62x >-，与7x <-矛盾.所以原不等式的解为15242x --<<+ 17.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明：因为22b c +≥2bc ，0a >，所以22()a b c +≥2abc . ① 因为22c a +≥2ac ，0b >，所以22()b c a +≥2abc . ② 因为22a b +≥2ab ，0c >，所以22()c a b +≥2abc . ③ 由于a ，b ，c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.18．分析：观察要证明的结论，左边是n 个因式的乘积，右边是2的n 次方，再结合121=n a a a ，发现如果能将左边转化为1a ，2a ，…，n a 的乘积，问题就能得到解决. 证明：因为+∈R 1a ，所以111121a a a =⋅≥+，即1121a a ≥+. 同理，2221a a ≥+，…，n n a a 21≥+.因为1a ，2a ，…，n a ∈，由不等式的性质，得n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ .因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a 时取等号.19. 证明:（1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a=k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(， 即k k k k ab b a b a+≥+++11成立.根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的正整数n 都成立.20.证法一：要证原不等式成立，只需证：9111,2a b c b c c a a b +++++≥+++ 即只需证：111[2()]()9,a b c b c c a a b++++≥+++ 由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立. 证法二：由对称性，不妨设：0a b c ≥≥>,则111b c c a a b≥≥+++，所以（顺序和）a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（乱序和），（顺序和）a b c c a bb c c a a b b c c a a b++≥++++++++（乱序和）.将以上两式相加即得：32a b cb c c a a b++≥+++.。

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ac >bdD.a d >b c【解析】 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 【答案】 A2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a >0D.a 2－b 2<0【解析】 a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0.故选C. 【答案】 C3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取a ＝－2，b ＝－1验证即可求解．【答案】 B4．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a【解析】 ab 2－ab ＝ab (b －1)， ∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴b －1＜0，ab ＞0，∴ab 2－ab ＜0，即ab 2＜ab ； 又ab 2－a ＝a (b 2－1)，∵－1＜b＜0，∴b2＜1，即b2－1＜0.又a＜0，∴ab2－a＞0，即ab2＞a.故ab＞ab2＞a.【答案】 D5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”的()【导学号：32750004】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵0＜ab＜1，当a＜0且b＜0时可推得b＞1 a，所以“0＜ab＜1”不是“b＜1a”的充分条件，①反过来，若b＜1 a，当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”也不是“b＜1a”的必要条件，②由①②知，应选D.【答案】 D二、填空题6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．【解析】f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．【答案】＞7．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能得出1a<1b成立的有________．(填序号)【解析】1a<1b⇔1a－1b<0⇔b－aab<0，∴①②④可推出1a<1b成立．【答案】①②④8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．【解析】设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.【答案】[1,7]三、解答题9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：3ad＜3bc；(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.【证明】(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∴0＜－1c＜－1d.又a＞b＞0，∴－ad＞－bc＞0，∴3－ad＞3－bc，即－3ad＞－3bc.两边同乘以－1，得3ad＜3bc.(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴1(a－c)2＜1(b－d)2.又∵e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，求x3y4的取值范围．【解】由4≤x2y≤9，得16≤x4y2≤81. ①又3≤xy2≤8，∴18≤1xy2≤13. ②由①×②得18×16≤x4y2·1xy2≤81×13，即2≤x3y4≤27，因此x3y4的取值范围是[2,27]．[能力提升]1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜1b成立，如果a＜0，则b＜0，b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜1b或b＞1a”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜1b或b＞1a”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分而不必要条件．【答案】 A2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜b c；③logb(a－c)＞log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③ D.①②③【解析】 由a ＞b ＞1，c ＜0，得1a ＜1b ，c a ＞cb ；幂函数y ＝xc (c ＜0)是减函数，所以a c ＜b c ；因为a －c ＞b －c ，所以log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，①②③均正确．【答案】 D3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中能推出log b 1b ＜log a 1b ＜log a b 成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)【解析】 ∵log b 1b ＝－1， 若1＜a ＜b ，则1b ＜1a ＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a ＝－1，故条件①不可以； 若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a ， ∴log ab ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ， 故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b ＜1， ∴log a 1b ＞0，log a b ＜0，条件③不可以．故应填②. 【答案】 ②4．已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围.【导学号：32750005】【解】 由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，得 ⎩⎨⎧－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5. 设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3， ∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎨⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403，∴－1≤－53u ＋83v ≤20， 即－1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[－1,20].。

1、解不等式311≥-++x x2、已知函数2)(-++=x a x x f .（1）当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若4)(-≤x x f 的解集包含[]2,1，求a 的取值范围.3、若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 .4、若不等式24≤-kx 的解集为}31≤≤x x ，则实数=k .5、不等式121≥++x x 的实数解为 .6、已知函数m x x x f --++=21)(.（1）当5=m 时，求0)(>x f 的解集；（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围.7、已知函数a x x f -=)(.（1）若不等式3)(≤x f 的解集为{}51≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.8、已知函数a x x f -=)(，其中1>a .（1）当2=a 时，求不等式44)(--≥x x f 的解集；（2）已知关于x 的不等式2)(2)2(≤-+x f a x f 解集为{}21≤≤x x ，求a 的值.9、设函数x a x x f 3)(+-=，其中0>a .（1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；（2）若不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值.10、已知a 、b 、c ()+∞∈,0，其1=++c b a . 求证：（1）8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-c b a ； （2）3≤++c b a .11、设a 、b 、c ()+∞∈,0，其1=++ca bc ab .求证：（1）3≥++c b a ； （2）()c b a ab c ac b bc a ++≥++3.12、已知0>x ，0>y ，证明：()()xy y x yx 91122≥++++.13、已知函数2)(--=x m x f ，R m ∈，且0)2(≥+x f 的解集为[]1,1-.（1）求m 的值； （2）若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.14、若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为 .15、求函数x x y -+-=9453的最大值.1、解：①当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32. ②当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．③当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32. 2、解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3、解析 ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8，∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.4、解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.5、解析 ∵|x ＋1||x ＋2|≥1，∴|x ＋1|≥|x ＋2|.∴x 2＋2x ＋1≥x 2＋4x ＋4，∴2x ＋3≤0.∴x ≤－32且x ≠－2.6、解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－x －1－x ＋2>5，解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|>m ＋2，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2解集是R ，∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]．7、解 方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．8、解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.9、解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

不等式选讲（选修4-5人教实验Ａ版）一、选择题（每小题5分，共50分）1．不等式125x x -++≥的解集为( ) A.(][)+∞-∞-,22,Y B.(][)+∞-∞-,21,Y C.(][)+∞-∞-,32,Y D.(][)+∞-∞-,23,Y2.如果正数a ，b ，c ，d 满足a+b=cd=4，那么（） A.ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B.ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C.ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D.ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 3．设0,0,1x y x y A x y+>>=++,11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（）A ．AB =B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．函数46y x x =-+-的最小值为（） A ．2B C ．4 D ．6 5．设,a b c n >>∈N ，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3C ．4 D ．66．不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1) 7．设,,a b c +∈R，且1a b c ++=，若1(1)M a=-11(1)(1)b c•--，则必有（）A．108M≤<B ．118M ≤<C ．18M ≤<D ．8M ≥8．若,a b +∈R，且,a b M ≠=, N =M 与N 的大小关系是（）A ．M N >B ．M N <C ．M N ≥D ．M N ≤ 9．,,,a b c d +∈R ，设a bS a b c b c d =+++++c dc d a d a b ++++++，则下列判断中正确的是（）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<10．已知函数f （x ）=log 2（x+1）且a ＞b ＞c ＞0，则()f a a 、()f b b 、()f c c 的大小关系是（） A.()f a a ＞()f b b ＞()f c c B.()f c c ＞()f b b ＞()f a aC.()f b b ＞()f a a ＞()f c cD.()f a a ＞()f c c ＞()f b b二、填空题（每小题5分，共20分） 11．若1,1,1,10x y z xyz ≥≥≥=，且lg lg x y x y •lg 10z z •≥，则_____x y z ++=.12．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是. 13．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为.14．设a 、b 、c 是三角形的三边长，则的最小值是.三、解答题（共80分） 15．（12分）已知1a b c ++=， 求证：22213a b c ++≥. 16．（12分）解不等式：7343220x x +--+->.17．（14分）已知a ，b ，0c >，且不全相等，求222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.18．（14分）已知1a ，2a ，…，+∈R n a ，且121=n a a a Λ.求证：nn a a a 2)1()1)(1(21≥+++Λ.19.（14分）已知：,a b +∈R ，n ∈N ，n >1，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a .20.（14分）设,,a b c +∈R , 求证：32a b c b cc aa b++≥+++.不等式选讲答题纸得分：一、选择题1．2．3．4．5．6．7． 8．9． 10．二、填空题11． 12． 13． 14．三、解答题15.16.17.18．19. 20．不等式选讲参考答案1.D 解析：当x ≤－2时，原不等式可以化为(1)(2)x x ---+≥5，解得x ≤－3，即不等式组2,125x x x ≤-⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是(,3]-∞-；当21x -<<时，原不等式可以化为(1)(2)x x --++≥5，即3≥5，矛盾，所以不等式组21,125x x x -<<⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集为∅；当x ≥1时，原不等式可以化为(1)(2)x x -++≥5，解得x ≥2，即不等式组1,125x x x ≥⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是[2,)+∞.综上所述，原不等式的解集是(,3][2,)-∞-+∞U .2.A 解析：因为a+b=cd=4，由基本不等式得a+b ≥ab ≤4.又cd ≤2()4c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立.故选A. 3．B 解析：11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B <. 4．A 解析：46462y x x x x =-+-≥-+-=.5．C 解析：24a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++≥------Q， 114a b b c a c ∴+≥---.而ca nc b b a -≥-+-11恒成立，∴4n ≤. 6．B 解析：因为3322a b a b -=-，所以222,()()a ab b a b a b a b ab ++=++-+=.又2()04a b ab +<<，所以22()0()()4a b a b a b +<+-+<，解得413a b <+<.7．D解析：()()()(1)(1)(1)a b c a b c a b c b c a c a b M a b c abc+++++++++=---=≥8=.8．A 解析：,a b≠>+>Q>>9．B 解析：a b c da b c b c d c d a d a b +++++++++++ 1,a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d+++>+++==+++++++++++++++ 即1S >.因为a a a b c a c <+++，c c c d a a c <+++，b b b c d b d <+++，,d dd a b d b <+++所以1a c c a a b c c d a a c a c +<+=++++++，1,b d d bb c d d a b d b b d +<+=++++++所以2a b c da b c b c d c d a d a b+++<++++++++，即2S <.所以1 2.S <<10．B 解析：特殊值法.令a=7，b=3，c=1，满足a ＞b ＞c ＞0， ∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+. 11．12解析：lg lg lg 222lg()1lg lg lg 1,xy z xy z x y z ⋅⋅≥⇒++≥而2222lg lg lg (lg lg lg )2(lg lg lg lg lg lg )x y z x y z x y y z z x ++=++-++2[lg()]2(lg lg lg lg lg lg )12(lg lg lg lg lg lg )1,xyz x y y z z x x y y z z x =-++=-++≥即lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++≤， 而lg ,lg ,lg x y z 均不小于0， 得lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++=，此时lg lg 0x y ==，或lg lg 0y z ==，或lg lg 0z x ==， 得1,10x y z ===，或1,10y z x ===，或1,10,x z y ===12.x y z ++=故12．[3,0)-解析：233111x y x x x x==++++，10,2,x x x <∴+≤-Q ∴111x x ++≤-， ∴131030301111y x x x x-≤<⇒-≤<⇒-≤<++++.13．1ab bc ca ++>-解析：构造单调函数()()1f x b c x bc =+++，则(1)(1)(1)0f b c =++>，(1)(1)(1)(1)(1)0f b c b c -=-+-+=-->，即11x -<<，()0f x >恒成立，所以()()10f a b c a bc =+++>，即1ab bc ca ++>-.14．3解析：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+，且20c a b --≤，20a b c --≥.∴3111a b c a b cb c a c a b a b c b c a c a b a b c ++-=-+-+-+-+-+-+-+-+-222a b c b a c c a b b c a c a b a b c------=++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--c b a b a c c b a a c b c b a c b a .∴3a b c b c a c a b a b c++≥+-+-+-. 15．证法一：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++Q 2222()2()a b c a b c ≥++-++，22223()()1a b c a b c ∴++≥++=.22213a b c ∴++≥. 证法二：22222221()33a b c a b c a b c ++++-=++-Q2222221(222222)31[()()()]0,3a b c ab bc ac a b b c a c =++---=-+-+-≥2221.3a b c ∴++≥证法三：2222222(111)()()1,a b c a b c ++++≥++=Q 即2223()1a b c ++≥，2221.3a b c ∴++≥16．解：原不等式可化为73410,x x +--> 当43x >时，原不等式为7(34)10,x x +--+>得52x <+，即4532x <<+； 当473x -≤≤时，原不等式为7(34)10,x x ++-+>得124x >--，即14243x --<≤； 当7x <-时，原不等式为(7)(34)10,x x -++-+>得62x >-，与7x <-矛盾.所以原不等式的解为1225.2x --<<+ 17.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明：因为22b c +≥2bc ，0a >，所以22()a b c +≥2abc . ① 因为22c a +≥2ac ，0b >，所以22()b c a +≥2abc . ② 因为22a b +≥2ab ，0c >，所以22()c a b +≥2abc . ③由于a ，b ，c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.18．分析：观察要证明的结论，左边是n 个因式的乘积，右边是2的n 次方，再结合121=n a a a Λ，发现如果能将左边转化为1a ，2a ，…，n a 的乘积，问题就能得到解决.证明：因为+∈R 1a ，所以111121a a a =⋅≥+，即1121a a ≥+. 同理，2221a a ≥+，…，n n a a 21≥+.因为1a ，2a ，…，n a ∈，由不等式的性质，得n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ΛΛ.因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a Λ时取等号. 19. 证明:（1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a=k k k k k k k k kkab b a b a b ab b a b ab ba ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(，即k k k k ab b a b a +≥+++11成立.根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的正整数n 都成立. 20.证法一：要证原不等式成立，只需证：9111,2a b c b c c a a b +++++≥+++ 即只需证：111[2()]()9,a b c b c c a a b++++≥+++由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立. 证法二：由对称性，不妨设：0a b c ≥≥>,则111b c c a a b≥≥+++，所以（顺序和）a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（乱序和），（顺序和）a b c c a bb c c a a b b c c a a b++≥++++++++（乱序和）.将以上两式相加即得：32a b cb c c a a b++≥+++.。

数学选修4-5 不等式选讲[提高训练C 组]一、选择题1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）A ． 2233B ．3323 C ．233 D ．3222．,,a b c R +∈，设a b c d S a b c b c d c d a d a b =+++++++++++， 则下列判断中正确的是（ ）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<3．若1x >，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．非上述情况4．设0b a >>，且P =211Q a b =+，M = 2a b N +=，R =， 则它们的大小关系是（ ）A ．P Q M N R <<<<B ．Q P M N R <<<<C ．P M N Q R <<<<D ．P Q M R N <<<<二、填空题1．函数23(0)1x y x x x =<++的值域是 . 2．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为 .4．若0a >，则1a a +的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。

三、解答题1． 设,,a b c R +∈，且a b c +=，求证：222333a b c +>2．已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d ++≥----3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222a b b c c a ++的大小。

选修4_5 不等式选讲课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则有( )A ．|a |＞|b |＞|c |B ．|ab |＞|bc |C ．|a ＋b |＞|b ＋c | D.|a －c |＞|a －b |【解析】 当a ，b ，c 均为负数时，则A ，B ，C 均不成立， 如a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，有|a |＜|b |＜|c |，故A 错；|ab |＝2，而|bc |＝6，此时|ab |＜|bc |，故B 错；|a ＋b |＝3，|b ＋c |＝5，与C 中|a ＋b |＞|b ＋c |矛盾，故C 错；只有D 正确．故选D.【答案】 D2．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系为( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ＝n D.m ≤n【解析】 由|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，得|a |－|b ||a －b |≤1，|a |＋|b ||a ＋b |≥1. 【答案】 D3．已知a ，b ∈R ，ab >0，则下列不等式中不正确．．．的是( ) A ．|a ＋b |＞a －bB ．2ab ≤|a ＋b |C ．|a ＋b |<|a |＋|b | D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 【解析】 当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，C 错．【答案】 C4．若|a －c |＜b ，则下列不等式不成立的是( )A ．|a |＜|b |＋|c |B ．|c |＜|a |＋|b |C ．b ＞||c |－|a ||D.b ＜||a |－|c ||【解析】 b ＞|a －c |＞|a |－|c |，b＞|a－c|＞|c|－|a|，故A，B成立，∴b＞||a|－|c||，故C成立．应选D(此题代入数字也可判出)．【答案】 D5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()【导学号：32750020】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－a|＋|y－a|＜2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．【解析】因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.【答案】R7．下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(填序号)．【解析】 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确．ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0，b a 与a b 同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确．综上，①③④正确．【答案】 ①③④8．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．【解析】 ①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5.【答案】 ①③⇒②三、解答题9．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －b |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.【证明】 ∵|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.10．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解】 (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－(x －a )＝1a ＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.[能力提升]1．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| 的最小值为()A ．1B ．2C ．3 D.4【解析】 ∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.【答案】 C2．以下三个命题：(1)若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；(3)若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23.其中正确的有________个．【解析】 (1)1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴1＋|b |＞|a |成立，(1)正确；(2)|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |＝|a －b |正确； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |＜2|y |＜23，正确．【答案】 33．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750021】【解析】 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.【答案】 －2≤a ≤44．若1＜a ＜8，－4＜b ＜2，则a －|b |的取值范围是____________．【解析】 ∵－4＜b ＜2，则0≤|b |＜4，∴－4＜－|b |≤0.又∵1＜a ＜8，∴－3＜a －|b |＜8.【答案】 (－3,8)5．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .【证明】 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a 3＝a.。

不等式选讲A 组1．若,a b 是任意的实数,且a b >,则()(A)22b a >(B)1<a b (C)lg()0a b ->(D)b a )21()21(< 2．不等式32->x 的解集是() (A ))32,(--∞(B))32,(--∞),0(+∞Y (C))0,32(-),0(+∞Y (D))0,32(-3．不等式125x x -++≥的解集为()(A)(][)+∞-∞-,22,Y (B)(][)+∞-∞-,21,Y (C)(][)+∞-∞-,32,Y (D)(][)+∞-∞-,23,Y 4．若0n >,则232n n +的最小值为() (A)2(B)4(C)6(D)85．若A=(3)(7)x x ++，B=(4)(6)x x ++，则A ，B 的大小关系为__________. 6．设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： 1）()()()8a b b c c a abc +++>；2）a b c ab bc ca ++>++.7.．已知x ，y R ∈，求证222x y +≥2()2x y +8．如图1，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？9．已知a ，b ，0c >，且不全相等，求证222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.10．已知1a ，2a ，…，+∈R a n ，且121=n a a a Λ，求证nn a a a 2)1()1)(1(21≥+++Λ.B 组11.已知x ，0>y ，且2>+y x .试证：yx +1，xy +1中至少有一个小于2.12.求函数x x y 21015-+-=的最大值.13.已知122=+b a ，求证θθsin cos b a +≤1.14.已知12=+y x ，求22y x +的最小值.15.已知10432=++z y x ，求222z y x ++的最小值.16.已知a ，b ，c 是正数，求证2229a b b c c a a b c++≥+++++.17.证明：)(53+∈+N n n n 能够被6整除.18.设,,a b c R +∈,求证：32a b c b c c a a b ++≥+++.不等式选讲答案1.D.提示：注意函数1()2xy =的单调性； 2.B.提示：先移项，再通分，再化简；3.D.提示：当x ≤－2时，原不等式可以化为(1)(2)x x ---+≥5，解得x ≤－3，即不等式组2125x x x ≤-⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是(,3]-∞-.当21x -<<时，原不等式可以化为(1)(2)x x --++≥5， 即3≥5，矛盾.所以不等式组21125x x x -<<⎧⎪⎨-++≥⎪⎩，的解集为∅，当x ≥1时，原不等式可以化为(1)(2)x x -++≥5，解得x ≥2，即不等式组1125x x x ≥⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是[2,)+∞.综上所述，原不等式的解集是(,3][2,)-∞-+∞U ; 4.C.提示：22323222n n n n n +=++;5.A B <.提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系. 因为(3)(7)(4)(6)x x x x ++-++22(1021)(1024)x x x x =++-++30=-< 所以(3)(7)(4)(6)x x x x ++<++;6．提示：a b +≥Q b c +≥Q c a +≥Q分别将以上三式相乘或相加即可;7.提示:222222222()()2()2442x y x y x y x y xy x y +++++++=≥=;8.提示:设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则2(2)V a x x=-3311(2)(2)42(2)(2)4[]44327a x a x x a a x a x x -+-+=--⨯≤= 当且仅当224a x a x x -=-=，即当6ax =时，不等式取等号，此时V 取最大值3227a .即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子容积最大. 9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明：因为22b c +≥2bc ，0a >，所以22()a b c +≥2abc .① 因为22c a +≥2ac ，0b >，所以22()b c a +≥2abc .② 因为22a b +≥2ab ，0c >，所以22()c a b +≥2abc .③由于a ，b ，c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.10．提示：观察要证明的结论，左边是n 个因式的乘积，右边是2的n 次方，再结合121=n a a a Λ，发现如果能将左边转化为1a ，2a ，…，n a 的乘积，问题就能得到解决.证明：因为+∈R a 1，所以111121a a a =⋅≥+，即1121a a ≥+. 同理，2221a a ≥+，……n n a a 21≥+.因为1a ，2a ，…，+∈R a n ，由不等式的性质， 得n n nn a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ΛΛ.因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a Λ时取等号. 11.提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法. 证明：假设y x +1，x y +1都不小于2，即21≥+y x ，且21≥+xy. 因为x ，0>y ，所以y x 21≥+，且x y 21≥+.把这两个不等式相加，得)(22y x y x +≥++，从而2≤+y x .这与已知条件2>+y x 矛盾.因此，yx +1，xy +1都不小于2是不可能的，即原命题成立.12.提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为bd ac +的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为[]5,1，且0>y .x x y -⨯+-⨯=521536427=⨯=当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27127=x 时函数取最大值36. 13.提示:cos sin a b θθ+=114.提示:22222221(2)(12)()5()x y x y x y =+≤++=+Q 2215x y ∴+≥. 15.提示:2222222100(234)(234)()x y z x y z =++≤++++Q 222100.29x y z ∴++≥16.提示:111[2()]()a b c a b b c c a+++++++ 2111[()()()]()(111)9.2229.a b b c c a a b b c c aa b b c c a a b c=+++++++≥++=+++∴++≥+++++ 17.提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证1=n 时命题成立；第二步要明确目标，即在假设k k 53+能够被6整除的前提下，证明)1(5)1(3+++k k 也能被6整除.证明：1）当1=n 时，653=+n n 显然能够被6整除，命题成立. 2）假设当)1(≥=k k n 时，命题成立，即k k 53+能够被6整除. 当1+=k n 时，55133)1(5)1(233+++++=+++k k k k k k 633)5(23++++=k k k k6)1(3)5(3++++=k k k k .由假设知k k 53+能够被6整除，而)1(+k k 是偶数，故)1(3+k k 能够被6整除，从而6)1(3)5(3++++k k k k 即)1(5)1(3+++k k 能够被6整除.因此，当1+=k n 时命题成立.由1）2）知，命题对一切正整数成立，即)(53+∈+N n n n 能够被6整除; 18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：91112a b c b c c a a b +++++≥+++ 即只须证：111[2()]()9a b c b c c a a b++++≥+++ 由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。

数学选修4-5《不等式选讲》综合测试题B （含答案）一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．62． 若(,1)x ∈-∞，则函数22222x x y x -+=-有A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1- 3．设2P =，73Q =-，62R =-，则,,P Q R 的大小顺序是A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >> 4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是 A ．(1,)+∞ B ．4(1,)3 C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有 A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥ 6．若,a b R +∈，且,a ba b M b a≠=+, N a b =+，则M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x=--的最大值是__________. 2．比较大小：36log 4______log 73．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则222x y z ++的最小值为__________. 4．若,,,a b c d 是正数，且满足4a b c d +++=，用M 表示,,,a b c a b d a c d b c d ++++++++中的最大者，则M 的最小值为__________.5．若1,1,1,10x y z xyz ≥≥≥=，且lg lg lg 10xy z x y z ⋅⋅≥，则_____x y z ++=。