2012高考数学总复习 第10单元第4节 直线和平面垂直 文 苏教版.doc
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第四节直线和平面垂直
一、填空题
1. 直线与平面α内无数条直线垂直是“直线与平面α垂直”的________条件．
2. 如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是________．
3. 有以下四个命题：
①在空间中，垂直于平行四边形对边的直线，必垂直于另两边；②在空间中，垂直于三角形两边的直线必垂直另外一边；③在空间中，垂直于梯形两底的直线必垂直于两腰；④如果直线a垂直于平面α内无数条直线，那么a⊥α.
上述命题中，错误的个数为________．
4. (2010·浙江)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的有________．
①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.
5. 如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是________．
6. 已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的________条件．
7. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则在BC上存在________个点使PQ⊥QD.
8. (2011·南师大附中期中考试)称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”，若在四直角三棱锥SABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠SBC＝90°，则第四个面中的直角为________．
9. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BB1C1C上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P 的轨迹是________．
二、解答题
10. 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BCD＝90°.求证：PC⊥BC.
11. 如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA, ∠AOB＝120°，且OA＝OB＝1，P为AC的中点，
Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
12. (2010·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF ∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB;
(3)求四面体BCEF的体积．
参考答案
1. 必要不充分解析：由直线与平面垂直的定义知为必要不充分条件．
2. l∥或l⊂
3. 3
4. ②解析：根据线面垂直的判定定理知①错；根据线面垂直的性质知②正确；③中l 可能与m异面；④中l可能与m异面，也可能相交．
5.
9 解析：分三类：
(1)在底面ABCD中，共有4个直角，因而有4个直角三角形；(2)四个侧面都是直角三角形；(3)过两条侧棱的截面中，△PAC为直角三角形．故共有9个直角三角形.
6. 充要解析：若⊥，则由a⊥推出a⊂或a∥，而b⊥，于是a⊥b；若a ⊥b，则容易推出⊥，故⊥是a⊥b的充要条件．
7. 1 解析：因为PA⊥平面ABCD，又QD⊂平面ABCD，则PA⊥QD，又PQ⊥QD，PA∩PQ=P，
则QD ⊥平面PAQ ，又AQ ⊂平面PAQ ，则QD ⊥AQ ，取AD 中点O ，则Q 应在以O 为圆心，以1
2
AD
为半径的圆周上，又根据题意Q 在BC 上，则Q 是圆O 与BC 的交点，因为圆心O 到直线BC 的距离为1，圆O 的半径也是1，所以圆O 与BC 相切，所以满足题意的Q 点有且仅有一个．
8. ∠ABC 解析：如图，由∠SAB =∠SAC =90得SA ⊥底面ABC ，故SA ⊥BC ，又由∠SBC =90，即SB ⊥BC ，又SA ∩SB =S ，所以BC ⊥平面SAB ，故BC ⊥AB ，即∠ABC 为直角．
9. 线段B 1C 解析：连结AB 1，B 1C ，AC ，则BD 1⊥平面B 1AC ，当P 在B 1C 上运动时，AP ⊥BD 1恒成立，故轨迹为线段B 1C .
10. 因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90，得CD ⊥BC ，
又PD ∩DC =D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC . 11.
如图，取OA 的中点M ，连结PM ，MQ ，
因为P 为AC 中点，M 为OA 中点，所以PM ∥OC . 又OC ⊥OA ，则PM ⊥OA .
在△OAB 中，OA =OB =1，∠AOB =120，则AB 2=OA 2+OB 2
-2OA OB cos ∠AOB =3，
则AB =3，又AB =3AQ ，则AQ =3
3.
在△OAB 中，AB sin ∠AOB =OB
sin ∠OAB ，则
sin ∠OAB =1
2
，则∠OAB =30.
又M 是OA 中点，故AM =1
2
.
则在△MAQ 中，MQ 2=MA 2+AQ 2
-2MA AQ cos ∠OAB =14+13-2
12
33cos 30=112
， 则在△MAQ 中，MA 2+MQ 2=AQ 2
， 所以MQ ⊥OA .
又PM ∩MQ =M ，PM ，MQ ⊂平面PMQ ， 所以OA ⊥平面PMQ ，又PQ ⊂平面PMQ ， 则OA ⊥PQ .。
