2019中考数学 第二部分 专题综合强化 专题二 实际应用型问题针对训练

第二部分 专题二类型1 购买、销售、分配类问题1．(2018·常德)某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1 700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．(1)若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克．(2)若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？解：(1)设该店5月份购进甲种水果x 千克，购进乙种水果y 千克，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋18y ＝1 700，10x ＋20y ＝1 700＋300，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝50.答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．(2)设购进甲种水果a 千克，需要支付的货款为w 元，则购进乙种水果(120－a )千克， 根据题意，得w ＝10a ＋20(120－a )＝－10a ＋2 400. ∵甲种水果不超过乙种水果的3倍， ∴a ≤3(120－a )，解得a ≤90.∵k ＝－10<0，∴w 随a 值的增大而减小，∴当a ＝90时，w 取最小值，最小值为－10×90＋2 400＝1 500. 答：6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1 500元．2．(2018·泰安)文美书店决定用不多于20 000元购进甲乙两种图书共1 200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍．若用1 680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1 400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完)解：(1)设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.4x 元． 由题意，得1 400x －1 6801.4x＝10，解得x ＝20.检验：当x ＝20时，1.4x ≠0，所以x ＝20是原方程的解，且符合题意． 所以，甲种图书售价为每本1.4×20＝28(元)．答：甲种图书的售价为每本28元，乙种图书的售价为每本20元． (2)设甲种图书进货a 本，总利润w 元，则w ＝(28－20－3)a ＋(20－14－2)(1 200－a )＝a ＋4 800.又∵20a ＋14×(1 200－a )≤20 000， 解得a ≤1 6003，w 随a 的增大而增大，∴当a ＝533时，w 最大，此时，乙种图书进货本数为1 200－533＝667(本)．答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时能获得最大利润．3．某商场销售A ，B 两种商品，售出1件A 种商品和4件B 种商品所得利润为600元，售出3件A 种商品和5件B 种商品所得利润为1 100元．(1)求每件A 种商品和每件B 种商品售出后所得利润各多少元？(2)若该商场一次购进A ，B 两种商品共34件，全部售完后所得利润不低于4 000元，那么该商场至少需要购进多少件A 种商品？解：(1)设每件A 种商品利润为x 元，每件B 种商品利润为y 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝600，3x ＋5y ＝1 100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝100，答：每件A 种商品利润为200元，每件B 种商品利润为100元． (2)设购进A 种商品a 件，则购进B 种商品(34－a )件． 由题意，得200a ＋100(34－a )≥4 000，解得a ≥6. 答：商场至少需购进6件A 种商品．4．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘菠萝，任务都是完成720千克菠萝的采摘、运送、包装三项工作．已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克．(1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么每人每小时运送、包装各多少千克？(2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的菠萝还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？解：(1)设采摘了x 小时，根据题意，得 6×60×x ＝720，解得x ＝2，故每人每小时包装：720÷(6×2)＝60(kg)， 每人每小时运送720÷(8×2)＝45(kg)． 答：每人每小时运送60 kg 、包装45 kg.(2)设负责运送的人数为y 人，则包装人数为(20－y )人， 根据题意，得72045y ＝720－80－y，解得y ＝12，检验：当y ＝12时，45y ≠0,20－y ≠0，所以y ＝12是原方程的根，且符合题意，可知自由分成的两组中，第一组12人，第二组为20－12＝8(人)． 答：自由分成的第一组12人，第二组8人． 类型2 工程、生产、行程类问题1．(2018·昆明盘龙区模拟)一辆汽车计划从A 地出发开往相距180千米的B 地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B 地，求原计划平均每小时行驶多少千米？解：设原计划平均每小时行驶x 千米，则加速后平均每小时行驶1.5x 千米， 根据题意，得180x －1801.5x ＝4060，解得x ＝90，经检验，x ＝90是原分式方程的根，且符合题意． 答：原计划平均每小时行驶90千米．2．(2018·威海)某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了13，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？解：设升级前每小时生产x 个零件，根据题意，得240x－240＋13x＝4060＋2060. 解得x ＝60.检验，当x ＝60时，(1＋13)x ≠0，所以x ＝60是原方程的解且符合题意．∴60×(1＋13)＝80(个)．答：软件升级后每小时生产80个零件．3．(2018·抚顺)为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1 200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x 米，根据题意得360x －36032x ＝3，解得x ＝40，检验：当x ＝40时，32x ≠0，所以x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，32x ＝32×40＝60. 答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米． (2)设安排甲队工作m 天，则安排乙队工作1 200－60m40天，根据题意得7m ＋5×1 200－60m40≤145，解得m ≥10.答：至少安排甲队工作10天．4．(2018·官渡区二模)列方程(组)及不等式解应用题某种型号油、电混合动力汽车，从A 地到B 地使用纯燃油行驶的费用为76元；从A 地到B 地使用纯电行驶的费用为26元．已知每行驶1千米用纯燃油行驶的费用比用纯电行驶的费用多0.5元．(1)求用纯电行驶1千米的费用为多少元？(2)若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油和电总费用不超过39元，则至少用电行驶多少千米？ 解：(1)设用纯电行驶1千米的费用为x 元，则用纯油行驶1千米的费用为(x ＋0.5)元， 根据题意得76x ＋0.5＝26x，解得x ＝0.26， 检验，当x ＝0.26时，x ＋0.5≠0，所以x ＝0.26是原分式方程的解． 答：用纯电行驶1千米的费用为0.26元． (2)设从A 地到B 地用电行驶y 千米， 根据题意得0.26y ＋(0.26＋0.5)(260.26－y )≤39，解得y ≥74. 答：至少用电行驶74千米． 类型3 增长率问题1．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，由题意，得 10×(1＋x )2＝12.1，解得x 1＝10%，x 2＝－210%(舍去)．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%. (2)不能，4月：12.1×1.1＝13.31(万件)，21×0.6＝12.6<13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务． ∵22<13.310.6<23，∴至少还需增加2名业务员．答：不能，至少需要增加2名业务员．2．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 解：(1)设该企业从2014年到2016年利润平均增长率为x .根据题意得2(1＋x )2＝2.88， 解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该企业从2014年到2016年利润平均增长率为20%.(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88(1＋20%)＝3.456， 3．456>3.4，答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．3．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，2017年投入基础教育经费7 200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影需2 000元，则最多可购买电脑多少台？解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意得5 000(1＋x )2＝7 200， 解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%. (2)2018年投入基础教育经费为7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)， 设购买电脑m 台，则购买实物投影仪(1 500－m )台， 根据题意得3 500m ＋2 000(1 500－m )≤86 400 000×5%， 解得m ≤880.答：2018年最多可购买电脑880台． 类型4 方案设计问题与最值问题1．(2018·怀化)某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A ，B 两种树苗，共21棵，已知A 种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购买A 种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．(1)求y 与x 的函数表达式，其中0≤x ≤21；(2)若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 解：(1)根据题意，得y ＝90x ＋70(21－x )＝20x ＋1 470， ∴y 与x 的函数表达式为y ＝20x ＋1 470. (2)∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量， ∴21－x <x ，解得x >10.5.又∵y ＝20x ＋1 470，且x 取整数， ∴当x ＝11时，y 有最小值为1 690，答：使费用最省的方案是购买B 种树苗10棵，A 种树苗11棵，所需费用为1 690元．2．(2018·恩施)某学校为改善办学条件，计划采购A ，B 两种型号的空调，已知采购3台A 型空调和2台B 型空调，需费用39 000元；4台A 型空调比5台B 型空调的费用多6 000元．(1)求A 型空调和B 型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A ，B 两种型号空调共30台，且A 型空调的台数不少于B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217 000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 解：(1)设A 型空调和B 型空调每台各需x 元、y 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝39 000，4x －5y ＝6 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9 000，y ＝6 000，答：A 型空调和B 型空调每台各需9 000元、6 000元． (2)设购买A 型空调a 台，则购买B 型空调(30－a )台， ⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12－a ，9 000a ＋－a ，解得10≤a ≤1213，∴a ＝10,11,12，共有三种采购方案，方案一：采购A 型空调10台，B 型空调20台， 方案二：采购A 型空调11台，B 型空调19台， 方案三：采购A 型空调12台，B 型空调18台． (3)设总费用为w 元，w ＝9 000a ＋6 000(30－a )＝3 000a ＋180 000，∴当a ＝10时，w 取得最小值，此时w ＝210 000，答：采购A 型空调10台，B 型空调20台可使总费用最低，最低费用是210 000元．3．(2018·梧州)我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A ，B 两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B 型电动自行车比每辆A 型电动自行车多500元．用5万元购进的A 型电动自行车与用6万元购进的B 型电动自行车数量一样．(1)求A ，B 两种型号电动自行车的进货单价；(2)若A 型电动自行车每辆售价为2 800元，B 型电动自行车每辆售价为3 500元，设该商店计划购进A 型电动自行车m 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y 元．写出y 与m 之间的函数关系式；(3)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？解：(1)设A ，B 两种型号电动自行车的进货单价分别为x 元、(x ＋500)元． 由题意得50 000x ＝60 000x ＋500，解得x ＝2 500，检验：当x ＝2 500时，x (x ＋500)≠0，所以x ＝2 500是分式方程的解，且符合题意，此时x ＋500＝3 000. 答：A ，B 两种型号电动自行车的进货单价分别为2 500元，3 000元． (2)∵购进A 型电动自行车m 辆， ∴购进B 型电动自行车(30－m )辆．根据题意得y ＝(2 800－2 500)m ＋(3 500－3 000)(30－m )＝－200m ＋15 000. (3)根据题意得，2 500m ＋3 000(30－m )≤80 000， 解得m ≥20.又∵m ＜30，∴20≤m ＜30， 由(2)得y ＝－200m ＋15 000， ∵－200＜0，∴y 随m 的增大而减小，∴当m ＝20时，y 取最大值，最大值为－200×20＋15 000＝11 000(元)． 此时30－m ＝10.答：当购进A 种型号电动自行车20辆，B 种型号电动自行车10辆时，能获得最大利润，此时最大利润是11 000元．4．(2018·湘西)某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400元，B 型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？(3)实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a (0<a <200)元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解：(1)根据题意，y ＝400x ＋500(100－x )＝－100x ＋50 000.(2)∵100－x ≤2x ，∴x ≥1003＝3313.∵y ＝－100x ＋50 000中k ＝－100<0， ∴y 随x 的增大而减小．∵x 为正数，∴当x ＝34时，y 取得最大值，最大值为46 600，答：该商店购进A 型电脑34台、B 型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46 600元． (3)据题意得，y ＝(400＋a )x ＋500(100－x )，即y ＝(a －100)x ＋50 000，3313≤x ≤60 ①当0<a <100时，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝34时，y 取最大值，即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大． ②当a ＝100时，a －100＝0，y ＝50 000，即商店购进A 型电脑数量满足3313≤x ≤60的整数时，均获得最大利润；③当100<a <200时，a －100>0，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝60时，y 取得最大值．即商店购进60台A 型电脑和40台B 型电脑的销售利润最大． 类型5 图象类问题1．(2018·上海)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y (升)与行驶路程x (千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写定义域)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？解：(1)设该一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，将(150,45)，(0,60)代入y ＝kx ＋b 中，⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110，b ＝60，∴该一次函数的解析式为y ＝－110x ＋60.(2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520.即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530－520＝10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．2．(2018·衡阳)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求每天的销售利润W (元)与销售价x (元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将(10,30)，(16,24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40，所以y 与x 的函数解析式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)． (2)根据题意知，W ＝(x －10)y ＝(x －10)(－x ＋40) ＝－x 2＋50x －400 ＝－(x －25)2＋225，∵a ＝－1<0，∴当x <25时，W 随x 的增大而增大．∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．3．为更新果树品种，某果园计划新购进A ，B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A 种树苗的单价为7元/棵，购买B 种树苗所需费用y (元)与购买数量x (棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，当0≤x ＜20时，把(0,0)，(20,160)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝b ，160＝20k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8，b ＝0.此时y 与x 的函数关系式为y ＝8x ；当x ≥20时，把(20,160)，(40,288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6.4，b ＝32，此时y 与x 的函数关系式为y ＝6.4x ＋32. 综上可知：y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8xx ＜，6.4x ＋x(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤35，x ≤45－x ，∴22.5≤x ≤35，设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347， ∵k ＝－0.6，∴W 随x 的增大而减小，∴当x ＝35时，W 总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)． 答：当B 种树苗为35棵树，总费用最低为326元．4．春节期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 租车公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费． 共享汽车：无固定租金，直接以租车时间(时)计费．如图是两种租车方式所需费用y 1(元)，y 2(元)与租车时间x (时)之间的函数图象，根据以上信息，回答下列问题：(1)分别求出y 1，y 2与x 的函数表达式； (2)请你帮助小丽一家选择合算的租车方案． 解：(1)由题意，设y 1＝kx ＋80，将(2,110)代入，得110＝2k ＋80，解得k ＝15， 则y 1与x 的函数表达式为y 1＝15x ＋80；设y 2＝mx ，将(5,150)代入，得150＝5m ，解得m ＝30， 则y 2与x 的函数表达式为y 2＝30x .(2)由y 1＝y 2得，15x ＋80＝30x ，解得x ＝163；由y 1<y 2得，15x ＋80<30x ，解得x >163；由y 1>y 2得，15x ＋80>30x ，解得x <163.故当租车时间为163小时时，两种选择一样；当租车时间大于163小时时，选择租车公司合算； 当租车时间小于163小时时，选择共享汽车合算．。

二次函数-综合题（二）一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x ﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x 的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M 作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x 轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A 在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B 在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+P A的最小值．27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q 分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO ＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y 轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b 都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN ⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD 于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B 三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．40．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠F AO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣35．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①，令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，则直线EF的表达式为：y＝4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，联立①③并解得：x＝（m+1），则点F（，），S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，解得：m＝，故点E（，0）、点F（2，2）；（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，故点E′不在抛物线上．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x ﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1∵抛物线经过点C（0，3）∴4a﹣1＝3解得：a＝1∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3（2）解得：，∴A（1，0），B（4，3）∴AB＝设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）∴OA＝OE＝1∴∠AEO＝45°∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S∴点Q、M、N到直线AB的距离相等如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°∴△CDQ是等腰直角三角形∴DQ＝CQ设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+∴t＝时，CQ最大值为∴DQ最大值为∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝（3）存在点P满足∠APB＝90°．∵∠APB＝90°，AB＝3∴AP2+BP2＝AB2设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0∵p＜4∴p﹣4≠0∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0∵p＞1∴p﹣1≠0∴p2+p+1﹣4p＝0解得：p1＝，p2＝（舍去）∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，。

第二部分 专题四类型1 购买、销售、分配类问题1．(2017·柳州)学校要组织去春游，小陈用50元负责购买小组所需的两种食品，买第一种食品共花去了30元，剩余的钱还要买第二种食品，已知第二种食品的单价为6元/件，问：小陈最多能买第二种食品多少件？解：设最多能买第二种食品x 件，根据题意，得6x ＋30≤50，解得x ≤103， 又∵食品的件数为整数，即第二种食品最多买3件．答：小陈最多能买第二种食品3件．2．(2016·钦州)某水果商行计划购进A ，B 两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：(1)(2)若商行规定A 种水果进货箱数不低于B 种水果进货箱数的13，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？解：(1)设A 种水果购进x 箱，则B 种水果购进(200－x )箱．根据题意，得60x ＋40(200－x )＝10 000，解得x ＝100，则200－x ＝100.答：A 种水果购进100箱，B 种水果购进100箱．(2)设A 种水果进货x 箱，则B 种水果进货(200－x )箱，售完这批水果的利润为w 元， 则w ＝(70－60)x ＋(55－40)(200－x )＝－5x ＋3 000.∵－5＜0，∴w 随着x 的增大而减小．∵x ≥13(200－x )， 解得x ≥50，∴当x ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝2 750.答：进货A 种水果50箱，B 种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2 750元．3．(2018·宁波)某商场购进甲、乙种两种商品，甲种商品共用了2 000元，乙种商品共用了2 400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元．销售过程中发现甲种商品销售不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品单价保持不变．要使两种商品全部售完共获利不少于2 460元，问甲种商品按销售单价至少销售多少件？解：(1)设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为(x ＋8)元．根据题意，得2 000x ＝2 400x ＋8，解得x ＝40. 检验：当x ＝40时，x (x ＋8)≠0，∴x ＝40是分式方程的解，且符合题意．则x ＋8＝48.答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元．(2)设甲种商品按原销售单价销售a 件．由(1)可得购进的甲、乙两种商品的件数都为50件．根据题意，得(60－40)a ＋(60×0.7－40)(50－a )＋(88－48)×50≥2 460，解得a ≥20.答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．4．(2018·烟台)为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A ，B 两种不同款型，其中A 型车单价400元，B 型车单价320元．(1)今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A ，B 两种款型的单车共100辆，总价值36 800元．试问本次试点投放的A 型车与B 型车各多少辆？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A ，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A 型车与B 型车各多少辆？解：(1)设本次试点投放的A 型车有x 辆，B 型车有y 辆．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝100，400x ＋320y ＝36 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝60，y ＝40.答：本次试点投放的A 型车有60辆，B 型车有40辆．(2)由(1)知A ，B 型车辆的数量比为3∶2，设整个城区全面铺开时投放的A 型车3a 辆，B 型车2a 辆，根据题意，得3a ×400＋2a ×320≥1 840 000，解得a ≥1 000，即整个城区全面铺开时投放的A 型车至少3 000辆，B 型车至少2 000辆，则3 000×100 100 000＝3(辆)， 2 000×100100 000＝2(辆)． 答：平均每100人至少享有A 型车3辆，至少享有B 型车2辆．5．某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车每次共运35吨，3辆大型渣土运输车和2辆小型渣土运输车每次共运40吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？(2)该运输公司决定派出大小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于150吨，问该运输公司最多派出几辆小型渣土运输车？解：(1)设一辆大型渣土运输车每次运输土方x 吨，一辆小型渣土运输车每次运输土方y 吨．根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝35，3x ＋2y ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝5.答：一辆大型渣土运输车每次运输土方10吨，一辆小型渣土运输车每次运输土方5吨．(2)设该运输公司派出a 辆小型渣土运输车，则派出大型渣土运输车(20－a )辆． 由题意可得10(20－a )＋5a ≥150，解得a ≤10.∵a 是整数，∴a 最大为10，答：该运输公司最多派出10辆小型渣土运输车．类型2 工程、生产、行程类问题1．(2018·襄阳)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等， 约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．解：设高铁的速度为x 千米/时，则动车的速度为x 2.5＝0.4x 千米/时． 依题意得3250.4x －325x＝1.5，解得x ＝325. 检验：当x ＝325时，0.4x ≠0，∴x ＝325是原方程的根．答：高铁的速度为325千米/时．2．随着京沈客运专线即将开通，阜新将进入方便快捷的“高铁时代”，从我市到A 市若乘坐普通列车，路程为650 k m ，而乘坐高铁列车则为520 k m ，高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的4倍，乘坐高铁列车从我市到A 市所需时间比乘坐普通列车缩短8 h.(1)求高铁列车的平均速度；(2)高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到A 市需要多长时间？解：(1)设普通列车的平均速度为x k m/h.则高铁的平均速度是4x k m/h.依题意，得650x －5204x＝8, 解得x ＝65， 检验：当x ＝65时，4x ≠0，∴x ＝65是原分式方程的解，且符合题意，则4x ＝260.答：高铁列车的平均速度是260 k m/h.(2)520÷260＝2(h)，答：高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到A 市需要2 h.3．(2018·抚顺)为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1 200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x 米． 根据题意得360x －36032x ＝3，解得x ＝40， 检验：当x ＝40时，32x ≠0， ∴x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，则32x ＝32×40＝60. 答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．(2)设安排甲队工作m 天，则安排乙队工作1 200－60m 40天． 根据题意，得7m ＋5×1 200－60m 40≤145， 解得m ≥10.答：至少安排甲队工作10天．4．某工厂签了1 200件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的1.5倍，并且加工240件需要的时间甲车间比乙车间少用2天．(1)求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？(2)甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．解：(1)设乙车间的加工能力每天是x 件，则甲车间的加工能力每天是1.5x 件．根据题意，得240x －2401.5x＝2, 解得x ＝40. 检验：当x ＝40时，1.5x ≠0，∴x ＝40是分式方程的解，且符合题意则1.5x ＝60.答：甲车间的加工能力每天是60件，乙车间的加工能力每天是40件．(2)设甲、乙两车间合作m 天，才能保证完成任务．根据题意，得m ＋[1 200－(40＋60)m ]÷40≤15，解得m ≥10.答：甲、乙两车间至少合作10天，才能保证完成任务．类型3 增长率问题1．(2017·桂林)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，2017年投入基础教育经费7 200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影需2 000元，则最多可购买电脑多少台？解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x .根据题意，得5 000(1＋x )2＝7 200，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.(2)2018年投入基础教育经费为7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)．设购买电脑m 台，则购买实物投影仪(1 500－m )台．根据题意，得3 500m ＋2 000(1 500－m )≤86 400 000×5%，解得m ≤880.答：2018年最多可购买电脑880台．2．(2018·安顺)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元．(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x .根据题意，得1 280(1＋x )2＝1 280＋1 600，解得x 1＝0.5＝50%，x 2＝－2.5(舍去)．答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2017年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励．根据题意，得8×1 000×400＋5×400(a －1 000)≥5 000 000，解得a ≥1 900. 答：2017年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．3．(2016·柳州)下表是世界人口增长趋势数据表：(1)(2)利用你在(1)中所得到的结论，以1960年30亿人口为基础，设计一个最能反映人口数量y 关于年份x 的函数关系式，并求出这个函数的解析式；(3)利用你在(2)中所得的函数解析式，预测2020年世界人口将达到多少亿人．解：(1)从1960年到2010年世界人口平均每年增长(69－30)÷(2010－1960)＝39÷50＝0.78(亿人)．(2)设人口数量y 关于年份x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将x ＝1 960，y ＝30；x ＝1 974，y ＝40分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 30＝1 960k ＋b ，40＝1 974k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝57，b ＝－1 370.故函数解析式为y ＝57x －1 370. 检验：∵当x ＝1 987时，y ≈50；当x ＝1 999时，y ≈58；当x ＝2 010时，y ≈66；∴人口数量y 与年份x 之间的函数关系基本符合y ＝57x －1 370. (3)∵当x ＝2 020时，y ＝57×2 020－1 370≈73，答：预测2020年世界人口将达到73亿人．类型4 方案设计问题与最值问题1．(2018·北部湾一模)某公司在北部湾经济区农业示范基地采购A, B 两种农产品，已知A 种农产品每千克的进价比B 种多2元， 且用24 000元购买A 种农产品的数量(按重量计)与用18 000元购买B 种农产品的数量(按重量计)相同．(1)求A ，B 两种农产品每千克的进价分别是多少元．(2)该公司计划购进A ，B 两种农产品共40吨，并运往异地销售，运费为500元/吨，已知A 种农产品售价为15元/k g ，B 种农产品售价为12元/k g ，其中A 种农产品至少购进15吨且不超过B 种农产品的数量，问该公司应如何采购才能获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)设A 种农产品每千克的进价是x 元，则B 种农产品每千克的进价是(x －2)元．依题意得24 000x ＝18 000x －2，解得x ＝8， 检验：当x ＝8时，x (x －2)≠0，且符合题意，故x ＝8是原分式方程的解，x －2＝8－2＝6.答： A 种农产品每千克的进价是8元，B 种农产品每千克的进价是6元．(2)设该公司购进A 种农产品m 吨，则购进B 种农产品(40－m )吨．依题意得m ≤40－m ，解得m ≤20.∵m ≥15，∴15≤m ≤20.设该公司获得利润为y 元，依题意得y ＝(15－8)×1 000m ＋(12－6)×1 000(40－m )－40×500，即y ＝1 000m ＋220 000.∵1 000＞0, y 随m 的增大而增大，∴当m ＝20时，y 取最大值，此时y ＝1 000×20＋220 000＝240 000 (元)，∴B 种农产品的数量为 40－m ＝20 (吨)．答：该公司采购A ，B 两种农产品各20吨时能获得最大利润，最大利润为240 000元.2．(2018·来宾二模)某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A 种型号衣服9件，B 种型号衣服10件，则共需1 810元；若购进A 种型号衣服12件，B 种型号衣服8件，共需1 880元．已知销售一件A 型号衣服可获利18元，销售一件B 型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A 型号衣服不多于28件．(1)求A ，B 型号衣服每件进价各是多少元？(2)若已知购进A 型号衣服是B 型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．解：(1)设A 型号衣服每件进价为x 元，B 型号衣服每件进价为y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋10y ＝1 810，12x ＋8y ＝1 880，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝90，y ＝100.答：A 型号衣服每件进价为90元，B 型号衣服每件进价为100元．(2)设B 型号衣服购进m 件，则A 型号衣服购进(2m ＋4)件．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋＋30m ≥699，2m ＋4≤28，解得192≤m ≤12. ∵m 为正整数，∴m ＝10,11,12,2m ＋4＝24,26,28.∴有三种进货方案：①B 型号衣服购进10件，A 型号衣服购进24件；②B 型号衣服购进11件，A 型号衣服购进26件；③B 型号衣服购进12件，A 型号衣服购进28件．3．(2017·河池)某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．(1)排球和足球的单价各是多少元？(2)若恰好用去1 200元，有哪几种购买方案？解：(1)设排球的单价为x 元，则足球的单价为(x ＋30)元．由题意得 500x ＝800x ＋30，解得x ＝50，经检验，x ＝50是原分式方程的解，且符合题意，则x ＋30＝80.答：排球的单价是50元，足球的单价是80元．(2)设恰好用完1 200元，可购买排球m 个和足球n 个．由题意得50m ＋80n ＝1 200，整理，得m ＝24－85n . ∵m ，n 都是正整数，∴①当n ＝5时，m ＝16，②当n ＝10时，m ＝8.∴有两种方案：①购买足球5个，购买排球16个；②购买足球10个，购买排球8个．4．(2018·湘西)某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400元，B 型电脑每台的利润为500元．该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍．设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？(3)实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a (0＜a ＜200)元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解：(1)根据题意，得y ＝400x ＋500(100－x )＝－100x ＋50 000.(2)∵100－x ≤2x ，∴x ≥1003＝3313， ∵y ＝－100x ＋50 000中k ＝－100＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 为正整数，∴当x ＝34时，y 取得最大值，最大值为46 600.答：该商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46 600元．(3)根据题意，得y ＝(400＋a )x ＋500(100－x )，即y ＝(a －100)x ＋50 000，3313≤x ≤60. ①∵当0＜a ＜100时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝34时，y 取最大值，即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大．②a ＝100时，a －100＝0，y ＝50 000，即商店购进A 型电脑数量满足3313≤x ≤60的整数时，均获得最大利润； ③∵当100＜a ＜200时，a －100＞0，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，y 取得最大值．即商店购进60台A 型电脑和40台B 型电脑的销售利润最大．类型5 表演、比赛、租车类问题1．某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛(每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛)．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得－1分．(1)如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？(2)假设比赛结束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场．解：(1)设该班胜x 场，则该班负(10－x )场．依题意得3x －(10－x )＝14，解得x ＝6.答：该班胜6场，负4场．(2)设甲班胜了x 场，乙班胜了y 场．依题意有3x －(10－x )＝3[3y －(10－y )]，化简，得3y ＝x ＋5，即y ＝x ＋53.∵x ，y 是非负整数，且0≤x ≤5，x ＞y ，∴x ＝4，y ＝3.答：甲班胜了4场，乙班胜了3场．2．(2017·百色)某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．(1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？(2)该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？解：(1)设九年级师生表演的歌唱类节目有x 个，舞蹈类节目有y 个．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10×2，x ＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝8，答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个．(2)设参与的小品类节目有a 个．根据题意，得12×5＋8×6＋8a ＋15＜150，解得a ＜278. ∵a 为整数，∴a 的最大值为3，答：参与的小品类节目最多能有3个．3．(2018·锦州)为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．(1)求每辆大客车和每辆小客车的座位数；(2)经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？解：(1)设每辆小客车的座位数是x 个，每辆大客车的座位数是y 个．11 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝15，4y ＋6x ＝310，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝25，y ＝40.答：每辆大客车的座位数是40个，每辆小客车的座位数是25个．(2)设租用小客车a 辆，则25a ＋40(10－a )≥310＋40， 解得a ≤313.∵a 为整数，∴a 最大为3.答：最多租用小客车3辆．。

1．（2021•平阳县一模）某超市销售A，B两种饮料，A种饮料进价比B种饮料每瓶低2元，用500元进货A种饮料的数量与用600元进货B种饮料的数量相同．（1）求A，B两种饮料平均每瓶的进价．（2）经市场调查表明，当A种饮料售价在11元到17元之间（含11元，17元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元时，日均销售量减少20瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为320瓶；B种饮料的日均毛利润m（元）与售价为n（元/瓶）（12.5≤n≤18）构成一次函数，部分数据如下表：（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）售价n（元/瓶）1817.516…日均毛利润m（元）640700880…①当B种饮料的日均毛利润超过A种饮料的最大日均毛利润时，求n的取值范围．②某日该超市B种饮料每瓶的售价比A种饮料高3元，售价均为整数，当A种饮料的售价定为每瓶多少元时，所得总毛利润最大？最大总毛利润是多少元？2．（2021•武昌区模拟）三月是柑橘大量上市的季节，某果农在销售时发现：柑橘若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设柑橘售价为x元/千克（x≥5，且x为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，则该日柑橘的单价为元；（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值；（3）为更好地促进果农的种植积极性，市政府加大对果农的补贴，每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直接写出所有符合题意的a的值：．3．（2021•硚口区模拟）某公司投入研发费用100万元（100万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为8元/件．经试销发现年销售量y（万件）与售价x（元/件）有如下对应关系．x（元/件）246y（万件）282624（1）直接写出y关于x的函数关系式；（2）当第一年的产品的售价x为多少时，年利润W1最大，其最大值是多少？（3）第二年该公司将第一年的最大利润再次投入研发（此费用计入第二年成本），使产品的生厂成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品的售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量不超过15万件，求该公司第二年的利润W2至少为多少万元？4．（2021•黄冈一模）疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示：进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型400600200B型8001200400根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A 型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．5．（2021•长兴县模拟）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）与周次x（x是正整数，1≤x＜5）的关系可近似用函数y=25x+a刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）从第5周的6元/kg下降至第6周的5.6元/kg．y与周次x（5≤x≤7）的关系可近似用函数y=−110x2+bx+5刻画．（1）求a，b的值．（2）若前五周该蔬菜的销售量m（kg）与每周的平均销售价格y（元/kg）之间的关系可近似地用如图2所示的函数图象刻画，第6周的销售量与第5周相同：①求m与y的函数表达式；②在前六周中，哪一周的销售额w（元）最大？最大销售额是多少？6．（2021•黄冈模拟）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型600900200B型8001200400根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．7．（2020•市南区一模）如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用y=−15x2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，245），C（5，215）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）求抛物线的函数关系式；（2）求遮阳棚跨度ON的长；（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y 轴上，且EG∥x轴，EF∥y轴），现有库存10米的钢材是否够用？8．（2020•山西模拟）周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？9．（2020•衡水模拟）在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮球中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投中．探究一：若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐中？探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中？探究三：若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮筐的坐标为（6，3.44），球场上方有一组高6米的电线，要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮筐中，直接写出二次函数解析式中a的取值范围．10．（2020•武汉模拟）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m ，跨度AB ＝20m ，有5根支柱：AG 、MN 、CD 、EF 、BH ，相邻两支柱的距离均为5m ．（1）以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，支柱CD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m ，宽2m ，高3m ，行驶速度为24km /h ，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m 的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？11．（2021•市北区二模）如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是53m ． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为3124m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．12．（2020•市南区二模）发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点20米时达到最大高度10米，如图所示，现将发石车至于与山坡底部O 处，山坡上有一点A ，距离O 的水平距离为30米，垂直高度3米，AB 是高度为3米的防御墙．（1）求石块运行的函数关系式；（2）计算说明石块能否飞越防御墙AB ；（3）石块飞行时与坡面OA 之间的最大距离是多少？（4）如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移多远？13．（2021•瑞安市一模）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．（1）当点F在线段BC上时，①设EF的长为x米，则DE＝米（用含x的代数式表示）；②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场的宽EF；（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？14．（2021•武汉模拟）如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10m）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为24m，设AB的长为xm，矩形绿化带的面积为ym2．（1）求y关于自变量x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD面积y的最大值；（3）若要求矩形绿化带ABCD的面积不少于45m2，请直接写出AB长的取值范围．15．（2020•日照）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．16．（2019•新昌县一模）某农场造一个矩形饲养场ABCD，如图所示，为节省材料，一边靠墙（墙足够长），用总长为77m的木栏围成三块面积相等的矩形区域：矩形AEGH，矩形HGFD，矩形EBCF，并在①②③处各留1m装门（不用木栏），设BE长为x（m），矩形ABCD的面积为y（m2）（1）∵S矩形AEGH＝S矩形HGFD＝S矩形EBCF，∴S矩形AEFD＝2S矩形EBCF，∴AE：EB＝．（2）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？最大值为多少？17．（2020•鹿城区校级二模）为了增加学校绿化，学校计划建造一块长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边中点E、F、G、H，构成四边形EFGH，并计划用“两花一草”来装饰，四边形EFGH部分使用甲种花，在正方形ABCD四个角落构造4个全等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪，图纸设计如下．（1）经了解，种植甲种花50元/m2，乙种花80元/m2，草坪10元/m2，设一个矩形的面积为xm2，装饰总费用为y元，求y关于x的函数关系式；（2）当装饰费用为74880元时，则一个矩形区域的长和宽分别为多少？（3）为了缩减开支，甲区域用单价为40元/m2的花，乙区域用单价为a元/m2（a＜80，且a为10的倍数）的花，草坪单价不变，最后装饰费只用了55000元，求a的最小值．18．（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．。

2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数的实际应用一、选择题1. （2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．【考点】二次函数的实际应用【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．二、填空题1. （2019年四川省广安市）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离（米）之间的关系为y＝﹣2+ +，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．【考点】二次函数的应用、自变量与函数的实际意义【解答】解：当y＝0时，y＝﹣2++＝0，解得，＝2（舍去），＝10．故答案为：10．三、解答题1. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。

某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。

（1）某天这种芒果售价为28元/千克。

求当天该芒果的销售量（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式。

如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y kx b =+则25352238k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：160k b =-⎧⎨=⎩ ∴60y x =-+（1540x ≤≤）∴当28x =时，32y =∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克（2）由题易知(10)m y x =-(60)(10)x x =-+- 270600x x =-+-当400m =时，则270600400x x -+-=整理得：27010000x x -+= 解得：120x =，250x =∵1540x ≤≤ ∴20x =所以这天芒果的售价为20元2. （2019年山东省青岛市）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设y 与销售单价之间的函数关系式为：y ＝+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y ＝﹣2+160；（2）由题意得：w＝（﹣30）（﹣2+160）＝﹣2（﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当＜55时，w随的增大而增大，而30≤≤50，∴当＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（﹣30）（﹣2+160）≥800，解得：≤70，∴每天的销售量y＝﹣2+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．3. （2019年湖北省十堰市）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/g．设第天的销售价格为y（元/g），销售量为m（g）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤≤30时，y＝40；当31≤≤50时，y与满足一次函数关系，且当＝36时，y＝37；＝44时，y＝33．②m与的关系为m＝5+50．（1）当31≤≤50时，y与的关系式为；（2）为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/g，求a的最小值．【考点】待定系数法、一次函数的性质、二次函数的性质【解答】解：（1）依题意，当＝36时，y＝37；＝44时，y＝33，当31≤≤50时，设y＝+b，则有，解得∴y与的关系式为：y＝+55（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m∴整理得，当1≤≤30时，∵W随增大而增大∴＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400当31≤≤50时，W＝2+160+1850＝∵＜0∴＝32时，W取得最大值，此时W＝4410综上所述，为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元（3）依题意，W＝（y+a﹣18）•m＝∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随的增大而增大∴对称轴＝＝≥35，得a≥3故a的最小值为3．4. （2019年甘肃省天水市）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】待定系数法、二次函数的应用、二次函数的性质【解答】解：（1）设y与的函数解析式为y＝+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与的函数解析式为y＝﹣+40（10≤≤16）；（2）根据题意知，W＝（﹣10）y＝（﹣10）（﹣+40）＝﹣2+50﹣400＝﹣（﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴当＜25时，W随的增大而增大，∵10≤≤16，∴当＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5. （2019年湖北省鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣）整理得y＝﹣5+500；（2）由题意，得：w＝（﹣40）（﹣5+500）＝﹣52+700﹣20000＝﹣5（﹣70）2+4500∵a＝﹣5＜0∴w有最大值即当＝70时，w最大值＝4500∴应降价80﹣70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：﹣5（﹣70）2+4500＝4220+200解之，得：1＝66，2 ＝74，∵抛物线开口向下，对称轴为直线＝70，∴当66≤≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．6. （2019年湖北省随州市）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格（元/千克）满足函数关系式p=1+8，从市场反馈的信息发现，该半2成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：已知按物价部门规定销售价格不低于2元/千克且不高于10元/千克．（1）直接写出q与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求的取值范围；②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当为______元/千克时，利润y 有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则应定为______元/千克．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由表格的数据，设q与的函数关系式为：q=+b根据表格的数据得，解得故q与的函数关系式为：q=-+14，其中2≤≤10（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q即+8≤-+14，解得≤4又2≤≤10，所以此时2≤≤4②由①可知，当2≤≤4时，y=（-2）p=（-2）（+8）=2+7-16当4＜≤10时，y=（-2）q-2（p-q）=（-2）（-+14）-2[+8-（-+14）]=-2+13-16即有y=（3）当2≤≤4时，y=2+7-16的对称轴为===-7∴当2≤≤4时，除的增大而增大∴=4时有最大值，y==20当4＜≤10时y=-2+13-16=-（-）2+，∵-1＜0，＞4∴=时取最大值即此时y有最大利润要使每天的利润不低于24百元，则当2≤≤4时，显然不符合故y=-（-）2+≥24，解得≤5故当=5时，能保证不低于24百元故答案为：，57. （2019年辽宁省本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用、一次函数的应用【解答】解：（1）当0＜≤20且为整数时，y＝40；当20＜≤60且为整数时，y＝﹣+50；当＞60且为整数时，y＝20；（2）设所获利润w（元），当0＜≤20且为整数时，y＝40，∴w＝（40﹣16）×20＝480元，当0＜≤20且为整数时，y＝40，∴当20＜≤60且为整数时，y＝﹣+50，∴w＝（y﹣16）＝（﹣+50﹣16），∴w＝﹣2+34，∴w＝﹣（﹣34）2+578，∵﹣＜0，∴当＝34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．8. （2019年内蒙古包头市）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？【考点】二次函数的应用、分式方程的应用【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有辆，根据题意得，，解得：＝20，经检验：＝20是分式方程的根，∴1500÷（20﹣10）＝150（元），答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，∵﹣＜0，∴当a＝100时，W有最大值，答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．9. （2019年内蒙古通辽市）当今，越越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（﹣25）＝﹣10+500（30≤≤38）；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．w＝（﹣20﹣a）（﹣10+500）＝﹣102+（10a+700）﹣500a﹣10000（30≤≤38）对称轴为＝35+a，且0＜a≤6，则30a≤38，则当＝35+a时，w取得最大值，∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10（35+a）+500]＝1960 ∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去），∴a＝2．。

2019中考数学专题强化训练--实际应用型问题（含答案）第二部分专题二类型1 购买、销售、分配类问题．某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克．若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？解：设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意，得8x＋18y＝1700，10x＋20y＝1700＋300，解得x＝100，y＝50.答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为元，则购进乙种水果千克，根据题意，得＝10a＋20＝－10a＋2400.∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3，解得a≤90.∵＝－103.4，答：该企业XX年的利润能超过3.4亿元．．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知XX年该市投入基础教育经费5000万元，XX年投入基础教育经费7200万元．求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；如果按中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划XX年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需XX元，则最多可购买电脑多少台？解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意得50002＝7200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.XX年投入基础教育经费为7200×＝8640，设购买电脑台，则购买实物投影仪台，根据题意得3500＋XX≤86400000×5%，解得≤880.答：XX年最多可购买电脑880台．类型4 方案设计问题与最值问题．某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解：根据题意，得y＝90x＋70＝20x＋1470，∴y与x的函数表达式为y＝20x＋1470.∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，∴21－x10.5.又∵y＝20x＋1470，且x取整数，∴当x＝11时，y有最小值为1690，答：使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．．某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．求A型空调和B型空调每台各需多少元；若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？在的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？解：设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，由题意得3x＋2y＝39000，4x－＝6000，解得x＝9000，y＝6000，答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元．设购买A型空调a台，则购买B型空调台，a≥1230－a9000a＋600030－a217000，解得10≤a≤1213，∴a＝10,11,12，共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，方案三：采购A型空调12台，B型空调18台．设总费用为元，＝9000a＋6000＝3000a＋180000，∴当a＝10时，取得最小值，此时＝210000，答：采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．．我市从XX年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．求A，B两种型号电动自行车的进货单价；若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与之间的函数关系式；该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？解：设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x 元、元．由题意得50000x＝60000x＋500，解得x＝2500，检验：当x＝2500时，x≠0，所以x＝2500是分式方程的解，且符合题意，此时x＋500＝3000.答：A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元，3000元．∵购进A型电动自行车辆，∴购进B型电动自行车辆．根据题意得y＝＋＝－200＋15000.根据题意得，2500＋3000≤80000，解得≥20.又∵＜30，∴20≤＜30，由得y＝－200＋15000，∵－200＜0，∴y随的增大而减小，∴当＝20时，y取最大值，最大值为－200×20＋15000＝11000．此时30－＝10.答：当购进A种型号电动自行车20辆，B种型号电动自行车10辆时，能获得最大利润，此时最大利润是11000元．．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求y关于x的函数关系式；该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解：根据题意，y＝400x＋500＝－100x＋50000.∵100－x≤2x，∴x≥1003＝3313.∵y＝－100x＋50000中＝－1000，y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．类型5 图象类问题．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y与行驶路程x之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．求y关于x的函数关系式；已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？解：设该一次函数的解析式为y＝x＋b，将，代入y＝x ＋b中，0＋b＝45，b＝60，解得＝－110，b＝60，∴该一次函数的解析式为y＝－110x＋60.当y＝－110x＋60＝8时，解得x＝520.即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．30－520＝10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．．一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y与销售价x之间的函数关系如图所示．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；求每天的销售利润与销售价x之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：设y与x的函数解析式为y＝x＋b，将，代入，得10＋b＝30，16＋b＝24，解得＝－1，b＝40，所以y与x的函数解析式为y＝－x＋40．根据题意知，＝＝＝－x2＋50x－400＝－2＋225，∵a＝－1163；由y1>y2得，15x＋80>30x，解得x<163.故当租车时间为163小时时，两种选择一样；当租车时间大于163小时时，选择租车公司合算；当租车时间小于163小时时，选择共享汽车合算．。

中考数学总复习《二次函数的实际应用与几何问题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝12x2的图象，C2是函数y＝－12x2的图象，则图中阴影部分的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π2．如图，已知抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l⊙x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=2√3，则MN的长为（）A．2√6B．4√2C．5D．63．如图，已知⊙ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣24．如图，在⊙ABC中，⊙C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以√2cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC →CB方向运动到点B．设⊙APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．5．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2B．y=（12﹣x2）C．y=（12﹣x）•x D．y=2（12﹣x）6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门。

已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m。

设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m²)，则y关于x的函数表达式是()A．y=-x²+50x B．y= −12x²+24xC．y= −12x2+25x D．y= −12x2+26x7．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊙BD，CE= 12BD．若⊙ABD的周长为20cm，则⊙BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（）2−10x+100B．S=2x2−40x+200A．S=14xC．S=x2−20x+100D．S=x2+20x+1008．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）A．12B．18C．24D．369．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若⊙ABC与⊙ABD的面积比为1：4，则k值为（）A．1B．12C．43D．4510．半径是3的圆，如果半径增加2x，那么面积S和x之间的函数关系式是（）A．S＝2π（x＋3）2B．S＝9π＋xC．S＝4πx2＋12x＋9D．S＝4πx2＋12πx＋9π11．设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M ,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 () A．y=−3(x−1)2+1B．y=2(x−0.5)(x+1.5)C．y=13x 2−43x+1D．y=(a2+1)x2−4x+2(a为任意常数)12．已知坐标平面上有两个二次函数y=a(x+1)(x−7)，y=b(x+1)(x−15)的图形，其中a、b为整数．判断将二次函数y=b(x+1)(x−15)的图形依下列哪一种方式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（）．A．向左平移4单位B．向右平移4单位C．向左平移8单位D．向右平移8单位二、填空题13．如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=14x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE⊙AC，交y2于点E，则DE ＝．14．用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是cm2．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，⊙AOC=60°，点D为AB边上的一点，经过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DF⊙AB时，CE的长为。

2019 届中考数学二模试题分类汇编应用题列方程（组）解应用题：西城 1．水上公园的游船有两种种类，一种有 4 个座位，另一种有 6 个座位．这两种游船的收费标准是：一条 4 座游船每小时的租金为60 元，一条 6 座游船每小时的租金为100元．某公司组织38 名职工到水上公园租船旅行，若每条船正好坐满，而且 1 小时共花费租金 600 元，求该公司分别租用 4 座游船和 6 座游船的数目．海淀 2.园博会招募志愿者, 高校学生踊跃响应. 据统计，截止 2 月 28 日和 3 月 10 日，高校志愿者报名人数分别为 2.6 万人和 3.6 万人，而志愿者报名总人数增添了 1.5 万人，而且两次统计数据显示，高校志愿者报名人数与志愿者报名总人数的比同样. 求截止 3 月 10 日记愿者报名总人数.东城 3.我国是一个淡水资源严重缺少的国家，相关数据显示，中国人均淡水资源据有量仅为美国人均淡水资源据有量的1，中、美两国人均淡水资源据有量之和为13 800m3，问中、53美两国人均淡水资源据有量各为多少（单位：m）？旭日4．某新建小区要铺设一条全长为2200 米的污水排放管道，为了尽量减少施工对周边居民所造成的影响，实质施工时，每日铺设的管道比原计划增添10%，结果提早 5 天完成这一任务，原计划每日铺设多少米管道？房山 5．据媒体报导， 2010 年北京市民到郊区旅行总人数约5000 万人， 2012 年市民到郊区旅行总人数增添到约7200 万人 . 求这两年北京市民到郊区旅行总人数的年均匀增添率.门头沟 6．为帮助地震灾区人民重修家园，某校学生踊跃捐钱．已知第一次捐钱总数为9000元，第二次捐钱总数为12000 元，且两次人均捐钱额相等，但第二次捐钱人数比第一次多50人．求该校第二次捐钱的人数．怀柔7．某体校学生张皓同学为了参加2013年北京国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的竞赛，针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，张皓骑自行车的均匀速度为每分钟600 米，跑步的均匀速度为每分钟200 米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15 分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．大兴 8. 我国是一个淡水资源严重缺少的国家，相关数据显示，中国人均淡水资源据有量仅为美国人均淡水资源据有量的1，中、美两国人均淡水资源据有量之和为13800m3，问中、5美两国人均淡水资源据有量各为多少（单位：m3）？丰台 9．列方程或方程组解应用题：某农场昨年栽种了10 亩地的西瓜，亩产量为2000kg ，依据市场需要，今年该农场扩大了栽种面积，而且所有栽种了高产的新品种西瓜. 已知西瓜栽种面积的增添率是亩产量的增添率的 2 倍，估计今年西瓜的总产量为60000kg，求西瓜亩产量的增添率.密云 10．体育文化用品商铺购进篮球和排球共20 个，进价和售价如表，所有销售完后共获收益 260 元．求商铺购进篮球，排球各多少个？篮球排球进价（元 / 个）8050售价（元 / 个）9 560顺义 11．列方程或方程组解应用题:某公司向四川雅安地震灾区捐助价值17.6 万元的甲、乙两种帐篷共200 顶，已知甲种帐篷每顶800 元，乙种帐篷每顶1000 元，问甲、乙两种帐篷各多少顶？应用题答案1．解：租用 4 座游船x条，租用 6座游船 y 条.. ⋯. ⋯.. ⋯.. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分依意得4x6y38,⋯. ⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 60x 100 y 600.分解得x5,.. ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 y 3.分答：公司租用 4 座游船 5 条， 6 座游船 3 条 .. ⋯. ⋯.2.解：截止 3月 10 日记愿者名人数x 万人. -------------------------1分依意 , 得= . -------------------------3分x x解得 x 5.4 .-------------------------4分， x 5.4 是原方程的解，且切合意.答：截止 3 月 10日记愿者名人数万人3.解：2x1x 13⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分x22去分母得 2x113( x2)解得 x 6 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分： x 6 是原方程的根.因此原方程的根x 6 .4 . 解：原划每日x 米管道．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分由意，得22002200⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分x5(1 10%)x解得x 40．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分x40 是原方程的根．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分答：原划每日 40 米管道．5. ．解：两年北京市民到郊区旅行人数的年均匀增率x -------1分依据意，得 5000（ 1+ x）2 =7200------------------------2分解得 x1 0.2 ， x2----------------------3分∵增率不可以，∴只取 x =0.2=20%-----------------------4分答： 两年北京市民到郊区旅行 人数的年均匀增 率20％ . -----5 分6． 解： 校第二次有x 人捐钱， 第一次有（ x – 50）人捐钱 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分依据 意，得9000 12000. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 50x解 个方程，得x =200. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分， x =200 是所列方程的解，而且切合 的意 .答： 校第二次有200 人捐钱 .⋯⋯⋯⋯⋯7． 解： 自行 路段的 度x 米， 跑路段的 度（ 5000-x ）米，据 意列方程得：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x5000 x 15 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 600200解方程，得 x=3000⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分5000-x=5000-3000=2000 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分答：自行 路段的 度3 千米， 跑路段的 度 2 千米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分8. 列方程或方程 解 用 ：解： 中国人均淡水 源据有量xm 3，美国人均淡水 源据有量 ym 3．⋯⋯⋯⋯ 1 分依据 意得：， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分解得：．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分答：中、美两国人均淡水 源据有量各 3 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分2300m ， 11500m ． 9．解： 西瓜 量的增 率x ， 西瓜栽种面 的增 率2x . ------ 1分由 意得，2000(1+x) 10(12x) 60000 . --2 分解得， x 11, x 22 .------ 3分2但x 2 2 不合 意，舍去 .------ 4 分答：西瓜 量的增 率50%.------ 5分10． 球 x 个， 排球 y 个，由 意得：⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分解得：，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分答：球 12个，排球 8 个 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分11．解：甲种篷x ，乙种篷y⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分依意，得x y200⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分800x1000y176000解以上方程，得x =120，y=80答：甲、乙两种篷分是120 和 80 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分。

2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数的实际应用一、选择题1. （2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．【考点】二次函数的实际应用【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．二、填空题1. （2019年四川省广安市）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离（米）之间的关系为y＝﹣2+ +，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．【考点】二次函数的应用、自变量与函数的实际意义【解答】解：当y＝0时，y＝﹣2++＝0，解得，＝2（舍去），＝10．故答案为：10．三、解答题1. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。

某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。

（1）某天这种芒果售价为28元/千克。

求当天该芒果的销售量（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式。

如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y kx b =+则25352238k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：160k b =-⎧⎨=⎩∴60y x =-+（1540x ≤≤）∴当28x =时，32y =∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克（2）由题易知(10)m y x =-(60)(10)x x =-+- 270600x x =-+-当400m =时，则270600400x x -+-=整理得：27010000x x -+= 解得：120x =，250x =∵1540x ≤≤ ∴20x =所以这天芒果的售价为20元2. （2019年山东省青岛市）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品 每天的销售量y （件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设y 与销售单价之间的函数关系式为：y ＝+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y ＝﹣2+160；（2）由题意得：w ＝（﹣30）（﹣2+160）＝﹣2（﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当＜55时，w 随的增大而增大，而30≤≤50，∴当＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（﹣30）（﹣2+160）≥800，解得：≤70，∴每天的销售量y＝﹣2+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．3. （2019年湖北省十堰市）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/g．设第天的销售价格为y（元/g），销售量为m（g）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤≤30时，y＝40；当31≤≤50时，y与满足一次函数关系，且当＝36时，y＝37；＝44时，y＝33．②m与的关系为m＝5+50．（1）当31≤≤50时，y与的关系式为；（2）为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/g，求a的最小值．【考点】待定系数法、一次函数的性质、二次函数的性质【解答】解：（1）依题意，当＝36时，y＝37；＝44时，y＝33，当31≤≤50时，设y＝+b，则有，解得∴y与的关系式为：y＝+55（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m∴整理得，当1≤≤30时，∵W随增大而增大∴＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400当31≤≤50时，W＝2+160+1850＝∵＜0∴＝32时，W取得最大值，此时W＝4410综上所述，为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元（3）依题意，W＝（y+a﹣18）•m＝∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随的增大而增大∴对称轴＝＝≥35，得a≥3故a的最小值为3．4. （2019年甘肃省天水市）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】待定系数法、二次函数的应用、二次函数的性质【解答】解：（1）设y与的函数解析式为y＝+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与的函数解析式为y＝﹣+40（10≤≤16）；（2）根据题意知，W＝（﹣10）y＝（﹣10）（﹣+40）＝﹣2+50﹣400＝﹣（﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴当＜25时，W随的增大而增大，∵10≤≤16，∴当＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5. （2019年湖北省鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣）整理得y＝﹣5+500；（2）由题意，得：w＝（﹣40）（﹣5+500）＝﹣52+700﹣20000＝﹣5（﹣70）2+4500∵a＝﹣5＜0∴w有最大值即当＝70时，w最大值＝4500∴应降价80﹣70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：﹣5（﹣70）2+4500＝4220+200解之，得：1＝66，2 ＝74，∵抛物线开口向下，对称轴为直线＝70，∴当66≤≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．6. （2019年湖北省随州市）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格（元/千克）满足函数关系式p=1+8，从市场反馈的信息发现，该半2成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：已知按物价部门规定销售价格不低于2元/千克且不高于10元/千克．（1）直接写出q与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求的取值范围；②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则应定为______元/千克．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由表格的数据，设q与的函数关系式为：q=+b根据表格的数据得，解得故q与的函数关系式为：q=-+14，其中2≤≤10（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q即+8≤-+14，解得≤4又2≤≤10，所以此时2≤≤4②由①可知，当2≤≤4时，y=（-2）p=（-2）（+8）=2+7-16当4＜≤10时，y=（-2）q-2（p-q）=（-2）（-+14）-2[+8-（-+14）]=-2+13-16即有y=（3）当2≤≤4时，y=2+7-16的对称轴为===-7∴当2≤≤4时，除的增大而增大∴=4时有最大值，y==20当4＜≤10时y=-2+13-16=-（-）2+，∵-1＜0，＞4∴=时取最大值即此时y有最大利润要使每天的利润不低于24百元，则当2≤≤4时，显然不符合故y=-（-）2+≥24，解得≤5故当=5时，能保证不低于24百元故答案为：，57. （2019年辽宁省本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用、一次函数的应用【解答】解：（1）当0＜≤20且为整数时，y＝40；当20＜≤60且为整数时，y＝﹣+50；当＞60且为整数时，y＝20；（2）设所获利润w（元），当0＜≤20且为整数时，y＝40，∴w＝（40﹣16）×20＝480元，当0＜≤20且为整数时，y＝40，∴当20＜≤60且为整数时，y＝﹣+50，∴w＝（y﹣16）＝（﹣+50﹣16），∴w＝﹣2+34，∴w＝﹣（﹣34）2+578，∵﹣＜0，∴当＝34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．8. （2019年内蒙古包头市）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？【考点】二次函数的应用、分式方程的应用【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有辆，根据题意得，，解得：＝20，经检验：＝20是分式方程的根，∴1500÷（20﹣10）＝150（元），答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，∵﹣＜0，∴当a＝100时，W有最大值，答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．9. （2019年内蒙古通辽市）当今，越越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（﹣25）＝﹣10+500（30≤≤38）；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．w＝（﹣20﹣a）（﹣10+500）＝﹣102+（10a+700）﹣500a﹣10000（30≤≤38）对称轴为＝35+a，且0＜a≤6，则30a≤38，则当＝35+a时，w取得最大值，∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10（35+a）+500]＝1960∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去），∴a＝2．。

江西中考数学填空多解题类型一条件开放考向1 形状不确定1. 已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5，圆心O到BC的距离为3，则AB 的长为__________．2. 在△ABC中，AD为BC边上的高，AC＝5，BC＝6，△ABC的面积为9，AB边的长为________．3. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B的大小为__________．4. 在▱ABCD中，AB＝2，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交直线CD于点F，EF ＝2，且DF＝1，则▱ABCD的周长等于____________．5. 以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列)，已知AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD的大小为__________．6. 已知△ABC是等边三角形，且AB＝4，△ACD是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD，则对角线BD的长为__________．7. 已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，OE∶ED＝1∶3，AE＝23，则AB∶AD＝__________．考向2位置不确定1. (2017吉安模拟)直线AB与⊙O相切于点B，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点(D与B、C不重合)，若∠A＝30°，则∠BDC的度数为________．2. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．3. 在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．4. 在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝2BC，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，且得点B，A，C′在同一条直线上，则∠CC′B的大小为________．5.已知O是AB的中点，将点A绕点O顺时针旋转一定角度得到OP，△AOP沿OP 翻折得到△COP，连接BC，若∠ABC＝50°，则∠A的度数为________．6. (2018原创)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△A′B′C，当A′落在△ABC的一边上时，连接BB′，取BB′的中点D，连接C、D，则CD的长度为________．第7题图7. 如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，P是菱形上的一动点，若点P从点F出发，沿F→D→C→B的路线运动，则当∠FPE＝30°时，FP 的长为______________．8. 已知正方形ABCD，在这个正方形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到BC的距离是2，点P到CD的距离是4，则点P到DA的距离是__________．9. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且tan ∠ADB ＝32，以AD 为边作正方形ADEF ，连接BE ，若AB ＝32，则线段BE 的长为________．10. （2017江西样卷一）菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，点E 在BC 上，CE ＝2 3.若点P 是菱形上异于点E 的另一点，CE ＝CP ，则EP 的长为________．11. （2017江西样卷二）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，AO ＝6，点D 为弧AB 的中点，C 为半径OA 上一动点(点A 除外)，沿CD 对折后点A 恰好落在扇形AOB 的边线OB 或OA 上，AC 的长可以是________________．类型二 结论开放考向1 等腰三角形腰和底不确定1. 如图，有一三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是________．第1题图2. 如图是全等的两个三角形△ABC 和△DEF (点A 、B 分别与点D 、E 对应)，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E 在BC 边上从B 向C 移动(点E 不与B 、C 重合)，在运动过程中，DE 始终经过点A ，EF 与AC 相交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE 的长为__________．第2题图3. (2017吉安模拟) 如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象过点A (1，2)，且与x 轴相交于点B ；若点P 是x 轴上的一点，且满足△APB 是等腰三角形，则点P 的坐标可以是________．第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，AE ＝4，点F 是边BC 上一点，将△ABF 沿AF 折叠，使点B 落在BE 上的点B ′处，射线DC 与射线AF 相交于点M ，若点N 是射线AF 上一动点，则当△DMN 是等腰三角形时，AN 的长为____________．第4题图5. 矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝3，E 为AB 边的中点，P 为CD 边上的点，且△AEP 是腰长为5的等腰三角形，则DP ＝________．6. 已知⊙O的直径为4，A是圆上一固定点，弦BC的长为22(A，B，C三点均不重合)，当△ABC为等腰三角形时，其底边上的高为________．考向2直角三角形直角不确定针对演练1. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝8，点P为线段AB上一动点，过点P 作PE⊥AB交直线AD于E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为直角三角形时，AP＝__________．第1题图2. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是BC边上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为__________．第2题图3. 如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与AB相交于点P，等腰直角△DEF的顶点D在射线CP上，且EF∥AB，连接PE，PF.现在将△DEF沿CP方向进行平移，当△PEF为直角三角形时，∠DPF的度数为____________．第3题图4. 如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB＝5，AD＝32，当△CEF是直角三角形时，BD的长为________．第4题图5. 如图，点M是直线y＝2x＋3上的动点，过点M作MN⊥x轴于点N，当点M位于第二象限时，在y轴上有一点P，使△MNP为等腰直角三角形，则BP的长度为________．第5题图6. 如图，▱ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，∠B ＝60°，点P 是四边形上的一个动点，则当△PBC 为直角三角形时，BP 的长为__________．第6题图考向3 比例线段点位置不确定1. 如图，将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短．．到长．．之比为1∶2∶4，其中没完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是________cm .第1题图2. 点A 、C 为半径是3的圆周上两点，点B 为的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为________．3. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝32，点P 为线段AC 上一个动点，过点P 作PD ⊥AC 交AB 于点D ，将△APD 沿直线PD 折叠，点A 的对应点为E ，连接DE ，BE .当△DEB 的两直角边之比为12时，AP 的长为________．第3题图三、相似三角形对应顶点不确定1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CB ⊥AB ，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 是AB 边上一点，连接DP 、CP ，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，则AP 的长为__________.第1题图2. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点P 是AD 上的一个动点，若以A ，P ，B 为顶点的三角形与△PDC 相似，则AP 的长为________．第2题图3. 如图，平面直角坐标系中，已知点A (4，0)和点B (0，3)，点C 是AB 的中点，点P 在折线AOB 上，直线CP 截△AOB 所得的三角形与△AOB 相似，那么点P 的坐标是__________．第3题图4. 如图，已知平面直角坐标系中四点A(－2，4)，B(－2，0)，C(2，－3)，D(2，0)，设点P是x轴正半轴上的一点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则点P的坐标为________．第4题图参考答案 考向1 形状不确定 1. 45或25 【解析】如解图①，当三角形的外心在三角形的内部时，连接AO 并延长交BC 于点D ，∵AB ＝AC ，O 为外心，∴AD ⊥BC ，在Rt △BOD 中，BD ＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝42＋82＝45；如解图②，当三角形的外心在三角形的外部时，在Rt △BOD 中，BD ＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝42＋（5－3）2＝2 5.综上所述，AB 的长为45或2 5.第1题解图2. 13或109 【解析】分两种情况考虑：∵AC ＝5，BC ＝6，△ABC 的面积为9，∴AD ＝3，如解图①，当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：DC ＝52－32＝4；在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：AB ＝AD 2＋DB 2＝32＋22＝13，②如解图②，当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：DC ＝52－32＝4；在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：AB ＝AD 2＋BD 2＝32＋（6＋4）2＝109，故答案为：13或109.第2题解图3. 70°或20° 【解析】根据△ABC 中∠A 为锐角或钝角，分为两种情况：①当∠A 为锐角时，如解图①，∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，∴∠A＝40°，∴∠B ＝180°－∠A 2＝180°－40°2＝70°；②当∠A 为钝角时，如解图②，∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1＝40°，∴∠BAC ＝140°，∴∠B ＝∠C ＝180°－140°2＝20°.综上所述，∠B 的大小为70°或20°.第3题解图4. 8 cm 或4＋4 2 cm 【解析】①如解图①，当点F 落在CD 上时，由DF ＝1，AB ＝2可知F 点是CD 的中点，又∵EF 垂直平分AB ，∴可判断出平行四边形的四个角均为90°，即四边形ABCD 是矩形，∵AD ＝EF ＝2，AB ＝2，▱ABCD 的周长为8；②如解图②，当点F落在CD 的延长线上时，连接BD ，∵AB ＝2，EF 垂直平分AB ，∴BE ＝1，∵DF ＝1，∴BE ＝DF ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴四边形BEFD 是矩形，∴BD ＝EF ＝2，∴在Rt △BDC 中，BC ＝BD 2＋DC 2＝EF 2＋AB 22＝2，∴▱ABCD 周长为2AB ＋2BC ＝4＋4 2.第4题解图5. 80°或100° 【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝100°，∴∠1＝∠2＝∠CAD ＝40°，∴AD ∥BC .如解图①，过点C 分别作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，∵∠1＝∠CAD ，∴CE＝CF ，在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC CE ＝CF .∴Rt △ACE ≌Rt △ACF ，∴∠ACE ＝∠ACF ，在Rt △BCE 与Rt △DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CD CE ＝CF ，∴Rt △BCE ≌Rt △DCF ，∴∠BCE ＝∠DCF ，∴∠2＝∠ACD ＝40°，∴∠BCD ＝80°；如解图②，∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠BCD ＝∠ABC ＝100°.综上所述，∠BCD ＝80°或100°.第5题解图6. 27或47或4213【解析】①当AC 为斜边时，如解图①，此时BD 1＝BD 2，由∠ACD 1＝30°可得∠BCD 1＝90°，再由AC ＝BC ＝AB ＝4，可得AD 1＝2，CD 1＝23，在Rt △BCD 1中，BD 1＝BC 2＋CD 21＝27；②当AC 为短直角边时，如解图②，过点D 1作D 1E 垂直AB ，则∠EAD 1＝30°，由∠AD 1C ＝30°，AC ＝4，可得AD 1＝43，∴D 1E ＝23，AE ＝6，在Rt △BED 1中，BD 1＝BE 2＋D 1E 2＝47； ③当AC 为长直角边时，如解图③，由∠ACD 1＝30°，可得∠BCD 1＝90°，且CD 1＝AC cos ∠ACD ′＝833，在Rt △BCD 1中，BD 1＝BC 2＋CD 21＝4213.第6题解图 7. 33或153 【解析】①如解图①，点E 在BO 上时，∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OD ，∵OE ∶ED ＝1∶3，∴BE ＝OB －OE ＝OD －OE ＝(ED －OE )－OE ＝3OE －OE －OE ＝OE ，∴BE ＝OE ，∴AE ⊥OB 且平分OB ，∴AO ＝AB ，∴△ABO 是等边三角形，∴∠ABO ＝60°，∠ADB ＝30°，∴AB ∶AD ＝tan ∠ADB ＝tan 30°＝33；②如解图②，点E 在OD 上时，设OE 为x ，∵OE ∶ED ＝1∶3，∴ED ＝3x ，BE ＝OE ＋OB ＝x ＋(x ＋3x )＝5x ，由直角三角形的性质得△ADE ∽△BAE ，∴ED AE ＝AE BE ，即3x 23＝235x，解得x 2＝45，在Rt △ADE 中，AD ＝ED 2＋AE 2＝9×45＋12＝4530，在Rt △ABE 中，AB ＝EB 2＋AE 2＝25×45＋12＝42，∴AB ∶AD ＝42∶4530＝153.综上所述，AB ∶AD ＝33或153.第7题解图考向2 位置不确定1. 30°或150° 【解析】如解图所示，∵直线AB 与⊙O 相切于点B ，C 是⊙O 与OA 的交点，点D 是⊙O 上的动点(D 与B 、C 不重合)，∴∠OBA ＝90°，∵∠A ＝30°，∴∠BOA ＝60°，当点D 在劣弧BC 上时，∠BDC ＝180°－(60°÷2)＝150°；当点D 在优弧BC 上时，∠BDC ＝12∠BOA ＝30°，故答案为：30°或150°.第1题解图2. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝30°，∠ABC ＝∠ADC ＝150°，∴∠DBA ＝∠DBC ＝75°，∵ED ＝EB ，∠DEB ＝120°，∴∠EBD ＝∠EDB ＝30°，∴∠EBC ＝∠EBD ＋∠DBC ＝105°，当点E ′在BD 右侧时，∵∠DBE ′＝30°，∴∠E ′BC ＝∠DBC －∠DBE ′＝45°，∴∠EBC ＝105°或45°.第2题解图3. 5.5或0.5 【解析】分两种情况：①如解图1所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，∵四边形BCFE 为菱形，∴CF ＝EF ＝BE ＝BC ＝5，∴DF ＝CF 2－CD 2＝52－42＝3，∴AF ＝AD ＋DF ＝8，∵M 是EF 的中点，∴MF ＝12EF ＝2.5，∴AM ＝AF －DF ＝8－2.5＝5.5；②如解图2所示：同①得：AE ＝3，∵M 是EF 的中点，∴ME ＝2.5，∴AM ＝AE －ME ＝0.5；综上所述：线段AM 的长为5.5或0.5.第3题解图4. 15°或105° 【解析】由∠C ＝90°，AB ＝2BC ，可得∠BAC ＝30°，分情况讨论：如解图①，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C ′落在BA 的延长线上时，可得AC ＝AC ′，∴∠CC ′B ＝∠C ′CA ＝12∠BAC ＝15°；如解图②，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，当点C ′落在线段AB 上时，可得AC ＝AC ′，∴∠CC ′A ＝∠C ′CA ＝180－30°2＝75°，∠CC ′B ＝180°－75°＝105°.综上所述，∠CC ′B ＝15°或105°.第4题解图5. 65°或25° 【解析】如解图①，当P 、C 在AB 同侧时，由题意得：OA ＝OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠B ＝50°，∴∠AOC ＝100°，由翻折可得∠AOP ＝∠COP ，即∠AOP ＝50°，由旋转可知AO ＝OP ，∴∠A ＝180°－50°2＝65°；如解图②，当P 、C 在AB 异侧时，由题意得：OA ＝OB ＝OC ，∠OCB ＝∠B ＝50°，∴∠AOC ＝100°，由翻折可得∠AOP ＝∠COP ，即∠AOP ＝130°，由旋转可知AO ＝OP ，∴∠A ＝180°－130°2＝25°.综上可得，∠A ＝65°或25°.第5题解图6. 3或6 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，∴∠A ＝90°－∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝23，①如解图①，当A ′落在AB 上时，可得CA ＝CA ′，∴△ACA ′是等边三角形，∴∠BCB ′＝∠ACA ′＝60°，∵CB ＝CB ′，∴△BCB ′是等边三角形，∵D 为BB ′的中点，∴∠BDC ＝90°，∠BCD ＝30°，∴CD ＝cos 30°×BC ＝32×23＝3；②如解图②，当A ′落在BC 上时，可得BC ＝B ′C ，∠BCB ′＝90°，∴BB ′＝26，∵D 为BB ′的中点，∴CD ＝12BB ′＝ 6.综上所述，OD 的长度为3或 6.第6题解图7. 2或23或4 【解析】①如解图①，当点P 与点D 重合时，∠FPE ＝∠DEF ＝30°，此时FP ＝FD ＝FE ＝2；②如解图②，当点P 为DC 的中点时，FP 为△ADC 的中位线，FP ⊥FE ，PE ＝4，EF ＝2，∠FPE ＝30°，由勾股定理得FP ＝23；③如解图③，当点P 为BC 的中点时，EP 为△ABC 的中位线，EF ⊥EP ，PF ＝4，EF ＝2，∠FPE ＝30°，FP ＝DC ＝4；④如解图④，当点P 与点B 重合时，∠EFP ＝∠FBE ＝30°，此时FE ＝EB ＝2，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝PF ＝2 3.综上所述，FP 的长为2或2 3 或4.第7题解图8. 1或3或5或7【解析】如解图，作l 1∥AB ，l 2∥AB ，且l 1和l 2到AB 的距离为1，作l 3∥BC ，l 4∥BC ，且l 3和l 4到BC 的距离为2，4条直线相交于P 1，P 2，P 3，P 4，l 1、l 2、l 3、l 4交正方形ABCD 及各边延长线于E 、F 、M 、H 、Q 、K ，若l 2到CD 的距离为4，则P 1F ＝4，∵P 1H ＝1，P 1Q＝2，∴HF ＝4＋1＝5，∵四边形ABCD 为正方形，∴MQ ＝AB ＝BC ＝HF ＝5，∴P 1M ＝MQ －P 1Q ＝5－2＝3；同理可得P 3M ＝7，若l 1到CD 的距离为4，则P 2F ＝4，∵P 2H ＝1，P 2N ＝2，∴HF ＝4－1＝3，∵四边形ABCD 为正方形，∴EN ＝AB ＝BC ＝HF ＝3，∴P 2E ＝EN －P 2N ＝3－2＝1；同理可得P 4E ＝5.综上所述，点P 到DA 的距离为1或3或5或7.第8题解图9. 217或22 【解析】在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝32，由勾股定理可得BC ＝6.过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝BH ＝3，再由tan ∠ADB ＝AH HD ＝32可得HD ＝AH tan ∠ADB＝2，如解图，当点E 1在BC 上方时，过点E 1作E 1M ⊥BC 交BC 的延长线于点M ，由四边形ADE 1F 1是正方形可证△AHD ≌△DME 1，∴DM ＝AH ＝3，ME 1＝HD ＝2，∴BM ＝BD ＋DM ＝BH ＋HD ＋DM ＝8，在Rt △BE 1M 中，BE 1＝BM 2＋ME 21＝217；当点E 2在BC 下方时，同理可证△AHD ≌△DNE 2，则NE 2＝HD ＝2，DN ＝AH ＝3，∴BN ＝BD －ND ＝BH ＋HD －ND ＝2，在Rt △BNE 2中，BE 2＝BN 2＋NE 22＝2 2.综上可得，BE 的长为217或2 2.第9题解图10. 6或26或32－6 【解析】如解图①，连接EP 交AC 与点H .第10题解图①∵菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴∠BCD ＝120°，∠ECH ＝∠PCH ＝60°，在△ECH 和△PCH 中⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝PC ∠ECH ＝∠PCH CH ＝CH，∴△ECH ≌△PCH ，∴∠EHC ＝∠PHC ＝90°，EH ＝PH ，∴EP ＝2EH ＝2sin 60°·EC ＝2×32×23＝6.如解图②，△ECP 为等腰直角三角形，则EP ＝2EC ＝26，第10题解图②过点P ′作P ′F ⊥BC .∵P ′C ＝23，BC ＝4，∠B ＝60°，∴P ′C ⊥AB ，∴∠BCP ′＝30°，∴FC ＝3 2×23＝3，P ′F ＝3，EF ＝23－3，∴EP ′＝（23－3）2＋（3）2＝32－6.综上所述，EP 的长为6或26或32－ 6.11. 6－33或6 或9－33 【解析】①当点A 落在半径OA 上时，连接OD ，如解图①所示，∵∠ACD ＝90°，∠AOB ＝60°，点D 为弧AB 的中点，点A (6，0)，∴∠COD ＝30°，OA ＝OD ＝6，∴OC ＝OD ·cos 30°＝6×32＝33，∴AC ＝OA －OC ＝6－33； ②如解图②，沿CD 对折后点A 恰好落在边线OB 上，且A ′和B 重合时，则C 和O 重合，此时，AC ＝OA ＝6；③沿CD 对折后点A 恰好落在边线OB 上，且A ′和B 不重合时，如解图③，连接OD 、BD 、AD ，作DF ⊥OA 于F ，∵∠AFD ＝90°，∠AOB ＝60°，点D 为弧AB 的中点，∴∠AOD＝∠BOD ＝30°，∠OAD ＝∠OBD ，∵OA ＝OD ＝6，∴DF ＝OD ·sin 30°＝6×12＝3，∠OAD ＝75°，∴OF ＝OD ·cos 30°＝6×32＝33，∴AF ＝OA －OF ＝6－33，∵DA ′＝DA ＝DB ，∠OAD ＝∠OBD ＝75°，∴BA ′＝2AF ＝12－63，∠DA ′B ＝∠OBD ＝75°，∴OA ′＝OB －BA ′＝6－(12－63)＝63－6，∵∠CA ′D ＝∠CAD ＝75°，∴∠BA ′C ＝150°，∴∠OA ′C ＝30°，∴∠A ′CO ＝90°，∴CA ′＝OA ′·sin 60°＝(63－6)×32＝9－33，∴AC ＝CA ′＝9－3 3.故答案为：6－33或6或9－3 3.第11题解图考向1 等腰三角形腰和底不确定针对演练1. 25°或40°或10° 【解析】据题意知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形，对于△ABD ，可能有AB ＝AD 或AB ＝BD 或AD ＝BD ；由于∠A ＝80°，因此相应的∠BDC 可能为130°或100°或160°，无疑△DBC 只能是BD ＝CD ，故∠C 度数可以为25°或40°或10°.2. 1或116【解析】∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；①当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1；②当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE AC ＝AC CB ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝6－256＝116.综上所述，BE 的长是1或116. 3. (3，0)或(22－1，0)或(－22，0)或(1，0) 【解析】∵一次函数y ＝x ＋b 的图象过点A (1，2)，∴2＝1＋b ，解得b ＝1，∴B (－1，0)．当AB ＝AP 时，∵B (－1，0)，∴P 1(3，0)；当AB ＝BP 时，∵AB ＝（1＋1）2＋（2－0）2＝22，∴P 2(22－1，0)，P 3(－22－1，0)当AP ＝BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的中点坐标为(0，1)．设点P 所在的直线解析式为y ＝－x ＋c ，则c ＝1，∴直线解析式为y ＝－x ＋1，∴当y ＝0时，x ＝1，∴P 4(1，0)综上所述，P 点坐标为：(3，0)，(22－1，0)，(－22－1，0)，(1，0)．故答案为：(3，0)或(22－1，0)或(－22－1，0)或(1，0)．第3题解图4. 2或5或18 【解析】由题意可知，∵AF ⊥BE ，∴∠BAF ＋∠ABE ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠D ＝90°，∴∠BAF ＋∠DAM ＝90°，∴∠DAM ＝∠ABE ，∴△ABE ∽△DAM ，∴AB DA ＝AE DM ，∴36＝4DM，∴DM ＝8，AM ＝AD 2＋DM 2＝62＋82＝10，①当MN ＝MD 时，AN ＝AM －DM ＝10－8＝2或AN ＝AM ＋DM ＝10＋8＝18；②当ND ＝NM时，易知点N 是AM 的中点，∴AN ＝12AM ＝5，综上所述，当AN 为2或5或18时，△DMN 是等腰三角形．5. 1或4或9 【解析】①如解图①，当AE ＝EP ＝5时，过P 作PM ⊥AB ，∴∠PMB ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCPM 是矩形，∴PM ＝BC ＝3，∵PE ＝5，∴EM ＝PE 2－PM 2＝25－9＝4，∵E 是AB 中点，∴BE ＝5，∴BM ＝PC ＝5－4＝1，∴DP ＝10－1＝9；②如解图②，当AE ＝AP ＝5时，DP ＝AP 2－AD 2＝25－9＝4；第5题解图③如解图③，当AE ＝EP ＝5时，过P 作PF ⊥AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠DAB ＝90°，∴四边形BCPF 是矩形，∴PF ＝BC ＝3，∵PE ＝5，∴EF ＝25－9＝4，∵E 是AB 中点，∴AE ＝5，∴DP ＝AF ＝5－4＝1.故答案为：1或4或9.6. 2＋2或2或2－2 【解析】当BC 为底边时，如解图①，连接AO 延长与BC 交于F ，连接BO ，CO ，在△ABO 与△ACO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC BO ＝CO AO ＝AO第6题解图∴△ABO ≌△ACO (SSS )，∴∠BAO ＝∠CAO ，在△AFB 与△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ∠BAO ＝∠CAO AB ＝AC，∴△AFB ≌△AFC (SAS )，∴BF ＝CF ＝2，∴AF ⊥BC ，∴AF 为△ABC 的高，在直角△BOF 中，OF ＝BO 2－BF 2＝2，∴AF ＝2＋2；当BC 为腰时，如解图②，连接BO 并延长与AC 交于F ，连接OA ，OC ，同理可证得：△ABO ≌△CBO ，∵∠ABO ＝∠CBO ，可得△AFB ≌△CFB ，∴AF ＝CF ，∴BF ⊥AC ，BF 为△ABC 的高，第6题解图②在△BOC 中∵OB 2＋OC 2＝8，BC 2＝8，∴△BOC 为等腰直角三角形，∴∠CBO ＝45°，∴CF ＝BF ，设CF ＝BF ＝x ，则2x 2＝8，解得：x ＝2，∴BF ＝2，当BC 为底时，如解图③，∵AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝2，设AF ＝x ，则OF ＝2－x ，在Rt △OBF 中，(2－x )2＋(2)2＝22，解得：x ＝2＋2(舍)或x ＝2－ 2.故答案为：2＋2或2或2－ 2.考向2 直角三角形直角不确定针对演练1. 22或4＋22 【解析】如解图①，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形，第1题解图①∵在菱形ABCD 中，AB ＝8，∴CD ＝AD ＝AB ＝8，在Rt △ADF 中，∵AD ＝8，∠DAF＝45°，AF ＝DF ＝AD ·sin 45°＝42，∴AP ＝12AF ＝22；如解图②，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形，第1题解图②在Rt △CBF 中，∵∠CFB ＝90°，∠CBF ＝∠A ＝45°，BC ＝8，∴BF ＝CF ＝42，∴AF ＝8＋42，∴AP ＝12AF ＝4＋2 2.故答案为：22或4＋2 2. 2. 3或6 【解析】在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AC 2＋BC 2＝10，∵△ADE 是△ABD 以AD 为折痕翻折得到的，∴AE ＝AB ＝6，DE ＝BD ，∠AED ＝∠B ＝90°.当△DEC 为直角三角形，①如解图①，当∠DEC ＝90°时，∵∠AED ＋∠DEC ＝180°，∴点E 在线段AC 上，设BD ＝DE ＝x ，则CD ＝8－x ，∴CE ＝AC －AE ＝4，∴DE 2＋CE 2＝CD 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得：x ＝3，即BD ＝3.图①图②第2题解图②如解图②，当∠EDC ＝90，∴∠BDE ＝90°，∵∠BDA ＝∠ADE ，∴∠BDA ＝∠ADE ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AB ＝BD ＝6.综上所述：当△DEC 为直角三角形时，BD 的长为3或6.3. 0°或45°或15° 【解析】①如解图①，当点D 与点P 重合时，△PEF 为直角三角形，此时∠DPF ＝0°；②如解图②，点D 位于AB 下方时，且∠EPF ＝90°，△PEF 为直角三角形，此时由EF ∥AB ，可求得∠PMF ＝∠APM ＝75°.又∠EFD ＝45°，可得∠PDF ＝30°.∵∠EPF ＝∠EDF ＝90°，∴D ，E ，P ，F 四点共圆，∴∠DPF ＝∠DEF ＝45°；③如解图③，当点D 位于AB 下方时，且∠EFP ＝90°，△PEF 为直角三角形，此时由EF ∥AB ，可证∠PMF ＝∠APM ＝75°.又∠MFP ＝90°，可得∠DPF ＝15°.第3题解图4. 13或1 【解析】∵△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝90°－∠CAD ，∠CAE ＝∠DAE －∠CAD ＝90°－∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD＝CE .第4题解图①如解图①，∠CFE ＝90°时，AF ⊥DE ，∴AF ＝EF ＝22AE ＝22×32＝3，CF ＝AC －AF ＝5－3＝2，在Rt △CEF 中，CE ＝EF 2＋CF 2＝32＋22＝13，∴BD ＝CE ＝13；②如解图②，∠CEF ＝90°时，∠AEC ＝135°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝135°，∵∠ADB ＋∠ADE ＝135°＋45°＝180°，∴点B 、D 、F 三点共线，过点A 作AG ⊥DE ，则AG ＝DG ＝22AD ＝22×32＝3，在Rt △ABG 中，BG ＝AB 2－AG 2＝52－32＝4，∴BD ＝BG －DG ＝4－3＝1.综上所述，BD 的长为13 或1.5. 2或3或94【解析】令直线y ＝2x ＋3中x ＝0，则有y ＝3，即B 点的坐标为(0，3)，OB 的长为3.①如解图①，当等腰直角三角形的两条直角边是MN ，MP 时，设点P 的坐标为(0，a )，则点M 的坐标为(－a ，a )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴a ＝2×(－a )＋3，解得a ＝1，∴点P 的坐标为(0，1)，∴BP ＝3－1＝2；②如解图②，当等腰直角三角形的两条直角边是MN ，NP 时，点P 的坐标为(0，0)，则点M 的坐标为(－b ，b )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴b ＝2×(－b )＋3，解得b ＝1，即点M 的坐标为(－1，1)，点N 的坐标为(－1，0)，点P 的坐标为(0，0)，∴BP ＝3；③如解图③，当等腰直角三角形的两条直角边是MP ，NP 时，作PQ ⊥MN 交MN 于点Q ，设点P 的坐标为(0，c )，∵MP ＝NP ，∠MPN ＝90°，∴点M 的坐标为(－c ，2c )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴2c ＝2×(－c )＋3，解得c ＝34，∴点P 的坐标为(0，34)，∴BP ＝3－34＝94，综上可得，BP 的长度为2或3或94.第5题解图6. 2或23或19 【解析】分两种情况：(1)①当∠BPC ＝90°时，如解图①，作AM ⊥BC于点M ，∵∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∴BM ＝12AB ＝1，∴AM ＝3BM ＝3，CM ＝BC －BM ＝4－1＝3，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝23，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，∴当点P 与A 重合时，∠BPC ＝∠BAC ＝90°，∴BP ＝BA ＝2；②当∠BPC ＝90°，如解图②，点P 在边AD 上，CP ＝CD ＝AB ＝2时，BP ＝BC 2－CP 2＝42－22＝23；(2)当∠BCP ＝90°时，如解图③，则CP ＝AM ＝3，∴BP ＝BC 2＋CP 2＝19；综上所述，当△PBC 为直角三角形时，BP 的长为2或23或19.第6题解图考向3 比例线段点位置不确定针对演练1. 2或2.5 【解析】设折痕对应的刻度为x cm ，依题意有易知，纸带被剪成了1 cm 、2 cm 、4 cm 三段，又未被盖住的那部分最长，为4 cm ，所以折痕只能是在1 cm 的纸带上或2 cm 的纸带上．依题意有两种情况，①当折痕在2 cm 的那段上时，2(x －1)＝2，解得x ＝2 cm ；②当折痕在1 cm 的那段上时，2(x －2)＝1，解得x ＝2.5 cm .故答案为2或2.5.2. 6或23 【解析】如解图，连接OC ，当菱形在圆心左边时，在Rt △CEO 中，OE ＝1，CO ＝3，根据勾股定理得CE ＝22，在Rt △CED 中，根据勾股定理得，CD ＝23；同理：当菱形在圆心右边时，解得CD ＝6，∴菱形的边长为23或 6.第2题解图3. 2或22 【解析】∵AC ＝32，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴AB＝6，根据题意分两种情况考虑：①当DE DB ＝12时，如解图①，AD ＝DE ，DE DB ＝12，即AD DB ＝12，∴AD ＝2，在等腰直角三角形ADP 中，AP ＝2；②当DB DE ＝12时，如解图②，AD ＝DE ，DB DE＝12，即DB AD ＝12，∴AD ＝4，在等腰直角三角形ADP 中，AP ＝DP ＝2 2.故AP 的长为2或2 2.第3题解图1. 2或6或247【解析】∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＝180°－∠B ＝90°，∴∠P AD ＝∠PBC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，设AP 的长为x ，则BP 长为8－x ，若AB 边上存在P 点，使△P AD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4，解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x )，解得x ＝2或x ＝6.∴AP 的长为2或6或247. 2. 1或5或9 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ＝3，AD ＝BC ＝10，∠A ＝∠D ＝90°，设AP ＝x ，则PD ＝AD －AP ＝10－x ，若∠APB ＝∠DPC ，则Rt △APB ∽Rt △DPC .∴AP PD ＝AB CD ，即x 10－x ＝33，解得x ＝5；若∠APB ＝∠PCD ，则Rt △APB ∽Rt △DCP ，∴AB DP ＝AP CD ，310－x ＝x 3，解得x ＝1或9，∴当AP ＝1或5或9时，以A ，P ，B 为顶点的三角形与△PDC 相似．3. (0，32)或(2，0)或(78，0) 【解析】①当PC ∥OA 时，△BPC ∽△BOA ，由点C 是AB 的中点，∴点P 为OB 的中点，此时P 点坐标为(0，32)；②当PC ∥OB 时，△ACP ∽△ABO ，由点C 是AB 的中点，∴点P 为OA 的中点，此时P 点坐标为(2，0)；③当PC ⊥AB 时，如解图，第3题解图∵∠CAP ＝∠OAB ，∴Rt △APC ∽Rt △ABO ，∴AC OA ＝AP AB，∵点A (4，0)和点B (0，3)，∴AB ＝32＋42＝5，∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝52，∴524＝AP 5，∴AP ＝258，∴OP ＝OA －AP ＝4－258＝78，此时P 点坐标为(78，0)．综上所述，满足条件的P 点坐标为(0，32)或(2，0)或(78，0)．第4题解图①4. (27，0)或(14，0)或(4，0) 【解析】设OP ＝x (x ＞0)，分两种情况：(1)若点P 在线段BD 上，如解图①，有两种可能：①若△ABP ∽△CDP ，则AB ∶CD ＝BP ∶PD ，∴4∶3＝(x＋2)∶(2－x )解得x ＝27.∴点P 的坐标为(27，0)；②若△ABP ∽△PDC ，则AB ∶PD ＝BP ∶CD ，∴4∶(2－x )＝(x ＋2)∶3，方程无解；第4题解图②(2)若点P 在CD 的右边，如解图②，有两种可能：①若△ABP ∽△CDP ，则AB ∶CD ＝BP ∶PD ，∴4∶3＝(2＋x )∶(x －2)，∴x ＝14，∴点P 的坐标为(14，0)，②若△ABP ∽△PDC ，则AB ∶PD ＝BP ∶CD ，∴4∶(x －2)＝(x ＋2)∶3，∴x ＝±4，∴点P 的坐标为(4，0)或(－4，0)(舍去)．∴点P 的坐标为(27，0)或(14，0)或(4，0)．。