2018-2019学年上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=aOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ④0OA OB OC ++=； 则点O 分别为ABC ∆的（ ） A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心 C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心． 【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC ++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=， 即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =，3OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为)))(),2,10,0x y x y x y --+--+--=，0x =10y +=，解得1x =-，y =即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．2．如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，点M ，N 分别在1l ，2l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A.15B.12C.10D.9【答案】A【解析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM 、PN uuu r，根据8PM PN +=，求出PM PN ⋅的解析式，再求其最大值． 【详解】由点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，可得平行线1l 、2l 间的距离为2；以直线1l 为x 轴，以过点P 且与直线1l 垂直的直线为y 轴， 建立坐标系，如图所示：由题意可得点()0,1P -，直线2l 的方程为2y =， 设点(),0M a 、点(),2N b ，(),1PM a ∴=、(),3PN b =， (),4PM PN a b ∴+=+；8PM PN +=， 2()1664a b ∴++=，a b ∴+=，或a b +=-；当a b +=()2333PM PN ab a a a ⋅=+=+=-++，它的最大值为2315-+=；当a b +=-时，()2333PM PN ab a a a ⋅=+=-+=--+，它的最大值为(2(315----+=； 综上可得，PM PN ⋅的最大值为15． 故选：A 【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 3．如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈、，则x y +的取值范围是（ ）A.1,4⎡+⎣B.44⎡-+⎣C.1,2⎡+⎣D.22⎡⎣【答案】B【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE =+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠= ，则2,A M D M ==，则2AQ =，12AR =， 23(423)(23)(23)2AQ AR AD AE-==-=-+- ，此时4x y +=-，同理可得：(23)(23)AT AD AE =+++，4xy +=+，选B .【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.4．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 正确的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2d ==,则22a b +>4，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率。

2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．若直线:(,)0l f x y =不过点00(,)x y ，则方程00(,)(,)0f x y f x y -=表示（ ） A ．与l 重合的直线 B ．与l 平行的直线 C ．与l 相交的直线 D ．可能不表示直线【答案】B 【解析】 【分析】利用相互平行的直线斜率、截距之间的关系即可得出． 【详解】Q 直线:(,)0l f x y =不过点00(,)x y ，∴00(,)0f x y ≠，则方00(,)(,)0f x y f x y -=表示是与l 平行的直线. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.2．设a r是已知的平面向量且0a ≠rr，关于向量a r的分解，有如下四个命题： ①给定向量b r，总存在向量c r，使a b c =+rrr；②给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+r r r ；③给定单位向量b r 和正数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b r和单位向量c r，使a b c λμ=+rrr； 上述命题中的向量b r，c r 和a r在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以a r 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量b λr 有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须b c a λμλμ+=+≥r r r，所以④是假命题。

综上，本题选B ．考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．3．已知平面向量,,a b c r r r 满足c xa yb =+r r r（,R x y ∈），且0a c ⋅>r r ，0b c ⋅>r r ． A ．若0a b ⋅<r r，则0x >，0y > B ．若0a b ⋅<r r，则0x <，0y <C ．若0a b ⋅>r r，则0x <，0y < D ．若0a b ⋅>r r，则0x >，0y >【答案】A 【解析】试题分析：若0a b ⋅<r r ，设(1,1)a =r ，(2,1)b =-r ，(0,1)c =r，则10a c ⋅=>r r ，10b c ⋅=>r r ，10a b ⋅=-<r r ，由c xa yb =+r r r ，有021x y x y =-⎧⎨=+⎩，解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，排除B ；若0a b ⋅>r r ，设(1,0)a =r ，(2,1)b =r ，(1,1)c =r，则10a c ⋅=>r r ，30b c ⋅=>r r ，20a b ⋅=>r r ，由c xa yb =+r r r ，有121x y y =+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，排除C 、D ，故选A ．考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、平面向量的基本定理．【思路点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和平面向量基本定理的运用，作为选择题运用排除法是解题的关键，运用排除法解决，分0a b ⋅<r r ，0a b ⋅>r r两种情况，然后再分别对,a b r r举例加以验证，即可得到答案．4．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=u u u r u u u r u u u r raOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r rA OAB OBC OC ；③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r A OA B OB C OC ；④0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ；则点O 分别为ABC ∆的（ ） A ．外心、内心、垂心、重心 B ．内心、外心、垂心、重心 C ．垂心、内心、重心、外心 D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D 【解析】 【分析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设()1,3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC V 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC V 的外心；④0OA OB OC u u u r u u u r u u u r r++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =， 由AC 的中点D 为()0,2，13DB =，2133OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC V 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设(3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r， 即为)()()()333,2,130,033x y x y x y ---+--+--=， 330x =310y +=，解得1x =-，3y = 即(1,3O --，由OC AB ⊥，331OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC V 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．二、填空题5．方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为________【答案】216320⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】 【分析】先将方程组化为26320x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，即可写出对应的增广矩阵．【详解】由题意，方程组为26320x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，故其增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭.故答案为：216320⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查方程组的增广矩阵，属于基础题. 6．直线210x +-=的倾斜角是________【答案】π-【解析】 【分析】根据所给的直线210x +-=，得到直线的斜率为，直线的斜率是倾斜角的正切值，得到tan α=0[]απ∈，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果． 【详解】直线210x -=的斜率是， 因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以tan α=0[]απ∈，，所以απ=-.故答案为：π-【点睛】本题考查反三角函数的运用，考查直线的倾斜角，属于基础题. 7．已知直线220x y +-=和10mx y -+=的夹角为3π，那么m 的值为________【解析】 【分析】运用两直线夹角的正切公式，解方程即可得到所求值． 【详解】由已知直线220x y +-=，得该直线斜率为2-， 直线10mx y -+=的斜率为m ， 因为两直线的夹角为3π， 所以：(2)31(2)m m --=+⋅-，解得853m ±=.故答案为：853±. 【点睛】本题考查两直线的夹角与到角问题，属于常考题.8．行列式101213131---中的代数余子式的值为________【答案】-5 【解析】 【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论． 【详解】由题意，行列式101213131---中﹣3的代数余子式为﹣1123-＝﹣（3+2）＝﹣5故答案为﹣5 【点睛】本题考查行列式的代数余子式，考查学生的计算能力，属于基础题．9．设向量()3,0a =-v，()2,6b =-r ，则b r 在a r 上的投影为__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据一个向量在一个向量上的投影等于这个向量的模乘以两个向量的夹角的余弦，然后代入公式|b r|cos a b a b a⋅=r r r r u u r r ＜，＞进行求解即可． 【详解】向量 a =r（﹣3，0），b =r（﹣2，6），向量b r 在向量a r上的投影为|b r |cos 32069a b a b a--+⨯⋅===rr r r u u r r＜，＞ 2 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了向量的投影，解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于中档题．10．已知线段AB 的端点坐标分别为(2,4)A -、(4,2)B ，过点(0,2)P -的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是________ 【答案】(,3][1,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形求出直线AP BP 、的斜率，从而求出直线l 的斜率k 的取值范围． 【详解】根据题意，画出图形，如图所示：Q 直线AP 的斜率是24302AP k --==-+， 直线BP 的斜率是22104BP k --==-，∴直线l 的斜率应满足AP k k ≤或BP k k ≥，即3k ≤-或1k ³时，直线l 与线段AB 相交，∴斜率k 的取值范围是3k ≤-或1k ³.故答案为：(,3][1,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查直线的斜率的取值范围，考查数形结合思想和逻辑思维能力，属于常考题.11．齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解，则λ的值为________【答案】0或3或2 【解析】 【分析】根据系数矩阵行列式等于0时，齐次线性方程组有非零解解答即可. 【详解】124231111D λλλ--=--2(1)(3)824(3)(1)4(1)λλλλλ=--+-----+-0=，故2(3)(2)0λλλ--=， 解之得：0λ=或3λ=或2λ=， 故答案为：0或3或2. 【点睛】本题考查齐次线性方程组有非零解的问题，属于基础题.12．已知向量a r ，b r 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =r ，()1,1b =r ，a r 与a λb +rr 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________. 【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】可求出()12a b λλλ+=++r r ，，根据a r 与a b λ+r r的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+r r r ＞，且a r 与a bλ+r r不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可． 【详解】：()12a b λλλ+=++r r，； ∵a r与a b λ+rr的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+r r r ＞，且a r 与a b λ+r r不平行；∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．13．Lester S.Hill 在1929年运用矩阵的原理发明了一种加密方法，称为希尔密码，其中每个字母均用数字来代替（0A =，1B =，…，25Z =），一串字母就可当成n 维向量，具体加密过程如下：假设明文M =“ABC ”，对a 应的向量就是()1012M =，加密矩阵1212041315A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，加密过程就是()()11210122044681315M A -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，如果计算出的数字超过26，则对26取余，例如34mod268=，那么，最终的密文C 就是“EGI ”，假设加密矩阵仍为A ，那么原文“EFZ ”的密文是______. 【答案】NFB 【解析】【分析】根据题意,先找到EFZ 对应的数字,再根据加密法则进行计算,最终得到密文即可. 【详解】由题EFZ 对应的向量(4525)Q =,则加密后121(4525)204(3983391)(1351)1315QA -⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭故密文为NFB 故答案为：NFB 【点睛】本题主要考查矩阵的运算以及新定义的问题,根据题中所给信息列出对应的计算式求解即可.属于中等题型.14．已知O 为△ABC 的外心，若4B π=，BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为______【答案】2【解析】 【分析】在BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r 的两边分别同时计算与BA u u u r 和BC uuur 的数量积得到2c c λμ=和2a a λμ=+，进一步得到1λ=-1μ=-，所以2()a cc aλμ+=+，再运用基本不等式可以得到最值. 【详解】设AB c =，BC a =，由BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，得：BO BA BA BA BC BA λμ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2212c c λμ=，即2c c λμ=①，同理可得，2a a λμ=+②，由①②解得：12c λ=-，12aμ=-，所以2()22a cc aλμ+=-+≤-， 当且仅当a c =时等号成立，故max ()2λμ+=故答案为：2【点睛】本题考查平面向量的线性表示、平面向量的数量积、基本不等式的应用、一元二次不等式的解法等，考查划归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题15．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积. 【答案】312【解析】 【分析】解法一：用行列式求解，面积公式为112233111ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用12ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可.【详解】解法一：行列式求解，11223315013113312121ABC x y S x y x y ∆-==-=； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：3353y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC的距离34d ===，BC ==所以113122342ABC S BC d ∆=⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.16．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解；② 当52a =-，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，525z a =-+. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.17．设二阶方矩阵a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则矩阵A 所对应的矩阵变换为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其意义是把点(,)P x y 变换为点(,)Q x y ''，矩阵A 叫做变换矩阵.（1）当变换矩阵11221A ⎛⎫=⎪⎝⎭时，点1(1,1)P -、2(3,1)P -经矩阵变换后得到点分别是1Q 、2Q ，求经过点1Q 、2Q 的直线的点方向式方程；（2）当变换矩阵21381A ⎛⎫=⎪-⎝⎭时，若直线上的任意点(,)P x y 经矩阵变换后得到的点Q仍在该直线上，求直线的方程；（3）若点P 经过矩阵3A 变换后得到点Q ，且P 与Q 关于直线y kx =对称，求变换矩阵3A .【答案】（1）1112x y -+=-；（2）20x y +=，430x y -=；（3）22222212112111k k k k k k k k ⎛⎫- ⎪++ ⎪⎪- ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由给出的变换矩阵定义求出1Q 、2Q 的坐标，进而求出直线的方向向量，求出点向式方程；（2）设直线方程为：1l ：0ax by c ++=，求出其上点(,)P x y 关于矩阵21381A ⎛⎫=⎪-⎝⎭变换后的点Q 也满足直线1l 的方程，再根据两直线重合的条件：斜率相等，截距相同即可求出直线方程；（3）因为点P 经过矩阵3A 变换后得到点Q ，且P 与Q 关于直线y kx =对称，所以有：122y y x x k y y x x k -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪='⋅''⎩'⎪ ，解之得：22222212112111k k x x y k k k k y x y k k ⎧-=⋅+⋅⎪⎪++⎨-⎪=⋅+⋅⎪+'''+⎩' ，再根据x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出3A 即可. 【详解】（1）由题意得：112121x y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2121x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解之得：11x y =⎧⎨=-''⎩，所以1(1,1)Q -；312121x y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2321x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解之得：5373x y ⎧=⎪⎪⎨'='⎪-⎪⎩，所以257(,)33Q -， 则1224(,)33Q Q =-u u u u u r ，所以方程为112433x y -+=- ，即1112x y -+=-； （2）133818x x x y y y x y '''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'''--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即38x x y y x y =+'''⎧⎨-⎩'= 325825x yx x y y +⎧=⎪⎪⇒⎨-=''⎪⎪⎩， 设1l ：0ax by c ++=（,a b 不全为0），2l ：3802525x y x ya b c +-⋅+⋅+=，即(8)(3)250a b x a b y c ++-+=， 由题知，1l 与2l 重合得22328083a bD a ab b a b a b==--=+-，所以2a b =或43a b =-，0253x c bD c a b -==--，得0c =，0825y acD a b c -==+-，得20bx by +=或403bx by -+=，即20x y +=，430x y -=；（3）因为P 与Q 关于直线y kx =对称，所以有：122y y x x k y y x x k -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪='⋅''⎩'⎪ ，解之得：22222212112111k k x x y k k k k y x y k k ⎧-=⋅+⋅⎪⎪++⎨-⎪=⋅+⋅⎪+'''+⎩'， 故22222212112111k k x x k k y y kk k k ⎛⎫- ⎪'⎛⎫⎛⎫++ ⎪= ⎪ ⎪' ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭，所以222222312112111k k k k kk k k A ⎛⎫- ⎪++ ⎪⎪- ⎪++⎝⎭=. 【点睛】本题考查矩阵变换问题，考查矩阵的求法，考查运算能力与转化思想，属于中档题．18．已知a r 、b r是非零向量，构造集合{,}P P ta b t R ==+∈u r r r ，记P 中模最小的向量为(,)T a b r r .（1）若0(,)T a b t a b =+r r r r ，求0t 的值（用a r 、b r表示）；（2）证明：(,)T a b a ⊥r r r ；（3）若12||||1a a ==u u r u u r ，且1a u r 、2a u u r 的夹角为3π，定义向量序列21(,)n n n a T a a --=u u r u u u u r u u u r ，*n N ∈，3n ≥，求||n a u u r的值.【答案】（1）02a b t a⋅=-r rr ；（2）见解析；（3【解析】 【分析】对于（1），0t a b +=r r对于（2），由（1）可得，2()0a b a b a a b a b a⋅-⨯+⋅=-⋅+⋅=r rr r rr r r r r ，即可得证；对于（3），取1()10a =u r ，，2(122a =u u r ，，13212(1(2)2,a t T a t a a a =+==+u u r u r u u r u r u u r ，，由12ta a +=≥u r u u r3(0a =u u r，3a =u u r，同理可得：43(8a -=u u r，4a =u u r ，⋅⋅⋅，即可推出. 即可完成解答. 【详解】（1）对于0(,)T a b t a b =+r r r r，∴0t a b +=r r当02a bt a⋅=-r r r 时，其模取最小值；（2）由（1）可得：2()0a b a b a a b a b a⋅-⨯+⋅=-⋅+⋅=r rr r rr r r r r ，∴(,)T a b a ⊥r r r ；（3）不妨取1()10a =u r ，，2(12a =u u r ，向量序列21(,)n n n a T a a --=u u r u u u u r u u u r ，*n N ∈，3n ≥，∴13212(1(2)2,a t T a t a a a =+==+u u r u r u u ru r u u r ，，∴12ta a +=≥u r u u r 12t =-时取等号，∴3(0)2a =u u r ，，32a =u u r，同理可得：43(8a -=u u r，4a =u u r，⋅⋅⋅，∴2||2n n a -=u u r .【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查平面向量的坐标运算，考查逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.。

2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.【考点】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.2．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．没有对称轴【答案】C【解析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数，()()((ln ln g t g t t t -+=-+++((ln ln ln10t t =-+== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选：C 【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型. 3．．函数()y f x =是R 上的增函数，则0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】又在R 上为增函数，则反之，若4．下列问题中,a b 、是不相等的正数,比较x y 、、z 的表达式,下列选项正确的是（ ） 问题甲:一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨,面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙:某人散步,第一圈的速度是a ,第二圈的速度是b ,这两圈的平均速度为y ； 问题丙:将一物体放在两臂不等长的天平测量,放在左边时砝码质量为a (天平平衡),放在右边时左边砝码质量为b ,物体的实际质量为z . A ．x y = B ．x z =C ．y z =D ．x y 、、z 互不相同 【答案】D【解析】首先根据条件分别列出,,x y z 与,a b 的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】问题甲：根据圆的面积公式可知2222222a b x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2222a b x +=x ∴=问题乙：设每圈的长度为s ，则2syss a b=+ ，整理为：2aby a b=+； 问题丙：设天平左边的杠杆长为x ，右边的杠杆长为y ，则ax zyby zx=⎧⎨=⎩ ，可得2z ab =，即z =,a b R +∈，并且a b ¹，∴a b +>，2aba b∴<+， 根据不等式可知222a b ab +>，>，2ab a b>>+ ，x z y ∴>>.故选：D【点睛】本题考查合情推理以及基本不等式比较大小，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是用,a b 分别表示,,x y z .二、填空题5．已知集合{}|lg M x y x ==，{|N x y ==，则MN =_____________.【答案】(]0,1【解析】求出集合M 、N ，然后利用交集的定义求出集合M N ⋂. 【详解】{}|lg (0,)M x y x ===+∞，{|[1,1]N x y ===-，(0,)[1,1](0,1].M N ⋂=+∞⋂-=故答案为：(]0,1. 【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.6．若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【解析】试题分析：由正弦定理有2a c =,所以2a c +=,2222231422cos 22a b ab a b c C ab ab+-+-==,由于223142a b +≥=,故cos C ≥,所以cos C的最小值是【考点】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.7．已知函数()3sin 2cos f x x x =+,若对任意x ∈R 均有()()f x f α≥,则tan α=______.【答案】32【解析】由题意可知()f α是函数的最小值，化简函数()()f x x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=，利用()22k k Z παϕπ+=-+∈ 求tan α. 【详解】()3sin 2cos f x x x =+()x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=， 由题意可知，()fα是函数的最小值，()()f ααϕ=+，当()22k k Z παϕπ+=-+∈时，函数取值最小值，22k παϕπ=--+，tan tan 2tan 22k ππαϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 32132sin 2cos 2πϕϕπϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .故答案为：32【点睛】本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到()22k k Z παϕπ+=-+∈，并且已知cos ϕ=，sin ϕ=8．设A 、B 、C 是2y x =图像上不同的三点,且OC OA OB λ=+，若A (1,-1),B (1,1),则λ的值为_______. 【答案】3【解析】首先设(),C x y ，根据条件代入坐标得11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，根据2y x =求λ.【详解】 设(),C x y ，OC OA OB λ=+，()()(),1,11,1x y λ=-+∴11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，2y x = ，()211λλ∴-+=+，解得：0λ=或3λ=.当0λ=时，点,A C 重合，故舍去. 故答案为：3 【点睛】本题考查根据向量的坐标求参数，意在考查公式的理解和使用，属于基础题型. 9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm ．【解析】试题分析：根据题意，由于球的半径为1，那么可知其体积公式为244133ππ⨯=，而圆锥的体积公式等于V=SH=3πh=43π，可知其高为4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股定理可知圆锥的母线长，故答案为。

2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴i ﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题2．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A ．－15B ．－9C ．1D ．9【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值 z min ＝－12－3＝－15. 故选：A 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.3．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)∞-+∞U【答案】C【解析】由题意得圆心为(,0)a 2． 圆心到直线的距离为12a d +=，由直线与圆有公共点可得122a +≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ．4．已知直线:1l x y +=与双曲线2221x y a -=（0a >）交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，若512DA DB =uu u r uu u r，则a 的值为( )A ．1713B ．1913C ．2113D ．2【答案】A【解析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A 、B 两点的坐标关系，再由512DA DB =uu u r uu u r找到A 、B 两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a 的方程，从而求得选项. 【详解】由直线方程与双曲线方程联系222201x a y a y x ⎧--=⎨=-+⎩得()22221220x a x a α-+-=，设()()()1122,,,,0,1A x y B x y D ，∵512DA DB =uu u r uu u r ，∴()()11225,1,112x y x y -=-，∴12512x x =，212221a x x a -+=-，212221a x x a -⋅=-，∴1212x x x x +=⋅，2222551212x x x +=，211731717,512512x x ∴==⨯=， ∴2122171725121a x x a-⋅=⨯=-，解得1713a =， 故选：A. 【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a 的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题.二、填空题5．椭圆2212x y +=的左焦点的坐标为________.【答案】(1,0)-【解析】由椭圆的标准方程求得椭圆的c ，可求得椭圆的左焦点坐标. 【详解】根据椭圆2212x y +=的标准方程得2222,1,1,1a b c c ==∴=∴=，所以左焦点的坐标为(1,0)-，故答案为：(1,0)-. 【点睛】本题考查椭圆的基本几何性质，属于基础题. 6．若12z i =+，则||z =________.【解析】根据复数的模的计算公式可得值. 【详解】∵12z i =+，∴||z ==【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.7．若(2,1)n =-v是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示） 【答案】arctan 2【解析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。

2018-2019学年上海市上师大附中 高二上学期期末数学试题一、单选题1．下列命题是真命题的是（ ） A.1212z z z z =⇔=± B.32i i >C.122313,==⇒=z z z z z zD.0+=⇒z z z 为纯虚数【答案】C【解析】设1z a bi =+，2z c di =+，3=+z e fi 其中,,,,,∈a b c d e f R ，根据复数模的运算，可判断A ；根据虚数的性质，可判断B ；根据共轭复数的概念，可判断C ；根据特殊值，可判断D. 【详解】设1z a bi =+，2z c di =+，3=+z e fi 其中,,,,,∈a b c d e f R ，对于A 选项，若12=z z ，则2222+=+a b c d ；若12=±z z 则()+=±+a bi c di ，即=±a c 且=±b d ；显然由2222+=+a b c d 不能推出=±a c 且=±b d ，故A 错； 对于选项B ，虚数不能比较大小，因此B 错；对于选项C ，由12z z =，可得+=-a bi c di ，所以a c =且=-b d ，即2z a bi =-； 再由23=z z 可得：-=-a bi e fi ，所以a e =且b f =，即31=+=z a bi z ，故C 正确； 对于选项D ，若0z =，也满足0z z +=，故D 错. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的概念与性质，以及复数的模等即可，属于常考题型.2．设复数12z =-，则满足等式n z z =，且大于1的正整数n 中最小的是（ ）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】根据复数的乘方运算，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为12z =-+，所以2211312442⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭z ，所以23111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭z ，所以34111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭z z ，因此，满足等式n z z =，且大于1的正整数n 中最小的是4. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的乘方，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型.3．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）． A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 【答案】D【解析】求出()2,3--关于y 轴的对称点P ，过P 作圆的切线，其斜率即为反射光线所在直线的斜率. 【详解】点()2,3--关于y 轴的对称点为()2,3P -，设过P 且与圆相切的直线的斜率为k ，则k 为反射光线所在直线的斜率. 又切线方程为：()23y k x =--即230kx y k ---=，圆心到切线的距离1d ===，故21225120k k ++= ，所以34k =-或43k =-，故选D. 【点睛】解析几何中光线的入射与反射问题，实际上就是对称问题，此类问题属于基础题.4．已知1F 、2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(),0M t 为其中一个切点，则（ ） A.2t =B.2t >C.2t <D.t 与2的大小关系不确定【答案】A【解析】由题意知，圆C 是12AF F ∆的旁切圆，点(),0M t 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线1F A 的延长线、2AF 分别相切于点P 、Q ，由切线的性质可知：AP AQ =，22=F Q F M ，11=F P F M ，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知，圆C 是12AF F ∆的旁切圆，点(),0M t 是圆C 与x 轴的切点， 设圆C 与直线1F A 的延长线、2AF 分别相切于点P 、Q ， 则由切线的性质可知：AP AQ =，22=F Q F M ，11=F P F M ， 所以11221112()()222==+-+=--=-=-F F F F F F M Q A A A AQ a A AP a P a F F M ，所以122+=MF MF a ， 所以2==t a . 故选：A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.二、填空题5．线性方程组2120x y x y -=-⎧⎨+=⎩的增广矩阵是________.【答案】211120--⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题意，根据增广矩阵的概念，可直接得出结果. 【详解】由题意，线性方程组2120x y x y -=-⎧⎨+=⎩的增广矩阵是211120--⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：211120--⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，熟记概念即可，属于基础题型. 6．复数3412iz i+=-的虚部为_______. 【答案】2-【解析】先由复数的除法运算，化简复数z ，即可得出结果. 【详解】 因为34(34)(12)31081212(12)(12)5++++-====-+--+i i i i z i i i i ， 所以其虚部为2-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查复数的除法运算与概念，熟记复数除法的运算法则即可，属于基础题型. 7．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =________.【答案】14-【解析】根据余子式的概念，在行列式中划去第2行第1列后，所余下的2阶行列式带上符号21(1)+-，即为所需代数余子式，由题意列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为212(1)22141012+-=⨯+⨯=+=--kk k ，解得14=-k . 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查已知行列式的代数余子式求参数的问题，熟记概念即可求解，属于常考题型.8．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m =__________【答案】3m =或5【解析】本题首先可根据焦距为2得出1c =，然后将椭圆分为焦点在x 轴上以及焦点在y 轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果。

2019学年第一学期上大附中期末考试高二年级 数学试卷一. 填空题（共36分）1. =-+∞→nn n n 352lim 22 ． 2． 双曲线221169x y -=的渐近线方程是 ． 3. 已知矩阵114231A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB = ．4．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x ．5. 行列式42354112k---中，第2行第1列元素的代数余子式的值为10，则实数k = ．6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是 ． 7.若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 ．8．已知实数、满足条件,则的最大值为 ．9.曲线C 的方程是25(1cos 2)212sin x y θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则曲线C 被坐标轴所截的线段长d = ． 10. 椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为4，O 为原点，Q 为1PF 的中点，则=||OQ ． 11.设(,)P x y是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为 ．12、已知各项均为正数的数列{}n a 满足()()01211=-⋅-++n n n n a a a a （*N n ∈），且121a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 ． 二. 选择题（每题4分，共16分）13. 已知复数1213,3z i z i =+=+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）x y 490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩3x y -（A ）AB DC =（B ）AD AB AC +=（C ）AB AD BD -=（D ）AD CB +=→0 15.已知C z ∈，2=-++i z i z ,则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）(A) 椭圆 (B) 双曲线 (C) 抛物线 (D) 线段16.在平面直角坐标系中，点A (1，2)、点B (3，1)到直线l 的距离分别为1、2，则符合条件的直线l 的条数为（ ）(A)、1 ； (B)、2 ； (C)、3； (D)、4. 三. 解答题（共48分）17.（8分）已知复数1234,25z i z i =-=+. （1）比较12z z 与的大小；（2）判断复数12z z z =+在复平面上所对应的点Z 与圆22100x y +=的位置关系.18．（8分）已知()()12,3A B m -，、 （1）当2m =时，求直线AB ；（2）当1,1m ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 19．（8分）已知关于,x y 的方程C :04222=+--+m y x y x ，m ∈R 表示圆. (1)求m 的取值范围；(2)若该圆与直线l :4370x y -+=相交于,M N 两点，且MN =m 的值.20、（10分）已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,B b（1）若a =，以()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.21、（14分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小明所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小明连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小明马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小明求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小明能做到吗？请你说出理由．2019学年第一学期上大附中期末考试高二年级 数学试卷一. 填空题（共36分）1. =-+∞→nn n n 352lim 22 2 2． 双曲线221169x y -=的渐近线方程是___34y x =±_______ 3. 已知矩阵114231A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB=．4．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x _______．-25. 行列式42354112k---中，第2行第1列元素的代数余子式的值为10，则实数k = 6 ；6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是 . 3或57.若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 28．已知实数、满足条件,则的最大值为__1-_______9.曲线C 的方程是25(1cos 2)212sin x y θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则曲线C 被坐标轴所截的线段长d=__13 10. 椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为4，O 为原点，Q 为1PF 的中点，则=||OQ 3 11.设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为 1012、已知各项均为正数的数列{}n a 满足()()01211=-⋅-++n n n n a a a a （*N n ∈），且121a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为______32____________ 二. 选择题（每题4分，共16分）13. 已知复数1213,3z i z i =+=+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ B ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限x y 490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩3x y -14. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ C ）（A ）AB DC =（B ）AD AB AC +=（C ）AB AD BD -=（D ）AD CB +=→0 15.已知C z ∈，2=-++i z i z ,则z 对应的点Z 的轨迹为（ D ）(A) 椭圆 (B) 双曲线 (C) 抛物线 (D) 线段16.在平面直角坐标系中，点A (1，2)、点B (3，1)到直线l 的距离分别为1、2，则符合条件的直线l 的条数为( ) B(A)、1 ； (B)、2 ； (C)、3； (D)、4. 三. 解答题（共48分）17.（8分）已知复数1234,25z i z i =-=+. （1）比较12z z 与的大小；（2）判断复数12z z z =+在复平面上所对应的点Z 与圆22100x y +=的位置关系.（1）< （2）圆内18．（8分）已知()()12,3A B m -，、 （1）当m =2时，求直线AB ； （2）当m ∈[﹣﹣1，-1），求直线AB 的倾斜角α的取值范围．（1）370x y -+= （2）223ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，19．（8分）已知关于,x y 的方程C :04222=+--+m y x y x ，m ∈R 表示圆. (1)求m 的取值范围；(2)若该圆与直线l :4370x y -+=相交于,M N 两点，且MN =m 的值. (1) m<5（4分） （2）m=1（6分）20、（10分）已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,B b（1）若a =，以()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围. 解：(1)l 的方程是：0634=++y x ...................2分 点)0,3(2F 到l 的距离为518=d .....................2分（2）设),(y x P ，则),(),,(21y b x PB y b x PB --=---=代入221-=⋅PB PB 得 2222-=+b y x ①.....................2分),(y x P 在双曲线22221x y a b -=上 2222(1)x y b a ∴=- ②① ，② 可得 2222222b x x b a +=-即222222c x b a =-即222112292112b b b -≥⇒≥⇒≥....................................3分又92<bb ∴∈..............................................1分21、（14分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（2）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小明所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小明连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小明马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小明求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小明能做到吗？请你说出理由． 21. 解：（1）由222202y kx bx pkx pb x py=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +,设切线方程为y k x m=+，由222202y k xm x p k x p m x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴． （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p-=． C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．（本小题也可以求AB h =，切点到直线l的距离2d ==相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABCh S p ∆=中的h 换成2h，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅． 记3116ABCh a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，此数列公比为14． 所以封闭图形的面积3114131214a h S a p ===-。

2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t ＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A ．{1} B ．{}1-C ．{1,1}-D ．以上答案都不对 【答案】C【解析】按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得. 【详解】因为2221111111()11111111111x x f x xx x x --=-=⨯-⨯+⨯221(1111)1(11)1(11)x x x x =⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯ 222x x x x =--+++ 222x =-,由()0f x =,得2220x -=,即21x =,所以1x =-或1x =. 所以方程()0f x =的解集为{1,1}-. 故选C . 【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.2．若,x y 满足约束条件1{122x y x y x y +≥-≥--≤，目标函数2zax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ．(2,4)-【答案】B【解析】由已知可画出可行区域图，如图所示，由目标函数222a zz ax y y x =+⇒=-+，而目标函数仅在可行区域顶点()1,0A 处取得最小值，且截距2z为正号，所以直线22a z y x =-+的位置可由直线AB 绕点()1,0A 顺时针旋转到直线AC 均可满足题意，而2,1AB AC k k ==-，即12422aa -<-<⇒-<<.故选B.点睛：此题主要考查简单线性规划在求最优解问题中的应用，属于中低档题，也是高频考点.此类题目一般流程是：首先根据题意，作出约束条件（不等式组）的可行区域图，再将目标函数解析式转化直线斜截式y kx b =+（或是斜率计算公式2121y y k x x -=-、两点距离公式()()22122121PP x x y y =-+-等），接着在可行域范围内作出直线y kx =（或者是斜率k 的范围、两点间的最值等），将直线y kx =平行上下移动，从而找到问题的最优解.3．若分别过()1,0P ，()2,0Q ，()4,0R ，()8,0S 四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（ ） A ．1617B ．365C ．6437D ．19653【答案】C【解析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积． 【详解】如果过点(1,0)P ，(2,0)Q ，(4,0)R ，(8,0)S 作四条直线构成一个正方形，过P 点的必须和过Q ，R ，S 的其中一条直线平行和另外两条垂直， 假设过P 点和Q 点的直线相互平行时，如图，设直线PC 与x 轴正方向的夹角为θ，再过Q 作它的平行线QD ，过R 、S 作它们的垂线RB 、SC ，过点A 作x 轴的平行线分别角PC 、SC 于点M 、N ， 则sin sin sin AB AM PQ θθθ===，cos cos 4cos AD AN RS θθθ===， 因为AB AD =，所以sin 4cos θθ=，则tan 4θ=， 所以正方形ABCD 的面积224sin cos 4tan 164sin cos tan 2117S AB AD sin cos θθθθθθθθ=⋅====++，同理可求，当直线PC 和过R 的直线平行时正方形ABCD 的面积S 为365， 当直线PC 和过S 点的直线平行时正方形ABCD 的面积S 为19353， 故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系与解析几何直线方程的交会，考查坐标法思想的应用，考查基本运算求解能力．4．对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义cos ααβθβ⊗=vv v v ，其中θ为αu r 和βur 的夹角．若两个非零的平面向量a r 和b r 满足：①a b ≥vv ；②a r 和b r 的夹角5y x a ∧∧=-+；③a b ⊗v v 和b a ⊗v v的值都在集合,2n x x n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中．则a b⊗v v 的值为（ ）． A ．52B ．32C ．1D ．12【答案】B【解析】cos ,cos ,22b an m a b b a m N baθθ⊗==⊗==∈vvv v v v u u v u u v ，由a r 与b r 的夹角(0,)4πθ∈，知21cos (,1)42mn θ=∈，故3,,mn m n N =∈，因为a b ≥vv ，所以012m a b <⊗=<v v ，所以1,3m n ==，所以32a b ⊗=v v ，故选B.二、填空题5．已知一个关于x ，y 的二元线性方程组230450x y x y --=⎧⎨-+-=⎩，则此线性方程组的增广矩阵为______. 【答案】213415-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得． 【详解】增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，可直接写出增广矩阵为213415-⎛⎫⎪-⎝⎭．故答案为：213415-⎛⎫ ⎪-⎝⎭．【点睛】本题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，属于基础题．6．已知直角坐标平面内的两个向量()1,a m =r ，()2,4b =r 使得平面内的任意一个向量cr都可以唯一分解成c a b λμ=+r r r，则m 的取值范围是______. 【答案】2m ≠【解析】根据平面向量基本定理得，a r 与b r必为基底，即两向量不共线，从而得到向量坐标交叉相乘不相等． 【详解】因为平面内的任意一个向量c r 都可以唯一分解成c a b λμ=+r r r，所以向量a r 与b r 能作为基底，所以a r 与b r不共线，所以1420m ⨯-⨯≠，解得2m ≠， 故答案为：2m ≠． 【点睛】本题考查对平面向量的基本定理的理解与应用，考查基本运算求解能力，属于基础题． 7．直线320x y ++=与4210x y +-=的夹角是______.【答案】4π【解析】直接根据两直线的夹角公式1221tan ||1k k k k θ-=+，即可求得答案.【详解】直线320x y ++=的斜率113k =-，直线4210x y +-=的斜率22k =-， 直线320x y ++=与4210x y +-=的夹角为θ，02πθ≤≤可得1221tan ||11k k k k θ-==+，4πθ∴=；即直线320x y ++=与4210x y +-=的夹角为4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查直线的夹角计算，考查基本运算求解能力，注意夹角公式与到角公式的区别，属于基础题．8．设向量()3,0a =r ，()2,6b =r ，则b r 在a r上的投影为______.【答案】2【解析】根据向量在向量上投影的概念，代入坐标计算可得． 【详解】因为向量b r 在a r 上的投影为：22||30a b a ⋅==+r rr ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平面向量数量积定义中投影的概念，考查对概念的理解，求解时要注意投影是有正、有负、也可以为0，考查基本运算求解能力．9．直线3230x y --=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为______. 713【解析】利用相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】直线3230x y --=与直线610x my ++=平行，∴362m-=--，解得4m =-． ∴直线610x my ++=化为13202x y -+=， ∴它们之间的距离221|3|71323(2)--==+-713【点睛】本题考查相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查基本运算求解能力，求解时要注意利用平行线间的距离公式时，要把两直线方程中,x y 的系数化成相同．10．直线420mx y +-=与直线250x y n -+=相互垂直，垂足为()1,p ，则n =______. 【答案】12-【解析】利用两条直线相互垂直且斜率均存在，则斜率相乘等于1-，求出m 值，再由点()1,p 为两直线的交点，即可求出,p n 的值． 【详解】Q 直线420mx y +-=与直线250x y n -+=垂直，垂足为(1,)p ，2145m ∴-⨯=-，250p n -+=，420m p +-=， 解得10m =，2p =-，12n =-， 故答案为：12- 【点睛】本题考查两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点，考查推理能力与计算能力，属于基础题．11．若原点在直线L 上的射影为()2,1，直线L 的倾斜角为θ，则sin 2θ=______. 【答案】45-【解析】先求出垂线的斜率，可得直线L 的斜率，再利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin 2θ的值． 【详解】Q 原点在直线L 上的射影为(2,1)，∴垂线的斜率为101202-=-， ∴直线L 的斜率为2-．设直线L 的倾斜角为θ，则tan 2θ=-，则2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===-++， 故答案为：45-．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率，两条直线垂直的性质，二倍角的正弦公式，同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时用1的代换，能使运算更简洁． 12．经过点(3,1)(4,2)A B --和点的直线l 的点方向式方程是 ． 【答案】3173x y +-=-【解析】13．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在直线CD 上，若2AB AF ⋅=u u u v u u u v ，则AE BF ⋅u u u v u u u v= ______．2 【解析】【详解】在矩形ABCD 中，2AB =2BC =，可以以,AB AD u u u r u u u r的方向为,x y 轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以(0,0),2,0),2,2),(0,2)A B C D ，点E 为BC 的中点，故2,1)E ，设(,2),2,(2,0)(,2)21(1,2)F x AB AF x x F ⋅=⇒⋅==∴u u u r u u u r， (2,1)(12,2)2(12)+12=2AE BF ⨯⋅=⋅-=-u u u v u u u v【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，由已知的图形，建立直角坐标系，是解题的关键.14．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，若对任意单位向量e r，均有则7a e b e ⋅+⋅≤r r r r 则a b ⋅r r最大值为______. 【答案】1【解析】利用不等式()7a b e a e b e +⋅≤⋅+⋅≤r r r r r r r a b +r r 与e r共线时取等号，从而把条件等价转化为2227a b a b ++⋅≤rrrr ，进而求得a b ⋅r r最大值. 【详解】由题意得：()7a b e a e b e +⋅≤⋅+⋅≤r r r r r r r所以7a b +≤r r a b +r r 与e r 共线时取等号，所以2227a b a b ++⋅≤rrrr ． 所以1a b ⋅≤rr 故答案为：1. 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用、向量数量积运算，考查基本运算求解能力，求解时要注意向量数量积为实数，才能套用绝对值不等式，同时要注意等号成立的条件.三、解答题15．用矩阵行列式的知识解关于x ，y 的方程组()12mx y m m R x my m+=+⎧∈⎨+=⎩.【答案】当1m ≠±时，方程组有唯一解1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；当1m =-时，方程组无解；当1m =时，方程组有无穷多组解；【解析】计算11m D m=，讨论0D ≠时方程组有唯一的解，0D =时方程组无解或有无数个解． 【详解】关于x ，y 的方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，2111m D m m∴==-，①当210D m =-≠，即1m ≠且1m ≠-时，11121m m x m m D m +==+，1121121m m m y m D m ++==+； 方程组有唯一的解1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；②当210D m =-=，即1m =-或1m =时， 若1m =-，则原方程组无解； 若1m =，则原方程组有无数个解． 【点睛】本题考查二元一次方程组的行列式矩阵形式的解法及应用，考查基本运算求解能力． 16．（1）求点()1,3-关于直线220x y --=的对称点坐标； （2）求直线12xy =-关于直线24y x =-的对称直线的一般式方程. 【答案】（1）1321,55-⎛⎫⎪⎝⎭；（2）112220x y +-=； 【解析】（1）设点()1,3-关于直线220x y --=的对称点坐标为(,)x y ；可得31112y x -⋅=-+，结合中点坐标在直线上，求解x ，y 可得答案； （2）联立直线12xy =-与直线24y x =-求解交点，在直线24y x =-取点(3,2)，设出对称直线方程，利用点到直线距离相等求解即可； 【详解】（1）设点()1,3-关于直线220x y --=的对称点坐标为(,)x y ；可得31112y x -⋅=-+，⋯⋯① 中点坐标1(2x -，3)2y+在直线220x y --=上， 即1322022x y-+-⨯-=L L ② 由①②解得解135x =，215y -=故得对称点坐标为13(5，21)5-． （2）联立11224y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得坐标为(2,0)， 设对称直线的方程为：(2)y k x =-，即20kx y k --= 在直线24y x =-取点(3,2)，23|21|21114k --=++ 解得：12k =（舍去），112k =-． ∴所求对称直线方程为．111102x y --+=，即112220x y +-=．【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了点到直线距离公式的运用，是基础题．17．已知向量15a =r 15b =r . （1）若a r ，b r的夹角为60︒，{}|,1,0c xa yb c c xy +==>r r r r r ，求x ，y 所满足的关系式，并求xy 的最大值；（2）若对任意的()(){},,|1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有1x y +≤成立，求a b⋅r r的最小值.【答案】（1）532；（2）815【解析】（1）由已知可求a b ⋅r r ，结合已知xa yb c +=r r r 及||1c =r ，两边同时平方，结合基本不等式即可求解；（2）设a r ，b r的夹角为θ，由||1xa yb +=rr，两边时平方，可求cos θ，然后由||1x y +≤，可得21()x y ≥+，代入到cos θ的表达式，进行分离后利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）||15a =r Q ，||15b =r a r ，b r的夹角为60︒，∴1162151515a b ⋅==r r ， 又xa yb c +=r rr Q ，||1c =r ，0xy >， ∴222222c x a y b xya b =++⋅r rr r r ，∴226416321151515x y xy ++=，2264163215x y xy ∴++=，22641664x y xy +≥Q （当且仅当84x y =，即2y x =时取等号）153264xy xy ∴-≥，532xy ∴≤， 故xy 的最大值532. （2）设a r，b r的夹角为θ，由||1xa yb +=r r，0xy >可得22641664cos 1151515x y xy θ++=， 即22641664cos 15x y xy θ++=，22156416cos 64x y xyθ--∴=||1x y +≤Q ，21()x y ∴≥+，222222215641615()64164930cos 646464x y x y x y x y xyxy xy xyθ--+----+∴=≥=恒成立，因为224930154915491()2643264643264644x y xy x y x y xy y x y x --+=-+≤-⋅=， 当且仅当496464x y y x=，即7y x =时取等号， 所以1cos 4θ≥，此时a b ⋅r r 取得最小值815【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积的运算、基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，考查基本运算求解能力，求解时要注意将向量等式转化为数量关系的求解方法．18．如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环。

上海市2018-2019学年度华师大二附中高二下学期3月月考试卷数学一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A. 若，则B. 若，则且C. 一定有D. 一定有【答案】D【解析】【分析】实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。

【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。

2. 教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面【答案】B【解析】分析：由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项解答：解：由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直故选B3.若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。

【详解】解：在复数范围内，存在使，命题①错误；②在复数范围内，复数满足，根据运算性质可得到，故成立；③在复数范围内表示的是复数与的模长，模长相等，复数可以不相等。

④在复数范围内，由于是非零复数，所以在得两边同时除以可得，故成立。

故选B【点睛】实数运算成立的等式，在复数范围内未必成立，不同范围成立条件不一样，注意合理使用。

4.（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（ ）A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C. 平面α与平面β平行D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°【答案】A【解析】设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5.设，则______．【答案】1【解析】【分析】通过运算，将复数转化为形式,即可得解.【详解】解：,所以Imz=1【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的虚部的定义，其中正确进行复数的除法运算是解题的关键，是基础题.6.设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．【答案】﹣2【解析】．【考点定位】考查复数的定义及运算，属容易题。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=（ ）A ．22b a-B ．22b aC ．22a bD ．22a b-【答案】A【解析】利用点差法，设出A ，B 两点的坐标求出中点M 的坐标，根据题意表示出AB OM k k ，再利用22222211b x a y a b +=，22222222b x a y a b +=，平方差法代入可得答案．【详解】解：由题意得：设1(A x ，12)(y B x ，2)y ，则中点12(2x x M +，12)2y y +， 所以2121AB y y k x x -=-，2121OM y y k x x +=+，所以22212221AB OMy y k k x x -=-， 又因为点1(A x ，12)(y B x ，2)y 在椭圆上，所以22222211b x a y a b +=，22222222b x a y a b +=， 所以得2222222121()()0b x x a y y -+-=， 所以2222122221y y b x x a-=--． 故选：A ． 【点睛】解决此类题目的关键是利用设而不求的方法，即设出点的坐标而不求点的坐标直接根据题意写出表达式进行整体求解，此种方法在圆锥曲线部分常见．2．已知圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，当圆心C 到直线40kx y ++=的距A ．15- B ．-5 C ．15D ．5【答案】A【解析】圆心为(1,1)C -半径1r =，直线恒过定点(0,4)B -，当直线与BC 垂直时，圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大，由斜率公式易得BC 的斜率，再由垂直关系可得． 【详解】解：因为圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，配方可得22(1)(1)1x y ++-=， 所以圆的圆心为(1,1)C -半径1r =，直线40kx y ++=可化为4y kx =--，恒过定点(0,4)B -， 当直线与BC 垂直时，圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大， 由斜率公式可得BC 的斜率为4150(1)--=---，由垂直关系可得：(5)1k -⨯-=-，解得15k =-， 故选：A ． 【点睛】本题考查点到直线的距离和直线与圆的位置关系，属基础题．3．从原点向圆2212270x x y -++=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ） A ．π B ．2πC ．4πD ．6π【答案】B【解析】先求出圆心和半径，结合图形求出两切线的夹角为2θ，进而求出劣弧对的圆心角，从而求出劣弧长． 【详解】解：圆2212270x y y +-+= 即22(6)9x y +-=，设两切线的夹角为2θ， 则有31sin 62θ==，30θ∴=︒，260θ∴=︒， ∴劣弧对的圆心角是120︒， ∴劣弧长为120232360ππ⨯⨯=，【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，求弧长的方法．4．若曲线C 在顶点为O 的角α内部，A 、B 分别是曲线C 上任意两点，且AOB α≥∠，我们把满足条件的最小角α叫做曲线C 相对点O 的“确界角”，已知O 是坐标原点，曲线C的方程为020x y x ≥=-<⎪⎩，那么它相对点O 的“确界角”等于（ ） A ．3πB ．512π C ．712π D ．23π【答案】D【解析】画出函数()f x 的图象，过点O 作出两条直线与曲线相切；再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”． 【详解】解：画出函数()f x 的图象，过点O 作出两条直线与曲线相切或曲线的渐近线，设它们的方程分别为1y k x =，2y k x =，当0x …时，y =221x y +=在0x …且0y …的部分 由图可知直线1y k x =刚好过点()1,0时为临界条件， 此时1y k x =的倾斜角为0，当0x <时，函数2y =，设切点为(,2n -，则对应的切线方程为(2)y x n -=-，令0x =，0y =，则2(2-=解得n =，则2y k x =的斜率2k = 则切线2y k x =的倾斜角23π，由两直线的夹角22033ππθ=-=， 故选：D ． 【点睛】本题考查新定义“确界角”及应用，圆的切线，属于中档题。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）10月月考数学试卷一、填空题1. _________________________________________________ （3分）直线1: 5x- 12y+5 = 0的单位方向向量为 _______________________________________ .2. ____________________________________________________________________________ （3分）已知:「厂.J 「让f,且「.与.的夹角为锐角，贝V实数k的取值范围是_______________ .3. （3分）若直线i 过点V5）, 且与直线显・.；广【［的夹角为——，则直线I 的方程是.4. （3分）若直线I: y= kx- .「:与直线2x+3y-6= 0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角的取值范围是5. （3分）已知直线I: x- y- 1= 0, l1: 2x- y- 2= 0.若直线l2与l1关于I对称，则l2的方程为_______ .6. _________________________________________________ （3分）函数尹彳工十彳J + 1的最小值为____________________________________________ .7. （3分）在厶ABC中，D、E分别是AB, AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ ABC& （3分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1,点P在大圆上，PA与小圆相切于点A, Q为小圆上的点，^ U丨J的取值范围是___________ .—►—* 1 j-=*9. （3分）已知平面上三个不同的单位向量^, bi,匚满足a. ?b =b‘cp，若。

为平面内的任意单位向量，则卜L・|+|21「叫+3|・・|的最大值为_________ .10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题13.中正确的是 _______ （写出所有正确命题的编号）. ① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ② 如果k 与b 都是无理数，则直线 y = kx+b 不经过任何整点 ③ 直线I 经过无穷多个整点，当且仅当I 经过两个不同的整点④ 直线y = kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与b 都是有理数⑤ 存在恰经过一个整点的直线. 二、选择题11. （3分）已知△ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , O ABC 内一点，若分 别 满足下列四个条件：② tanA? -.+tanB? .l.+tanC?i '= 11 ③ sin2A? -.+sin2B? ，+sin2C?□ ④ ，■+ l'.+ i=i'i则点O 分别为△ ABC 的（ ） A .外心、内心、垂心、重心 C .垂心、内心、重心、外心12. （3分）如图，在同一平面内，点 P 位于两平行直线11、l 2同侧，且P 到11, 12的距离分B .内心、外心、垂心、重心 D .内心、垂心、外心、重心别为1, 3，点M , N 分别在I 1, |2上，「”+1 J|= 8，则f?【啲最大值为（))点P13.如屯.若m M 分别为⑴1+幻+丑）？qqq ）的最小值、最大值，其中{i ,j , k}?{1，2，3，4，5}，{r ，s ，t}?{1，2，3，4，5}，则 m 、M 满足（ ）A . m = 0， M > 0B . m v 0， M > 0C . m v 0， M = 0D . m v 0， M v 0三、解答题16. 已知直线 l : （ 2a+b ） x+ （a+b ） y+a - b = 0 及点 P （3，4）.（1 ）证明直线I 过某定点，并求该定点的坐标. （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线I 的方程. 17. 如图所示，/ PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中/PAQ = 120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊 AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是 800元/米；AC 是窄长廊，造价是 400元/米；两段长廊的总 造价为120万元，同时在线段 BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水 上直线通道AD 14. （3分）已知点 M （a , b ）与点N （0，- 1）在直线3x - 4y+5 = 0的两侧，给出以下结 论:① 3a - 4b+5 > 0;② 当a >0时，a+b 有最小值，无最大值； ③ a 2+b 2> 1;④ 当a >0且1时，的取值范围是（-8,a-1正确的个数是（ ）C . 315. （3分）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分.；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 5D •一： :（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米.(1 )若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ ABC的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？(2)在(1 )的条件下，建直线通道AD还需要多少钱?(1)已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为农.乓，就，试求点P的坐标;(2)是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由.19.小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且-：..，时，x+y = 1 (如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.(1)当x+y> 1或x+y v 1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2,射线OM // AB,点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且' .r〕，求实数x的取值范围，并求当丁-二时，实数y的取值范围.(3)过O作AB的平行线，延长AO、BO,将平面分成如图3所示的六个区域，且I -,. ..,,请分别写出点P在每个区域内运动(不含边界)时，实数x, y应满足的条件.(不必证明)A B P18.定义“矩阵”的一种运算■-c d J ®cx+dy；变换下成点’’.设矩阵A=| 1该运算的意义为点x, y)在矩阵的第4页(共22页)2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1 □% I I io| I r I1. （3分）直线l: 5x - 12y+5 = 0的单位方向向量为（=，亍7），（-=7，-寸7）.13_ 13_ 13 13【分析】取直线l: 5x- 12y+5 = 0的方向向量为±（12，5），即可求出直线的单位方向向量.【解答】解：取直线1: 5x- 12y+5 = 0的方向向量为±（12，5），则该直线的单位方向向量为（垒_，旦），（-丄2，-旦），13 13 13 13故答案为：（丄2,旦），（-」=，-$_）13 13 13 13【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2. （3分）已知a =7-27* b =T +k7，且轨与?的夹角为锐角，贝V实数k的取值范围是（-8,- 2）U （- 2, _）.£【分析】根据两向量的夹角为锐角知0且八1・不共线，由此求出k的取值范围.【解答】解：;b = i +k7，且金与t■的夹角为锐角，•••「？1・=1 - 2k>0,解得k v—,又.：、I，不共线，••• k z- 2,•实数k的取值范围是（-8,- 2）U （- 2,二）.故答案为：（-8,- 2）U （- 2,寺）.【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的应用问题，是基础题.3. （3分）若直线l过点［丄「；，且与直线■ :■- 的夹角为——，则直线l的方程是x=- 2，或x+ 「:y- 1 = 0 .I 分析】先求出直线m 的倾斜角，再根据直线l 和直^m 夹角为一，可得直线］的倾斜 角，进而得到直线I 的斜率，从而求得直线I 的方程. 【解答】解：•••直线I 过点正；,且与直线-1 = 0, 故答案为：x =- 2，或 x+ :■:y - 1 = 0.【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，属于基础题. 4. （ 3分）若直线I : y = kx - .「:与直线2x+3y - 6= 0的交点位于第一象限，则直线角的取值范围是【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的 坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率 k ,根据正切函数图象得到倾斜角的范围.解得：k >故答案为：（寻*）.【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标, 且直线m 1 =V3 V33设直直线 I 的倾斜角为0,贝y 0=7T 丄兀 7T __ + __ = ___ 6故直线m 2 的斜率不存在，或直线 m 的斜率为ta —— 67T T= -ta 」-,3，或0=n+ (- )="故直线I 的方程为x =- 2,或y - . ■:=-_（x+2），即直线l 的方程为x =- 2，或 x+ 一 ■: yI 的倾斜【解答】解：联立两直线方程得:2x+3y-6=0 ②'将①代入②得：x =3V3+6 "2+3F把③代入①，求得y =2+3k所以两直线的交点坐标为（"2+3k因为两直线的交点在第一象限，所以得到ek-2V32H-3k~2+3k),7T ~). 掌握象限点坐标的特点,的斜率为，即直线m 的倾斜角为 设直线I 的倾斜角为0,则tan ，所以0（—掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题.5. （3分）已知直线I: x- y- 1= 0,11：2x- y- 2= 0.若直线12与|1关于I对称，则|2的方程为x - 2y - 1 = 0 .【分析】先解方程组得I与11的交点（1, 0）也在l2上，然后在l1上去一点（2, 2）,则该点关于I的对称点（3, 1）也在12上，用两点式即可求得l2的方程.在l1上取点（2, 2）,依题意该点关于I的对称点（3, 1）在l2上由两点式得I2的方程为—，化简得x-2y- 1 = 01-0 3-1故答案为：x- 2y- 1 = 0.【点评】本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题.6. （3分）函数护詁彳買2十［的最小值为_JT^_.【分析】利用函数的表达式，转化为x轴上的点与（1, - 3）, （0, 1）距离和的最小值.【解答】解:函数门•・：：••■.=「•：i门几I：,「：• I -：,可得最小值为：V(0-1)莓(!_£)2=四.故答案为：.：【点评】本题考查函数的最值的求法，转化思想的应用.7. （3分）在厶ABC中，D、E分别是AB, AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ ABC【分析】由三角形的面积公式，S A ABC= 2S^MBC，则S A MBC=—，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则H「2,利用导数求得函数的单调性，即可求得则m「2的最小值;【解答】联立p_y_1=°解得产[2i-y-2=0 1 y=01 , 0)解: 所以三条直线的交点为（方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得 '+ .：'1 2的最小值.【解答】解：••• D 、E 是AB 、AC 的中点, • A 到BC 的距离=点 A 到BC 的距离的一半,• S ^ABC = 2S A MBC ，而△ ABC 的面积 1,则厶 MBC 的面积 S ^MBC = S AMBC =丄 I MB I X I MC I sin / BMC2•••丨 MB |X| MC 丨=MB I X I MC I cos / BMC = -」-一-叽.sinZBMCCM I 2 - 2 I BM I X I CM I cos / BMC ,显然，BM 、CM 都是正数,• I BM 丨 2+ 丨 CM 丨 2>2 丨 BM |X=2, tan a=°的最小值是.?,故答案为：.；.此时函数在（0,二）上单调减，在（• cos/ BMC 宀时 取得最小值为「， 「？ W ；2的最小值是「；,,1）上单调增,方法二：令y2-cos.ZBMC sinZMC ，则 ysin / BMC+cos / BMC = 2,贝贝.严.• sin (/ BMC +a)由余弦定理，I BC I 2=I BM I 2+ I I CM I,•I BC I 2=| BM I 2+ | CM I 2-2I BM |x| CM I cos /BMC = 2 Xgin/BMC-2 X EHUsinZMC ..•丽?旋+葩》cos^BMC slnZBHC 方法一：令y =: 一 —二一 +2 X sinZBMC L-2cosZBMC8必 &HC =Aco 自/BAIC sinZBHC sinZBMCsi nZ BMC ，则 y '= sin 2ZBHC，令 '= °，则 COs/ BMC 一-2 X 则 sin (/ BMC+ a)=w 1,解得:y 》.「:,【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.& ( 3分)如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1,点P在大圆上，PA与小圆相切于点A, Q为小圆上的点，^ U IJ的取值范围是[3 - ：：, 3+ ：;].【分析】建立适当的平面直角坐标系，设Q (cos a, si n a), A ( 0,- 1),取P (W3,-1),利用平面向量的坐标表示求数量积，根据三角函数的有界性求出它的取值范围.【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设Q ( COS a, sin a) , A ( 0 , —1),则p (± . 一: , - 1),不妨取p (- .「: , - 1),则1 盒=(一「：, 0) , I 1 .1=( COSa+ . : ■:, sin a+1),「•I 仁？( COS a+』-J)= :'：cos a+3 ；又COs a《-1 , 1],/. 3 -^3cos a+3 w 3+ ::,即―I的取值范围是[3 —讥,3+ 「:].故答案为：[3-^专,3+\八].-0) +寺【点评】本题考查了平面向量的数量积以及数形结合的数学思想，是基础题.9. （ 3分）已知平面上三个不同的单位向量 a., b,匚满足a.力=b ・c =二，若包为平面内的 任意单位向量，则■ _|+|2| ■ i|+3| ■ 的最大值为_. .： 1 【分析】柯西不等式可得：（|包|+|2 b •它|+3|亡*巳| ）3 4w （ 12+22+32 ）2 ~ - 2 ~■ —■■ 2(| 一 - 1| +| ・ T +3| ■ -| )=14 ((|才创2+怡■引2+|匚■ e |2),再根据向量的数量积公式计算即可.【解答】解：由柯西不等式可得：(|玄■Q |+|2b ・e |+3|匚■釦)2 w ( 12+22+32 ) (L ■ 1 '|2+| - • '|2+|' L ・|2)=14 ((| - ・』2+| ：・ 一|2+| - T 2), 由于.o ・=.「=_,•••习与W ,任与2的夹角为斗-,— 一'2 v 、2 一" —2下面求 | •- '|2+| ■ I '|2+| ■ • '| ,由于 |b ■辭=| - b ■ e |2, 不妨将 换成-l'.,设I 与 i 夹角为0,-0 )+cos 2 ( n -0) +cos 2 (3 2 2 2则 | . - -| +| - • '| +| ' L ・| = cos1 2 21 2 I 2[COS ( ?cos ( n - 0) COS (2 n - 2 0)n — 2 0) +cos2 0+—-+_ cos ( 2 2 3+ 1 22(弋cos20+J sin2 0+cos2 0- cos I 叶 2 0n- 2 0)] cos2 0- -sin2 0)==—,2• （\ ■ - .|+|2-i‘|+3| - I J）2< 14X—= 21•丨• -「|+|2 - | .\+3\ 的最大值为|故答案为：.-||【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y= kx+b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当I经过两个不同的整点④直线y= kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤是真命题；举反例说明命题②是假命题；假设直线l过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I上，利用同样的方法，得到直线I经过无穷多个整点，得到命题③为真命题；当k, b都为有理数时，y= kx+b可能不经过整点，例如k=寺，b = £■，说明④是假命题.【解答】解：①令y = x+丄，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；2②若k=J$ b =伍，则直线y = J㊁经过（-1, 0）,命题②错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I方程得：y1 = kx1, y2= kx2,两式相减得：y1 - y2= k （x1 - x2）,贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I经过无穷多个整点，则③正确；④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k=* , b==，故④不正确；iriLi⑤令直线y=GE x恰经过整点（0, 0）,命题⑤正确.综上，命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21「| |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算考查学生正确理解问题的能力是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x , y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y= kx+b不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点设直线l 为y= kx 把两整点的坐标代入直线l 的方程两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上利用同样的方法得到直线l 经过无穷多个整点得到命题③ 为真命题；当k b 都为有理数时y= kx+b 可能不经过整点例如k= b= 说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ 既不与坐标轴平行又不经过任何整点命题① 正确；②若k= b= 则直线y= x+ 经过（- 1 0）命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1 , y1）和（x2 , y2）,把两点代入直线l 方程得：y1= kx1 y2= kx2两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点则③ 正确；④当k , b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=,故④不正确；⑤令直线y= x恰经过整点（0 , 0）,命题⑤正确.综上命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| |）2< 14X = 21• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查学生正确理解问题的能力,是难题.10.（3 分在平面直角坐标系中,如果x 与y 都是整数,就称点（x, y 为整点,下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号 .①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y= kx+b不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点,当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上,利用同样的方法, 得到直线l 经过无穷多个整点,得到命题③ 为真命题；当k, b 都为有理数时, y= kx+b 可能不经过整点, 例如k= , b= ,说明④ 是假命题.【解答】解：①令y=x+ ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,命题① 正确；②若k= , b= ,则直线y= x+ 经过（- 1 , 0 ,命题② 错误；③设y= kx 为过原点的直线,若此直线I 过不同的整点（x1, y1 和（x2, y2 , 把两点代入直线I 方程得：y1=kx1, y2= kx2,两式相减得：y1- y2= k（x1- x2 ,则（x1- x2, y1- y2也在直线y=kx 上且为整点,通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点,则③ 正确；④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=，故④不正确；⑤令直线y= x恰经过整点（0, 0），命题⑤正确.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21综上,命题正确的序号有：①③⑤.• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算考查学生正确理解问题的能力是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x , y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点设直线l 为y= kx 把两整点的坐标代入直线l 的方程两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上利用同样的方法得到直线l 经过无穷多个整点得到命题③ 为真命题；当k b 都为有理数时y= kx+b 可能不经过整点例如k= b= 说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ 既不与坐标轴平行又不经过任何整点命题① 正确；②若k= b= 则直线y= x+ 经过（- 1 0）命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1 , y1）和（x2 , y2）,把两点代入直线l 方程得：y1= kx1 y2= kx2两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点则③ 正确；④当k , b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=,故④不正确；⑤令直线y= x 恰经过整点（0 0）命题⑤ 正确.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| |）2< 14X = 21综上命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•（\ \+\2 \+3\ \）2w 14X = 21• \ \+\2 \+3\ \的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数，则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线I 经过无穷多个整点，当且仅当I 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线I 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I 上，利用同样的方法，得到直线I 经过无穷多个整点，得到命题③ 为真命题；当k， b 都为有理数时，y= kx+b 可能不经过整点，例如k= ，b= ，说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题① 正确；②若k= ，b= ，则直线y= x+ 经过（- 1 ，0），命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I 方程得：y1=kx1，y2= kx2，两式相减得：y1- y2= k（x1- x2），贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点，则③ 正确；④当k， b 都为有理数时，y=kx+b 可能不经过整点，例如k= ，b= ，故④ 不正确；⑤令直线y= x恰经过整点（0, 0）,命题⑤正确.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21综上，命题正确的序号有：①③⑤.• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查学生正确理解问题的能力,是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数,则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线I 经过无穷多个整点,当且仅当I 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线I 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I 上,利用同样的方法, 得到直线I 经过无穷多个整点,得到命题③ 为真命题；当k, b 都为有理数时, y= kx+b 可能不经过整点, 例如k= , b= ,说明④ 是假命题.【解答】解：①令y=x+ ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,命题① 正确；②若k= , b= ,则直线y= x+ 经过（- 1 , 0）,命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I 方程得：y1=kx1, y2= kx2,两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）,贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点,则③ 正确；故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=，故④不正确；⑤令直线y= x 恰经过整点（0, 0）,命题⑤ 正确.综上,命题正确的序号有：①③⑤.• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为： .【点评】本题考查平面向量的数量积运算考查学生正确理解问题的能力是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x , y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点设直线l 为y= kx 把两整点的坐标代入直线l 的方程两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上利用同样的方法得到直线l 经过无穷多个整点得到命题③ 为真命题；当k b 都为有理数时y= kx+b 可能不经过整点例如k= b= 说明④ 是假命题.【解答】解：①令y = x+ ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；②若k= , b = ,则直线y = x+ 经过（-1, 0）,命题②错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1 , y1）和（x2 , y2）,把两点代入直线l 方程得：y1= kx1 y2= kx2两式相减得：y1 - y2= k （x1 - x2）,贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点则③ 正确；故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21④当k , b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=,故④不正确；⑤令直线y= x 恰经过整点（0 0）命题⑤ 正确.综上命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•（\ \+\2 \+3\ \）2< 14X = 21• \ \+\2 \+3\ \的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数，则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线I 经过无穷多个整点，当且仅当I 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线I 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I 上，利用同样的方法，得到直线I 经过无穷多个整点，得到命题③ 为真命题；当k， b 都为有理数时，y= kx+b 可能不经过整点，例如k= ，b= ，说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题① 正确；②若k= ，b= ，则直线y= x+ 经过（- 1 ，0），命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I 方程得：y1=kx1，y2= kx2，两式相减得：y1- y2= k（x1- x2），贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点，则③ 正确；④当k， b 都为有理数时，y=kx+b 可能不经过整点，例如k= ，b= ，故④ 不正确；故答案为：①③⑤.⑤令直线y= x恰经过整点（0, 0）,命题⑤正确. 综上，命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查学生正确理解问题的能力,是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数,则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线I 经过无穷多个整点,当且仅当I 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线I 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I 上,利用同样的方法, 得到直线I 经过无穷多个整点,得到命题③ 为真命题；当k, b 都为有理数时, y= kx+b 可能不经过整点, 例如k= , b= ,说明④ 是假命题.【解答】解：①令y = x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；②若k= , b= ,则直线y= x+ 经过（- 1 , 0）,命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I 方程得：y1=kx1, y2= kx2,两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）,贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点,则③ 正确；④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=，故④不正确；故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21⑤令直线y= x 恰经过整点（0, 0）,命题⑤ 正确.综上,命题正确的序号有：①③⑤.• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算考查学生正确理解问题的能力是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x , y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点设直线l 为y= kx 把两整点的坐标代入直线l 的方程两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上利用同样的方法得到直线l 经过无穷多个整点得到命题③ 为真命题；当k b 都为有理数时y= kx+b 可能不经过整点例如k= b= 说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ 既不与坐标轴平行又不经过任何整点命题① 正确；②若k= b= 则直线y= x+ 经过（- 1 0）命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1 , y1）和（x2 , y2）,把两点代入直线l 方程得：y1= kx1 y2= kx2两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点则③ 正确；④当k , b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=,故④不正确；故答案为：①③⑤.。

上海市华师大二附中2018-2019学年上期高二数学期末试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1. 关于x ，y 的二元一次方程组{2x +3y =4x+5y=0，其中行列式D x 为（ ）A. ∣∣∣05−43∣∣∣B. ∣∣∣1024∣∣∣C. ∣∣∣0543∣∣∣D. ∣∣∣054−3∣∣∣2. 使复数z 为实数的充分而不必要条件为（ ）A. z 2为实数B. z +z −为实数 C. z =z −D. |z|=z3. 下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ）A. 动点M 到直线4x +3y −5=0和4x +3y +10=0的距离和为3B. 动点M 到直线(1,0)和(−1,0)的距离和为2C. 动点M 到直线(0,2)和(0,−2)的距离差为4D. 动点M 到点(2,3)和到2x −y −1=0的距离相等44. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：x 2+y 2=12和C 2：x 2+y 2=14，又点A 坐标为（3，-1），M 、N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5. 在平面解析几何中，直线的倾斜角θ的取值范围为______．6. 抛物线y =-2x 2的准线方程为______．7. 若复数z 满足z =（1+2i ）（3-4i ），（i 是虚数单位），则|z −|=______． 8. 若|1a−i 1+i b−2i|=0，(a ，b ∈R)，（i 是虚数单位），则a 2+b 2=______．9. 设点（x ，y ）位于线性的约束条件{x +y ≤3x −2y +1≤0y ≤2x所表示的区域，则目标函数z =2x +y的最大值和最小值的比值______． 10. 若方程x 2k−1+y 2k 2−3=−1表示椭圆，则k 的取值范围是______． 11. 已知直线ax +by +c =0与圆：x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 12. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．13. 若圆x 2+y 2=R 2（R ＞0）和曲线|x|3+|y|4=1恰有六个公共点，则R 的值是______．14. 已知2a +b -ab =0（a ＞0，b ＞0），当ab 取得最小值时，曲线x|x|a−y|y|b=1上的点到直线y =√2x 的距离的取值范围为______． 三、解答题（本大题共4小题，共42.0分） 15. 已知复数z =m 2−m−6m+3+(m 2−2m −15)i （i 是虚数单位）（1）复数z 是实数，求实数m 的值；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值．16.直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1的左支交于点A，与右支交于点B．（1）求实数k的取值范围；（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求k的取值．17.已知F1、F2为双曲线：Γ：x24−y2=1的左、右焦点，点P在双曲线上，点Q在圆C：x2+（y-3）2=4上．（1）若|PF1|+|PF2|=8，求点P的坐标；（2）若直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，求直线l的方程．18.已知椭圆￢：x2a +y2b=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），M点的坐标为（0，b），O为坐标原点，△OMF是等腰直角三角形．（1）求椭圆￢的方程；（2）设经过点C（0，2）作直线AB交椭圆￢于A、B两点，求△AOB面积的最大值；（3）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解x，y的二元一次方程组，系数行列式：Dx=．故选：C．利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2.【答案】D【解析】解：设复数z=a+bi（i是虚数单位），则复数z为实数的充分必要条件为b=0由此可看出：对于A，z2为实数，可能z=i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B，同样若z是纯虚数，则z+=0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C，若z=a+bi，=a-bi，z=等价于b=0，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D，若|z|=z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|=z不成立，符合题意．故选：D．一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个先项加以判别，发现A、B都没有充分性，而C是充分必要条件，由此不难得出正确的选项．本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握书本中的复数有关概念，是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0之间的距离为：=3，所以动点M到直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M到直线（1，0）和（-1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B不正确；动点M到直线（0，2）和（0，-2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C不正确；动点M到点（2，3）和到2x-y-1=0的距离相等4，动点M的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D不正确；故选：A．利用平行线之间的距离，判断选项A的正误；利用两点间距离个数判断B的正误；轨迹方程判断C，D的正误；本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4.【答案】D【解析】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，若MN=AQ，即可得出四边形AMQN是矩形，由Q的任意性知，四边形AMQN能构成无数个矩形．故选：D．根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．本题考查了两圆的位置关系应用问题，是难题．5.【答案】[0，π）【解析】解：直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π）．故答案为：[0，π）．直接写出直线的倾斜角θ的取值范围即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，是基础题．6.【答案】y=18【解析】解：抛物线y=-2x2即为x2=-y，由x2=-2py的准线方程y=，由x2=-y，可得p=，可得所求准线方程为y=．故答案为：y=．得到所求方程．本题考查抛物线的准线方程的求法，注意将方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】5√5【解析】解：z=（1+2i）（3-4i）=11+2i．则=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．8.【答案】1【解析】解：化简行列式如下：=（a-i）（1+i）-1•（b-2i）=a+ai-i+1-b+2i=（a+1-b）+（a+1）i，∵=0∴（a+1-b）+（a+1）i=0，∴可得，方程组：，解得a=-1，b=0，∴a2+b2=1，故答案为1．本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理，然后根据虚数的概念可算出a，b的值，答案即出．本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念，不是太难，属基础题．9.【答案】72【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（，），代入目标函数z=2x+y得z=2×+=．即目标函数z=2x+y的最大值为，由，解得C（，）函数的最小值：，目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值：．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值，然后求解比值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.【答案】(−√3，−1)∪(−1，1)【解析】解：∵方程表示椭圆，∴∴-＜k＜1且k≠-1，故答案为：．由题意列出不等式组，解不等式可求k的范围．本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试题．11.【答案】−12解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin=所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答．本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系．是基础题．12.【答案】[-2，1]【解析】解：由椭圆，焦点知F1（-，0），F2（，0），设P（x，y），-2≤x≤2，则=（--x，-y）（-x，-y）=x2+y2-3=（3x2-8），∵-2≤x≤2，∴0≤x2≤4，故∈[-2，1]，故答案为：[-2，1]．求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得=（3x2-8），由-2≤x≤2，即可求得答案．本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，如图所示，此时R=3．故答案为3．可作出圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，根据图形判断本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】（0，2√6]3【解析】解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），∴ab=2a+b≥2，化为（-2）≥0，∴≥2，解得ab≥8．当且仅当b=2a=4时取等号．∴曲线为-=1．画出图形：由图形可知：直线y=x分别是曲线=1，曲线-+=1的渐近线．因此点到直线y=x的距离d＞0．设直线y=x+m与曲线+=1（x≥0，y≤0）相切．联立化为，令△=8m2-16（m2-4）=0，解得m=-2．∴切线为y=．两平行线y=，y=x的距离d==．∴曲线上的点到直线的距离取值范围是（0，]．故答案为（0，]．利用基本不等式可得b=2a=4．再对x，y分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出．本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．15.【答案】解：（1）若复数z 是实数，则{m +3≠0m2−2m−15=0，得{m ≠−3m=5或m=−3， 即m =5；（2）复数z 是虚数，则{m ≠−3m 2−2m−15≠0，即{m ≠−3m≠5且m≠−3， 即m ≠5且m ≠-3；（3）复数z 是纯虚数，则{m 2−m −6=0m ≠−3m 2−2m −15≠0，得{m =3或−2m ≠−3m ≠5且m ≠−3，即m =3，或-2【解析】（1）根据复数是实数得到虚部为零 （2）复数是虚数，则虚部不为零（3）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）由直线y =kx +1与双曲线3x 2-y 2=1，得（3-k 2）x 2-2kx -2=0，因为A ．B 在双曲线的左右两支上，所以3-k 2≠0，−23−k 2＜0，解得-√3＜k ＜√3；（2）假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k OA •k OB =-1，即x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+（kx 1+1）（kx 2+1）=0， 即（k 2+1）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=0， ∴（k 2+1）•−23−k 2+k •2k3−k 2=0， 整理得k 2=1，符合条件，∴k =±1． 【解析】（1）由直线y=kx+1与双曲线3x 2-y 2=1，得（3-k 2）x 2-2kx-2=0，利用A ，B 在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可； （2）把存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点转化为k OA •k OB =-1，即x 1x 2+y 1y 2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k 的值． 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．17.【答案】解：（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，可得m +n =8，|m -n |=4，若P 在第一象限，可得m -n =4，解得m =6，n =2，由双曲线的第二定义可得2x P −4√5=√52，解得x P =8√55，y P =√555， 由对称性可得点P 的坐标为(8√55，√555)，(8√55，−√555)，(−8√55，√555)，(−8√55，−√555)； （2）直线l 与双曲线Γ及圆C 都恰好只有一个公共点，若直线l 的斜率不存在，即有直线方程为x =±2； 由双曲线的渐近线方程可得y =±12x ， 直线l 与渐近线平行，可设l ：y =±12x +m ， 由直线l 与圆相切，可得√1+14=2，解得m =3±√5， 可得直线l 的方程为y =12x +3±√5或y =-12x +3±√5；当直线l 与双曲线和圆都相切，设直线方程为y =kx +t ，可得√1+k 2=2，①由双曲线方程和直线方程联立，可得（1-4k 2）x 2-8ktx -4t 2-4=0，可得△=64k 2t 2+16（1+t 2）（1-4k 2）=0，化为1+t 2=4k 2，② 由①②解得k =±√136，t =23， 即直线l 的方程为y =±√136x +23， 综上可得直线l 共有8条，为x =±2；y =12x +3±√5或y =-12x +3±√5； y =±√136x +23． 【解析】（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，运用双曲线的两个定义，解方程即可得到所求P 的坐标；（2）分别讨论直线的斜率不存在和直线和渐近线平行、直线和圆、双曲线都相切的情况，解方程即可得到所求直线方程．本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系，考查化简运算能力、方程思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由△OMF 是等腰直角三角形，得b =1，a =√2b =√2，故椭圆方程为x 22+y 2=1； （2）设过点C （0，2）的直线AB 的方程为y =kx +2，A 、B 的横坐标分别为x A ，x B ， 将线AB 的方程为y =kx +2代入椭圆方程，消元可得（1+2k 2）x 2+8kx +6=0，△=16k 2-24＞0，∴k 2＞32∴x A +x B =-8k 1+2k 2，x A x B =61+2k 2∴|x A -x B |=√(−8k1+2k2)2−4×61+2k 2=√16k 2−24(1+2k 2)2 令k 2=t ，则t ＞32，|x A -x B |=√16t−24(1+2t)2令u =t -32，则u ＞0，|x A -x B |=4√u (2u+4)2=2√1u+4u +4≤√22（当且仅当u =2时取等号）又△AOB 面积=12×2×|x A -x B |=|x A -x B |，∴△AOB 面积的最大值为√22； （3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），因为M （0，1），F （1，0），所以k PQ =1．于是设直线l 的方程为y =x +m ，代入椭圆方程，消元可得3x 2+4mx +2m 2-2=0． 由△＞0，得m 2＜3，且x 1+x 2=−4m3，x 1x 2=2m 2−23由题意应有MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以x 1（x 2-1）+y 2（y 1-1）=0，所以2x 1x 2+（x 1+x 2）（m -1）+m 2-m =0．整理得2×2m 2−23−4m 3（m -1）+m 2-m =0． 解得m =-43或m =1．经检验，当m =1时，△PQM 不存在，故舍去．∴当m =-43时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y =x -43【解析】（1）由△△OMF 是等腰直角三角形，可得b=1，a=，b=，从而可得椭圆方程；（2）设过点C （0，2）的直线AB 的方程为y=kx+2，A 、B 的横坐标分别为x A ，x B ，求出|x A -x B |的最大值，即可求得△AOB 面积=×2×|x A -x B |=|x A -x B |的最大值； （3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心，设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．。

2018-2019学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件2.一组统计数据x1，x2，x3，x4，x5与另一组统计数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3相比较()A. 标准差相同B. 中位数相同C. 平均数相同D. 以上都不相同3.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O−xyz的三条坐标轴上，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，平面ABC的法向量为n⃗=(2,1，2)，设二面角C−AB−O的大小为θ，则cosθ=()A. 43B. √53C. 23D. −234.如图，梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′−BD−C为直二面角，给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′−BCD的体积为√26；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC；其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共10小题，共50.0分）5.(1+3x)6展开式中含有x2的系数为______ ．6.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______．7.在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率为______ ．8. 已知某市A 社区35岁至45岁的居民有600人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人，为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，则这次抽样调查抽取的人数为______ 人.9. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A 的概率分别为56、78、34，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A 的概率为______ ．10. 年龄在60岁(含60岁)以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表： 健康指数2 1 0 −160岁至79岁的人数 120 133 34 13 80岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，−1代表“生活不能自理”.按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是______ (用分数作答)． 11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为______.(用数字作答)12. 点P 是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ．13. 设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点的三角形中任意取出两个，则它们面积相等的概率为______ ．14. 数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，若记数据a 1，a 2，a 3，⋅⋅⋅，a 2019的标准差为σ1，数据S11，S 22，S 33，⋅⋅⋅，S 20192019的标准差为σ2，则σ1σ2= ______ ．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，A 1D =√13．(1)求该四棱柱的侧面积与体积；(2)若E 为线段A 1D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小．16. 若一圆锥的底面半径为4，体积是16π．(1)求该圆锥的母线长；(2)已知该圆锥的顶点为O ，并且OA 、OB 为圆锥的两个母线，求线段AB 长度为何值时，△OAB 的面积取得最大值？17. 将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组{ax +by =3x +2y =2．(1)求此方程组有解的概率；(2)若记此方程组的解为{x =x 0y =y 0，求x 0>0且y 0>0的概率．18.已知数列{a n}(n∈N∗)的通项公式为a n=n−1(n∈N∗).(1)分别求(1−x)a11的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；(2)求(1+2x)a201的二项展开式中的系数最大的项；×4a k+1(k∈N∗)，求集合{x|d k<x<d k+1,x∈Z}的元素个数(写出具(3)记d k=25体的表达式)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：直线m ⊥平面α，则直线m 与平面α内所有直线，即直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直成立，若平面α内无穷多条直线都是平行的，则当直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直时，直线m ⊥平面α也不一定成立，即“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件， 故选：A ．根据线面垂直的定义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．2.【答案】D【解析】解：设数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数为x .，方差为s 2，标准差为s ，中位数为x 3；则数据2x 1+3，2x 2+3，2x 3+3，2x 4+3，2x 5+3的平均数为2x .+3， 方差为4s 2，标准差为2s ，中位数为2x 3+3； ∴它们的平均数不相同，标准差不同，中位数也不同． 故选：D ．根据数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数、方差、标准差和中位数，写出数据2x 1+3，2x 2+3，2x 3+3，2x 4+3，2x 5+3的平均数、方差、标准差和中位数即可． 本题考查了数据的平均数、方差、标准差和中位数的应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查利用法向量求二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 利用cosθ=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |直接求解，注意θ为锐角． 【解答】解：∵点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系O −xyz 的三条坐标轴上， OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，平面ABC 的法向量为n ⃗ =(2,1，2)， 二面角C −AB −O 的大小为θ，且θ为锐角， ∴cosθ=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=42×3=23． 故选C ．4.【答案】C【解析】解：作出图象，过A′作A′E ⊥BD ，如图所示：由题意可得△A′BD 为等腰直角三角形，A′B =A′D =1，△BCD 为等腰直角三角形，BD =CD =√2，BC =2.而且A′E ⊥平面BCD ．若A′D ⊥BC ，则BC ⊥平面A′BD ，即有BC ⊥BD ，不符题意，所以①错误； 三棱锥A′−BCD 的体积为13×A′E ×S △BCD =13×√22×12×√2×√2=√26，②正确；因为平面A′BD ⊥平面BCD ，而CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面A′BD ，③正确；由③可知，CD ⊥A′D ，CD ⊥A′B ，而A′B =1，A′C =√3，BC =2，所以A′B 2+A′C 2=BC 2， 即A′B ⊥A′C ，又A′C ∩CD =C ，所以A′B ⊥平面A′DC ，而A′B ⊂平面A′BC ，故平面A′BC ⊥平面A′DC ，④正确．正确的个数是3． 故选：C ．作出图象，过A′作A′E ⊥BD ，根据面面垂直的性质定理可知A′E ⊥平面BCD ，若A′D ⊥BC ，则BC ⊥平面A′BD ，即有BC ⊥BD ，不符题意，所以①错误；根据三棱锥的面积公式即可求出体积，②正确；再根据线面垂直的判定定理可知③正确；根据面面垂直的判定定理可知，④正确．本题主要考查几何体的折叠，三棱锥体积的求法，线面位置关系，面面位置关系的判断，考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．5.【答案】135【解析】解：(1+3x)6展开式的通项公式为T r+1=C6r(3x)r，令r=2，则含有x2的系数C62⋅32=135．故答案为：135．利用二项展开式的通项公式，求出r的值，即可得到答案．本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．6.【答案】9ππR3=36π，得R=3．【解析】解：设球的半径为R，由43∴该球大圆的面积等于πR2=9π．故答案为：9π．设球的半径为R，由已知球的体积求得半径，再由圆的面积公式求解．本题考查球的体积公式与表面积公式，是基础的计算题．7.【答案】1645【解析】解：在10件产品中有8件一等品，2件二等品，从中随机抽取2件产品，基本事件总数n=C102=45，其中恰好含1件二等品包含的基本事件个数m=C81C21=16，则恰好含1件二等品的概率为P=16．45．故答案为：1645基本事件总数n=C102=45，其中恰好含1件二等品包含的基本事件个数m=C81C21=16，由此能求出恰好含1件二等品的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，是基础题．8.【答案】150【解析】解：设这次抽样调查抽取的人数为x ，根据分层抽样的定义，750600+750+900=50x，求得x =150， 故答案为：150．由题意利用分层抽样的定义和方法，求得结果． 本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．9.【答案】191192【解析】解：这位考生至少得1个A 的对立事件是三门科目都不得A ， 则这位考生至少得1个A 的概率为： P =1−(1−56)(1−78)(1−34)=191192． 故答案为：191192．这位考生至少得1个A 的对立事件是三门科目都不得A ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出这位考生至少得1个A 的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，是基础题．10.【答案】35【解析】解；该小区健康指数大于0的老龄人共有280人， 健康指数不大于0的老龄人共有70人， 由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0． 设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4， 健康指数不大于0的老龄人为B ． 从这五人中抽取3人，结果有10种：(1,2，3)，(1,2，4)，(1,2，B)，(1,3，4)，(1,3，B)，(1,4，B)，(2,3，4)，(2,3，B)，(2,4，B)，(3,4，B ，)，其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：(1,2，B)，(1,3，B)，(1,4，B)，(2,3，B)，(2,4，B)，(3,4，B ，)，∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为610=35 故答案为：35由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0.列举出从这五人中抽取3人的选法，列举出恰有1位老龄人的健康指数不大于0的选法，代入古典概型概率公式求出．本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．11.【答案】472【解析】解：由题意，不考虑特殊情况，共有C 163种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C 43种取法，两张红色卡片，共有C 42⋅C 121种取法， 故所求的取法共有C 163−4C 43−C 42⋅C 121=560−16−72=472种．故答案为：472．利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决． 本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12.【答案】[−12,0]【解析】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A(1,0，0)，C 1 (0,1，1)， 设点P 的坐标为(x,y ，z)，由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z =1； ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−y,−1)，PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,1−y,0)，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x(1−x)−y(1−y)+0=x 2−x +y 2−y =(x −12)2+(y −12)2−12，由二次函数的性质可得，当x =y =12时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为−12； 当x =0或1，且y =0或1时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为0， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−12,0]． 故答案为：[−12,0]．建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为(x,y ，z)，则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z =1，计算PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −12)2+(y −12)2−12，利用二次函数的性质求得它的值域即可． 本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．13.【答案】37【解析】解：如图所示，在正方形ABCD 中，O 为AC 和BD 的交点，则所有的三角形分别为：△AOB 、△AOD 、△BOC 、△COD 、△ABC 、△ACD 、△BCD 、△ABD ，根据正方形的性质，我们知道：△AOB 、△AOD 、△BOC 、△COD 的面积相等，△ABC 、△ACD 、△BCD 、△ABD 的面积相等，所以从所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为： P =C 42+C 42C 82=37．故答案为：37．本题首先找出所有的三角形，然后根据性质把面积相等的三角形放在一起，最后根据概率公式求出结果．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，是基础题．14.【答案】2【解析】解：因为{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，所以Snn=a 1+a n2=12a n +12a 1，则σ12σ22=1(12)2=4， 所以σ1σ2=2．故答案为：2．先由题意得到Sn n 与a n 的关系式，再利用具有线性关系的变量之间的方差公式求解即可． 本题考查了等差数列前n 项和公式的应用，标准差的理解和应用，具有线性关系的变量之间的方差公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)根据题意可得：在Rt △AA 1D 中，AA 1=√A 1D 2−AD 2=√(√13)2−22=3．所以正四棱柱的侧面积S =(2×3)×4=24．体积V =2×2×3=12；(2)如图，过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ，∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF ⊥BF在Rt △BEF 中，∠EBF 就是BE 与平面ABCD 所成的角∵EF ⊥AD ，AA 1⊥AD ，∴EF//AA 1，又E 是A 1D 的中点，∴EF 是△AA 1D 的中位线，∴EF =12AA 1=32在Rt △AFB 中，BF =√AF 2+AB 2=√12+22=√5∴tan∠EBF =EF BF =32√5=3√510． ∴∠EBF =arctan 3√510．【解析】(1)题目给出的是正四棱柱，给出了底面边长和一条侧面对角线的长，所以先求出正四棱柱的侧棱长，也就是四棱柱的高，直接利用侧面积公式及体积公式求解该四棱柱的侧面积与体积；(2)在平面ADD 1A 1内过E 作EF ⊥AD ，由面面垂直的性质可得EF ⊥底面ABCD ，连接BF 后，则∠EBF 为要求的线面角，然后通过求解直角三角形求出∠EBF 的正切值，利用反三角函数可表示出要求的角．本题考查了柱体的侧面积与体积，考查了线面角，解答此题的关键是利用面面垂直的性质定理找到线面角，此题属中档题．16.【答案】解：(1)设圆锥的高为h ，因为圆锥的底面半径为4，体积是16π，所以13⋅ℎ⋅π⋅42=16π，解得ℎ=3，所以母线长为√32+42=5；(2)△OAB 的面积为S =12⋅OA ⋅OB ⋅sin∠AOB =252sin∠AOB ， 因为∠AOB ∈(0,2arcsin 35]，所以当∠AOB =π2时，△OAB 的面积取最大值，此时AB =5√2，故当AB =5√2时，△OAB 的面积取得最大值．【解析】(1)设圆锥的高为h ，利用体积公式列出方程，求出h 的值，由勾股定理求解圆锥的母线长即可；(2)由三角形面积公式表示出S △OAB ，由∠AOB 的取值范围，结合正弦函数的性质分析求解即可．本题考查了圆锥的体积以及表面积的应用，三角形面积公式的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，基本事件总数n =6×6=36，∵x 、y 的方程组{ax +by =3x +2y =2有解， ∴a 1≠b 2，即b ≠2a ，b =2a 包含的基本事件(a,b)有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，∴此方程组有解的概率P =1−336=1112；(2)记此方程组的解为{x =x 0y =y 0，则{x 0=2b−6b−2a y 0=3−2a b−2a， ∵x 0>0且y 0>0，∴{2b−6b−2a >03−2a b−2a >0，解得{a <32b >3或{a >32b <3， ∴满足x 0>0且y 0>0的基本事件(a,b)有：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，共13个，∴x 0>0且y 0>0的概率为1336．【解析】(1)基本事件总数n =6×6=36，由x 、y 的方程组{ax +by =3x +2y =2有解，得到b ≠2a ，利用列举法求出b =2a 包含的基本事件(a,b)有3个，利用对立事件概率计算公式能求出此方程组有解的概率；(2)求出{x 0=2b−6b−2a y 0=3−2a b−2a ，由x 0>0且y 0>0，得{a <32b >3或{a >32b <3，利用列举法求出满足x 0>0且y 0>0的基本事件(a,b)有13个，由此能求出x 0>0且y 0>0的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查数学运算等核心素养，是基础题．18.【答案】解：(1)数列{a n }(n ∈N ∗)的通项公式为a n =n −1，所以a 11=11−1=10， 故(1−x)a 11即为(1−x)10，所以二项展开式中的二项式系数之和为210，令x =1，则二项展开式中的系数之和为(1−1)10=0；(2)因为a 201=201−1=200，所以(1+2x)200即为(1+2x)a 201，故展开式的通项公式为T r+1=C 200r ⋅2r ⋅x r ， 设二项展开式中的系数最大的项数为r +1，r ∈[0,200]，r ∈N ，则有{C 200r ⋅2r ≥C 200r+1⋅2r+1C 200r ⋅2r ≥C 200r−1⋅2r−1，即{r +1≥2(200−r)2(201−r)≥r ，解得133≤r ≤134， 又r ∈[0,200]，r ∈N ，所以二项展开式中的系数最大的项为C 200133(2x)133，C 200134(2x)134；(3)由题意，d k =25×4a k+1=25×4k ∉Z ，d k =25×(5−1)k =25×(5k −C k 15k−1+⋅⋅⋅+C k k−1⋅5⋅(−1)k−1)+25⋅(−1)k =2[5k−1−C k 15k−2+⋅⋅⋅+C k k−1⋅(−1)k−1]+25⋅(−1)k ，所以当k 为偶数时，集合{x|d k <x <d k+1,x ∈Z}的元素个数为：2[5k −C k+115k−1+⋅⋅⋅+C k+1k ⋅(−1)k ]−2[5k−1−C k 15k−2+⋅⋅⋅+C k k−1⋅(−1)k−1]−1=25[(5−1)k+1+1]−25[(5−1)k −1]−1 =65⋅4k −15，当k 为偶数时，集合{x|d k <x <d k+1,x ∈Z}的元素个数为：2[5k −C k+115k−1+⋅⋅⋅+C k+1k ⋅(−1)k ]−2[5k−1−C k 15k−2+⋅⋅⋅+C k k−1⋅(−1)k−1]+1 =25[(5−1)k+1−1]−25[(5−1)k +1]+1 =65⋅4k +15， 综上所述，元素的个数为6⋅4k +(−1)k+15．【解析】(1)根据二项展开式的二项式系数之和为210，利用赋值法球二项展开式中的系数之和；(2)根据二项展开式通项公式得到系数，再列出不等式组求解即可；(3)先根据二项式定理将d k 展开成整数与小数，再根据k 的奇偶性分类讨论元素的个数，最后根据符号，合并结果即可．本题考查了二项式系数之和、二项式展开式各项系数之和、二项式展开式中系数最大项以及利用二项式展开式计数，考查了综合分析求解与应用能力，属于难题．。

上海市华师大二附中2018-2019学年上期高二数学期末试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.关于x，y的二元一次方程组，其中行列式D x为（）A. B. C. D.2.使复数z为实数的充分而不必要条件为（）A. 为实数B. 为实数C.D.3.下列动点M的轨迹不在某一直线上的是（）A. 动点M到直线和的距离和为3B. 动点M到直线和的距离和为2C. 动点M到直线和的距离差为4D. 动点M到点和到的距离相等44.在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，-1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5.在平面解析几何中，直线的倾斜角θ的取值范围为______．6.抛物线y=-2x2的准线方程为______．7.若复数z满足z=（1+2i）（3-4i），（i是虚数单位），则=______．8.若，，，（i是虚数单位），则a2+b2=______．9.设点（x，y）位于线性的约束条件所表示的区域，则目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值______．10.若方程表示椭圆，则k的取值范围是______．11.已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=______．12.已知F1，F2分别是椭圆的两焦点，点P是该椭圆上一动点，则的取值范围为______．13.若圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，则R的值是______．14.已知2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），当ab取得最小值时，曲线上的点到直线的距离的取值范围为______．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）15.已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是实数，求实数m的值；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值．16.直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1的左支交于点A，与右支交于点B．（1）求实数k的取值范围；（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求k的取值．17.已知F1、F2为双曲线：：的左、右焦点，点P在双曲线上，点Q在圆C：x2+（y-3）2=4上．（1）若|PF1|+|PF2|=8，求点P的坐标；（2）若直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，求直线l的方程．18.已知椭圆￢：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），M点的坐标为（0，b），O为坐标原点，△OMF是等腰直角三角形．（1）求椭圆￢的方程；（2）设经过点C（0，2）作直线AB交椭圆￢于A、B两点，求△AOB面积的最大值；（3）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解x，y的二元一次方程组，系数行列式：Dx=．故选：C．利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2.【答案】D【解析】解：设复数z=a+bi（i是虚数单位），则复数z为实数的充分必要条件为b=0由此可看出：对于A，z2为实数，可能z=i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B，同样若z是纯虚数，则z+=0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C，若z=a+bi，=a-bi，z=等价于b=0，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D，若|z|=z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|=z不成立，符合题意．故选：D．一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个先项加以判别，发现A、B都没有充分性，而C是充分必要条件，由此不难得出正确的选项．本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握书本中的复数有关概念，是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0之间的距离为：=3，所以动点M到直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M到直线（1，0）和（-1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B不正确；动点M到直线（0，2）和（0，-2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C不正确；动点M到点（2，3）和到2x-y-1=0的距离相等4，动点M的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D不正确；故选：A．利用平行线之间的距离，判断选项A的正误；利用两点间距离个数判断B的正误；轨迹方程判断C，D的正误；本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4.【答案】D【解析】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，若MN=AQ，即可得出四边形AMQN是矩形，由Q的任意性知，四边形AMQN能构成无数个矩形．故选：D．根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．本题考查了两圆的位置关系应用问题，是难题．5.【答案】[0，π）【解析】解：直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π）．故答案为：[0，π）．直接写出直线的倾斜角θ的取值范围即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，是基础题．6.【答案】y=【解析】解：抛物线y=-2x2即为x2=-y，由x2=-2py的准线方程y=，由x2=-y，可得p=，可得所求准线方程为y=．故答案为：y=．2得到所求方程．本题考查抛物线的准线方程的求法，注意将方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：z=（1+2i）（3-4i）=11+2i．则=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．8.【答案】1【解析】解：化简行列式如下：=（a-i）（1+i）-1•（b-2i）=a+ai-i+1-b+2i=（a+1-b）+（a+1）i，∵=0∴（a+1-b）+（a+1）i=0，∴可得，方程组：，解得a=-1，b=0，∴a2+b2=1，故答案为1．本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理，然后根据虚数的概念可算出a，b的值，答案即出．本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念，不是太难，属基础题．9.【答案】【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（，），代入目标函数z=2x+y得z=2×+=．即目标函数z=2x+y的最大值为，由，解得C（，）函数的最小值：，目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值：．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值，然后求解比值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.【答案】，，【解析】解：∵方程表示椭圆，∴∴-＜k＜1且k≠-1，故答案为：．由题意列出不等式组，解不等式可求k的范围．本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试题．11.【答案】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin=所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答．本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系．是基础题．12.【答案】[-2，1]【解析】解：由椭圆，焦点知F1（-，0），F2（，0），设P（x，y），-2≤x≤2，则=（--x，-y）（-x，-y）=x2+y2-3=（3x2-8），∵-2≤x≤2，∴0≤x2≤4，故[-2，1]，故答案为：[-2，1]．求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得=（3x2-8），由-2≤x≤2，即可求得答案．本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，如图所示，此时R=3．故答案为3．可作出圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，根据图形判断本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】（0，]【解析】解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），∴ab=2a+b≥2，化为（-2）≥0，∴≥2，解得ab≥8．当且仅当b=2a=4时取等号．∴曲线为-=1．画出图形：由图形可知：直线y=x分别是曲线=1，曲线-+=1的渐近线．因此点到直线y=x的距离d＞0．设直线y=x+m与曲线+=1（x≥0，y≤0）相切．联立化为，令△=8m2-16（m2-4）=0，解得m=-2．∴切线为y=．两平行线y=，y=x的距离d==．∴曲线上的点到直线的距离取值范围是（0，]．故答案为（0，]．利用基本不等式可得b=2a=4．再对x，y分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出．本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．15.【答案】解：（1）若复数z是实数，则，得或，即m=5；（2）复数z是虚数，则，即且，即m≠5且m≠-3；或，（3）复数z是纯虚数，则，得且即m=3，或-2【解析】（1）根据复数是实数得到虚部为零（2）复数是虚数，则虚部不为零（3）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）由直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1，得（3-k2）x2-2kx-2=0，因为A．B在双曲线的左右两支上，所以3-k2≠0，＜0，解得-＜k＜；（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则k OA•k OB=-1，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，∴（k2+1）•+k•=0，整理得k2=1，符合条件，∴k=±1．【解析】（1）由直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1，得（3-k2）x2-2kx-2=0，利用A，B在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可；（2）把存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k OA•k OB=-1，即x1x2+y1y2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．17.【答案】解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，可得m+n=8，|m-n|=4，若P在第一象限，可得m-n=4，解得m=6，n=2，由双曲线的第二定义可得=，解得x P=，y P=，由对称性可得点P的坐标为，，，，，，，；（2）直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，若直线l的斜率不存在，即有直线方程为x=±2；由双曲线的渐近线方程可得y=±x，直线l与渐近线平行，可设l：y=±x+m，由直线l与圆相切，可得=2，解得m=3±，可得直线l的方程为y=x+3±或y=-x+3±；当直线l与双曲线和圆都相切，设直线方程为y=kx+t，可得=2，①由双曲线方程和直线方程联立，可得（1-4k2）x2-8ktx-4t2-4=0，可得△=64k2t2+16（1+t2）（1-4k2）=0，化为1+t2=4k2，②由①②解得k=±，t=，即直线l的方程为y=±x+，综上可得直线l共有8条，为x=±2；y=x+3±或y=-x+3±；y=±x+．【解析】（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的两个定义，解方程即可得到所求P的坐标；（2）分别讨论直线的斜率不存在和直线和渐近线平行、直线和圆、双曲线都相切的情况，解方程即可得到所求直线方程．本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系，考查化简运算能力、方程思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，故椭圆方程为；（2）设过点C（0，2）的直线AB的方程为y=kx+2，A、B的横坐标分别为x A，x B，将线AB的方程为y=kx+2代入椭圆方程，消元可得（1+2k2）x2+8kx+6=0，△=16k2-24＞0，∴k2＞∴x A+x B=-，x A x B=∴|x A-x B|==令k2=t，则t＞，|x A-x B|=令u=t-，则u＞0，|x A-x B|=4=2≤（当且仅当u=2时取等号）又△AOB面积=×2×|x A-x B|=|x A-x B|，∴△AOB面积的最大值为；（3）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），所以k PQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x2+4mx+2m2-2=0．由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=，x1x2=由题意应有，所以x1（x2-1）+y2（y1-1）=0，所以2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0．整理得2×（m-1）+m2-m=0．解得m=-或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．∴当m=-时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-【解析】（1）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=，b=，从而可得椭圆方程；（2）设过点C（0，2）的直线AB的方程为y=kx+2，A、B的横坐标分别为x A，x B，求出|x A-x B|的最大值，即可求得△AOB面积=×2×|x A-x B|=|x A-x B|的最大值；（3）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．。

上海市2018-2019学年度华师大二附中高二下学期3月月考试卷数学一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A. 若，则B. 若，则且C. 一定有D. 一定有【答案】D【解析】【分析】实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。

【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。

2. 教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面【答案】B【解析】分析：由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项解答：解：由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直故选B3.若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。

【详解】解：在复数范围内，存在使，命题①错误； ②在复数范围内，复数满足，根据运算性质可得到，故成立；③在复数范围内表示的是复数与的模长，模长相等，复数可以不相等。

④在复数范围内，由于是非零复数，所以在得两边同时除以可得，故成立。

故选B【点睛】实数运算成立的等式，在复数范围内未必成立，不同范围成立条件不一样，注意合理使用。