浅析微积分在中学数学中的应用

微积分在中学数学教学中的应用摘要微积分是高中数学新增加的容，也是大学数学的重要的基础课程，容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础，提供以直代曲，把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式，在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.在高中阶段开设部分微积分的容，不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求，也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容，在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中，没有得到它应有的体现，难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书数学》第三册（选修2—2）（人民教育），从微积分产生的时代背景和历史意义出发，简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义，论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性，通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究，结合现代教育教学理论，归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.关键词：微积分；导数；应用目录1引言 (1)2文献综述 (3)2.1国外研究现状 (3)2.2国外研究现状评价 (4)2.3提出问题 (4)3微积分在中学数学教学中的应用 (4)3.1微积分与中学数学的联系 (4)3.2微积分在中学数学中的地位和作用 (5)3.3微积分在中学数学解题中的应用 (5)3.3.1导数在求曲线的切线中的应用 (5)3.3.2导数在不等式证明中的应用 (6)3.3.3导数在恒等式证明中的应用的 (8)3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 (9)3.3.5导数在几何上的应用 (12)3.3.6导数在方程解的问题上的应用 (12)3.3.7导数在数列问题中的应用 (12)3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4] (13)4定积分在中学数学中的应用 (14)4.1定积分在求曲边形面积上的应用 (14)4.2积分在不等式证明中的应用 (14)4.3定积分在组合恒等式证明中的应用 (15)5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性 (16)5.1提高现代数学教师修养的必要性 (16)5.2提高现代数学教师修养的可行性 (16)6结论 (16)6.1主要发现 (16)6.2启示 (16)6.3局限性 (16)6.4努力方面 (17)参考文献 (17)1引言微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪前，恒团，公龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”；公园3世纪徽的“割圆术”和公元5—6世纪祖冲之、祖横对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在徽割圆术的基础上首先地计算了地球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含着上述的萌芽.欧洲文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大发展.到了16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题.于是在数学中开始研究各种变化过程中的变化的量间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点.在伽利略等人的数学著作中，都包含着微积分的初步想法.到了17世纪，生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求必须有相应的科学知识，例如流体力学、机械力学等都有了突飞猛进的发展.在资本主义社会的商品生产中，贸易活动占有重要的地位，与此相关的海运事业迅速发展，向外扩的军事需要，也促进了航海的发展.航海需要精确而方便地确定位置（经纬度）、预报气象，天文学因而发展起来，所有这些发展都对数学提出了新的要求，这些要求变现为一些急需解决的问题，可以分为一下四种类型：（1）球运动物体的瞬时速度和加速度.（2）已知曲线求其切线.（3）已知函数求函数的极大值和极小值.（4）求曲线的长度.这些问题都是17世纪时，其他科学，尤其是天文学和力学极其某些技术科学所提出的基本数学问题.总之，到17世纪前叶，已经积累了许多关于微积分思想的成果，但微积分作为一门学科来发展，还是由于牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学，他们建立微积分的出发点都是直观无穷小量.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分学，17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度以及物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算关系（微积分基本定理）.微积分的产生具有深远的历史意义.一方面，它极促进了数学科学的发展，丰富了数学科学的思想宝库，随着微积分的理论基础逐步完善，以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展，建立了多种数学分支，如微分方程、积分方程、复变函数、拓扑学、流形等.另一方面，微积分在力学、天文学以及物理和其它科学技术中的应用，极促进了以上科学的发展.2文献综述2.1国外研究现状国，由于历史的原因，我国对微积分的教学研究和把微积分容引入课堂相对比较滞后.自从1961年的大纲将微积分初步的知识纳入我国中学数学以后，广大的教育工作者在不同的时期，从不同的角度，利用不同的方法，对高中阶段微积分初步的教学目标、课程目的、容选取、教材编排以及教学方法等一系列的问题进行了一定的理论探索和实践研究，取得了一定的成果.早在1983年，的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分容进行了教学和教法的探讨.而在现阶段，教育学院的宏安教授、西北师大学附属中学教师高维纵和五中的特级教师袁桐等人，也分别从不同的角度对微积分课程容的选择、教学和教法等进行了有益的探索.在这一研究领域中有影响的另外一些学者和研究集体，也都从不同的角度和层面进行了广发而深入的研究.这些集体和个人的研究中，有一些还是国家和地方教育研究的重要课题.可见，高中微积分课程和教学的探索是一个重要的研究领域.国外，对微积分的教学研究较早，并且微积分的知识进入中学课本也较国超前.早在20世纪初，德国著名数学家F·克莱因就主微积分知识要进入中学.20世纪50年代末在美国兴起的“新数学”运动及后来60年代末在法国进行的“现代数学教育改革”运动，他们的主之一就是要求中小学数学课程容体现现代数学的发展，将微积分知识纳入中学数学课程.进入上个世纪80年代，各国又掀起了新一轮的微积分课程的改革.美、英、法、日、俄罗斯、国和我国的地区等国家和地区都相继出版了新的针对高中阶段学生学习的微积分教材.例如，日本，文英堂，竹之修，高等学校新编，数学II（1998）；我国地区高中三年级学习使用的《理科数学》上、下册（1988）；英国，剑桥大学SMP教材系列，纯数学（1997）；俄罗斯出版了由吉洪诺夫担任科学指导，阿利莫夫等主编的高中“代数与分析初步”（2000）等新编高中微积分教材，都在课程容的选择、编制和教学上进行了有益的探索.2.2国外研究现状评价文献分别就微积分在中学数学应用中的重要性及微积分在求导和曲边形面积的计算中的意义举例做了说明，文献中主要阐述微积分在中学数学解题中的几种应用方法，没有全面的介绍中学数学中常用的微积分数学思想.而且文献中对微积分在中学数学中怎样应用的问题提及较少，对学生在应用微积分时存在的问题也未给出详细说明. 2.3提出问题在一些发达的省市，微积分已纳入高考，对微积分的进一步学习迫在眉睫，但就部分高中生而言，他们已具备较强的学习能力，数学学习过程中会根据教师的指导，除学好基础知识外，还会体会微积分的思想，总结微积分在各方面的应用.但对普通高中多数学生，要教好掌握高中数学知识尚且困难，更谈不上对微积分的具体应用有更进一步的了解.因此，除对问题解决中应用微积分外，还要对应用微积分过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括了解中学数学与微积分的联系、微积分在中学数学中的地位和作用等.3微积分在中学数学教学中的应用3.1微积分与中学数学的联系微积分是高三数学第三册（选修2—2）的进一步延伸和发展，而这恰是高三学生步入大学需要继续学习微积分的基础.作为学习和研究数学的步骤，无疑是要先学习和掌握初等的微积分知识，进入大学后才能更好的学习和应用微积分.反之，学习高等数学中的微积分能加深对初等数学中微积分的理解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力.但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接，使不少大一新生一接触到“数学分析”时，就对数学专业课产生了畏惧、抵触情绪.而且高等数学中的微积分理论与中学教学又严重脱节，许多大学师毕业生对如何运用微积分理论指导中学数学感到迷茫；毫无头绪.为了解决上述长期存在的问题，研究微积分在中学数学教学中的应用是一项有效的措施.3.2微积分在中学数学中的地位和作用微积分在高中阶段只从几何意义的角度出发讲了导数、微分、定积分三部分的容，为中学生进入大学埋下伏笔，微积分在中学数学解题中提供了新的方法，同时也提供了重要的思想，为中学生以后进一步学好微积分打下基础．在中学数学中我们可以用微积分的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些初等的方可以为中学生所接受, 而应用这些方法都可以将表面上看来完全无关的初等数学问题用几乎相同的方法解出.同时也可以对中学数学中的难题证明起到一些简化的作用.微积分的数学思想方法不仅在初等数学中有广泛的应用, 而且用微积分的观点往往可以揭示数学问题的本质, 从而使学生不仅知其然而且知其所以然.3.3微积分在中学数学解题中的应用3.3.1导数在求曲线的切线中的应用在中学教材里，由于初等数学知识本身的极限性，对切线的定义是建立在直线与圆和直线与圆锥曲线只有之个交点的基础上的，并且切线是不能穿过切线的.因此，求曲线的切线方法一般都是将直线方程与曲线方程组成方程组，消去y，化成关于x的一元二次方程，利用判别式0=∆来求解的.现在我们知道曲线上某点处的切线是曲线过该点的割线在这一点的极限位置，即只要曲线在这点的极限存在并连续，那么它的切线就存在.并且切线可以通过切点穿过这条曲线，即一条切线除切点外，还可能与这条曲线有其它的公共点，因此我们可以用导数的方法求曲线的切线.例1(2013年卷 理科)已知函数()x x x f ln 2-=，求曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程.解：函数()x f 的定义域为()∞+，0， ()xx f 21'-，()0>x 因为 ()11=f ，()11'-=f所以曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程为：()11--=-x y即02=-+y x因此，用导数的方法不仅修正了切线的定义，还可以用来求一些较为复杂的曲线的切线.3.3.2导数在不等式证明中的应用不等式不但是研究高等数学的重要工具，包括解不等式和不等式的证明两大部分容.相对来说，前者较易，后者较难.虽然在中学教材中也介绍了不等式证明的一些常用方法，如：比较法、分析综合法、反证法、数学归纳法等，但这些方法毕竟带有局限性，对于一些比较复杂的问题往往就不起作用，而且还有这些情况，题目略有不同，证明方法就迥然不同.总之，证明不等式是方法很多，要得出确定的方法几乎是不可能的.因此，不等式是证明在中学数学中是一个显著的难点.微积分却为不等式的明提供了强有力的方法和工具.下面通过例题分析说明利用导数证明不等式的基本方法和规律.例2已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 证明：构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ， 从其导数入手即可证明：1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为：0)0()(max ==f x f因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x∴x x ≤+)1ln( （右面得证） 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ，则： 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为：0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即：0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当1->x 时，有：x x x ≤+≤-+)1ln(111从此例可以看到，导数作为证明不等式的工具，方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.3.3.3导数在恒等式证明中的应用的恒等式的证明在数学的各个分支几乎都要用到，这里就恒等式的三种情况（组合恒等式、代数恒等式、三角恒等式）利用导数的方法来证明更加简便.例3求证1321232-⋅=++++n n n n n nn nC C C C 解 方法一 利用组合数公式 11--=k n k n nC kC ，则()()1111110132121132------⋅=+⋅=+++=++++n n n n n n n n n n n n n C C C n nC C C C这种方法简单，但是技巧强，若想不到这样或者遗忘公式，就无法作答. 方法二 由二项式定理展开得：()nn n n n o n n x C x C x C C x ++++=+ 2211由幂函数的导数公式()1'-=n n nx x ，对上式两边求导得：()13211321--++++=+n n n n n n n x nC C x C C x n令1=x ，即可得：1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C利用微积分中导数这种运算工具不仅能使问题变得简单，更重要的是可以优化解题过程，开阔学生视野，发展学生思维. 例3证明()()2112111321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++-证明：()'3212321n n x x x x nx x x ++++=++++-()()[]()21'111111x x x x n x x x x n n n --++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++()()21111x nx x n n n -++-=+例4 ()π=--343arccos arccos 3x x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛≤21x证明：令()()343arccos arccos 3x x x X F --=,则()()()2322'43141313xx x xx F ---+--=当2121<<-x 时，()0131322'=-+--=xx x F 故在⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，()c X F ≡令0=x ，则()()0arccos 20403arccos 0arccos 30=⨯-⨯-=Fππ=⋅=22故π=c ，所以在⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，()π=--343arccos arccos 3x x x又π=⎪⎭⎫⎝⎛±21F ，所以当21≤x 时()π=--343arccos arccos 3x x x在三角学中，有时从关于正（余）弦的恒等式出发，通过求导，即可得到有关余（正）弦的相应很等式恒等式.3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 一、求函数()x f 极值的方法[3]一般地，求函数()x f y =的极值的方法是： 解方程()0'=x f ，当()00'=x f 时：⑴如果在0x 附近的左侧()00'>x f ，右侧()00'<x f ，那么()0'x f 是极大值； ⑵如果在0x 附近的左侧()00'<x f ，右侧()00'>x f ，那么()0'x f 是极小值. 二、求函数()x f 最值的方法我们知道，如果()x f 在闭区间[]b a ,上连续，那么()x f 必可在[]b a ,上取得最大值和最小值.求最值的方法是：先求出()x f 在[]b a ,上的所有极值点，设1x ，2x ，……，n x ，则()()()()(){}b f x f x f x f a f Max f n Max ，，，，， 21= ()()()()(){}b f x f x f x f a f f n ，，，，， 21min m in =如果确知()x f 的最值存在的话，这个方法也适用于开区间和无穷区间.例5求()44313+-=x x x f 的极值 解：因为()44313+-=x x x f ，所以()()()2242'+-=-=x x x x f令()0'=x f ，解得2=x 或2-=x . 下面分两种情况讨论：①当()00'>x f 时，2>x 或2-<x ； ②当()00'<x f 时，22<<-x当x 变化时，()0'x f ，()x f 的变化如下表：因此，当2-=x 时，()x f 有极大值，极大值为()3282=-f 当2=x 时，()x f 有极小值，极小值为()342-=f例6求()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值. 解：由例4可知，在[]3,0上，当2=x 时，()44313+-=x x x f 有极小值，并且极小值为()342-=f又由于()40=f ，()13=f 因此函数()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值是4，最小值是34-. 通过这两个例题我们看到，求函数极大（小）值和最大（小）时，运用导数在计算过程中简单快捷.通过例题我们看到，初等方法只能处理一些特殊问题，有很大的局限性，并且往往需要一定的技巧，还容易遗漏一些极值点，导数法不但方法简单、统一，易于掌握和运用，而且不会漏掉极值点，更重要的是它的应用围比初等方法广得多.3.3.5导数在几何上的应用3.3.6导数在方程解的问题上的应用利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题. 例 若3>m ，则方程0123=+-mx x 在[]2,0上有多少根？ 解：设()123+-=mx x x f ，则()mx x x f 232'-=，当3>m 且[]2,0∈m 时，()0'<x f ，故()x f 在()2,0上单调递减，而()x f 在0=x 与2=x 处都连续，且()010>=f ， ()0492<-=m f故()x f 在[]2,0上只有一个根． 3.3.7导数在数列问题中的应用导数是解决函数问题的有力工具, 更为数学解题注入了新的活力. 由于数列可看作特殊的函数, 所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.例已知数列{}n a 满足：n nn a a a 3231+-=+，*∈N n ，且()1,01∈a ，求证： 10<<n a证明：构造函数()x x x f 23213+-=，则：()()()1123'+--=x x x f当()1,0∈x 时，()0'>x f ，所以()x f 在()1,0上是增函数. 因为()1,01∈a ，即：101<<a故1=n 时，原不等式成立.设k n =时，原不等式成立，即10<<k a 因为()x f 在()1,0上是增函数，所以()()()10f a f f k <<又()00=f ，()11=f ，所以()10<<k a f ，即101<<+k a即1+=k n 时，原不等式成立，故：当*∈N n 时，10<<n a导数在数列中的应用还远不止这些，如利用导数还可以确定数列的最大项和最小项、研究数列的增减性、求数列的前n 项和等，但基本思想方法是一样的，在这里就不一一例举.3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4]函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形．学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷，带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等．而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断．一般来说，讨论函数图像的步骤是：例4定积分在中学数学中的应用定积分是新课标中选修2—2新加的容，《课标》对定积分的定位如下：“（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值．可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用．纵观这几年新课改地区高考主要在定积分的求法，定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．4.1定积分在求曲边形面积上的应用定积分的几何意义[3]：如果在区间[]b a ,上函数()x f 连续且恒有()0≥x f ，那么定积分()⎰ba dx x f 表示直线a x =，b x =，0=y 和曲线()x f y =所围成的曲边梯形的面积.例(2013年卷理科) 求直线 l 过抛物线y x C 4:2=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于解析：本题考查抛物线的性质，定积分的计算.利用微积分基本定理求解.因为l 的方程是1=y ，所求面积等于一个矩形的面积减去一个积分值，即38122442420322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-=⎰x dx x S 例4.2积分在不等式证明中的应用利用导数之所以能证明不等式，主要是因为导数可以判断函数的单调性，可以求函数的极值和最值，此外还可以应用微分中值定理等等.而积分与微分互为逆运算，积分本身又具有单调性，此外也有积分中值定理，再加上积分明显的几何直观，使积分在不等的证明中也有广泛的应用. 例 比较12-和()21ln +的大小解： ∵1211102102-=+=+⎰x dx x x ()21ln ln111122+==+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰x x xdx而当10≤≤x 时，有22111xx x+>+∴由积分单调性得()12ln 21->+4.3定积分在组合恒等式证明中的应用选择适当的二项式，通过求导运算，可以证明组合恒等式，这是我们在3.3中已经介绍过.同样，选择适当的二项式，通过积分运算，也可以证明组合恒等式.例 证明()11113121210+=+-+-+-n C n C C C n n nn n n 证明：考虑积分()⎰-=11dx x I n的两种算法：①11111+==-=⎰⎰-=n du u du u I n nxu ②()dx x C I n k k n kk n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-1001()()1111010+-=-=∑⎰∑==k C dx x Ckn knk k nk knk()n nnn n nC n C C C 113121210+-+-+-= 比较积分I 的两种计算结果，即得所证.局限于高中对微积分不做过深的研究，如定积分在求平面区域的面积，求平面曲线的弧长，求旋转体的体积，求旋转体的侧面积等方面的应用在这就不做过多的讨论.5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性5.1提高现代数学教师修养的必要性5.2提高现代数学教师修养的可行性6结论6.1主要发现微积分在高考中越来越来被重视，且题型灵活多变，一般的学生难于把握，在解决的过程中更是困难重重，在解题中很难找到清晰的思路.然而当学生能够灵活掌握导数在解题中的应用以及数学思想方法，以其为指导，并熟练掌握微积分的基础知识以后，问题就能够迎刃而解，使得在解决微积分问题时思路清晰，运算简便，尤其是导数在求函数的单调性、极大（小）值和定积分在计算曲边形面积时对学生的帮助很大.6.2启示从上面的研究中可以看出微积分在求曲线的斜率、不等式的证明、函数的单调性以及求极大极小值、曲边梯形等有着广泛的应用，以后在处理微积分问题时，若能灵活应用微积分在这些方面的数学思想，对学生学习则会起到事半功倍的效果；微积分是高中教材选修2—2新增的容，无论是对于教师还是学生都是“新”的.作为教师要从思想方法上指导学生，6.3局限性本文主要就几种微积分在中学数学上的应用举例说明，其主要是归结概括，还有诸多知识需待补充，微积分在中学数学中的应用远远不止这些，未能一一例举.而本只介绍了几种微积分常用思想，其余的还有待进一步探讨.6.4努力方面微积分在中学数学中应用的领域众多，并不是短时间就可以学习掌握的.学好微积分是学习数学的关键，应用微积分可以解决很多数学数学问题，需进一步学习积累，灵活应用，以解决各类数学问题.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].：，1983：73—221[2]发祯.微积分在中学数学中的应用[M].教育，1991[3] 人民教育课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）.人民教育.2009.。

微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数概念的理解：微积分中的函数概念是在中学数学的基础上进一步深化而来的。

通过微积分的学习，可以更好地理解函数概念的本质，掌握函数的应用。

2. 几何应用：微积分中的微元法可以应用于中学数学中的几何问题。

例如，计算曲线的长度、曲率、面积等问题，都可以通过微元法来解决。

3. 方程的求解：中学数学中的方程问题可以通过微积分中的微分方程来解决。

例如，求解函数的导数、积分、微分方程等问题，都可以通过微积分来解决。

4. 数值计算：微积分中的数值计算方法可以应用于中学数学中的数值计算问题。

例如，求解函数的极值、拐点、数值积分等问题，都可以通过微积分来解决。

需要注意的是，微积分在中学数学中的应用主要是一些简单的问题，需要以实际需求为基础，选择合适的方法和技巧来解决。

同时，中学数学中的知识点有限，可能无法提供足够的支撑，需要借助其他工具和方法来辅助解决一些复杂的问题。

微分中值定理与导数在中学数学中的应用微分中值定理与导数在中学数学中的应用微分中值定理和导数是中学数学中的重要内容，也是数学和物理等学科中不可或缺的基本工具。

本文将介绍微分中值定理和导数在中学数学中的应用。

微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个基本定理，主要用于研究函数在一定区间内的变化情况。

微分中值定理有三种形式，分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是指：若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(b)−f(a)b−a=f′(c)。

拉格朗日中值定理可用于解决函数极值、函数单调性等问题。

柯西中值定理柯西中值定理是指：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且g′(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)。

柯西中值定理可用于解决函数图像的相交问题、微商和导数的求法等问题。

罗尔中值定理罗尔中值定理是指：若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f′(c)=0。

罗尔中值定理可用于解决函数的零点问题、函数图像的最值问题等。

导数的应用导数是微积分的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。

导数具有计算简便、应用范围广泛等优点，被广泛应用于数学、物理等学科中。

导数的应用主要包括函数的极值、函数的单调性、函数的凹凸性、函数图像的研究等。

函数的极值函数的极值是指函数在某一点处取得的最值。

要求函数在该点求出导数，当导数为0或不存在时，该点即为函数的极值点。

函数的极值可用于解决优化问题、最值问题等实际应用问题。

函数的单调性函数的单调性是指函数在某一区间内的增减情况。

要求函数在该区间内求出导数，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。

函数的单调性可用于解决函数图像的特点问题、函数值域问题等。

浅谈微分学在中学数学教学中的应用１ 序言法国数学家费马为研究极值问题而提出了导数的理论．微分学在经过费马、牛顿和莱布尼茨等多位数学家的辛辛耕耘，由萌芽状态转化为比较成熟的状态，以几乎完备的数学体系展现在世人面前．导数的提出是依据当时的实际问题．英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学建立与导数紧密相联系的数学模型，进而对已知运动规律和已知曲线求它的切线的问题进行求解．由导数与微分的关系，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积,函数的导数就等于函数微分与自变量微分的商，因此也常称导数为微商．微分在数学中有许多重要的应用，尤其在中学数学中应用，它能提高学生的运用相关知识解决实际问题的能力，有提升学生严谨的思维的作用．使数学的研究领域也随之扩展，而我们现在所学习的微分学是前人的精华，随着社会向前推进，社会规律的探索，向前发展，面临了大量的急需解决的问题，需要我们掌握并灵活运用微分学去解决，提升我们的能力，使之更加完备．在中学教学中，建立相应的数学模型，解决简单的问题，提高学生生活实践能力，进而为社会培养有用的人才．２ 在求曲线的切线方程中的应用在中学教材中，由于初等数学知识和方法本身的局限性，对于曲线的切线问题的解法，出现了解题过程繁琐复杂，并没有固定的解题方法,定义不严谨，但随着微分学进入中学教材后，对上述问题给出了一般的解法，并给出了明确的定义,从而降低了解题的难度,同时也大大加强了对知识体系渗透性理解．曲线的切线的一般定义[]()11P ：设0M 是曲线()y f x =上一定点，M 是该曲线上的一动点，从而有割线0M M ，令M 沿着曲线无限趋近于0M ，则割线0M M 的极限位置是曲线()y f x =在0M 的切线．这一切线定义可以用于求解任何曲线()y f x =的切线方程．故运用上述的切线的一般定义和函数()f x 在0x 处的导数的几何意义：就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率()0f x '，于是相应的切线方程就是：()()000y y f x x x '-=-．例1[]()11P 若直线31y x =+是曲线3y ax =的切线，试求出a 的值．解 设直线31y x =+与曲线3y ax =相切于点()00,P x y ，因为曲线方程为3y ax =,所以23y ax '=则()()()00300203112333y x y ax ax =+⎧⎪=⎨⎪=⎩由（1），（2）得30031x ax +=，由（3）得201ax =．将它代人上式得0031x x +=，所以012x =-，于是2112a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即4a =．例2 求曲线2y x =和1y x=()0x <的公切线方程． 解 设公切线在2y x=()0x <上的切点为()211,x x ，在1y x=()0x <上的切点为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则公切线作为曲线2y x =的切线，其方程为()21112y x x x x =+- （1）公切线作为曲线1y x=的切线，其方程为 ()222211y x x x x =-- （2） 由（1）式和（2）式解得12212x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ， 所以公切线方程为 440x y ++=．例3[]()252P 已知()f x 是(),-∞+∞上的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式()1sin f x +-()31sin f x -()8x x ο=+()0x →，且()f x 在点1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．解 令sin x t =，注意到当()0x →时，0t →，且sin ~x x ，arcsin ~x x ，题设条件可改写为()()()1318f t f t t t ο+--=+()0t →（1）又因为()f x 在点1x =处可导，所以()()()111f t f f t '±=±+()t ο()0t →（2）将（2）式代入（1）式，得()()2141f f t '-++()t ο()8t t ο=+所以()10f =，()12f '=，从而，所求切线方程为()21y x =-．３ 在函数单调性中的应用在初等数学中讨论函数()y f x =的单调性时常用的方法是：在给定区间D 上，任取1x ，2x ，令1x <2x ，若()()120f x f x -<，则()y f x =在区间D 上是增函数；令1x <2x ，若()()120f x f x ->，则()y f x =在区间D 上是减函数．这种方法通俗易懂便于学生接受．但是在函数比较复杂时，对()()120f x f x ->或()()120f x f x -<做出判断时会很困难，技巧性很强，且适用范围也比较窄．在中学引入导数之后，用导数判别函数的单调性就使得很多复杂的问题简单化．用导数判别函数单调性的方法是：设函数()f x 在区间D 可导，若()f x '0>，则函数()f x 在区间D 上是增函数；若()f x '0<，则函数()f x 在区间D 上是减函数．例1[]()11P 判断函数31y x x =-和32y x x =+在(),-∞+∞上的单调性．解 由于2131y x '=-3x x ⎛= ⎝333x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令10y '>，则3x <-或3x >， 令10y '<，则33x -<<所以31y x x =-在3,,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调增加，在⎛ ⎝⎭内单调减少．而 2231y x '=+ 0>，所以32y x x =+在(),-∞+∞上单调增加．例2 设0a >，求函数()f x ()ln x a =+()0,x ∈+∞的单调区间．解 当0a >,0x >时, 有()1f x x a'=+， ()0f x '>⇔()22240x a x a +-+>， ()0f x '<⇔()22240x a x a +-+<．（1）当1a >时，()22240x a x a +-+>恒成立，即()0f x '>，则()f x 在()0,+∞内单调增加．（2）当1a =时，对1x ≠，有()22240x a x a +-+>，即()0f x '>，则()f x 在()0,1内单调增加，又函数()f x 在1x =处连续，所以()f x 在()0,+∞内单调增加．（3）当01a <<时，令()0f x '>即()22240x a x a +-+>，解得2x a <--2x a >-+，故函数()f x 在区间(0,2a --内单调增加，在区间()2a -++∞内也单调增加．令()0f x '<，即()22240x a x a +-+<，解得 22a x a --<-+故函数()f x 在区间(2a a ---+内单调减少．例3 求证()f x 12arctan1x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()0,1内单调减少．证明 设()1x x x ϕ=-，则()x ϕ0>，()()0,1x ∈，()111x x ϕ'⎛⎫'=- ⎪-⎝⎭()211x =-0>，()()0,1x ∈，所以()arctan x ϕ'⎡⎤⎣⎦()()21x x ϕϕ'=+0>，()()0,1x ∈ （1） 又因为()()()12arctan f x x ϕ-=，所以()()()()()321arctan arctan 2f x x x ϕϕ-''=-（2）联合（1）式和（2）式可知，()0f x '<()()0,1x ∈，从而()f x 在()0,1内单调减少．４ 在不等式证明中的应用在初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、配方法等方法解决或运用已有的不等式证明，往往先要进行恒等变形，这需要较高的技巧．在学习了微积分的知识以后，利用微积分的知识和方法，例如微分中值定理、函数的增减性、极值判别法、可简化不等式的证明过程，降低技巧性．例1[]()4199P 证明以下不等式：1xe x >+和212xx e x >++()0x >．证明 设()f x 1xe x =--,则()1xf x e '=-0>()0x >，所以()f x 递增．又()00f =，故()f x 1xe x =--0>，即1xe x >+．设()212xx y x e x =---，则()1x y x e x '=--．由上面已证得的结论：1xe x >+，可知()0y x '>，即212xx e x >++．例2[]()4199P 证明 ()log a b a+()log a b c a c +++>()0,0,1b c a >>>．证明 设()()()log 1x b xf x x +=>，则()()ln ln x b f x x+=，因为()()()2ln ln ln x b x x b x f x x +-+'=， 所以()0f x '<，即()f x 是减函数．于是有()()f a f a c >+，即()log a b a+()log a b c a c +++>．例3 证明 当0x >时, 1arctan 2x x π+>． 证明 令()1arctan 2f x x x π=+-, 则()221101f x x x '=-<+,()0,x ∈+∞,所以()f x 在()0,+∞内递减．又()1lim lim arctan 02x x f x x x π→+∞→+∞⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故()1arctan 2f x x x π=+-0>，即1arctan 2x x π+>，()0,x ∈+∞． ５ 在极值中的应用在初等数学中，求函数极值的方法主要是 利用二次函数的定点、三角函数、不等式以及曲线的端点等特殊点求极值．这些求极值的方法一般思路都比较简单，但化简起来比较麻烦，一般需要一定的技巧性．用微分学的知识求极值就避免了这些问题．充分条件（1） 设()f x 在点0x 处连续，且在点0x 的某空心邻域内可导，若当x 从0x 的左侧变到右侧时，()f x '的符号由“正”变“负”（或由“负”变“正”），则()0f x 为极大值（或极小值）；若()f x '不变号，则()0f x 不是极值．充分条件（2） 设0x 是函数()f x 的驻点，且()0f x ''≠，若()0f x ''>，则()0f x 为极小值点，若()0f x ''<，则()0f x 为极大值点．判别函数的极值的第一充分条件比较全面，不易出错．第二充分条件判别极值较为方便，但对()0f x ''=和()f x ''不存在的点不能用此判别而改为第一充分条件判别，因此用第一条件判别极值是最基本的方法．例1 求函数()f x 22x x e-=⋅的极值．解 方法一 用第一充分条件判断 由()()22222x x f x xex e x --'=+⋅-()2221x xe x -=-，令()0f x '=，得驻点：11x =-，20x =，31x =．把定义域(),-∞+∞分成几个部分区间，可列表讨论：由表可知，()00f =为极小值，()11f e -±=为极大值．方法二 用第二充分条件判断由()f x '()2221xxe x -=-，令()0f x '=，得驻点：11x =-，20x =，31x =．又因为()()2242104x f x x x e -''=-+，()020f ''=>，所以()00f =是极小值．又()1140f e -±=-<，所以()11f e -±=是极大值．例2 设0()0f x +'>，0()0f x -'<，证明0x 是()f x 的极小值点． 证明 由0()0f x +'>可知，当0δ>足够小时，若00x x δ<-<，则00()()0f x f x x x ->-，于是0()()0f x f x ->；同理：由0()0f x -'<，可知，当0δ>足够小时，若00x x δ-<-<，则00()()0f x f x x x -<-，于是也有0()()0f x f x ->，从而可知0x 是()f x 的极小值点．该题用极小值的定义及导数的定义证明0x 是()f x 的极小值点，用定义法证明问题是我们常用的方法之一．例3 设()f x 在R 上存在二阶导数，且对任意x R ∈满足 2()3[()]1xxf x x f x e -'''+=-． （1）若()f x 在(0)x c c =≠，取极值，证明()f c 必为极小值； （2）若()f x 在0x =取极值，问(0)f 是极大值还是极小值．证明 (1)若()f x 在(0)x c c =≠取极值，则()0f c '=，这时有1()0ce f c c--''=>，所以()f c 必为极小值．(2)若()f x 在0x =取极值，且1()xe f x x--''=23[()]f x '-，(0)0f '=， 2001lim ()lim[3[()]]10xx x e f x f x x-→→-'''=-=> 在0x =附近总有()0f x ''>，因此(0)f 是极小值．６ 在解方程中的应用在初等数学中求方程根的个数，大多数是采用图像法和因式分解法．图像法对作图的准确性要求较高，往往由于作图误差而出错；因式分解法对运算能力要求较高，但学习了微分学的知识后，用导数的方法就降低了难度．例１ 求证方程1sin 02x x -=只有一个根． 证明 构造函数()1sin 2f x x x =-，x R ∈．因为()11cos 02f x x '=->，所以()f x 在R 上是单调递增的．又()00f =，所以曲线()y f x =与x 轴有且仅有一个交点，即方程1sin 02x x -=有唯一的一个根．例２ 已知函数()43241027f x x x x =-+-，则方程()0f x =在[]2,10上的根的个数是多少？解 因为()3241220f x x x x '=-+，令()0f x '=，得()24350x x x -+=．因为235x x -+0=无实数解，所以0x =．所以()f x 的图像的驻点只有一个0x =．当0x >时，()()24350f x x x x '=-+>，所以()f x 在()0,+∞上是增函数，所以()f x 在[]2,10上是增函数． 又因为()230f =-<，()100f >，所以()f x 在[]2,10上有且只有一个根．例３[]()3117118P - 讨论方程()0x xe a a -=>有几个根．解 令()x f x xe a -=-，则()()1x f x x e -'=-，故当1x <时，()0f x '>，()f x 单调增加；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调减少，从而()11f e a -=-是()f x 的最大值．若10e a --<，即1a e ->，()()10f x f ≤<，方程无实根；若1a e -<，由()f -∞=-∞，()10f >，且()f x 在(),1-∞内单调增加，故()f x 在(),1-∞内有且仅有一个实数根；又由()0f a +∞=-<，()10f >，()f x 在()1,+∞内单调减少，故()f x 在()1,+∞内亦有且仅有一个实数根，从而()f x 在(),-∞+∞内有两个实数根；若1a e=，则方程有唯一实数根1x =． 7 在数列问题中的应用因为数列可以看作特殊的函数所以用导数知识解决数列问题，用导数可以确定数列的最大项或最小项，研究数列的增减性、证明数列不等式．例１ 已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n N +∈，求数列{}n a 的最大项．解 构造辅助函数()238f x x x =-，()0x >，则()2163f x x x '=-，显然，当1603x <<时，()0f x '>；当163x >时，()0f x '<，故()f x 在区间160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在区间16,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，所以当163x =时，函数()f x 取最大值． 对于n N +∈，()238f n n n =-，()575f =，()672f =．所以(){}max75f n =，即数列{}n a 的最大项为575a =．例２ 设定义在R 上的函数()f x 与数列{}n a 满足：1a α>，其中α是方程()f x x =的实数根；()1n n a f a +=；()f x 可导，且()()0,1f x '∈．（1）证明 n a α>；（2）判定n a 与1n a +的大小关系，并给出证明．证明 (1) 由已知1a α>，即1n =时，n a α>成立．设n k =时，k a α>．因为()0f x '>，所以()f x 是增函数，所以()()1k k a f a fα+=>．又由题设可知()f αα=，所以1k a α+>，即1n k =+时，命题成立．综上可知，当n N +∈时，n a α>成立．（2）要比较n a ，1n a +的大小，即比较n a 和()n f a 的大小，构造辅助函数()()g x x f x =-，则()()10g x f x ''=->，故()g x 是增函数．所以当n a α>时，()()n g a g α>．又因为()()g fααα=-0=，()()n n n g a a f a =-，所以()0n n a f a ->，故()n n a f a >，即1n n a a +>．例３ 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n N +∈，且()10,1a ∈．求证 01n a <<．证明 构造辅助函数()31322f x x x =-+，则()()()3112f x x x '=--+．当()0,1x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在()0,1上是增函数，因为()10,1a ∈，即101a <<，故当1n =时，原不等式成立．设n k =时原不等式成立，即01k a <<，因为()f x 在()0,1上是增函数，所以()()()01k f f a f <<．又()00f =，()11f =，所以()01k f a <<，即101k a +<<．即1n k =+时，原不等式成立，故n N +∈时，01n a <<．8 曲线的凸向与拐点定义 设函数()f x 在某区间内可导，曲线()y f x =上任一点处的切线都在曲线的上（下）方，则称曲线在该区间是向上（下）凸，（亦称凸（凹）弧），连续函数的凸弧与凹弧的分解点叫该曲线的拐点．判别法 设()f x 在(),a b 内具有二阶导数，若在该区间上()0f x ''>（()0f x ''<）则在该区间是下（上）凸的．例1[]()3117118P - 求下列曲线上（下）凸区间及拐点（1）()2ln 1y x=+； （2）y a =解 （1）因为221xy x '=+，()()222211x y x -''=+， 令0y ''=，得1x =±，故点1,1-把函数定义域(),-∞+∞分成三个区间， 可列表如下：由表可知，曲线的上凸区间是(),1-∞-，()1,+∞；下凸区间是()1,1-；拐点为()1,ln 2-，()1,ln 2（２）因为()2313y xb -'=--，()5329y xb -''=-，在x b =处，y '，y ''不存在，但y 在x b=处连续，当x b -∞<<时，0y ''<，故曲线在(),b -∞上凸；当b x <<+∞时，0y ''>，故曲线在(),b +∞下凸，所以点(),b a 是曲线的拐点，而(),b -∞，(),b +∞分别是曲线的上凸区间、下凸区间．注：求曲线拐点时，其二阶导数不存在的点也有可能是拐点，故也应予以判定．9 导数在实际问题中的应用在实际生活、生产中，经常会遇到求函数最大（小）值的问题，若建立的目标函数是三次函数、高次多项式函数、分式函数、无理函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，及时能求出，也要涉及到较高的技巧，而运用导数知识，求目标函数的最值就变的非常简单．例1[]()5132P 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图所示），做成一个无盖的方底盒子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？解 设箱子底边长为x ,则箱高602x h -=，箱子容积 23260()(060)2x x V x x h x -==<<，23()602V x x x '=- 令23()602V x x x '=-0=，解得0x =（舍去），40x =，在定义域)(0,60内，函数()V x 只有在40x =处使得()0V x '=，故在40x =处取得最大值()max 40V V ==316000cm ．例2 铁路线上AB 段的距离为100km ，工厂C 距A 处为20km ，AB 垂直于AC （如图），为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米的货运的运费之比是5:3，为了使货物从供应站到工厂C 的运费最少，问D 点应选在何处？解 设()AD x km =，那么100DB x =-，CD 设从B 点到C 点的总运费为y ，由已知可得()53100y k x =-，0100x ≤≤，0k >，则 3y k ⎛⎫'=-⎪⎭， 令0y '=，得15x =，因为y 在]0,100⎡⎣内连续，故y 的最小值在稳定点或端点处取得，当0x =时，400y k =；当15x =，380y k =；当100x =时，500y =380y k =为最小，因此，当15AD =时，总运输费最少．例3[]()3127128P - 将一长为a 的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？解 设围成正方形的铁丝长为x ，围成圆形的铁丝长为y ，则正方形的边长为14x ，圆形的半径为12y π，于是正方形与圆面积之和为222211142164y s x x y πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设x y a +=，将y a x =-代入上式，得A D BC()()2211164S S x x a x π==+-，()()1182S x x a x π'=--， 令()0S x '=得驻点44a x π=+，由11()082S x π''=+>，故当44a x π=+时，()S x 取得极小值，也是最小值．由x y a +=可得y a x =-4a ππ=+．因此，当围成正方形的铁丝之长为44a π+，围成圆形的铁丝之长为4a ππ+时，正方形与圆形面积之和最小，其最小面积为()244a S π=+． 求实际问题的最值是导数应用的主要内容之一，解题的关键是要理清各量之间的关系，建立目标函数，判断函数的极值及端点的函数值，进而确定函数的最值情况．。

单讲述，使学生对数学问题有简单的解决思路。

微积分是数学中所占比重较大的一项内容，在数学课程的学习中必须要借助微积分中的一些思想才能解决更多的数学问题，在中学的数学教育中就要重视对数学思想的教授，所以微积分的相关内容必须在中学数学课程中进行简单的讲解，以便学生在日后学习更难的数学知识。

只有将微积分中的数学思想进行简单的理解，才能将中学数学学习得更加透彻。

一、微积分在中学数学中的应用概况1.微积分学的发展背景微积分是数学中较为基础的课程，它涵盖许多数学领域中的知识，涉及的数学思想有很多方面。

微积分学的发展过程较为漫长，它虽然是属于数学范畴中的一项基本内容，但是解决微积分问题要用属于微积分的独特数学思想才能够进行。

微积分学中的基础问题就是利用微积分的思想来进行求解不规则几何图形的面积，这种解决数学问题的重要方法对于数学中其他难题的分析也有着重要的意义。

微积分学中内容在发展中进行不断的完善，在微积分学开始建立时只是由简单的数学思想和少数的典型问题所构成，随着数学知识的拓展与创新，微积分学也进行了较大的变革，增加了很多的问题类型，更加深入地进行微积分数学思想的涵盖。

在传统的中学数学中不进行对微积分的要求，中学数学中微积分方面的内容几乎没有涉猎，这对于学生在日后对学习数学是十分不利的，微积分学的思想对于数学的学习十分重要，所以在中学数学中加入微积分的内容对学生的数学学习至关重要。

2.现阶段中学数学的发展分析我国中学数学教育课程中在近些年有着较大的变动，在进行中学数学课程选择时遇到很多存在矛盾的方面，数学学习主要是学习思想，这种思想上的学习就要通过完善的知识体系来进行，如果缺少某项必要的数学内容，数学中的整体思想就会出现漏洞，以至于对学生的数学学习产生不好的影响。

现阶段我国中学数学中缺少微积分等必要内容的讲授，这种必要知识的缺失会对学生的数学学习产生很大的障碍，知识链的断裂会使学生在日后的数学学习中产生较大的困难，有一些问题没有正确的数学思程中去，只有这样，才能使中学生进行全面正确的数学思想掌握。

微积分与中学数学的关联微积分和中学数学分别是数学学科中的两个重要阶段，它们之间有着密切的关联。

微积分作为更高层次的数学学科，其思想和工具在中学数学中已经有所体现和应用。

本文将从历史回顾、中学数学中的微积分、微积分与中学数学的互动以及结论四个方面探讨微积分与中学数学的关联。

历史回顾微积分的起源可以追溯到17世纪，当时科学家们为了解决一些实际问题，如速度、曲线下的面积和体积等，逐渐发展出了微积分的基本概念和方法。

微积分的诞生可以看作是数学和自然科学的一次重大革命，它为现代科学技术的发展提供了强有力的工具。

在中学数学中，学生们也开始接触到微积分的基本思想，如极限、导数和积分等，为后续的学习打下了基础。

中学数学中的微积分微积分在中学数学中的应用范围很广。

首先是在函数的学习中，学生们可以通过学习导数来了解函数的变化率和函数图象的形态。

在解决一些实际问题，如最大值、最小值和曲线长度等问题时，也需要用到微积分的知识。

同时，积分学也在中学数学中有所介绍，学生们可以初步了解积分的概念和应用。

微积分与中学数学的互动微积分对中学数学的影响主要体现在以下几个方面。

微积分的基本思想和方法可以帮助学生更好地理解中学数学中的一些基本概念，如函数、导数和积分等。

微积分在解决一些综合性较强的问题时具有独特的优势，学生们可以通过学习微积分来提高解题能力和创新思维。

微积分的学习可以提升学生们的数学素养和思维能力，帮助他们更好地应对未来的挑战。

微积分和中学数学之间存在着紧密的关联。

微积分作为更高层次的数学学科，其思想和工具在中学数学中已经有所体现和应用。

通过学习微积分，学生们可以更好地理解数学的基本概念、方法和思想，提高解题能力和创新思维，同时也可以提升数学素养和思维能力。

因此，教育者应该更加注重微积分教学的质量和效果，让学生们能够真正掌握微积分这一强有力的工具，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

微积分知识在解决中学数学问题中的应用微积分是数学领域中的重要分支，它研究的是变量之间的关系和变化过程。

微积分在中学数学中的应用摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。

本文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，又使微积分对中学数学的指导作用得到了具体说明。

这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。

关键词：微积分；切线方程；单调性；极值我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社)中，增加了微积分的部分知识。

为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值：二是使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工具，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。

本文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。

一、求函数的极值初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。

但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。

用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。

例1.求++1的极值解： =，令=0 得解得或由可得或，因此：当时,得极小=；当时，得极大=3；当时，得极大=1此题若用配方法解如下：(+)2+，当时，得极小=；当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.二、讨论函数的单调性初等数学中讨论函数的单调性时，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。

毕业论文（设计）论文（设计）题目：浅析微积分在中学数学中的应用姓名学号院系专业年级指导教师2016年04月17日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章引言 (3)第2章中学微积分的基本数学思想方法 (4)2.1 “极限”思想 (4)2.2 化归思想[1] (5)第3章微积分在中学数学中的应用 (7)3.1 导数在函数单调性问题上的应用 (7)3.2 利用导数求函数的极值问题 (7)3.3 函数的变化形态及作图 (8)3.4 微积分在解方程中的应用 (10)3.5 不等式的证明 (10)3.6 恒等式的证明 (11)3.7 曲线的切线及求法 (12)第4章结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文对微积分中的思想诸如如函数的思想、极限的思想、和化归思想等思想都有深浅不同的探讨。

我们使用微积分的方法来讨论函数的单调性、函数的极值和最值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法。

这样就简化了解题思路和步骤，更深层次的体现出微积分与中学数学间的联系。

关键词：微积分；函数形态；思想方法ABSTRACTThis article focuses on the varying degrees of the main mathematical thinking in calculus,such as limit thought,the the thought of function,and the transforming thought.In discussions on the monotonicity of the function, and the function extreme value and maximum function, and the change of configuration and mapping, application of calculus in solving equations, inequalities and proof of identity, the tangent of the curve and the method, using the methods of calculus to solve problem more easy, in order to reflect calculus links with the middle school mathematics.Key words: Calculus;Function form;Math Thought第1章引言由古至今数学都与人类的生活息息相关，特别是当今社会，科技迅速的发展，高科技产物的层出不穷也使得人们对生活质量的需要越来越高。

微积分在中学数学中的应用作者：李峰来源：《中学教学参考·理科版》2012年第09期初等数学是高等数学的基础，二者有紧密的联系，将高等数学的理论应用于初等数学，能使其内在的本质联系得以体现，而微积分是在实数范围内研究函数性态的一种重要的工具，与中学数学联系非常广泛.下面将从几个方面探讨微积分在中学数学中的一些应用，以进一步体现微积分与中学数学之间的联系.一、恒等式的证明有些恒等式，用初等方法证明，往往需要较高的解题技巧，而用微积分的方法，则很简单.【例1】证明：arctanx+arccotx=π2，x∈R.证明：因为∈R，有(arctanx+arccotx)′=11+x2 -11+x2 =0,所以arctanx+arccotx=C （C是常数）.为了确定C，令x=0，有C=arctan0+arccot0=π2 ，因此arctanx+arccotx=π2 ，x∈R.二、极值问题初等数学能解决的极值问题是有限的，且方法不一，难以寻找，如果用微分的方法，有的问题解决起来就很简便.【例2】求函数f(x)=xne-n2x（n是自然数，且n≥2）在［0,+∞)的最大值与最小值.求极限）limx→∞f(x).解：f′(x)=nxn-1e-n2x-n2xne-n2x=nxn-1e-n2x(1-nx).令f′(x)=nxn-1e-n2x(1-nx)=0，得到两个稳定点0、1n ，其中，0是区间［0,+∞)的左端点，讨论f′(x)在稳定点1n 的情况.列表如下：函数f(x)的极大值f(1n )=1nnen ，f(0)=0.从表中可以看到fn(x)在1n 取最大值，有f(x)=xne-n2x≥0.又f(0)=0，即函数f(x)在0处取得最小值是0.于是，∈［0,+∞)，∈N，有于是，，有limx→∞f(x)=0.三、函数单调性的讨论中学数学中函数的单调性一般用定义判别，计算繁琐，对某些函数甚至无法判别，而在微积分中根据“若∈区间I，有f(x)′＞0(＜0)，则f(x)在区间I严格增加（严格减少）”容易判别函数的单调性.【例3】求函数f(x)=2(1-t+t2-t3)（0＜t＜12 ），12 (t+1t )（t≥12 ）的严格单调区间.解：当0＜t＜12 时，由f(x)=2(1-t+t2-t3)，得f′(x)=-2(1-2t+3t2)＜0；当t≥12 时，由f(x)=12(t+1t ) 得f(x)′=12(1-1t2) ，当12≤t≤1时，f(x)′＜0；当t＞1时，f(x)′＞0.因此f(x)在（0，1）严格单调减少，在（1，+∞)严格单调增加.。

毕业论文（设计）论文（设计）题目：微积分思想在中学数学中的应用姓名陈东学号 11111022037院系数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011级指导教师庄乐森2015 年 4 月 21日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章中学数学中的微积分思想 (3)1.1 中学数学与微积分的关系 (3)1.2 微积分的基本思想方法 (3)1.3 微积分的几种基本思想 (3)1.3.1 极限思想 (3)1.3.2 化归思想 (4)1.3.3 函数思想 (4)1.3.4 数形结合思想 (5)第2章微积分的基本应用 (6)2.1 关于函数单调性的讨论 (6)2.2 函数极值与最值相关问题讨论 (7)2.3 函数的变化性态与图像关系讨论 (8)2.4 关于用微积分解方程问题的讨论 (9)2.5 关于不等式证明的讨论 (11)2.6 关于曲线的切线及求法的讨论 (12)第3章结语和展望 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文主要以微积分思想为基础来讨论微积分与中学数学之间的联系，介绍了常见的几种微积分思想，通过导数，来研究函数的单调性与极值问题，以及验证如何利用导数来证明不等式等问题.以此得到，将微积分应用到中学数学中，能够起到化难为易的重要作用，而且把微积分思想与中学数学之间的联系也需要我们进一步去研究与探讨.关键词：微积分；导数；不等式；最值ABSTRACTThis paper is mainly based on the idea of calculus to discuss links between calculus and middle school mathematics, it introduces several common calculus thought, through derivatives, to study the problem and Extremes monotonic function, and verify how to use derivatives proof of inequality and other issues. in this get, will be applied to high school calculus mathematics, it can play an important role in anything easy, and the contact calculus between thought and middle school mathematics, we also need to go further study and discussion.Keywords: Calculus; Derivative; Inequality; The most value第1章中学数学中的微积分思想微积分思想应用到中学数学中的方面有很多：求函数的极值与最值问题、函数单调性问题、以及利用导数证明不等式和恒等式，它们都是数学最基础的知识，通过微积分可以让问题更简单的解答出来，从而使学生更容易的去接受和理解中学数学.1.1 中学数学与微积分的关系初等数学是高等数学的基础，二者有着本质上的联系.将微积分运用到中学数学中也可以使得本质得以体现，进而更容易掌握初等数学.早在1983年，四川的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分内容进行了教学和教法的探讨，而且把微积分思想运用到初中数学中也能够为以后学习微积分打下一个坚固的基础.1.2 微积分的基本思想方法微积分思想方法在解决问题上一般分为变化率问题与积累性问题，两个问题虽然本质上看来有所不同，但在解决问题上却有异曲同工之处，都是讨论在局部范围的内近似状态，最后通过极限方法使近似状态精确到某一单点值，这就是所谓的微积分思想，微积分思想主要以极限为工具，对数学中的函数、不等式等问题进行解析，而且微积分能够运用到初等数学中的方法有很多：“以直代曲”、“局部刻画整体”、“极限方法”，但是在中学数学中一般偏重于对极限的运用与探讨.1.3 微积分的几种基本思想1.3.1 极限思想极限思想是数学思想的基础，它主要是讨论运用有限的值来描述无限的变化状态，通过多次运算把估算出的近似值转化到相对准确值上，这样也就充分体现出极限思想的本质，他可以讨论变化趋势的“无穷小”过程，同时也揭露了“曲线性与直线性”“量变与质变”“近似于精确”等一些对立统一而又能相互转化的辩证关系.例10.999991?我们知道1/3=0.33333...，两边同时乘以3就可以得到10.99999...=，这样我们就看左边是一个有限的数，右边是无限的数，0.99999...10.99999...990.99999...10⨯-⨯==⨯，所以0.99999 (1)=.同样的想法在求曲边梯形面积时，就要运用到“化整为零”、“以直代曲”、“取极限”等思想，首先把曲边梯形分割成若干个小梯形面积，对每个小梯形进行面积近似求值，最后求和取到近似值，而且分割的越细面积值就越接近曲边梯形面积，最后取极限值，问题得以解决.1.3.2 化归思想在数学问题上，一般都会运用到化归思想，它是解决问题的一个转折点，通过把问题转化，变向的去解决问题的思想方法，也是让问题通过更方便的途径或方法解决出来的另一种形式，起到化复杂为简单，化抽象为具体，化生为熟的作用，化归思想可以说在解决问题时是无处不在的，在问题与问题之间进行相互转化，最后求得原问题的答案，对于化归思想来说它的重要本质主要体现在“转化”，能够做到把复杂转化成简单，使问题更一目了然的展现出来.在数学问题上我们最常见几个利用化归原理来解答问题的例子：对反三角函数进行求导；复合函数求导，通常将其转化成最基本的导数，然后根据四则运算，求其结果，最后得到结果；求曲边形面积，将其转化成极限、积分问题.如在求曲边梯形面积时直接去求解，相对比较更繁琐、困难，但是若把它分割成若干个近似无限个小梯形，去求面积的总和，最后极限求值，这样问题就能更简单的解答出来.而且化归思想同时运用到数学建模上也是比较常见的，在设计模型时，就可以把抽象化具体，寻找实际的例子进行分析，最后转化到模型中.1.3.3 函数思想函数思想是数学中最重要的部分，也是主体部分，它的主体思想与辩证唯物主义是有密切关系的，在讨论事物的相对性，以及一一对应的关系时，不存在绝对性问题，只存在相对性关系，函数思想以变量关系为本质，讨论自变量、因变量以及函数值之间的对应关系.在中学数学中，我们了解熟悉基本初等函数有以下六类：（1）常量函数；（2）幂函数；（3）指数函数；（4）对数函数；（5）三角函数；（6）反三角函数.而且在高等数学中也会有很多的证明需要通过函数来完成，如：柯西中值定理，拉格朗日中值定理，罗尔定理，可见函数思想的重要性以及广泛的应用.中学中函数思想在数学中与其相关最密切的应该是微积分，因为函数中的很多问题都可以通过微积分中的导数来解决，如：解多元函数；讨论函数的单调性；计算函数的极值与最值；判断函数是否连续等问题.我们知道，通过导数来解析函数思想是很有意义的，设某函数在一个规定的区间内成立，那么不难得到区间内的每一个点都有相对应的导数，这样在该区间内就可以定义一个新的函数（即为导数），通过微积分思想我们可以了解到函数里包含导函数，原函数，在解决问题时，我们通常都是对原函数进行解析，但这样做可能变得更繁琐，因此，我们运用化归思想，将其进行转化变形，成为导函数，然后再解决，这样就是问题得以解决.1.3.4 数形结合思想所谓的数形结合思想就是利用图形把相应的数量关系有效地表达出来，做到数与图相结合，从而解决问题的本质，可以说是数学领域一项重要且基础的数学思想，它运用几何关系去表达数量关系，使数与形完美的结合，把抽象的问题或思维具体化，达到转难为易的程度，在微积分的学习中，用导数去证明函数的单调性以及用导数去求曲线的切线方程，这些都涉及到了数形结合思想，而且，对于初中学生来讲，刚刚接触初等数学知识，还不能很好地运用与掌握，但是如果能够把图形运用上，那么问题以及结果就更直观的展现出来，数与形相结合更有利于他们的起步，同时也为高等数学打下良好的基础.第2章 微积分的基本应用2.1 关于函数单调性的讨论定义 2.1：设函数()f x 在区间(),a b 上有定义，如果对于区间(),a b 内的任意两点12,x x ，满足：（1）当12x x <，恒有()()12f x f x ≥则称函数()f x 在开区间(),a b 单调递减；（2）当12x x <，恒有()()12f x f x ≤则称函数()f x 在开区间(),a b 单调递增； 在解决中学数学中函数问题时，一般都会用定义法，但是遇到比较复杂的函数反而不容易判断，如：反三角函数，复合函数，但是运用导数，反而使得问题更简单，更能让学生接受.利用导数来判断函数单调性问题的方法大致有以下几个步骤：（1）首先确定函数的定义域；（2）算出()0f x '=下函数的解，并判断是否是可导点，同时把定义域根据这些点分成多个子区间；（3）确定函数()'f x 在不同的子区间内的符号，根据正、负来判断函数的单调性. 例2 判断函数()()231f x x x =-的单调性.分析 本题主要考查函数的单调性，解决一般的函数大致都会用定义法，但是本题是幂函数，用定义法反而更麻烦，因此我们对函数()f x 进行一阶求导，求出导点与不可导点，然后根据导函数的符号判断函数的单调性.解 首先易知函数的定义域为(),-∞+∞， ()()123313252133x f x x x x x --'=-+=令()'0f x =得到125x =并且20x =是()f x 的不可导点. 所以可以将定义域(),-∞+∞分为三个子区间()22,0,0,,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则画表如下:因此在区间()2,0,,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭函数是递增的，在区间20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭是递减的. 2.2 函数极值与最值相关问题讨论可以说，函数的极值与最值问题一直都是大家讨论的热点话题，也是中学数学中一条重要的知识点，极值与最值可以反映出函数的特性.在很多应用中都有涉及，如：求讨论多元函数问题.若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则在定区间[],a b 上一定有最大、最小值，这就为我们求连续函数的最大值、最小值提供了理论保证.具体的若函数f 的最大（小）值点0x 在开区间(),a b 内，则0x 必定是的极大（小）值点.又若f 在点0x 可导，则点0x 还是一个稳定点，所以我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在定区间[],a b 上的最大值和最小值.下面举例解释这个过程.例3 求函数()322912f x x x x =-+在闭区间15,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 解 函数在闭区间15,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续，故必存在最大最小值.由于 ()()()()322222912291212912,0,452912,0,2f x x x xx x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩因此，()()()()()1612,0,45612,0.2x x x f x x x x ⎧----≤≤⎪⎪'=⎨⎪--<≤⎪⎩ 又因为()0012f '-=-，()0012f '+=，所以由导数极限定理推知函数0x =处不可导，令0f '=可得1,2x x ==，不可导点0x =，以及端点15,42x x =-=的函数值. ()()()1115515,24,00,, 5.4322f f f f f ⎛⎫⎛⎫===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此函数f 在0x =处取得最小值0，在1x =和52x =处去的最大值5. 2.3 函数的变化性态与图像关系讨论在中学数学中，我们最常见的几种函数图像基本上都是通过描点法来完成的，然而这样的方法得到的图像不一定能够明了的反映出曲线在一定的区间内的性态，这也是描点法的不足之处，但是学习了导数后，可以把导数应用到函数中去，利用导数来判断函数的单调、极值、最值、凹凸性等问题，进而也可以准确的画出函数的变化图像，但是对于一些初等函数而言，取点不够多，就会导致图像的错误，但是如果点取的很多，很浪费时间.对此类问题的例子有很多如：21y x =，正确的图像应为2-2，但是2-3确是用描点法得到的错误图像[]7.图2.1 图2.2所以图像的准确性直接关系着函数变化性的具体体现.作函数图像一般程序：(1)求函数的定义域；(2)考察函数的奇偶性；(3)求函数的某些特殊点,如：与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；（4）计算出函数曲线与坐标轴的交点坐标，以及极值点、拐点、稳定点的坐标；（5）把上述的重要点的坐标描到直角坐标系中，并画出渐近线，最后讨论曲线的变化性态.例4 作出函数3213x y x =-+的图形. 解 首先判断出函数的定义域∞∞（-，+），并且由题可知与y 轴的交点为（0,2）.22(2)y x x x x '=-=-，2 2.y x ''=-令0y '=，的驻点0x =，2x =；令0y '=，得驻点0x =，2x =；令0y ''=，得1x =. 列表如下:图2.3 2.4 关于用微积分解方程问题的讨论在解方程中尤其是超越方程，凭借以往的图像法去解决问题，往往会导致误差太大，使得答案不准确，因此，我们改用通过微积分，利用函数的单调性以及切线法来解方程.例5 用牛顿切线法求方程322470x x x ---=的近似解，使误差不超过0.01. 分析 首先通过构造函数，然后对函数进行求导，求出x 值，然后来判断是不是极值点，通过运算来得出近似解.解 设()32247f x x x x =---.求得导数()()()()322,6 4.f x x x f x x '=+-''=- 容易检验23x =-为极大值点，2x =为极小值点，并且203f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，又因为()()lim ,lim x x f x f x →-∞→+∞=-∞=-∞，所以方程()0f x =有且只有一个根.如图2.4所示，从点()4,9B 作切线与轴相交于()()1'44 3.684f x f =-≈ 我们来估计以1x 代替δ的误差：()f x '在[]3,4上的最小值为11m =，而()()1 3.68 1.03f x f ==，由误差计算公式可得 ()11 1.0311f x x m δ-≤=, 而1.030.0111≥，因此尚不合要求.图2.4再在点()()11,B x f x '作切线，求得,()()121'1 3.36f x x x f x =-≈, 由于()20.042f x =-，此时, 20.01x δ-≤,因此取 3.36δ≈已能所要求的精确度.2.5 关于不等式证明的讨论不等式是研究数学的重要工具，研究不等式以及不等式的证明两个问题也是数学领域的一个重大突破，相对来说，前者较易，后者较难，利用导数研究函数的单调性，再有单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合的一个难点，也是近几年高考的热点，同时证明不等式也是学生的弱点与难点，而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性[]10.那么以下则介绍以下用导数证明不等式的一般思路：（1）构造函数()f x ；（2）通过对函数的运算，求出函数在区间内的单调性；（3）通过函数单调性对不等式进行证明；（4）用函数的最值证明不等式.例6 已知,m n 为正整数，且1m n <<，求证()()11n m m n +>+.分析 直接验证无从下手，则对不等式进行化简变形即可得到，()()ln 1ln 1n m m n +>+，然后验证不等式()()ln 1ln 1m n m n ++>是否成立. 证明 构造函数()()ln 1x f x x +=，当()2x ≥时，求导得()()()()21ln 101x x x f x x x -++'=<+，所以()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2m n ≤<知()()f m f n >，即()()ln 1ln 1m n m n++>或()()ln 1ln 1n m m n +>+ 所以()()ln 1ln 1n n m n +>+，即()()11n mm n +>+.从此例可以看到，导数作为证明不等式的工具，方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.除了不等式的证明外，我们往往也会遇到恒等式的证明问题，对此也可以通过导数的方法来进行证明.例7 求证 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=.分析 此题主要考查对二项式定理求导的理解与运用.证明 因为 012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=+++++，对等式两边求导得：112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =即得：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=. 2.6 关于曲线的切线及求法的讨论例8[]11(2013年福建卷 理科)已知函数()x x x f ln 2-=，验证曲线()x f y =在点()()1,1f A 处是否存在切线方程并算出.分析 此题验证如何来求曲线的切线方程，怎样运用导数进行计算.解 函数()x f 的定义域为()∞+，0，()21f x x '=-，()0>x 因为 ()11=f ，()11,f '=-所以我们可以得到在点()()1,1f A 的切线方程为，()11--=-x y ，即 02=-+y x .综上所述，就可以证明出通过导数来求曲线的切线是一个很好的解题思想和方法.第3章结语和展望本论文研究的主要内容是:讲述微积分思想的意义以及作用，直接深入本文主旨提出微积分思想与中学数学的联系，通过举例证明在初等数学中的广泛应用，并且详细介绍了微积分的主要几种思想，然后在通过实际例子的解答与验证，了解到这些思想的相关应用，从而得到微积分思想在中学数学中的广泛应用，如：微积分关于函数的单调性、求函数的极值、最大值与最小值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式的证明、曲线的切线及求法.用微积分去处理中学数学上的问题，能够起到化难为易的重要作用，而且能够让学生更容易的去接受，对于刚接触初等数学的学生，可以起到引导的的作用，同时也为以后更好的学习高等数学打下稳定的基础，微积分思想运用到中学数学中的知识也不仅仅只有这么多，如求不定规则图形的面积、讨论导数在数列中的应用、在几何上的应用、求方程的解、因式分解等很多问题上，它能够把问题通过转化变得简单，起到“化曲为直”的作用，而且在近几年的高考中也逐渐侧重了对微积分的考查与运用，在初等数学与高等数学之间，微积分思想起到承上启下的重要作用，同时也能够开拓师生的思路，掌握教材的能力，微积分思想在中学数学中的作用与地位主要体现在以下几个方面：（1）了解微积分的相关知识，能够增强学生的运算能力以及逻辑思维能力与空间何想象能力；（2）能够帮助学生提高解决问题的能力，为学生打下良好的数学基础；（3）微积分运用到初中数学中能够起到化难为易，化抽象为具体的重要转化作用.综上所述，都足以表明微积分思想在中学数学中的重要性，也使得这一重要的数学思想的本质得以体现.本文章主要介绍了微积分思想在中学数学中的应用，但是它也在其他的领域有所应用，如：在天文学上对经纬度的测量，从而进行了相关的研究：（1）研究黑洞与其他行星；（2）月食现象产生的原因；（3）计算气候变化周期.微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富[15],数学史上的重要里程碑，也是数学家们辛劳的结晶，掌握和了解微积分，能够增强学生对数学的理解与运用能力，所以说微积分思想不但是数学史上的创举也是人类发展史上的重要的一部分.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].重庆：重庆出版社，1983：73～221.[2]曹发祯.微积分在中学数学中的应用[M].广东教育出版社，1991[3] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）.人民教育出版社.2009.[4] 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，27(8):4～5.[5] 俞宏毓.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2006，20(2):32～36.[6] 贤锋.浅析微积分理论在中学数学的简单应用[J].引进与咨询，2000(1)：64～65.[7] 魏本成，吴中林.微积分在中学数学中的应用[J].天中学刊，2001，16(5)：54～55.[8] 吴向群，庄认训.微积分在中学数学中的应用[J].青海师专学报（自然学科），2002，22(5):77～78.[9] 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性[J].上海中学数学，2011，64（6）：27～29.[10] 包建廷.微积分在不等式中的应用[J].承德民族师专学报，2003，23(2):27～30.[11] 肖新义，肖尧.微积分方法在初等数学中的应用研究[J].和田师范专科学校学报2009，28（5）：15～16.[12] 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性[J].上海中学数学，2011，64（6）：27～29.[13] 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，27(8):4～5.[14] 李霞.浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用[J].牡丹江教育学院学报，2006，95（1）：83～84.[15] 王昆扬.给中学生讲好微积分基本知识[J].数学通报，2001(6):23～24.致谢大学的四年生活转瞬即逝，回首过去的日子，感觉收获到很多东西，当完成这篇文章的时候，我感慨万分.首先真诚的感谢我的论文指导老师庄乐森老师，他能够在百忙之中帮我指导论文的修改与审查，同时，我也很感谢大学四年内教过我的老师们，是你们一丝不苟的工作精神与职业责任心深深地感染了我，是你们在教会我很多的数学知识与文学上的知识，是你们的启迪让我对知识探求的渴望，最后，我也很感谢陪伴我身边的朋友，是你们在我困难的时候帮助我，鼓励我，在我困惑的时候给予我宝贵的意见与建议，谢谢你们曾陪我走过，我的大学生活因为有你们而变得充实、丰富而又多彩.。

浅谈高中数学引入微积分教学的必要性摘要：我国高中的微积分教学重视程度时起时落，虽然在现今的课程改革中将微积分纳入了高中的必修课程，但有关微积分教学的必要性改革仍是一个颇有争议的问题。

学习微积分的意义，在于它帮助我们解决了一些用初等数学方法处理起来比较繁琐的问题，提高了我们的思维高度，并为后续的教育奠定了基础。

关键词：微积分初等数学必修课程随着新课改的不断深入，高中数学中是否开设微积分的部分课程，已成为教育工作者和专家深入探究的课题。

随着科学技术的发展，微积分已成为应用特别广泛的一部分基础数学知识。

打开任何一本中级以上的科技书籍，几乎都可以看到里面有微分符号dy和积分符号∫。

在发达国家，重视数理教学，用知识和技能装备的劳动队伍创造了巨大财富，他们把严格的教育制度看成是取得经济成就的关键，故早就将微积分纳入了高中数学的必修课程。

对于我国来说，目前经济正处在一日千里的高速发展时期，科技的进步和人民对科技的掌握程度是否跟上发展需要是必须关注的问题。

科技是关键，教育是基础。

我们要按照学生所能接受的程度，用先进的科学知识来充实中学的教育内容。

《普通高中数学课程标准》对微积分教学内容进行了改革，将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础。

当然，我们目前在中学开设微积分课程，只能限于微积分的初步知识，不能像大学课程那样详尽。

然而，在中学课程中获得的这些微积分基础知识，有助于培养中学生的思维，拓宽他们的视野，尤其在后续教育上有积极的意义。

一、微积分的简介及微积分在中学的现况微积分是微分学和积分学的总称。

微积分基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。

作为一种数学的思想,微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，由于逻辑上存在缺陷，经过分析严密化运动，在形式主义数学哲学的影响下，无穷小成为一种“错误”。

浅谈微积分在中学数学解题中的应用数学与计算科学系数学与应用数学专业学号：09690137 姓名：尹佩指导老师：蔡江涛摘要：微积分是数学中的重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用，可以当作工具去解决中学数学中的一些问题.本文通过阐述微积分在中学数学中的重要地位和作用的基础上,研究微积分在中学数学解题中的应用.关键词：微分积分中学数学新课改0.引言微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）对微积分教学内容进行了改革．《课标》和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础.微积分是数学的一个基础学科，它分为微分和积分.微积分的创立,极大的推动了数学自身的发展.它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值.微积分在中学数学中的地位和作用具体体现在以下几个方面：（1）学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力.（2）学习微积分能更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用，有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用.(3)将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作.利用微积分来解决中学数学中的一些问题能取得意想不到的效果.1.微分在中学数学解题中的应用《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时通过理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”.微分在中学数学解题中的应用主要由导数实现.1.1微分法在求函数极值和最值问题中的应用中学数学教材的二次函数,三角函数和不等式等内容都涉及到求函数极值与最值问题. 在求比较复杂的函数的极值和最值问题中一般采用微分的知识来解决，根据对自变量求导研究导函数性质从而判断函数.导数的定义:当自变量的增量Δx=x-x0,Δx→0时函数增量Δy=f(x)-f(x0)与自变量之比的极限存在且有限，就说函数f 在x0 点可导，称之为 f 在x0 点的导数（或变化率）。

微分中值定理在中学数学中的应用【摘要】微分中值定理是微积分中的重要定理，在中学数学中也有广泛的应用。

本文首先介绍了微分中值定理的基本概念和数学表达式，然后详细说明了如何利用微分中值定理求解函数的增减性问题和证明函数的单调性。

接着，讨论了微分中值定理在解决实际问题中的应用，例如求曲线的切线方程等。

最后结合实际案例总结了微分中值定理在中学数学中的重要性，强调其在函数分析和求解实际问题中的价值。

微分中值定理在数学教育中的应用范围广泛，对学生的数学思维和问题解决能力有很好的培养作用，是中学数学中不可或缺的重要内容。

【关键词】微分中值定理、中学数学、基本概念、数学表达式、增减性问题、单调性、实际问题、应用范围、重要性。

1. 引言1.1 微分中值定理在中学数学中的应用微分中值定理在中学数学中的应用主要体现在对函数的增减性问题、单调性、以及实际问题的解决上。

通过微分中值定理，我们能够推导出函数在某个区间内的增减性以及单调性，进而更好地理解函数的性质和变化规律。

微分中值定理也可以用来证明函数的单调性。

通过对函数的导数进行分析，并应用微分中值定理，我们可以得出函数在某个区间内的单调性，进而推断出整个函数的单调性。

这为我们在研究函数的性质和特点时提供了重要的工具和技巧。

微分中值定理也被应用于解决实际问题中。

通过将实际问题建模为数学函数，并使用微分中值定理来分析函数的特点和趋势，我们可以更好地理解问题的本质，提出解决方案，并进行有效的预测和决策。

微分中值定理在中学数学中的应用不仅可以帮助我们更深入地理解函数的性质和变化规律，还可以指导我们解决实际问题，提高数学建模和分析的能力。

其在中学数学教育中的重要性不可忽视，为学生提供了更丰富和深入的数学学习体验。

2. 正文2.1 微分中值定理的基本概念微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它在中学数学中的应用十分广泛。

为了更好地理解微分中值定理在中学数学中的应用，首先需要了解微分中值定理的基本概念。