小学奥数7-7-3 几何中的重叠问题.专项练习

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-知识要点教学目标1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．7-7-4 容斥原理之数论问题既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．例题精讲 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-3.幾何中的重疊問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 把長38釐米和53釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長4釐米，焊接後這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長3853487+-=(釐米)．【答案】87釐米【巩固】 把長23釐米和37釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長3釐米，焊接後這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長：2337357+-=(釐米)．【答案】57釐米【例 2】 兩張長4釐米，寬2釐米的長方形紙擺放成如圖所示形狀．把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方釐米？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答例題精講圖中小圓表示A 的元素的個數，中圓表示B 的元素的個數，大圓表示C 的元素的個數．1．先包含：A B C ++ 重疊部分A B 、B C 、C A 重疊了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重疊部分A B C 重疊了3次，但是在進行A B C ++- A B B C A C --計算時都被減掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．图32厘米4厘米【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為2釐米的正方形，如果利用兩個42⨯的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，被覆蓋面積=長方形面積之和-重疊部分．於是，被覆蓋面積4222212=⨯⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】12釐米【巩固】 如圖3，一張長8釐米，寬6釐米，另一個正方形邊長為6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長為4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答图3【解析】 兩個圖形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在長方形和正方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積=長方形面積+正方形面積-重疊部分．於是，組合圖形的面積：86664468⨯+⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】68平方釐米【巩固】 一個長方形長12釐米，寬8釐米，另一個長方形長10釐米，寬6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積=長方形面積之和-重疊部分．於是，組合圖形的面積12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】140平方釐米【例 3】三個面積均為50平方釐米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個紙片共同重疊的面積是10平方釐米．三個紙片蓋住桌面的總面積是100釐米．問：圖中陰影部分面積之和是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答C BA10【解析】將圖中的三個圓標上A、B、C．根據包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積=(A圓面積B+圓面積C+圓面積-）（A與B重合部分面積A+與C重合部分面積B+與C重合部分面積+）三個紙片共同重疊的面積，得：100505050A=++-（）（與B重合部分面積A+與C重合部分面積B+與C重合部分面積10+），得到A、B、C三個圓兩兩重合面積之和為：16010060-=平方釐米，而這個面積對應於圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60103=⨯+陰影部分面積，則陰影部分面積為：603030-=(平方釐米)．【答案】30平方釐米【巩固】如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73．求陰影部分的面積．【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】設甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C．A B C===30，A B=6，B C=8，A C=5，A B C=73，而A B C=A B C+--A B B C A C A B C--+.有73=30×3-6-8-5+A B C，即A B C=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(⑧部分面積)為2．那麼只是甲與乙(④)，乙與丙(⑥)，甲與丙(⑤)的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(①、②、③部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等於60平方釐米．陰影部分的面積總和是40平方釐米，3張板蓋住的總面積是100平方釐米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方釐米？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】了三次．所以三張紙重疊部分的面積60310040220（）(平方釐米)．=⨯--÷=【答案】20平方釐米【巩固】如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為38．若A與B、B與C的公共部分的面積分別為8、7，A、B、C這三張紙片的公共部分為3．求A與C公共部分的面積是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】設A與C公共部分的面積為x，由包含與排除原理可得：⑴先“包含”：把圖形A、B、C的面積相加：12281656++=，那麼每兩個圖形的公共部分的面積都重複計算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回．⑶再“包含”：56873x---+，這就是三張紙片覆蓋的面積．根據上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。

小学奥数教程几何中的重叠问题教师版全国通用1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，教学目标 知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 1】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 2】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A圆面积B+圆面积C+圆面积-）（A与B重合部分面积A+与C重合部分面积B+与C重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：（）（与B重合部分面积A+与C重合部分面积B+=++-100505050A与C重合部分面积10+），得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合C．===30，A B=6，B C=8，A C=5，A B C=73，A B C而A B C=A B C+--A B B C A C A B C--+.有73=30×3-6-8-5+A B C，即A B C=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 3】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积60310040220（）(平方厘米)．=⨯--÷=【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：++=，那么每两个图形的公共部分的面12281656积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873x---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？图32厘米4厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．图3468【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．6412【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？例题精讲CBA10【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【例 4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？ABC。

20181213小学奥数练习卷（知识点：重叠问题）含答案解析小学奥数练习卷（知识点：重叠问题）题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 2 小题） 1．如图，边长分别为 10 厘米和 7 厘米的正方形部分重叠，重叠部分的面积是 9平方厘米，图中两个阴影部分的面积相差（）平方厘米． A．51 B．60 C．42 D．9 2．六个正方形重叠（如图）连接点正好是正方形的中心．正方形边长是 a，这个图形的周长是（） A．24a B．14a C．12a D．18a 第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 29 小题） 3．如图的三张正方形的纸，铺在桌面上一共遮盖的面积是平方厘米．（单位：厘米） 4．有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合，如图所示，已知露在外的部分中，红色面积是 20，黄色面积是 14，绿色面积是10，那么正方形盒子的面积是． 5．将 4 个边长为 2 的正方形如图放置在桌面上，则它们在桌面上所能覆盖的面积是． 6．如图，将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 A、B 重合于点 O，则EFO= 度． 7．用 10 张同样长度的纸条粘接成一条长 41 厘米的纸带，如果每个接头处都重叠 1 厘米，那么原来的每张纸条都长厘米． 8．如图，把三个面积同是 S 平方厘米的圆放置在桌面上，桌面被圆覆盖的面积是 2S+10 平方厘米，图中两圆重叠的两块（有阴影部分）的面积相等，有一直线 L 过 A、B 两圆的圆心．直线 L 下方被覆盖的面积是 25 平方厘米，那么，S= 平方厘米． 9．两幅图表示两个箭头画在不同的 4 厘米4 厘米方格内的情况．现在将这两个箭头画在同一副 4 厘米4 厘米的方格内，则这两个箭头的重叠部分的面积为平方厘米． 10．如图，在一个长、宽分别为 19 厘米和 11 厘米的大长方形内放了四个正方形，那么没有被正方形覆盖的小长方形（图中阴影部分）的面积是平方厘米． 11．如图，正方形 ABCD 的面积为 196 平方厘米，它包含了两个有部分重叠的小正方形．其中，较大的那个小正方形面积是较小的那个小正方形面积的 4 倍，而且两个正方形的重叠部分面积为 1 平方厘米．那么，阴影部分面积为平方厘米． 12．有一根绳子第一次把它按下左图方式对折，在对折处标记①；第二次我们将它按下中图方式对折，在对折处分别标记②、③；第三次我们将它按下右图方式对折，如果下右图中①号点和③号点之间的距离为 30 厘米，那么这根绳子的总长度是厘米．（绳子之间无缝隙，绳粗以及转弯处损耗都忽略不计）． 13．有一根绳子，第一次把它按左图方式对折，在对折处标记①，第二次我们将它按中图方式对折，在对折处在对折处分别标...。

数学竞赛小学奥数几何中的重叠问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：7-7-3.几何中的重叠问题教学目标知识要点1．先包含——A B + 重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？ 【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？ 【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)． 【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米 图32厘米4厘米例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆1．先包含：A B C ++ 重叠部分AB 、BC 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积． 【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积． 【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？ 【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B+圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米 图3468106412CBA10【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积． 【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(⑧)，乙与丙(⑧)，甲与丙(⑧)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(⑧、⑧、⑧部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ 【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 阴叠部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？ 【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设A 与C 公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得：⑧ 先“包含”：把图形A 、B 、C 的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑧ 再“排除”：5687x ---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回． ⑧ 再“包含”：56873x ---+，这就是三张纸片覆盖的面积． 根据上面的分析得：5687338x ---+=，解得：6x =．【答案】6A B C ==AB BC A C A B C AB C A B C +--A B B C A C A B C --+AB C A B C。

重叠问题练习题有答案在我们的数学学习中，重叠问题常常让同学们感到有些困惑。

但别担心，通过一些练习题的训练，相信大家能够轻松掌握。

下面就让我们一起来看看这些有趣的重叠问题练习题吧！题目 1：三（1）班参加语文兴趣小组的有 25 人，参加数学兴趣小组的有 28 人，两个小组都参加的有 12 人。

问三（1）班参加兴趣小组的一共有多少人？答案：只参加语文兴趣小组的人数为 25 12 ＝ 13 人，只参加数学兴趣小组的人数为 28 12 ＝ 16 人。

所以参加兴趣小组的总人数为 13＋ 16 ＋ 12 ＝ 41 人。

题目 2：学校组织了绘画比赛和书法比赛。

参加绘画比赛的有 35 人，参加书法比赛的有 40 人，两项比赛都参加的有 18 人。

请问学校一共有多少人参加了比赛？答案：参加绘画比赛但没参加书法比赛的有 35 18 ＝ 17 人，参加书法比赛但没参加绘画比赛的有 40 18 ＝ 22 人。

所以参加比赛的总人数为 17 ＋ 22 ＋ 18 ＝ 57 人。

题目 3：在一次运动会中，参加跑步比赛的有 45 人，参加跳远比赛的有 38 人，既参加跑步又参加跳远比赛的有 15 人。

问参加这两项比赛的共有多少人？答案：只参加跑步比赛的人数为 45 15 ＝ 30 人，只参加跳远比赛的人数为 38 15 ＝ 23 人。

那么参加这两项比赛的总人数为 30 ＋ 23 ＋15 ＝ 68 人。

题目 4：某班有 50 名学生，喜欢语文的有 30 人，喜欢数学的有 25 人，两门学科都喜欢的有 10 人。

问两门学科都不喜欢的有多少人？答案：喜欢语文或数学的人数为 30 ＋ 25 10 ＝ 45 人。

所以两门学科都不喜欢的人数为 50 45 ＝ 5 人。

题目 5：一个社区组织了健康体检，参加体检的有 200 人。

其中检查出有高血压的有 80 人，有糖尿病的有 60 人，两种病都有的有 20 人。

问既没有高血压也没有糖尿病的有多少人？答案：只有高血压的人数为 80 20 ＝ 60 人，只有糖尿病的人数为60 20 ＝ 40 人。

7-7-3.几何中的重叠问题目t雌瞬鯛「五年级奥数几何中的重叠问题教师版2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.—、两量重叠I可题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数, 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去莹复计算的元素个数•即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB = A+B-ADB（其中符号“ir读作“并二相当于中文“和"或者“或"的意思;符号“rr读作"交相当于中文“且"的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下:A表示小圆部分.3表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分，记为：APIB,即阴影面积.图示如下:A表示小圆部分,3表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分，记为：即阴影面枳.先包含•重叠部分AHB计算了2次，多加了1次;X2.再扌非除——A +把多加了1次的电叠部分人“3减去.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AIJB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 3的元素个数，然后加起来，即先求A + B（意思是把A、B的一切元素都“包含''进来，加在一起）：第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C = Ap\B（t思是"排除"了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数- 既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类.B 类、C类的元素个数.用符号表示为：A\JB\JC = A + B + C-Ar\B-Br\C-AC\C + Ar\Br\C ・图示攻口下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示3的元素的个数，大圆表示C的元素的个数.1・先包含：A + B + C A重亞部分ADB、BCIC、CDA重亞了2次，多加了1次.2・再排除：A + B + C-AnB-BnC — AAC重叠部分ADBCIC电叠了3次，但是在进行A + B + C- AnB — BDC — AClC计算时都被减掉了.再包含：A + B + C-AnB-BAC-AAC + AABnC^^y 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.【例11把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的磴叠问題【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以•由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 + 53-4 = 87（厘米）. 【答案】87厘米【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问題【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：23 + 37-3 = 57（厘米）.【答案】57厘米【例2］两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状•把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问題【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为2 厘米的正方形，如果利用两个4x2的长方形面枳之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重査部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，被覆盖面积=长方形面积之和■重査部分.于是，被覆盖面积= 4x2x2-2x2 = 12 （平方厘米）.【答案】12厘米【巩固】如图3,—张长8厘米，宽6厘米,另一个正方形边长为6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问題 【难度】1星 【题型】解答【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为4厘 米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠 部分在长方形和正方形面积中各被计算了 一次,而实际上这部分只需计算一次就可 以了.所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重査部分.于是,组合图 形的面积：8x6 + 6x6-4x4 =68（平方厘米）.【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的 部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问題 【难度】1星 【题型】解答12 84610【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分）座叠部分恰好是边长为4 厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重査部 分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以 了.所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分.于是，纽合图形的面积 = 12x8 + 10x6-4x4 = 140（平方厘米）.【答案】140平方厘米三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积 是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米•问：图中阴影部分面积 之和是多少？【解析】将图中的三个圆标上A 、3、C •根扌居包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=（A 國面积+3圆面积+C 圆面积）-（A 与3重合部分面积+A 与C 重合部分面积+3 与C 重合部分面积）+三个纸片共同重叠的面积，得：100 =（50 + 50 + 50）-（A 与B 重合部分面积+A 与C 重合部分面枳+3与C 重合部分面积）+ 10,得到A 、B 、C 三 个圆两两重合面积之和为：160-100 = 60平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三 个纸片共同重査的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60 = 10x3+阴影部分面积, 則阴影部分面积为：60 - 30 = 30（平方厘米）.【答案】30平方厘米【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙.甲与丙重合部分的面 积分别为6,8（,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积.【考点】几何中的匿叠问題 【难度】2星 【题型】解答【例3】 几何中的重叠问题【解析】设甲圆组成集合A.乙圆组成集合B,丙圆组成集合C.|A| = |B| = \C\ =30, | A fl B| =6, D C| =&\AQC\ =5, | A U B U C| =73,而|AUBUC|=|A| + |B|-|C|-|An5|-|BnC|-|AnC|+|AnBnC|.有73=30x3-6-8-5+1A A B Q C| | A Q B A C| =2^P甲.乙、丙三者的公共面积（⑧部分面积）为2・那么只是甲与乙（④），乙与丙（⑥），甲与丙（⑤）的公共的面积依次为6-2=4,8-2=6,5-2=3.所以有阴影部分（①.②、③部分之和）的面积为73-4-6-3-2=58.【答案】58【例4】如图,三角形纸板、正方形纸板.圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米.阴影部分的面积总和是40平方厘米,3张板盖住的总面积是100平方厘米,3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问題【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸莹叠部分是被计算了三次.所以三张纸重叠部分的面积=（60 x 3-100 - 40）十2 = 20（平方厘米）・【答案】20平方厘米【巩固】如图所示泌.3、C分别是面积为12. 28. 16的三张不同形状的纸片，它们亟叠在一起，露在外面的总面积为38.若A与〃、3与C的公共部分的面积分别为8. 7M. B. C这三张纸片的公共部分为3.求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的匿叠问題【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为■由包含与排除原理可得：⑴先'电含"：把图形A、B、C的面积相加：12 + 28 + 16 = 56,那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉.（2）再“排除‘‘：56-8-7-兀,这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回.（3）再“包含56-8-7-X + 3,这就是三张纸片覆盖的面积.根据上面的分析得：56-8-7-人+3 = 38.解得：x = 6・【答案】6。

重叠问题练习题集锦带答案在数学的世界里，重叠问题常常让同学们感到困惑，但只要我们掌握了方法，就能轻松应对。

下面为大家准备了一些重叠问题的练习题，一起来挑战一下吧！一、基础篇1、学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 25 人，参加书法小组的有 20 人，两个小组都参加的有 8 人。

参加兴趣小组的一共有多少人？答案：参加绘画小组的有 25 人，参加书法小组的有 20 人，但是有8 人两个小组都参加了，这 8 人在计算总人数时被重复计算了一次，所以需要减去一次。

则参加兴趣小组的总人数为 25 ＋ 20 8 ＝ 37（人）2、三（1）班有 45 人，喜欢唱歌的有 28 人，喜欢跳舞的有 20 人，既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有 10 人，两种都不喜欢的有多少人？答案：喜欢唱歌的有 28 人，喜欢跳舞的有 20 人，其中既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有 10 人，所以喜欢唱歌或者喜欢跳舞的人数为 28 ＋ 20 10 ＝ 38（人）。

班级总人数为 45 人，那么两种都不喜欢的人数为 45 38 ＝ 7（人）3、一次数学测验，做对第一题的有 25 人，做对第二题的有 18 人，两题都做对的有 8 人，至少做对一题的有多少人？答案：做对第一题的有 25 人，做对第二题的有 18 人，两题都做对的有 8 人。

所以至少做对一题的人数为 25 ＋ 18 8 ＝ 35（人）二、提高篇1、某班有 50 名学生，在一次测验中，语文成绩优秀的有 30 人，数学成绩优秀的有 28 人，英语成绩优秀的有 20 人，语文和数学成绩都优秀的有 18 人，语文和英语成绩都优秀的有 12 人，数学和英语成绩都优秀的有 10 人，三科成绩都优秀的有 5 人。

请问：（1）三科成绩都不优秀的有多少人？（2）只有语文成绩优秀的有多少人？答案：（1）语文成绩优秀的有 30 人，数学成绩优秀的有 28 人，英语成绩优秀的有 20 人。

语文和数学成绩都优秀的有 18 人，语文和英语成绩都优秀的有 12 人，数学和英语成绩都优秀的有 10 人，三科成绩都优秀的有 5 人。

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。

重叠问题练习题重叠问题是数学中常见的问题类型之一，涉及到平面上两个或多个图形之间的重叠关系。

解决重叠问题需要运用一些几何概念和技巧。

本文将介绍几道常见的重叠问题练习题，并逐步解答这些问题。

练习题一：已知平面上有两个圆，圆A的半径为r，圆心为O1；圆B的半径为R，圆心为O2。

如果两个圆的圆心距离为d，求问这两个圆是否重叠？解答一：为了判断这两个圆是否重叠，我们可以分情况讨论。

首先，两个圆没有重叠的情况是，当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，即d > r + R。

此时，两个圆之间没有交集，因此不重叠。

另一种情况是，两个圆完全包含在对方内部，即一个圆被另一个圆包围。

这种情况下，两个圆重叠。

具体来说，当两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之差时，即d < |r - R|。

在这种情况下，大圆完全包围小圆，或者小圆完全包围大圆。

最后一种情况是，两个圆相互交叠但不能完全包含对方。

这种情况下，两个圆相交的部分形成一个圆环。

具体来说，当两个圆心之间的距离介于两个圆的半径之和和半径之差之间时，即|r - R| < d < r + R，两个圆形成一个圆环，重叠的部分就是这个圆环。

因此，通过对两个圆心距离和半径进行比较，我们可以判断出两个圆是否重叠。

练习题二：已知平面上有一个长方形ABCD，其中AB = a，BC = b。

另外，还有一个正方形EFGH，边长为s。

如果正方形完全位于长方形的内部，并且正方形的顶点之一恰好位于长方形的顶点A处，求问这两个图形的重叠面积是多少？解答二：首先，我们需要考虑正方形EFGH的位置。

根据题意，正方形的一个顶点位于长方形的顶点A处，那么我们可以确定正方形的位置。

由于正方形完全位于长方形的内部，那么正方形的另外三个顶点必然分别位于长方形的其他三个顶点，即B、C、D处。

接下来，我们需要求解两个图形的重叠面积。

重叠面积可以看作是正方形EFGH与长方形ABCD之间的交集部分。

小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。

学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。

下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。

明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。

这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．两量重叠问题【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

重叠问题练习题答案重叠问题通常指的是在数学或逻辑问题中，两个或多个集合或事件有共同的部分。

下面是一些重叠问题练习题的答案：1. 练习题：一个班级有50名学生，其中30人参加了数学俱乐部，20人参加了科学俱乐部。

如果两个俱乐部共有的学生数为10人，那么没有参加任何俱乐部的学生有多少人？答案：首先，我们计算两个俱乐部的学生总数：30（数学俱乐部）+ 20（科学俱乐部）- 10（两个俱乐部共有的学生）= 40人。

班级总人数为50人，所以没有参加任何俱乐部的学生数为50 - 40 = 10人。

2. 练习题：在一个社区中，有200户家庭，其中100户有宠物，80户有花园。

如果同时拥有宠物和花园的家庭有40户，那么没有宠物也没有花园的家庭有多少户？答案：首先，我们计算有宠物和花园的家庭总数：100（有宠物）+ 80（有花园）- 40（同时拥有宠物和花园）= 140户。

社区总家庭数为200户，所以没有宠物也没有花园的家庭数为200 - 140 = 60户。

3. 练习题：一个图书馆有1000本书，其中300本是科幻小说，200本是历史书籍。

如果同时属于科幻和历史类别的书籍有50本，那么既不是科幻也不是历史的书籍有多少本？答案：首先，我们计算科幻和历史书籍的总数：300（科幻小说）+ 200（历史书籍）- 50（同时属于科幻和历史的书籍）= 450本。

图书馆总书籍数为1000本，所以既不是科幻也不是历史的书籍数为1000 - 450 = 550本。

4. 练习题：一个学校有500名学生，其中200名学生参加了体育队，150名学生参加了合唱团。

如果同时参加体育队和合唱团的学生有50人，那么没有参加任何团队的学生有多少人？答案：首先，我们计算参加体育队和合唱团的学生总数：200（体育队）+ 150（合唱团）- 50（同时参加两个团队的学生）= 300人。

学校总学生数为500人，所以没有参加任何团队的学生数为500 - 300 = 200人。

小学奥数7-7-3几何中的重叠问题.专项练习1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例2】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图32厘米4厘米【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42?的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=??-?=(平方厘米)．【答案】12厘米例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【巩固】如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图3 【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468?+?-?=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=?+?-?=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答CBA10【解析】将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=?+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ． A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73，而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】阴而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积60310040220=--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A 与C 公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得：⑴ 先“包含”：把图形A 、B 、C 的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵ 再“排除”：5687x ---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶ 再“包含”：56873x ---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x ---+=，解得：6x =．【答案】6。