八年级数学频率与概率的关系

数学上“频率”与“概率”的关系？我是中考数学当百荟，从事初中数学教学三⼗多年。

说到“频率”与“概率”的关系，⾸先要了解初中数学中基本的统计思想：⽤样本估计总体，⽤频率估计概率；其次，要知道数学试验的统计量：频率=频数/总次数。

频率是通过试验得到的统计量，⽽概率是通过建⽴数学模型，计算得到的理论值。

在⼀定的情况下，可以⽤频率去估计（代替）事件发⽣的概率。

⼀。

⽤样本估计总体统计中，通常通过调查的⽅式获取相关的统计量。

调查通常有两种⽅式：普查和抽样调查。

⽐如：第六次全国⼈⼝普查（2010年11⽉1⽇），就是在国家统⼀规定的时间内，按照统⼀的⽅法、统⼀的项⽬、统⼀的调查表和统⼀的标准时点，对全国⼈⼝普遍地、逐户逐⼈地进⾏的⼀次性调查登记。

这次⼈⼝普查登记的全国总⼈⼝为1,339,724,852⼈这个数据采⽤的就是普查⽅式得到的。

⽽国家统计局每季度发布的居民⼈均可⽀配收⼊、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标，是采⽤抽样调查⽅式获取的。

当统计的总体容量很⼤，调查耗时费⼒，调查成本巨⼤或者试验具有破坏性时，不宜采⽤普查⽅式，就要⽤抽样的⽅式来进⾏统计，然后⽤样本的统计量，去估计总体统计量。

这种统计思想就叫做⽤样本估计总体。

⽐如：某照明企业⽣产⼀批LED灯泡，为统计这批LED灯泡的使⽤寿命，采⽤哪种调查⽅式⽐较适合呢？因为要了解LED的使⽤寿命，按试验要求，就必须将LED灯泡变成“长明灯”，⼀直点亮直⾄⾃然熄灭（寿终正寝）。

这样试验是具有破坏性的，显然不能⽤普查⽅式，只能采⽤抽样的⽅式来进⾏。

从这批LED灯泡中，随机抽取50只灯泡作为⼀个样本，通过试验得到这个样本的平均使⽤寿命为3000⼩时，然后我们就说该企业的这批LED灯泡（总体）的使⽤寿命为3000⼩时。

⼆。

⽤频率估计概率俗话说，天有不测风云，⼈有旦⼣祸福。

这句话从数学的⾓度来理解就是，在⾃然界和⼈类社会中，严格确定的事件是⼗分有限的，⽽随机事件却是⼗分普遍的，概率就是对随机事件的⼀种数学的定量描述。

如何用频率来估计概率在苏科版初中数学课本里所学习的概率计算问题有以下类型：第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验；第二类是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验。

在八年级的数学学习中概率的计算，主要是第二类题型，我们知道频率是研究概率的基础，所以利用频率估计概率的试题频频出现在各地的中考试卷中，下面以中考题为例，来剖析这一类题型的解法。

一、填空题中的用频率估计概率例1.在课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表所示：由此估计这种作物种子发芽率约为（精确到0.01）.解：由公式种子的发芽率= 可求出种子的发芽率为0.939，因为精确到0.001故答案为0.94.点评：本题考察了百分率问题（1）种子的发芽率= ；（2）注意括号的中的要求为精确到0.01例2.有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为.解：解：∵摸到红球的频率约为0.6，∴红球所占的百分比是60%.∴1000×60%=600.故答案为：600.点评：本题考查用频率估计概率，因为多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，所以红球所占的百分比也就是60%，根据总数可求出红球个数.二、选择题中的用频率估计概率例3.“六?一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动.顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A.当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒解：由表中提供的信息可知，只有“转动转盘10次，一定有3次获得文具盒”的判断不一定正确，故应选D.点评：正确正解频率与概率之间的关系是求解此类问题的关键. 由表中提供的信息，我们可以知道，当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率趋于0.70，由此，由频率与概率之间的关系可知，假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000次×（1-0.7）=600次，而将转盘转动转盘10次，却不一定有3次获得文具盒.三、解答题中的用频率估计概率例4.六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动.有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具.已知参加这种游戏活动为40 000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个.（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；（2）请你估计袋中白球接近多少个？分析（1）由40 000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个，结合频率的意义可直接求得.（2）由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解.解（1）因为= ，所以参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为.（2）因为试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论频率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是.设袋中白球有x个，则根据题意，得= ，解得x=18.经检验x=18是方程的解.所以估计袋中白球接近18个.点评：利用频率估计概率，并以此引进未知数构造方程是求解此类问题的常用方法，同学们在学习时应注意体会和运用.例5.研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续.点评：（1）根据表格数据可以得到50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，由此即可求出盒中红球、黄球各占总球数的百分比；（2）由题意可知50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，由此可以求出总球数，然后利用（1）的结论即可求出盒中红球.此题主要考查了利用频率估计概率的问题，首先利用模拟实验得到盒中红球、黄球各占总球数的百分比，然后利用百分比即可求出盒中红球个数.。

如何用频率来估计概率在苏科版初中数学课本里所学习的概率计算问题有以下类型：第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验；第二类是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验。

在八年级的数学学习中概率的计算，主要是第二类题型，我们知道频率是研究概率的基础，所以利用频率估计概率的试题频频出现在各地的中考试卷中，下面以中考题为例，来剖析这一类题型的解法。

一、填空题中的用频率估计概率例1.在课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表所示：由此估计这种作物种子发芽率约为（精确到0.01）.解：由公式种子的发芽率= 可求出种子的发芽率为0.939，因为精确到0.001故答案为0.94.点评：本题考察了百分率问题（1）种子的发芽率= ；（2）注意括号的中的要求为精确到0.01例2.有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为.解：解：∵摸到红球的频率约为0.6，∴红球所占的百分比是60%.∴1000×60%=600.故答案为：600.点评：本题考查用频率估计概率，因为多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，所以红球所占的百分比也就是60%，根据总数可求出红球个数.二、选择题中的用频率估计概率例3.“六?一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动.顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A.当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒解：由表中提供的信息可知，只有“转动转盘10次，一定有3次获得文具盒”的判断不一定正确，故应选D.点评：正确正解频率与概率之间的关系是求解此类问题的关键. 由表中提供的信息，我们可以知道，当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率趋于0.70，由此，由频率与概率之间的关系可知，假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000次×（1-0.7）=600次，而将转盘转动转盘10次，却不一定有3次获得文具盒.三、解答题中的用频率估计概率例4.六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动.有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具.已知参加这种游戏活动为40 000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个.（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；（2）请你估计袋中白球接近多少个？分析（1）由40 000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个，结合频率的意义可直接求得.（2）由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解.解（1）因为= ，所以参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为.（2）因为试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论频率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是.设袋中白球有x个，则根据题意，得= ，解得x=18.经检验x=18是方程的解.所以估计袋中白球接近18个.点评：利用频率估计概率，并以此引进未知数构造方程是求解此类问题的常用方法，同学们在学习时应注意体会和运用.例5.研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续.点评：（1）根据表格数据可以得到50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，由此即可求出盒中红球、黄球各占总球数的百分比；（2）由题意可知50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，由此可以求出总球数，然后利用（1）的结论即可求出盒中红球.此题主要考查了利用频率估计概率的问题，首先利用模拟实验得到盒中红球、黄球各占总球数的百分比，然后利用百分比即可求出盒中红球个数.。

苏科版数学八年级下册8.3《频率与概率》说课稿2一. 教材分析《频率与概率》是苏科版数学八年级下册第8.3节的内容。

本节课的主要内容是让学生理解频率与概率的概念，掌握频率与概率之间的关系，并通过实例让学生学会如何运用频率估计概率。

教材通过引入频率这一概念，引导学生从实际问题中发现概率的规律，从而培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了概率的基本概念，对概率有一定的认识。

但学生对频率与概率之间的关系可能还不够清晰，需要通过实例来进一步理解和掌握。

此外，学生可能对如何从实际问题中提出概率模型并运用频率估计概率还存在一定的困难。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解频率与概率的概念，掌握频率与概率之间的关系，学会如何运用频率估计概率。

2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生从实际问题中提出概率模型的能力，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识和交流表达能力。

四. 说教学重难点1.重点：频率与概率的概念，频率与概率之间的关系。

2.难点：如何从实际问题中提出概率模型并运用频率估计概率。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，通过实例和动画演示帮助学生直观地理解频率与概率的概念和关系。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的实例，引导学生思考频率与概率之间的关系。

2.讲解概念：介绍频率与概率的定义，并通过实例帮助学生理解这两个概念。

3.分析关系：引导学生分析频率与概率之间的关系，让学生明白频率是概率的近似值。

4.应用实例：通过具体的实例，让学生学会如何从实际问题中提出概率模型并运用频率估计概率。

5.总结提高：让学生总结本节课的主要内容和收获，提高学生对频率与概率的理解和应用能力。

七. 说板书设计板书设计主要包括频率与概率的定义、频率与概率之间的关系以及如何从实际问题中提出概率模型并运用频率估计概率的步骤。

初中数学知识点：频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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浅谈频率和概率的关系作者：周颜萍来源：《初中生世界·八年级》2014年第04期在学习的过程中，同学们对于概率知识并不陌生，因为我们从小学就开始体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，并能计算一些简单事件发生的可能性. 进入初中以后，我们在具体情景中开始了解概率的意义，初步了解频率与概率的关系. 但是多数同学只记住了用列举法求随机事件的概率，甚至相当一部分同学认为随机事件都是等可能事件，以为解决概率问题都可以套公式计算. 另外，同学们往往只知道用随机事件发生的频率估算概率，并不清楚频率和概率之间的区别. 下面我们就一起来看看频率和概率之间到底有什么关系吧！在多次随机试验中，随着试验次数的增加，如果事件A出现的频率稳定于某个常数q，并且0≤q≤1，则在数学上我们定义事件A的概率为 p，记作P（A）=q，称之为概率的统计定义. 概率的统计定义提供了一个具体值，并且在试验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值，这是概率统计定义最有价值的地方. 由于教材的限制以及初中生的认知水平等原因，理解概率的统计定义是一个难点，如下问题很值得我们探究：①定义中说到的存在“某个常数”到底是一个怎样的数？②能够求出这个常数吗？③既然存在着这个常数，为什么又要求这个常数的近似值呢？④定义中的“稳定于”该怎样去理解呢？要解决上述问题，首先必须了解概率的统计定义的基本内容和其中的一些关键词语，充分理解概率的统计概念的内涵.1. 频率稳定于概率是对大量的试验而言的概率论里研究的随机试验，可以在相同条件下重复进行，如果某个试验只能进行一次，那么某一事件A要么肯定会发生，要么就不会不发生，在这样的条件下得出的结果根本无随机性可言，更谈不上发生的可能性的大小了. 事实上，频率稳定于概率这个结论是针对大量的试验而言的. 如果在试验次数不多的前提下，用频率来估计概率是不太合适的. 例如，只做了10次抛掷均匀硬币的试验，其中有7次正面朝上，就认为正面朝上的概率大约为0.7，其误差就较大了，所以频率稳定于概率是对大量的实验而言的.2. 频率与概率既有密切的联系，又有本质的区别由于概率是通过大量重复试验统计的，所以在利用概率思想进行决策时，会产生理解上的困难. 因此，只有深刻理解概率与频率的关系以及概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义.（1）概率是随机事件的本质属性，完全决定于事件的本身，是先于试验而客观存在的，它不会随着试验次数的增加而发生变化. 如抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率是0.5，与做多少次试验无关.（2）频率是个随机变化的数值，在开始试验之前是不能确定的，事件发生的频率反映在n次重复试验中，试验结果和总的试验次数n有关，即重复试验的总次数n不同，结果（频率）可能不同，而且即使重复试验的次数n相同，事件出现的次数k也可能不同，结果（频率）也就可能不同. 频率是一个随着试验次数的增加可能发生变化的统计量.（3）在大量的重复试验中，事件发生的频率会趋近于概率. 在实际问题中，通常在某随机事件概率未知的前提下，我们正是通过多次重复试验，求得随机事件的频率，并用它来估计随机事件发生的概率.（4）事件发生的频率客观上能够体现事件概率的含义，即在多次重复试验中，一个事件发生的频率越大，说明在一次试验中该事件发生的可能性越大；如果重复试验中事件发生的频率越小，说明该事件再一次试验发生的可能性越小. 反过来，事件发生的概率也应该体现在事件的频率上，即事件的概率越大，在重复试验中，该事件发生得越频繁，频率也越大；同样如果事件A的概率较小，它在重复试验中的频率也较小. 这说明概率的现实意义是可以用频率来解释的，它能帮助人们做出合理的决策，但这并不意味着可以用频率来代替概率.（5）尽管某个事件发生的概率较大，也就是说该事件发生的可能性较大，但是，在一次或几次试验中该事件也可能不发生. 同样，尽管某个事件的概率较小，但是在一次试验中该事件也可能发生. 这正是事件的随机性与概率的确定性的区别. 概率只是一种理论上的推断事件发生可能性的大小，并不是真实发生的结果，如在购买彩票的过程中，购买一张彩票中特等奖的概率很小，但不意味着就一定不会中奖.3. “稳定于”的实际意义频率“靠近”概率是可以直接观察到的一种客观现象，而通过实践又可以证实，概率很接近1的事件在一次试验中几乎一定会发生，这就是为什么可以“用频率估计概率”的理由.4. 定义中的“常数”本质是一种理论上的推断概率实际上是频率的科学抽象. 在概率的统计定义中，只说到存在“某个常数”，并没有说到如何求这个常数，即求概率值. 无论是谁去抛一枚均匀的硬币，在试验次数很大时，正面朝上的频率，都会在常数0.5附近摆动. 在大量的实验结果中，正面朝上和反面朝上的比例约为1∶1，古今中外的多次随机实验的结果中，这一比值大致相同，这个结果是不会以人的意志为转移的. 这些事实让我们相信，事件发生的概率是客观存在的. 但无论是根据概率的统计定义或公理化定义，我们都是在承认事件发生的概率是客观存在的前提下进行的. 因此，随机事件的概率本质上是以大量随机试验为基础，然后在此基础上的一种理论上的推断，也就是说概率实际是频率在理论上的一种期望值，这个理论上的期望值，严格来说是无法通过具体试验精确地确定的，即使重复试验的次数再多也不能做到，因此我们只能由此粗略地确定一个近似值. 当然，当试验次数很大时，我们可以得到比较接近准确值的“近似值”，而在实践中，较高精度的近似值可以帮助我们来进行判断和分析.5. 实验次数越多，频率就会越接近概率的说法不一定正确用频率估计概率，有人认为“试验次数越多，用频率估计概率就越准确”. 这样的叙述严密吗？极端特例：掷一枚硬币两次，得到正面朝上的频率为0.5，而掷1 000次硬币，理论上仍有可能得到频率为1. 说明“试验次数越大，估计就越准确”，这样的表述不严密.随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验中呈现出的固有规律，我们称之为随机现象的统计规律. 因而在一般情形下，观察与试验是认识随机现象和发现与解决概率问题的一种有效方法.（作者单位：江苏省常州钟楼实验中学）。

随机事件的概率教学目标：通过试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，由此给出概率的统计定义．教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．教学难点：理解频率与概率的关系．教学过程：[设置情景]1名数学家＝10个师在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大．美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比较容易掌握它．而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点．随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件．[探索研究]1．随机事件下列哪些是随机事件？（1）导体通电时发热；（2）某人射击一次，中靶；（3）抛一石块，下落；（4）在常温下，铁熔化；（5）抛一枚硬币，正面朝上；（6）在标准大气压下且温度低于时，冰融化．由学生回答，然后教师归纳：必然事件、不可能事件、随机事件的概念．可让学生再分别举一些例子．2．随机事件的概率由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性．但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定的规律性．下面由学生做试验得出随机事件的频率，试验过程如下： 做抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时 哪一个面朝上第一步：全班同学做10次掷硬币试验，记录正面向上的次数和比例． 思考：试验结果与其他同学比较，你的结果和他们一致吗？为什么? 第二步：由组长把本小组同学的试验结果统计一下，填入下表．思考：与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例一致吗？为什么？ 第三步：用横轴为实验结果，仅取两个值：1（正面）和0（反面），纵轴为实验结果出现的频率，画出你个人和所在小组的条形图，并进行比较，发现什么？第四步：把全班实验结果收集起来，也用条形图表示.第五步：请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性． 结论：随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复实验后，随着次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上．思考：这个条形图有什么特点？如果同学们重复一次上面的实验，全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表 组次试验总次数正面朝上总次数正面朝上的比例我们可以看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数，在它左右摆动．概率的定义：对于给定的随机事件A ，如果随着实验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．对于概率的统计定义，注意以下几点：（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件的概率； （3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； （4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此()10≤≤A P ． 3．例题分析例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？（1）若c b a 、、都是实数，则()()c ab bc a =； （2）没有空气，动物也能生存下去； （3）在标准大气压下，水在温度时沸腾； （4）直线()1+=x k y 过定点()0,1-； （5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．（由学生口答，答案：（1）（4）是必然事件；（2）（3）是不可能事件；（5）（6）是随机事件．）例2对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：（1）计算表中优等品的各个频率；（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？（由一名学生板演后，教师纠正）解：（1）各次优等品的概率为，，，，，（2）优等品的概率是．4．课堂练习（1）某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：（I）计算表中击中靶心的各个频率；（II）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？（由一名学生板演后，教师讲解）（2）问答：（I）试举出两个必然事件和不可能事件的实例；（II）不可能事件的概率为什么是0？（III）必然事件的概率为什么是1？（IV）随机事件的概率为什么是小于1的正数？它是否可能为负数？[参考答案](1)解：（I）击中靶心的各个频率依次是：，，，，，（II）这个射手击中靶心的概率约为．(2)略．5．总结提炼(1)随机事件的概念在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(2)随机事件的概率的统计定义(3)概率的范围：()1 0≤≤AP．。

《频率与概率》学历案（第一课时）一、学习主题学习主题：探索概率的内涵——频率与概率的关联与差异。

二、学习目标1. 知识与理解：掌握频率与概率的基本概念，理解它们之间的联系与区别。

2. 技能与应用：通过实例分析，学会运用频率估计概率的方法。

3. 情感态度与价值观：培养严谨的数学思维，形成对概率的理性认识。

三、评价任务1. 概念理解评价：通过课堂提问和小组讨论，评价学生对频率与概率概念的理解程度。

2. 知识应用评价：通过完成课后作业，评价学生运用频率估计概率的能力。

3. 思维发展评价：通过学生的课堂表现和作业质量，评价其数学思维的发展情况。

四、学习过程1. 导入新课（5分钟）通过生活中的实例（如抛硬币、抽卡片等）引出频率与概率的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 概念讲解（10分钟）（1）讲解频率的定义：在相同条件下，进行大量重复试验时，某一事件发生的次数与总次数之比。

（2）讲解概率的定义：描述随机事件发生可能性的大小。

（3）对比频率与概率的联系与区别，强调频率是经验性的，而概率是理论性的。

3. 实例分析（10分钟）（1）分析一组实际数据，计算其中某一事件的频率，并估算其概率。

（2）引导学生讨论频率与概率的关联，理解频率可以用于估计概率。

4. 探究活动（10分钟）（1）分组进行抛硬币实验，记录正反面出现的次数，计算频率并估算概率。

（2）小组内交流实验结果，讨论实验中遇到的问题及解决方法。

5. 课堂小结（5分钟）总结频率与概率的概念及关系，强调运用频率估计概率的方法和注意事项。

五、检测与作业1. 课堂检测：完成一组关于频率与概率的练习题，检测学生对概念的理解和运用能力。

2. 课后作业：收集一组实际数据（如某段时间内某地的天气情况），计算其中某一事件的频率并估算其概率。

要求学生写出分析过程和结果，并思考频率与概率的关系。

六、学后反思1. 教师反思：总结教学过程中学生的表现及反馈，分析教学效果，调整教学方法和策略。

概率初步知识点1、事件类型（1）确定事件（a）必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然发生的事件。

如：太阳从东方升起；若a、b、c均为实数，则a(bc) = (ab)c。

（b）不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件。

如：没有水分种子也能发芽。

（2）随机事件：在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

如：掷一次硬币正面朝上。

注意：（a）事件分为确定事件与不确定事件（随机事件）。

确定事件又分为必然事件与不可能事件。

（b）事件一般用英文大写字母A、B、C、…表示。

2、事件的概率（probability）（1）事件的概率：对于一个，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。

（2）必然事件发生的概率为1，即P(必然事件) = 1。

（3）不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件) = 0。

（4）如果A为随机事件，那么0 < P(A) < 1。

当事件发生的可能性越来越小时，P(A)接近0；当事件发生的可能性越来越大时，P(A)接近1。

（5）对于任意事件A，有0()1P A≤≤。

3、频率（frequency）：事件实际发生次数与可能发生次数的比率。

设在相同条件下，独立重复进行n次试验，事件A出现f 次，则事件A出现的频率为fn。

如：掷均匀硬币的试验。

注意：前提是在一定的条件下重复进行试验。

注意：频率与概率的关系（1）频率总是围绕概率上下波动；（2）样本量n越大，波动幅度越小，频率越接近概率；（3）随着实验次数增至足够大，频率逐渐稳定于某一常数附近，则该常数为概率。

4、古典概型：一种概率模型。

如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A中包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为()mP An。

如：掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率。

注意：古典概型与频率的区别。

5、几何概型：一种概率模型。

苏科版八年级下册数学第8章认识概率含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、小明抛一枚质地均匀的硬币，连续抛3次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第4次，那么硬币正面朝上的概率为( )A.1B.C.D.2、中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。

参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会。

某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是( )A. B. C. D.3、关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）.A.频率等于概率；B.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近；C.当实验次数很大时，概率稳定在频率附近；D.实验得到的频率与概率不可能相等4、有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A. B. C. D.5、“打开电视，正在播广告”这一事件是（）A.必然事件B.确定事件C.不可能事件D.随机事件6、为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下:组别（cm) x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180人数 5 38 42 15根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A.0.85B.0.57C.0.42D.0.157、掷一枚均匀的骰子（正方体），骰子的每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，则3的倍数朝上的概率为（）A. B. C. D.8、四张完全相同的卡片上，分别画有圆、正方形、等边三角形和线段，现从中随机抽取两张，卡片上画的恰好都是中心对称图形的概率为（）A.1B.C.D.9、下列事件中，属于确定事件的是（）A.打开电视，正在播广告B.投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于6 C.射击运动员射击一次，命中10环 D.在一个只装有红球的袋中摸出白球10、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（）A.连续抛掷2次必有1次正面朝上B.连续抛掷10次不可能都正面朝上 C.大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次 D.通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的11、下列说法错误的是（）A.通过平移或旋转得到的图形与原图形全等B.“对顶角相等”的逆命题是真命题C.圆内接正六边形的边长等于半径D.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件12、下列事件中，必然事件是（）A.抛物线y=ax 2的开口向上B.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C.任意一个一元二次方程都有实数根D.三角形三个内角的和等于18013、下列事件是必然事件的是（）A.打开电视机，正在播放动画片B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C.过三点画一个圆 D.任意画一个三角形，其内角和是180°14、在一个不透明的口袋中，装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A. B. C.1 D.15、下列事件中，是必然事件是( )A.一个星期有9天B.小红在元月调考中，数学会获得满分120分C.今天是星期一，明天是星期二D.明天武汉市一定下雨二、填空题(共10题，共计30分)16、在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有________个.17、在一个不透明的纸箱内放有除颜色外无其他差别的2个红球，8个黄球和10个白球，从中随机摸出一个球为黄球的概率是________．18、我们知道π约为3.14159265359，在这串数字中，任挑一个数是5的可能性为________．19、一个箱子里装有10个除颜色外都相同的球，其中有1个红球，3个黑球，6个绿球．随机地从这个箱子里摸出一个球，摸出绿球的可能性是________20、下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数n 100 150 300 500 800 1000投中次数m 60 96 174 302 484 602投中频率0.600 0.640 0.580 0.604 0.605 0.602估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为________．21、为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验.经过统计发现共抛掷次啤酒瓶盖，凸面向上的次数为次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为________(结果精确到)22、从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．23、下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°．其中是随机事件的是 ________．（填序号）24、小明参加“一站到底”节目，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．从概率的角度分析，你建议小明在第________题使用“求助”．25、一副扑g牌有52张(不含大小王),分为黑桃、红心、方块及梅花4种花色,每种花色各有13张,分别标有字母A,K ,Q,J和数字10,9,8,7,6,5,4,3,2.从这副牌中任意抽出一张，则这张牌是标有字母的牌的概率是________三、解答题(共6题，共计25分)26、现有九张背面一模一样的扑g牌，正面分别为：红桃A、红桃2、红桃3、红桃4、黑桃A、黑桃2、黑桃3、黑桃4、黑桃5．（1）现将这九张扑g牌混合均匀后背面朝上放置，若从中摸出一张，求正面写有数字3的概率是多少？（2）现将这九张扑g牌分成红桃和黑桃两部分后背面朝上放置，并将红桃正面数字记作m，黑桃正面数字记作n，若从黑桃和红桃中各任意摸一张，求关于x 的方程mx2+3x+=0有实根的概率．（用列表法或画树形图法解，A代表数字1）27、某校对初三学生进行物理、化学实验操作能力测试．物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理实验分别用①、②、③表示，化学实验分别用a、b、c表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．王刚同学对物理的①、②号实验和化学的b、c号实验准备得较好．请用画树状图（或列表）的方法，求王刚同学同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．28、王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：朝上的点数 1 2 3 4 5 6出现的次数 2 5 6 4 10 3（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．29、“五一”假日期间，某网店为了促销，设计了一种抽奖送积分活动，在该网店网页上显示如图所示的圆形转盘，转盘被均等的分成四份，四个扇形上分别标有“谢谢惠顾”、“10分”、“20分”、“40分”字样．参与抽奖的顾客只需用鼠标点击转盘，指针就会在转动的过程中随机的停在某个扇形区域，指针指向扇形上的积分就是顾客获得的奖励积分，凡是在活动期间下单的顾客，均可获得两次抽奖机会，求两次抽奖顾客获得的总积分不低于30分的概率．30、甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率：（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；（2）随机选取2名同学，其中有乙同学．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B4、C5、D6、D7、B8、C9、D10、D11、B12、D13、D14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共6题，共计25分)26、28、29、30、。