21 最大似然估计(李子奈高级应用计量经济学)

李子奈-计量经济学分章习题与答案第一章导论一、名词解释1、截面数据2、时间序列数据3、虚变量数据4、内生变量与外生变量二、单项选择题1、同一统计指标按时间顺序记录的数据序列称为（）A 、横截面数据B 、虚变量数据C 、时间序列数据D 、平行数据2、样本数据的质量问题，可以概括为完整性、准确性、可比性和（）A 、时效性B 、一致性C 、广泛性D 、系统性3、有人采用全国大中型煤炭企业的截面数据，估计生产函数模型，然后用该模型预测未来煤炭行业的产出量，这是违反了数据的哪一条原则。

（） A 、一致性 B 、准确性 C 、可比性 D 、完整性4、判断模型参数估计量的符号、大小、相互之间关系的合理性属于什么检验？（）A 、经济意义检验B 、统计检验C 、计量经济学检验D 、模型的预测检验5、对下列模型进行经济意义检验，哪一个模型通常被认为没有实际价值？（）A 、i C （消费）5000.8i I =+（收入）B 、di Q （商品需求）100.8i I =+（收入）0.9i P +（价格）C 、si Q （商品供给）200.75i P =+（价格）D 、i Y （产出量）0.60.65i K =（资本）0.4i L （劳动）6、设M 为货币需求量，Y 为收入水平，r 为利率，流动性偏好函数为012M Y r βββμ=+++，1?β和2β分别为1β、2β的估计值，根据经济理论有（） A 、1β应为正值，2β应为负值 B 、1?β应为正值，2β应为正值 C 、1?β应为负值，2?β应为负值 D 、1?β应为负值，2?β应为正值三、填空题1、在经济变量之间的关系中，因果关系、相互影响关系最重要，是计量经济分析的重点。

2、从观察单位和时点的角度看，经济数据可分为时间序列数据、截面数据、面板数据。

3、根据包含的方程的数量以及是否反映经济变量与时间变量的关系，经济模型可分为时间序列模型、单方程模型、联立方程模型。

四、简答题1、计量经济学与经济理论、统计学、数学的联系是什么？2、模型的检验包括哪几个方面？具体含义是什么？五、计算分析题1、下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？（1）t S =112.0+0.12t R ,其中t S 为第t 年农村居民储蓄增加额（单位：亿元），t R 为第t 年城镇居民可支配收入总额（单位：亿元）。

最大似然估计与参数的点估计最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, 简称MLE)是一种常用的统计推断方法，被广泛应用于各个领域中的参数估计问题。

通过选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值，来估计未知参数。

在本文中，将介绍最大似然估计的原理和方法，并探讨参数的点估计。

一、最大似然估计的原理和方法最大似然估计的原理是基于概率论的思想和假设。

对于一个概率分布已知的模型，假设其参数为θ，观测到的样本为x。

最大似然估计的目标是找到一个最优的参数值θ^，使得在该参数值下，样本观测值x出现的概率最大。

我们可以通过以下步骤来求解最大似然估计：1. 建立概率模型：根据问题的具体情况，选择适当的概率分布模型，并对参数进行定义。

2. 构建似然函数：将观测样本的联合概率密度函数或者联合概率质量函数看作是参数θ的函数，记为L(θ|x)。

3. 求解最大似然估计：寻找使得似然函数取得最大值的参数θ^。

通常我们可以通过求解似然函数的导数为0的方程，或者对似然函数取对数后求解极值问题来找到最大似然估计。

最大似然估计具有很好的性质，包括可一致性、渐近正态性和高效性等。

它在统计推断中被广泛应用于参数的估计。

二、参数的点估计在最大似然估计中，通过寻找使得似然函数取得最大值的参数θ^，我们得到了参数的点估计。

点估计是指通过样本数据直接得到的对未知参数的估计。

对于最大似然估计，参数的点估计即为使得似然函数取得最大值时对应的参数值。

通过最大似然估计求得的参数估计值通常具有良好的统计性质，如一致性、渐近正态性等。

需要注意的是，最大似然估计得到的是一个点估计值，即对参数的一个具体估计。

在真实情况下，我们并不知道参数的真实值，所以通过点估计得到的估计值存在一定的误差。

三、总结最大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值，来估计未知参数。

通过建立概率模型、构建似然函数以及求解最大似然估计，我们可以得到参数的点估计。

最大似然估计的原理及应用1. 原理概述最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是统计学中一种常见的参数估计方法，通过寻找使观测数据发生的概率最大化的参数值，来估计未知参数的方法。

其基本原理是在给定观测数据的条件下，选择参数值使得似然函数（或对数似然函数）最大。

2. 最大似然估计的步骤最大似然估计的步骤可以总结为以下几点：1.建立概率模型：根据观测数据的特点，选择合适的概率分布模型，如高斯分布、泊松分布等。

2.构建似然函数：将观测数据与参数构成的概率模型相结合，得到关于参数的似然函数。

3.对似然函数取对数：通常对似然函数取对数，方便计算和推导。

4.求导并解方程：对似然函数取导数，并解方程找到使似然函数最大化的参数值。

5.参数估计：得到使似然函数最大化的参数值，作为对未知参数的估计。

3. 最大似然估计的优点最大似然估计具有以下几个优点：•简单易用：只需要建立合适的概率模型，并求解似然函数的最大值，无需额外的假设或先验知识。

•有效性：在样本量充足的情况下，最大似然估计能够产生高质量的参数估计结果。

•渐进无偏性：在样本量趋于无穷的情况下，最大似然估计的结果具有无偏性。

4. 最大似然估计的应用4.1. 二项分布的参数估计二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述n次独立的二元试验中成功次数的概率分布。

最大似然估计可以用来估计二项分布的参数。

假设我们观测到了一系列成功次数的数据，我们可以建立一个二项分布模型，并使用最大似然估计来确定二项分布的参数，如成功概率p。

4.2. 正态分布的参数估计正态分布是一种常见的连续概率分布，具有对称性和钟形曲线特点。

最大似然估计可以用来估计正态分布的参数，包括均值和方差。

假设我们观测到一组服从正态分布的数据，我们可以建立正态分布模型，并使用最大似然估计来确定正态分布的参数，如均值和方差。

4.3. 泊松分布的参数估计泊松分布是一种常见的离散概率分布，用于描述单位时间内独立事件发生次数的概率分布。

最大似然估计(Maximum likelihood estimation)(通过例子理解)之前看书上的一直不理解到底什么是似然，最后还是查了好几篇文章后才明白，现在我来总结一下吧，要想看懂最大似然估计，首先我们要理解什么是似然，不然对我来说不理解似然，我就一直在困惑最大似然估计到底要求的是个什么东西，而那个未知数θ到底是个什么东西TT似然与概率在统计学中，似然函数（likelihood function，通常简写为likelihood，似然）是一个非常重要的内容，在非正式场合似然和概率（Probability）几乎是一对同义词，但是在统计学中似然和概率却是两个不同的概念。

概率是在特定环境下某件事情发生的可能性，也就是结果没有产生之前依据环境所对应的参数来预测某件事情发生的可能性，比如抛硬币，抛之前我们不知道最后是哪一面朝上，但是根据硬币的性质我们可以推测任何一面朝上的可能性均为50%，这个概率只有在抛硬币之前才是有意义的，抛完硬币后的结果便是确定的；而似然刚好相反，是在确定的结果下去推测产生这个结果的可能环境（参数），还是抛硬币的例子，假设我们随机抛掷一枚硬币1,000次，结果500次人头朝上，500次数字朝上（实际情况一般不会这么理想，这里只是举个例子），我们很容易判断这是一枚标准的硬币，两面朝上的概率均为50%，这个过程就是我们根据结果来判断这个事情本身的性质（参数），也就是似然。

结果和参数相互对应的时候，似然和概率在数值上是相等的，如果用θ 表示环境对应的参数，x 表示结果，那么概率可以表示为：P(x|θ)P(x|θ)是条件概率的表示方法，θ是前置条件，理解为在θ 的前提下，事件 x 发生的概率，相对应的似然可以表示为：理解为已知结果为 x ，参数为θ (似然函数里θ 是变量，这里## 标题 ##说的参数是相对与概率而言的)对应的概率，即：需要说明的是两者在数值上相等，但是意义并不相同，是关于θ 的函数，而 P 则是关于 x 的函数，两者从不同的角度描述一件事情。

最大似然估计计算公式
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过寻找最大化给定数据集的概率来估计参数的值。

在统计学中，我们经常面对未知参数的情况，而最大似然估计提供了一种有效的方法来估计这些参数。

在最大似然估计中，我们假设数据是从一个特定的概率分布中抽取的，并且我们希望找到使得这个数据集出现的概率最大的参数值。

换句话说，最大似然估计就是在给定数据集的情况下，寻找最有可能产生这个数据集的参数值。

举个例子来说，假设我们有一个硬币，我们不知道它是正面朝上的概率是多少。

我们可以进行一系列的抛硬币实验，然后利用这些实验的结果来估计这个概率。

最大似然估计就是通过最大化观测到的数据集出现的概率，来估计这个硬币正面朝上的概率。

在实际应用中，最大似然估计通常会涉及到一些复杂的数学计算，但是其基本思想是非常直观的。

通过找到使得观测数据出现概率最大的参数值，我们可以得到对未知参数的估计，从而对数据进行分析和预测。

最大似然估计在统计学中有着广泛的应用，比如在线性回归、逻辑回归、朴素贝叶斯分类器等模型中都会用到最大似然估计来估计参数。

它不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也被广泛采用。

总的来说，最大似然估计是一种重要的参数估计方法，通过最大化观测数据的出现概率来估计参数的值。

它在统计学中有着广泛的应用，是数据分析和模型建立中不可或缺的一部分。

通过深入理解最大似然估计的原理和应用，我们可以更好地理解数据背后的规律，从而做出更准确的预测和决策。

参数估计中的常用公式总结参数估计是统计学中重要的一部分，用于通过样本数据对总体参数进行估计。

在参数估计中，有一些常用的公式被广泛应用。

本文将总结这些常用的参数估计公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。

一、最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是一种常见的参数估计方法，用于通过最大化似然函数来估计参数。

在最大似然估计中，常用的参数估计公式如下：1. 似然函数（Likelihood Function）:似然函数L(θ)定义为给定参数θ下的样本观测值的联合概率密度函数或概率质量函数。

在连续型分布的情况下，似然函数可以表示为：L(θ) = f(x₁; θ) * f(x₂; θ) * ... * f(xₙ; θ)其中x₁, x₂, ..., xₙ为样本观测值。

2. 对数似然函数（Log-Likelihood Function）:对数似然函数l(θ)定义为似然函数的对数：l(θ) = log(L(θ))3. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）:最大似然估计通过最大化对数似然函数l(θ)来估计参数θ，常用的公式为：θ̂= argmaxₐ l(θ)其中θ̂表示参数的最大似然估计值。

二、最小二乘估计（Least Squares Estimation）最小二乘估计是一种常见的参数估计方法，用于对线性回归模型中的参数进行估计。

在最小二乘估计中，常用的参数估计公式如下：1. 残差平方和（Sum of Squares of Residuals）:残差平方和定义为观测值与回归直线（或曲线）之间的差异的平方和。

最小二乘法通过最小化残差平方和来估计参数。

2. 最小二乘估计（Least Squares Estimation）:最小二乘估计通过最小化残差平方和来估计参数。

对于简单线性回归模型，估计参数b₀和b₁的公式分别为：b₁ = Σ((xᵢ - x)(yᵢ - ȳ)) / Σ((xᵢ - x)²)b₀ = ȳ - b₁x其中xᵢ为自变量的观测值，yᵢ为因变量的观测值，x和ȳ分别为自变量和因变量的样本均值。

最大似然估计公式了解最大似然估计的计算公式最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是概率统计学中常用的一种参数估计方法，旨在通过大量观测数据，根据最有可能（最大似然）导致观测结果发生的参数值，来估计未知参数的值。

在概率模型中，假设数据服从某一分布，而最大似然估计能够找出使得观测数据出现概率最大的参数值。

一、最大似然估计的基本概念最大似然估计的基本思想是通过选择合适的参数值，使得观测数据出现的概率最大化。

在给定观测数据和参数模型的前提下，我们可以通过最大化似然函数来获得最可信的参数估计。

似然函数（Likelihood Function）是指在给定某个参数值的条件下，观测数据出现的可能性。

似然函数的计算公式如下：L(θ|x) = f(x|θ)其中，L代表似然函数，θ代表参数值，x代表观测数据。

f(x|θ)表示基于参数θ的概率密度函数或概率质量函数。

似然函数的求解就是寻找使得给定观测数据出现概率最大的参数值。

二、最大似然估计的计算公式在进行最大似然估计时，我们通常需要计算似然函数的极大值点。

为了简化计算，我们常使用对数似然函数（Log-Likelihood Function）来替代似然函数。

对数似然函数的计算公式如下：ln L(θ|x) = Σ ln f(xi|θ)其中，ln表示自然对数，Σ表示求和运算。

ln L(θ|x)表示对数似然函数，xi表示第i个观测数据。

利用对数似然函数，最大似然估计的目标就是寻找使得对数似然函数最大的参数估计值。

为了找到使对数似然函数最大的参数值，我们需要采用数值优化的方法，例如梯度下降法或牛顿法等。

三、最大似然估计的应用最大似然估计广泛应用于各个领域的数据建模和参数估计中。

以下是最大似然估计在常见概率模型中的应用实例：1. 二项分布：最大似然估计可以用于估计二项分布的参数p，即成功的概率。

在伯努利试验或二项试验中，成功与失败的结果按独立的概率p和1-p发生。

01计量经济学概述Chapter计量经济学定义与发展计量经济学定义计量经济学发展计量经济学研究对象与方法研究对象研究方法与经济学的关系计量经济学是经济学的一个分支，它运用数学和统计学工具对经济学理论进行实证分析和验证。

与统计学的关系计量经济学与统计学密切相关，统计学为计量经济学提供了数据处理和分析的方法。

与数学的关系计量经济学运用大量的数学工具，如微积分、线性代数、概率论与数理统计等，对经济现象进行定量分析和建模。

计量经济学与其他学科关系02经典线性回归模型Chapter模型设定与参数估计模型的统计性质模型的检验与诊断模型设定与参数估计模型的统计性质多重共线性问题回归模型检验与诊断模型的拟合优度01模型的显著性检验02模型的异方差性检验0303广义线性模型与非线性模型Chapter广义线性模型介绍定义链接函数应用定义非线性模型是指响应变量与预测变量之间呈现非线性关系的统计模型。

在这类模型中，响应变量不能通过预测变量的线性组合来准确预测。

建立非线性模型的方法有很多种，包括多项式回归、支持向量机、神经网络等。

这些方法在处理复杂的非线性关系时具有较高的灵活性。

非线性模型在处理实际问题时具有广泛的应用，如金融时间序列分析、图像处理、自然语言处理等。

例如，在金融领域，可以利用非线性模型对股票价格进行预测和分析。

建模方法应用非线性模型介绍模型选择与比较模型选择模型比较注意事项04时间序列分析及应用Chapter时间序列基本概念及性质时间序列定义01时间序列构成要素02时间序列性质03时间序列平稳性检验与处理平稳性定义非平稳时间序列处理平稳性检验方法01020304预测方法预测模型评估时间序列预测模型应用领域时间序列预测方法及应用05面板数据分析及应用Chapter面板数据基本概念及类型面板数据定义指包含若干个截面个体成员在一段时间内的样本数据集合，其每一个成员都有多个观测值。

面板数据类型根据对截面和时间序列的不同限制，面板数据可分为平衡面板数据和非平衡面板数据。

最大似然估计算法最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)是一种常用的参数估计方法，广泛应用于统计学和机器学习领域。

它基于概率论的理论基础，通过寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值，来估计未知的参数。

1.定义似然函数：假设观测数据是从一个概率分布中生成的，我们需要定义一个参数化的概率分布，并将数据带入概率分布中。

这个概率分布通常是一个概率密度函数(对连续变量)或概率质量函数(对离散变量)。

2.建立似然函数：将观测数据的概率密度函数(或概率质量函数)表达式，带入参数化概率分布中，得到关于参数的函数。

这个函数称为似然函数。

3.计算似然函数的对数：为了方便计算和分析，通常会计算似然函数的对数，这样可以将乘积转化为求和，且便于计算导数。

4.极大化似然函数：通过求解似然函数的极值问题，找到使得似然函数取得最大值时的参数值，这个参数值称为最大似然估计量，通常用θ^表示。

5.参数估计：得到最大似然估计量后，我们就可以用它来估计未知参数的值。

最大似然估计的重要性在于它具有很好的统计性质，例如一致性和渐近正态性。

一致性指的是当样本量趋近于无穷时，最大似然估计量会以概率1收敛到真实参数值。

渐近正态性则是指当样本量足够大时，最大似然估计量的分布近似服从高斯分布。

这些性质使得最大似然估计成为了一种广泛使用的参数估计方法。

最大似然估计在实际应用中有很多应用，例如线性回归、逻辑回归和混合高斯模型等。

最大似然估计也可以通过解析解或者数值优化的方法来求解。

对于简单的问题，通常可以通过求导数等条件来解析求解，而对于复杂的问题，通常需要借助数值优化算法。

总结起来，最大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过最大化观测数据出现的概率来估计未知参数。

它具有良好的统计性质并广泛应用于统计学和机器学习领域。

最大似然估计原理
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）
是一种参数估计方法，常用于统计学和机器学习领域。

它的基本原理是在给定观测数据的情况下，找到使得观测数据出现的概率最大的参数值。

具体而言，最大似然估计的步骤如下：
1. 建立概率模型：首先根据问题的特点和假设，建立合适的概率模型。

常见的概率分布模型包括正态分布、泊松分布、伯努利分布等。

2. 构造似然函数：利用建立的概率模型，将观测数据代入，并将数据看作是从该概率模型中独立、同分布地产生的。

然后，构造似然函数，即将多个样本数据发生的概率乘起来，形成一个参数的函数。

3. 最大化似然函数：为了找到参数的最优解，我们需要通过最大化似然函数来确定参数值。

通常使用对数似然函数进行运算，因为对数函数具有单调性，可以简化计算。

4. 计算估计值：通过求解对数似然函数的导数为0的方程，或通过优化算法（如牛顿法、梯度下降法），找到似然函数的最大值点。

该点的参数值即为最大似然估计值。

最大似然估计在实际应用中具有广泛的应用，例如用于线性回归、逻辑回归、马尔可夫链蒙特卡洛等模型的参数估计。

它的
核心思想是基于样本数据出现的概率最大化，通过最大似然估计可以获得参数的合理估计值，从而实现对未知参数的估计。

计量经济学模型的各种检验经济意义检验：检验求得的经济模型的参数估计值的符号和大小是否符合经验和经济理论。

统计检验：检验参数估计值的可靠性，包括拟合优度检验、回归效果的检验。

拟合优度检验反映了解释变量的变化可以解释被解释变量R^2%的变动；回归效果的检验主要检验方程显著性、解释变量是否对被解释变量具有显著性影响。

计量经济学检验：包括随机干扰项的异方差性、序列相关性，解释变量的多重共线性，模型设定的偏误性检验。

模型的预测检验：检验模型参数估计量的稳定性及其在样本量变化时的灵敏度。

一元线性回归模型普通最小二乘估计(ordinary least squares，OLS)：使用OLS方法需要满足的假设有：对于随机干扰项，零均值、同方差、无序列相关性、服从正态分布；对于解释变量，应具有非随机性、如果是随机的不能与随机干扰项相关、各解释变量间不存在线性相关性。

最大似然估计=最大或然估计(maximum likelihood，ML)拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合程度，其统计量是可决系数R2，R2直接由回归结果给出。

但是R2只是比较模糊的推测，不能给出严格的统计结论。

变量的显著性检验：考察解释变量是否对被解释变量有显著的线性影响，假设参数为0。

使用t统计量检验，可以直接依据回归结果给出的P值判断(P＜α时显著)。

在一元回归中，变量的显著性检验与方程总体线性的显著性检验一致，因为只有一个解释变量。

参数的置信区间：Eviews5中，函数C(1)返回系数参数的估计值，C(2)返回截距参数的估计值，分别等于Eviews5输出结果中的Coefficient。

置信度95%的置信区间的上下限为C(i)±@stderrs(i)*@qtdist(0.975, n-2)(i=1，2)，其中@stderrs(i)(standard errors)为第i 个解释变量的标准误差，等于Eviews5输出结果中的Std. Error；@stderrs(i)*@qtdist(0.975, n-2)(i=1，2)为估计误差。