循环小数计算
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1 循环小数的计算
1.17的“秘密”
10.1428577，20.2857147，30.4285717,…, 60.8571427
2.推导以下算式
⑴10.19；1240.129933；123410.123999333；12340.12349999；
⑵121110.129090；12312370.123900300；123412311110.123490009000；
⑶ 1234126110.123499004950；123411370.123499901110
以0.1234为例，推导1234126110.123499004950．
设0.1234A，将等式两边都乘以100，得：10012.34A；
再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A，
两式相减得：10000100123412AA，所以12341261199004950A．
3.循环小数化分数结论
纯循环小数 混循环小数
分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与
不循环部分数字所组成的数的差
分母 n个9，其中n等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧
·0.9aa； ··0.99abab； ··10.09910990ababab； ··0.990abcaabc，……
例题精讲
模块一、循环小数的认识
【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)
【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】第六届，希望杯，1试
【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.80524102007
【答案】l.80524102007
【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因 2 此一定是0.1998，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998，而次大数为0.1998，于是得到不等式：0.19980.19980.19980.1998
【答案】0.19980.19980.19980.1998
【例 2】 真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a是多少?
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 1=0.1428577， 27=0.285714，37=0.428571，47=0.571428，57=0.714285， 67=0.857142．因此，真分数7a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427a，即6a．
【答案】6a
【巩固】 真分数7a化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a是多少？
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们知道形如7a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857和一个不完整142857组成。 903912457833421，而21276，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为67，所以6a。
【答案】6a
【巩固】 真分数7a化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a是多少？
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们知道形如7a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345，因此只需判断当a为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a。
【答案】3a
【巩固】 （2009年学而思杯4年级第6题）67所得的小数，小数点后的第2009位数字是 ．
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 60.8571428571427……6个数一循环，20096336……3，是7
【答案】7
【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2003年，第1届小希望杯4年级
【解析】 0.6+0.06+0.006+……=0.6=6293=2002÷3003
【答案】3003
【例 4】 下面有四个算式： 3 ①0.6+0.....1330.733;
②0.625=58；
③514+32=35142=816=12；
④337×415=1425；
其中正确的算式是（ ）.
（A）①和② (B) ②和④ (C) ②和③ (D) ①和④
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】2009年，第十四届，华杯赛，初赛
【解析】 对题中的四个算式依次进行检验：
① 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确；
② 0.625=58是正确的；
③ 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过32﹥12即可判断出其不正确；
④ 337×145=247×215=725=2145，所以④不正确。
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B。
【答案】B
【例 5】 在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第一届，华杯赛，初赛
【解析】 小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281。
【答案】2.718281
【例 6】 将12化成小数等于0.5，是个有限小数；将111化成小数等于0.090…，简记为0.09，是纯循环小数；将16化成小数等于0.1666……，简记为0.16，是混循环小数。现在将2004个分数12，13，14，…，12005化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【解析】 凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.
【答案】801
模块二、循环小数计算
【例 7】 计算：0.30.030.003（结果写成分数形式）
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试 4 【解析】 原式11189330300300。
【答案】89300
【巩固】 计算：0．3+0．3=_____(结果写成分数)。
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，一试
【解析】 原式=311910330
【答案】1930
【巩固】 请将算式0.10.010.001的结果写成最简分数．
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】第三届，华杯赛，初赛
【解析】 原式11110010111137990900900900300.
【答案】37300
【例 8】 计算: 2.0042.008（结果用最简分数表示）
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2004年，第9届，华杯赛，总决赛，一试
【解析】 原式＝481804200636188249047065606224900999900999899100224775224775
【答案】56064224775
【例 9】 将4255.4250.6350.63999的积写成小数形式是____.
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，初赛
【解析】 59994250.63425341465.4250.6350.633.41809999999990
【答案】3.4180
【例 10】 计算：0.010.120.230.340.780.89
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 方法一：0.010.120.230.340.780.89
1121232343787898909090909090
11121317181909090909090= 2162.490
