第二章超声波电机的驱动原理本章从压电陶瓷的特性出发，系统地叙述了超声波电机中压电陶瓷的压电效应和逆压电效应，并对其相关的参数进行了系统的讨论。
本章还将几何分析法和弹性动力分析法相结合，分析了定子表面质点的椭圆运动的形成，论述了行波型超声波电机的运行机理，为行波型超声波电机的建模、设计制作、实验研究以及驱动电源和控制系统的研究提供必要的理论指导。
2.1 压电效应与压电陶瓷[21-25]压电陶瓷作为超声波电机能量转换的媒介，它起着为超声波电机提供驱动力的重要作用，如同人体的心脏一样。
因此，研究超声波电机就必须对压电材料特性有深入的认识和了解，才能掌握超声波电机的运行机理并能正确地选择和使用压电材料。
在研究超声波电机的驱动机理前，首先从压电陶瓷与普通陶瓷的最重要的区别——压电效应开始。
2.1.1 压电效应压电效应（Piezoelectric Effect）早在1880年，法国的两位科学家——居里（Curie）兄弟，在研究石英晶体的物理性质时，发现了一种特殊的现象，这就是若按某种方位从石英晶体上切割下一片薄晶片，在其表面上敷上电极，当沿着晶片的某些方向施加作用力而使晶片产生变形后，会在两个电极表面上出现等量的正、负电荷。
电荷的面密度与施加的作用力的大小成正比；作用力撤销后，电荷也就消失了。
这种由于机械力的作用而使晶体表面出现电荷的现象，称为正压电效应，如图2-1所示。
后来人们又在其它一些晶体上进行了类似的实验，发现有许多晶体都具有这种现象。
这些具有压电效应的晶体统称为压电晶体。
发现正压电效应的第二年，也就是1881年，由李普曼在理论上预言，由居里兄弟在实验上证实了另一种物理现象：将压电晶体置于外电场中，由于电场的作用，会使图2-1 正压电效应示意图图2-2 逆压电效应示意图（实线代表变形前的情况，虚线代表变形后的情况）压电晶体发生形变，而形变的大小与外电场的大小成正比，电场撤除后，形变也消失。
这种由于电场的作用而使压电晶体产生形变的现象，称为逆压电效应，如图2-2所示。
实验证明，凡具有正压电效应的晶体，也一定具有逆压电效应，二者一一对应。
正压电效应和逆压电效应统称为压电效应。
通过压电效应，把力学量（应力T和应变S）与电学量（电场强度E和电位移D或极化强度P）互相联系在一起，这称为机电耦合。
压电陶瓷可以看作是无规取向（图2-3（a））的微晶群。
由于这种无规取向和微晶中的畴结构，烧结后的陶瓷体（从宏观尺度来看）是各向同性的，同时也不呈现压电效应。
压电陶瓷通过极化处理可以在任意选择的极性方向上产生压电性，这种极化要在略低于居里点的温度下，将陶瓷置于强电场之中进行。
金属电极通常被敷在材料的表面，电压加在两电极之间。
如果陶瓷体在电场方向伸长。
由于微晶的无规取向和晶体内偶极子只能有某些允许的方向这一事实，因此，用电场作用来达到理想的偶极子排列（图2-3（b））是不可能的。
但是，在每个微晶内允许有几个方向，因此，用电场有可能获得适当程度的取向排列。
在产品冷却并除去极化电场后，偶极子不容易回转到原来位置，这种现象被称为陶瓷材料的剩余极化。
这时陶瓷体就变成了永久性的压电体，可将机械能转换为电能，或将电能转换为机械能。
因此，极化处理对于这类材料是很必要的，通常这是最后一道工序。
图2-3 压电材料中（畴的）电偶极子（a）极化前（b）极化后（理想状态）图2-4说明了压电陶瓷圆柱体的压电效应。
为了清楚起见，已将该效应放大。
图2-4（a）表示在空载条件下的圆柱体，如果加上一个外力使材料产生压缩或伸张应变时，产生的形变就引起偶极矩变化，结果便在电极之间出现电压。
如果机械应力使陶瓷体恢复到原来形态、即极化前的形态（图2-4（b）），量得的电压极性就将与极化电压的极性相同。
当机械应力反向时，电极上的电压也将反向（图2-4 （c））。
如果将与极化电压极性相反的电压加到电极上，圆柱体就会缩短（图2-4（d））。
若外加电压的极性与极化电压的极性相同，圆柱体就将伸长（图2-4（e））。
当加上交流电压时，圆柱体就将交替地伸长和缩短（图2-4（f））。
由此可见，压电效应是晶体在机械力的作用下发生形变而引起带电粒子的相对位移（偏离平衡位置），从而使得晶体的总电矩发生变化而造成的。
晶体是否具有压电性，是由晶体的结构性这个内因所制约的。
具有对称中心的晶体永远不可能具有压电性。
图2-4 在一个压电陶瓷圆柱体上的压电效应（为清楚起见，只示出一个偶极子）2.1.2 压电方程在机电复合作用的情况下，得到同时有一个力学参量T或S和一个电学参量E或D为自变量的压电陶瓷机电耦合效应的方程式，称为压电方程。
压电材料的压电特性是机械量和电学量相互转化的表现，必然有内在的、本质的联系。
常用的压电线性静态方程就是描述这种本构关系的。
所谓静态是指等温条件，且振动元件的工作状态假定为绝热过程；线性指一定条件下压电关系是线性或近似线性的。
为了实用上的简便，当讨论压电材料的压电方程时，忽略磁场的影响。
压电材料属于电介质，在电场作用下，可以引起电介质中带电粒子的相对位移而发生极化。
在电场作用下未受应力的压电材料的电学条件可由两个参量来确定——电场强度E和电位移D，其关系为E=(2-1)Dε式中，ε为压电材料的介电常数。
压电晶体也具有一般弹性体的弹性行为。
在零电场强度下的机械条件由两个机械参量确定——所加的应力T和应变S，其关系为sTS=(2-2) 式中，s表示压电材料的柔顺系数。
压电性包括了介质的电性能和机械性能之间的相互作用。
这种相互作用可以非常近似地用两个电和机械变量之间的线性关系来描述。
E dT D dET s S T E ε+=+= (2-3)式(2-3)即为压电陶瓷的压电方程，自变量的选择（一个机械变量T 和一个电变量E ）是任意的。
以上给出的一对压电方程式相当于一组自变量的特殊选择。
用同样的方法能够得到下列方程式：gDT s S DgT E D T +=+-=ε (2-4)hDS c T DhS E D S -=+-=ε (2-5)eE S c T EeS D E S -=+=ε (2-6)在这些方程式中，g d s s S T E 和,,,,D εε是主要的实用常数，因而对它们有必要作进一步的解释。
符号的上标表示该参数在边界条件下保持常数。
例如，如果将电极短路，通过压电体的电场就保持常数，用上标E 表示，若将电极开路，则电位移就保持常数，并用上标D 来表示。
因此，E s s ,D 分别是恒定电荷密度和恒定电场时的特殊弹性柔顺系数（应变与应力之比）。
S T εε,则分别为恒定应力和恒定应变下的介电常数（电位移与电场强度之比）。
由式（2-3）和（2-4）可得出：有两种方法来定义压电（应变）常数d 和g ，即d 既可由S 和E 的商，也可由D 和T 的商来定义；同样地，g 也可由另外两个商来定义（见表2-1）。
表达式（2-5）和（2-6）中的E D c c 和是弹性劲度（应力与应变之比），h 和e 是压电（应力）常数，在实际中很少应用，这里就不做详细介绍了。
经过以上分析，压电晶体的本构关系就可一般描述为式（2-3）或（2-4）的形式。
利用这些表达式，结合电学、力学原理就可在理论上找到解决设计压电超声波电机时涉及压电特性的一些问题。
2.1.3 压电陶瓷2.1.3.1 压电陶瓷材料具有压电性能的晶体称为压电晶体。
常用的具有压电效应的单晶体主要是石英。
1947年，罗伯兹（Roberts ）发现在BaTiO 3陶瓷上施加高直流电压，便呈现强的压电效应，撤除电压之后，仍持续显示这种效应。
以发现BaTiO 3为开端的铁电体研究在物理学上引起了极大的关注，为压电陶瓷的应用揭开了序幕。
目前超声波电机常用的压电材料是PZT 系列的压电陶瓷，属于多晶体，化学式是Pb(Zr-Ti)O 3，是由美国的贾菲（Jaffe ）等人发现的PbZrO 3-PbTiO 3二元系固溶体，其机电耦合常数接近BaTiO 3陶瓷的一倍，约达50%。
PZT 陶瓷的出现反映了压电材料发展的一个新水平，如在约10毫米厚的元件上加机械压力，就可能产生一万伏以上的高电压。
若在PZT 上加入微量的添加物或置换元素进行改性后，具有高机电耦合系数、高机械品质因数和高稳定性等各种特性，在使用温度范围内没有相变点，温度特性相当稳定，有较高的居里点，更适合于在超声波电机上的应用。
压电陶瓷性能的好坏是影响超声波电机性能好坏的重要因素之一。
而压电陶瓷性能的好坏，又与它的制造工艺密切相关。
压电陶瓷的制造工艺和一般电子陶瓷的工艺类似，但也有它本身的特殊性。
由于压电陶瓷中含有大量的铅氧化物，所以防止铅在高温下的挥发是一个重要问题。
压电陶瓷工艺中最重要的是预烧（合成）、烧结（致密化）和人工极化这三个关键工序。
2.1.3.2 压电陶瓷的主要性能参数描述压电陶瓷的压电性能主要是用一些参数来表示的，下面就介绍一些在设计超声波电机中需要用到的主要的参数。
1、介电损耗和电学品质因数压电材料是电介质，如果在电介质电极板两端作用交流电压，介质所积蓄的电荷有两种分量：一种为有功部分（电压与电荷同相），另一种为无功部分（电压与电荷异相）。
有功部分就是产生能量损耗，并由此变为热能。
这种损耗称之为介电损耗。
产生介电损耗的原因比较复杂，其中一个原因是由极化迟滞造成的。
极化迟滞是指电介质突然受到静电场的作用时，往往要经过一段时间，极化强度才能达到其稳态最终值的现象；这种现象是由于介质中电畴取向极化和空间电荷极化造成。
介质在交变电场作用下，迟滞现象使极化追随不及而产生滞后，从而产生介电损耗。
损耗系数通常用损耗角δ的正切值δtan 来表示，其定义为异相分量和同相分量的比值，这个关系可用图2-5清楚地表示。
如图2-5所示，如果工作频率远低于谐振频率，并且没有介电损耗，一个陶瓷晶片的电学性能如同一个电容器，通常称为静态电容0C ；当有介质损耗时，在电路中多了一介质损耗电阻，用d R 表示。
这样，压电陶瓷片的交变作用下，介质中电流包括两部分，第一个分量与电压同相，是电流的有功分量，第二个分量比电压超前2π，是电流的无功分量。
矢量图解见图2-5。
φ表示总电流与电场的相位差 ，δ是φ的余角，称作介质无功损耗角。
R I 表示消耗电能使介质发热的有功电流分量，C I 为流向静电容0C 的纯电容部分的电流。
δtan 就可由两个电流分量之比来表示dC R R C I I 01tan ωδ== (2-7) 另外还可定义δtan 的倒数为介质的电学品质因数e Qd e R C Q 0tan 1ωδ== (2-8) δtan 是判别压电材料性能好坏和选择应用于超声波电机上的材料的另一个重要依据。
δtan 越小，则材料性能越好，超声波电机本身的功率损耗也就越小；另外由于介电损耗与温度、电场强度以及交变电场的频率有关，因而介质损耗δtan 与这些物理量有关。
