数学期末复习提纲
- 格式：doc
- 大小：190.50 KB
- 文档页数：8
高等数学上册复习提纲
1 / 8
复习提纲
第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）
第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式 也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习 5、曲率公式 曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法 （注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章： 定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面）
具体内容
函数收敛 比如函数的极限是a,那么我们可以叫他为函数收敛于a 性质 如果函数收敛 那么极限唯一。如果函数收敛它一定有界 （有界是指函数定义域存在一个数使得函数值的绝对值大于等于这个数）。
绕口令： 函数有界是函数收敛的必要条件（因为可能极限不存在）
证明极限的方法
1求函数极限的方法 定义证明 设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时， |Xn - a|
2利用左右极限 左右极限存在并相等。
3利用极限存在准则一、单调有界准则，如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。
二、夹逼准则，如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
4利用两个重要极限1）x->0时，sinx/x=1 2）x->无穷时，(1+1/x)^x=e x趋近0的时候
5极限的运算法则。
6等价无穷小代换 sinx~x tanx~x sinx~x 1-cosx~1/2x^2 ln(1+x)~x arctanx~x
e^x-1~x arcsinx~x (1+x)^1/2-1~1/2x (1+px)^a~apx 都是在x趋近于0的时候
无穷小的比较
设与为x在同一变化过程中的两个无穷小，
若0lim，就说是比高阶的无穷小，记为)(o；
若lim，，就说是比低阶的无穷小；
若0limC，，就说是比同阶的无穷小；
若0limCa上边有个K 就说就说是关于a的k介无穷小 高等数学上册复习提纲
2 / 8
若1lim，就说与是等价无穷小，记为~。
函数的连续性与间断点
1续的判断 某点的极限存在且等于该点的函数值。初等函数在其定义域中都连续。初等函数指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。导数存在
间断点 第一类间断点 左右极限都存在 左右极限都相等为可去间断点 左右极限存在且不相等为跳跃间断点
第二类间断点 左右极限至少有一个不存在的间断点。
第二章 导数与微分
导数
1 导数的运算法则，导数存在左右导数都存在，反之亦然。连续函数可导，可导的函数不一定连续。
2 反函数的导数等于函数导数的倒数。
3 参数方程求导（很抽象指导P45上边表示一介导数后边表示关于x的二阶导数dt是中间量）
4 隐函数的求导 在讨论当y是由方程0,yxF所确定的x的函数，并且y对x可导（即xy存在），那么在不解出y的情况下，如何求导数y呢？其办法是在方程0,yxF中，把y看成x的函数xyy，于是方程可看成关于x的恒等式:0,xyxF.在等式两端同时对x求导（左端要用到复合 数的求导法则），然后解出 y 即可。
5 幂函数求导 对数求导 充分利用对数简化运算。
6 高阶导数 拉布尼茨公式详见后公式表
微分
1 微分与导数的区别 对于一元函数y=f(x)而言，导数和微分没什么差别。导数的几何意义是曲线y=f(x)的瞬时变化率，即切线斜率。微分是指函数因变量的增量和自变量增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x)，这里可以把自变量x看成是关于自身的函数y=x，那么△x=△y,所以微分另一种说法叫微商，dy/dx是两个变量的比值。一般来说，dy/dx=y'。
对于多元函数，如二元函数z=f(x,y)而言，导数变成了关于某个变量的偏导数。此时，微分符号dz/dx是个整体，不能拆开理解。而且，有个重要区别，可导不一定可微。即可导是可微的必要非充分条件。但是，有定理，若偏导数连续则函数可微。具体看全微分与偏导数有关章节。
导数的定义是：当自变量的变化趋于零时，函数值的变化与自变量的变化的比值的极限。因而导数可以理解为“函数的微分与自变量的微分之商”（这里“函数值的变化、自变量的变化”分别理解为“函数的微分、自变量的微分”）。课本P119
2 微分的近似值运算 课本P119
第三章 中值定理与导数应用
1 中值定理 罗尔定理如果函数f(x)满足：①在[a,b]上连续，②在(a,b)内可导③f(a)=f(b)， 则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0. 高等数学上册复习提纲
3 / 8 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()())(()()(
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+…+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
2 洛比达法则(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
* 对于0乘无穷 无穷减无穷 0^0 1的无穷次方 无穷的0次方 ，先化为0比0型 无穷比无穷型的然后再用洛比达法则进行计算。
！ 注意 运用洛比达法则，如果极限中含有当x~无穷时sinx cosx x~0时 sin1/x cos1/x不能运用洛比达法则。
3 函数凹凸性 判断 函数在定义域里连续且二阶可导。如果二阶导数大于零为凹函数，反之为凸函数
拐点 两端二阶导数异号为拐点（驻点和拐点的区别驻点是一阶导数为0的点，拐点是二阶导数为0的点 驻点可以划分函数的单调区间，即在驻点处的单调性可能改变 而在拐点处则是凹凸性可能改变 ）
曲率 详细见公式表
不等式的证明 1 利用函数凹凸性 2利用函数的最大值最小值证明 3利用函数的单调性证明。
第四章 不定积分
1 原函数 F(x)=f(x)’ F(x)是f(x)的原函数。
2 不定积分的性质 a函数的不定积分的微分等于函数的微分 b导数的不定积分等于原函数加C c两个函数加减的不定积分等于两个函数不定积分的和差。
3 求不定积分的方法 第一换元积分法 也叫凑微分法基本思想就是通过凑微分，把不定积分换成能利用积分基本公式的形式。最好看一下学习指导P170。
第二换元积分法 基本思想通过变量代换消去被积函数中的根式化成比较容易计算的积分。
当根式中含有a^2-x^2 令x=asint或者x=accost
当根式中含有a^2+x^2 令 x=atant或者 x=acott
当根式中含有x^2- a^2 令 x=asect或者 x=acsct 高等数学上册复习提纲
4 / 8
对于被记函数含有多个高次根式时，我可以令dx为所有根式最小公倍数次方.
分部求不定积分vduuvdvu对于基本函数混杂的函数我们把它看成u的顺序分别为反三角 对数函数 幂函数 指数函数
三角函数
高等数学公式
导数公式：
1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10.y=arccosx
y'=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^2 12.y=arccotxb y'=1/1+x^2
基本积分表：基本积分表
1、ckxkdx 2、caxdxxaa11
3、cxdxxln1 4、cxdxxarctan112
5、cxdxxarcsin112 6、cxxdxsincos
7、cxxdxcossin 8、cxxdxdxxtanseccos122
9、cxxdxdxxcotcscsin122
10、cxxdxxsectansec 11、cxxdxxcsccotcsc
