2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}3B x x =>，则A B = .2．直线10x y +-=的倾斜角是．3．已知i 34i z ⋅=-+，则z =.4．双曲线22179y x -=的渐近线方程是.5．已知ABC V 的角A 、B 、C 对应边长分别为a 、b 、c ，4a =，5b =，6c =，则sin A =6．已知二项式5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为15，则a =.7．已知实数a 、b 满足24a b +=，则224a b +的最小值为.8．幂函数y x α=中，α的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C =.9．数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=+，若19270k k k a a a +++++= ，则k =.10．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆AOC 和半圆BOD 的直径均为2.8米，平面AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD ，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为立方米.（精确到0.1立方米）11．已知10ω>，20ω>，12()2sin cos f x x x ωω=，2()2cos g x x ω=，函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，其中5π4是这两个函数共同的零点，4π3是其中一个函数的零点，则12ωω+=.12．若三个正整数a ，b ，c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a ，b ，c ）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足10a b c <<<的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、单选题13．给出下列两个命题：1p ：设直线a 不在平面α上，若直线a 与平面α不平行，则平面α上不存在与a 平行的直线；2p ：设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α上，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分不必要条件.则（）A ．1p 是真命题，2p 是假命题B ．1p 是真命题，2p 是真命题C ．1p 是假命题，2p 是真命题D ．1p 是假命题，2p 是假命题14．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则m =（）A ．14B ．15C ．16D ．1715．在等比数列{}n a 中，1401a a <<=，则能使不等式12121110nn a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数n 是（）A ．5B ．6C ．7D ．816．定义：若抛物线的顶点，抛物线与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线1:3l y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，一组抛物线的顶点()()()1122331,,2,,3,B y B y B y ，(),n n B n y ⋯（n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()()1122,0,,0A x A x ，()()3311,0,,0n n A x A x ++⋯（n 为正整数）．若1(01)x d d =<<，当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712三、解答题17．已知()sin cos f x x x ωω=+，0ω>，(1)若2ω=，求函数()y f x =，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域；(2)已知0a >，且函数()y f x =的最小正周期为π，若函数π6y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]π,a 上恰有3个零点，求实数a 的取值范围.18．已知四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB BC a ==，3AD a =，2DE PE a ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥.(1)若F 是PD 中点，证明：//CF 平面PBE ；(2)若AB ⊥平面PED ，求二面角A PD C --的大小.19．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x 3025y 10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数；(3)若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.20．如图所示，由椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>和椭圆22222:1(0)y x C b t b t+=>>组合而成的曲线Γ，由图形特点，这里称曲线Γ为“猫眼曲线”.特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”.(1)已知猫眼曲线Γ满足a ，b ，t 成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；(2)在曲线Γ中，若2a =，b =，1t =，斜率为(0)k k ≠的直线l 不经过坐标原点，且l 与椭圆1C 相交所得弦的中点为M ，与椭圆2C 相交所得弦的中点为N ，证明：直线OM ，ON 的斜率之比OMONk k 为定值；(3)在（2）的条件下，若直线l的斜率k l 与椭圆2C 相切，与椭圆1C 相交于A ，B 两点，Q 为椭圆1C 上异于A ，B 的任意一点，求ABQ 面积的最大值.21．已知3221()132f x x ax =-+，a ∈R .(1)若()y f x =是区间(0,1)上的严格减函数，是区间(1,3)上的严格增函数，求a 的值；(2)若函数()y f x =在区间[1,3]上的最大值不大于1，求a 的取值范围；(3)记()(())g x f f x =，证明：当103a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()y g x =有且仅有三个零点.。

高一上学期10月月考试题数学含答案山西大学附中2022-2022学年高一第一学期10月（总第一次）模块诊断数学试题考试时间:80分钟总分100分考查范围:集合函数不等式一．填空题（每小题4分，共40分）1．设集合A1,3，集合B1,2,4,5，则集合AB＝(B．{1}D．{2,3,4,5})A．{1,3,1,2,4,5}C．{1,2,3,4,5}2w某c.833200/2．若A1,4,某,B1,某且BA，则某（)A．2B．2或-2C．0或2D．0或2或-23．下列集合A到B的对应中，不能构成映射的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④4.设全集U是实数集R，M某某2，N某1某3，则如图所示阴影部分所表示的集合是（）A．{某|2某1}B．{某|2某2}C．{某|1某2}D．{某|某2}5.已知f(某)UNM（某6）某5，，则f(3)=（）.（某6）f(某2)，2A．5B.4C．3D.26．已知f某1某4某5，则f某的表达式是（）2222A.某6某B.某8某7C.某2某3D.某6某107．若函数y某2a1某1在区间,2上是减函数，则实数a的取值范围是（）2A.8.3,B.23C.,23,D.23,2下列四个函数：①y某1；②y域与值域相同的是()4某216某；③y某21；④y2，其中定义某A．①②③B．①②④C．②③D．②③④9．设集合M{某|某k1k2,kZ}，N{某|某,kZ}，则（）3663A．MNB．MNC．NMD．MN2（-2，0）10.已知函数f(某1)的定义域为，则函数g(某)f()f(某1)某1的定义某2域是()（-1，0）A．-1,0B．C．D．某2某（-2，2）二．填空题（每小题4分，共16分）11．函数y2且某01的值域是.某2212．设A,B是非空集合，定义AB某|某AB且某AB．已知集合A某|0某2，By|y0，则AB＝.13.函数f(某)某22某3的单调增区间是.，则集合A中有0个元素；14.有下列四个命题：①已知A②函数y某（某1或某1)的值域为yy2或y2；③不等式某1某3a2对任意实数某恒成立，则a2；④不等式某22某10的解集是某某1某1.2其中正确命题的序号是．三．解答题：（共44分）15．（本题10分）设A某Z某6，B1,2,3,C3,4,5,6，求：（1）ABC；（2）CA(BC).16.（本题10分）求下列函数的定义域：（1）f(某)17．（本题12分）已知集合A某a1某a，集合B某1某2.（1）若AB，求a的取值范围；（2）若C某1m某m,CB，求实数m的取值范围.18．（本题12分）已知二次函数f某满足f某1f某2某1，且f215.某23某410（2）f(某)(2某1)1某12某1（1）求函数f某的解析式；（2）令g某22m某f某，求函数g某在某0,2上的最小值.山西大学附中2022-2022学年高一第一学期10月（总第一次）模块诊断数学试题评分细则一、选择题（4某10=40分）1C2D3A4C5D6A7B8B9B10D二、填空题（4某4=16分）11.0，12.某某0或某213.3,14.③三、解答题（共44分）15.解析：A6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6（1）又BC3…………3分…………5分…………1分12ABC6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6（2）又BC1,2,3,4,5,6…………7分得CABC6,5,4,3,2,1,0…………10分2某3某4016.解析：（1）要使函数有意义，只需…………2分某120某1或某4…………4分某1且某3某1或某4且某3所以定义域为某某1或某4且某3…………5分110（2）要使函数有意义，只需某1…………7分2某101某01…………9分某2-1某0且某12所以定义域为某-1某0且某…………10分217.解析：（1）a-1或a3.（2）C{某/1某2},…………5分1①当C时，满足要求，此时1mm，得m1;21m2，由①②得，21mm②当C时，要C{某/1某2}，则{1m1，解得m2m2，实数m的取值范围,2.218.解析：（1）设二次函数f某a某b某c（a0），…………12分…………1分则f某1f某a某1b某1ca某2b某c2a某ab2某1…2分∴2a2，ab1，∴a1，b2又f215，∴c15.…………5分∴f某某2某15222…………………4分…………6分（2）∵f某某2某15∴g某22m某f某某2m某15.2g某某22m某15，某0,2，对称轴某m，…………8分当m2时，g某ming244m154m11；…………9分当m0时，g某ming015；…………10分22当0m2时，g某mingmm2m15m152…………11分综上所述，g某min4m11,m2{15,m0…………12分m215,0m2。

上海市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一上·林芝期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·吴忠期中) 下列式子正确的是（）.① ②③ 且④ 且A . ①③B . ②④C . ①④D . ②③4. （2分）已知函数f（x）=a2﹣x（a＞0且a≠1），当x＞2时，f（x）＞1，则f（x）在R上（）A . 是增函数B . 是减函数C . 当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数D . 当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数5. （2分） (2016高一下·随州期末) f（x）= ，则f（f（﹣1））等于（）A . ﹣2B . 2C . ﹣4D . 46. （2分）已知2m＞2n ，则m，n的大小关系为（）A . m＞nB . m≥nC . m＜nD . m≤n7. （2分） (2018高一上·会泽期中) 计算：的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·番禺期中) 函数是上的减函数，则的取值范围是（）A . （0，1）B .C .D .9. （2分）已知函数的值域为C，则（）A .B .C .D .10. （2分）若函数f（x）是一次函数，且f（f（x））=4x﹣1，则f（x）=（）A . 2x﹣B . 2x﹣1C . ﹣2x+1D . 2x﹣或﹣2x+111. （2分） (2017高三上·济宁开学考) 已知函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，若f（3）=2，则f（2017）=（）A . 2B . ﹣2C . 4D . 112. （2分） (2019高二上·双流期中) 焦点在x轴上的椭圆的离心率e= ，F ， A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为（）A . 4B . 6C . 8D . 10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知函数且，则实数 ________．14. （1分） (2019高三上·台州期末) 已知则 ________；不等式的解集为________．15. （1分） (2016高一上·江阴期中) 已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围________．16. （1分） (2019高二下·萨尔图期末) 某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分）(2019高一上·东至期中) 已知全集，集合，，．（1）求；（2）若，求实数的值．18. （15分）(2018·曲靖模拟) 已知数，其中为自然对数底数（1）讨论函数的单调性；（2）若a＞0，函数对任意的都成立，求a＋b的最大值.19. （5分） (2016高一上·济南期中) 解答题（1）若f（x+1）=2x2+1，求f（x）的表达式；（2）若函数f（x）= ，f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，求f（x）的表达式．20. （5分） (2019高一上·包头月考) 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．21. （10分） (2019高一上·赤峰月考) 已知函数， .（1）解方程；（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（3）若不等式对恒成立，求m的取值范围.22. （15分）(2018·张家口期中) 已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）若对于∀x∈（0，+∞）都有成立，试求m的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣n﹣3．当m＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1 ， e]上有两个零点，求实数n的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

上海大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考诊断测试数学试题一、填空题1．若复数1i z a =-+（i 为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a 的值为2．不等式11x <的解集为．3．将sin αα化为()sin (0,02π)A A αϕϕ+><<的形式4．棱长为2的正方体的内切球表面积为．5．若函数2()4f x x x a =-++，[0,3]x ∈，若()f x 的最小值为2，则a =6．函数3()13f x =-在1x =处的切线倾斜角是.7．若81x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为.8．若数列{}n a 是各项为正数的等差数列，且391a a +=，则5724a a +的最小值为9．把1,2,3,4,5这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有个10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第一象限交于点P .且OP 在2OF 上的投影为235OF ，则双曲线C 的离心率为11．平面点集()()(){}22,cos sin 16,R x y x y θθθ-+-=∈所构成区域的面积为12．已知函数()cos f x x =，若对任意实数12x x 、，方程()()()()()12R f x f x f x f x m m -+-=∈有解，方程()()()()()12R f x f x f x f x n n ---=∈也有解，则m n +的取值集合为二、单选题13．若,,a b c R ∈，a b >则下列不等式成立的是（）A ．11a b <B ．22a b <C ．a c b c >D ．2211a b c c >++14．函数()2ln x f x x =+，正确的命题是（）A ．定义域为RB ．值域为(0,)+∞C ．在定义域上是严格增函数D ．()f x 有两个不同的零点15．下列四个命题中，真命题的个数为（）①若事件A 和B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋃=⋅；②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数x ，则其平均数和方差都会发生变化；③“0a b ⋅> ”是“a 和b 的夹角为锐角”的必要非充分条件；④函数()y f x =满足()()22f x f x -=，则该函数为奇函数或偶函数；A ．0B ．1C ．2D ．316．若非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m ，则记()ΔX M m =-.下列命题中正确的是（）A ．已知{}{}1,1,0,X Y b =-=，且()()ΔΔX Y =，则2b =B ．已知()()[]{},1,1X x f x g x x =≥∈-，若()Δ2X =，则对任意[]1,1x ∈-，都有()()f xg x ≥C ．已知[],2X a a =+，{}2,Y y y x x X ==∈，则存在实数a ，使得()Δ1Y <D ．已知[],2X a a =+，[],3Y b b =+，则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得()Δ3X Y ⋃=三、解答题17．已知集合()(){}210A x x x =+-<，{}21B x x =+≥(1)求A B ⋂；(2)若不等式22(21)0x a x a a -+++>在集合A 上恒成立，求a 的取值范围.18．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一动点.(1)求证：平面PAC ⊥平面BDE ；(2)当E 为PC 中点时，求点A 到平面BDE 的距离.19．设函数221()1ax f x x -=+，且()()110f x f x x ⎛⎫+=-≠ ⎪⎝⎭.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于x 的不等式()11021f x f x ⎛⎫++< ⎪-⎝⎭20．已知1A 、2A 分别是椭圆22:142x y C +=的左、右顶点，过1A 作两条互相垂直的直线1A M 、1A N ，分别交椭圆C 于M 、N 两点.(1)求当12A MA 面积最大时直线的1A M 斜率；(2)若直线2A M 与1A N 交于点P ，直线2A N 与1A M 交于点Q ①求直线PQ 的方程；②记1MNA 、1PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的最大值.21．已知函数(1)()ln 1k x f x x x -=-+.(1)若0k >，求函数()y f x =的极值；(2)①当1x >时，()0f x >恒成立，求正整数k 的最大值；②证明：3(2)1(112)(123)[1(1)]e n n n n -++⨯+⨯++>。

高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．集合且，且，则____．{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z A B = 【答案】{0,1,2}【分析】根据题意先求出集合的具体取值，然后利用交集的定义即可求解.,A B 【详解】因为集合且，且，{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z 则，且且，{0,1,2}A =2{|9B x x =≤}{|33x x x ∈=-≤≤Z }x ∈Z 所以，{3,2,1,0,1,2,3}B =---则有，{0,1,2}A B ⋂=故答案为：.{0,1,2}2．已知集合，且，则实数的取值范围为____．{|2},{|}A x x B x x a =≤=≥A B = R a 【答案】2a ≤【分析】数形结合，即可得到答案. 【详解】根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.A B = R a 22a ≤故答案为：.2a ≤3．已知方程的两根为，，则______.230x x +-=1x 2x 12x x -=【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由0∆>12x x +12x x 12x x -=即可求值.【详解】由题设知：，2Δ141(3)130=-⨯⨯-=>∴，，121x x +=-123x x =-∴12x x -===4．已知正实数满足及，则中至少有一128，，， a a a 12820a a a +++= 12812⋅⋅⋅= a a a 128，，， a a a 个小于1，用反证法证明该命题时，第一步是假设结论不成立，则____． 128，，， a a a 【答案】都不小于1【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，写出答案即可.【详解】至少有一个小于1的否定是都不小于1.故答案为：都不小于15．已知条件，，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为:211p k x k -≤≤-:33q x -≤<_________．【答案】(,2]-∞-【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．k 【详解】∴，[)[]3,321,1k k -⊆--∴，解得， 32131k k -≥-⎧⎨≤-⎩2k ≤-故答案为：．(],2-∞-【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q q p （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；p q p q （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．p q q p 6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+,,a b c a b c -+=【答案】1-【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令可得答案.0x =【详解】法一：，222231(1)(1)(2)x x a x b x c ax b a x a b c --=-+-+=+-+-+所以；1a b c -+=-法二：在中，令得.22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+0x =1a b c -+=-故答案为：1-7．已知集合，，则____． |0,R 1x A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭{}21,R B y y x x ==+∈A B = 【答案】(1,)+∞【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集.A {|1}B y y =≥【详解】等价与，解得：或， 01x x ≥-()1010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩1x >0x ≤故或，{|0A x x =≤1}x >又，故，211y x =+≥{|1}B y y =≥所以．(1,)A B ⋂=+∞故答案为：.(1,)+∞8．已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________． ,a ∈R x 2104x x a a ++-+=a 【答案】 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实x 根，那么即，而，从而，解得114()04a a ∆=--+≥1144a a -+≤11244a a a -+≤-11244a -≤． 104a ≤≤ 9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____|3|4x b -<b 【答案】(5,7)【详解】由得 |3|4x b -<4433b b x -+<<由整数有且仅有1，2，3知，解得 40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩57b <<10．定义集合运算，集合，则集合所(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ {}{}0,1,2,3A B ==A B 有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得，进而可得结果.0,6,12=z 【详解】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18故答案为：1811．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若2{|360M m x mx =∈+-=Z }A A M ⊆，则，则所有这样的集合的个数为____．a A ∈a A -∈A 【答案】31【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目2{|360M m x mx =∈+-=Z }M 信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集A M A 合，即可求解.A 【详解】因为的整数解只能是36的约数，2360x mx +-=当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；1-35m =-2-16m =-当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；3-9m =-4-5m =-当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；6-0m =36-35m =当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；18-16m =312-9m =当方程的解为，时，；49-5m =故集合{35,16,9,5,0,5,9,16,35}M =----由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，A A M ⊆a A ∈a A -∈即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，M A A 得这样的集合共有个，52131-=故答案为：.3112．已知集合，其中，，且{}230123|777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯{}0,1,,6(0,1,2,3)i a i ∈⋅⋅⋅=30a ≠．若正整数m 、n ∈A ，且m+n=2 010(m>n)，则符合条件的正整数m 有_______个．【答案】662【详解】依题意，知m 、n 是七进制中的四位数，而七进制四位数中最大的一个数为，最小的一个数为.3267676762400⨯+⨯+⨯+=317343⨯=因为m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合条件的正整数m 有1667-1006+1=662(个).二、单选题13．若集合中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）{},,M a b c =A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，{},,M a b c =ABC 则，所以一定不是等腰三角形．a b c ≠≠ABC 故选：D ．14．设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中0123,,},{S A A A A =S :i j k A A A ⊕⊕=k i j +，则满足关系式的的个数为（ ）,0,1,2,3i j =20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.S 【详解】当时，0x A =20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，1x A =2112220()()x x A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=当时，2x A =22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，3x A =23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式的的个数为2个，20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈故选：C ．15．已知，则满足关于的方程的充要条件是A ．B ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≤-C ． D ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≤-【答案】C【详解】试题分析：满足关于的方程，则， 0ax b =220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-则处取得函数最小值，函数为二次函数，，所以满足关于0x ()212f x ax bx =-0122b b x a a -∴=-=⨯的方程的充要条件是 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-【解析】充分条件与必要条件点评：若则是的充分条件，是的必要条件p q ⇒p q q p16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 x 2664ax x ax ++--≥a A ．B ．C ．D ．(],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞ 【答案】B 【分析】分类讨论去绝对值求解.【详解】（1）当或时，，x≥x ≤260x ax --≥不等式为，2664ax x ax ++--≥24x ≥若不等式恒成立，必需2664ax x ax ++--≥2112a a ≥≥-⎧⇒⎨≤⎩≤-所以；11a -≤≤（2， x <<260x ax --<不等式为即，26(6)4ax x ax +---≥2280x ax --≤（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，0x =2280x ax--≤a （ⅱ）当时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≥-所以，解得， a ≥1a ≥-（ⅲ时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≤-所以 a ≤1a ≤综上，实数的取值范围是a []1,1-【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.17．已知不等式：①，②，③． |3|2||x x +>22132x x x +≥-+2210x mx +-<(1)分别求出不等式①与②的解集；(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．x m 【答案】(1)，或{|13}A x x =-<<{|01B x x =≤<24}x <≤(2) 173m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根据不等式的解集包2210x mx +-<含，结合二次函数的性质即可求解.[0,1)(2,3) 【详解】（1）由①得，即，故解集为， 22|3|4||x x +>23690x x --<{|13}A x x =-<<由②得，即， 224032x x x x -≤-+(4)(1)(2)0(1)(2)0x x x x x x ---≤⎧⎨--≠⎩解得解集或，{|01B x x =≤<24}x <≤（2）或，{|01A B x x =≤< 23}x <<由题意得不等式的解集包含，2210x mx +-<[0,1)(2,3) 令，只需， 2()21f x x mx =+-(0)10(3)18310f f m =-<⎧⎨=+-≤⎩解得． 173m ≤-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下1|1A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{|1}A x x =>{}11A x x =-<列横线中，求解下列问题．设集合__________，集合． {}22|210B x x x a =++-=（1）若集合B 的子集有2个，求实数a 的取值范围；（2）若，求实数a 的取值范围．A B A ⋃=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】（1）依题意集合B 元素个数为1，则，计算可得；0∆=（2）分别求出集合，再由，则，即可得到不等式组，解得即可；A AB A ⋃=B A ⊆【详解】解：（1）∵集合B 的子集有2个，∴集合B 元素个数为1∴2441()0a ∆=--=（2）选①集合 1|1(,0)(1,)A x x ⎧⎫=<=-∞⋃∞⎨⎬⎩⎭集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆显然有1a ≠±要满足条件，必有：，解，即，所以解得或111111a a⎧<⎪⎪--⎨⎪<⎪-+⎩111a <--1101a +>+201a a +>+1a >-2a <-；解，即，所以解得或； 111a <-+1101a +>-01a a >-1a >a<0综上可得()()(),21,01,a ∈-∞-⋃-⋃+∞选②，{|1}A x x =>集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 1111a a ->⎧⎨-->⎩a ∈∅选③解得{}11A x x =-<{}02A x x =<<集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 012012a a <-<⎧⎨<--<⎩a∈∅19．选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：a b c d ,,,a b c d +=+（Ⅰ）若；ab cd>>（Ⅱ是的充要条件．>+a b c d -<-【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【详解】（Ⅰ）因为，，得2a b +=++2c d =++a b c d +=+ab cd >22>（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所a b c d -<-22()()a b c d -<-22()4()4a b ab c d cd +-<+-a b c d +=+以，由（Ⅰ．ab cd >+>（ⅱ，则，即>22>a b ++>c d ++，所以，于是．因此，a b c d +=+ab cd >22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-a b c d -<-是的充要条件．>a b c d -<-【解析】推理证明．20．已知关于的不等式的解集为；x 22(23)(1)10(R)k k x k x k --+++>∈M (1)若,求的取值范围；R M =k (2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞k (3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若k *N n ∈n M ∈Z m -∈m M ∉存在，求出的值，若不存在，说明理由．k 【答案】(1)； 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞(2)；13(3,3k ∈(3)存在，3【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R 时k 的取值范2230k k --=围；（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞x a =x b =的两根，由判别式及韦达定理求解即可；22(23)(1)10k k x k x --+++=（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即M 223k k --可．【详解】（1）解：当时，解得或，2230k k --=3k =1k =-当时，不等式化为1＞0，1k =-∴时，解集为R ，1k =-当时，不等式化为，对任意实数x 不等式不成立，3k =410x +>当时，， R M =()()22223014230k k k k k ⎧-->⎪⎨+---<⎪⎩解得：, 13(,1)(,)3k ∈-∞-⋃+∞综上，的取值范围是； k 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞（2）解：若存在两个不相等负实数，使得， ,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞所以方程的两根分别为和,22(23)(1)10k k x k x --+++=x a =x b =所以，()()222222301423010231023k k k k k k k k k k ⎧-->⎪+--->⎪⎪⎪+⎨-<⎪--⎪⎪>⎪--⎩解得：；13(3,)3k ∈（3）解：根据题意，得出解集，；(,)M t =+∞[1,1)t ∈-当时，解得或， 2230k k --=3k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件； 3k =1(,)4-+∞时，1＞0恒成立，不满足条件；1k =-当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k -->(,)t ∞+当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k --<(,)t ∞+综上，满足条件的值为3.k 21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集{}12,,,(2)k A a a a k =≥ (1,2,,)i a i k ∈=Z A 合：，． {}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． (,)a b S T m n 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．a A ∈a A -∉A P （Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合{}0,1,2,3{}1,2,3-P P 和．S T （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明． P A (1)2k k n -≤（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．m n第 11 页 共 11 页【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，{}0,1,2,3P {}1,2,3-P (1,3)S =-(3,1)-，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）(2,1)T =-(2,3)m n =【详解】解：集合不具有性质． {}0123，，，P 集合具有性质，其相应的集合和是， {}123-，，P S T {}(13)(31)S =--，，，．{}(21)(23)T =-，，，（II ）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．A ()i j a a ，2k 因为，所以； 0A ∉()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，又因为当时，时，，所以当时，． a A ∈a A -∉a A -∉()i j a a T ∈，()(12)j i a a T i j k ∉= ，，，，，从而，集合中元素的个数最多为， T 21(1)()22k k k k --=即． (1)2k k n -≤（III ）解：，证明如下：m n =（1）对于，根据定义，，，且，从而．()a b S ∈，a A ∈b A ∈a b A +∈()a b b T +∈，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与()a b ，()c d ，S a c =b d =a b c d +=+b d =中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．()a b b +，()c d d +，T 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，S T m n ≤（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与()a b T ∈，a A ∈b A ∈a b A -∈()a b b S -∈，()a b ，是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不()c d ，T a c =b d =a b c d -=-b d =至少有一个不成立，故与也是的不同元素．()a b b -，()c d d -，S 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，T S n m ≤由（1）（2）可知，．m n =。

2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．如果A 点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为a a αB α（ ）A ．，，B ．，，A a ⊂a α⊂B α∈A a ∈a α⊂B α∈C ．，，D ．，，A a ⊂a α∈B α⊂A a ∈a α∈B α∈【答案】B【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【详解】A 点在直线上，而直线在平面内，点B 在内，a a αα表示为：，，．A a ∈a α⊂B α∈故选：B.2．两个平面能把空间分成几个部分（ ）A ．2或3B ．3或4C ．3D ．2或4【答案】B【分析】分别判断两个平面的平行和相交时，分空间的情况即可的答案.【详解】若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分.故选:B【点睛】关键点点睛：本题的关键是要考虑到两个平面的位置关系.3．下列命题正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．两条直线确定一个平面D ．梯形可确定一个平面【答案】D【分析】利用直线和平面的位置关系判断各个选项即得解.【详解】解：A. 由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项错误；B. 一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；C. 两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；D. 梯形可确定一个平面，所以该选项正确.故选：D4．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，1111ABCD A B C D -O ABCD M 1DD 是的中点，则下列说法正确的是（ ）N 11A BA ．直线与异面且垂直B ．直线与异面且不垂直ON AM ON AMC ．直线与相交且不垂直D ．直线与平行ON AM ON AM 【答案】A【分析】由题意，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，取空间向量，由数量积的结果，可得直线与是否垂直，然后通过异面的判定可得直线与是否异面.ON AM ON AM 【详解】根据题意，以点A 为原点，分别以AB ，AD ，所在的直线为轴，建立空间直角1AA ,,x y z 坐标系，作图如下：设正方体的棱长为，2a 则O （，，0），N （，0，），A （0，0，0），M （0，，），a a a 2a 2a a 取，(0,,),(0,,)22AM a ON a a a ==- 由，02()20ON AM a a a a ⋅=+⨯-+⨯=则，即ON ⊥AM ．ON AM ⊥取的中点，连接，其中交于，如图：AD E 1,EO EA 1EA AM F明显，又，//OE AB 1//A N AB ，1//A N OE ∴即四点共面，1,,,O E A N 面，面，，AM 1OEA N F =ON ⊂1OEA N F ON ∉直线与异面，∴ON AM 直线与异面且垂直∴ON AM 故选：A.5．在正方体中，点在线段上，点为线段的中点，记平面平1111ABCD A B C D -M 1CC N 1AA BDM 面，则下列说法一定正确的是（ ）11B D M l=A ．平面B ．平面l ⊥BDN l ⊥11B D N C ．平面D ．平面l ⊥11CDD C l ⊥11ACC A 【答案】D【分析】根据线面平行可得两平面的交线满足，进而根据平面，即可判断11B D l //11B D ⊥11ACC A 平面.l ⊥11ACC A 【详解】由题意得，，平面,平面,则平面，又平11//B D BD BD ⊂BDM 11B D ⊄BDM 11//B D BDM 面平面，∴，因为平面BDM 11B D M l =11B D l //111111111111,,,B D AC BD AA A C AA A AA ⊥⊥⋂=⊂,平面,故平面,因此平面．故D 正确11AA C C 11A C ⊂11AA C C 11B D ⊥11ACC A l ⊥11ACC A 而，平面,平面,则平面,故平面,选项A 错11//B D BD BD ⊂BDN 11B D ⊄BDN 11//B D BDN //l BDN 误，同理选项B 错误；由于与相交不垂直，故与平面不垂直，因此不垂直平面，故C 错误；11B D 11C D 11B D 11CDD C l 11CDD C 故选：D ．6．一封闭的正方体容器，P ，Q ，R 分别是AB ，BC 和的中点，由于某种原1111ABCD A B C D -11C D 因，P ，Q ，R 处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D【分析】过P ，Q ，R 三点的平面为六边形，可以根据平面的性质公理，先后证明其余三个顶点在P ，Q ，R 所确定的平面上.【详解】如图，设过P ，Q ，R 三点的平面为平面.α分别取，，的中点F ，E ，M ，11A D 1A A 1CC 连接RF ，FE ，EP ，PQ ，QM ，MR ，EM ，QF ，RP .由正方体性质知，所以平面.//RF PQ F ∈α又，所以平面.//RP MQ M ∈α又，所以平面.//EF RP E ∈α所以点六边形RFEPQM 为容器中水的上表面的形状.故选：D.7．已知m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）αβA ．若，，，则B ．若，，，则//m α//n β//m n //αβm α⊥αβ⊥//n βm n ⊥C ．若，，，则D ．若，，，则m α⊥//m n n β⊥//αβ//m α//n βm n ⊥αβ⊥【答案】C【分析】根据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理判断即可.【详解】解：对于A ：，，，则或与相交，故A 错误；//m α//n β//m n //αβαβ对于B ：若，，，则或或与异面，故B 错误；m α⊥αβ⊥//n βm n ⊥//m n m n 对于C ：若，，则，又，所以，故C 正确；m α⊥//m n n α⊥n β⊥//αβ对于D ：若，，，则或或与相交，故D 错误；//m α//n βm n ⊥//αβαβ⊥αβ故选：C8．正方形中，、分别是、的中点，为的中点，将正方形沿折成ABCD E F AB CD G BF EF 的二面角，则异面直线与所成角的正切值为（ ）120︒EF AGA B C D 【答案】C【分析】根据题意，作图，通过异面直线所成角的性质，找到异面直线与所成角为，EF AG AGH ∠然后，利用余弦定理和中位线性质，分别求出和，进而得到所求角的正切值.AH GE 【详解】如图，过作，为的中点，连接，G //GH EF H ∴BE AH 异面直线与所成角为，设，EF AG AGH ∠AGH θ∠=，，，AE EF ⊥ BE EF ⊥120AEB ∠∴= 又，，又，且，AE EF ⊥∴AE GH ⊥GH BE ⊥AE BE E = 平面，，GH ∴⊥AEH AH GH ∴⊥在正方形中，设边长，，，，ABCD 4AB =2AE ∴=1HE =2GH =AH ∴===tan AH GH θ∴==故选：C9．在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方1111ABCD A B C D -M N BC 1CC P 形（包括边界）内运动．若平面，则的最小值是（ ）11BCC B 1PA //AMN 1PAABCD【答案】A【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点D 1,,DA DC DD ,,x y z ，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向(),1,P x z []0,,1x z ∈1//PA AMN 302x z+-=量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值.1PA 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，则，，，，()1,0,0A 1,1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11,0,1A 设点，其中，(),1,P x z []0,,1x z ∈设平面的法向量为，，，AMN ()111,,x n y z =1,1,02MA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11,0,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，取，可得，111110211022n MA x y n MN x z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ 12x =()2,1,2n =，()11,1,1PA x z =---因为平面，则，即，1PA //AMN ()()1211210PA n x z ⋅=--+-=302x z +-====因为，则当时，取最小值，[]0,1x ∈34x =1PA即1PA 故选：A.10．已知命题：“若、为异面直线，平面过直线且与直线平行，则直线与平面的距离a b αa b b α等于异面直线、之间的距离”为真命题．根据上述命题，若、为异面直线，且它们之间的距a b a b 离为，则空间中与、均异面且距离也均为的直线的条数为（ ）d a b d c A ．0条B ．2条C ．4条D ．无数多条【答案】D【分析】给出一个平行六面体. 取，假设平行平面与1111ABCDA B C D -11,AD a A B b ==ABCD 之间的距离为.若平面，平面，且满足它们之间的距离等于，其1111D C B A d 11//BCC B a 11//CDD C b d 交线满足条件.把满足平面，平面，且它们之间的距离等于的两个平面1CC 11//BCC B a 11//CDD C b d 旋转，则所有的交线都满足条件，即可判断出结论.1CC 【详解】如图所示，一个平行六面体. 取，1111ABCD A B C D -11,AD a A B b ==假设平行平面与之间的距离为.ABCD 1111D C B A d 平面，平面，且满足它们之间的距离等于，11//BCC B a 11//CDD C b d 其交线满足与，均异面且距离也均为的直线.1CC a b d c把满足平面，平面且它们之间的距离等于的两个平面旋转，11//BCC B a 11//CDD C b d 则所有的交线都满足与，均异面且距离也均为的直线.1CC a b d c 因此满足条件的直线有无数条.故选：D.二、填空题11．如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______.【答案】22+【分析】求出直观图中梯形的下底长，作出原图形，结合梯形的面积公式可求得结果.【详解】直观图中，梯形的下底长为，121cos 451+⨯⨯=作出原图形如下图所示：由图可知，原图形为直角梯形，且该梯形的上底长为，下底长为ABCD 1CD =1AB =，2AD=因此，原图形的面积为()22AB CD AD S +⋅==故答案为：.212．已知空间四边形，连接和，且，点是线段ABCD AC BD 1AB AC AD BC CD BD ======N的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______．AD BD CN【分析】取中点，连接，，则异面直线和所成角为或其补角，在AB M MN CM BD CN MNC ∠中使用余弦定理求解即可.MNC 【详解】如图，取中点，连接，，AB M MN CM ∵，分别为，中点，M N AB AD ∴，且，MN BD ∥1122MN BD ==∴异面直线和所成角为或其补角，BD CN MNC ∠在等边和等边中，ABC ADC △CM CN ===∴在中，由余弦定理，有MNC，222cos 02MN CN CM MNC MN CN +-∠===>⋅⋅∴异面直线和.BDCN 13．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________．1111ABCD A B CD -11AB D 1C BD 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距11AB D 1C BD 11AB D 1C BD 离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量1C 11ABD 11AB D n 11C B公式，即可得解．【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x yz 则，111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,0),(0,1,1),(0,0,1),(1,1,1)A B D C D B 可得，1111(0,1,1),(1,0,1),(1,0,1),(0,1,1)AB AD BC DC ==-=-= 因为，则，1111,AD BC AB DC == 1111,AD BC AB DC∥∥所以，1111,AD BC AB DC ∥∥因为平面，平面，平面，平面，1AD ⊄1C BD 1BC ⊂1C BD 1AB ⊄1C BD 1DC ⊂1C BD 所以平面，平面，1AD 1C BD 1AB 1C BD 又，平面，11AD AB A ⋂=11,AD AB ⊂11AB D 所以平面平面，11AB D 1C BD 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，11AB D 1C BD 1C 11AB D d 设平面的法向量为，则，11AB D (,,)n x y z =1100n AB y z n AD x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，可得，所以，1z =1,1x y ==-(1,1,1)n =-又因为，所以11(1,0,0)C B =11C B n d n⋅==所以平面与平面11AB D 1C BD 14．已知正方体ABCD —的棱长为4，M 在棱上，且1，则直线BM 与平面1111D C B A 11A B 13A M MB =所成角的正弦值为___________．11A B CD【分析】作出正方体，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，11A B CD 计算即可.【详解】如图所示，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，D DA x D xyz -所以有，，，，，，()0,0,0D ()14,0,4A ()0,4,0C (),,B 440()4,1,4M 则，，，()14,0,4DA = ()0,4,0DC = ()0,3,4MB =- 设平面的法向量，则由1A DC (),,n x y z = ，令，得，140440n DC y n DA x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1,0,1n =- 设直线BM 与平面所成角为，则11A B CD θsin cos ,n MB n MB n MB θ⋅=<>==15．已知是异面直线、的公垂线段，，且与成角，在直线上取，则AB a b 2AB =a b 30︒a 4AP =点到直线的距离为_______．P b 【答案】【分析】过作的平行线与确定一个平面，过作的垂线段，再作出垂线段在平面内的投A b b 'a P b 影，结合图形，借助三垂线定理求解即可.【详解】如图，过作，则与相交与点，可确定一个平面，A b b '∥a b 'A α过作，垂足为，则线段的长，就是点到直线的距离，且有P PC b ⊥C PC P b b PC'⊥过作，垂足为，C CD b '⊥D ∵，，，，四点共面，又∵,∴，b b '∥A B C D AB b ⊥AB CD ∴四边形为平行四边形，，ADCB 2CD AB ==∵，，∴，AB a ⊥AB CD CD a ⊥又∵，，平面，平面，CD b '⊥a b A '= a ⊂αb '⊂α∴平面，直线在平面上的投影是，CD ⊥αPC αPD 又∵，∴由三垂线定理，有b PC '⊥b PD'⊥∵与成角，，∴a b 30︒b b '∥30PAD ∠=︒∴在中，，Rt PAD △1sin 30422PD AP =⋅︒=⨯=∵平面，平面，∴，CD ⊥αPD ⊂αCD PD ⊥∴在中，，Rt PDC PC ===∴点到直线的距离为P b故答案为：16．a ，b 为异面直线，且a ，b 所成角为40°，过空间一点P 作直线c ，直线c 与a ，b 均异面，且所成角均为，若这样的c 共有四条，则的范围为___________.θθ【答案】(70,90)【分析】设平面上两条直线m,n 分别满足 ，则m,n 相交，且夹角为，讨论的α,m a n b ∥∥40 θ取值范围，从而确定c 的情况以及条数，即可得答案.【详解】设平面上两条直线m,n 分别满足 ，α,m a n b ∥∥则m,n 相交,设交点为P ，且夹角为 ，40如图示：过空间一点P 作直线c ，若直线c 与a ，b 均异面，且所成角均为，θ则直线c 与直线m,n 所成角均为，θ当时，不存在这样的直线c ,020θ≤< 当时，这样的直线c 只有一条，20θ= 当时，这样的直线c 有两条，2070θ<< 当时，这样的直线c 有三条，70θ= 当时，这样的直线c 有四条，7090θ<< 当时，这样的直线c 只有一条，90θ= 故答案为：(70,90) 三、解答题17．如图所示，在长方体中，，M 为棱上一点．1111ABCD A B C D -12,2,4AB BC CC ===1CC(1)若，求异面直线和所成角的正切值；112C M =1A M 11C D (2)若，求证平面．12C M =BM ⊥11A B M【答案】(2)证明见解析；【分析】（1）采用平移直线法进行求解，连接，，可得或其补角即为异面直线所1A M 1B M 11B A M ∠成角，结合线段长度求解出结果；（2）通过证明，再结合线面垂直的判定定理完成证明.111,BM A B BM B M ⊥⊥【详解】（1）连接，，1A M 1B M∵长方体中，，1111ABCD A B C D -1111//A B C D ∴或其补角即为异面直线和所成角，11B A M ∠1A M 11C D ∵平面，平面，∴，11A B ⊥11BB C C 1B M ⊂11BB C C 111A B B M ⊥中，11Rt B C M 1B M ==∴中，11Rt A B M △11111tan B M B A M A B ∠==即异面直线和；1A M 11C D （2）∵，，12C M MC ==112B C BC ==∴和为等腰直角三角形， ∴Rt BCM △11Rt B C M 190B MB ∠=︒∴1BM B M⊥又∵平面，平面，∴11A B ⊥11BB C C BM ⊂11BB C C 11A B BM⊥∵、是平面内的相交直线11A B 1B M 11A B M ∴平面．BM ⊥11A B M 18．如图，长方体中，、分别是、的中点，、分别是、1111ABCD A B C D -E P BC 11A D M N AE 的中点，，．1CD 11AD A A a ==2AB a =(1)求二面角的大小；P AE D --(2)求证：平面；//MN 11ADD A (3)求点到平面PNE 的距离．D【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设F 为AD 中点，作于H ，连结PH ，证明为二面角的平FH AE ⊥PHF ∠P AE D --面角，根据几何关系求即可；PHF ∠（2）取CD 的中点K ，连结MK ，NK ，先由线线平行证平面，平面，//MK 11ADD A //NK 11ADD A 再证平面MNK 平面，即可证平面；//11ADD A //MN 11ADD A （3）作于Q ，由线线垂直证明平面即DQ 为点到平面PNE 的距离，由几1DQ CD ⊥DQ ⊥11BCD A D 何关系求出DQ 长即可.【详解】（1）设F 为AD 中点，∵P 为的中点，∴，∴平面ABCD .11A D 1//PF D D PF ⊥作于H ，连结PH ，∵平面ABCD ，∴，∵平面FH AE ⊥AE ⊂PF AE ⊥,FH PF F FH PF =⊂ 、PFH ，∴平面PFH ，∵平面PFH ，∴.⊥AE PH ⊂AE PH ⊥∵平面PAE ∩平面DAE ，平面PAE ，平面DAE ，∴为二面角的平AE =PH ⊂FH ⊂PHF ∠P AE D --面角.在中，Rt AEF ,2,,2a AF EF AF EF a AE FH AE ⋅=====∴在中，∴二面角的大小为；Rt PFH △1tan DD PF PFH FH FH ∠===P AE D --（2）证明：取CD 的中点K ，连结MK ，NK ，∵、分别是、的中点，∴M N AE 1CD ，1//,//MK AD NK DD ∵平面，平面，∴平面，平面.1AD DD ⊂、11ADD A MK NK ⊄、11ADD A //MK 11ADD A //NK 11ADD A ∵，平面MNK ，∴平面MNK 平面，MK NK K ⋂=MK NK ⊂、//11ADD A ∵平面MNK ，∴平面；MN ⊂//MN 11ADD A （3），121111244NEP D PEC S S BC CD ==⋅== 矩形作于Q ，由平面，平面得，1DQ CD ⊥11A D ⊥11CDD C DQ ⊂11CDD C 11A D DQ ⊥∵平面，∴平面，∴DQ 为点到平面PNE 的距离.1111111,CD A D D CD A D =⊂ 、11BCD A DQ ⊥11BCDA D ∴在中，，∴点到平面PNE.1RtCDD 11CD DD DQCD ⋅===D 19．如图，在长方体中，、分别是和的中点．1111ABCD A B C D -E F 11B C 11C D (1)证明：、、、四点共面；E F D B (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；1A C 1BDC O ,AC BD M 1,,C O M (3)证明：、、三线共点．BE DF 1CC【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面.//EF BD E F D B （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面O ∈11AA C C O ∈1BDC O 11AA C C 1BDC 面 ，即点，即可得到答案.11AA C C 1BDC 1=C M O ∈1C M （3）延长交于,由于面 面，则在交线上.,DF BE G DCG BCG1CC =G 1CC 【详解】（1）连接11,,EF BD B D在长方体中1111ABCD A B C D -11//B D BD∴、分别是和的中点E F 11B C 11C D 11//EF B D ∴//EF BD∴ 、、、四点共面∴E F D B （2）11//AA CC 确定一个平面11,,,A A C C ∴11AA C C面11,O A C A C ∈⊂11AA C C 面O ∴∈11AA C C 对角线与平面交于点 1A C 1BDC O 面O ∴∈1BDC 在面与面的交线上O 11AA C C 1BDC =AC BD M ⋂ 面且面M ∴∈11AA C C M ∈1BDC 面 面 ∴11AA C C 1BDC 1=C M O ∴∈1C M即点共线.1,,C O M （3）延长交于,DF BE G面DG ⊂ DCG G DG∴∈面G ∴∈DCG 面BE ⊂ BCG G BE∴∈面G ∴∈BCG 面 面 DCG BCG 1CC =1G CC ∴∈ 、、三线共点.∴BE DF 1CC。

2025届上师大附中高三10月月考数学试卷一一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数()f x =的定义域为__．【答案】(0,1]．【解析】【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域【详解】函数的意义，有0110x x≠⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x <≤，即函数()f x =定义域为(0,1]．故答案为：(0,1]2. 已知0a >=________.【答案】34a 【解析】【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：34a .3. 已知幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，求(3)f -=_________．【答案】19【解析】【分析】设幂函数为(),R f x x αα=∈，根据题意求得2α=-，得到2()f x x -=，代入即可求解.【详解】设幂函数为(),R f x x αα=∈，因为幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得139α=，解得2α=-，即2()f x x -=，所以21(3)(3)9f --=-=.故答案为：19.4. 若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____.【答案】79-【解析】【分析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值．【详解】因为1sin 3α=，所以()2227cos(2)cos 212sin12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-．故答案为： 79-5. 已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(3,)+∞【解析】【分析】先求出集合M ，N ，再由M N ⊆可求出实数a 的取值范围【详解】解：由题意得{}{|3sin ,}33M y y x x y y ===-≤∈≤R ，{}{|||}N x x a x a x a =<=-<<，因为M N ⊆，所以3a >，故答案为：(3,)+∞6. 设a ，b ∈R ．已知关于x 的不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫-⎪⎝⎭，则不等式250ax x b ++<的解集为__________．【答案】12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】先由不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭求出实数a ，b 的值，再求不等式250ax x b ++<的解集.【详解】∵不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴方程250ax x b -+=的两根分别为123x =-，214x =，且0a <∴由韦达定理可知，1212215342134x x a b x x a ⎧+=-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩解得122a b =-⎧⎨=⎩，∴将a ，b 代入不等式250ax x b ++<得212520x x -++<，即212520x x -->()()32410x x ⇔-+>∴不等式250ax x b ++<的解集为12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7. 已知锐角α的顶点为原点，始边为x 轴的正半轴，将α的终边绕原点逆时针旋转π6后交单位圆于点1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为________．【解析】【分析】先求得ππcos ,sin 66αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角恒等变换的知识求得sin α【详解】由于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，所以222181,39y y ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，由于α是锐角，所以289y y =⇒=13P ⎛- ⎝，所以π1πcos ,sin 636αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132=⨯=.8. 已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=__________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意，求得()3f x x x =-，得到()231f x x ='-，即可求解.【详解】由函数()()()()321(1)()f x x x a x b x a b x a b ab x ab =+++=+++++++，可得()32(1)()f x x a b x a b ab x ab -=-+++-+++因为函数()f x 为R 上的奇函数，可得()()f x f x -=-，即3232(1)()(1)()x a b x a b ab x ab x a b x a b ab x ab -+++-+++=--++-++-，所以100a b ab ++=⎧⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或10=-⎧⎨=⎩a b ，所以()3f x x x =-，可得()231f x x ='-，所以()01f '=-.故答案为：1-.9. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30o 和45 ，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15 ，则鹳雀楼的高度约为___________m .【答案】74【解析】【分析】根据题意在Rt △ABC 中求出AC ，在△MCA 中利用正弦定理求出MC ，然后在Rt △MNC 中可求得结果.【详解】在Rt △ABC 中，274AC AB ==，在△MCA 中，105MCA ︒∠=，45MAC ︒∠=，则18030AMC MCA MAC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得sin sin MC AC MAC AMC=∠∠，即74sin 45sin 30MC ︒︒=，解得MC =，在Rt △MNC中，74m MN ==.故答案：7410. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}|0x f x α∈=，(){}|0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数()1e 2x f x x -=+-与()21g x x ax =-+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】由题知函数()f x 有唯一零点1，进而得210x ax -+=在(0,2)上有解，再根据二次函数零点分布求解即可.【详解】因为1()e 2-=+-x f x x ，所以()f x 在R 上为增函数，又0(1)e 120f =+-=，所以()f x 有唯一零点为1，令()g x 的零点为0x ，依题意知0||11x -<，即002x <<，即函数()g x 在(0,2)上有零点，令()0g x =，则210x ax -+=(0,2)上有解，即1x a x +=在(0,2)上有解，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，取等号，所以2a ≥，故答案为：[2,)+∞.为为在11. 若函数()y f x =的图像上存在不同的两点M (x 1,y 1)和N (x 2,y 2)，满足1212x x y y +≥()y f x =具有性质P ，给出下列函数：①()sin f x x =；②()x f x e =；③1(),(0,)f x x x x=+∈+∞；④()||1f x x =+．其中其有性质p 的函数为________（填上所有正确序号）．【答案】①②【解析】【分析】利用数量积性质得出过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，结合函数图象可得．【详解】1212||||cos ,,|||OM ON x x y y OM ON OM ON OM ON ⋅=+=〈〉==所以1212cos ,1x x y y OM ON +≥⇔〈〉≥ ，即cos ,1OM ON 〈〉=± ．即O ，M ，N 三点共线，即过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，由图可知，①②符合．故答案为：①②12. 已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【解析】【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由ln 10b m +--=，则(),P a b 在直线:ln 10l x y m +--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则ln 10b m --=，所以点(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，，2e,eméùÎêúëû，设t⎤=⎦，设()2ln1tg tt+=，则()()212lntg t tt-⎤'=≤∈⎦，所以()g t在⎤⎦上单调递减，所以()()min3eeg t g==，3e≥即2229ea b+≥，所以22a b+的最小值为29e，故答案为：29e二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）13. 已知a b∈R，且0ab≠，则“22a b>”是“11a b<”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合指数函数单调性，根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】22a b a b>⇔>Q，当0a b>>时，11a b<不成立，当11a b<<时，a b>不成立.所以a b>是11a b<的既不充分也不必要条件，即22a b>是11a b<的既不充分也不必要条件.故选：D.14. 设函数()sinf x x=，若对于任意5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m上总存在唯一确定的β，使得()()0f fαβ+=，则m的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】的【分析】由等量关系找α与β的关系，由α的范围求出sin β的范围，从而得出m 的值.【详解】∵()()0f f αβ+=，∴sin sin 0αβ+=，即()sin sin sin βαα=-=-，∵5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，即2π5π,36α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()1sin sin 2βα⎡=-∈⎢⎣，又∵[]0,m β∈，∴π3m =故选：B15. 已知在ABC V 中，0P 是边AB 上一定点，满足023P B AB = ，且对于边AB 上任意一点P ，都有00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，则ABC V 是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE ，根据向量的线性运算计算向量00,P B P C 并计算00P B P C ⋅ ，同理计算PB PC ⋅ ，根据不等关系可得出对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，从而确定0P D AB ⊥，从而得到结果.【详解】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE （如图所示），则()()0000P B P C P D DB P D DC ⋅=+⋅+ ()()22000P D DB P D DB P D DB =+⋅-=- ，同理22PB PC PD DB ⋅=- ，因为00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，所以22220PD DB P D DB -≥- ，即220PD P D ≥ ，所以对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，因此0P D AB ⊥，又023P B AB = ，D 为BC 中点，E 为DC 中点，所以023P B BD AB BE ==，所以0//P D AE ，即90BAE ∠=︒，所以90BAC ∠>︒，即ABC V 为钝角三角形.故选：A ．16. 设函数,()2,2x x P f x x x M x∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){(),},(){(),}A P y y f x x P A M y y f x x M ==∈==∈∣∣，有下列命题：①对任意满足P M ⋃=R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃=R ；②对任意满足P M ⋃≠R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃≠R ，则对于两个命题真假判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①和②都是假命题C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义对两个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①可举反例，(,0],(0,)P M =-∞=+∞此时()()()()(),0,2,,A P A M A P A M ∞∞⎤⎡=-=+⋃≠⎦⎣R ，故①是假命题；对于②，可举反例(,4],(4)P M =-∞=++∞，此时()(,4],()(4,),()()R A P A M A P A M =-∞=+∞= ，故②是假命题；故选：B【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.三、解答题（共5题，满分78分）17. 已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ．（1）当a b∥时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅ ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域．【答案】（1）247- （2）1322⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算tan x 的值，二倍角公式即可计算tan 2x ；（2）计算()f x ，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.【小问1详解】因为a b∥，所以3sin cos 4x x -=，因为cos 0x ≠，所以3tan 4x =-，所以22tan 24tan 21tan 7x x x ==--．【小问2详解】213π3()2()2sin cos 2cos sin 2cos 222242f x a b b x x x x x x ⎛⎫=+⋅=++=++=++ ⎪⎝⎭ ，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 24x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()f x的值域为1322⎛⎤ ⎥⎝⎦．18. 已知函数()22x x a f x =+其中a 为实常数.（1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）因为()22x x a f x =+,()07f =,可得6a =,故6()22x x f x =+,因为()5f x =,即6252x x+=,通过换元法,即可求得答案;（2）因为函数定义域为R ,分别讨论()f x 为奇函数和()f x 为偶函数,即可求得答案.【详解】（1） ()22x xa f x =+,∴()07f =,即17a +=解得:6a =可得:6()22x xf x =+ ()5f x =∴6252x x+=令2x t =(0t >)∴65t t+=,即:2560t t -+=解得:12t =或23t =即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R ,①当()f x 为奇函数时,根据奇函数性质()()f x f x -=-可得2222x x x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -=可得2222x x x x a a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数()f x 模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数()f x 模型的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：①()2150x f x =+；②()ln 2f x x =-；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？【答案】（1）答案见解析（2）()2150x f x =+不符合公司要求，()ln 2f x x =-符合公司要求，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，用数学语言依次写出函数()f x 的要求即可；（2）判断两个函数模型的单调性，并判断()9f x ≤，()5x f x ≤是否成立得解.【小问1详解】设奖励函数模型为()y f x =，则公司对奖励函数模型基本要求是：当[]10,1000x ∈时，()f x 是严格增函数，()9f x ≤恒成立，()5x f x ≤恒成立.【小问2详解】①对于函数模型()2150x f x =+，易知当[]10,1000x ∈时，()f x 为增函数，且()()max 26100093f x f ==<，所以()9f x ≤恒成立，但是()101005f ->，不满足()5x f x ≤恒成立，所以()2150x f x =+不符合公司要求；②对于函数模型()ln 2f x x =-，的当[]10,1000x ∈时，()10f x x'=>，所以()f x 为增函数，且()max f x f =()100023ln109=-+<，所以()9f x ≤恒成立，令()()ln 255x x g x f x x =-=--，则()1105g x x '=-<，所以()()10ln1040g x g =-<≤，所以()5x f x ≤恒成立，所以()ln 2f x x =-符合公司要求.20. 已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m .（1）判断函数()2f x x =在区间[]1,1-上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由；（2）若函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫⎪⎝⎭，求n 的取值范围；（3）已知函数()y f x =的图像是连续不断的曲线，且()()02f f =，求证：函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析 （2）5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，结合条件即得；（2）由00sin sin 4x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得038x k ππ=+，()()050,N 48x k n k πππ+=+∈∈，可得58n π>，即得；（3）设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()1150200333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，可得111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即证；当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫> ⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合条件可知，存在0x ，()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即证.【小问1详解】函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.若220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，因为[]11,14-∈-，且[]1111,1424-+=∈-，所以函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】解法1：由题意，存在()00,x n ∈，使得00sin sin 4x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0024x x k ππ+=+（舍）或0024x k x πππ+=+-()k ∈Z ，则得038x k ππ=+.因为0308x k ππ=+>，所以k ∈N .又因为()030,8x k n ππ=+∈且()()050,48x k n k πππ+=+∈∈N ，所以58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解法2：当02n π<≤时，函数()sin f x x =，()0,x n ∈是增函数，所以不符合题意；当2n π>时，因为直线2x π=是函数()sin f x x =的一条对称轴，而函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以224n ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问3详解】设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则有()()1003g f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112333g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22133g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，11333k k k g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，()55233g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}()1,2,3,,6k ∈⋅⋅⋅.以上各式相加得()()()115020333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()11500333k g g g g -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（ⅰ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，不妨设103i g -⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即110333i i i g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，所以函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.（ⅱ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫>⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中i j ≠，{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、.由于函数()y g x =的图像是连续不断的曲线，所以当i j <时，至少存在一个实数011,33i j x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（当i j >时，至少存在一个实数011,33j i x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），其中{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、，使得()00g x =，即()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即存在0x ，使得()0013f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间[]0,2上也具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.综上，函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()e (,1),()(,)k x f x x k k g x cx m c m =∈≥=+∈N R ，其中e 是自然对数的底数．（1）当1k =时，若曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =，求c 和m 的值；（2）当1k =，e m =-时，关于x 的方程()()f x g x =有正实数根，求c 的取值范围：（3）当2,1k m ==-时，关于x 的不等式2()e ()f x ax bx g x -≥+≥对于任意[1,)x ∈+∞恒成立（其中,a b ∈R ），当c 取得最大值时，求a 的最小值．【答案】（1）2e,e c m ==-（2）[2e,)+∞（3）1【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 在1x =处的切线方程，通过对比系数求得,c m .（2）由()()f x g x =分离c ，利用构造函数法，结合导数来求得c 的取值范围.（3）由恒成立的不等式得到e 1e xc x x-≤-恒成立，利用构造函数法，结合导数来求得c 的最大值，进而求得a 的最小值，并利用构造函数法，结合导数来判断a 的最小值符合题意.【小问1详解】当1k =时，()e x f x x =，所以()(1)e x f x x '=+，由(1)e,(1)2e f f '==，得曲线()y f x =在1x =处的切线方程为e 2e(1)y x -=-，即2e e y x =-，由题意，2e,e c m ==-．【小问2详解】当1k =，e m =-时，()e ,()e x f x x g x cx ==-，由题意，方程e e x x cx =-在(0,)+∞上有解，即e e x c x =+在(0,)+∞上有解，令e ()e (0)x h x x x =+>，则2e e ()x h x x'=-，由()0h x '=得1x =，()h x '在()0,∞+上严格递增，所以：当(0,1)x ∈时，()0h x '<，所以()h x 严格递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 严格递增，所以min ()(1)2e h x h ==，又x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 的值域为[2e,)+∞，所以c 的取值范围为[2e,)+∞．【小问3详解】当2,1k m ==-时，2()e ,()1x f x x g x cx ==-，由题意，对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，即：22e e 1x x ax bx cx -≥+≥-（*）恒成立，那么，2e 1x x cx ≥-恒成立，所以e 1e xc x x-≤-恒成立，令e 1()e (1)x x x x x ϕ-=-≥，则2e 1()(1)e 0x x x x ϕ-'=++>在[1,)+∞上恒成立，所以()ϕx 在[1,)+∞上严格递增，所以min ()(1)1x ϕϕ==，从而1c ≤，即c 的最大值为1，1c =时，取1x =代入（*）式，得00a b ≥+≥，所以=-b a ，所以21ax ax x -≥-在[1,)+∞上恒成立，得1a ≥，即a 的最小值为1，当1a =时，记()222()()e e e (1)x F x f x x x x x x x =---=--+≥，则()2()2e 21x F x x x x '=+-+，设()()()()222e 21,42e 2x x x x x u u x x x x '+-+=++-=，因为()u x '在[1,)+∞上严格递增，所以()()17e 20u x u ''≥=->，所以()F x '在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)3e 10F x F ''≥=->，所以()F x 在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)0F x F ≥=，从而对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，综上，a 的最小值为1．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，。

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A =．2．已知23a <<，21b -<<-，则2+a b 的取值范围为．3．设a ∈R ，“1a >”是“11a<”的一个条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）． 4．已知集合2301x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B =I . 5．如果集合A 满足{}{}0,21,0,1,2A ⊆⊂-，则满足条件的集合A 的个数为（填数字）. 6．已知集合2{|230}{|22}A x x x B x m x m =--≤=-≤≤+，，若A B =∅I ，则m 的取值范围是.7．“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题，逆命题，逆否命题中正确的命题个数．8．集合{}{},R ,R A y y x x B x y x ==∈=∈，则A B =I ．9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为 −∞,−2 ∪ 3,+∞ ，①0a >；②不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-；③0a b c ++>；④不等式20cx bx a -+<的解集为11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 以上命题正确的序号是．10．已知关于x 的不等式2290x x a -+<的解集非空，并且解集中的每一个x 的值至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围为． 11．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为． 12．定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >.已知实数a b >，则满足123x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为．二、单选题13．若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B =I 的实数a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．已知集合2|0,1x A x x A x -⎧⎫=<∈⎨⎬+⎩⎭的一个必要条件是x a ≥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．2a ≥ C ．1a ≤- D ．1a ≥- 15．已知x ∈R ，则“()()230x x --≤成立”是“3|21|x x +-=-成立”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要16．若关于x 的不等式2664ax x ax ++--≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ． −∞,1B ．[]1,1-C ．[)1,-+∞D ．(][),11,-∞-+∞U三、解答题17．求下列关于x 的分式不等式的解集：(1)()()22231054x x x x x x +-+>-+； (2)2312x x ≥+． 18．设集合{|32},{|331}A x x B x x m =-<=<<+．(1)当2m =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．设,a b 是实数，集合{}2340A x x x =--≤，集合2{|(21)0}B x x a x =-+<，集合[]21,5C b b =-+.(1)若B A ⊆，求a 的取值范围；(2)若A C ⊆，求b 的取值范围；(3)若6a =且C B ⊆，求b 的取值范围.20．已知,a b 为常数，函数()2f x x bx a =-+.(1)当1a b =-时，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集；(2)当21a b =-时，若函数()f x 在()2,1-上存在零点，求实数b 的取值范围；(3)对于给定的12,R x x ∈，且()()1212,x x f x f x <≠，证明：关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有一个实数根. 21．已知集合(){}1234i ,,,,N,i 1,2,3,4A x x x x x x α==∈=．对集合A 中的任意元素()1234,,,x x x x α=，定义()()12233441,,,x x x x x x x x T α--=--，当正整数2n ≥时，定义()()()1n n T T T αα-=．（约定()()1T T αα=）． (1)若()()2,0,2,4,2,0,2,5αβ==，求()4T α和()4T β；(2)若()1234,,,x x x x α=满足{}()i 0,1i 1,2,3,4x ∈=且()()21,1,1,1T α=，求α的所有可能结果；(3)是否存在正整数n 使得对任意()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 都有()()0,0,0,0n T α=？若存在，求出n 的所有取值；若不存在，说明理由．。