几何中的数学文化

教育部考试中心要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容”．因此，我们特别编写了此课时，将数学文化与数学知识相结合．考点一立体几何中的数学传统文化题[典例1]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d[解析]A[当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.]“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．[跟踪训练1]《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺解析：B [设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2 000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.]考点二 数列中的数学传统文化题[典例2] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里[解析] B [设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝ 378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝ 96，即第二天走了96里，故选B.]与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[跟踪训练2]《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为( )A ．五寸B ．二尺五寸C．三尺五寸D．一丈二尺五寸解析：B[设晷长为等差数列{a n}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.∴a2＝15＋10＝25，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是2尺5寸．故选B.]考点三算法中的数学传统文化题[典例3]如图所示算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该算法框图，若输入的a，b分别为8,12，则输出的a＝()A．4B．2C．0 D．14[解析]A[由算法框图输入的a＝8，b＝12，按算法框图所示依次执行，可得b＝12－8＝4，a＝8；a＝8－4＝4，b＝4，a＝b，所以输出a＝4.故选A.]《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．本题算法框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法．[跟踪训练3](2019·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的算法框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,3.则输出v的值为()A. 15B. 16C. 47D. 48解析：D [执行算法框图：输入n ＝3，x ＝3，v ＝1，i ＝2，i ≥0，是 i ≥0，是， v ＝1×3＋2＝5，i ＝1； i ≥0，是， v ＝5×3＋1＝16，i ＝0； i ≥0，是， v ＝16×3＋0＝48，i ＝－1； i ≥0，否，输出v ＝48.]考点四 概率统计中的传统文化题[典例4] (2018·全国Ⅰ卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3[解析] A [法一：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×⎝⎛⎭⎫c 22＋12π×⎝⎛⎭⎫b 22－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×⎝⎛⎭⎫a 222－12bc ＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×(2)22－2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.]从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例．[跟踪训练4](理科)(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.118解析：C [不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率p ＝3C 210＝115，故选C.](文科)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米， 面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. 726π5mm 2 B. 363π10mm 2C.363π5mm 2 D.363π20mm 2 解析：B [利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为p ＝30100＝310，设军旗的面积为S ，由题意可得：S π×112＝310，∴S ＝310×π×112＝36310π()mm 2，故选B.] 考点五 三角函数中的数学传统文化题[典例5] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ ________ .[解析] 依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0＜θ＜π2)，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7. [答案] －71700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流，等等．[跟踪训练5](2019·沈阳监测)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A. 334π B. 332π C.12πD. 14π解析：B [设圆的半径为R ，则圆的内接正六边形可以分解为6个全等的三角形，且每个三角形的边长为R ，据此可得，圆的面积为S 1＝πR 2，其内接正六边形的面积为S 2＝6×⎝⎛⎭⎫12×R 2×sin 60°＝332R 2，利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是p ＝S 2S 1＝332π.故选B.]特色专题 数学文化[基础训练组]1．二十四节气(The 24 Solar Terms)是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动15°所到达的一定位置。

从数学文化角度探讨空间解析几何的思政元素
空间解析几何是数学学科的重要组成部分，它使用图形原理来探索物体间的关系。

通过空间解析几何，我们可以找到连接物体的最佳路线，构建几何形状和模型，以及分析空间变换等复杂的问题。

空间解析几何不仅在数学中占有exial优势，而且还有重要的思政元素。

首先，空间解析几何是一种自然的思维方式，它展示了对物体形态世界的了解。

通过空间
解析几何，不仅可以理解分析物体的结构和关系，而且可以认识到周围环境结构的复杂性，以及物体之间的关系。

因此，它被认为拥有解决复杂问题的能力。

其次，空间解析几何有助于培养和发展我们的创新能力，因为它让我们对周围环境有更深
入的理解，并启发人们用宽容而富有创造性的思维去解决问题和实践世界。

空间解析几何还有助于展示人们如何理解空间关系并利用它们，以及实现思想的弹性和可能性，从而让人们的智慧达到最大化。

最后，空间解析几何还能激发人们对知识的求索欲望和对未知的憧憬。

空间解析几何使我们的情感、思考和行动都从抽象的观念转换为具体的思考和行动，从而激发我们持续探索变化中的真理，不断开辟出学习和实践的新领域。

总之，空间解析几何既是数学领域的核心课程，又具有重要的思政元素，它能够激发人们的自然联想，启发人们采取创新的思维模式，遵循知识的求索欲望，从而更好地、更深入
地认识周围的世界。

立体几何中的数学文化——“四面体”与“阳蛇”引言立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形体和其性质。

在立体几何中，有两个非常有趣的几何形体，即“四面体”和“阳蛇”。

本文将重点探讨这两个几何形体在数学文化中的作用和意义。

“四面体”的数学文化四面体是一个由四个面组成的多面体，在立体几何中具有独特的性质和形状。

它在数学文化中扮演了重要角色。

首先，四面体是许多数学问题和定理的基础，如欧拉公式和拓扑学中的一些理论。

其次，四面体也被广泛应用于建筑、工程和科学研究等领域，它的几何性质和稳定性使其成为一种理想的结构形体。

“阳蛇”的数学文化阳蛇是一个立体几何中的特殊形体，它具有蛇状的结构特征。

阳蛇在数学文化中也有着重要的地位。

一方面，阳蛇是一个很好的几何分形模型，它可以用来研究分形几何和混沌理论等方面的问题。

另一方面，阳蛇还被应用于艺术和设计等领域，其独特的形状和美学价值使其成为一种受欢迎的艺术元素。

结论立体几何中的数学文化以“四面体”和“阳蛇”为代表，它们在数学研究、工程应用和艺术设计等领域都发挥着重要作用。

通过深入研究和理解这些几何形体，我们能够更好地欣赏数学的美妙和应用于实际生活中。

参考文献：- Smith, J. (2010). The Mathematics of Geometry: An Introduction to Non-Euclidean Geometry. Cambridge University Press.- Johnson, R. (2015). Fractals Everywhere. Elsevier.。

立体几何中的数学文化——“棱锥”与“阳
狗”
介绍
立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是空间中的形状和体积。

本文将讨论两个与立体几何相关的概念，分别是“棱锥”和“阳狗”。

棱锥
棱锥是指一个底面是多边形、侧面是三角形的几何体。

在立体几何中，棱锥是常见的立体形状之一。

它的名称中的“棱”代表着它的底面是由多个边组成的多边形，而“锥”则表示它的侧面是由三角形构成的。

棱锥有很多实际应用，例如建筑、工程和设计等领域。

在建筑中，棱锥形的建筑物可以增加空间感和美感，同时也有一定的结构稳定性。

在工程中，棱锥体可以被用作或者储存器具，具有较大的容量和较小的底面积。

在设计中，棱锥形状可以用于创造独特的产品或者艺术品。

阳狗
阳狗，也被称为“五棱锥”，是一种特殊的棱锥。

它的底面是一个正五边形，而侧面是五个等边三角形。

阳狗是一种具有对称性和美感的几何形状。

阳狗在数学与几何文化中有着重要的地位。

它出现在很多传统庆祝活动和节日之中，被视为象征吉祥、团圆和幸福的象征。

许多艺术品和手工制品中也可以看到阳狗的形象。

结论
立体几何是一个充满创意和魅力的数学领域，其中棱锥和阳狗是两个有趣且重要的概念。

通过研究和了解这些概念，我们不仅可以拓展数学知识，还可以领略到丰富的数学文化。

无论是在实际应用中还是在传统文化中，立体几何都扮演着重要的角色，为我们的生活带来了美妙的体验和惊喜。

立体几何中的数学文化——“鳖臑”与“阳马”一个是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的名字叫“阳马”，另一个四个面都为直角三角形的四面体叫“鳖臑”。

这两个名称还曾经出现在高考卷上，下面这道例题就是2015年湖北高考题改编的。

原题是这样的：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接(I)证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(II)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为，求的值． 大家可以看出，我们例题的（1）（2）两个小题就改编自这题，只是没有用它的名称，实际上，“阳马”和“鳖臑”怎么来的，《九章算术》里是这样描述的：《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。

斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。

阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.我们可以看出来，“阳马”和“鳖臑”是截长方体所得，那么如果有需要也可以补形回去。

而且“阳马”和“鳖臑”的最长的棱就是对应长方体的体对角线。

ABCD P -PD ⊥ABCD PD CD =PC E EF PB ⊥PB F ,,,.DE DF BD BE π3DCBC D F P EC BA关于“鳖臑”这个几何体，浙江省也考过一个相关的题目，不过没有提出这个名称：（2008•浙江14）如图，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O的体积为.要是了解鳖臑的由来，这道题就迎刃而解了，此球就是补回的长方体的外接球，半径就是体对角线的一半，体积也就可以求解了。

专题强化练 立体几何中的数学文化问题一、选择题1.（2019·河南高考模拟）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD CD =，点E ，F 分别为PC ，PD 的中点，则图中的鳖臑有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C 【解析】由题意，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DC ⊥，PD BC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，所以BC CD ⊥，所以BC ⊥平面PCD ，BC PC ⊥，所以四面体PDBC 是一个鳖臑，因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥，因为PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑， 同理可得，四面体PABD 和FABD 都是鳖臑，故选C.2.（2019·上海市青浦区第一中学高二期中）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16,故选：D．3.（2018·全国高考模拟）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD-中，侧棱PD⊥底面ABCD，从A，B，C，D四点中任取三点和顶点P所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（）A.14B.23C.35D.310【答案】B【解析】从A，B，C，D四点中任取三点和顶点P所形成4个四面体,为：P ABC P ABD P ACD P BCD----，，，,其中四面体P ABD P BCD，--为鳖臑,在4个四面体中任取2个有6种情况,其中一个四面体为鳖臑的情况有4种,则其中一个四面体为鳖臑的概率4263P==,故选B4.（2018·湖南高一月考）中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为A ．392B ．752C ．39D ．60116【答案】D【解析】设下底面的长宽分别为,x y ，有2()18,9.x y x y +=+=则“刍童”的体积为21113[2(6)(23)](302)(21739)622x x y xy y x x ⨯+++=++=-++, 当174x =时，“刍童”的体积取最大值60116，选D. 5.（2018·湖北华中师大一附中高考模拟（理））《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC =，2BC =，13AA =，截面11AB C 将该直三棱柱分割成一个阳马和一个鳖臑，则得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为（ ）A.2:1B.1:2C.1:1D.2:3 【答案】C【解析】由题得四棱锥11A BCC B -为阳马，三棱锥111A A B C -为鳖臑，将两个直三棱柱111ABC A B C -拼在一起，得到一个长方体，则四棱锥11A BCC B -、三棱锥111A A B C -和长方体的外接球是一样的，所以得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为1:1.故选C 6.（2019·福建高一期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角，连接ED ，则CDE ∆为直角三角形，不妨设2AB a =，则,3DE EC a ==，所以sin 3DE ECD EC ∠==,故选B ．7.（2018·山西高考模拟）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是 （ ）A.25πB.50πC.100πD.200π【答案】B 【解析】以1,,BC BA BB 为边,将图形补形为长方体,长方体外接球即阳马的外接球,长方体的对角线为球的直径,即()2222234550R =++=,故球的表面积为24π50πR =.选B. 8.（2018·山西高考模拟（文））《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15AA AC ==，3AB =，4BC =，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是（ ）A.25πB.50πC.100πD.200π【答案】B 【解析】将阳马111C ABB A -补为一个棱长为345，，的长方体，2R =，2R ∴=， 2524502S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭球，故选B. 9.（2018·福建高考模拟）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当堑堵111ABC A B C -的侧面积最大时，阳马11B A ACC -的体积为（ ）A.43B.83 C.4 【答案】A【解析】根据题意，设,AC x BC y ==，则有224x y +=，堑堵111ABC A B C -的侧面积(2)242()S x y x y =++⨯=++侧44≤+=+x y ==时取等号，此时11142333V AC CC BC =⨯⨯⨯==，故选A. 10.（2019·云南高三月考）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（ ）A.13B.23C.83 D.163【答案】B【解析】设正方体的边长为2r ，因为33(2)8V r r 正方体==，3111883V V r -=正方体牟合方盖，所以18V -正方体18V 牟合方盖112·=383V V V =⇒正方体牟合方盖正方体，故选B ． 11.（2018·福建高考模拟）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．现有一块底面两直角边长为3和4，侧棱长为12的“堑堵”形石材，将之切削、打磨，加工成若干个相同的石球，并让石球的体积最大，则所剩余的石料体积为（ ）A.7216π-B.7212π-C.728π-D.726π- 【答案】C【解析】当每个石球与各侧面相切时，半径为r .由半径为r 的圆与两直角边长为3和4的直角三角形内切，由等面积法可得：()113453422r ⨯++=⨯⨯，解得1r =. 由题可知，可以得到6个这样的石球.6个半径为1的石球的体积为：346π183π=. 则所剩余的石料体积为:1341287282ππ⨯⨯⨯-=-.故选C. 二、填空题12.（2019·江苏泰州中学高三月考）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2.则“牟合方盖”的体积为__________．【答案】163【解析】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r ＝1，∴正方体的内切球的体积344=1=33V ππ⨯球，又由已知=4V V π球牟合方盖 ，∴4416==33V ππ⨯牟合方盖 ． 13.（2019·江西高二期中（文））在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，4MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的体积为_____．【答案】【解析】M ABC -四个面都为直角三角形，MA ⊥平面ABC ，4MA AB BC ===，∴ 三角形的边AC =MC ==心为MC 的中点，∴ 外接球的半径为12MC =．∴ 该鳖臑的外接球的体积为343V π=⨯=．14.（2017·四川高三期中）刘徽（约公元 225 年—295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.” 刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.” 其实这里所谓的“鳖臑（biē nào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥. 如图，在三棱锥A BCD -中，AB 垂直于平面BCD ，AC 垂直于CD ，且 1AB BC CD ===，则三棱锥A BCD -的外接球的球面面积为__________.【答案】3π【解析】由条件知道AB 垂直于平面BCD ，AC 垂直于CD ，故AB 垂直于CD ，从而得到CD 垂直于面ABC ，故三角形ABD 和三角形ACD 都是直角三角形，则外接球球心在AD的中点上，记作O 点，2BD AD R === 表面积是2344?3.4R πππ== 15．（2019·安徽高三期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，3AC =，鳖臑11A BCC -的体积为2，则阳马111A BCC B -外接球表面积的最小值为__________．【答案】17π【解析由于“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”，故可知阳马111A BCC B -外接球球心为1A B 的中点，且1A B 为外接球的直径. 鳖臑11A BCC -的体积为2，故堑堵111ABC A B C -的体积为326⨯=.设1,BC x CC y ==，依题意136,42x y xy ⋅⋅⋅==.而222222119A B AC BC CC x y =++=++，故阳马111A BCC B -外接球表面积为()2221ππ9A B x y ⋅=⋅++，由基本不等式得()()22π9π2917πx y xy ⋅++≥+=，即阳马111A BCC B -外接球表面积的最小值为17π.三、解答题16.（2019·上海市七宝中学高三期末）在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中（如图），AD =AA 1=1，AB =2，点E 是棱AB 的中点．（1）求异面直线AD 1与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D 1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．【解析】（1）取CD 中点F ，连接AF ，则AF ∴EC ，∴∴D 1AF 为异面直线AD 1与EC 所成角．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由AD =AA 1=1，AB =2，得11A D AF D F ==∴∴AD 1F 为等边三角形，则13D AF π∠=．∴异面直线AD 1与EC 所成角的大小为3π；（2）连接DE ，∴E 为AB 的中点，∴DE =EC ，又CD =2，∴DE 2+CE 2=DC 2，得DE ∴CE ．∴D 1D ∴底面DEC ，则D 1D ∴CE ，∴CE ∴平面D 1DE ，得D 1E ∴CE ．∴四面体D 1CDE 的四个面都是直角三角形，故四面体D 1CDE 是鳖臑．17.（2018·山东高考模拟）如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,底面ABCD 是矩形, EF BC <.(1)证明: EF 平面ABCD ;(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体ABCDEF 为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍ABCDEF 的体积求法表述为:术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍ABCDEF 的“下袤” BC 的长为a ,“上袤” EF 的长为b ,“广” AB 的长为c ,“高”即“点F 到平面ABCD 的距离”为h ,则刍甍ABCDEF 的体积V 的计算公式为: ()126V a b ch =+,证明该体积公式. 【解析】（1）证明：ABCD 是矩形，BC AD ∴， 又AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，BC ∴平面ADEF ，又BC ⊂平面BCEF ，平面ADEF ⋂平面BCEF EF =BC EF ∴，又BC ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，EF ∴平面ABCD .（2）解：设,G H 分别是棱,BC AD 上的点，且满足GC HD EF ==，链接,,FG FH GH .由第（1）问的证明知，GC HD EF ，所以四边形GCEF 和GCDH 为平行四边形.,GF CE GH CD ∴，又CD CE C ⋂=，∴平面GHF CDE ，∴多面体CDE GHF -为三棱柱.因此，刍甍ABCDEF 可别分割成四棱锥F ABGH -和三棱柱CDE GHF -. 由题意知，矩形ABGH 中，BG BC CG BC =-= ,EF a b AB c -=-=∴矩形ABGH 的面积()ABGH S a b c =-，又四棱锥F ABGH -的高，即“点F 到平面ABCD 的距离”为h ， ∴四棱锥F ABGH -的体积()1133F ABGH ABGH V S h a b ch -==-； 三棱柱CDE GHF -的体积可以看成是以矩形GCDH 为底,以点F 到平面ABCD 的距离h 为高的四棱柱体积的一半.又矩形GCDH 的面积ABGH S bc =∴三棱柱CDE GHF -的体积1122CDE GHF GCDH V S h bch -== 刍甍ABCDEF 的体积： F ABGH CDE GHF V V V --=+= ()1132a b ch bch ch -+= ()12326a b b a b ch -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. ∴刍甍ABCDEF 体积公式得证.。

立体几何中的数学文化——“五角锥”与“阴狗”引言在数学领域，几何学是一门探索空间关系和形状的学科。

立体几何是几何学的一个分支，研究的对象是三维空间内的物体及其特征。

本文将介绍两个立体几何中的数学文化，即“五角锥”和“阴狗”。

五角锥五角锥是一种具有五个三角形侧面和一个五边形底面的立体图形。

它有多种应用和数学特性。

五角锥的侧面和底面都是多边形，所以它对多边形的研究具有重要意义。

五角锥也是一种特殊的锥体，它的顶点在底面以上。

五角锥在几何学中有着丰富的性质和应用。

例如，五角锥具有五条顶点到底面的边，这些边被称为“母线”。

五角锥的母线长度都相等，而且与它们所在边的位置有特定的几何关系。

这些特性对于建筑设计、纺织和工程学等领域具有重要意义。

此外，五角锥还与黄金比例等数学概念有关。

黄金比例是一个在艺术和自然界中常见的比例关系，它与五角锥的形状紧密相关。

研究五角锥可以帮助我们理解黄金比例及其在数学和美学中的应用。

阴狗阴狗是指立体几何中的一个特殊形状，由于难以描述其几何特征，因此得名为“阴狗”。

这个名字起源于形状看起来像是一只蜷曲的狗。

阴狗具有许多独特的属性，使其成为立体几何中的一个有趣的研究对象。

阴狗的形态复杂多变，它由一系列非连续的曲面和棱边组成，不同于其他常见的几何体。

因此，阴狗的几何性质和计算方法与常规的几何体不同。

它在数学建模和计算几何学中拥有广泛的应用。

由于阴狗的特殊性，对其进一步研究和理解有助于拓展立体几何的领域，并为解决实际问题提供新的思路和方法。

结论立体几何是数学中一个重要的分支，研究空间关系和形状的三维图形。

在立体几何中，五角锥和阴狗是两个有趣的数学文化。

五角锥具有多边形的性质，与黄金比例相关，并在工程学和建筑设计中具有应用。

阴狗则是一个复杂而独特的几何形状，具有广泛的应用领域。

通过研究和理解这些数学文化，我们可以深入探索立体几何的奥秘，拓展我们对空间关系和形状变化的认知，为数学应用和实际问题的解决提供新的思路和方法。

专题三立体几何中的数学文化题一.考点解读：立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球（圆柱、圆锥、圆台）的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等为背景来考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积以及空间位置关系等．二．数学文化的典型题：（1）牟合方盖：牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于微元法。

由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。

刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。

规之为圆囷，径二寸，高二寸。

又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。

八棋皆似阳马，圆然也。

按合盖者，方率也。

丸其中，即圆率也。

”所以“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一，解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程。

（2）商功：商功是中国古代九章算术之一，即测量体积，计算工程用工的方法。

《周礼·地官·保氏》“六曰九数”，注：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。

”贾公彦疏：“九数者方田已下皆依九章筭术而言。

”严复《救亡决论》：“其中相地设险，遮扼钩联，又必非不知地不知商功者所得与也。

”我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征．结合立体几何中的基础知识设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养。

（3）祖暅原理：祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题，是中国南北朝时代的伟大科学家祖暅在5世纪末提出的体积计算的原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。

立体几何中的数学文化——“方柱”与“阴马”立体几何是数学中一门非常有趣且广泛应用的学科，它涉及到空间中各种形状的研究和分析。

在这个领域中，方柱和阴马是两个重要的概念。

方柱方柱是一种立体形状，它由一个矩形底面和四个身高相等的矩形侧面组成。

方柱的特点是具有六个平面面，其中底面和顶面是矩形，侧面是长方形。

方柱在日常生活中常见于建筑物、家具和一些中。

在立体几何中，方柱有许多有趣的性质和特征。

例如，它的体积可以通过底面积与高度的乘积来计算。

同时，方柱的表面积也可以通过顶面和底面的面积加上四个侧面的面积来计算。

这些公式在解决实际问题和进行几何推理时非常有用。

阴马阴马是另一个立体几何中的重要概念。

它由一个以上的平面组成，这些平面之间没有重叠，也没有空隙，形成了一个封闭的空间。

阴马的名称来源于它的形状类似于一只马的轮廓。

阴马在数学文化中扮演着重要角色。

许多古代的数学家和艺术家对阴马的形状进行了研究和创作。

同时，阴马也是许多数学难题和几何推理的基础。

通过研究阴马，我们可以发现其中隐藏的几何规律和原理。

数学文化中的立体几何立体几何作为数学的一个分支，在数学文化中起着重要的作用。

它不仅仅是一种学科，更是一种创造力和思维的表达方式。

方柱和阴马作为立体几何中的两个重要概念和形状，体现了数学在日常生活中的应用和美学价值。

它们不仅仅存在于数学课本和学术研究中，也出现在建筑、艺术和设计中。

通过研究和理解方柱和阴马，我们可以发现其中的数学原理和几何特性，进而深入了解立体几何的数学文化。

这种探索和欣赏数学的过程，不仅能够培养我们的创造力和逻辑思维能力，还能够增加对数学的兴趣和理解。

在教育和传播数学文化的过程中，立体几何的相关内容也是不可或缺的一部分。

通过将方柱和阴马与实际生活和艺术创作结合起来，可以激发学生对数学的兴趣，并加深他们对立体几何的理解。

总结起来，立体几何中的数学文化涉及到方柱和阴马这两个重要的概念。

通过研究和欣赏方柱和阴马的形状和性质，我们可以更好地理解立体几何的数学原理和美学价值。