流体力学 第4章-基本方程

y 1 yx y yz x y z gy x y z t x y z y y y
zy z z 1 x z y z z z g z zx x t x y z y z
vr vx cos v y sin
vn
v vx sin v y cos
vz
1 rvr 1 v vz 0 t r r r z
12/57
第三章
基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程
§3 动量方程
图3.1 流体实体容积
4/57
输运定理

d 1 dV lim t 0 t dt V
V r ,t t
推导

r , t dV
V r ,t t

r , t dV
r , t t dV r , t dV V r ,t t V r ,t
单位体积内总的动量变化率等于作用在物体上的外力之和。
19/57
动量方程

柯西形式
div g div T t ( ) ( ) g divT t t ( ) ( ) g divT t t
（切应力张量第一下标表示作 用面法向，第二下标表示力的 方向）。
16/57
z
动量方程
推导
dz
Txx nx Txy ny Txz nz i
dy
dx x A
o
B
y
Tyx nx Tyy ny Tyz nz j Tzx nx Tzy ny Tzz nz k
17/57
动量方程
推导
用应力张量替换应力向量，动量平衡方程可写成：
动量变 化率 对流动 量通量
体积力
表面力
t dV () dA V gdV ()TdA V A A



t dV () .dA F V A
d dV V（确定） t dV ( A入) dA ( A出) dA V（确定） t dV ( A确定) dA dt V（不定）
dV
dV dV
6/57
第三章
基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程
§4 角动量方程
§5 能量守恒方程
§6 初始条件和边界条件
13/57
动量方程
d ,t dV F dt V r
推导
对于系统，由动量守恒定律（牛顿第二定律）有：
d dV dV dA dt V t V ( A)
应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时动量守恒方程
§3 动量方程
§4 角动量方程
§5 能量守恒方程
§6 初始条件和边界条件
7/57
质量守恒定律
推导
质量守恒原理指
物体质量在运动中保 持不变，换言之，物
体质量随时间的变化
率为零。 如右图所示，在
考察的物质系统内，
围绕任意点取一无限 小体积。
图3.2 流动流体的物质体积
8/57
质量守恒定律
对于系统，由质量守恒定律有：
外力
应力矢量 应力张量
r , t, n
T r ,t n
x Txx y Tyx T z zx Txy Tyy Tzy Txz Tyz Tzz




应力张量和方 向矢量缩并得 应力矢量

V
t

dV

( A)
( dA) F

( A)
dt dA dt


控制体内的 动量变化率

输出控制体 动量流量

输入控制体 动量流量

作用于控制 体的合力
控制体净输出 的动量流量
14/57
动量方程
体积力 表面力
推导
单位质量上的体积力 单位面积上的表面力
法向应力： 法向
r r r r p.n Txx nx i Tyy n y j Tzz nz k
切向应力1： 切向1 Txy n y i Tyz nz j Tzx nx k
切向应力2：

切向2
Txz nz i Tyx nx j Tzy n y k
22/57
第三章
基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程
§3 动量方程
§4 角动量方程
§5 能量守恒方程
§6 初始条件和边界条件
23/57
角动量方程
用在该流体上的所有外力矩之和。
推导
角动量守恒原理是指一定体积 V 流体的角动量变化率等于作 对于系统，由角动量守恒定律有： d ,t (r ) dV M dt V r 应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时角动量守恒方 程可表述为：
考虑到连续性方程， div 0 上式变为：
d 1 g divT dt
上式为柯西运动方程，表示单位质量流体的动量平衡。
20/57

t
柯西方程
笛卡儿坐标系下的柯西方程：
直角坐标形式
x x x x 1 x xy xz x y z gx x y z t x y z
3/57
输运定理
推导
为了将系统分析法转换成控制体积分析法，我们必须将数学导
式转换成针对某一特定的区域（而非个别的质点）来作，此变换称
为雷诺输运定理(Reynolds transport theorem)，该定理可应用在任一 基本定律上。
取如右图所示系 统，函数 (r , t ) 在 整个系统区域上是连 续的、单值的、可微 的。
1 lim t 0 t
V
dV

A

vdA
d dV dV dA dt V t V ( A)
5/57
输运定理
推导
控制体内函数变化量等于同一空间内函数的时间不均匀性引 起的变化量与控制体界面上由于对流引起的函数变化量之和。这 就是著名的输运定理，是由欧拉首先提出的。
或
t 0
divv 0
11/57
质量守恒定律
直角坐标系中质量守恒方程为：
柱坐标形式
vx v y vz 0 t x y z
柱坐标系中积分形式质量守恒方程为：
t dV V vn dA 0 V
柱坐标系中质量守恒微分方程为：
2
z z z 1 1 r rz 1 z z r z z gz t r r z r r r z
该偏微分方程组就是所谓的流体运动的应力形式的动量方程， 代入不同流体的本构方程就可以得到不同流体的运动方程。
矩阵形式
nx ny n z
15/57
动量方程
在笛卡儿坐标系中， 应力向量的各分量为：
推导
Txx nx Txy ny Txz nz i
Tyx nx Tyy ny Tyz nz j Tzx nx Tzy ny Tzz nz k
dV
t 0 V r ,t t

lim
r , t t r , t
t
dV

V
dV t
V r ,t t
r , t dV r , t dV r , t dV
V r ,t V
dV l dA (Vdt) dA
将基于系统的基本原理表达成适用于控制体的形式，这就是输运
定理所要解决的问题。
2/57
输运定理
1.系统：
概念
系统是一团确定不变的物质的集合。
特点：（1）系统边界随流体一起运动，其形状、大小可随
时间变化；
（2）系统可以通过边界与外界发生力的作用和能量 交换，但不发生质量交换，即系统的质量是不
变的。
2. 控制体：在空间上体积固定不变的连续、封闭区域。 特点：（1）控制体的边界相应于坐标系是固定不变的； （2）控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而 且可以有质量的交换。
第三章
基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒定律
§3 动量方程
§4 角动量方程
§5 能量守恒原理
§6 初始条件和边界条件
1/57
输运定理
引言
所有的力学定律,都是从系统的观念推导而得的，而以系统为
对象研究流体运动，就必须随时对系统进行跟踪并识别边界，这
在实际流动过程中显然是很困难的。况且，工程上所关心的问题 也不在于跟踪质量确定流体的运动，而在于确定的设备空间中流 体的流动行为。 在工程流体力学中，更多的是采用以控制体为对象，而如何
微分形式
运用高斯散度定理，则有质量守恒定律的积分形式：
divv dV 0 t V
质量守恒定律的微分形式：
0 div t div v dV 0 t
grad div 0 t 对不可压缩流体， ，则方程简化为

18/57
动量方程微分形式
t dV () dA V gdV ()TdA V A A