河北省中考数学历年二次函数专题总结复习

中考复习专题——二次函数知识点总结二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：=+的性质：y ax c结论：上加下减。

总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。

总结：4. ()2y a x h k =-+的性质：总结：1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。

请将2y ax bx c =++配成()2y a x h k =-+。

总结：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)222-32。

初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是中学数学中非常重要的一个内容，也是中考数学中的重点。

下面是对初中数学中考复习二次函数知识点的总结和归纳整理。

一、二次函数的定义1. 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2.二次函数的图像为抛物线，开口方向与a的正负有关。

-当a>0时，抛物线开口向上。

-当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的性质1.对称轴：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直，其方程为x=-b/2a。

2.顶点：二次函数的顶点位于对称轴上，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。

-当a>0时，顶点是抛物线的最低点。

-当a<0时，顶点是抛物线的最高点。

3. 判别式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac表示方程ax² + bx + c = 0的根的情况。

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

-当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

-当Δ<0时，方程没有实根。

4.单调性：-当a>0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。

-当a<0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。

三、二次函数的图像特征1.a的正负决定了抛物线的开口方向。

2.，a，的大小决定了抛物线的陡峭程度，a，越大抛物线越陡峭。

3.当b=0时，抛物线经过原点。

4.当c=0时，抛物线经过x轴。

5.当a>0时，函数值在顶点处取得最小值。

6.当a<0时，函数值在顶点处取得最大值。

四、二次函数的方程求解1. 解二次方程ax² + bx + c = 0的一般步骤：- 利用判别式Δ = b² - 4ac判断方程的根的情况。

-若Δ>0，方程有两个不相等的实根，可以用求根公式x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a求解。

2024河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质(讲义）考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式探究问题202223解答题10（1）抛物线对称轴、最值、图象上点的坐标；（2）函数图象平移特点：点坐标的平移、两点间最短距离定抛物线性质探究：(1)求抛物线对称轴，最值，另一点横坐标；(2)求平移的最短距离点移动最小距离20212510（1）已知抛物线与x轴交点、与直线y=a的交点问题；（2）二次项系数a决定抛物线形状，最大值决定a＜0，顶点式中k的值，顶点式求抛物线解析式；（3）抛物线与动线段交点问题定抛物线性质探究：(1)求点横坐标，画y轴，指出点所落的台阶(2)求抛物线解析式，求对称轴(3)求横坐标最大值与最小值的差点横坐标最大值与最小值的差20192612（1）平行于坐标轴的直线、抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线对称轴与x轴交点坐标的关系；（2）直线下方的图象的函数值小于直线对应的函数值，二次函数性质求最大值；（3）平均数→中点，函数图象上点的性质；（4）直线与抛物线交点个数问题含参抛物线（y=-x2+bx）性质探究：(1)求直线、对称轴、交点坐标(2)求点与直线距离最大值(3)求两点间距离(4)求“美点”的个数美点的个数20162612（1）反比例函数k的几何意义；（2）抛物线与x轴交点坐标，对称轴；（3）二次函数性质求最值，分类讨论思想；（4）反比例函数图象与抛物线交点问题含参抛物线（y=-12(x-t)(x-t+4)）性质探究：(1)求反比例函数k的值(2)求两点间距离，两直线间距离(3)求最高点坐标(4)求参数取值范围抛物线与双曲线交点问题20152511（1）求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标；（2）抛物线与y轴交点坐标，二次函数性质求最值，二次函数增减性；（3）抛物线与线段交点问题（x轴），分类讨论思想含参抛物线（y=-(x-h)2+1）性质探究：(1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标(2)求点纵坐标最大值，比较两点纵坐标大小(3)求参数h值抛物线与线段交点问题典例精讲例(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.例题图(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；(3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB 恰好有一个交点，求n的取值范围．(4)若原抛物线沿y轴平移，平移后的抛物线顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离，点F的坐标.选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想方法总结知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式解题方法：对称轴：①解析式已知，直接代入x=－2；②已知抛物线与x轴两交点，直接代入x=x+y2顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式；②顶点式：直接得到顶点坐标；③交点式：化为顶点式求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得1.平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）；②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确定平移方式，通常通过顶点来确定；2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可；3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分类讨论思想，选择取值范围的两端点的x值分别代入求解即可.练习(2022河北预测卷)如图，抛物线y＝－12x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.练习题图(1)当k＝－1时．①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标；②当－2≤x≤1时，求抛物线的最大值与最小值的差；(2)直线L：y＝6交y轴于点C，交抛物线于点M，N(M在N的左侧).当x≤12k时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，请直接写出此时k的值．练习1(2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.练习题图(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x 轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．练习2(2022河北逆袭诊断卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l1∶y＝－12x＋2与坐标轴交于A，B两点，与抛物线l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，过抛物线的顶点P向x轴作垂线，交直线l1于点Q.(1)当m＝1时，求抛物线的解析式及点P的坐标；(2)若点Q的横、纵坐标都不小于0，当线段PQ取得最小值时，求△PCD的面积；(3)当抛物线与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵直线y＝x＋2经过点A，且点A在y轴上，∴点A横坐标为0，将x＝0代入解析式y＝x＋2中，解得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)，∵直线y＝x＋2经过点B，点B的横坐标是4，∴将x＝4代入解析式y＝x＋2中，得y＝6，∴点B的坐标为(4，6).∴将点A(0，2)，点B(4，6)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，得＝2，16＋4＋＝6，得＝－3，＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2；(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2，∴点P坐标为(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x轴交AB于点C，∴点C的坐标为(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴当m＝2时，PC有最大值，最大值为4，此时点P坐标为(2，0)；(3)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－32)2－14，∵将抛物线沿x轴平移n个单位长度，得到抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，∴可设抛物线解析式为y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2＝(x－32＋n)2－14，通过图象可知，①当抛物线经过点A时，与线段AB恰有一个交点，将点A(0，2)代入抛物线解析式，得(－32＋n)2－14＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为0＜n≤3；②当抛物线恰好经过点B时，与线段AB恰有一个交点，将B (4，6)代入抛物线解析式，得(52＋n )2－14＝6，解得n 1＝－5，n 2＝0(舍去)，∴n 的取值范围为－5≤n ＜0.∴n 的取值范围为－5≤n ＜0或0＜n ≤3.(4)由(1)得，抛物线解析式为y ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14∵顶点坐标为(32，-14)，32代入直线解析式y ＝32＋2=72，顶点坐标为(32，72)，∴平移距离=14+72=154，∴平移后抛物线y ＝(x －32)2+72，联立＝(－32)2+72＝+2，解得x ＝52x ＝32当＝32时，交点为平移后抛物线顶点坐标(32，72)当＝52时，交点F 坐标为(32，92).课堂练兵解：(1)①对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，92)；【解法提示】∵k ＝－1，∴y ＝－12x 2－x ＋4＝－12(x ＋1)2＋92x ＝－1，顶点坐标为(－1，92).②由①得，抛物线y ＝－12x 2－x ＋4的对称轴为直线x ＝－1，12＜0，∴当－2≤x ≤－1时，y 随x 的增大而增大，当－1＜x ≤1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，抛物线有最大值为92，∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，∴当x ＝1时，抛物线有最小值，最小值为52，∴当－2≤x ≤1时，抛物线的最大值为92，最小值为52，9－5＝2；(2)k的值为－22或436.【解法提示】设直线x＝12k交抛物线于点P，抛物线的顶点为R，∵y＝－12x2＋kx＋4＝－12(x－k)2＋12k2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点R的坐标为(k，12k2＋4)，当x＝12k时，y＝－12×(12k)2＋k×12k＋4＝38k2＋4，∴P(12k，38k2＋4).当k＜0时，如解图①，当x≤12k时，最高点为R(k，12k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，12k2＋4－6＝2，解得k＝－22或k＝22(舍去)；当k≥0时，如解图②，当x≤12k时，抛物线的最高点为P(12k，38k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，38k2＋4－6＝2，解得k＝436或k＝－436(不符合题意，舍去).综上所述，k的值为－22或436.解图②解图①课堂小练练习1解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝14，∴抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2.∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令1(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，∵点A在y轴上，∴AB＝2；(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2，∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－h)2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，－14（6－ℎ）2＋＝3ℎ＝8＝4.将点D(6，3)，F(12，0)代入，可得－14（12－ℎ）2＋＝0，解得∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－8)2＋4.当小车距离x轴的垂直距离是2.5时，则2.5＝14(x－4)2＋2，解得x＝4±2，或2.5＝－14(x－8)2＋4，解得x1＝8＋6，x2＝8－6(不合题意，舍去)，∴小车到出发点A的水平距离为4＋2或4－2或8＋6；(3)由抛物线y＝－14(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，设M(d，0)(8＜d＜12)，∴点P(d，－14(d－8)2＋4)，则S P＝d－8，PM＝－14(d－8)2＋4，∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－14(d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－14(d－10)2＋9，∵8＜d＜1214＜0，∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0)练习2解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴将m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵点P为抛物线的顶点，∴点P的坐标为(1，－2)；(2)∵抛物线y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，∴顶点P在直线y＝－2上，∵点Q 的横、纵坐标都不小于0，∴点Q 在线段AB 上，如解图，当点Q 与点B 重合时，线段PQ 的值最小，过点C ，D 分别作PQ 所在直线的垂线，垂足分别为E ，F ，∵点B 的坐标为(4，0)，∴x ＝－－2m 2＝m ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－8x ＋14，＝x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，可得x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，解得x 1＝15＋334，x 2＝15－334，∴CE ＋DF ＝x 1－x 2＝332，∴S △PCD ＝S △PBC ＋S △PBD＝12PB ·CE ＋12PB ·DF ＝12PB ·(CE ＋DF )＝12×2×332＝332；解图(3)m 的取值范围为－2≤m ＜2或4－2＜m ≤4＋2.【解法提示】分两种情况讨论：①当抛物线过点A时，可得m2－2＝2，解得m＝2或m＝－2，当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2，＝x2－4x＋2＝－12x＋2，可得x2－4x＋2＝－12x＋2，解得x1＝0或x2＝72，∵x2＝72＜4，∴两交点都在线段AB上，∴－2≤m＜2；②当抛物线过点B时，可得(4－m)2－2＝0，解得m＝4＋2或m＝4－2，∴4－2＜m≤4＋ 2.。

初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数是初中数学中的重要内容，掌握了二次函数的知识，能够帮助我们理解函数的基本概念、图像和性质，同时也是后续学习函数、解析几何和微积分等内容的基础。

一、二次函数的定义和基本性质1.二次函数是一个以抛物线形状为特征的函数，其图像在平面直角坐标系中呈现出对称轴和顶点。

2.对于任意的a、b、c，二次函数的图像都存在对称轴，并且过对称轴的顶点。

3.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

4. 当Δ=b²-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即该二次函数的解存在两个不同的实根；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即该二次函数的解存在一个实根；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即该二次函数无实根。

5. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) =ax²+bx+c。

二、二次函数的图像与平移1. 对于y=ax²+bx+c，当a>0时，整个二次函数图像上移a个单位；当a<0时，整个二次函数图像下移a个单位。

2. 对于y=ax²+bx+c，当c>0时，整个二次函数图像上移c个单位；当c<0时，整个二次函数图像下移c个单位。

3. 对于y=ax²+bx+c，当b>0时，整个二次函数图像向左平移b个单位；当b<0时，整个二次函数图像向右平移b个单位。

三、二次函数的解和性质1.根据二次函数的定义，可以用求根公式计算二次函数的解，即x=(-b±√Δ)/(2a)。

2.根据二次函数的判别式Δ的大小，可以判断二次函数的解的情况，进而判断图像的开口方向和顶点的位置。

3.根据二次函数的顶点坐标和开口方向，可以确定二次函数的整个图像。

2021年河北省石家庄中考数学总复习：二次函数解析版一．选择题（共50小题）1．二次函数y＝﹣x2+4x+1有（）A．最大值5B．最小值5C．最大值﹣3D．最小值﹣3【解答】解：y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5．由于a＝﹣1＜0，所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（2，5）．所以该抛物线有最大值，且最大值是5．故选：A．2．将抛物线y＝x2﹣1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣3）2﹣4B．y＝（x+3）2+2C．y＝（x﹣3）2+2D．y＝（x+3）2﹣4【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1向右平移3个单位，得：y＝（x﹣3）2﹣1；再向上平移3个单位，得：y＝（x﹣3）2﹣1+3，即y＝（x﹣3）2+2；故选：C．3．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关【解答】解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+p2）2+4q−p24，∴该抛物线的对称轴为x=−p2，且a＝1＞0，当x=−p2＜0，∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q，∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q，∴函数最大值与最小值的差为1+p；当x=−p2＞1，∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q，∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q，∴函数最大值与最小值的差为﹣1﹣p；当0≤x=−p2＜12，此时当x ＝1时，函数有最大值1+p +q ，当x =−p2时，函数有最小值q −p 24，差为1+p +p 24，12＜x =−p 2≤1，当x ＝0时，函数有最大值q ，当x =−p 2时，函数有最小值q −p 24，差为p 24，x =−p 2=12，当x ＝0或1时．函数有最大值q ，当x =−p 2时，函数有最小值q −p 24，差为p 24，综上所述，此函数最大值与最小值的差与p 有关，但与q 无关， 故选：D ．4．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象，使y ≥﹣1成立的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣1B ．x ≤﹣1C ．﹣1≤x ≤3D ．x ≤﹣1或x ≥3【解答】解：由函数图象可知，当y ≥﹣1时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 不在y ＝﹣1下方部分的自变量x 满足：﹣1≤x ≤3， 故选：C ．5．在二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 y﹣14﹣7﹣22mn﹣7﹣14则m 、n 的大小关系为（ ） A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．无法确定【解答】解：把x ＝1，y ＝2和x ＝﹣1，y ＝﹣2都代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得 {−1+b +c =2−1−b +c =−2 解得，{b =2c =1，∴二次函数的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +1，把x ＝2，y ＝m 和x ＝3，y ＝n 代入y ＝﹣x 2+2x +1得， m ＝﹣4+4+1＝1， n ＝﹣9+6+1＝﹣2， ∴m ＞n ， 故选：A ．6．如图在平面直角坐标系中，一次函数y ＝mx +n 与x 轴的轴交于点A ，与二次函数交于点B 、点C ，点A 、B 、C 三点的横坐标分别是a 、b 、c ，则下面四个等式中不一定成立的是（ ）A ．a 2+bc ＝c 2﹣abB ．c 2−b 2b =c−b b−aC ．b 2（c ﹣a ）＝c 2（b ﹣a ）D ．1a=1b +1c【解答】解：一次函数y ＝mx +n 与x 轴的轴交于点A ，故点（a ，0）， 将点A （a ，0）坐标代入一次函数表达式得：0＝am +n ， 解得：n ＝﹣am ，故一次函数的表达式为y ＝mx ﹣am ，∵点B 、C 在一次函数上，故点B 、C 的坐标分别为（b ，mb ﹣ma ）、（c ，mc ﹣ma ）， 设二次函数的表达式为y ＝Ax 2，点B 、C 在该二次函数上，则{bm −ma =Ab 2①mc −ma =Ac 2②，（1）②﹣①得：A （b 2﹣c 2）＝m （c ﹣b ），等式两边同除以Ab 2得，A(b 2−c 2)Ab 2=m(c−b)Ab 2，即c 2−b 2b =c−b b−a，故B 正确，不符合题意；（2）①÷②得：b−a c−a=b 2c ③，即C 正确，不符合题意；。

2021年河北省秦皇岛市中考数学总复习：二次函数解析版一．选择题（共50小题）1．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac ＜0；②a +b ＝0；③b ＜a +c ；④4c ＝4+a ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴ac ＜0，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标为（12，1）， ∴抛物线得对称轴为直线x =−b 2a =12， ∴b ＝﹣a ，即a +b ＝0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的负半轴的交点到原点的距离小于1，∴x ＝﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，即b ＞a +c ，所以③错误；∵抛物线的顶点的纵坐标为1，∴4ac−b 24a =1，把b ＝﹣a 代入得4c ﹣a ＝4，所以④正确．故选：C ．2．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，c ＞0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：x…﹣10123…y＝ax2+bx+c…p t n t0…有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，∴对称轴为：x=0+22=1，∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，∴p＝0，∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②错误；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，∴t＝c＞0，∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x=−b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，∵顶点坐标为（1，n），a＜0，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴am2+bm≤a+b，∴am2+bm≤﹣a，∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，故选：B．3．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项不符合题意；B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意；D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；。

中考专题复习二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数()2=-+的图象与性质y a x h k（1）二次函数基本形式2=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax（2）2=+的图象与性质：上加下减y ax c（3）()2y a x h =-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：，已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：，已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：，已知图象与轴的交点坐标、.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故 如果0=b 时，对称轴为y 轴；如果0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx n y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题。

河北中考复习之二次函数一、填选题1、在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象大致为2、某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数y=201x 2（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5m ，则开始刹车时的速度为（ ）A ．40m/s B ．20m/s C ．10m/s D ．5m/s3、一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t ﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（ ） A 、1米 B 、5米 C 、6米 D 、7米4、如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）5、如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是（ ）A 、B 、C 、D 、6、如图6，抛物线21(2)3y a x =+-与221(3)12y x =-+交于点(13)A ，，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B C ，．则以下结论：[来源:] ①无论x 取何值，2y 的值总是正数． ②1a =． ③当0x =时，214y y -=． ④23AB AC =． 其中正确结论是（ ）A ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④7、如图，一段抛物线：y=-x （x-3）（0≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m=8、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．abc ＞0B ．3a ＞2bC ．m （am+b ）≤a-b （m 为任意实数）D ．4a-2b+c ＜09、对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，-1}=-1．若关于x 的函数y=min{2x 2，a （x-t ）2}的图象关于直线x=3对称，则a 、t 的值可能是（ ） A ．3，6 B ．2，-6 C ．2，6 D ．-2，610、求一元二次方程x 2+3x-1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=x1的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x 3-x-1=0的解的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个O x y A O x y B O x y C O xy D二、解答题1、已知一条抛物线经过A （0，3）、B （4，6）两点，对称轴为x53． （1）求这条抛物线的解析式；（2）试证明这条抛物线与x 轴的两个交点中，必有一点C ，使得对于x 轴上任意一点 D ，都有AC+BC ≤AD+BD ．2、如图7，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ′部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，AD 和A ′D ′是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ′D ′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4（1）求拱桥DGD ′所在抛物线的解析式及CC ′的长； （2）BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB 和A ′B ′的宽； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从OA （或OA ′）区域安全通过？请说明理由．3、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图8所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

中考数学复习二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的重要内容，也是考试中常见的题型之一、在复习二次函数时，需要掌握其基本概念、性质、图像和应用等方面的知识。

下面是关于二次函数的知识点总结。

一、基本概念1.二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a为二次函数的二次系数。

2.二次函数的导数与二次系数的关系二次函数的导数为一次函数，二次系数a决定了导数的单调性，当a>0时，导数在整个定义域上单调递增；当a<0时，导数在整个定义域上单调递减。

3.二次函数的对称轴二次函数的对称轴是二次函数的图像关于该轴对称的直线。

对称轴的方程为x=-b/2a，其中a、b是二次函数的系数。

4.二次函数的顶点二次函数的顶点是二次函数的图像的最低点或最高点，对称轴上的点。

顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为代入对称轴横坐标得到的纵坐标。

二、性质1.零点性质二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的零点是方程ax²+bx+c=0的解，当方程有解时，二次函数与x轴交于两点，也可能与x轴重合。

2.二次函数图像的开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

3.二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。

4.判别式二次函数方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次函数方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。

三、图像1.开口向上的二次函数图像特点开口向上的二次函数图像在顶点处为最小值，两侧递增；对称轴为y 轴且在第四象限，二次系数a为正数。

2.开口向下的二次函数图像特点开口向下的二次函数图像在顶点处为最大值，两侧递减；对称轴为y 轴且在第一象限，二次系数a为负数。

中考数学二次函数小结与复习一、本章学习回顾1． 知识结构2．学习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。

（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

（3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。

3．需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。

在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。

二、本章复习题A 组一、填空题1．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．2．抛物线2ax y =经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．3．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．4．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是 ．5．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．6．把函数261x y -=的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ． 7．已知二次函数m x x y +-=82的最小值为1，那么m 的值等于 ．8．二次函数322++-=x x y 的图象在x 轴上截得的两交点之间的距离为 ．9．抛物线122--=x x y 的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y 随x 的增大而减小．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ．11．若二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为 ．12．抛物线322--=x x y 的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ，当x= 时，y 有最 值是 ．13．抛物线c x x y ++=2与x 轴的两个交点坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，若32221=+x x ，那么c 值为 ，抛物线的对称轴为 ．14．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．15．一条抛物线开口向下，并且与x 轴的交点一个在点A （1，0）的左边，一个在点A （1，0）的右边，而与y 轴的交点在x 轴下方，写出这条抛物线的函数关系式 ．二、选择题16．下列函数中，是二次函数的有 （ ） ①221x y -= ②21x y = ③)1(x x y -= ④)21)(21(x x y +-= A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 17．若二次函数32)1(22--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A 、-1或3B 、-1C 、3D 、无法确定18．二次函数m x m x y 4)1(22++-=的图象与x 轴 （ ）A 、没有交点B 、只有一个交点C 、只有两个交点D 、至少有一个交点19．二次函数222+-=x x y 有（ ）A 、最大值1B 、最大值2C 、最小值1D 、最小值220．在同一坐标系中，作函数23x y =，23x y -=，231x y =的图象，它们的共同特点是 （D ）A 、都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B 、都是关于y 轴对称，抛物线开口向下C 、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D 、都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点21．已知二次函数772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A 、47->K B 、47-≥K 且0≠k C 、47-≥K D 、47->K 且0≠k 22．二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由221x y =的图象 （ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ）A 、4元或6元B 、4元C 、6元D 、8元24．若抛物线c bx ax y ++=2的所有点都在x 轴下方，则必有 （ ）A 、04,02>-<ac b aB 、04,02>->ac b aC 、04,02<-<ac b aD 、04,02<->ac b a25．抛物线1422-+=x x y 的顶点关于原点对称的点的坐标是 （ ）A 、（-1，3）B 、（-1，-3）C 、（1，3）D 、（1，-3）三、解答题26．已知二次函数12212++=x x y ． （1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；（2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点；（3）作出函数图象的草图；（4）观察图象，x 为何值时，y ＞0；x 为何值时，y= 0；x 为何值时，y ＜0？27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．28．已知二次函数，当x=2时，y 有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．29．已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0），B （3，0）两点，且函数有最大值2．（1）求二次函数的函数关系式；（2）设此二次函数图象的顶点为P ，求⊿ABP 的面积．30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：（1）0322=--x x ； （2）⎩⎨⎧-=--=x x y x y 213．31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数：m=162-3x ．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？B 组一、选择题32．若所求的二次函数的图象与抛物线1422--=x x y 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ D ）A 、422-+-=x x yB 、)0(322>-+-=a a ax ax yC 、5422---=x x yD 、)0(322<-+-=a a ax ax y33．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当x=1时，函数y 有最大值，设),(11y x ，（),22y x 是这个函数图象上的两点，且211x x <<，则 （ ）A 、21,0y y a >>B 、21,0y y a <>C 、21,0y y a <<D 、21,0y y a ><34．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤-≥ax a x 5153无解，则二次函数41)2(2+--=x x a y 的图象与x 轴 （ ）A 、没有交点B 、相交于两点C 、相交于一点D 、相交于一点或没有交点二、解答题35．若抛物线)5(2342-+=--m x y m m的顶点在x 轴的下方，求m 的值． 36．把抛物线n mx x y ++=2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是222+-=x x y ，求m 、n ．37．如图，已知抛物线3)5(2122-+-+-=m x m x y ，与x 轴交于A 、B ，且点A 在x 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，OA=OB ，（1）求m 的值；（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C 的坐标．38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．C 组解答题39．如图，已知二次函数n mx x y ++-=2，当x=3时，有最大值4．（1）求m 、n 的值；（2）设这个二次函数的图象与x 轴的交点是A 、B ，求A 、B 点的坐标；（3）当y ＜0时，求x 的取值范围；（4）有一圆经过A 、B ，且与y 轴的正半轴相切于点C ，求C 点坐标．40．阅读下面的文字后，解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．41．已知开口向下的抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A （1x ，0）、B （2x ，0），其中1x ＜2x ，P 为顶点，∠APB=90°，若1x 、2x 是方程021)2(222=-+--m x m x 的两个根，且262221=+x x ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．42．已知二次函数)1(3)2(2++-+-=m x m x y 的图象如图所示．（1）当m ≠-4时，说明这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）求m 的取值范围；（3）在（2）的情况下，若6=⋅OB OA ，求C 点坐标；（4）求A 、B 两点间的距离；（5）求⊿ABC 的面积S ．。