江苏省泰州中学高一数学暑假作业(三)-- 函数的综合应用

第二十二天 函数的性质的综合应用1. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质．如若f (x )，g (x )为增函数，则：① f (x )＋g (x )为增函数；② 1f x为减函数(f (x )>0)；③ f x 为增函数(f (x )≥0)；④ f (x )g (x )为增函数(f (x )>0，g (x )>0)；⑤ －f (x )为减函数．(3) 利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”，即若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数y ＝f (x )与y ＝kf (x )的单调性与k (k ≠0)有关． (2) 注意函数y ＝f (x )与y ＝1f x的单调性之间的关系．(3) 奇函数在[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性．(参考时间60分钟 满分100分)班级________ 姓名________ 成绩________ 家长签字________一、 选择题(每题5分，共30分)1. (*)已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝( )A. 12B. －12C. 1D. －12. (*)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A. y ＝1xB. y ＝lg xC. y ＝|x |－1D. y ＝2－x 23. (*)已知偶函数f (x )的定义域是R ，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝f (－2)，b ＝f (π)，c ＝f (－3)的大小关系是( )A. a <c <bB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b4. (**)已知奇函数f (x )在区间[1,6]是增函数，且最大值为10，最小值为4，则其在[－6，－1]上的最大值、最小值分别是( )A. －4，－10B. 4，－10C. 10,4D. 不确定5. (**)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋b 是偶函数，那么函数g (x )＝log a x －1的定义域为( )A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C. (0,2]D. [2，＋∞)6. (**)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A. －1B. 1C. 6D. 12二、 填空题(每题5分，共20分)7. (**)已知函数f (x )＝2x 2－kx ＋1在区间[1,3]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．8. (**)已知y ＝f (x )在定义域R 上为减函数，且f (1－a )<f (2a －5)，则a 的取值范围是________．9. (**)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则f (1)，f (－2)，f (3)的大小关系是________．10. (**)若函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为________．三、 解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)11. (**)已知函数f (x )＝x ＋1x.(1) 用定义证明：f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2) 求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 12. (**)已知函数f (x )＝3x＋m3x ＋1是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 用函数单调性定义证明：f (x )是R 上的增函数．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 13. (***)已知f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )． (1) 求函数f (x )的定义域；(2) 判断函数f (x )的奇偶性，并加以证明； (3) 解不等式：f (x －1)＋f (1－x 2)<0._________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________第二十二天 函数的性质的综合应用暑期限时检测1. A 解析：函数f (x )＝1x在区间[1,2]上是单调递减函数，所以当x ＝1时，f (x )取最大值A ＝1，当x ＝2时，f (x )取最小值B ＝12.所以A －B ＝1－12＝12.故选A.2. C 解析：对于A ，函数是奇函数，不合题意；对于B ，函数是非奇非偶函数，不合题意；对于C ，函数是偶函数，x >0时，y ＝x －1，单调递增，符合题意；对于D ，函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不合题意．3. A 解析：已知偶函数f (x )的定义域是R ，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，a ＝f (－2)＝f (2)，c ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f (π)，而2<3<π，所以f (2)<f (3)<f (π)，所以a <c <b .4. A 解析：奇函数f (x )在区间[1,6]是增函数，且最大值为10，最小值为4，则其在[－6，－1]上的最大值、最小值分别是－4，－10.故选A.5. B 解析：因为f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋b 是偶函数，所以f (－x )＝x 2－(2a －1)x ＋b ＝x 2＋(2a －1)x ＋b ，即2a －1＝0，解得a ＝12.要使函数g (x )＝log a x －1有意义，则log a x －1≥0，即log 12x －1≥0，所以log 12x ≥1，解得0<x ≤12.即函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.6. C 解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域上都为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.7. (－∞，4]∪[12，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2x 2－kx ＋1，所以对称轴为x ＝k4，因为函数f (x )＝2x 2－kx ＋1在区间[1, 3]上是单调函数，所以k 4≤1或k4≥3，即k ≤4或k ≥12.8. (－∞，2) 解析：因为f (x )在定义域R 上为减函数，由f (1－a )<f (2a －5)，可得2a －5<1－a ，解得a <2，故得a 的取值范围是(－∞，2)．9. f (3)<f (－2)<f (1) 解析：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，则f (3)<f (2)＝f (－2)<f (1)．10. [－4,4] 解析：令t ＝x 2－ax ＋3a >0，则y ＝log 12t ，由t ＝x 2－ax ＋3a 图象的对称轴为x ＝a 2，且y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，所以t ＝x 2－ax ＋3a 在区间(2，＋∞)上为增函数(同增异减)，所以2≥a2，且4－2a ＋3a ≥0，解得a ∈[－4,4]．故答案为[－4,4]．11. 解：(1) 设1≤x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋1x 2－x 1－1x 1＝x 2－x 1x 2x 1－1x 2x 1，因为1≤x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 2x 1－1>0，x 2x 1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)． 故函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数．(2) 由(1)，可得f (x )在[1,4]上的最大值是f (4)＝174，最小值f (1)＝2.12. 解：(1) 因为函数f (x )＝3x＋m 3x ＋1是奇函数，所以f (0)＝1＋m2＝0，即 m ＝－1，且m＝－1时，f (－x )＝－f (x )，因此m ＝－1.(2) f (x )＝3x－13x ＋1＝1－23x ＋1.在R 上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则3x 1<3x 2，所以0<3x 1＋1<3x 2＋1, 13x 1＋1>13x 2＋1，所以－23x 1＋1<－23x 2＋1，所以1－23x 1＋1<1－23x 2＋1， 所以f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )单调递增．13. 解：(1) 由函数f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)．(2) 由(1)可得函数的定义域关于原点对称．再根据f (－x )＋f (x )＝[log 2(1－x )－log 2(1＋x )]＋[log 2(1＋x )－log 2(1－x )]＝0，可得函数f (x )是奇函数．(3) 关于x 的不等式f (x －1)＋f (1－x 2)<0得到f (x －1)<f (x 2－1)．故⎩⎪⎨⎪⎧－1<x －1<1，－1<x 2－1<1，解得⎩⎨⎧0<x <2，－2<x < 2.即不等式的解集为(0，2)．。

高一暑假数学综合练习（3）班级_________学号______姓名__________一、填空题： 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 π .2．集合{}1,0,1-共有 8 个子集3. 底面边长为2，侧棱与底面成60︒的正四棱锥的侧面积为4. .已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于21． 5．已知向量a 的模为2, 向量e 为单位向量, 若()⊥-e a e , 则向量a 与e 的夹角大小为 3π． 6. 将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 y=sinx .7. 函数()321f x a xa =-+在区间(1,1)-上存在一个零点，则a 的取值范围是_______．51,1>-<a a 8．函数5()s i n 2s i nc o s 2c o s 66f x xx ππ=⋅-⋅在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 9.在△ABC 中，∠C 为直角，且AB BC ⋅＋BC CA ⋅＋CA AB ⋅＝－25，则AB 的长为 5 ． 10．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 . ),5()0,5(+∞⋃-11．设,m n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_______1,2①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．12．设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 21.13．已知A = { (x ，y ) | x 2 + y 2 ≤4 }，B = { (x ，y ) | (x - a )2 + (y - a )2≤2a 2，a ≠ 0 }，则A ∩B 表示区域的面积的取值范围是___________．(0,)2π14. 在等差数列}{n a 中, 25a =, 621a =, 记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S , 若2115n n mS S +-≤对*n N ∈恒成立, 则正整数m 的最小值为 5 ．二、解答题：15. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+.（1）当3A π=时，求||n 的值；（2）若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b .解: （1）当3A π=时，33(,n =， …………3分所以23||()n =+=. …………6分（2）因为3(1cos )sin 2sin()3m n A A A π⋅=++=++，所以当m n ⋅取最大值时，6A π=. …………10分又1,a c ==22132cos336b b b b π=+-=+-，解之得2b =或1b =.16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是正方形，E 是棱1AA 上任意一点，F 是CD 的中点．（1）证明：BD 1EC ⊥； （2）若AF ∥平面C 1DE ，求1AEA A的值． （1）连接AC ，11//,,,AE CC E A C C ⇒共面． 长方体1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是正方形，所以,,AC BD EA BD ACEA A ⊥⊥=．所以BD ⊥面1EACC ，所以1BD EC ⊥． (2)取11C D 的中点G ，连接FG 交1C D 于点O ， 易知FG ∥DD 1，FG = DD 1，且点O 为FG 的中点， 所以1,,,A A G F 四点共面， 所以平面11C DEAAGF OE =平面． 因为AF ∥平面C 1DE ，AF ∥OE ． 又点O 为FG 的中点，所以1AE A A =12．17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收 益。

江苏省泰州中学高一年级数学学科2007年暑假作业（1）—必修4 命题人：宋健 审核人：孙善良班级：__________ 学号:_____________ 姓名:__________ 作业时间:__________ 一、选择题：1．已知α是第二象限的角，则180α︒+是 ( ) A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角2．已知α的终边经过点(,6)P x --，且5cos 13α=-，则x 的值为 ( ) A ．52 B ．52- C ．52± D ．253．与向量(12,5)a =平行的单位向量是 ( )A ．125(,)1313B ．125(,)1313--C ．125125(,)(,)13131313--或D ．125(,)1313±±4．下列命题中正确的是 ( )A ．若0a b ⋅= ，则a 与b 中至少有一个为0B ．若0a ≠ ，a b a c ⋅=⋅ ，则b c =C ．对于任意向量 a ，b ，c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D ．对于任意向量a ，有22()||a a =5．若非零向量a 和b互为相反向量，则下列说法中错误的是 ( )A ．//a bB ．a b ≠C ．||||a b ≠D ．b a =-6．已知02πα<<，则sin α，α，tan α的大小关系为 ( )A ．tan α>sin α>αB ．α>tan α>sin αC ．sin α>α>tan αD ．tan α>α>sin α7．若正方形ABCD 的边长为1，AB a = ，AC c = ，BC b = ，则||a b c ++等于A ．0BC ．D ．38．已知向量1(cos ,)2a α=cos 2α的值为 ( )A ．14- B ．12- C ．12D 9．函数sin()4y x π=-的一个单调增区间是 ( )A ．3[,]44ππ-B ．[,]22ππ-C ． 3[,]44ππ- D ．[0,]π10．已知A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且lgsin lgcos lgsin lg 2A B C --=，则此三角形的形状为 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．三角形形状不确定 二、填空题：11．若角α的终边落在如图所示的阴影部分，则角α可以用集合表示为.12．函数tan()4y x=-的定义域为 ，值域为 ； 13．若函数3sin()33x y π=+表示一个振动，则它的振幅为 ，初相为 ，周期为 ；14．设P ，Q 分别为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，1BC e = ，2DA e =，并且1e ，2e 不是共线向量，则用基底1e ，2e 表示PQ ，PQ = ；15．/s ，河水自西向东流速为1/m s ，若此人朝正南方向游去，则他的实际前进方向为 ，速度为 /m s ； 16．关于函数()4sin(2)3f x x π=+（x R ∈），有下列命题① 由12()()0f x f x ==得12x x -必是π的整数倍； ② ()y f x =的表达式可改为()4cos(2)6f x x π=-；③ ()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；④ ()y f x =的图象关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题: 17．已知tan(3)2πα+=，试求 sin(3)cos()sin()2cos()22sin()cos()ππαππααααπα-+-+--+--++的值．18．已知向量(1,2)a = ，(3,2)b =-，（Ⅰ）求||a b + 和||a b - ；（Ⅱ）当k 为何值时，()//(3)ka b a b +-．19．求证：sin50(1)1+=．20．如右图，三个相同的正方形相接，求证：2παβγ++=．γβα21．如图， O 是ABC ∆所在平面内一点，已知OA BC ⊥ ，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥ ．22．设,cos )a x x = ，(cos ,cos )b x x = ，记()f x a b =⋅ ．（Ⅰ）写出函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）试用“五点法”画出函数()f x 在一个周期内的简图，并指出该函数的图象可由sin ()y x x R =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若[,]63x ππ∈-时，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值．BC试题解答11．{|36022536030,}k k k Z αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈；12．3{|,}4x x k k Z ππ≠+∈，R ； 13．3；3π；6π； 14．121122e e --； 15．南偏东30︒；2； 16．②③ ．三．解答题：17．解：由tan(3)2πα+=， 可得 tan 2α=，故 sin(3)cos()sin()2cos()22sin()cos()ππαππααααπα-+-+--+--++sin cos cos 2sin sin cos αααααα--++=-sin sin cos ααα=-tan tan 1αα=-2221==-． 18.解：（Ⅰ）因为向量(1,2)a = ，(3,2)b =- ，则(2,4)a b +=- ，(4,0)a b -=-，故||a b +==||4a b -==．（Ⅱ）因为(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+， 3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-，若()//(3)ka b a b +- ，则 4(3)10(22)k k ---+=. 解得， 13k =-19．证明：左边sin 50(1=sin 50= cos(6010)2sin 50cos10-=2sin 50cos50cos10= sin100cos10= sin80cos10=cos101cos10=== 右边∴原式成立． 20.证明：由图易知4πγ=，所以只须证明 4παβ+=. 由图可知，1tan 3α=，1tan 2β=，且,(0,)2παβ∈. 则11tan tan 32tan()1111tan tan 132αβαβαβ+++===--⨯，∵0,022ππαβ<<<<∴0αβπ<+<.而在区间(0,)π内，正切值为1的角有且只有1个，即4π，故4παβ+=.所以， 2παβγ++=.21. 证明：∵OA BC ⊥ ，OB AC ⊥，∴00OA BC OB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ， ∴OA ()0OB ()0OC OB OC OA ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩两式相减，得 ()0OC OB OA ⋅-=，即 0OC AB ⋅= ，∴ OC AB ⊥ ．γβαC22.解：（Ⅰ）∵2()cos cos f x x x x +1cos 222xx +=+1sin(2)62x π=++，∴函数()f x 的周期 22T ππ==. （Ⅱ）列表描点连线得函数()f x 在一个周期内的简图为将函数sin y x =的图象依次进行下列变换：（1）把函数sin y x =的图象向左平移6π，得到函数sin()6y x π=+的图象；（2）把函数sin()6y x π=+的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数sin(2)6y x π=+的图象；（3）把函数s i n (2)6y x π=+的图象图象向上平移12个单位，得到函数1sin(2)62y x π=++的图象.（Ⅲ）∵ 63x ππ-≤≤，∴ 52666x πππ-≤+≤，∴ 1sin(2)122x π-≤+≤.当且仅当6x π=-时，1sin(2)22x π+=-，此时，函数1()sin(2)62f x x π=++取得最小值0，()()g x f x m =+取最小值2.即 11222m -++=解得 2m =所以， 函数5()sin(2)62g x x π=++，当6x π=时，取得最大值72，即 max 7()2g x =.。

第六讲 函数综合应用江苏省昆山中学 戈峰一、【基础训练】1．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．2．若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f = ．3．函数2122x x y +-=的值域为 ． 4．已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则z y x ,,的大小关系为 ． 5．若}2,0,1,32{--∈α，为使幂函数y x α=与y x ,轴无交点且为偶函数的α值为 ．6．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g ．7．已知⎩⎨⎧>--<=0,1)1(0,sin )(x x f x x x f π则=)661(f ． 8．已知函数()3||log )(31+-=x x f 的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[－1,0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对． 二、【思维拓展】1．已知函数f (x )＝12lg (kx )，g (x )＝lg (x ＋1)．(1) 求f (x )－g (x )的定义域；(2) 若方程f (x )＝g (x )有且仅有一个实数根，求实数k 的取值范围．2．已知函数()f x a x =，a 为实数．(1) 当[]1,1,1a x =∈-时，求函数()f x 的值域；(2) 设,m n 是两个实数，满足m n <，若函数()f x 的单调减区间为(),m n ，且3116n m -≤求a 的取值范围． 3．设a 为实数，函数||)(2)(2a x a x x x f --+=．(1) 若1)0(≥f ，求a 的取值范围； (2) 求)(x f 的最小值；(3) 设函数()+∞∈=,),()(a x x f x h ，求不等式1)(≥x h 的解集． 三、【能力提升】1.设奇函数f (x )在[－1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是 ．2.已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f (x )=m (m >0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++= ．3.设f (x )是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x－1，若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是_____．4．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 一、基础训练1.答案：(提示：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得126600112log0log620<x>x>x>xx x x-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩2.答案：2提示：因为101>，所以()10lg101f==.所以2((10))(1)112f f f==+=.3.答案：]4,0(提示：22)1(2122≤+--=-+xxx，又xy2=为增函数，所以2122x xy+-=]4,0(∈4.答案：y z x<<提示：ln ln1eπ>=，551log2log2<=，1212z e-==>=5.答案：32-或0提示：利用幂函数的图像和性质即可得到答案．6.答案：1-提示：因为函数2)(xxfy+=为奇函数，所以221)1()1()1(--=-+-ff，则32)1()1(-=--=-ff，所以12)1()1(-=+-=-fg .7.答案：223-提示：22311)65sin(11)65(10)61()661(-=--=--=-=πfff8.答案：5提示：由f (x)＝log13(－|x|＋3)的值域是[－1,0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0,2]，∵ 定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，∴符合条件的(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个． 二、思维拓展1.解：(1) 由⎩⎨⎧>+>010x kx ，若k >0，则定义域为(0，＋∞)；若k <0，则定义域为(－1,0)．(2) 由f (x )＝g (x )，得kx ＝x ＋1，此方程在定义域内有且仅有一个解，考查y ＝kx 与 y ＝x ＋1的图象， 当k >0时，解得k ＝4； 当k <0时，恒成立，所以k 的取值范围是k ＝4或k <0． 2.解：设||)(x a a x x f y ++==，a 为实数。

江苏省泰兴中学高一国庆假期复习及自测（一）班级姓名一、知识梳理：一、集合的含义及其表示：1.集合的含义：2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性，如：世界上最高的山（2）元素的互异性，如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性，如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3．集合的表示：用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(1)集合的表示方法：列举法与描述法．注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：NN整数集Z 有理数集Q 实数集R正整数集*N或+1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法．3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4．集合的分类：(1)有限集: 含有有限个元素的集合(2)无限集：含有无限个元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1．“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合．注意：B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集．A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3．不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即CSA=},|{AxSxx∉∈且韦恩图示性质A A=AA Φ=ΦA B=B AA B⊆AA B⊆BA A=AA Φ=AA B=B AA B⊇ＡA B⊇B(CuA) (CuB)= Cu(A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= Φ．二、复习自测：A 组1、用列举法表示集合：M m m Z m Z =+∈∈{|,}101= ． 2、若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 个元素．3、方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是 ． 4、已知{}R x x x y y M ∈+-==,34|2，{}R x x x y y N ∈++-==,82|2，则__________=N M ．5、设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ．6、已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围7、全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果∁S A={0}，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由8、设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =，求实数a 的取值范围B 组9、对于集合{}03422=-+-=a ax x x A ，{}022222=+++-=a a ax x x B ，是否存在实数a ，使φ=⋃B A ？若a 不存在，说明理由，若a 存在，求出a 的值．10、已知集合}312|{≤≤+=x x P ，}0)1(|{2≤++-=a x a x x M ，x x y y N 2|{2-==，}P x ∈，且N N M = ，求实数a 的取值范围．．江苏省泰兴中学高一国庆假期复习及自测（二）班级 姓名一、知识梳理：1．函数的概念：一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：A x x f y ∈=),(．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域．注意：（1）定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域．求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的．那么它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合； (4)指数为零时底不可以等于零；(5)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．相同函数的判断方法：①对应法则相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)（2）值域 : 先考虑其定义域观察法 、配方法、图像法、换元法、分离常数法、判别式法等2． 函数的图象(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 A x x f y ∈=),(中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点),(y x P 的集合C ，叫做函数 A x x f y ∈=),(的图象．C 上每一点的坐标),(y x 均满足函数关系)(x f y =，反过来，以满足)(x f y =的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点),(y x 均在C 上 ．(2) 画法描点法、图象变换法（平移变换、翻折变换、对称变换等）3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间（3）区间的数轴表示． 4．映射一般地，设A 、B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作“f （对应法则）：A （原象）→B （象）”． 对于映射f ：A →B 来说，则应满足：(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象．5．分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数．注意：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 6．函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．（2）求函数的解析式的常用方法有：待定系数法、配凑法、换元法等、消参法．二、复习自测：A 组1、设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为2、设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是3、若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是4、已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤5、设函数21y ax a =++，当11x -≤≤时，y 的值有正有负，则实数a6、函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，则满足条件的实数a 组成的集合是7、已知定义在R 上的函数)(x f 满足43)()(2+=-+x x f x f ，则=)(x f ．8、如果)(x f 的定义域为)1,0(，021<<-a ，那么函数()()()g x f x a f x a =++-的定义域为 ．B 组9、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式．10、求下列函数的值域（1）223y x x =+- [1,2]x ∈ （2）xxy -+=43 （3）34252+-=x x y （4）x x y --=21（5）先作出函数|5||6|y x x =++-的简图，并求其值域．11、已知函数⎩⎨⎧-=||2||x x y )1|(|)1|(|>≤x x ． （1）、作出其图象；（2）、判断其奇偶性； （3）、指出其单调区间．江苏省泰兴中学高一国庆假期复习及自测（三）班级 姓名一、知识梳理：1．函数的单调性．（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号） ②在填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等． ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减．（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”（用“和”、“，”）；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）．2、函数的奇偶性．（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征： ，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数 ．（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法，②图像法：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称．（3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ．②若奇函数()f x 定义域中含有．．0．，则必有 ．若不能确定()f x 定义域中是否含有0，则必须利用奇偶性的恒等式去求．③利用奇偶性的恒等式去求是通法．④既奇又偶函数有无穷多个（但最后都可以化为 ，定义域是 ）．二、复习自测：A 组1、下列函数：①y=x ； ②y=2x+6； ③y=3x 2 ； ④y=5x 2+1；⑤y=4x 4； ⑥x x y23+=； ⑦x xy +=1； ⑧3x y =，其中是奇函数的是 ；是偶函数的是 ．2、函数)3(),2(),1(,32)1(2f f f mx x m y --++-=则是偶函数由小到大的顺序是 ．3，函数351)(+=x x f 的单调递减区间是 ．4、已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(-=x x x f ，则当)(,),0(x f x 时+∞∈= ．5、若)5(,15)5(,6)(35f f cx bx ax x f 则且-=-+++== ．6、．奇函数f(x)在[1，4]上有f(x)=x 2-4x+5，那么当x ∈[-4,-1]时，f(x)的最大值是 ．7、 讨论函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的单调性．8、判断下列各函数的奇偶性（写出判断过程）：（1） f(x)=1x x 122-+-（2） f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0x (x x )0x (x x 22B 组9、（1）函数f(x+1)是偶函数，且x<1时，f(x)=x 2+1，求x>1时，f(x)的表达式．（2）函数y=f(x)(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0,+∞)时是增函数，若f(1)=0，求不等式021x x f <⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-的解集．10、已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且对任意x>0，都有f(x)<0,f(3)=-3(1) 证明：函数y=f(x)是奇函数；(2) 试证明：函数y=f(x)是R上的单调减函数；(3) 试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z且mn<0)上的值域．江苏省泰兴中学高一国庆假期复习及自测（四）班级姓名一、知识梳理：（请各位同学将自己整理的内容写到下面，要求对集合、函数的有关知识作详细梳理）二、复习自测：A 组1、若()1422+=x x f ，则()x f 的解析式为 ．2、集合{,},{1,0,1}A a b B ==-，从A 到B 的映射f 满足()()0f a f b +=，那么这样的映射f 的个数有 ．3、已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3则m 的取值范围是 ．4、函数|3|y x =+的值域为 ．5、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->．则当*n N ∈时,()f n -、(1)f n -、(1)f n +的大小关系为 ．6、若函数548323++-=kx kx x y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ．7、设)(x f 设为奇函数, 且在()0,∞-内是减函数,()03=-f ,则不等式()0<x xf 的解集为 ．8、不等式056)5(2>++--a x x a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．B 组9、设函数()1,121,23x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a ．（I ）求函数()h a 的解析式；（II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值．10、已知函数()()0,≠∈x R x x f ，对任意的R x x ∈21,且0,21≠x x 都有()()()2121x f x f x x f +=（1）求证：()()011=-=f f ；（2）求证：()x f 是偶函数；（3）若已知函数()x f y =在()+∞,0上是增函数，解不等式：()021≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x f x f ．江苏省泰兴中学高一国庆假期复习及自测（五）班级 姓名复习自测：A 组1、函数12++=x x y 的定义域__ __ ____, 值域___ ___.2、已知函数2f (x 1)x 5x 1+=++，则f (x a)+= .3、已知函数()228x x x f -+=，如果()()x f x g -=1，那么()x g y =的递增区间是 .4、已知函数()b a bx ax x f +++=32为偶函数，]2,1[a a x -∈，则()0f ＝ . 5、已知函数()()2122+-+=x a x x f 在区间[4，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是 .6、已知函数2(3)23(02),f x x x x +=-+<< 则()f x = .7、已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋a －1＝0}，若B ⊆ A ，求实数a 的取值范围．8、函数2()21f x x ax a =-++-在区间[]0,1上有最大值2，求实数a 的值B 组9、已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，满足0)1(=-f ，对于任意实数x ，都有x x f ≥)(，并且当)2,0(∈x 时，有221)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤x x f . （1）求)1(f 的值；（2）确定)(x f 的解析式；（3）若]1,1[-∈x 时，函数mx x f x F -=)()(是单调函数，求m 的取值范围.10、已知a 、b 为常数，且()()02,,02=+=≠f bx ax x f a ，且方程()x x f =有等根。

一 基础再现考点1.导数的概念1.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为 考点2.导数的几何意义2.曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 考点3.导数的运算 3.()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．考点4.利用导数研究函数的单调性和极大（小）值 4.函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是5.3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =考点5.函数与导数的综合应用6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 个7.设函数2()ln(23)f x x x =++（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．二 感悟解答1.答案：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54.2.答案：解：(),x x y e e ''⇒==曲线在点2(2)e ，处的切线斜率为2e ，因此切线方程为22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(1,0),(0,),A B e -所以2211.22AOBe S e ∆=⨯⨯=. 评析：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2．求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点. 3. 解：()f x '是31()213f x x x =++的导函数，2'()2f x x =+，则(1)f '-=3． 4. 解：∴=⋅=-.)(x xe x ex x f []=⋅-⋅='21)(x x x e e x e x f ()[]1,012<∴>⋅-x e e x x x，即(,1)-∞或().1,0.0)1(11)(<∴>>⋅-=-⋅⋅+⋅='----x e e x e x e x f x x x x （理科要求：复合函数求导） 5. 答案：4评析：本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。

三、基本初等函数一．选择题（共小题）．若＞，＞，且（），则（﹣）（﹣）的值（）．等于．等于．等于．不是常数．已知函数（）﹣，且（），则（）（）（）的值是（）．．．．．若，，，则，，三个数的大小关系是（）．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜．二次函数﹣﹣（＞﹣）与指数函数的交点个数有（）．个．个．个．个．已知[（）]，那么等于（）．．．．．已知三个函数（），（）﹣，（）的零点依次为，，，则（）．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜．已知函数（），设∈，若关于的不等式（）≥在上恒成立，则的取值范围是（）．[﹣，]．[﹣，]．[﹣，]．[﹣，]．函数（）﹣满足（）（﹣）且（），则（）和（）的大小关系是（）．（）≤（）．（）≥（）．（）＞（）．大小关系随的不同而不同．已知函数（），若（）（）…（）（），则的最小值为（）．．．．．已知函数（）（﹣﹣），（）（）≤（），则的取值范围是（）．[，]．[，]．[，]．（﹣∞，]∪[，∞）．函数的图象大致是（）．．．．．函数的部分图象大致为（）．．．．二．填空题（共小题）．已知的定义域为[，]，值域为[，]，则区间[，]的长度﹣的最小值为．．已知（），则不等式[（）]＞（）的解集为．．已知函数（）的反函数是﹣（），则﹣（）．．若函数（）（）的反函数的图象经过点（，），则实数．三．解答题（共小题）．已知函数（＞，≠）是奇函数．（）求实数的值；（）判断函数（）在（，∞）上的单调性，并给出证明；（）当∈（，﹣）时，函数（）的值域是（，∞），求实数与的值．．已知函数（）满足（）（）（），且（），（）分别是定义在上的偶函数和奇函数．（）求函数（）的反函数；（）已知φ（）（﹣），若函数φ（）在[﹣，]上满足φ（＞φ（﹣），求实数的取值范围；（）若对于任意∈（，]不等式（）﹣（）≥恒成立，求实数的取值范围．。

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高一数学函数的应用测试题及答案1．设U＝R，A＝{x｜x>0｝，B＝｛x|x〉1},则A∩∁UB＝（)A{x|0≤x〈1｝B．｛x｜0<x≤1}C．{x|x〈0｝ D．{x｜x〉1}【解析】∁UB＝｛x|x≤1}，∴A∩∁UB＝｛x｜0<x≤1｝．故选B。

【答案】B2．若函数y＝f（x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1）的反函数,且f（2）＝1，则f（x)＝( ）A．log2x B.12xC．log12x D．2x－2【解析】f(x）＝logax，∵f(2）＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故选A.【答案】A3．下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是（）A．f（x）＝ln x B．f（x）＝1xC．f（x)＝｜x| D．f(x)＝ex【解析】∵y＝1x的定义域为（0，＋∞)．故选A.【答案】A4．已知函数f(x）满足：当x≥4时，f(x）＝12x；当x〈4时，f(x）＝f(x＋1)．则f（3）＝( )A。

18 B．8C。

116 D．16【解析】f(3）＝f(4）＝(12)4＝116。

【答案】C5．函数y＝－x2＋8x－16在区间［3,5］上( ）A．没有零点 B．有一个零点C．有两个零点 D．有无数个零点【解析】∵y＝－x2＋8x－16＝－(x－4）2，∴函数在［3，5]上只有一个零点4。

一、选择题1．已知1,0()1,0ax x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则下列关于[()]1y f f x =+的零点的判断正确的是（ ） A ．当0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点； B ．当0a >时，有3个零点，当0a <时，有2个零点； C ．无论a 为何值，均有2个零点； D ．无论a 为何值，均有4个零点．2．已知函数()24xf x =-，()()()1g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．(-3，-1)D ．(-3，-1]3．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是（ ） A ．[)[)1,23,-+∞ B ．[)[)1,23,+∞C ．[)()1,22,⋃+∞D ．[)1,+∞4．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006B ．1007C ．2016D ．20175．已知函数22,()11,x x x a f x x a x⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数图象与x 轴有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()[),11,2-∞-⋃C ．[)1,2D ．(]()1,12,-+∞6．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为()00,,n N n t n n N N <⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（0t 、0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ） A ．16小时 B ．11小时 C ．9小时D ．8小时7．函数1,(0)()0,(0)x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ） A ．2b <-且0c > B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0cD ．2b ≥-且0c8．函数f(x)＝2log ,02,0xx x a x >⎧⎨-+≤⎩ 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a<0B ．0<a<C ． <a<1D ．a≤0或a>19．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12. A ．①④B ．①②④C ．③④D ．①②③10．已知定义在R 上的函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩，若函数()()k x f x ax =-恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,11,0e ⎛-⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(){}1,1,10e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(){}11,00,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞12．已知定义域为R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期为3的周期函数，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题13．已知函数()220x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，，若关于x 的方程()()0f f x =有8个不同的实根，则a 的取值范围__________.14．若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是___15．若函数()23xf x x --+=的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k ＝_____．16．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________． 17．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，201x <<，则实数k 的取值范围是__________.18．已知函数()21f x ax =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是________.19．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，()[]g x x x =-．若方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根，则a 的取值范围为________．20．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________． 三、解答题21．已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的取值范围；22．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，设比例系数为1k ，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，设比例系数为2k ，其关系如图2．（注：利润和投资单位是万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到20万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 23．设函数2()2||3f x x x =-+；（1）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明你的结论；（2）画出()y f x =的图象；若方程()f x m =有3个不同的实数根，试写出这3个根． 24．某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为0.5万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间t （单位：天）之间的关系满足图1，珠宝的预计销量（件）与加工时间t （天）之间的关系满足图2．原则上，单件珠宝的加工时间不能超过55天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一，其他成本忽略不计算．（1）如果每件珠宝加工天数分别为5，13，预计销量分别会有多少件？（2）设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为S （万元），请写出纯利润S （万元）关于加工时间t （天）之间的函数关系式，并求纯利润S （万元）最大时的预计销量． 注：毛利润＝总销售额 — 原材料成本，纯利润＝毛利润 — 工人报酬．25．此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元.（1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 26．已知二次函数()2441f x kx kx k =-++.(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由. (2)设1k =-,函数()()28,048,0f x x t xg x x x t x ⎧--<=⎨--≥⎩,存在3个零点.(i)求t 的取值范围;(ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项． 【详解】0x >时，1()f x x x=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解．0x ≤时，若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和12t =，20a-<，1012<<，因此2()f x a =-有两解，1()2f x =有两解，共4解．0a <时，()1f t =-只有一解1t =<，()f x = ∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．2．C解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.3．A解析：A 【分析】分别求出函数223y x x =--和()ln 1y x =-的零点，然后作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象，结合函数()f x 恰有两个零点，可得出实数λ的取值范围. 【详解】解方程2230x x --=，解得11x =-，23x =， 解方程()ln 10x -=，解得2x =.作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象如下图所示：要使得函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则12λ-≤<或3λ≥.因此，实数λ的取值范围是[)[)1,23,-+∞.故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.4．D解析：D 【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，1()02f =， 1()02f ∴-=，再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.5．B解析：B 【分析】讨论a 的范围，分别确定x a ≤、x a >上与x 轴的交点情况，即可确定实数a 的取值范围. 【详解】∵当x a ≤时，()(2)(1)f x x x =-+， ∴当2a ≥时，()f x 在x a ≤与x 轴有2个交点；当12a -≤<时，()f x 在x a ≤与x 轴有1个交点； 当1a <-时，()f x 在x a ≤与x 轴无交点；∵当x a >时，1(1)f x x=-，与x 轴有交点时交点为(1,0)， ∴当1a ≥时，()f x 在x a >与x 轴无交点； 当1a <时，()f x 在x a >与x 轴有1个交点；综上要使()f x 在R 上与x 轴有且仅有一个交点，即12a ≤<或1a <-， 故选：B 【点睛】易错点睛：讨论不等式的参数时，要注意参数边界是否可以取等号.1x =时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a >与x 轴无交点则1a ≥. 1x =-时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a ≤与x 轴无交点则1a <-. 6．C解析：C 【分析】根据题意求得0t 和0N 的值，然后计算出()49t 的值即可得解. 【详解】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N <，16=，得064t =．8=知，064N =，所以当49n =时，()644997t =≈， 故选：C ． 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，求出0t 和0N 的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的方程的根进行分析，得到五个根的情况，从而判断出0c ，之后利用()f x b =-有四个根，结合函数图象求得结果. 【详解】当0x =时()0f x =，当0x =为()()20f x bf x c ++=的一个根时可得0c.所以()()20fx bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根， ()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根.0x ≠时()11122f x x x x x x x=+=+≥=，图象如图所示：由图可知22b b ->⇒<-. 综上可得2,0b c <-=. 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的个数判断参数的取值范围的问题，充要条件的判断，在解题的过程中，注意数形结合思想的应用，属于中档题目.8．A解析：A 【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2xx a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.9．A解析：A 【分析】由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数()y f x =的大致图象与直线y t =，由它们交点的性质判断④．【详解】由()()20f x f x +--=可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确； 因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是()f x 的周期，故②错误；由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，③错误； 又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]2,8-上对应的函数图象变化趋势，如图易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，考查函数的零点，掌握函数的基本性质是解题基础．函数零点问题常用转化为函数图象与直线的交点问题，利用数形结合思想求解．10．C解析：C 【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出a 的范围． 【详解】()0f x ax -=()f x ax ⇒=，所以函数()y f x =的图象与直线y ax =有两个交点，作出函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩的图象，如下图，由()ln f x x =得1()f x x'=，设直线y ax =与()ln f x x =图象切点为00(,)P x y ，则00000ln 1y x a x x x ===，0x e =，所以11a x e ==． 由2()f x x x =-得()12f x x '=-，(0)1f '=，y ax =与2yx x 在原点相切时，1a =，由2()f x x x =-得()21f x x '=-，(0)1f '=-，y ax =与2yx x 在原点相切时，1a =-，所以直线y x =，y x =-，1ey x =与曲线()f x 相切， 由直线y ax =与曲线()y f x =的位置关系可得：当(){}1,1,10e a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y k x =恰有两个零点.故选：C . 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．11．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.12．D解析：D 【分析】 根据当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x π=，令()0f x =，求得根，再结合奇函数，求出一个周期33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点，然后根据周期性得到区间[0,6]上的零点即可. 【详解】 因为当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x π=，令()0f x =， 解得1x =，又因为()f x 是以3为周期的周期函数， 所以 (3)()f x f x +=， 有 33()()22f f -= ，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以333()()()222f f f -==-， 所以3()02f =， 所以在区间 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有 33(1)(1)()()022f f f f -==-== ，且(0)0f =，因为()f x 是以3为周期的周期函数，所以方程()0f x =在区间[0,6]上的零点是：0，1，32，2，3，4，92，5，6，共9个， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】先讨论结合函数解析式确定显然不满足题意；再讨论画出的图象利用数形结合的方法即可求出结果【详解】若当时恒成立；当时由得；即仅有一个根；所以由可得则；即方程仅有一个实根；故不满足有8个不同的实根 解析：()8,+∞【分析】先讨论0a ≤，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论0a >，画出()f x 的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】若0a ≤，当0x <时，()20f x x a =+<恒成立；当0x ≥时，由()()20f x x ax x x a =-=-=得0x =；即()0f x =仅有0x =一个根；所以由()()0ff x =可得()0f x =，则0x =；即方程()()0f f x =仅有一个实根；故不满足()()0f f x =有8个不同的实根；若0a >时, 画出()2200x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，的大致图象如下，由()()0ff x =可得()12f x a =-，()20f x =，()3f x a =，又()()0f f x =有8个不同的实根，由图象可得，()20f x =显然有三个根，()3f x a =显然有两个根，所以()12f x a =-必有三个根，而20a -<，2222244a a a y x ax x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，为使()12f x a =-有三个根，只需224a a ->-，解得8a >；综上可知，8a >. 故答案为：()8,+∞. 【点睛】 方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】结合与的图象判断出当时的零点个数由此判断出当时的零点个数画出时的图象由此求得的取值范围【详解】画出与的图象如下图所示由图可知当时与的图象有个交点也即的图象有个零点所以当时有个零点当时画出的图解析：{}()21,e ⋃+∞【分析】 结合2xy =与2yx 的图象，判断出当0x >时，()f x 的零点个数.由此判断出当0x ≤时，()f x 的零点个数.画出0x ≤时2x y e +=的图象，由此求得a 的取值范围.【详解】 画出2xy =与2yx 的图象如下图所示，由图可知，当0x >时，2x y =与2y x 的图象有2个交点，也即()f x 的图象有2个零点. 所以当0x ≤时，()f x 有1个零点.当0x ≤时，画出()20x y ex +=≤的图象如下图所示，由图可知，要使()20x y e x +=≤与y a =只有1个交点，则需1a =或2a e >.所以a 的取值范围是{}()21,e ⋃+∞.故答案为：{}()21,e ⋃+∞【点睛】研究分段函数零点问题，可结合函数图象，将零点问题转化为函数交点个数问来研究.15．【分析】根据题意得到函数为减函数进而求得的值利用零点的存在定理即可求解【详解】由题意函数分析可得函数为减函数又由则根据零点的存在定理可得函数的零点在区间上所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数与方程 解析：3【分析】根据题意，得到函数()f x 为减函数，进而求得()()3,4f f 的值，利用零点的存在定理，即可求解． 【详解】由题意，函数()23xf x x --+=，分析可得函数()f x 为减函数，又由()31323308f -=+=>-，()4154243016f --=+=-<， 则()()340f f ⋅<，根据零点的存在定理，可得函数()f x 的零点在区间()3,4上，所以3k =． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．16．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2 【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.17．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存解析：3(,1)4【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ,且110x -<<,201x <<,故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k >则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k k f k k k f k k k k ⎧⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩, 故答案为:3(,1)4. 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决.18．【分析】由函数有两个零点等价于且再求解即可【详解】解：令两边平方整理可得又由已知有且则解得或又方程有两不等实根则解得即综上可得实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题重点解析：11,43⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由函数()21f x ax =+有两个零点等价于240a a ->且2244(4)0a a a ∆=-->，再求解即可.【详解】21ax =-，两边平方整理可得22(4)210a a x ax --+=， 又由已知有210ax -≥且2(4)0a a -≠， 则240a a ->，解得14a >或0a <， 又方程22(4)210a a x ax --+=有两不等实根， 则2244(4)0a a a ∆=-->，解得103a <<， 即1143a <<， 综上可得实数a 的取值范围是11,43⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题，重点考查了运算能力，属中档题.19．1)∪(1)∪(【分析】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象根据函数的性质分类讨论进行求解即可【详解】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象如下图所示：函数的定解析：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【分析】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),log ()2a y g x y x ==-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，根据函数1log ()2a y x =-的性质分类讨论进行求解即可.【详解】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，如下图所示：函数1()log ()2a y h x x ==-的定义域为1(,)2+∞，且恒过定点3(,0)2.当01a <<时，当(1)1h ≥时，函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，解得12a ≥，所以有112a ≤<；当1a >时，要想函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，只需满足：(2)1h ≥或(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解得(1，32)或 (52，72]，综上所述：a 的取值范围为[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72]. 故答案为：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【点睛】本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.20．【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时存在满足 解析：()(),01,-∞⋃+∞【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、解答题21．（1）1(,)(0,)4-∞-+∞；（2）1{}[0,)4-+∞.【分析】（1）当5a =时，得到21()log (5)f x x=+，根据()0f x >，得出不等式151x+>，即可求解；（2）化简()221log ()g x a x x=+⋅（其中0x >），根据函数()g x 只有一个零点，得到方程210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）当5a =时，21()log (5)f x x=+， 由()0f x >，即21log (5)0x +>，可得151x+>，解得14x <-或0x >，即不等式()0f x >的解集为1(,)(0,)4-∞-+∞.（2）由()()22222112log log ()2log log ()g x f x x a x a x x x=+=++=+⋅（其中0x >），因为函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，即()0g x =只有一个根，即21()1a x x+⋅=在(0,)+∞上只有一个解， 即210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，①当0a =时，方程10x -=，解得1x =，复合题意； ②当0a ≠时，设函数21y ax x =+-当0a >时，此时函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意； 当0a <时，要使得函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴只有一个交点，则满足102140a a ⎧->⎪⎨⎪∆=+=⎩，解得14a =- ，综上可得，实数a 的取值范围是1{}[0,)4-+∞. 【点睛】根据函数的零点求参数的范围的求解策略：转化：把已知函数的零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况； 列式：根据函数零点的存在性定理或结合函数的图象、性质列出方程（组）或不等式（组）；结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围； 22．（1）A 产品函数关系式是1(),4f x x =(0)x ≥，B产品函数关系式是()g x =(0)x ≥；（2）当A 产品投入4万元，B 产品投入16万元时，企业获得最大利润为9万元． 【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据求参数，即得结果； （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入20x -万元，设企业的利润为y 万元．则有()(20)y f x g x =+-，(020)x ≤≤，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题，即得结果． 【详解】解：（1）设投资额为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元， 依题意，设1()f x k x =，()g x k = 由图知1(1)4f =，所以114k =，又2(4)24g k ==，所以22k =，所以1(),4f x x =(0)x ≥，()g x =(0)x ≥； （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入20x -万元，设企业的利润为y 万元．1()(20)4y f x g x x =+-=+(020)x ≤≤，令20x t -=，则220x t =-，故()2220124944t y t t -=+=--+(025)t ≤≤．所以当4t =时，max 9y =，此时20164x =-=，此时2016x -=．∴当A 产品投入4万元，B 产品投入16万元时，企业获得最大利润为9万元．【点睛】本题解题关键是利用函数模型构建函数关系后，能利用换元法将问题转化成二次函数最值问题来解决．23．（1）偶函数，证明见解析；（2）画图见解析；2-，0，2. 【分析】（1）根据偶函数的定义计算()f x -与()f x 比较即可判断证明()f x 的奇偶性； （2）作出()y f x =在()0,∞+上的图象，利用奇偶性即可得(),0-∞的图象，由图能判断3m =，再解方程即可.【详解】（1）()f x 为偶函数，证明如下： ()f x 的定义域为R 关于原点对称；22()()2||32||3()f x x x x x f x -=---+=-+=，所以()f x 为偶函数．（2）22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧--≥=-+=⎨+-<⎩，图象如图所示：若方程()f x m =有3个不同的实数根，由图知：3m =； 当0x ≥时，2233x x -+=，解得120,2x x ==； 当0x <时，2233x x ++=，解得32x =-，所以()f x m =的解为2-，0，2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据函数是偶函数结合二次函数的性质正确作出函数图象，由图能判断3m =，再解方程即可.24．（1）分别为25件，42件；（2）s (t )＝()()2241715,01052165,1055t t t t t t ⎧++⎪⎨---<⎪⎩；26件. 【分析】（1）先求出预计订单函数()()f t t N ∈为45,010,()55,1055.t t f t t t +⎧=⎨-+<⎩再求解；（2）先求出利润函数为2(1.55 3.5)(45),010,3()2(1.55 3.5)(55),1055.3t t t S t t t t ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+--+<⎪⎩再分段求函数的最大值即得解. 【详解】解：（1）预计订单函数()()f t t N ∈为45,010()55,1055t t f t t t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；f (5)=20+5=25; f (13)=-13+55=42;∴每件珠宝加工天数分别为5，13，预计订单数分别为25件，42件． （2）售价函数为() 1.55g t t =+；∴利润函数为2(1.550.5)(45),0103()2(1.550.5)(55),10553t t t s t t t t ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+--+<⎪⎩，s (t )＝(3)(45),010(3)(55),1055t t t t t t ++⎧⎨-+-<⎩＝()()2241715,01052165,1055t t t t t t ⎧++⎪⎨---<⎪⎩； 当010t ≤≤时，2()41715s t t t =++的最大值为(10)585s =；当1055t <≤时，2()(52t 165)s t t =---的最大值为(26)841585s =>；故利润最大时，26t =，此时预计的销量为26件 【点睛】关键点睛：解题得关键在于根据题目条件，分段列出函数表达式，计算时，注意分段成立的条件，难度属于中档题25．（1）75人；（2）存在，m 的范围为{7}. 【分析】（1）求出对应的100-x 名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可；。