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2021年大学必修课概率论与数理统计期末考试题及答案（精选版）一、单选题1、在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有（A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立【答案】D2、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D3、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ且Y X ,相互独立，则 A ） 9/1,9/2==βα B ） 9/2,9/1==βαC ） 6/1,6/1==βαD ） 18/1,15/8==βα【答案】A4、设()(P Poission λX 分布)，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=A ）1，B ）2，C ）3，D ）0【答案】A5、设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|}C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是【答案】C6、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验 (C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异i m 211.()i m r e ij i i j S y y ===-∑∑(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 7、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验 (C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 8、在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用（A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2χ检验法【答案】B9、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H（C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H【答案】A10、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ）{}(1),k k n k n P X kC p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅C ）{}(1),k k n k nk P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D ）{}(1),1k k n k i n P X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B二、填空题2.1()r A i i i S m y y ==-∑i m 211.()i m r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()r A i i i S m y y ==-∑1、设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是 。
| | | | | | | |装|| | | |订|| | | | |线|| | | | | | | |防灾科技学院2010~2011学年 第二学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使用班级本科各班适用 答题时间120分钟一 、填空题（每题3分，共21分）1、设“甲地发生春季旱情”=A 、“乙地发生春季旱情”=B 是两个随机事件，且4/1)(=A P，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则情”“甲或乙地发生春季旱=C 发生的概率为 1/3 ；2、已知10张奖券中有2张有奖的，现有两人购买，每人买一张，则其中恰有一人中奖的概率为 16/45 ；3、设某批电子元件的正品率为5/4，次品率为5/1，现对这批电子元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律为,2,1,5451}{1=⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P k ； 4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数X 服从参数为20=λ泊松分布，则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为201--e ；5、设随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布，则方程012=++Xx x 有实根的概率为 4/5或0.8；6、设X 和Y 相互独立，且分别服从参数为3和5的泊松分布，则Y X +服从参数为 8 的泊松分布；7、设样本4321,,,X X X X 为来自总体)1,0(N 的样本，()3/2423221XX XX Y ++=，则Y 服从)3(t 。
二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分）1、袋中有5个球（3个红球，2个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（ A ）(A) 53； (B) 43； (C) 21； (D) 103；2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,0,}{=>==k b b k X P k λ，则参数=λ（ C ）(A) 0>λ的任意实数； (B) 1+=b λ； (C) 11+=b λ；(D) 11-=b λ； 3、设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=x x x f ,)1(1)(2π，则X Y 2=的概率密度为（ B ）（A ）)41(12y +π；（B ）；)4(22y +π（C ） )1(12y +π；（D ） y arctan 1π； 4、设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≤≤=.0,0,10,3)(2x x x x f ，则=)(X E （ C ）(A) 0 ； (B) 1； (C)43； (D) 3； 5、设随机变量X 与Y 相互独立，其方差分别为6和3，则=-)2(Y X D （ D ）（A ）9； （B ）15； （C ）21； （D ）27；6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体)2,1(2N 的简单随机样本，X 为样本均值，则下列统计量服从标准正态分布的是（C ）（A ）21-X ； （B ）41-X ； （C ）n X /21-； （D ）21-X ； 7、总体21,X X 是取自总体))(1,(未知μμN 的一个样本，下列四个估计量均为μ的无偏估计，则其中最有效的是 ( D ))(A 1X ； )(B 213132X X +；)(C 214143X X +； )(D 212121X X +.三、7分，共14分。
2021年大学公共课概率论与数理统计期末考试卷及答案（新版）一、单选题1、若X ～211(,)μσ，Y ～222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为A ） 二维正态，且0=ρB ）二维正态，且ρ不定C ） 未必是二维正态D ）以上都不对【答案】C2、设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；B ）独立的必要条件，但不是充分条件；C ）不相关的充分必要条件；D ）独立的充分必要条件【答案】C3、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ）{}(1),k k n k n P X kC p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅D ）{}(1),1k k n k i n P X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B4、对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则A ）()()()D XY D X D Y =⋅B ）()()()D X Y D X D Y +=+C ）X 和Y 独立D ）X 和Y 不独立【答案】B5、设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当___ __时，一般采用统计量n X X X ,,,21 2(,)N μσX U =(A)(B) (C) (D) 【答案】D6、若X ～()t n 那么2χ～(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2()n χ (D ）()t n【答案】A7、总体X ～2(,)N μσ，2σ已知，n ≥ 时，才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于L（A ）152σ/2L （B ）15.36642σ/2L （C ）162σ/2L （D ）16【答案】B8、设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；B ）独立的必要条件，但不是充分条件；C ）不相关的充分必要条件；D ）独立的充分必要条件【答案】C9、设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；B ）独立的必要条件，但不是充分条件；C ）不相关的充分必要条件；D ）独立的充分必要条件【答案】C10、已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ） X X A +)( +A ∑=-n i i X n B 1211)( a X C +)( +10 131)(X a X D ++5 【答案】B二、填空题220μσσ未知，检验＝220μσσ已知，检验＝20σμμ未知，检验＝20σμμ已知，检验＝1、设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是 ；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为__________.答案：0.3解：P(A?B)?0.3即0.3?P(A)?P(B)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)所以P(AB)?0.1P(?)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.2．设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.答案：1?1e6解答：P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e????e,??P(X?2)??22e??????2?? 由P(X?1)?4P(X?2) 知e??e?2?e2 即2????1?0 解得??1，故P(X?3)?1?1e 623．设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)?_________.答案：0?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?y?)yX)Xy? ?)y 因为X~U(0,2)，所以FX(?0，即FY(y)?FX故10?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?另解在(0,2)上函数y?x2严格单调，反函数为h(y)?所以0?y?4,fY(y)?fX? ?0,其它.?24．设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?e，则??_________，P{min(X,Y)?1}=_________.答案：??2，P{min(X,Y)?1}?1?e-4解答：P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故??2P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}?1?P(X?1)P(Y?1)?1?e?4.5．设总体X的概率密度为???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1. ?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.答案：???11nlnxi?ni?1?1解答：似然函数为L(x1,?,xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1,?,xn)?i?1nlnL?nln(??1)??n?lnxi?1ni解似然方程得?的极大似然估计为dlnLn???lnxi?0 d???1i?12?? ?11n?lnxini?1?1.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若P(C)?1，则AC与BC也独立.（B）若P(C)?1，则A?C与B也独立.（C）若P(C)?0，则A?C与B也独立.（D）若C?B，则A与C也独立. （）答案：（D）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为（A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.（C）2??(2). （D）1?2?(2). （）答案：（A）解答：X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)(2)??(?2)?1?[2?(2?) ?1??1]?2?[1 ? 应选（A）.3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （） 3答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，?xy?0?cov（x，y）?0 D(X?Y)?DX?DY+2cov （x，y）应选（B）.4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) P111169183??若X,Y独立，则?,?的值为（A）??29,??19. （A）??129,??9.（C）??16,??16 （D）??518,??118.4 ）（答案：（A）解答：若X,Y独立则有??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2) 1121 ?(????)(??)?(??) 393921 ???，??99 故应选（A）.5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量.（C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （）答案：（A）解答：EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’B?‘任取一产品确是合格品’则（1）P(A)?P(B)P(A|B)?P()P(A|)?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857.（2）P(B|A)?四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.5 P(AB)0.9?0.95??0.9977. P(A)0.857解：X的概率分布为P(X?k)?C3()()k25k353?kk?0,1,2,3.X即X的分布函数为P02712515412523612538 125x?0,?0,?27?,0?x?1,?125??81,1?x?2, F(x)???125?117 2?x?3,?125,?x?3.?1,?26EX?3??,552318DX?3???.5525五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度.（1）(X,Y)的概率密度为?2,(x,y)?Df(x,y)??0,其它.?fX(x)?（2）利用公式fZ(z)? 其中f(x,z?x)????????????2?2x,0?x?1f(x,y)dy??0,其它??f(x,z?x)dx?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1.??0,其它??0,其它.当z?0或z?1时fZ(z)?0 0?z?1时fZ(z)?2?z0dx?2x0?2zz6故Z的概率密度为??2z,0?z?1,fZ(z)????0,其它.Z的分布函数为fZ(z)??z??z?0?0,?0,z?0,?z??fZ(y)dy???2ydy,0?z?1??z2,0?z?1, 0??1,z?1.?z?1??1,或利用分布函数法?z?0,?0,?FZ(z)?P(Z?z z1,)?P(X?Y?)z,y0??????2dxd?D1?1,z?1.??0,?2, ??z?1,?z?0,0?z?1, z?1.?2z,?0,0?z?1,其它.fZ(z)?FZ?(z)??六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,2)分布. 求（1）命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率；（2）命中点到目标中心距离Z?1）P{X,Y)?D}?222.??f(x,y)dxdyD???2??4D?x2?y28dxdy? 18?r282??2?21e?r28rdrd??（2）EZ?E? ?21e?r28d(?)??e 82??e?e；1?18?12 ?? ??r28 ????1e?04 ???1e8??x2?y28dxdy?18???2???0re?rdrd??r28r2dr7??rer2?8????0??0e?r28dr??????r28dr?.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值?10，样本方差s2?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:?2?0.1（显著性水平为0.05）.（附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为(?t?/2(n?222?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488. ?t?/2(n??10,s?0.4,n?16,??0.05,t0.025(15)?2.132所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）2 （2）H0:?2?0.1的拒绝域为?2???(n?1).15S22?15?1.6?24，?0.05 ??(15)?24.996 0.12 因为?2?24?24.996??0.05(15)，所以接受H0.2《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)891011121314151617《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：181920212223242526272829共8页30。
2011－2012学年 第1学期 概率论与数理统计A 卷评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.1.设,A B 为两个随机事件，其中0()1P B <<，若(|)=(|)P A B P A B ,则必有（A ）A B ⊂事件； （B ）A B 事件,互不相容； （C ）B A ⊂事件； （D ）A B 事件,相互独立.答:（ D ）2.设随机变量X 的分 布函数为0,012,01()23,131,3x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则(1)P X =等于（A ）2/3； （B ）1/2； （C ）1/6； （D ）0.答:（ C ）3.设X 服从区间(0,5)上的均匀分布，则关于t 的一元二次方程24420t Xt X +++=有实根的概率为（A ）0.6； （B ）0.4； （C ）0； （D ）1.答:（ A ）4. 随机变量X 和Y 独立同分布，方差存在且不为0. 记U X Y =-, V X Y =+, 则 (A) U 和V 一定不独立； (B) U 和V 一定独立； (C) U 和V 一定不相关； (D) 以上选项都不对.答:（ C ）5.总体X 的分布为(0,1)N ，15,,X X 为取自X 的简单样本，则下列选项不正确的是(A) ~(4)t ； (B)22212322452~(2,3)3X X X F XX+++；~(0,1)N ； (D) 222231()~(2)2X X Xχ++.答:（ B ）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 6．设,A B 为随机事件，()0.5,()0.2P A P A B =-=，则()P A B =0.7.7. 设连续型随机变量X 的分布函数为0,1()(arcsin 2),111,1x F x k x x x π<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩，则常数k=1π.8．已知,X Y 相互独立,4,1DX DY ==,则(2)D X Y +=17.9．随机从一批香烟中抽取16包测其尼古丁含量的毫克数，从抽取的样本算得样本均值25.5x =，样本标准差 2.4s =. 设香烟中尼古丁含量的分布是正态的，则总体均值μ的置信度为95%的置信区间为（24.2211,26.7789）．（已知0.025(16) 2.1199t =，0.025(15) 2.1315t =，0.05(15) 1.7531t =）10．某保险公司接受了某辖区内600辆电动自行车的保险，每辆每年的保费为50元．若车丢失，则得赔偿车主1000元．假设车的丢失率为125.由中心极限定理，保险公司这年亏损的概率为0.1056．（已知(1.25)0.8944,(2.5)0.9938Φ=Φ=） 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）.11．某商店购进甲厂生产的产品20箱, 乙厂生产的同种产品15箱, 其中甲厂每箱装有一等品74个，二等品6个；乙厂每箱装有一等品95个，二等品5个. 从这35箱中任取一箱,从中任取一个，(1)求取到二等品的概率；(2) 若取到二等品，问这个二等品来自甲厂的概率．解：（1）设B :取到二等品；1A :取到甲厂生产的箱子, 2A :取到乙厂生产的箱子，则取到二等品的概率为1122()(|)()(|)()...................................(3')620515....................................................................(4')8035100359140...................................P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.....................................................(5')（2）二等品来自甲厂的概率为1111()(|)()(|)........................................(8')()()620803523...........................................................................(10')9140P A B P B A P A P A B P B P B ==⨯==12．设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,b ax x f x ⎧<<=⎨⎩其它,且(12)18P X ≤=，求：（1）常数,;a b （2）设2X Y e =，求Y 的概率密度函数()Y f y . 解：（1）由密度函数的性质101201()1...................................................(3')18(12)b bf x dx ax dx P X ax dx +∞-∞⎧===⎪⎨⎪=≤=⎩⎰⎰⎰ 可得 3, 2................................................................................(5')a b ==（2）由题意223ln ,18()............................................(10')0,Y y y e yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它13.二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为：24,01,0(,),0,x x y xf x y ⎧<<<<=⎨⎩其它求：（1）2()P Y X ≤；（2）(,)X Y 关于X 的边缘密度函数()X f x ；（3）条件概率(18|14)P Y X ≤=. 解：（1）由题意22122{(,):}14()(,)4.................(3')445.........................................................................(4')x x y y x P Y X f x y dxdy x dx dy x dx ≤≤====⎰⎰⎰⎰⎰（2）由边缘密度函数的定义2304,014,01()..............(7')0,0,x X x dy x x x f x ⎧⎧<<<<⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰其它其它（3）由条件概率的定义18|18180(1|14)(|14)...................................(9')(14,)412..............................................(10')(14)Y X X P Y X f y dy f y dy dy f -∞-∞≤=====⎰⎰⎰14. 设随机变量Y 在区间(0,3)上服从均匀分布，随机变量0,,1,21,k Y k X k Y k≤⎧==⎨>⎩.求：（1）12(,)X X 的联合分布律；（2）12(,)X X 的相关系数12X X ρ.解：（1）由题意12(0,0)(1,2)1P X X P Y Y ===≤≤=；12(0,1)(1,2)0P X X P Y Y ===≤>=；12(1,0)(1,2)1P X X P Y Y ===>≤=；12(1,1)(1,2)1P X X P Y Y ===>>=.故12(,)X X 的联合分布律为....................................(5')（2）由（1）可得112212229;12;()1')EX D X EX D X E X X ===== 故1212......................(10')XX ρ===15. 据以往经验，某种能力测试的得分服从正态分布(62,25)N ，随机抽取 9个学生参与这一测试，他们的得分记为19,,X X ，设9119ii X X ==∑.（1）求(|62|2)P X -≤；（2）若得分超过70分就能得奖，求至少一个人得奖的概率.(结果用标准正态分布的分布函数()Φ⋅表示) 解：（1）由题意|62|2(|62|2).........................................(2')53532(1.2) 1..................................................................................(5')X P X P ⎛⎫--≤=≤ ⎪⎝⎭=Φ- （2）由题意1991911(70,70)..........................................................(7')1[(70)].......................................................................(8')6270621[()]1[(1.6)55P X X P X X P -≤≤=-≤--=-≤=-Φ 9]...............................(10')16．设总体X 的概率密度函数为)(x f =1,00xe x λλ-⎧>⎪⎨⎪⎩,其它， 其中(0)λλ>是未知参数. 设1,,n X X 为该总体的一个容量为n 的简单样本.（1）求λ的最大似然估计量 λ；（2）判断 λ是否为λ的无偏估计量. 解：（1）11()............................................................................(2')ix ni L eλλλ-==∏似然函数为11ln[()]ln ........................................................(3')nii L n x λλλ==--∑对数似然函数 21^1ln[()]100...............................................................(4')........................................................................(5')nii nii d L n xd X nλλλλλλ===⇒-+==∑∑令的最大似然估计量（2）由题意,1,,............................................................(7')i EX i n λ==而^1.........................................................(9')nii EXE nλλ===∑^.....................................................................................................(10')λλ故是的无偏估计量四、解答题（本大题共1个小题，5分）.17．设随机变量X 在区间[,]ππ-上服从均匀分布，求[min(||,1)]E X . 解：X 的概率密度函数为1,().................................................(1')20,x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它故{:||1}{:||1}1[m in(||,1)]m in(||,1)().............................................................(3')||()()..........................................(4')11222x x x x E X x f x dx x f x dx f x dx x dx ππ+∞-∞<≥-==+=⋅+⎰⎰⎰⎰111112...........................(5')2dx dx ππππ-+=-⎰⎰五、应用题（本大题共1个小题，5分）.18. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0万元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求这部机器在一周内产生的期望利润（结果保留到小数点后面两位）. 解： 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则~(5,0.2).........................................................(1')X b因此(0)0.328P X ==；(1)0.410P X ==；(2)0.205P X ==；(3)10.3280.4100.2050.057................................(3')P X ≥=---= 又设Y........................................(4') 因此100.328+50.410+00.205+(-2)0.057=5.22()..............(5')EY =⨯⨯⨯⨯万元。
《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。
答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B =U ()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+UC 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==L ，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。
概率论及数理统计期末试卷习题及标准答案.doc概率论与数理统计期末试卷及答案一、填空题：1、一袋中有50 个球，其中20 个红球， 30 个白球，现两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到白球的概率为3/5。
2、设 P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，那么P( A U B )2/3。
3、若随机变量X 的概率密度为 f ( x ) Ax 2 , 1 x 1, 那么A=3/2。
4、若二维随机变量（X,Y ）在以原点为圆心的单位圆内的概率密度函数是1/，其它区域都是 0，那么P( X2Y 21 )1/2。
25、掷 n 枚骰子，记所得点数之和为X，则 EX = 。
6、若 X， Y， Z 两两不相关，且DX=DY=DZ=2，则 D(X+Y+Z) = 6 。
7、若随机变量X1 , X 2 ,L , X n相互独立且同分布于标准正态分布N(0,1) ，那么它们的平方和 X 12 X 22 L X n2 服从的分布是2 ( n) 。
8、设n A是 n 次相互独立的试验中事件A 发生的次数，p是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意的n Ap | } =0 。
0 ,lim {|n n9 、设总体X : N ( , 2 )，其中 2 已知，样本为X 1 , X 2 ,L , X n，设 H 0 :0 ，H 1 :X 0z 。
0 ，则拒绝域为n10、设总体 X 服从区间 [1, a] 上的均匀分布，其中 a 是未知参数。
若有一个来自这个总体的样本 2, , , , , 那么参数 a 的极大似然估计值$2.7 。
a = max{ x1 , x2 ,L , x n }二、选择题1、设10 张奖券只有一张中奖，现有10 个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是（ A ）（A）每个人中奖的概率相同；（ B）第一个人比第十个人中奖的概率大；（C）第一个人没有中奖，而第二个人中奖的概率是1/9 ；（D）每个人是否中奖是相互独立的2、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且X : N (1, 2 ) ，Y : N ( 2 ,2)，则X Y 服从的分布是（ B ）（A）N ( 1 2 , 2 ) ；（B）N ( 1 2 ,2 2 ) ；（C）N ( 1 2 , 2 ) ；（D）N ( 1 2 , 2 2 ) 3、设事件A、 B 互斥，且P ( A) 0 ， P( B ) 0 ，则下列式子成立的是（ D ）（ A）P( A | B )P( A) ；（B）P( B | A)0 ；（ C）P( A | B ) P( B) ；（ D）P( B | A) 0 ；4、设随机变量 X 与 Y 独立同分布， P(X= -1) = P(Y= -1) =1/2 ，P(X= 1) = P(Y= 1) =1/2 ，则下列成立的是（ A ）（ A）P( X Y ) 1 / 2 ；（ B）P( X Y ) 1 ；（ C）P( X Y 0) 1/ 4 ；（ D）P( XY 1) 1/ 4 ；5、有 10 张奖券，其中8 张 2 元， 2 张 5 元。
