高考数学抽象函数的周期与对称轴

抽象函数周期性的结论及应用抽象函数是指没有具体地给出函数解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数．下面例析其周期性的三个重要结论及应用．一、三个结论若a，b是非零常数，且a≠b，则有满足以下条件的函数f(x)为周期结论1 (递推式与周期关系结论)⑴若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a；⑵若f(x＋a)＝－1()f x，则T＝2a；⑶若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；⑷若f(x＋a)＝1()1()f xf x+-，则T＝4a．结论2(对称性与周期关系结论)⑴f(x)关于x＝a及x＝b对称，则T＝2(b－a)；⑵f(x)关于x＝b及M(a，0)对称，则T＝4(b－a)；⑶f(x)关于点M(a，0)和N(b，0)对称，则T＝2(b－a)．结论3 (奇偶性与周期关系结论)⑴f(x)是偶函数且关于直线x＝a对称，则T＝2a；⑵f(x)是奇函数且关于直线x＝a对称，则T＝4a．二、应用举例1．求值例1设f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－2，求13log 36f ⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：由结论1⑴，得T ＝2．∴ ()133log 36log 36f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f (－log 336＋4)＝39log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 易知0＜log 394＜1， ∴ 13log 36f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝39log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝39log 43－2＝94－2＝41． 例2 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)[1－f (x )]＝1＋f (x )，f (1)＝2005，求f (2001)的值．解：由f (x )≠1，则有f (x ＋2)＝1()1()f x f x +-，由结论1⑷，得T ＝2×4＝8． ∴ f (2001)＝f (1＋8×250)＝f (1)＝2005．例3 已知函数f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)对于x ∈R 成立，且f (1)＝100，求f (2005)的值．解：由f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)， ①得f (x ＋2)＝f (x ＋4)＋f (x )． ②由①、②，得f (x ＋4)＝－f (x －2)，即f (x ＋6)＝－f (x )．由结论1⑵，知T ＝12．故有f (2005)＝f (1＋12×167)＝f (1)＝100．2．判断奇偶性例4 若函数f (x )对于x ∈R 满足，f (x ＋1002)＝－1()f x ，f (1002＋x )＝f(1002－x)，则f(x)为( )(A) 是奇函数而不是偶函数(B) 是偶函数而不是奇函数(C) 是奇函数又是偶函数(D) 不是奇函数也不是偶函数解：由f(x＋1002)＝－1()f x，结合结论1⑵，知T＝2004．∴f(x)＝f(2004＋x)＝f[1002＋(1002＋x)]＝f[1002－(1002＋x)]＝f(－x)．即f(－x)＝f(x)．∴y＝f(x)是偶函数．故选(B)．3．求解析式例5已知偶函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且x∈[3，4]时，f(x)＝2x－1，求当x∈[14，15]时，f(x)的解析式．解：由条件及结论3⑴，知f(x)的周期是2．故当x∈[14，15]时，f(x)＝f(x－18)＝f(18－x)．而知3≤18－x≤4，故f(x)＝f(18－x)＝[2×(18－x)－1]＝－2x＋35．。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。

函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。

自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。

命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。

高三数学函数的周期性和对称性典型例题解析11.函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】第一步，准确求出函数的周期性：由()()2f x f x +=，可知()f x 是周期为2的函数， 第二步，运用函数的周期性求解实际问题：令1-=x 故()()11f f -=，代入解析式，得()22a a e -+=-，解得2a =， 从而()()22,10{22,01x x x f x x e x +-≤≤=-<≤，故()()()()2017201810022f f f f +=+=+=，故选C.2.已知定义域为R 的函数()f x 满足()2()f x f x +=，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，则()2021f -=（）A ．lg3-B ．lg 9C ．lg 3D ．0【答案】C 【分析】由()()2f x f x +=得出函数的周期2T =，所以()()20211f f -=代入解析式可得答案. 【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数的周期2T =，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，所以()()20211lg3f f -==. 故选：C.3.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【分析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.4.函数y =f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x +2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ． f(1)<f(52)<f(72) B ． f(72)<f(52)<f(1) C ． f(72)<f(1)<f(52) D ． f(52)<f(1)<f(72) 【答案】C5.函数f(x +2)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数y =f(x)的图像关于x =2对称，则f(52)=f(32)，f(72)=f(12)，函数y =f(x)在[0,2]上单调递增，则有 f(12)<f(1)<f(32)，所以f(72)<f(1)<f(52).选C . 考点：抽象函数的周期性．6.（多选）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x ∀∈R 有()()4f x f x +-=.当(]0,2x ∈时，()2f x x =+.则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的周期8T = B ．()f x 的最大值为4 C ．()20212f = D ．()2f x +为偶函数【答案】ABD 【分析】由函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，得()()22f x f x -+=--，又()()4f x f x +-=，所以()()()44f x f x f x =--=--，()()444f x f x --++=，从而可得()()8f x f x +=，进而根据周期性、对称性、(]0,2x ∈时()f x 的解析式即可求解. 【详解】解：函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，∴函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称， ∴()()22f x f x -+=--对x R ∀∈有()()4f x f x +-=，∴函数()y f x =的图象关于()0,2中心对称，∴()()2222f x f x -++=--+⎡⎤⎣⎦，即()()()44f x f x f x =--=--，又()()444f x f x --++=，即()()444f x f x --=-+，∴()()4f x f x +=-，∴()()()444f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()8f x f x +=，()()22f x f x +=-+， ∴()f x 的周期8T =，选项A 正确；()2f x +为偶函数，选项D 正确；当(]0,2x ∈时，()2f x x =+，()()4f x f x +-=，∴当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，()24f x x +-+=，即()2f x x =+， ∴当[]2,2x ∈-时，()2f x x =+，又函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，∴在一个周期[]6,2-上，()()max24f x f ==， ()f x ∴在R 上的最大值为4，选项B 正确；()()()()()2021252855141121f f f f f =⨯+==+=-=-+=∴，选项C 错误. 故选：ABD.7. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性．8.已知()21y f x =-为奇函数， ()y f x =与()y g x =图像关于y x =对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（ ）A. 2B. -2C. 1D. -1 【答案】B 【解析】()21y f x =-为奇函数，故()21y f x =-的图象关于原点()0,0对称，而函数()y f x =的图象可由()21y f x =-图象向左平移12个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故()y f x =的图象关于点()1,0-对称，又()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，故函数()y g x =的图象关于点()0,1-对称，120x x +=，即12x x =-，故点()()()()1122,,,x g x x g x ，关于点()0,1-对称，故()()122g x g x +=-，故选B.9.已知函数()tan sin cos f x x x x =-，现有下列四个命题： ①f (x )的最小正周期为π； ②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于(2π，0)对称； ④f (x )的图象关于(π，0)对称. 其中所有真命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②③④ D ．①②④【答案】C 【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案. 【详解】因为tan y x =与1sin cos sin 22y x x x ==的最小正周期均为π，所以f (x )的最小正周期是π.因为()()f x f x -=-，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称. 因为()()tan sin cos f x x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(2π，0)对称. 因为()()2tan sin cos f x x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(π，0)对称. 所以①②③④均正确 故选：C10.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 11.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x --=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x -=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.12.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点： 函数图象的性质13.已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数,满足f(1−x)=f(1+x) .若f(1)=2 则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=（ ）A ． −50B ． 0C ． 2D ． 50 【答案】C【解析】因为f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，且f(1−x)=f(1+x)， 所以f(1+x)=−f(x −1)∴f(3+x)=−f(x +1)=f(x −1)∴T =4,因此f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)， 因为f(3)=−f(1)，f(4)=−f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，∵f(2)=f(−2)=−f(2)∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)=2，选C. 14.已知函数f(x)=lnx +ln(2−x)，则A ． f(x)在（0，2）单调递增B ． f(x)在（0，2）单调递减C ． y =f(x)的图像关于直线x=1对称D ． y =f(x)的图像关于点（1，0）对称 【答案】C【解析】由题意知，f(2−x)=ln(2−x)+lnx =f(x)，所以f(x)的图象关于直线x =1对称，故C 正确，D 错误；又f(x)=ln[x(2−x)]（0<x <2），由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ． 【考点】函数的对称性、单调性。

浅谈抽象函数的几种问题求解策略摘要：抽象函数问题是近年来高考考查的热点之一，其中关于周期性、对称性是考查的重难点.本论文以高考常考题型为背景，较详细地归纳了各类题型及其解法点拨，并给出了历年高考题作为例题说明，对以周期性问题与对称性问题本文归纳了一些常考性质并给出了部分证明.关键词：抽象函数换元周期性奇偶性一、引言函数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点内容.近几年来，以抽象函数为背景或载体的函数问题成为高考函数命题的新亮点[1].所谓抽象函数是指没有给出具体的函数解析式和函数图象，只给出的的一些性质，并且它所涉及的知识较广泛，处理方法也不唯一，因此抽象函数是高中数学的一个难点.二、几种抽象函数问题的求解1、定义域问题在高中数学中，关于抽象函数的定义域问题一般会出现2种题型：对于已知或的定义域，求函数或的定义域的题型解法可表示为：若已知的定义域为，相当于已知的定义域为，据此求出的值域就是的定义域；若已知的定义域为，相当于已知的值域为，据此只要求出函数关于的定义域就是的定义域.对于已知函数的定义域，求函数的定义域(其中，均为关于的函数)，可利用的定义域作为过渡，也就是若已知的定义域，则先求出的定义域，然后由的定义域再求出的定义域.例1若函数的定义域是[0,2]，求函数的定义域.解：∵的定义域是[0,2]，则对于函数有，即.∴函数的定义域为[0,1].而分母不能为0，故.∴函数的定义域为[0,1).2、奇偶性、对称性问题在高中数学中，函数的对称问题是个难点也是重点，学生在学习的过程中感觉难以理解，而且易混淆.其实函数的对称性质只有两类：一类是函数自身对称；另一类是函数与函数的对称.其中对称又分为关于点对称、关于直线对称.另外，抽象函数的对称问题也可以转化为函数图象变化来考虑，通过函数图象按照题设的变化来找出其中的对称点或对称直线.下面将其几条对称性质加以归纳：性质1.对于函数，若为奇函数，则成立，那么函数的图象关于点对称[2].性质2.对于函数，若为偶函数，则成立，那么函数的图象关于直线对称[2].性质3.函数与函数的图象关于点对称[2].性质4.函数与函数的图象关于直线对称[2].例2设函数是定义在实数集上的偶函数，则函数与的图象关于（）1.直线对称 B. 直线对称 C. 直线对称 D. 直线对称解：若熟悉上述几种对称情况时不难知道选D.函数与函数关于y轴对称，函数是由函数向右平移了2个单位，函数是由向右平移了2个单位，故对称轴也向右平移了2个单位，由变为，故选D.3、周期性问题在高中数学中，函数的周期性考查较多，其中抽象函数的周期性问题常常与奇偶性、数列等知识结合考查，难度适中.要解决此类问题首先就要从题设中找到函数的周期，再结合其它知识那么这类问题就能够顺利解决.1.型如[3].令，则,即成立，即函数是以为周期.2.型如.，即函数是以为周期.3.型如.用代换,得到,即，即函数是以为周期.4.型如.用代换，则，即，即函数是以为周期.例3 已知函数的定义域为R，且满足，求证：是周期函数.证明：∵∴，即函数是以4为周期的周期函数.4、单调性问题在高中数学中，函数的基本性质是非常重要的，特别是函数的单调性是必考的内容之一，其中抽象函数的单调性问题主要会从三方面来考察：一是用定义证明函数的单调性；二是利用函数单调性求函数的最值；三是用函数的单调性求解不等式与证明不等式[4].下面对上述问题结合实例作简要说明：当抽象函数与不等式结合考查时一般就是求解不等式与证明不等式，此类问题的综合性较强而且比较繁琐，但是只要能够巧妙地利用赋值转化、反证、递推等特殊方法再结合不等式的性质，此类问题就迎刃而解了.例4 函数的定义域为，，对任意，，求的解集.解：设，则，即在时为增函数，由，即也就是的解为(-1,∞).所以的解为(-1,∞).5、函数值问题在高中数学中，关于抽象函数值得问题考查频率较高，一般会从值域、函数值、最大值、最小值、比较函数值大小等方面考查，值域、最大值、最小值问题一般考查会涉及单调性、奇偶性等内容.对于求函数值的方法一般是采用赋值法求解，也就是结合题设中的已知条件，取特定的值代入求解即可，其中在迭代的过程中容易出错.例 5 设函数的定义域为,且为偶函数，为奇函数，则（）解：因为函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，即.又为奇函数，所以.设，则，所以，所以.又易得到函数的周期为4，所以不一定为0.故选.小结本文主要对高中数学中经常出现的抽象函数问题进行归纳并给出解法及点拨，其中包括定义域问题、函数值问题、奇偶性问题、单调性问题、对称性问题、周期性问题等.通过历年高考数学题发现，高考涉及到的抽象函数问题难易程度一般都会偏难，其综合性较强，对学生的综合素养要求较高.本文尚有不足之处还望各位老师批评指正.参考文献[1] 袁建民，熊群，刘南山.应重视以抽象函数为背景的高考函数命题趋势[J].中学数学研究，2007，2：19-22.[2] 黄以民.抽象函数对称性的证明与辩证[J].考试（高考版），2003，04：47-48.[3] 郑艳.从抽象函数形式看函数性质[J].教育教学论坛，2011，15：200.[4] 张国栋.例谈抽象函数单调性问题的求解[J].中学数学研究，2006，7：31-32.。

专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。

在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。

【方法点评】一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．51- 【答案】D考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【变式演练2】定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31x f x =-，则()2015f 的值为（ ）【答案】A试题分析： 由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 的周期⇒=4T ()2015f ==)3(f2)1(-=-f ，故选A.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，3()2a f =，7()2b f =，12(log 8)c f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B试题分析：因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又(4)()f x f x +=，所以()()1271(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性． 二、函数的对称性问题 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称；第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称.例2 ．（从对称性思考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于），（00中心对称，(3)()f x f x -=,则函数关于32=x 轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.本题中，利用此结论可得周期为632-04=⨯，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-，(1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知函数21()(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e +-D ．2[2,)e -+∞ 【答案】B考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1-<m 或30<<m试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或.考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【答案】C试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.2. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）?2 （B ）?1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．5. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 【反馈练习】1. 【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数()y f x =定义在实数集R 上，则函数()y f a x =-与()y f x a =-的图象（ ）A ．关于直线0y =对称B ．关于直线0x =对称C ．关于直线y a =对称D ．关于直线x a =对称 【答案】D2．【 2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()2015f =（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98 【答案】A 试题分析：由()()4f x f x +=得()f x 的周期⇒=4T ()2015(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3. 【2017届河南新乡一中高三9月月考数学，文8】定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f <<【答案】A 【解析】试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．4. 【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ） A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e + 【答案】A试题分析：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，则()f x 关于原点对称. 当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+即函数()f x 的周期为2.所以()()(2016)(2015)011f f f f e +-=-=-.考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．5. 【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数2()(12)f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．9[,)4-+∞ B ．9[,0]4- C ．[2,0]- D ．[2,4]【答案】C 【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数范围.6. 【2017届河北武邑中学高三上周考数学试卷，理9】若对正常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为2mB ．函数()f x 是奇函数，但不是周期函数C ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为4mD ．函数()f x 是偶函数，但不是周期函数 【答案】C考点：函数的周期性．7. 【2017届四川成都七中高三10月段测数学试卷，文10】 函数()f x 的定义域为R ，以下命题正确的是（ ） ①同一坐标系中，函数(1)y f x =-与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；②函数()f x 的图象既关于点3(,0)4-成中心对称，对于任意x ，又有3()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线32x =对称；③函数()f x 对于任意x ，满足关系式(2)(4)f x f x +=--+，则函数(3)y f x =+是奇函数. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】D 【解析】 试题分析： ①正确，因为函数()x f y =与()x f y -=关于y 轴对称，而()1-=x f y 和()x f y -=1都是()x f y =与()x f y -=向右平移1个单位得到的，所以关于直线1=x 对称；②正确，因为函数关于点⎪⎭⎫⎝⎛043-，成中心对称，所以()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛--23，而3()()2f x f x +=-，所以⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x f x f 2323，即()()x f x f =-，又根据3()()2f x f x +=-，可得函数的周期3=T ,又有()()x f x f =-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+232323x f x f x f ，所以函数关于直线23-=x 对称；③正确，因为()()3242=+-++x x ，所以函数()x f 关于点()0,3对称，而函数()3+=x f y 是函数()x f y =向左平移3个单位得到，所以函数()3+=x f y 是奇函数.故3个命题都正确，故选D.考点：抽象函数的性质8. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文12的图像上关于原点对称的点有（ ）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个 【答案】B2241y x x =++关于原点对称的图象，记为曲线C .容易发现与曲线C 有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B 就是符合题意的点，故选B.考点：函数的图象与性质及应用．9. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是（ ）A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D考点：函数周期性、对称性和奇偶性．。

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。