人教版2020版高考理科数学一轮复习课时跟踪检测(六十九) n次独立重复试验及二项分布(附解析)

课时跟踪检测(三十五) 数列求和一、题点全面练1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15.2．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.3．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018等于( ) A ．22 018－1 B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B ∵a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列， ∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018) ＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3×21 009－3.故选B.4．(2019·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *)，则T 2 018＝( )A.4 0342 018B.2 0172 018C.4 0362 019D.2 0182 019解析：选C 由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋1)2，所以1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019，故选C. 5．已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 019项和为( )A ．5B ．－4C ．0D ．－2解析：选B 由“凸数列”的定义及b 1＝1，b 2＝－2，得b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，∴数列{b n }是周期为6的周期数列，且b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，于是数列{b n }的前2 019项和等于b 1＋b 2＋b 3＝－4.6．(2019·肇庆模拟)正项数列{a n }中，满足a 1＝1，a 2＝12，1a n ＋1＝1a n ·1a n ＋2(n ∈N *)，那么a 1·a 3＋a 2·a 4＋a 3·a 5＋…＋a n ·a n ＋2＝________.解析：由1a n ＋1＝1a n ·1a n ＋2(n ∈N *)， 可得a 2n ＋1＝a n a n ＋2， ∴数列{a n }为等比数列．∵a 1＝1，a 2＝12，∴q ＝12，∴a n ＝12n －1，∴a n ·a n ＋2＝12n －1·12n ＋1＝14n，∴a 1·a 3＝14， ∴a 1·a 3＋a 2·a 4＋a 3·a 5＋…＋a n ·a n ＋2 ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎫1－14n . 答案：13⎝⎛⎭⎫1－14n7．(2019·合肥模拟)数列{a n }满足：a 1＝13，且a n ＋1＝(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的前n项和S n ＝________.解析：a n ＋1＝(n ＋1)a n 3a n ＋n ，两边同时取倒数得1a n ＋1＝3a n ＋n (n ＋1)a n ＝3n ＋1＋n (n ＋1)a n ，整理得n ＋1a n ＋1＝n a n ＋3，所以n ＋1a n ＋1－n a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 是以1a 1＝3为首项，3为公差的等差数列，所以n a n ＝3n ，所以a n ＝13，所以数列{a n }是常数列，所以S n ＝n 3.答案：n38．(2019·益阳、湘潭调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019的值是________． 解析：由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n＝2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，bn ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2－12 018＝4 0352 018. 答案：4 0352 0189．(2019·广州调研)已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n 4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n a n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4，①所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2，n ∈N *)，所以a n ＝14n (n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时也适合上式，故a n ＝14n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝4n a n 2n ＋1＝12n ＋1，所以b n b n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3 ＝n6n ＋9. 10．(2019·石家庄质检)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn ，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝121＋122＋…＋12n －1， 即b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝1－12n －1，∴b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n2n －1，设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n 2n －1，①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n＝1－12n1－12－n2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝( ) A.n (n ＋1)2B ．－n (n ＋1)2C ．(－1)n＋1n (n ＋1)2D ．以上均不正确解析：选C 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n2(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋2(n －1)－1]2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上可得，原式＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.2．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝( )A ．－2 017B ．－2 018C ．2 017D ．2 018解析：选D 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，则a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－(3＋7＋11＋…＋4 035)．当n 为偶数时，n ＋1为奇数，则a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018＝5＋9＋13＋…＋4 037.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋…＋(4 037－4 035)＝2×1 009＝2 018，故选D.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则数列{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n ＞3)D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n (n ＞3)解析：选C 由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴当n ≤3时，a n ＜0，T n ＝(－a 1)＋(－a 2)＋(－a 3)＝－S n ＝6n －n 2.当n ＞3时，a n ＞0，T n ＝(－a 1)＋(－a 2)＋(－a 3)＋a 4＋…＋a n ＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n ＞3).(二)难点专练——适情自主选4．已知数列{a n }为等差数列且公差d ≠0，{a n }的部分项组成等比数列{b n }，其中b n ＝ak n ，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，(1)求k n ；(2)若a 1＝2，求{a n k n }的前n 项和S n .解：(1)由k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，知a 1(a 1＋16d )＝(a 1＋4d )2，得a 1＝2d . 从而a k ＝(k ＋1)d ，则ak n ＋1ak n ＝(k n ＋1＋1)d (k n ＋1)d ＝ak 2ak 1＝3，即(k n ＋1＋1)＝3(k n ＋1)，所以数列{k n ＋1}是首项为k 1＋1＝2，公比为3的等比数列，所以k n ＋1＝2·3n －1，所以k n ＝2·3n －1－1.(2)由a 1＝2，得d ＝1，则a n ＝n ＋1，a n k n ＝2(n ＋1)·3n －1－(n ＋1)， 所以S n ＝2[2＋3·3＋…＋(n ＋1)3n －1]－n (n ＋3)2， 令T n ＝2＋3·3＋…＋(n ＋1)3n －1， 则3T n ＝2·3＋3·32＋…＋(n ＋1)3n ，两式相减，得－2T n ＝2＋3＋32＋…＋3n －1－(n ＋1)3n ＝1＋3n －12－(n ＋1)3n .所以T n ＝－3n ＋14＋(n ＋1)3n 2＝(2n ＋1)3n －14，S n ＝(2n ＋1)3n －(n 2＋3n ＋1)2.5．在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n＋2，①T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②由①×②并利用t i ·t n ＋3－i ＝100(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝100n ＋2，所以a n ＝lg T n ＝n ＋2. (2)由题意和(1)中计算结果，知b n ＝tan(n ＋2)tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，由tan 1＝tan [(k ＋1)－k ] ＝tan (k ＋1)－tan k1＋tan (k ＋1)tan k ， 得tan(k ＋1)tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan 1－1，所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan (k ＋1)－tan k tan 1－1＝tan (n ＋3)－tan 3tan 1－n .。

课后限时集训(六十一)n次独立重复试验与二项分布(建议用时：60分钟)A组基础达标1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为15.则甲获第一名且丙获第二名的概率为()A.1112B.16C.130D.215D[设“甲胜乙”“甲胜丙”“乙胜丙”分别为事件A，B，C，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A∩B∩C，所以P(甲获第一名且丙获第二名)＝P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝23×14×45＝215.]2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23，以上说法正确的是()A．②③B．①②③C．②④D．①③C[对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝12，所以①错误，结合选项可知，排除B、D；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×13，所以③错误，排除A.故选C.]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16B[设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝ 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.] 4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A .110B .15C .25D .12C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25，故选C .] 5．(2018·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( ) A .89 B .7381C .881D .19C [因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为13，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.] 二、填空题6．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为P ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则P 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 [设P (B k )(k ＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉3次，出现k 次钉尖向上”的概率，由题意，得P (B 2)＜P (B 3)，即C 23P 2(1－P )＜C 33P 3，∴3P 2(1－P )＜P 3.∵0＜P ＜1，∴34＜P ＜1.] 7．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格率为45，乙的及格率为25，丙的及格率为23，则三人中至少有一人及格的概率为________．2425 [设“甲及格”为事件A ，“乙及格”为事件B ，“丙及格”为事件C ，则P (A )＝45，P (B )＝25，P (C )＝23，∴P (A )＝15，P (B )＝35，P (C )＝13，则P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝15×35×13＝125，∴三人中至少有一人及格的概率P ＝1－P (A B C )＝2425.]8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.14[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果． 由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，所以事件B 包含4个基本结果，事件AB 包含1个基本结果． 所以P (B )＝49，P (AB )＝19.所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1949＝14.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试．“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为34，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．(1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．[解] (1)设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i ，第i 次“三步上篮”命中为事件B i (i ＝1,2)，依题意有P (A i )＝12，P (B i )＝34(i ＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C .(1)P (C )＝P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2 B 1 B 2)＋P (A 1B 1 B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)·P (B 1)P (B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝1964. ∴P (C )＝1－1964＝4564.(2)依题意知ξ＝2,3,4， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (A 1 A 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (A 2)＝58，P (ξ＝3)＝P (A 1B 1B 2)＋P (A 1A 2B 1)＋P (A 1B 1 B 2)＝P (A 1)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (A 2)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (B 2)＝516， P (ξ＝4)＝P (A 1A 2B 1)＝P (A 1)P (A 2)P (B 1)＝116. 故投篮的次数ξ的分布列为：10.的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列．[解] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x ，则在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x .依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.03)×10＋4x ＋2x ＋x ＝1，解得x ＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X ～B (n ，p )，其中n ＝3.由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率为p ＝0.6.因为X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 03×0.60×0.43＝0.064，P (X ＝1)＝C 13×0.61×0.42＝0.288， P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216.所以X 的分布列为B 组 能力提升1.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为( )A .14B .12C .34D .45C [记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B .若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.]2．经检测，有一批产品的合格率为34，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P (ξ＝k )取得最大值时，k 的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 B[根据题意得，P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ⎝⎛⎭⎪⎫1－345－k ，k ＝0,1,2,3,4,5，则P (ξ＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫340×⎝ ⎛⎭⎪⎫145＝145，P (ξ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫341×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1545，P (ξ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝9045，P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫343×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝27045，P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫344×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＝40545，P (ξ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫345×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝24345，故当k ＝4时，P (ξ＝k )最大．]3．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3为两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．②④ [P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误；从甲罐中取出1红球放入乙罐后，则乙罐中有5个红球，从中任取1个为红球的概率为511，即P (B |A 1)＝511，故②正确；由于P (B )≠P (B |A 1)，故B 与A 1不独立，因此③错误；由题意知，④正确．]4．(2019·石家庄模拟)某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．[解] (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴P (X ＝0)＝C 04·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881， P (X ＝4)＝C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则∵7281＜90%≤8081，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y万元，则Y的所有可能取值为18,13,8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝7281，P(Y＝13)＝P(X＝3)＝881，P(Y＝8)＝P(X＝4)＝181，∴Y的分布列为。

课时跟踪检测（六十） 随机事件的概率一、题点全面练1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：选D A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系.2.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率为1235.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为( )A.17 B.1235C.1735D.1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥.所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735.3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，因为B 表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.5.抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为掷出向上为偶数点，事件B 为掷出向上为3点，则P (A ∪B )＝( )A.13 B.23 C.12D.56解析：选B 事件A 为掷出向上为偶数点，所以P (A )＝12.事件B 为掷出向上为3点，所以P (B )＝16.又事件A ，B 是互斥事件， 所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝23.6.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析：选D 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜P A ＜1，0＜P B ＜1，P A ＋P B ，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜2－a ＜1，0＜4a －5＜1，3a －3≤1，解得54＜a ≤43.7.若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________. 解析：∵A ，B 为互斥事件， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.38.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.039.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人.解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人).答案：6 91210.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 141511.(2019·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这 1 000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.解：(1)购物者的购物金额x 与获得优惠券金额y 的频率分布如下表：这11 000(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96. (2)由获得优惠券金额y 与购物金额x 的对应关系及(1)知P (y ＝150)＝P (0.6≤x ＜0.8)＝0.28， P (y ＝200)＝P (0.8≤x ≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P (y ≥150)＝P (y ＝150)＋P (y ＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.二、专项培优练(一)交汇专练——融会巧迁移1.[与数学文化交汇]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A.134石B.169石C.338石D.1 365石解析：选B 这批米内夹谷约为28254×1 534≈169石，故选B .2.[与数列交汇]现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A.35B.12C.310D.15解析：选A 由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P ＝610＝35.3.[与不等式交汇]若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，则x ＋y 的最小值为________.解析：由题意，x ＞0，y ＞0，4x ＋1y＝1.则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥5＋24y x ·xy＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.答案：9(二)素养专练——学会更学通4.[数据分析]某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.5.[数学建模]如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计概率，可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率分布如下表：1212记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.用频率估计概率及由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，故甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)，故乙应选择L2.。

跟踪检测(三) 函数及其表示[基础训练]1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为 ( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D. 2答案：B 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，此时f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2(舍负)． 当x <0时，f (x )＝－x 2，此时f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解， 所以x 0＝2，故选B.2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C 解析：由x 2＋1＝1，得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2， 所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．3．[2019广东肇庆模拟]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18 C ．－1258 D.1258 答案：B 解析：∵f (x ＋3)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为3的函数， 又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，且f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112－6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18，故选B.4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x答案：B 解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .5．[2019江西宜春月考]若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案：D 解析：f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，∴Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.6．[2019广东阳江月考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤1，log 3x ，x >1，若f (x 0)＝2，则x 0的值为________．答案：－1或9 解析：若x 0≤1，则2－x 0＝2，解得x 0＝－1；若x 0>1，则log 3x 0＝2，解得x 0＝9.7．[2019江苏南京模拟]已知f (sin x )＝cos 2x ，则f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝1－2x 2，x ∈[－1,1] 解析：f (sin x )＝cos 2x ＝1－2sin 2x ，设sin x ＝t ，t ∈[－1,1]， ∴f (t )＝1－2t 2，t ∈[－1,1]， ∴f (x )＝1－2x 2，x ∈[－1,1]．[强化训练]1．[2019山西名校联考]设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f (f (x ))的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案：B 解析：f (f (x ))＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎨⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B. 2．[2019陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5]答案：C 解析：∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴当x ＝2时，f (2)＝4， 由f (x ) ＝－x 2＋4x ＝－5， 解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]， 则－1≤m ≤2.故选C.3．[2019湖南邵阳期末]设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)答案：B 解析：∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2， ∴函数f (x )的定义域为(1,2]， ∴1<x2≤2， 解得x ∈(2,4]， 则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]． 故选B.4．[2019湖北武汉调研]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值为( )A ．1或－22 B ．－22 C ．1D ．1或22答案：A 解析：∵f (1)＝e 1－1＝1，且f (1)＋f (a )＝2， ∴f (a )＝1.当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1. ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2，得a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1，得a ＝1. 故a ＝－22或1.5．[2019江西南昌一模]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)答案：C 解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若x >1，则f (x )＝x ＋1>2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a <1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意；若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值，只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2.综上可得a 的取值范围是[1,2]．故选C.6．[2019湖南衡阳县联考]若函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B 解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －2a ≥0，b －x >0，解不等式组，得2a ≤x <b .∵函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4，∴a ＋b ＝1＋4＝5.故选B.7．[2019江苏南京、盐城一模]设函数y ＝e x ＋1e x －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，2] 解析：∵e x＋1e x ≥2e x·1e x ＝2，∴函数y ＝e x＋1e x －a 的值域为[2－a ，＋∞)． 又∵A ⊆[0，＋∞)， ∴2－a ≥0，即a ≤2.8．[2019山东济宁期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋b ，x >1，e x－2，x ≤1，若f (e)＝－3f (0)，则函数f (x )的值域为________．答案：(－2，e －2]∪(2，＋∞) 解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x >1，e x－2，x ≤1，f (e)＝－3f (0)， 所以1＋b ＝－3×(－1)， 所以b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋2，x >1，e x －2，x ≤1.当x >1时，y ＝ln x ＋2>2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]． 故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．9．[2019河北承德调研]设函数f ：R →R ，满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 018)＝________.答案：2 019 解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)·f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2， 将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ， 所f (2 018)＝2 019.10．[2019吉林模拟]若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )＝________.答案：2x ＋25 解析：∵3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ＝2(x －1)＋2，①用1－x 代换x －1，得3f (1－x )＋2f (x －1)＝2(1－x )＋2，② ①×3－②×2，得5f (x －1)＝10(x －1)＋2， ∴f (x －1)＝2(x －1)＋25， ∴f (x )＝2x ＋25.。

课后限时集训（六十七） n 次独立重复试验与二项分布建议用时：40分钟一、选择题1．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（ ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!B [设A ＝｛第一次拿到白球}，B ＝{第二次拿到红球｝，则P （AB )＝错误!×错误!,P (A )＝错误!。

所以P （B |A ）＝错误!＝错误!.］2．已知甲，乙,丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是16，14，错误!，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!B ［甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P 1＝错误!×错误!×错误!＝错误!，所以三人中至少有一人被录取的概率为P ＝1－P 1＝错误!,故选B。

］3．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是() A．错误!B．错误!C．18125D．错误!D[袋中装有2个红球，3个黄球,有放回地抽取3次，每次抽取1球,每次取到黄球的概率P1＝错误!，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C错误!错误!2错误!＝错误!。

]4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。

75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(）A．0.8 B．0。

75C．0。

6 D．0.45A[令A＝“第一天空气质量优”，B＝“第二天空气质量优”，则P(AB）＝0.6，P(A)＝0.75，P（B|A）＝错误!＝0。

8.］5．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为错误!和错误!,甲、乙两人各射击一次,有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋错误!;②目标恰好被命中两次的概率为错误!×错误!；③目标被命中的概率为错误!×错误!＋错误!×错误!；④目标被命中的概率为1－错误!×错误!，以上说法正确的是（）A．②③B．①②③C．②④D．①③C[对于说法①,目标恰好被命中一次的概率为错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，所以①错误,结合选项可知，排除B、D；对于说法③,目标被命中的概率为错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!，所以③错误,排除A.故选C。

作业9.9n 次独立重复试验与二项分布一、单项选择题1．某道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒．某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是()A.35192B.25192C.55192D.651922．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3123．某产品的正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝()A ．C 3×78B ．C 3×18×78×184．(2021·沈阳市高三检测)2020年初，新型冠状肺炎在欧洲暴发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝()A.29B.13C.49D.595．(2021·四川绵阳高三模拟)用电脑每次可以从区间(0，1)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为()A.127B.23C.827D.496．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.137．已知随机变量ξ～P(ξ＝2)等于()A.316B.1243C.13243D.802438．(2020·浙江温州九校第一次联考)抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球(2个红色，3个黄色，其余为白色)，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖．有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是()A ．6，0.4B ．18，14.4C ．30，10D ．30，209．(2021·河南省项城市期末)某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X ＝4)<P(X ＝6)，则p ＝()A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3二、多项选择题10．(2021·山东昌乐二中高二月考)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为80243；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.则其中正确结论的序号是()A ．①B ．②C ．③D ．④11．(2021·江苏海安高级中学高二期中)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2，A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是()A ．P(B)＝25B ．P(B|A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3两两互斥12．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X ，则下列结论正确的是()A ．E(X)＝0.1B ．P(X ＝k)＝0.01k ×0.9910－kC ．D(X)＝0.99D ．P(X ＝k)＝C 10k ×0.01k ×0.9910－k三、填空题与解答题13．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．X 表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数，则E(X)＝________，方差D(X)＝________．14．(2021·浙江台州模拟)某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有________种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ表示他遇到红灯的次数，则E(ξ)＝________．(用数字作答)15．(2021·重庆市南开中学高三模拟)无症状感染者被认为是新冠肺炎疫情防控的难点之一．国际期刊《自然》杂志中一篇文章指出，30%～60%的新冠感染者无症状或者症状轻微，但他们传播病毒的能力并不低，这些无症状感染者可能会引起新一轮的疫情大暴发．我们把与病毒携带者有过密切接触的人群称为密切接触者．假设每名密切接触者成为无症状感染者的概率均为13，那么4名密切接触者中，至多有2人成为无症状感染者的概率为________．16．(2021·福建漳州市高三质检)勤洗手、常通风、戴口罩是切断新冠肺炎传播的有效手段．经调查疫情期间某小区居民人人养成了出门戴口罩的好习惯，且选择佩戴一次性医用口罩的概率为p ，每人是否选择佩戴一次性医用口罩是相互独立的．现随机抽取5位该小区居民，其中选择佩戴一次性医用口罩的人数为X ，且P(X ＝2)<P(X ＝3)，D(X)＝1.2，则p 的值为________．17．(2021·长沙高三检测)近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某扶贫小组为更好地执行精准扶贫政策，为某扶贫县制定了具体的扶贫政策，并对此贫困县2015年到2019年居民家庭人均纯收入(单位：百元)进行统计，数据如下表：年份20152016201720182019年份代号(t)12345人均纯收入(y)5.86.67.28.89.6并调查了此县的300名村民对扶贫政策的满意度，得到的部分数据如下表所示：满意不满意45岁以上村民1505045岁以下村民50(1)求人均纯收入y 与年份代号t 的线性回归方程；(2)是否有99.9%的把握认为村民的年龄与对扶贫政策的满意度具有相关性？(3)若以该村村民的年龄与对扶贫政策的满意度的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不满意扶贫政策的45岁以上的村民人数为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式：回归直线y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －；K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.临界值表：P(K 2≥k 0)0.1000.0500.0250.0100.001k 02.7063.8415.0246.63510.82818．(2021·广西高三下学期开学考)高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合计1512137845(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户：①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．附公式及表如下：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828作业9.9n 次独立重复试验与二项分布参考答案1．答案A 解析三处都不停车的概率是P ＝2560×3560×4560＝35192.2．答案A 解析该同学通过测试的概率为C 32·0.62·0.4＋C 33·0.63＝0.648.故选A.3．答案C解析因为某产品的正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，所以“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，所以P(ξ＝3)×78.故选C.4．答案A解析事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P(AB)＝A 4444＝332，P(B)＝C 41·3344＝2764，P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝29.故选A.5．答案C 解析由题意可得：每个实数都大于13的概率为P ＝1－13＝23，则3个实数都大于13的概率为＝827.故选C.6．答案A 解析记A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝23.所以P(AB)＝P(A)P(B)＝23×23＝49.7．答案D 解析已知ξ～P(ξ＝k)＝C n k p k q n －k .当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，P(ξ＝2)＝C 6－2＝C 6＝80243.8．答案D解析由题意中奖的概率为2＋315＝13，因此每个人是否中奖服从二项分布因此90人中中奖人数的期望值为90×13＝30，方差为90×13×20.9．答案B解析某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p ，可看做是独立重复事件，该群体10位成员中使用移动支付的人数X ～B(10，p)，（X ）＝2.4，（X ＝4）<P （X ＝6），（1－p ）＝2.4，104p 4（1－p ）6<C 106p 6（1－p ）4，解得p ＝0.4或0.6，且p>0.5，故p ＝0.6.故选B.10．答案ABD解析一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是P ＝C 42C 21C 63＝35②从中有放回地取球6次，每次任取一球，每次取到白球的概率为P ＝26＝13，则恰好有两次白球的概率为P ＝C 6＝80243，故正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，所以P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝35，故错误；④从中有放回地取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为P ＝46＝23，则至少有一次取到红球的概率为P ＝1－C 3＝2627，故正确．故选ABD.11．答案BD解析因为每次取一球，所以A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，故D 正确；因为P(A 1)＝510，P(A 2)＝210，P(A 3)＝310，所以P(B|A 1)＝P （BA 1）P （A 1）＝510×511510＝511，故B 正确；同理P(B|A 2)＝P （BA 2）P （A 2）＝210×411210＝411，P(B|A 3)＝P （BA 3）P （A 3）＝310×411310＝411，故P(B)＝P(BA 1)＋P(BA 2)＋P(BA 3)＝510×511＋210×411＋310×411＝922，故A 、C 错误．故选BD.12．答案AD 解析∵X ～B(10，0.01)，∴E(X)＝10×0.01＝0.1，D(X)＝10×0.01×0.99＝0.099.∴P(X ＝k)＝C 10k ×0.01k ×0.9910－k .故选AD.13．答案 1.80.72解析由题意知，日销售量不低于100个的频率为(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，且X ～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.14．答案152解析他恰好遇见2次红灯的不同的分布情形共有C 62＝15(种)，他遇到红灯的次数ξ的值可能为0，1，2，3，4，5，6.他在每个路口遇见红灯的概率均为13，他遇到红灯的次数ξ满足二项分布．即ξ～E(ξ)＝6×13＝2.15．答案89解析至多有2人成为无症状感染者包括0人成为无症状感染者，1人成为无症状感染者，2人成为无症状感染者三种情况，且每种情况是互斥的，所以所求概率为C 4＋C 41·13·＋C 42＝16＋32＋2481＝89.16．答案35解析D(X)＝1.2，所以5p(1－p)＝1.2，p ＝35或p ＝25，因为P(X ＝2)<P(X ＝3)，所以C 52p 2(1－p)3<C 53p 3·(1－p)2，p>12，所以p ＝35.17．答案(1)y ^＝0.98t ＋4.66(2)有99.9%的把握认为村民的年龄与对扶贫政策的满意度具有相关性(3)分布列略，数学期望为12解析(1)依题意：t －＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y －＝15×(5.8＋6.6＋7.2＋8.8＋9.6)＝7.6，故∑5i ＝1(t i －t －)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，∑5i ＝1(t i －t －)(y i －y －)＝(－2)×(－1.8)＋(－1)×(－1)＋0×(－0.4)＋1×1.2＋2×2＝9.8，b ^＝∑5i ＝1（t i －t －）（y i －y －）∑5i ＝1（t i －t －）2＝0.98，∴a ^＝y －－b ^t －＝7.6－0.98×3＝4.66.∴y ^＝0.98t ＋4.66.(2)依题意，完善表格如下：满意不满意总计45岁以上村民1505020045岁以下村民5050100总计200100300计算得K 2的观测值为k ＝300×（150×50－50×50）2200×100×200×100＝300×5000×5000200×100×200×100＝18.75>10.828，故有99.9%的把握认为村民的年龄与对扶贫政策的满意度具有相关性．(3)依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一人，则取到不满意扶贫政策的45岁以上村民的概率为16，故P(X ＝0)＝C 30＝125216，P(X ＝1)＝C 31×16＝2572，P(X ＝2)＝C 32×56×＝572，P(X ＝3)＝C 33＝1216，故X 的分布列为：则数学期望为E(X)＝0E （X ）＝3×16＝18．答案(1)在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关(2)①6481②分布列答案见解析，数学期望为400元思路(1)由题意完成列联表，结合列联表计算可得K 2＝2450297≈8.249>7.879.所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关．(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为13，为女“移动支付达人”的概率为23.①由对立事件公式可得满足题意的概率值．②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y ，则X ＝300Y.由题意得Y ～Y 的分布列，然后利用均值和方差的性质可得X 的分布列，计算可得结果．解析(1)由表格数据可得2×2列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户合计男252045女154055合计4060100将列联表中的数据代入公式计算得：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（25×40－20×15）245×55×40×60＝2450297≈8.249>7.879.所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关．(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为13，为女“移动支付达人”的概率为23.①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P ＝1＝6481.②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y ，则X ＝300Y.由题意得Y ～P(Y ＝0)＝C 4＝1681，P(Y ＝1)＝C 4＝3281，P(Y ＝2)＝C 4＝827，P(Y ＝3)＝C 4＝881，P(Y ＝4)＝C 4＝181.所以Y 的分布列为：Y 01234P16813281827881181所以X 的分布列为：X 03006009001200P16813281827881181由E(Y)＝4×13＝43，得X 的数学期望E(X)＝300·E(Y)＝400(元)．讲评本题主要考查离散型随机变量的分布列，二项分布的性质，独立性检验及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．。

跟踪检测(二) 常用逻辑用语1．[2019河南郑州一测]下列说法正确的是 ( )A ．“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1”B ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0>4 x 0成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题答案：D 解析：对于选项A ，“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x ，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.2．[2019山西太原期末联考]已知a ，b 都是实数，那么“2a >2b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D解析：充分性：若2a>2b，则2a－b>1，∴a－b>0，∴a>b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a>2b，但a2<b2，故由2a>2b不能得出a2>b2，因此充分性不成立．必要性：若a2>b2，则|a|>|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但2－2<21，即2a<2b，故必要性不成立．综上，“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．故选D.3．[2019河北“五个一名校联盟”考试]直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：由直线l1与直线l2平行，得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去．所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充分必要条件，故选C.4．[2019江西南昌二中月考]给出下列命题：①已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件；②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件；④命题p：“∃x0∈R，使e x0≥x0＋1且ln x0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有e x<x＋1且ln x>x－1”．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案：C解析：①已知a，b∈R，“a>1且b>1”能够推出“ab>1”，“ab>1”不能推出“a>1且b>1”，故①正确；②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”不能推出“|a＋b|>1”，|a＋b|>1不能推出|a|>1且|b|>1，故②不正确；③已知a，b∈R，当a2＋b2≥1时，a2＋b2＋2|a|·|b|≥1，则(|a|＋|b|)2≥1，则|a|＋|b|≥1.又a＝0.5，b＝0.5满足|a|＋|b|≥1，但a2＋b2＝0.5<1，所以“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件，故③正确；④命题p：“∃x0∈R，使e x0≥x0＋1且ln x0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有e x<x＋1或ln x>x－1”，故④不正确．所以正确命题的个数为2.故选C.5．[2019福建南平月考]已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是( )A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2”C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab ”答案：C 解析：命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”，故C 正确，D 错误．6．[2019山东齐鲁协作体名校安丘一中期末]“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(0,2]答案：A 解析：由x 2－2x －3>0，得x >3或x <－1.若“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则⎩⎨⎧m ＋1≤3，m －1≥－1且等号不同时成立，即0≤m ≤2.故选A. 7．[2019云南玉溪模拟]不等式x －1x >0成立的一个充分不必要条件是 ( )A ．－1<x <0或x >1B ．x <－1或0<x <1C ．x >－1D ．x >1答案：D 解析：由x －1x >0可知x 2－1x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1>0，x >0或⎩⎨⎧x 2－1<0，x <0， 解得x >1或－1<x <0，不等式x －1x >0的解集为{x |x >1或－1<x <0}，故不等式x －1x >0成立的一个充分不必要条件是x >1.故选D.8．[2019安徽淮南二中、宿城一中联考]命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b >2 012且a >－b ”的逆否命题是 ( )A ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a <bB ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a >bC ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a <bD ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a >b答案：C 解析：根据逆否命题的定义可得命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b >2 012且a >－b ”的逆否命题是：若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a <b .故选C.9．[2019福建漳州月考]在△ABC 中，“A ＋B <150°”是“sin C >12”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B 解析：在△ABC 中，由sin C >12，得30°<C <150°，可得A ＋B <150°.反之，由A ＋B <150°，得30°<C <180°，无法得出sin C >12，所以“A ＋B <150°”是“sin C >12”的必要不充分条件．故选B.10．[2019山东省实验中学第二次诊断]已知命题p ：|x ＋1|>2；命题q ：x ≤a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案：A 解析：命题p ：|x ＋1|>2，即x <－3或x >1.∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，∴{x |x ≤a }{x |x <－3或x >1}，∴a <－3.故选A.11.[2019清华大学自主招生3月能力测试]“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，x 2－πx <0B ．∀x ∈R ，x 2－πx ≤0C ．∃x 0∈R ，x 20－πx 0≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－πx 0<0答案：D 解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－πx 0<0”．故选D.12．[2019吉林辽源田家炳高级中学等五校期末联考]下列命题中的假命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得log 2x 0＝0B ．∀x ∈R ，x 2>0C ．∃x 0∈R ，使得cos x 0＝1D ．∀x ∈R,2x >0答案：B 解析：由于log 21＝0，因此∃x 0∈R ，使得log 2x 0＝0为真命题；当x ＝0时，x 2＝0，因此∀x ∈R ，x 2>0为假命题；当x ＝0时，cos x ＝1，因此∃x 0∈R ，使得cos x 0＝1为真命题；根据指数函数的性质，∀x ∈R,2x >0为真命题．故选B.13．[2019湖南长沙一模]已知命题p ：∃x 0>0，x 0＋a －1＝0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：D 解析：因为p 为假命题，所以綈p 为真命题，所以∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，所以1－a ≤0，即a ≥1，故选D.14．[2019云南玉溪模拟]下面有四个关于三角函数的命题： p 1：∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2；p 2：∃x 0∈R ，使得sin 2x 0＝sin x 0；p 3：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，1＋cos 2x 2＝cos x ； p 4：∀x ∈(0，π)，sin x >cos x .其中真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 3C ．p 3，p 4D ．p 2，p 4答案：B 解析：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以sin x ＋cos x ＝2不成立，故命题p 1是假命题；由sin 2x ＝2sin x cos x 以及sin 2x ＝sin x 成立可知，当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时满足等式，故命题p 2是真命题；因为1＋cos 2x 2＝cos 2x ， 所以1＋cos 2x 2＝|cos x |， 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得cos x ≥0， 由此可得1＋cos 2x 2＝cos x ，故命题p 3是真命题； 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，sin x ≤cos x ，不满足sin x >cos x ， 所以∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 不成立，故命题p 4是假命题．故选B.15．[2019河北唐山一中期末]已知定义在R 上的函数f (x )的周期为T (常数)，则命题“∀x ∈R ，f (x )＝f (x ＋T )”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)≠f (x 0＋T )B ．∀x ∈R ，f (x )≠f (x ＋T )C ．∀x ∉R ，f (x )＝f (x ＋T )D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝f (x 0＋T )答案：A 解析：命题“∀x ∈R ，f (x )＝f (x ＋T )”的否定是“∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)”，故选A.16．[2019江苏常熟中学阶段性抽测]命题“若x2－x≥0，则x>2”的否命题是________．答案：若x2－x<0，则x≤2解析：命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若x2－x≥0，则x>2”的否命题是“若x2－x<0，则x≤2”．17．已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．答案：{m|m≥1或m≤－7}解析：p对应的集合A＝{x|x<m 或x>m＋3}，q对应的集合B＝{x|－4<x<1}，由p是q的必要不充分条件可知B A，∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.18．[2019湖南六校联考]设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．答案：必要不充分解析：因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒/甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁⇒/丙；故甲⇒丁，丁⇒/甲，即丁是甲的必要不充分条件．19．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p 是________．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1解析：因为綈p是p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论进行否定即可．。

课时作业(六十三) 第63讲 n 次独立重复试验与二项分布时间：45分钟 分值：100分基础热身1．下列说法正确的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．0<P (B |A )<1C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )D ．P (B |A )＝12．2010·辽宁卷 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.163．2010·湖北卷 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.344．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 能力提升5．2011·浙江五校联考 位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.4243B.8243C.40243D.802436．在4次独立重复试验中，事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．0.4,1)B ．(0,0.4)C ．(0,0.6D ．0.6,1)7．在5道题中有三道数学题和两道物理题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题的条件下，第二次抽到数学题的概率是( )A.35B.25C.12D.138．2011·辽宁卷 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B 表示“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.129．2010·江西卷 一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能10．2010·重庆卷 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________．11．2011·湖南卷 如图K63－1，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.图K63－112．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．13．2010·安徽卷 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__________(写出所有正确结论的序号)．①P ()B ＝25；②P ()B |A 1＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．14．(10分)2011·泸州高中一模 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E 运至销售城市F ，已知从城市E 到城市F 有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为110，不堵车的概率为910；走公路Ⅱ堵车的概率为35，不堵车的概率为25，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率； (2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．15．(13分)2011·长安一中质检 甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p ⎝⎛⎭⎫p >12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .难点突破16．(12分)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；(2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )．课时作业(六十三)【基础热身】1．C 解析 由P(B|A)＝P(AB)P(A)，可得P(AB)＝P(A)·P (B|A)．2．B 解析 设两个实习生每人加工一个零件为一等品分别为事件A ，B ，则P(A)＝23，P(B)＝34个零件中恰有一个一等品的概率为：P(A B ＋A B)＝P(A B )＋P(A B)＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512.3．C 解析 本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B 级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A ，B 至少有一件发生的概率是1－P(A )·P(B )＝1－1256＝712.4．C 解析 根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得：C k 5⎝⎛⎭⎫12k ×⎝⎛⎭125－k ＝C k ＋15⎝⎛⎭⎫12k ＋1×⎝⎛⎭124－k ，解得k ＝2.【能力提升】5．C 解析 左移两次，右移三次，概率是C 25⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫133＝40243.6．A 解析 根据题意，C 14p(1－p)3≤C 24p 2(1－p)2，解得p ≥0.4，0<p<1，∴0.4≤p<1.7．C 解析 第一次抽到数学题为事件A ，第二次抽到数学题为事件B ，n(AB)＝A 23＝6，n(A)＝A 13×A 14＝12.则所求的概率为P(B|A)＝n(AB)n(A)＝612＝12.8．B 【解析】 由于n(A)＝1＋C 23＝4，n(AB)＝1，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝14，故选B .9．B 解析 按方法一，在各箱任意抽查一枚，抽得枚劣币的概率为1100＝0.01，所以p 1＝1－(1－0.01)10，按方法二，在各箱任意抽查一枚，抽得枚劣币的概率为C 199C 2100＝0.02，所以p 2＝1－(1－0.02)5，易计算知p 1<p 2，选B .10.370 解析 加工出来的正品率为P 1＝6970×6869×6768＝6770，∴次品率为P ＝1－P 1＝370.11．(1) 2π (2)14解析 (1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有P(A)＝S 正方形S 圆＝2π；(2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝12，故P( |B A)＝S △EOH S 正方形＝122＝14.12．0.09 解析 设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.13．②④ 解析 根据题意可得P(A 1)＝510，P(A 2)＝210，P(A 3)＝310，可以判断④是正确的；A 1、A 2、A 3为两两互斥事件，P(B)＝P(B|A 1)＋P(B|A 2)＋P(B|A 3)＝510×511210×411＋310×411＝922，则①是错误的；P(B|A 1)＝P(A 1B)P(A 1)＝510×511510＝511，则②是正确的；同理可以判断出③和⑤是错误的．14．解答 记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A ， “汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B ， “汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P 1＝P(A·B )＋P(A ·B)＝110×910＋910×110＝950.(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P 2＝P(A·B·C )＋P(A·B ·C)＋P(A ·B·C)＋P(A·B·C) ＝110×110×25＋110910×35＋910×110×35＋110×110×35＝59500. 15．解答 (1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p 2＋(1－p)2＝59，解得p ＝23或＝13.又p>12，所以p ＝23(2)依题意知X 的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X ＝2)＝59，P(X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫1－59×59＝2081，P(X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫1－59×⎝⎛⎭⎫1－59×1＝1681，则随机变量的分布列为故EX ＝2×59＋4×2081＋6×81＝81.【难点突破】16．解答 (1)依题意X 的分布列为(2)设A i表示事件”第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2.B i表示事件”第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1B1∪A1B1∪A1B1∪A2B2，所求的概率为P(A)＝P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.。