排列第二课时教案

例6 从5名学生中选出4人，分别参加数学、物理、
化学、生物四个学科竞赛，每个学科各一人，其中甲
不参加物理和化学两个竞赛，求共有多少种不同的参
赛方案.
A44 A21 • A43 72
小结作业
1.排列数的阶乘公式主要有两个作用：一是当m， n较大时，可利用科学计算器得阶乘数，再算排列数； 二是便于对含字母的排列数进行变形.
1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第二课时
问题提出
1.排列与排列数的含义分别是什么？ 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按 照一定的顺序排成一列. 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同排列的个数. 2.排列数公式是什么？ 3.排列数公式源于分步乘法计数原理，对排列数 公式作进一步的变形与拓展，可以得出排列数的一 些基本性质.
A31 + A32 + A33 = 15
例4 某4名学生和2位老师站成一排照相，若2位老 师不相邻，求共有多少种不同的站法？
A44 • A52 480
例5 从某6名学生中选取4人分别担任四种不同职 务的班干部，由于某种原因，甲、乙两人不同时入选， 求共有多少种不同的分工方案.
A64 A22 • A42 336
示 Anm？
Anm
=
(n
n! - m)!
思考4：当m＝n时，公式
Anm
=
(n
n! - m)!
成立吗？对此
怎样处理？
规定：0！＝1
理论迁移
例1 计算：A85 + A84.
A96 - A95
5
27
例2 已知 3A8n = 4A9n-1 ，求n的值.
n＝6
应用举例

高中新课程数学导学案设计一排列（第二课时）【学习目标】1.掌握无限制条件和有限制条件的排列应用问题2.能应用排列知识解决简单的实际应用问题【学习重难点】1.常见的解决排列问题的策略（重点）2.与数字有关的排列问题（难点）3.分类讨论在解题中的应用（易错点）【学法指导】特殊元素或特殊位置优先考虑，掌握“在”与“不在”、“邻”与“不邻”的处理方法。

【学习过程】一、合作探究（一）无限制条件的排列问题方法：把问题转化为排列问题，弄清n,m各指的是什么，直接利用排列数公式计算。

例1（课本第18页例2、例3）例2有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二（18）班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？（二）有限制条件的排列问题排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素。

方法：所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求。

解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种。

（1）直接法（i）分步法：按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素（位置），依次分步解决相邻问题----“捆绑法”；不相邻问题----“插空法”（ii）分类法：直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决。

（2）间接法：符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差。

例3 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（1）两名女学生必须相邻而站；（2）4名男学生互不相邻；（3）若4名男学生身高都不等，按从高到低的顺序站；（4）老师不站中间，女学生不站两端。

例4（课本第19页例4）二、巩固训练：一个火车站有8股岔道，每股岔道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法？三、课堂小结：四、课后作业：1. 一部纪录影片在4个单位轮映，每一个单位放映1场，有多少种轮映次序？2.一个学生有20本不同的书，所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？3.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，共有多少种不同的排法？4.用0，1，2，3，4，5六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个比1325大的无重复数字的四位数？二组合（第一课时）【学习目标】1. 理解组合、组合数的概念；2.会推导组合数公式，并会应用公式求值3.了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明【学习重难点】 1.组合的定义；组合数公式的应用（重点） 2. 组合数公式的推导（难点）3. 组合的概念及组合与组合数的区别（易错点）【学法指导】区分排列与组合的方法是首先弄清事件是什么，区分的标志是有无顺序。

§1.2.1 排列（第二课时）学习目标1.利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．2.经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想．学习重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．学习难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．【学习过程】课堂探究：类型一：直接抽象为排列问题的计数问题例1：某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？点评：要学会把具体问题抽象为从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同元素，按一定顺序排成一列的问题．【巩固练习】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？．类型二：有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法)例2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？思路分析：在本问题的0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此0是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题．【巩固练习】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？类型三：捆绑法（对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松））例1：元旦文娱会演要安排5个舞蹈节目，6个歌唱节目，5个舞蹈节目必须在一起，有多少种排法？练习：在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4x100接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？类型四：插空法（不相邻问题）例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？变式：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？课堂练习：1.四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，各有多少不同的排法①七个人排一列，三个女生任何两个都不能相邻排在一起②七个人排一列，四个男生必须连排在一起③男女生相间排列2. 7人排成一排，（1）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？3：三名女生和五名男生排成一排，⑴如果女生全排在一起，有多少种不同排法？⑵如果女生全分开，有多少种不同排法？⑶如果两端都不能排女生，有多少种不同排法？⑷如果两端不能都排女生，有多少种不同排法？课后强化练习：1．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有…() A．30种B．360种C．720种D．1 440种2.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有————种不同的分配方案？3、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（）A、2160 B、120 C、240 D、7204、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（）A、 B、 C、 D、5、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A、 B、 C、 D、6、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（）A、 B、C、 D、7、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（）A、2160B、120C、240D、7208、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头（2）甲不排头，也不排尾（3）甲、乙、丙三人必须在一起（4）甲、乙之间有且只有两人（5）甲、乙、丙三人两两不相邻（6）甲在乙的左边（不一定相邻）（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（8）甲不排头，乙不排中间9、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况，各有多少个？①奇数②能被5整除③能被15整除④比35142小⑤比50000小且不是5的倍数。

1.2.1排列（第二课时）教学目标：掌握解排列问题的常用方法教学重点：掌握解排列问题的常用方法教学过程一、复习引入：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤） 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）二、讲解新课：解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法题型一：无限制条件的排列问题例1 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解 (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A 35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．例2(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？题型二： 元素“在”与“不在”问题例3. 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解 方法一 (特殊位置)由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列． 方法二 (特殊元素)符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有A39个，个位数字是0的三位数有A29个，十位数字是0的三位数有A29个，由分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数是：A39＋A29＋A29＝648.方法三(间接法)从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A310，其中以0为排头的排列数为A29，因此符合条件的三位数的个数是A310－A29＝648.变式训练：（1）在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．（2）2五个学生和一个老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？小结解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．题型三元素“相邻”与“不相邻”问题例4、7人站成一排．(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？解(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A66种排法．甲、乙两人可交换位置，有A22种排法，故共有A66·A22＝1 440(种)排法．(2)方法一(间接法)7人任意排列，有A77种排法，甲、乙两人相邻的排法有A22·A66种，故甲、乙不相邻的排法有A77－A22·A66＝3 600(种)．方法二(插空法)将其余5人全排列，有A55种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A26种排法．故共有A55·A26＝3 600(种)排法．(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A55种排法，甲、乙、丙三人有A33种排法，共有A55·A33＝720(种)排法．(4)(插空法)将其余4人排好，有A44种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A35种排法．变式训练：对于本例中的7人：(1)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？(2)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？(3)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？小结处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．例5. 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．解(1)P66=720(种)(2)P21·P41·P44=2×4×24=192(种)(3)P55·P22=120×2=240(种)(4)P66=360(种)(5)P43·P33=24×6=144(种)(6)P55+P41P41P44=120+4×4×24=504(种)或法二：(淘汰法)P66-2P55+P44=720-240+24=504(种)课堂练习：1．4×5×6×…×(n－1)×n等于()A．A4n B．A n－4n C．n！－4! D．A n－3n2．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为 ( )A．36 B．120 C．720 D．2403．从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，①可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？②可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1？其中属于排列问题的是________，其结果为________．4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有() A．30个B．36个C．40个D．60个2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144 C．576 D．684 3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为()A．42 B．30 C．20 D．124．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课后作业：例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．。