2014届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第七章不等式 Word版附答案

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第七章不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．（2013广东深圳二模）设01a b <<<，则下列不等式成立的是( )A ．33a b >B ．11a b<C ．1b a >D ．lg 0b a -<()2、（2013年上海市春季高考数学）如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b<B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 3、【云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理】若直线20ax by -+=(a ＞0，b ＞0)被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b +的最小值为（ ）A. 14C. 32+D. 32+4、（2013年高考安徽数学理）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（ ）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x xD ．{}|<-lg2x x5、（2013年高考湖南卷（理））若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是 （ ） A ．5-2B ．0C ．53D ．526、【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】 已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 7B. -5C. 4D. -77、【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．18、已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则n m 42+的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89、某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （ ） A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元 10、（2013届上海静安、杨浦、青浦、宝山区二模）若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（ ）（A ） 422≤+b a ． （B ） 422≥+b a ． （C ）41122≤+b a ． （D ）41122≥+ba ． 11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 12．设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b c x y z++=++（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13、（2013年高考广东省数学理）不等式220x x +-<的解集为___________. 14．【北京市通州区2013届高三上学期期末理】若10x +>，则11x x ++的最小值为 ．15、（2013届上海虹口区二模）对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16（2013湖南）已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分12分) 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 已知函数f （x ）=x 2+2x+a （共10分）（1）当a=21时，求不等式f （x ）>1的解集；（4分）（2）若对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）>0恒成立，求实数a 的取值范围；（6分）18、(本小题满分10分) （2013届上海徐汇、松江、金山区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行． （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.19．(本小题满分12分) （2013年高考上海卷（理））甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.20．(本小题满分12分) 【2012唐山市高三上学期期末统一考试】已知()|1||1|,()4f x x x f x =++-<不等式的解集为M 。

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第七章 不等式一、选择题1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <2. 【2014高考北京理第6题】若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 3. 【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．24.【2015高考广东，理6】若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（ ）A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 5. 【2014高考广东卷.理.3】若变量x .y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=( ) A .8 B .7 C .6 D .56. 【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．B ．4C ．D ．67.【2015高考山东，理5】不等式152x x ---<的解集是（ ）（A ）（-错误！未找到引用源。

，4） （B ）（-错误！未找到引用源。

，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5）8. 【2015高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-39. 【2014山东.理9】 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）10. 【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.511.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>12. 【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元13. 【2014新课标，理9】设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 214. 【2016高考浙江理数】已知实数a ，b ，c （ ）A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<10015. 【2014四川，理4】若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 16.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81217. 【2014课标Ⅰ，理9】不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥， 3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p18. 【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件19. 【2014，安徽理5】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 （ ） A ，121-或 B ．212或 C ．2或1 D ．12-或 20. 【2014天津，理2】设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）521. 【2015高考天津，理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）4022.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤020x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式组⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.87 23. 【2015高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．624.【2015高考福建，理5】若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于 ( ) A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 25. .【2014辽宁理11】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--26. 【2015湖南理2】若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.227.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ） （A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）1228.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17二、填空题1. 【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩错误！未找到引用源。

课时作业35 基本不等式及其应用一、选择题1．(2012某某高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b 22．下列命题中正确的是( )．A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最小值为2－4 3 D ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值为2－4 33．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )．A ．2B ．4C ．6D ．84．设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a ＞0，b ＞0，则2a ＋3b的最小值为( )． A ．256B ．83C ．113D ．4 5．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )． A ．0 B ．4C ．－4 D ．－26．若0＜x ＜32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )． A ．916B ．94C ．2 D ．987．若a ＞0，b ＞0，且(a －1)(b －1)＜0，则log a b ＋log b a 的取值X 围是( )．A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[－2,0)∪(0,2]二、填空题 8．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为__________．9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________.10．当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，表达式3x ＋27y ＋2的最小值为_______．三、解答题11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC 边上的高AD ＝BC ，求b c ＋c b的取值X 围．12．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．参考答案一、选择题1．A 解析：v ＝21a ＋1b＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab .因为2ab a ＋b －a ＝2ab －a 2－ab a ＋b ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，所以2ab a ＋b＞a ，即v ＞a .故选A. 2．D 解析：y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}，当x ＞0时，有最小值2，当x ＜0时，有最大值－2，故A 不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， 因为x 2＋2≥2，所以取不到“＝”，故B 不正确；∵x ＞0时，3x ＋4x ≥2·3x ·4x＝43， 当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时取“＝”， ∴y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x 有最大值2－43，故C 不正确，D 正确． 3．B 解析：∵x ，y ∈(0，＋∞)，a ＞0，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a (当且仅当y ＝ax 时等号成立)， 因此，若使不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则需1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2≥9，解得a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.4．A 解析：由a ＞0，b ＞0,2a ＋3b ＝6得a 3＋b 2＝1， ∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋b 2 ＝23＋32＋b a ＋a b≥136＋2b a ·a b ＝136＋2＝256. 当且仅当b a ＝a b 且2a ＋3b ＝6，即a ＝b ＝65时等号成立． 从而2a ＋3b 的最小值为256. 5．C 解析：由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4. 因此要使k ≥－(a ＋b )2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C. 6．D 解析：∵0＜x ＜32，∴32－x ＞0. ∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32－x 22＝98， 当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时，取“＝”，∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98. 7．A 解析：当a ＞0，b ＞0，且(a －1)(b －1)＜0时，log a b ＜0，log b a ＜0， 所以log a b ＋log b a ＝－[(－log a b )＋(－log b a )]，而(－log a b )＋(－log b a )≥2，故有log a b ＋log b a ≤－2.故选A.二、填空题8．32解析：因为x ＞a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥22(x －a )·2x －a＋2a ＝2a ＋4(当且仅当x ＝a ＋1时取等号)，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32. 9．20 解析：该公司一年购买货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次， 又运费为4万元/次，所以一年的总运费为400x·4万元，又一年的总存储费用为4x 万元，则一年的总运费与总存储费用之和为400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当1 600x＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．10．20 解析：由x ＋3y －4＝0，得x ＋3y ＝4，∴3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2 ≥23x ·33y ＋2＝ 23x ＋3y ＋2＝234＋2＝20，当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时取“＝”． 三、解答题11．解：因为b c ＋c b ＝b 2＋c 2bc ＝a 2＋2bc cos A bc ＝a 2bc ＋2cos A ，S △ABC ＝12·AD ·BC ＝12a 2， 又12a 2＝S △ABC ＝12bc sin A ， 所以a 2bc ＝sin A ，故b c ＋c b ＝sin A ＋2cos A ＝5sin(A ＋φ)≤5(当且仅当A ＋φ＝π2时等号成立)．又b c ＋cb ≥2bc ·c b ＝2， 所以2≤b c ＋c b ≤5，即b c ＋c b的取值X 围是[2，5]．12．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x ＞0，y ＞0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1.∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0. ∴xy ≥1.∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y22.∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. ∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0. ∴x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.。

2014年高考数学一轮复习第7章立体几何4精品训练理（含解析）新人教B版[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：B2．(2013年金华模拟)直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A．α内的所有直线都与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点解析：因为直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或直线a在平面α内，所以选项A、B、C均不正确．答案：D3．(2013年长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均满足直线a⊥b，且直线a∥平面α的情况，故选D.答案：D4．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )A．①②B．①④C．②③D．③④解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.答案：A5．(2013年潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.答案：D二、填空题6．对于平面M与平面N，有下列条件：① M，N都垂直于平面Q；②M、N都平行于平面Q；③M内不共线的三点到N的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥M，m∥N；⑤l，m是异面直线，且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，则可判定平面M与平面N平行的条件是________(填正确结论的序号)．解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M∥N.答案：②⑤7．在四面体ABCD中，M，N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．解析：如图，取CD的中点E，则AE 过M ，且AM ＝2ME ，BE 过N ，且BN ＝2NE .则AB ∥MN ，∴MN ∥面ABC 和面ABD .答案：面ABC 和面ABD8．(2013年汕头质检)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线；②若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m ，n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m ，n 在平面α内的射影互相平行，则m ，n 互相平行．解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m ，n 也可能异面，故为假命题．答案：②9．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：如图(1)，∵AC ∩BD ＝P .∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，∴AB ∥CD .∴PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD.∴BD ＝245. 如图(2)，同理可证AB ∥CD .∴PA PC ＝PB PD ，即63＝BD －88， ∴BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24. 答案：245或24 三、解答题10．(2013年惠州调研)如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝4，DC ＝3，E 是PC 的中点．求证：PA ∥平面BDE .证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ，∵底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 中点，E 为PC 的中点，∴OE ∥PA .又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE .11．如图，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．解析：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形．∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CC1、CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.12．(能力提升)(2013年南通模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．(1)求证：AC1∥平面B1DE；(2)求三棱锥A­BDE的体积．解析：(1)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF.∵E，F分别是CC1，BB1的中点，∴CE綊B1F.∴四边形B1FCE是平行四边形．∴CF∥B1E.∵E，F是CC1，BB1的中点，∴EF綊BC，又BC綊AD，∴EF綊AD.∴四边形ADEF是平行四边形．∴AF∥ED.∵AF ∩CF ＝F ，B 1E ∩ED ＝E ，∴平面ACF ∥平面B 1DE .又AC ⊂平面ACF ，∴AC ∥平面B 1DE .(2)由条件得S △ABD ＝12AB ·AD ＝2. ∴V A －BDE ＝V E －ABD ＝13S △ABD ·EC ＝13×2×1＝23， 即三棱锥A －BDE 的体积为23. [因材施教·学生备选练习]1．(2013年天津塘沽模拟)如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′­FED 的体积有最大值．A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③解析：①中由已知可得平面A ′FG ⊥平面ABC ，∴点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上． ②BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE .③当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′­FED 的体积达到最大．答案：C2．(2013年佳木斯模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：由题意，HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1，∴面NHF∥面B1BDD1.∴当M在线段HF上运动时，有MN∥面B1BDD1.答案：M∈线段HF。

2014高考数学一轮复习单元练习--不等式I 卷一、选择题1．已知集合S ＝{x|x －2x <0}，T ＝{x|x2－(2a ＋1)x ＋a2＋a ≥0，a ∈R}，若S ∪T ＝R ，则实数a的取值范围是( )A ．－1≤a ≤1B ．－1<a ≤1C ．0≤a ≤1D ．0<a ≤1【答案】C2．已知函数231,1()||,1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f <，则a 的取值范围是 ( ） A ．（-6，-4） B ．（-4，0） C ．（-4，4） D ．（0，34）【答案】B3． 设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数z ＝ax ＋by （a ＞0，b>0）的最大值为12，则23a b +的最小值为( ) A ．256 B ．83C ．113D ．4【答案】A 4．不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -等于（ ） A ．-10 B ．10 C ．-14 D ．14【答案】B5．下列命题中，为真命题的是( )A ．a 、b 、c ∈R 且a ＞b ，则ac2＞bc2B ．a 、b ∈R 且ab ≠0，则a b ＋b a ≥2C ．a 、b ∈R 且a ＞|b|，则an ＞bn(n ∈N*)D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞b d【答案】C6．函数1)且a 0,3(a a f(x)1x ≠>+=-的图象过一个点P ，且点P 在直线0)且n 00(m 1ny mx >>=-+上，则n m 41+的最小值是（ ）A ．12B ．13C ．24D ．25【答案】D 7．设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值【答案】B8．当|x|≤1时，函数y ＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－13B ．a ≤－1C ．－1<a<－13D ．－1≤a ≤－13答案：Cy ＝ax ＋2a ＋1可以看成关于x 的一次函数，在－1,1上具有单调性，因此只需当x ＝－1和x ＝1时的函数值互为相反数，即(a ＋2a ＋1)(－a ＋2a ＋1)<0，解这个关于a 的一元二次不等式，得－1<a<－13．9．已知a ＞b ，ab ＝1，则a2＋b2a －b的最小值是( ) A ．2 2 B ． 2 C ．2 D ．1【答案】A10．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为( )A ． -5B ． 1C ． 2D ． 3【答案】B 11．在两个实数之间定义一种运算“#”，规定a#b ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(a ＜b)，－1，(a ≥b). 则方程|1x －2|#2＝1的解集是( )A ．{14}B ．(14，＋∞)C ．(－∞，14)D ．[14，＋∞)【答案】B12．对于函数f (x)，在使f(x)≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最小值称为函数f(x)的“上确界”．已知函数f(x)＝x2＋2x ＋1x2＋1＋a(x ∈－2,2)是奇函数，则f(x)的上确界为( ) A ．2B ．95C ．1D ．45【答案】CII 卷二、填空题13．下列命题①b a ab b a b a 22,<<，则是非零实数，若设 ②b a b a 110><<，则若 ③函数2)3(222++=x x y 的最小值是4 ④16141有最小值，则是正数，且，若xy y x y x =+其中正确命题的序号是【答案】②④14．设a ，b ，c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c)(1a ＋b＋1c )的最小值为__________． 【答案】415．设a ＞b ＞0，则a2＋1ab ＋1a(a －b)的最小值是________． 【答案】416．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪(－12＋∞)，则a ＝________. 【答案】－2三、解答题17．已知函数f(x)＝13ax3－14x2＋cx ＋d(a ，c ，d ∈R)满足f(0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x)≥0在R 上恒成立．(1)求a ，c ，d 的值；(2)若h(x)＝34x2－bx ＋b 2－14，解不等式f ′(x)＋h(x)<0.【答案】(1)∵f(0)＝0，∴d ＝0，∵f ′(x)＝ax2－12x ＋c.又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝12．∵f ′(x)≥0在R 上恒成立，即ax2－12x ＋c ≥0恒成立，∴ax2－12x ＋12－a ≥0恒成立，显然当a ＝0时，上式不恒成立．∴a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，(－12)2－4a(12－a)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，a2－12a ＋116≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，(a －14)2≤0， 解得：a ＝14，c ＝14．(2)∵a ＝c ＝14．∴f ′(x)＝14x2－12x ＋14．f ′(x)＋h(x)<0，即14x2－12x ＋14＋34x2－bx ＋b 2－14<0，即x2－(b ＋12)x ＋b 2<0，即 (x －b)(x －12)<0，当b>12时，解集为(12，b)，当b<12时，解集为(b ，12)，当b ＝12时，解集为∅.18．设函数f(x)＝2x2＋2x x2＋1，函数g(x)＝ax2＋5x －2a. (1)求f(x)在[0,1]上的值域；(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a 的取值范围．【答案】(1)f(x)＝2x2＋2x x2＋1＝2(x2＋1)＋2x －2x2＋1＝2＋2(x －1)x2＋1， 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，t ∈[－1,0]，f(t)＝2＋2t t2＋2t ＋2，当t ＝0时，f(t)＝2； 当t ∈[－1,0)，f(t)＝2＋2t ＋2t ＋2，由对勾函数的单调性得f(t)∈[0,2)，故函数f(x)在[0,1]上的值域是[0,2]．(2)f(x)的值域是[0,2]，要使g(x0)＝f(x1)成立，则[0,2]⊆{y|y ＝g(x)，x ∈[0,1]}．①当a ＝0时，x ∈[0,1]，g(x)＝5x ∈[0,5]，符合题意；②当a>0时，函数g(x)的对称轴为x ＝－52a <0，故当x ∈[0,1]时，函数为增函数，则g(x)的值域是[－2a,5－a]，由条件知[0,2]⊆[－2a,5－a]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，－2a ≤0，5－a ≥2⇒0<a ≤3； ③当a<0时，函数g(x)的对称轴为x ＝－52a >0.当0<－52a <1，即a<－52时，g(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－2a ，－8a2－254a 或⎣⎡⎦⎤5－a ，－8a2－254a ， 由－2a>0,5－a>0知，此时不合题意；当－52a ≥1，即－52≤a<0时，g(x)的值域是[－2a,5－a]，由－2a>0知，此时不合题意．综合①②③得0≤a ≤3.19．整改校园内一块长为15 m ，宽为11 m 的长方形草地(如图A)，将长减少1 m ，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m ，宽增加x m(x>0)，试研究以下问题：x 取什么值时，草地面积减少？x 取什么值时，草地面积增加？答案：原草地面积S1＝11×15＝165(m2)，整改后草地面积为：S ＝14×12＝168(m2)，∵S>S1，∴整改后草地面积增加了．研究：长减少x m ，宽增加x m 后，草地面积为：S2＝(11＋x)(15－x)，∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x ，∴当0<x<4时，x2－4x<0，∴S1<S2；当x ＝4时，x2－4x ＝0，∴S1＝S2.当x>4时，x2－4x>0，∴S1>S2.综上所述，当0<x<4时，草地面积增加，当x ＝4时，草地面积不变，当x>4时，草地面积减少．20．A 、B 两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D 、E 、F 三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表．怎样确定调运方案，使总的运费为最小？【答案】设从A 到D 运x 千吨，则从B 到D 运(8－x)千吨；从A 到E 运y 千吨，则从B 到E 运(6－y)千吨；从A 到F 运(12－x －y)千吨，从B 到F 运(x ＋y －6)千吨，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤6，6≤x ＋y ≤12，线性目标函数为z ＝4x ＋5y ＋6(12－x －y)＋5(8－x)＋2(6－y)＋4(x ＋y －6)＝－3x ＋y ＋110， 作出可行域，可观察出目标函数在(8,0)点取到最小值，即从A 到D 运8千吨，从B 到E 运6千吨，从A 到F 运4千吨，从B 到F 运2千吨，可使总的运费最少．21．定义在－1,1上的奇函数，已知当x ∈－1,0时的解析式f(x)＝14x －a 2x (a ∈R)．(1)写出f(x)在0,1上的解析式；(2)求f(x)在0,1上的最大值．【答案】(1)设x ∈0,1，则－x ∈－1,0，f(－x)＝14－x －a 2－x＝4x －a ·2x ， ∴f(x)＝－f(－x)＝a ·2x －4x ，x ∈0,1．(2)∵f(x)＝a ·2x －4x ，x ∈0,1，令t ＝2x ，t ∈1,2，∴g(t)＝a ·t －t2＝－(t －a 2)2＋a24．当a 2≤1，即a ≤2时，g(t)max ＝g(1)＝a －1；当1<a 2<2，即2<a<4时，g(t)max ＝g(a 2)＝a24；当a 2≥2，即a ≥4时，g(t)max ＝g(2)＝2a －4.综上，当a ≤2时，f(x)的最大值为a －1；当2<a<4时，f(x)的最大值为a24；当a ≥4时，f(x)的最大值为2a －4.22．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ f(x ＋2)，x ≤－12x ＋2，－1＜x ＜1.2x －4，x ≥1(1)求f(12)，f[f(－2)]的值；(2)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1f(x)≤2． 【答案】(1)f(12)＝2×12＋2＝3，f[f(－2)]＝f[f(0)]＝f(2)＝22－4＝0.(2)①当x ＝－1时，f(－1)＝f(1)＝21－4＝－2＜2，满足不等式组； ②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜12x ＋2≤2⇔－1＜x ≤0； ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12x －4≤2⇔1≤x ≤log26. 综上所述，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1f(x)≤2的解集为x ∈[－1,0]∪[1，log26]．。

A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】 当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100， 当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测七 不等式第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·深圳第二次调研)设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3 B.1a <1b C ．a b >1D ．lg(b －a )<02．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－35，1 C.⎣⎡⎦⎤－35，1 D.⎝⎛⎦⎤－35，1 3．(·江西百所重点中学诊断)已知m >0，n >0，且2m ＋3n ＝5，则2m ＋3n 的最小值是( )A ．25 B.52 C ．4D ．54．(·合肥第二次质检)已知f (x )是偶函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝x sin x ，若a ＝f (cos 1)，b ＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．b <c <a5．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60D ．806．(·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．27．(·湖北七市联考)若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( ) A ．－5 B ．3 C ．5D ．79．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，13 B.⎣⎡⎦⎤－12，43 C.⎣⎡⎦⎤12，43D ．(－1,3)10．(·渭南模拟)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积的最小值为( ) A ．π B ．2π C ．4πD.π211．(·浙江杭州二中第一次月考)若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)12．(·郑州第一次质量预测)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.若P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111，Q ＝f ⎝⎛⎭⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( ) A ．R >Q >P B ．R >P >Q C ．P >R >QD ．Q >P >R第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 14．(·四川资阳第一次诊断)已知点A 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1所表示的平面区域内的一个动点，点B (－1，1)，O 为坐标原点，则OA →·OB →的取值范围是____________．15．(·青岛第一次模拟)已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为________． 16．(·湖南师大附中第三次月考)设正实数a ，b 满足等式2a ＋b ＝1，且有2ab －4a 2－b 2≤t －12恒成立，则实数t 的取值范围是____________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(·河北高阳中学第二次模拟考试)已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2a x －(a 2＋1)<0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．18．(12分)已知a ，b 是正常数，x ，y ∈R ＋，且a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．19.(12分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )．20．(12分)如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21.(12分)(·江西宜春四校联考)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．答案解析1．D [对于A ，构造幂函数y ＝x 3，其在R 上为单调递增函数，因为0<a <b <1，根据其单调性可知a 3<b 3，故A 错误；对于B ，1a －1b ＝b －a ab ，因为0<a <b <1，所以ab >0，b －a >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b ，故B 错误；对于C ，构造指数函数y ＝a x ，因为0<a <b <1，所以a b <1，故C 错误；对于D ，构造对数函数y ＝lg x ，因为0<a <b <1，所以0<b －a <1，故lg(b －a )<0，故D 正确．]2．D [a ＝1显然满足题意，a ＝－1时不满足题意，若a ≠±1，则该不等式为一元二次不等式，则必有a 2<1，且Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.综上可知－35<a ≤1.]3．D [因为m >0，n >0,2m ＋3n ＝5，所以(2m ＋3n )·(2m ＋3n )＝13＋6⎝⎛⎭⎫m n ＋n m ≥13＋12m n ·n m＝25(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)，所以2m ＋3n≥5，故选D.]4．B [由于函数为偶函数，故b ＝f (cos 2)＝f (－cos 2)，c ＝f (cos 3)＝f (－cos 3)，由于x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，即函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，据单位圆三角函数线易得0≤－cos 2<cos 1<－cos 3≤π2，根据函数单调性可得f (－cos 2)<f (cos 1)<f (－cos 3)，故选B.]5．A [某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]6．D [可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.]7．C [x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min ，而a b ＋16b a≥2a b ·16b a ＝8，当且仅当a b ＝16ba，即a ＝4b 时，等号成立．因此x 2＋2x <8，即x 2＋2x －8<0，解不等式得－4<x <2.]8．D [直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.]9．B [根据题意，得不等式|x －m |<1的解集是m －1<x <m ＋1，设此命题为p ，命题13<x <12为q ，则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示的集合的真子集，则有⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，(等号不同时成立)．解得－12≤m ≤43.]10．A [因为直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，所以2ab ＝1，因为|OA |＝a 2＋b 2，所以以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选A.]11．A [x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解可转化为a >2x －x 在[1,5]上有解．而⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.]12．B [令x ＝y ＝0，得f (0)－f (0)＝f (0)＝0，再令x ＝0，可得f (0)－f (y )＝f (－y )⇒－f (y )＝f (－y )，即函数为奇函数．若－1<x <y <1，则x －y 1－xy <0，故由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，即f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，故函数在区间(－1,1)上为减函数．又P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫15－f ⎝⎛⎭⎫－111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋1111＋15×111＝f ⎝⎛⎭⎫27，而0<27<12，由单调性可得R ＝f (0)>f ⎝⎛⎭⎫27＝P >f ⎝⎛⎭⎫12＝Q ，故选B.] 13.32解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.(2)当a <1时，∵x >0， ∴(a －1)x －1<0，不等式可化为 x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0.又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－aa －1－1＝0， 整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32.14．[－1,1]解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设A (x ，y )，z ＝OA →·OB →＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z 表示斜率为1，纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y ＝x ＋z ，知当直线过点D (2,1)时，直线y ＝x ＋z 的截距最小，z min ＝－2＋1＝－1；当直线y ＝x ＋z 过点E (1,2)时，直线y ＝x ＋z 的截距最大，z max ＝－1＋2＝1，所以OA →·OB →的取值范围是[－1,1]．15．9解析 因为x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，所以xy ＝x ＋y ＋3≥2xy ＋3，解得xy ≥3或xy ≤－1(舍去)，所以xy ≥9，当且仅当x ＝y ＝3时取等号．故xy 的最小值为9. 16.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ 解析 ∵2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab .而2a ＋b ＝1≥22ab ，∴ab ≤24，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时等号成立．∴2ab －4a 2－b 2＝2ab ＋4ab －1，令ab ＝u ∈⎝⎛⎦⎤0，24，f (u )＝4u 2＋2u －1，∴f (u )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫24＝2－12，故只需t －12≥2－12，即t ≥22. 17．解 (1)当a ＝2时，A ＝(2,7)，B ＝(4,5)， ∴A ∩B ＝(4,5)． (2)B ＝(2a ，a 2＋1)，当a <13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时a ＝－1； 当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在；当a >13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1,3]∪{－1}． 18．解 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ，当且仅当bx 2＝ay 2时等号成立． ∴x ＋y 的最小值为a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10.∴2ab ＝8，∴ab ＝16.由a ＋b ＝10，ab ＝16可得a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 19．解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)(x －1a )<0.因为方程(x －2)(x －1a )＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是{x |2<x <1a }；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是{x |1a<x <2}．(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}．(3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)(x －1a )>0，由于1a <2，故原不等式的解集是{x |x <1a 或x >2}．综上所述，当a <0时，不等式的解集为{x |x <1a或x >2}；当a＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为{x |2<x <1a }；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为{x |1a <x <2}．20．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0. 由实际意义和题设条件知x >0，k >0，由x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6. 所以当a 不超过6 km 时，可击中目标．21．解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A (1，225)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25. (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.故z 的取值范围是[16,64]．22．解 问题等价于f (x )在(0,2)上的最小值恒大于或等于g (x )在[1,2]上的最大值．因为f (x )＝ln x －14x ＋34x－1， 所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2. 若f ′(x )>0，则x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，同理得f (x )的单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1,2]．当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解． 综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，142.。

2014年高考理科数学总复习试卷第7卷一、选择题1、（2009韶关一模）复数i215+的共轭复数为 （ ） A.－31035-i B.－i 31035+ C.1－2iD.1+2i2．已知()()2,1,1,3-=-=b a ，若()()b k a b a ++-∥2，则实数k 的值是 （ ） A. -17 B. 21-C. 1819 D.353、下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是 （ ）A ()sin f x x =； B ()1f x x =-+； C 1()()2x x f x a a -=+； D 2()2x f x ln x-=+.4．在(1－x)n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n 中，若2a 2+a n-5=0， 则自然数n 的值是A.7B.8C.9D.105．⊙O 1与⊙O 2的半径分别为1和2，|O 1O 2|=4，动圆与⊙O 1内切而与⊙O 2外切， 则动圆圆心轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．双曲线的一支 6、若x 2sin 、x sin 分别是θθcos sin 与的等差中项和等比中项，则x 2cos 的值为：（ ）A 、8331+ B 、8331- C 、8331± D 、421-7．双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，则双曲线的离心率为（ ）A ．25B ．5C ．23 D ．38．设a ,b ∈R ，ab ≠0，则直线ax －y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的大致图形是 ( )9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610、在正四面体P-ABC ，已知M 为AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）x y O A x y x O C x y x O B x y x O D（A ）32 (B)36 (C) 34 (D)3311、如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AA 1＝AB ＝AD ＝1∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°， ∠BAD ＝90°，则直线A 1D 1到平面ABCD 的距离为 A 、1 B 、33 C 、22 D 、6312．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示.则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是A ．2B ．4C ．5D ．8二.填空题13、已知函数22x1x )x (f +=，那么)31(f )3(f )21(f )2(f )1(f +++++=+)41(f )4(f 。

第七章单元测试一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求）1．函数f（x）＝错误!的定义域是( )A。

错误! B。

错误!C.错误!D.错误!答案D解析由题意，得错误!解此不等式组，得错误!.故选D。

2．已知c〈0，则下列不等式中成立的是A．c>2c B．c〉(错误!)cC．2c〉（12）c D．2c〈(错误!）c答案D3．已知f（x)＝x＋bx在(1,e）上为单调函数,则b的取值范围是A．(－∞，1]∪[e2，＋∞）B．（－∞，0］∪［e2，＋∞) C．(－∞，e2]D．[1,e2]答案A解析b≤0时,f（x）在(1，e)上为增函数，b>0时，当x>0时，x＋错误!≥2错误!，当且仅当x＝错误!即x＝错误!取等号．若使f(x)在（1，e）上为单调函数，则错误!≤1或错误!≥e，∴0〈b≤1或b≥e2。

综上b的取值范围是b≤1或b≥e2,故选A.4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 013的末位数字是( )A．1 B．3C．7 D．9答案C解析规律：71的末位为7，72末位为9，73的末位为3,74末位为1,75的末位为7，…，的末位为7,9,3,1，7，9，3，1，…，而2 013＝4×503＋1，∴2 013的末位是7.5．将正奇数1,3，5，7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律,89所在的位置是( ）A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列答案D解析正奇数从小到大排，则89位居第45位,而45＝4×11＋1，故89位于第四列．6．若f（x）是偶函数，且当x∈［0，＋∞）时,f（x)＝x－1,则不等式f（x2－1）<0的解集为A．（－1,0) B．(－2,0）∪（0，错误!)C．（0，2）D．(1,2）答案B解析根据f（x)是偶函数，可得f(x)＝f（|x｜)＝｜x｜－1.因此f(x2－1）＝｜x2－1｜－1.解不等式|x2－1|－1〈0，得0〈x2<2,因此x∈(－错误!，0）∪（0，错误!)．7．当实数x，y满足不等式组错误!时,恒有ax＋y≤3成立，则实数a的取值范围是( ）A．(－∞，0］B．［0，＋∞）C ．[0,2］D ．(－∞,3］答案 D 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示．要使ax ＋y ≤3恒成立,即可行域必须在直线ax ＋y －3＝0的下方，故分三种情况进行讨论：①当a 〉0且错误!≥1,即0〈a ≤3时，恒有ax ＋y ≤3成立；②当a ＝0时,y ≤3成立；③当a <0时，恒有ax ＋y ≤3成立．综上可知,a ≤3。

§7.2 均值不等式及其应用2014高考会这样考 1.利用均值不等式求最值、证明不等式；2.利用均值不等式解决实际问题．复习备考要这样做 1.注意均值不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．1．均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3．算术平均值与几何平均值设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均值为a ＋b 2，几何平均值为ab ，均值定理可表述为：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值． 4．利用均值不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[难点正本 疑点清源]1．在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ≥0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ≥0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．3．对使用均值不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性．1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________．答案 81解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81.2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．答案 －2解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是______________________________．答案 8解析 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4xy≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立． 4．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245 B.285C ．5D ．6答案 C解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案 A解析 由题意可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(a ＝b 时取等号)． 故ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14.题型一 利用均值不等式证明简单不等式 例1 已知x >0，y >0，z >0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.思维启迪：由题意，先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质即可得证． 证明 ∵x >0，y >0，z >0， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0， x z ＋y z ≥2xy z >0， ∴⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．探究提高 利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．题型二 利用均值不等式求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 思维启迪：利用均值不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用均值不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用均值不等式． 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2xy时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．(1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C.92D.112(2)已知a >b >0，则a 2＋16b (a －b )的最小值是________．答案 (1)B (2)16解析 (1)依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.(2)∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立． ∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立． ∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16.题型三 均值不等式的实际应用例3 某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：用长度x 表示出造价，利用均值不等式求最值即可．还应注意定义域0<x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用均值不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800 (0<x ≤5)， 则y ＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800 ≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.忽视最值取得的条件致误典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b 的最小值． 易错分析 在求最值时两次使用均值不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．审题视角 (1)求函数的最值问题，可以考虑利用均值不等式，但是利用均值不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答解 方法一 y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab 2＝⎝⎛⎭⎫4ab ＋1ab －3ab 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫24ab ·1ab－3×a ＋b 22 ＝⎝⎛⎭⎫4－322＝254.[10分] 当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分]方法二 y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋(a ＋b )2－2abab＝2ab ＋ab －2.[8分] 令t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即t ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 又f (t )＝2t ＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上是单调递减的，[10分] ∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝12.∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值254.[12分]温馨提醒 (1)这类题目比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用均值不等式求最值，一定要注意应用条件：一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件．方法与技巧1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点．2．恒等变形：为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：(1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4. (2)0<x <83，x (8－3x )＝13(3x )(8－3x )≤13⎝⎛⎭⎫3x ＋8－3x 22＝163. 失误与防范1．使用均值不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用均值不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·陕西)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B. 2．(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由均值不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32C ．1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1.4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 6．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 答案 9解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2 ≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．7．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_________________________． 答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨． 三、解答题(共22分)8．(10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋ab ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.9．(12分)为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱的底长为a m ，高度为b m ．已知流出的水中该杂质的质量分别与a ，b 的乘积成反比，现有制箱材料60 m 2.问：当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出 的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?解 方法一 设y 为流出的水中该杂质的质量分数，则y ＝k ab ，其中k >0为比例系数，依题意，求使y 值最小的a ，b 的值． 根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，解得b ＝30－a 2＋a(0<a <30)．① 于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k －a ＋32－64a ＋2 ＝k 34－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2＋64a ＋2≥k 34－2(a ＋2)·64a ＋2＝k 18， 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时等号成立，y 取得最小值． 这时a ＝6或a ＝－10(舍)，将其代入①式，得b ＝3.故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二 依题意，求使ab 值最大的a ，b 的值．由题设，知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)．因为a ＋2b ≥22ab ，所以22·ab ＋ab ≤30，当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18.所以2b 2＝18，解得b ＝3，进而求得a ＝6.故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若a ，b 为不相等的正数，m ＝(a ＋b )(a 3＋b 3)，n ＝(a 2＋b 2)2，则( ) A ．m >n B ．m ≥n C ．m <n D ．m ≤n答案 A解析 ∵(a ＋b )(a 3＋b 3)＝[(a )2＋(b )2][(a a )2＋(b b )2]≥(a ·a a ＋b ·b )2＝(a 2＋b 2)2当且仅当a ＝b 时等号成立．但a ≠b .∴m >n .2．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( ) A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P 答案 B解析 因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )， M ＝12log 12(a ＋b )，所以只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b 2>ab .又因为a ＋b 2<a ＋b (因为a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b 4<1)，所以a ＋b >a ＋b 2>ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q >P >M .3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为 ( ) A ．2B ．4C ．8D ．16答案 C解析 点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1. 所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是_____________________________．答案 18解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.5．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．答案 x ＋y －2＝0解析 因(s ＋t )⎝⎛⎭⎫m s ＋n t ＝m ＋n ＋tm s ＋sn t≥m ＋n ＋2mn ，所以m ＋n ＋2mn ＝4，从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从而此弦的方程为x ＋y －2＝0.6．定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1*2=4，则ab 取最大值时a 的值为 .答案 1解析 ∵1*2=4，∴2a +3b=4,∵2a +3b ≥26ab ，∴ab ≤23. 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 三、解答题7．(13分)甲、乙两地相距S 千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p (单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q 千米/小时(q >p )．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v (单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k .(1)把全程燃料费用y (单位：元)表示为船在静水中的速度v 的函数，并求出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解 (1)由题意，知船每小时的燃料费用是k v 2，全程航行时间为S v －p，于是全程燃料费用y ＝k v 2·S v －p(p <v ≤q )． (2)由(1)，知y ＝k v 2·S v －p＝kS ·v 2－p 2＋p 2v －p ＝kS [v ＋p ＋p 2v －p] ＝kS [v －p ＋p 2v －p＋2p ] ≥kS [2(v －p )·p 2v －p ＋2p ]＝4kSp (当且仅当v －p ＝p 2v －p，即v ＝2p 时等号成立)． ①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y min ＝4kSp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ；②当2p ∉(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝k v 2·S v －p 在(p ，q ]内单调递减，所以y min ＝kS ·q 2q －p ，此时船的前进速度为q －p .故为了使全程燃料费用最小，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千米/小时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千米/小时．。