(12)用枚举法解题 (4)

四年级奥数第五讲枚举法解应用题【知识要点和基本方法】一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称枚举法为举例子。

枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。

【例题精选】例1.用数字1，2，3可以组成多少个不同的数字？分别是哪几个数？分析：根据百位上数字的不同，我们可以把它们分为三类：第1类：百位上的数字为1，有123，132；第2类：百位上的数字为2，有213，231；第3类：百位上的数字为3，有312，321。

所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数。

课堂练习题：用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。

他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）分析：我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类——一枚、二枚、三枚、四枚。

一枚:5角二枚:10角,13角三枚:18角,21角四枚:26角课堂练习题：10元钱买6角邮票和8角邮票共14张，问两种邮票各多少张？例3.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？分析：共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况。

1个:1克,3克,9克2个:4克,10克,12克3个:13克同学们可以思考一下:如果砝码可以放天平的两边,又能称出多少不同的重量?例4.课外小组组织30人做游戏，按1－30号排队报数。

第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。

枚举法解题枚举法是一种常用的问题求解方法，通过遍历所有可能的解空间，逐个检查并找出满足条件的解。

它在计算机科学和数学领域被广泛应用于解决各种问题，如组合优化、图论、搜索等。

本文将介绍枚举法的基本原理、应用场景以及相关的优化技巧。

1. 基本原理枚举法是一种朴素的穷举搜索方法，其基本思想是通过遍历所有可能的解空间来寻找问题的解。

具体而言，枚举法将问题转化为一个可枚举的集合或序列，并对其中每个元素进行检查，判断是否满足问题所要求的条件。

当找到满足条件的解时，即可结束搜索。

枚举法通常包括以下几个步骤： - 确定待求解问题中需要枚举的变量或参数； - 确定变量或参数可以取值的范围； - 遍历所有可能取值组合，并对每个组合进行检查； - 找到满足条件的解后结束搜索。

2. 应用场景枚举法适用于那些问题空间较小或可以通过剪枝等手段进行优化的情况。

以下是一些常见的应用场景：2.1 组合优化问题组合优化问题是指在给定一组元素的情况下，通过选取其中的若干个元素，使得满足某种条件或达到最优解。

例如，在一个集合中找到和为给定值的子集，或者找到满足某种性质的排列等。

枚举法可以通过遍历所有可能的组合或排列来解决这类问题。

2.2 图论问题图论是研究图及其应用的数学分支，常见问题包括最短路径、最小生成树、拓扑排序等。

枚举法在图论中有广泛应用，例如在求解旅行商问题时，可以通过枚举所有可能的路径，并计算其总长度来寻找最优解。

2.3 搜索问题搜索问题是指在一个搜索空间中寻找特定目标的过程。

例如，在八皇后问题中，需要在一个8x8的棋盘上放置八个皇后，并使得它们互不攻击。

枚举法可以通过遍历所有可能的放置方式，并逐个检查是否满足条件来解决这类搜索问题。

3. 优化技巧虽然枚举法简单直观，但对于问题空间较大的情况，其时间复杂度常常非常高，甚至无法接受。

因此，在实际应用中，我们可以采取一些优化技巧来减少搜索空间和提高效率。

3.1 剪枝剪枝是指通过一些条件判断，在搜索过程中排除不可能的解，从而减少搜索空间。

数列枚举法
枚举法是一种数学解题技巧，它通过列举出所有可能的情况，然后通过观察、推理和计算来找出问题的解。

在数列问题中，枚举法常常用于求解一些具有特定规律的数列。

以下是使用枚举法解决数列问题的详细步骤：
1. 确定数列的通项公式：首先需要找到数列的通项公式，也就是每个数列元素与其位置之间的关系。

通项公式可以帮助我们找到数列的规律。

2. 枚举数列的前几项：根据通项公式，枚举数列的前几项，例如前5项或前10项。

3. 观察数列的规律：观察枚举出的数列前几项，看是否存在某种规律。

例如，数列可能是一个等差数列，每个元素与前一个元素之间的差是一个常数；或者是一个等比数列，每个元素与前一个元素之间的比是一个常数。

4. 利用规律解决问题：如果找到了数列的规律，就可以利用这个规律来解决具体的问题。

例如，如果数列是一个等差数列，我们可以根据等差数列的性质来计算数列的和；如果数列是一个等比数列，我们可以根据等比数列的性质来计算数列的和。

5. 验证结果：最后，我们需要验证我们的结果是正确
的。

这可以通过将我们的结果代入到原来的数列中，看是否满足数列的通项公式。

以上就是使用枚举法解决数列问题的步骤。

需要注意的是，枚举法并不总是适用于所有数列问题，有些复杂的问题可能需要使用更高级的数学方法来解决。

六年级奥数专题：枚举法 我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。

但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。

但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。

所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。

例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。

若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。

试判断他们两人谁获胜的可能性大。

分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。

用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。

出现7的情况共有6种，它们是： 1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。

出现8的情况共有5种，它们是： 2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。

所以，小明获胜的可能性大。

注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。

例2 数一数，右图中有多少个三角形。

分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。

为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。

单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。

由两部分组成的三角形有4个： （1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。

由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。

由四部分组成的三角形有2个： （1，3，4，5），（2，6，7，8）。

由八部分组成的三角形有1个： （1，2，3，4，5，6，7，8）。

总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。

枚举问题在生活、生产和科学研究中，常常需要计算“完成一件事情，共有多少种不同的方法”的问题，这就要求我们根据题目的要求，把问题的答案一一列举出来，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复的有限种情况，一一列举各种情况加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析、解决问题的方法叫做枚举法。

枚举问题是分类计数进行解答的问题，利用枚举法解题的关键是合理分类。

正确分类可以促进问题的解决，利用正确分类把难点分散达到解决问题的目的。

在日常生活和生产实际中，我们还经常遇到这样一些问题：小红有白、黄两种衬衫，花、黑两种裙子，问小红有几种不同的打扮方法？3个人开会，每人都要和他人握手，共要握几次？解答这类问题，我们可以运用列举的方法，并从中找出一些解题的规律。

例题解析1、李娜、王蕾和吕丹并排在一起照相，共有几种不同的站法？2、用2、5、8三个数字，可以组成几个不同的三位数，其中最大的三位数是多少？最小的三位数是哪一个数？3、五个同学参加学校乒乓球决赛，每两人要赛一场，一共要赛多少场？4、王小明要从家到学校，共有几种不同的走法？（只准向上向右走，不准向下向左行）学校小明家5、从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地经过乙地到丙地共有多少条不同的路可走呢？6、从1~~9这9个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？7、从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车；从乙地到丙地可以坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经过乙地到丙地共有几种走法？8、兰兰向妈妈要6分钱买一块橡皮。

妈妈叫兰兰从袋子里取硬币。

袋子里有1分、2分、5分硬币各6枚。

兰兰要拿6分钱，可以有几种拿法，用算式表示出来。

9、有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？10、三个圆A、B、C在同一条线上。

如图所示。

一只青蛙在这三个圆之间跳来跳去，它从A开始，跳了4次之后又回到A。

枚举法在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法．枚举法是利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，因此枚举法是通过牺牲时间来换取答案的全面性。

在数学和计算机科学理论中，一个集的枚举是列出某些有穷序列集的所有成员的程序，或者是一种特定类型对象的计数。

这两种类型经常（但不总是）重叠。

特点将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。

例如：找出1到100之间的素数。

需要将1到100之间的所有整数进行判断。

枚举算法因为要列举问题的所有可能的答案，所有它具备以下几个特点：1、得到的结果肯定是正确的；2、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下。

3、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。

4、数据量大的话，可能会造成时间崩溃。

结构枚举算法的一般结构：while循环。

首先考虑一个问题：将1到100之间的所有整数转换为二进制数表示。

算法一：for i:=1 to 100 do begin将i转换为二进制，采用不断除以2，余数即为转换为2进制以后的结果。

一直除商为0为止。

end;算法二：二进制加法，此时需要数组来帮忙。

program p;var a:array[1..100] of integer; {用于保存转换后的二进制结果} i,j,k:integer;beginfillchar(a,sizeof(a),0); {100个数组元素全部初始化为0}for i:=1 to 100 do begink:=100;while a[k]=1 do dec(k); {找高位第一个为0的位置}a[k]:=1; {找到了立刻赋值为1}for j:=k+1 to 100 do a[j]:=0; {它后面的低位全部赋值为0}k:=1;while a[k]=0 do inc(k); {从最高位开始找不为0的位置}write('(',i,')2=');for j:=k to 100 do write(a[j]); {输出转换以后的结果}writeln;end;end.枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。

枚举法解题
【最新版】
目录
1.枚举法解题的定义和特点
2.枚举法解题的适用范围和优缺点
3.枚举法解题的具体步骤和示例
正文
枚举法解题是一种通过穷举所有可能的解决方案来求解问题的方法。

它通常被用于解决那些可以通过有限步骤解决的问题，尤其是在计算机科学和数学领域。

枚举法解题的适用范围非常广泛，包括数论、组合、图论等领域。

它的优点在于简单易行，可以直接解决问题，而且不需要深入的理论知识。

然而，枚举法解题的缺点也很明显，那就是它的时间复杂度通常非常高，当问题规模较大时，可能需要耗费大量的时间和资源。

下面是枚举法解题的具体步骤：
1.确定问题的范围和限制条件。

2.列举出所有可能的解决方案。

3.对每个解决方案进行验证，看是否满足问题的要求。

4.如果找到一个满足要求的解决方案，就结束枚举，开始下一步的计算。

如果没有找到满足要求的解决方案，就继续枚举。

5.如果枚举结束，还没有找到满足要求的解决方案，那么这个问题就没有解。

举个例子，如果我们要解决一个数论问题，即求解一个整数 n 的所有约数，我们可以使用枚举法解题。

首先，我们确定问题的范围，也就是
从 1 到 n 的所有整数。

然后，我们列举出所有可能的约数，即从 1 到n 的所有整数。

接着，我们对每个约数进行验证，看它是否是 n 的约数。

如果是，我们就记录下来。

如果不是，我们就继续枚举。

最后，我们把所有的约数都找出来，就得到了问题的解。

枚举法解题枚举法是一种演绎的数学方法，也是一种解决问题的方式。

它通过列举所有可能的情况，逐一检验，并找出符合特定条件的解。

枚举法常常用于解决组合优化问题，如找出满足条件的最优解。

枚举法的基本思路是将问题空间分割为若干个子空间，逐一检查每个子空间，找出满足条件的解。

具体操作上，我们需要确定问题的解空间和解空间的约束条件，然后通过穷举的方式检查每一个可能的解。

在编程中，枚举法通常通过循环嵌套来实现。

最外层的循环用于枚举解空间中的一个维度，内层循环用于枚举另一个维度。

通过这种方式，我们可以逐一检查每一个可能的解，并判断是否满足条件。

举个简单的例子来说明枚举法的应用。

假设有一个集合{1, 2, 3, 4, 5}，我们需要找出其中任意两个数的和为7的组合。

这个问题可以通过枚举法来解决。

首先，我们需要确定解空间和约束条件。

解空间就是所有可能的组合，在这个例子中，解空间包括所有两个数的组合。

约束条件是两个数的和等于7。

然后，我们可以编写一个双重循环，来逐一检查解空间中的所有组合。

首先，外层循环枚举第一个数，内层循环枚举第二个数。

如果两个数的和等于7，则输出这个组合。

以下是一个使用枚举法解决这个问题的示例代码：```list = [1, 2, 3, 4, 5]for i in range(len(list)-1):for j in range(i+1, len(list)):if list[i] + list[j] == 7:print(list[i], list[j])```运行这段代码，我们得到的输出结果是：```2 53 4```这就是满足条件的解。

枚举法的优点是简单易懂，容易实现。

但是当问题规模较大时，枚举所有可能的解将非常耗时。

在这种情况下，我们可以尝试使用更高效的算法来解决问题，例如贪心算法、动态规划等。

总而言之，枚举法是一种常用的解决问题的方法，适用于寻找满足特定条件的解的情况。

尽管在大规模问题上效率较低，但它在一些问题中仍然发挥着重要的作用。

有这么一类数学问题,当题中的部分条件出现的可能情况为有限个时,我们可以把这些可能情况一一列举出来,再根据另一部分条件进行验证,这种解题的思维方法叫做枚举法。

运用枚举法解题的关键是要在列举过程中,保证既不重复,也不遗漏。

这时常常要对可能情况进行恰当的分类。

而这种正确的分类也有助手暴露问题的本质,降低问题的难度。

常用的分类方法有按数量的大小分类、按奇偶性分类等。

枚举法解题的一般步骤：(1)列出问题的可能答案；(2)逐一检验；(3)找到正确答案。

[例1] 有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,如257,1459等等,这类数共有个。

分析与解答先枚举最高位是l,且满足条件的数,共9个：10112358,112358,123581347 ,1459 ,156167 ,178 ,189再看最高位是2且满足条件的数,共8个：202246 ,21347,2246,2358 ,246 ,257268 ．279最高位是9且满足条件的数有1个：909所以,这类数共有9+8+7+…+2+1=45个。

[例2]哥德巴赫猜想说：每个大于或等于6的偶数,都可以表示成两个素(质)数之和。

问：168是哪两个两位数的质数之和,并且其中一个的个位数是17思路剖析本题可从“其中一个的个位数是1”人手。

对符合条件的两位数进行枚举,找到本题的答案。

解答要把168表示成两个两位数的质数之和,则这两个质数均大于68。

满足大于68和个位是l这两个条件的两位数是：71、81、91,其中只有71 是质数,所以另一个质数是168-71=97。

故本题所求的两个两位数的质数分别是71、97。

[例3] 从两位的自然数中,每次取两个不同的数,要使这两个数的和是三位数,有多少种取法?思Jg．剖析我们可以采用枚举的方法,按两位自然数由小到大的顺序逐个考虑, 先从最小的两位自然数10想起,它与哪些两位数的和是三位数,直到最大的两位自然数99止,然后统计一下共有多少种。