下载文档原格式
初中数学丨二次函数的动点问题总结例题解析，两个问题一次解决动点问题一直是初中热点，近几年往往考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
今天老师针对初中数学的二次函数及动点问题整理了这篇文章，并通过中考真题的详细讲解让同学们掌握所有知识点。
内容较长，由于篇幅限制，上传不完整，老师已整理好word打印版，需要的同学或家长可以在文末免费获取。
也可以关注后，发送私信“学习”来免费领取。
动点问题题型方法归纳总结动态几何特点——问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）共同点：1.特殊四边形为背景2.点动带线动得出动三角形；3.探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；4.求直线、抛物线解析式；5.探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用 t 表示，在讨论分析R t△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。
点评：此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1,2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的事在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的 t 值与题目中的0＜t＜1矛盾，应舍去点评：这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
由于文章篇幅限制，完整word版老师已整理好，内容免费获取方式如下：关注后，发送私信“学习”即可免费获取。
除以上内容，老师还整理了关于初中数学各模块题型的精讲，上面展示的题型库+配套练习，课堂中关于如何学好数学的视频课，希望你们认真领会并按照课程中所讲坚持下去，必见成效。
二次函数动点问题类型一、求解动点坐标问题：1.已知二次函数的图像经过特定点，求该点的坐标。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点(2,5)，求a、b、c的值。
解：由于(2,5)是曲线上的一点，所以满足曲线上的点的坐标满足函数的定义关系式，即：y=ax^2+bx+c代入已知点的坐标，得到：5=4a+2b+c再结合二次函数的性质，无论a、b、c取何值，都可以确定一个二次函数，因此需要再提供其他的条件才能完全确定a、b、c的值。
2.已知二次函数的顶点坐标，求顶点坐标与对称轴的方程。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,3)，求对称轴的方程和a、b、c的值。
解：根据二次函数的性质，二次函数的顶点坐标位于对称轴上，所以对称轴的方程可以通过已知的顶点坐标得到。
对称轴的方程为x=顶点的横坐标，即x=2然后，再结合二次函数顶点坐标的性质，即顶点坐标(2,3)满足a*(2^2)+b*2+c=3，代入这个关系式，可以求解出a、b、c的值。
3.已知二次函数的零点，求函数的表达式。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的零点为x=1和x=3，求函数的表达式。
解：已知x=1和x=3是函数的零点，代入函数的定义关系式，得到a*(1^2)+b*1+c=0和a*(3^2)+b*3+c=0。
进一步整理就可以得到一个由a、b、c构成的方程组，解这个方程组就可以确定a、b、c的值，从而得到二次函数的表达式。
二、研究动点运动规律问题：1.如何通过二次函数的图像研究点的运动规律？二次函数可以表示一个抛物线的图像，通过分析二次函数的各项系数可以得到抛物线的开口方向、顶点坐标等信息，从而研究点的运动规律。
例如，当二次函数的a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为最低点，点的运动趋势是从下往上；当二次函数的a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为最高点，点的运动趋势是从上往下。
2.如何通过已知条件研究点的运动规律？已知的条件可以包括点的初始位置、速度、加速度等信息，将这些信息转化成数学问题，从而得到二次函数的各项系数，进而通过研究二次函数的图像研究点的运动规律。
【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBvOC）是方程x2 -10x+16= 0的两个根，且A点坐标为（-6, 0）.（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF // AC交BC 于点F,连接CE,设AE的长为m, △ CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；2.如图是二次函数y= ( x+m) 2+k的图象，其顶点坐标为M (1, -4).(1)求出图象与x轴的交点A, B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S APAB=—S；AMAB?若存在，求出P点的坐标，4若不存在，请说明理由；(3)点C在x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE ,正方形BCDE还有一个顶点(除点B外)在抛物线上，请写出满足条件的点E的坐标；(4)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围是 .即圄2 邺3.如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O,且经过点A (3, 3), 一次函数的图象经过点A和点B (6, 0).(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如果一次函数图象与y轴相交于点C,点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE 与二次函数图象相交于点巳/ CDO = / OED ,求点D的坐标；(3)当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由.4.如图，二次函数y=ax2+bx+c (a^0)的图象与x轴交于A (- 3, 0)、B (1, 0 与y轴相交点C (0,近).(1)求该二次函数解析式；(2)连接AC、BC,点M、N分别是线段AB、BC上的动点，且始终满足BM = 接MN.①将4BMN沿MN翻折，B点能恰好落在AC边上的P处吗？若能，请判断四边形的形状并求出PN的长；若不能，请说明理由.②将^ BMN沿MN翻折，B点能恰好落在此抛物线上吗？若能，请直接写出此时于MN的对称点Q的坐标；若不能，请说明理由.两点,BN,连BMPNB点关5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=』!x2-2F3x-代与x轴交于A、B两点（点3 3（1）判断△ ABC的形状，并说明理由;（2）如图（1）,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点p作Y轴的平行线交X轴于点E.当△ PBC面积的最大值时，点F为线段BC 一点（不与点BC重合），连接EF,动点G从点E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿FC以每秒2工3个单位的速度运动到点C后停止，当点F的坐标| 3是多少时，点G在整个运动过程中用时最少？（3）如图2,将4ACO沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ ACO 为AA l C l O l连接AA1,直线AA1交抛物线与点M,设平移的时间为t秒，当^ AMC 1为等腰三角形时，求t的值.6.如图，二次函数y=—x2+bx- -的图象与x轴交于点A (-3, 0)和点B,以AB为边在2 2x轴上方作正方形ABCD ,点P是x轴上一动点，连接DP ,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)b=;点D的坐标：;(2)线段AO上是否存在点P (点P不与A、。
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号.或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置.要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点坐标.或已知与x 轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1.0)和点B (－3.0).与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P.使△CMP为等腰三角形？若存在.请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．(3) 如图②.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE.求四边形BOCE面积的最大值.并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M为顶点时.以M为圆心MC为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P为顶点时.线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
二次函数中的动点问题（二）平行四边形的存在性问题一.技巧提炼如图1,点人（召,开）、3（忑,儿）、C（X3Os）是坐标平面内不在同一直线上的三点。
平面直角坐标系中是否存在点D,使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。
如图2,过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。
3、平面直角坐标系中直线和直线12:当h时k尸k2；当h丄I2时ki-k2=-14、二次函数中平行四边形的存在性问题：解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算二、精讲精练1、已知抛物线y=ax-+bx+c与x轴相交于A、E两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3,AABC的面积为6,（如图1）（1）求抛物线的解析式：（2）坐标平面内是否存在点M,使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2,在直线BC±方的抛物线上是否存在一动点P,ABCP面枳最大？如果存在，求出最人面积,2、如图，己知抛物线经过A(-2,0),B(・3,3)及原点6顶点为C(1)求抛物线的函数解析式：(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。
【变式练习】7如图，对称轴为直线x二一的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)・2(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四彖限，四边形0EAF是以0A为对角线的平行四边形, 求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形0EAF是否为菱形？②是否存在点E,使平行四边形0EAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.、方法规律1、平行四边形模型探究如图1，点&（內,开）、3（七,儿）、C（X3，”）是坐标平面内不在同一直线上的三点。
二次函数中的动点问题二次函数是高中数学课程中比较重要的一种函数类型，它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，可以用来表达很多实际问题中的关系。
其中，二次函数中的动点问题是一个常见的问题，主要涉及到了抛物线上某点的运动轨迹，对于此类问题的讨论可以帮助我们深入理解二次函数以及抛物线的特点和应用。
一、动点问题的形式通过一个具体的例子来展示二次函数中的动点问题。
设有一根长60m、重量为100N的弹性绳悬挂于两个点P、Q 之间，弹性绳呈现一个U形。
现有一质量为m的物体从点P 处自由下落，然后受到弹性绳的支撑反弹，反弹高度为h，再落回原点P处。
此时，假设物体在下落或反弹的任意时刻都在弹性绳的中垂线上，我们可以通过求出物体在任意时刻的高度求解出反弹的高度h与物体的质量m的关系。
初步分析这个问题，可以列出物体所在的位置函数，即h(t)。
我们假设物体下落时时间t=0s，其高度为0m，则有：h(t) = at^2 + bt其中，a和b都是常数，t是时间。
物体在弹性绳上下运动，向下运动的时候速度会不断加快，直到反弹的时候速度为0，然后速度逐渐加快，到达下落的时候又达到最大值。
因此，可以得出物体的速度函数v(t)：v(t) = 2at + b而物体的位置函数是速度函数的积分，因此可以解出：h(t) = at^2 + bt + c其中，c是一个常数，其值等于物体下落的初速度的平方除以2g（g为重力加速度，约为9.8m/s^2）。
由于物体在任意时刻都在弹性绳中垂线上，因此可以确定物体的运动轨迹为抛物线。
在上述问题中，我们可以确定抛物线的顶点V的坐标为（30，hmax），其中hmax即为物体下落时的最大高度。
二、动点问题的解法对于二次函数中的动点问题，主要通过求出抛物线的顶点来解决。
通过求解出顶点的坐标、抛物线的开口方向和方程等，可以确定抛物线的形状和运动轨迹，进而判断动点的位置、速度和加速度等物理量。
具体来说，解决二次函数动点问题的步骤如下：1. 确定抛物线的形状和开口方向。
二次函数动点问题二次函数是数学中的一个重要概念，也有很多实际应用。
在二次函数中，我们经常会遇到一种问题，即动点问题。
该问题要求我们根据给定的二次函数，确定函数图像上某个动点的坐标。
问题描述在二次函数动点问题中，我们通常会给出二次函数的方程和一个动点的初始位置。
我们需要通过计算，确定动点在函数图像上的位置。
具体来说，我们要求解动点的横坐标和纵坐标。
解决方法为了解决二次函数动点问题，我们可以采用以下步骤：1. 首先，我们需要根据二次函数的方程，确定函数的具体形式。
二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 为已知常数。
2. 接下来，我们需要确定动点的初始位置。
动点通常以坐标的形式给出，例如 $(x_0, y_0)$。
我们将动点的初始位置代入二次函数的方程，得到动点的纵坐标 $y_0$。
3. 然后，我们需要计算动点的横坐标。
根据函数图像的对称性，动点的横坐标为二次函数的顶点的横坐标。
顶点的横坐标可以通过以下公式计算：$x_v = -\frac{b}{2a}$。
4. 最后，我们可以得到动点在函数图像上的位置。
动点的横坐标为 $x_v$，纵坐标为 $y_0$。
实例演示以下是一个示例，演示了如何解决二次函数动点问题：已知二次函数的方程为 $y = x^2 + 2x + 1$，动点的初始位置为$(2, y_0)$。
我们可以按照以下步骤求解动点的位置：1. 将动点的横坐标代入二次函数的方程，得到动点的纵坐标：$y_0 = 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 9$。
2. 计算二次函数的顶点的横坐标：$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$。
3. 动点的位置为 $(x_v, y_0) = (-1, 9)$。
通过以上计算，我们得到了动点在函数图像上的位置。
结论二次函数动点问题是一个常见的数学问题。
通过确定二次函数的形式和动点的初始位置，我们可以计算出动点在函数图像上的位置。
动点问题1：相似三角形问题例1：如图①，在△ABC 中，AB=AC ，BC=acm ，∠B=30°．动点P 以1cm/s 的速度从点B 出发，沿折线B ﹣A ﹣C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2．已知y 与x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1） 试判断△DOE 的形状，并说明理由；（2） 当a 为何值时，△DOE 与△ABC 相似？例2：矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0），C （0，－3），直线y ＝－43x 与BC 边相交于D 点． （1） 求点D 的坐标； （2） 若抛物线y ＝ax 2－49x 经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3） 设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD例3.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标作业1.如图，已知抛物线y ＝x 2－1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．2.如图，已知抛物线y ＝43x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝t43x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是___________，b ＝_______，c ＝_______；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t3.已知，如图1，过点B (0，－1)作平行于x 轴的直线l ，抛物线y ＝41x2上的两点A 、B 的横坐标分别为－1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF 、DF ．（1）求点A 、B 、F 的坐标；（2）求证：CF ⊥DF ； （3）点P 是抛物线y ＝41x 2对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ ⊥OP 交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得△OPQ 与△CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(备用图)(图1)。
二次函数的动点问题1、如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由分析 (1)由点B (-2,m )在直线12--=x y 上,可求得m 的值及 点B 的坐标,进而求得抛物线的解析式;(2)通过分别求得CB 和CE 的长来说明CB =CE, 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ，过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，由△DFB ≌△DHE,证得D 是BE 的中点； (3)若存在点P 使得PB=PE,则点P 必在线段BE 的中垂线CD 上,动点P 又在抛物线上,通过解直线CD 和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.解（1）∵ 点B (-2,m ) 在直线12--=x y 上， ∴ m =-2×(-2)-1=3. ∴ B (-2,3) ∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a .∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y ，即x xy -=241.（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ，则点G 坐标为(2,3) BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =5432222=+=+BGCG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5.②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，则点H 的坐标为H (0,-5). 又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°. ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE . 即D 是BE 的中点.(3)由于PB =PE ，∴ 点P 必在线段BE 的中垂线CD 上， 又点P 在抛物线x xy -=241上,∴ 符合条件的点P 应是直线CD 与该抛物线的交点. 设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将点D (0,-1) C (2,0) 代入， 得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得 1,21-==b k . ∴直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.解方程组xx y x y -=-=241121 得2515311+=+=y x2515322-=-=y x∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).2、已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线B C 的解析式．（2）求A B C △的面积．（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？解答：解：（1）在y=-3 4 x2+3中，令y=0， ∴-3 4 x2+3=0， ∴x1=2，x2=-2，∴A （-2，0），B （2，0）， 又点B 在y=-3 4 x+b 上 ∴0=-3 2 +b ，b=3 2 ，∴BC 的解析式为y=-3 4 x+3 2 ． 由 y=-3 4 x2+3 y=-3 4 x+3 2 ， 得 x1=-1 y1=9 4 ， x2=2 y2=0 ． ∴C （-1，9 4 ），B （2，0）， ∴AB=4，CD=9 4 ，∴S △ABC=1 2 ×4×9 4 =9 2 ．（2）过点N 作NP ⊥MB 于点P ∵EO ⊥MB ， ∴NP ∥EO ，∴△BNP ∽△BEO ， ∴BN BE =NP EO ，由直线y=-3 4 x+3 2 可得：E （0，3 2 ）∴在△BEO 中，BO=2，EO=3 2 ，则BE=5 2∴2t 5 2 =NP 3 2 ，∴NP=6 5 t，∴S=1 2 ×6 5 t×（4-t）=-3 5 t2+12 5 t=-3 5 （t-2）2+12 5 ，（0＜t＜4）∵此抛物线开口向下，∴当t=2时，S最大=12 5 ，∴当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为12 5 ．点评：此题主要考查了二次函数图象与应用相结合的综合题以及三角形面积的计算方法和相似三角形的判定与性质，利用两函数联立得出B，C坐标是解题关键3、如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．（1）求证：ΔBEF ∽ΔCEG．（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？解答：（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，所以△BEF∽△CEG．（2）解：△BEF与△CEG的周长之和为定值．理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以FH=CG，FG=CH，因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°∴△ABM∽△CBH，∴AB BC =AM CH由BC=10，AB=5，AM=4，可得CH=8，∴BH=6，所以BC+CH+BH=24；理由二：由AB=5，AM=4，可知：在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：EF=4 5 BE，BF=3 5 BE，GE=4 5 EC，GC=3 5 CE，所以，△BEF的周长是12 5 BE，△ECG的周长是12 5 CE，又BE+CE=10，因此△BEF与△CEG的周长之和是24．（3）解：设BE=x，则EF=4 5 x，GC=3 5 （10-x），所以y=1 2 EF•DG=1 2 •4 5 x[3 5 （10-x）+5]=-6 25 x2+22 5 x，配方得：y=-6 25 （x-55 6 ）2+121 6 ．所以，当x=55 6 时，y 有最大值． 最大值为121 6 ．点评：本题利用了被两条平行线所截的两个三角形相似，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，二次函数求最大值的问题．4如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分） ∴A （-1，0）B （3，0）；（1分）将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），（1分） E （2(,23)x x x --（1分）∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =时，PE 的最大值=94（1分）（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F -+-（结论“存在”给1分，4个做对1个给1分，过程酌情给分） 5如图13，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ． （1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．解： （1）把x =0代入224233y x x =-++得点C 的坐标为C （0，2） 把y =0代入224233y x x =-++得点B 的坐标为B （3，0）（2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ） OBPCS 四边形=O P C S △+O P B S △=112322x y ⨯⨯+⨯⨯ = 23242233x x x ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭=233x x -++ ∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤∴23324S x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（03x ≤≤）（3）存在． BC=13① 若BQ = DQ ∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2 ∴2tan3Q M O C O BC BMO B∠===∴QM =23所以Q 的坐标为Q （2，23） ．② 若BQ =BD =2∵ △BQM ∽△BCO ，∴B Q B C=Q M C O =B M B O∴=2Q M ∴ QM=13∵ B Q B C=B M O B∴=3B M∴ BM=13∴ OM= 313-所以Q 的坐标为Q（313-，13）6． 如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作N P 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大； （3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．图12解：（1）点 M （2）经过t 秒时，N B t =，2O M t = 则3C N t =-，42AM t =-∵B C A ∠=MAQ ∠=45 ∴ 3QN CN t ==- ∴ 1 PQ t =+ ∴11(42)(1)22A M Q S A M P Q t t ==-+ △22t t =-++ ∴2219224S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∵02t ≤≤∴当12t =时，S 的值最大． （3）存在． 设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3C N t =-，42AM t =-∴B C A ∠=MAQ ∠=45 ①若90AQ M ∠= ，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边M A 上的高 ∴PQ 是底边M A 的中线 ∴12P Q A P M A ==∴11(42)2t t +=-∴12t =∴点M 的坐标为（1，0）②若90Q M A ∠= ，此时QM 与QP 重合∴QM QP MA ==∴142t t +=-∴1t = ∴点M 的坐标为（2，0）7.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动． （1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； （2）设P 点运动时间为t （秒）。
