2012年北京高考试题(理数,word解析版)

北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（理科） 2012.5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合2{|log 1}A x x =<，{|0B x x c =<<，其中0}c >．若A B B =，则c 的取值范围是（ ） （A ）(0,1]（B ）[1,)+∞（C ）(0,2]（D ）[2,)+∞2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①()e xf x =； ②()e xf x =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ）（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④3．椭圆 3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)的离心率是（ ）（A ）35 （B ）45（C ）925（D ）16254．已知向量(,1)x =a ，(,4)x =-b ，其中x ∈R ．则“2x =”是“⊥a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ）（注：标准差s x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x >，12s s < （C ）12x x <，12s s <（D ）12x x <，12s s >6．已知函数()1f x kx =+，其中实数k 随机选自区间[2,1]-．对[0,1]x ∀∈，()0f x ≥的概率是（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）347．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是（ ） （A ）42（B ）41（C ）40 （D ）398．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在△ABC 中，BC =，AC =，π3A =，则B = _____． 10．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =_____．11．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若PA PE =，60ABC ︒∠=，1PD =，9PB =，则PA =_____；EC =_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)||f x x -< 的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____． 14．曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤； ③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤. 其中，所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．C16．（本小题满分14分）如图，直角梯形A B C D 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（Ⅰ）求证：AB DE ⊥；（Ⅱ）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率． 18．（本小题满分13分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． （Ⅰ）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 19．（本小题满分14分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围． 20．（本小题满分13分） 若12(0n n i A a a a a ==或1,1,2,,)i n =，则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ，将排列121n n a a a a -记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a --记为2()n R A ；依此类推，直至()n n n R A A =．对于排列n A 和()in R A (1,2,,1)i n =-，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做n A 和()i n R A 的相关值，记作(,())i n n t A R A ．例如3110A =，则13()011R A =， 133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,,1)in n t A R A i n =-=-，则称n A 为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列3A ； （Ⅱ）证明：不存在最佳排列5A ；（Ⅲ）若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列，求排列21k A +中1的个数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ； 7．C ； 8．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π4； 10．1i22+； 11．3，4； 12．0，{|12}x x << 13．13，3π； 14．① ② ③．注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：22ππππ()cos ()sin cos 1212126f =--==． ………………5分 （Ⅱ）解： 1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+--- ………………7分1π13[cos(2)cos 2]2cos 2)2322x x x x =-+=+ ………………8分π)23x =+． ………………9分 因为 π[0,]2x ∈，所以 ππ4π2[,]333x +∈， ………………10分所以当 ππ232x +=，即 π12x =时，()f x 取得最大值2． ………………11分所以 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤ 等价于c ≤．故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c 的取值范围是)+∞． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． ………………1分因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥． ……………2分 所以⊥AB 平面EOD ． ………………3分 所以 ED AB ⊥． ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． …………5分因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1(0,0,1)O A B C D E -． 所以 )1,1,1(-=，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =． ………………7分 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ， 所以 ||3sin |cos ,|3||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==， 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为3． ………………9分 （Ⅲ）解：存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． ………………10分 证明如下：由 )31,0,31(31--==，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ． ………………12分 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．………………1分35310C 1(15)C 12P X =-==； 2155310C C 5(0)C 12P X ===； 1255310C C 5(15)C 12P X ===； 35310C 1(30)C 12P X ===． ………………5分乙得分的分布列如下：6分155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=． ………………7分 （Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()C ()()()555125P A =+=， ………………10分 511()12122P B =+=． ………………11分 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125P P A B =-⋅=-⨯=． ……13分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． ………………1分将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=． …………3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y ym +=，124y y =-． ① ………………4分 因为 2AF FB =，所以 122y y =-． ② ………………5分联立①和②，消去12,y y ，得4m =±． ………6分所以直线AB的斜率是±………………7分（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． ……………… 9分 因为 12122||||2AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅- ………………10分== ………………12分所以 0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． ………………13分 19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x=+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………3分（Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………4分 ① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………5分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x=，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-． ………7分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 0a =时不合题意．………………10分当0a >时，由（Ⅱ）得，)(x f 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a+∞单调递减，所以)(x f 在(0,)+∞上存在最大值21()0f a a=>． 设0x 为)(x f 的零点，易知2012a x a -=，且01x a<．从而0x x >时，()0f x >；0x x <时，()0f x <．若)(x f 在[0,)+∞上存在最小值，必有(0)0f ≤，解得11a -≤≤．所以0a >时，若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(0,1]． ………………12分当0a <时，由（Ⅱ）得，)(x f 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增，所以)(x f 在(0,)+∞上存在最小值()1f a -=-．若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值，必有(0)0f ≥，解得1a ≥，或1a ≤-．所以0a <时，若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(,1]-∞-． 综上，a 的取值范围是(,1](0,1]-∞-． ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：最佳排列3A 为110，101，100，011，010，001． ………………3分 （Ⅱ）证明：设512345A a a a a a =，则1551234()R A a a a a a =，因为 155(,())1t A R A =-，所以15||a a -，21||a a -，32||a a -，43||a a -，54||a a -之中有2个0，3个1．按512345a a a a a a →→→→→的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．但是5a 经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在5A ，使得155(,())1t A R A =-，从而不存在最佳排列5A ． ………………7分 （Ⅲ）解：由211221(0k k i A a a a a ++==或1,1,2,,21)i k =+，得12121122()k k k R A a a a a ++=， 2212211221()k k k k R A a a a a a ++-=，……2121342112()k k k R A a a a a a -++=， 22123211()k k k R A a a a a ++=．因为 2121(,())1(1,2,,2)ik k t A R A i k ++=-=，所以 21k A +与每个21()ik R A +有k 个对应位置数码相同，有1k +个对应位置数码不同，因此有12121221212||||||||1k k k k k a a a a a a a a k +-+-+-++-+-=+， 122212222121||||||||1k k k k k k a a a a a a a a k +-+--+-++-+-=+，……，132421212||||||||1k k a a a a a a a a k +-+-++-+-=+，1223221211||||||||1k k k a a a a a a a a k ++-+-++-+-=+．以上各式求和得， (1)2S k k =+⨯． ………………10分 另一方面，S 还可以这样求和：设12221,,...,,k k a a a a +中有x 个0，y 个1，则2S xy =． ………………11分 所以21,22(1).x y k xy k k +=+⎧⎨=+⎩ 解得,1,x k y k =⎧⎨=+⎩或1,.x k y k =+⎧⎨=⎩所以排列21k A +中1的个数是k 或1k +． ………………13分。

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题： 6. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212x y -= B ．22123x y -= C. 2214x y -= D. 221x y -=【答案】A二、填空题：于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 43200x y --=14. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作（13）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个．14x =-; 2θ2sin 2p AB =或()θθ22tan 1tan 2+p解：（Ⅰ）由△OMF 是等腰直角三角形，得1=b ，22==b a ，故椭圆方程为1222=+y x ． …………5分即()1212228x x k m x x ++-=． ………10分 所以42mk k m -=+，整理得 122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即k y =（21+x ）2-．所以直线AB 过定点（2,21--）． ………12分若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设00(,)A x y ，00(,)B x y -， 由已知0000228y y x x ---+=， 得012x =-．此时AB 方程为12x =-，显然过点（2,21--）． 综上，直线AB 过定点（2,21--）． ………13分【命题分析】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的相交问题等综合问题. 考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定.a b 、求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。

6.4 数列求和、数列的综合应用五年高考考点1 数列求和1．（2012大纲全国．5,5分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为 ( )101100.A 10199.B 10099.C 100101.D 2．（2011天津，4，5分）已知}{n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n s 为}{n a 的前n 项和，*,N n ∈则10S 的值为( )110.-A 90.-B 90.C 110.D3．（2013辽宁．14,5分）已知等比数列}{n a 是递增数列，n S 是}{n a 的前n 项和，若31,a a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S4．（2013重庆．12，5分）已知}{n a 是等差数列，,11=a 公差=/d n s ,0为其前n 项和，若521,,a a a 成等比数列，则8s =5．（2013湖南，15，5分）设n s 为数列}{n a 的前n 项和，=n s ,,21)1(⋅∈--N n a nn n则 =3)1(a=+++10021)2(S S S6．（2010上海，10）在n 行n 列矩阵中，记位于第i 行第J 列的数为).,,2,1(n j i a ij =、当n=9时，+++332211a a u =+99a7．（2013四川，16,12分）在等差数列}{n a 中，,831=+a a 且4a 92a a 和为的等比中项，求数列}{n a 的首项、公差及前n 项和．8．（2013浙江，1814分）在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知,101=a 且3215,22,a a a +成等比数列． (1)求;,n a d(2)若d<0，求.||||||||321n a a a a ++++智力背景蝴蝶效应（二） 这一天，Lorenz 想更避．步了解某段纪录的后续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果当时，电脑处理数据资料的速度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵．回来后，结果出来了，不过令他目瞪口呆，结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0:1000127，而这细微的差异却造成天壤之别，所以长期地准确预测天气是不可能的．9．（2012江西．16,12分）已知数列}{n a 的前n 项和221n s n -=kn +（其中*),N k ∈且n s 的最大值为8． (1)确定常数k ，并求,n a (2)求数列}229{nna -的前n 项和⋅n T 10.（2012湖北．18,12分）已知等差数列}{n a 前三项的和为-3，前三项的积为8．(1)求等差数列}{n a 的通项公式；(2)若132,,a a a 成等比数列，求数列|}{|n a 的前n 项和．11.（2011山东．20，12分）等比数列}{n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足：,ln )1(n n n n a a b -+=求数列}{n b 的前n 项和⋅n s考点2 数列的综合应用1．（2013课标全国112.5分）设n n n C B A ∆的三边长分别为,n a n n n n n C B A c b ∆,,的面积为.,3,2,1, =n s n 若1111,c b c b +>==+11,2n a a ,2,1n n n n a c b a +=+,21nn n a b c +=+则 ( ) }.{n s A 为递减数列 }.{n s B 为递增数列}{1~2n s C ⋅为递增数列，}{2n s 为递减数列}.{12-n s D 为递减数列，}{2n s 为递增数列2．（2012华约联盟自主招生．9）已知数列}{n a 的通项公式为n a ),321lg(2nn ++=n S n ,.2.1 =是数列 }{n a 的前n 项和，则=n S ( )0.A 3lg 31lg+++⋅n n B 2lg 2lg ++⋅n n C 3lg 11lg ++-⋅n n D 3．（2012卓越联盟自主招生．6）设}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，记}{},{n n b a 的前n 项和分别为⋅n n T S ,若==433,a b a ,4b 且,52435=--T T S s 则=++3535b b a a 4．（2012课标全国．16.5分）数列}{n a 满足=-++n n n a a )1(1,12-n 则}{n a 的前60项和为 5．（2011陕西．14,5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．6．（2013江西，17,12分）正项数列}{n a 的前n 项和n s 满足：2n S )1(2-+-n n .0)(2=+-n n s n(1)求数列}{n a 的通项公式,n a (2)令,)2(122nn a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为⋅n T 证明：对于任意的*,N n ∈都有⋅<645n T 7．（2013广东，19,14分）设数列}{n a 的前n 项和为⋅n s 已知1a 12,1+==n n a n s ,32312---n n .⋅∈N n(1)求2a 的值；(2)求数列}{n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有⋅<+++471.111n a a a 8．（2013湖北．22,14分）设n 是正整数，r 为正有理数． (1)求函数)1(1)1()1()(1->-+-+=+x x r x x f r 的最小值；(2)证明：;1)1(1)1(1111+-+<<+--++++r n n n r n n r r r r r 智力背景运筹学（一) 在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马的故事，这个故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效 果．可见，筹划、安排是十分重要的，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决，前者提供模型，后者提供理论和方法．(3)设,R x ∈记[x]为不小于x 的最小整数，例如][,2]2[π=⋅-=-=.1]23[,4 令,1258382813333++++= s 求[S]的值．（参考数据：≈≈≈≈34343434126,3.618124,5.35081,7.34480)7.6319．（2012大纲全国．22,12分）函数.32)(2--=x x x f 定义数列}{n x 如下：11,2+=n x x 是过两点))(,()5,4(n n n x f x Q p 、的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：;321<<≤+n n x x (2)求数列}{n x 的通项公式．10.（2012广东，19,14分）设数列}{n a 的前n 项和为,n s 满足*,,12211N n a S n n n ∈+-=++且321,5,a a a + 成等差数列． (1)求1a 的值；(2)求数列}{n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有⋅<+++2311121n a a a 11.（2012天津．18,13分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为}{,n n b S 是等比数列，且,211==b a.10,274444=-=+b S b a(1)求数列}{}{1n n b a 与的通项公式；(2)记*,,1211N n b a b a b a T n n n n ∈+++=- 证明=+12n T ⋅⋅∈+-)(102N n b a n n12.（2012陕西．17,12分）设}{n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为,n S 且435,,a a a 成等差数列． (1)求数列}{n a 的公比；(2)证明：对任意12,,,++⋅∈k k k S S S N k 成等差数列．13.（2012四川．20,12分）已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且n n s s a a +=22对一切正整数n 都成立．(1)求21,a a 的值；(2)设,01>a 数列}10{lg 1na a的前n 项和为⋅n T 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．14.（2010上海，20,13分）已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且n S .*,855N n a n n ∈--=(1)证明：}1{-n a 是等比数列；(2)求数列}{n s 的通项公式．请指出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由．智力背景运筹学（二） 运筹学的思想在古代就已经产生了，但作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最 优方法的选择安排，却晚多了，可以说，运筹学是在20世纪40年代才开始兴起的一门分支．运筹学主要 研究经济和军事活动中能用数量来表达的有关策划等方面的问题，当然，随着客观实际的发展，运筹学 的内容已经深入到日常生活中去了．运筹学可根据问题，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结 果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果.解读探究知识清单1．当已知数列}{n a 满足),(1n f a a n n =-+且++)2()1(f f )(n f + 可求，则可用① 求数列的通项⋅n a2．当已知数列}{n a 满足),(1n f a ann =+且.).2()1( f f ⋅)(n f 可求，则可用② 求数列的通项⋅n a3．等差数列前n 项和③=n s ④= ，推导方法：⑤等比数列前n 项和⎩⎨⎧≠===,1______,)8(_______)7(,1_______6q q S n ）（推导方法：错位相减法． 4．常见数列的前n 项和：=++++n 321)1(⑨⑩=++++n 2642)2(=-++++)12(531)3(n=++++2222321)4(n=++++3333321)5(n5．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和；(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (4)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 6．常见的拆项公式：;111)1(1)1(+-=+n n n n);121121(21)12)(12(1)2(+--=+-n n n n.111)3(n n n n -+=++【知识拓展】数列应用题的求解策略(1)构造等差、等比数列的模型（有时也会是其他较特殊的数列）． (2)运用相关概念、性质及求和公式进行运算．(3)通过“归纳一猜想一证明”的思路探索规律，并尝试应用规律解题，等价转化和分类讨论的思想方法在求解中起重要作用，复杂的数列问题总是要通过转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题来解决．·知识清单答案智力背景运筹学（三） 运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以 下几个步骤：确定目标、制订方案、建立模型、制定解法．虽然不大可能存在能处理极其广泛对象的运筹 学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题，随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用，运筹学本身也在不断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了.突破方法万法1错位相减求和例1 （2012吉林延边二模．17，12分）已知数列}{n a 的前n 项和为,3n n S =数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n n ().⋅∈N(1)求数列}{n a 的通项公式,n a (2)求数列}{n b 的通项公式;n b (3)若,n b a c nn n ⋅=求数列}{n c 的前n 项和⋅n T解题思路解析 ,3)1(n n s =),2(311≥=∴--n S n n⋅≥⨯=-=-=∴---)2(3233111n s s a n n n n n n （2分）当n=1时， ,32321111===/=⨯-a S⎩⎨⎧≥⨯==∴-.2,32,1,31n n a n n （4分） ),12()2(1-+=+n b b n n.32,,5,3,11342312-=-=-=-=-∴-n b b b b b b b b n n以上各式相加得=-+-=-++++=-2)321)(1()32(5311n n n b b n .)1(2-n.2,121n n b b n -=∴-= （8分）(3)由题意得 ⎩⎨⎧≥⨯-=-=-.2,3)2(2,1,31n n n c n n当n≥2时， +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-=3213223123023n T ,3)2(21-⨯-+n n （10分）-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-=∴n T n （232231230293432 ,3)2n ⨯相减得)2(232323262132--⨯++⨯+⨯+=--n T n n .3n⨯)3333(3)2(132-++++-⨯-=∴n n n n T⋅+-=--⨯-=233)52(2333)2(n n nn n⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-=∴.2,233)52(,1,3n n n T n n *).(233)52(N n n T n n ∈+-=∴ （12分）【方法点拨】1．用错位相减法求和时；应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出””与““n n qs s 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出”“n n qs S -的表达式． 2．利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和， 方法2裂项相消求和例 2 （2012陕西西安八校二模，侣．12分）已知等差数列}{n a 的公差为2，其前n 项和*).(22N n n pn s n ∈+=(1)求p 的值及,n a (2)若,)12(2nn a n b -=记数列}{n b 的前n 项和为,n T 求使109>n T 成立的最小正整数n的值．解题思路解析 (1)解法一：}{n a 是公差为2的等差数列，.)1(2221211n a n na d na S n -+=⨯+=+=∴ （2分） 又由已知,3,21,1,2112=∴=-=∴+=a a p n pn S n,12)1(1+=-+=∴n d n a a n .12,1+==∴n a p n （4分）解法二：由已知,44,2211+=+==p S p s a 即.23,44221+=∴+=+p a p a a （2分）又此等差数列的公差为,1,22,2,..212=∴=∴=-p p a a,321=+=∴p a,12)1(1+=-+=∴n d n a a n .12,1+==∴n a p n （4分）解法三：由已知,211+==p S a∴ 当n≥2时，-+--+=-=-n n p n pn s s a n n n (2)1([2221,22)]1+-=p pn,232+=∴p a （2分）由已知 ,1,22,212=∴=∴=-p p a a,12)1(,3211+=-+=∴=+=∴n d n a a p a n .12,1+==∴n a p n （4分）(2)由(1)知,121121)12)(12(2+--=+-=n n n n b n （6分）n n b b b b T ++++=∴ 321++-+-+-= )7151()5131()3111()121121(+--n n （8分） ⋅+=+-=1221211n nn （9分）,91820,109122,109+>∴>+∴>n n n n T n （10分）智力背景逻辑学的用处 有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用.爱因斯坦问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？” “当然是脏的那个，”学生说.“不对，脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡？”即,,29⋅∈>N n n 又 ∴ 使109>n T 成立的最小正整数n 的值为5． （12分）【方法点拨】 1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，将通项裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．2．-般情况如下，若}{n a 是等差数列，则=+11n n a a ),11(11+-n n a a d ⋅-=++)11(21122n n n n a a d a a 此外，根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和．3．常见的拆项公式：);11(1)(1)1(kn n k k n n +-=+);21121(21)12)(12(1)2(+--=+-n n n n];)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3(++-+=++n n n n n n n⋅-+=++)(11)4(n k n kkn n 三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：50分钟 分值：60分 一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013山东日照一模．10）已知数列}{n a 的前n 项和-=2n s n ,6n 则|}{|n a 的前n 项和=n T ( )26.n n A - 186.2+-n n B ⎩⎨⎧>+-≤≤-)3(186)31(6.22n n n n n n C ⎩⎨⎧>-≤≤-)3(6)31(6.22n n n n n n D2．（2012河南焦作4月模拟．4）已知数列}{n a 满足+=+211n a ,n n a a -且,211=a 则该数列的前2012项的和等于( )23015.A 3015.B 1509.C 2010.D 二、填空越（每题5分，共10分）3．（2013河南商丘二模．13）在等差数列}{n a 中，满足,7374a a =且n S a ,01>是数列}{n a 前n 项的和，若n s 取得最大值，则n=4．（2012江西盟校二联，13）下面给出一个“直角三角形数阵” 41 41,21 163,83,43 ……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为j i j i a ij ,,≥（*),N ∈则83a 等于三、解答题（共40分）5．（2013北京东城高三上学期期末）已知}{n a 为等比数列，其前n 项和为,n s 且*).(2N n a S n n ∈+=(1)求a 的值及数列}{n a 的通项公式；(2)若,)12(n n a n b -=求数列}{n b 的前n 项和⋅n T6．（2013安徽风阳二模，21）已知数列}{n a 的前n 项和为1,a s n -==n n a n S 2,21.,2,1),1( =-n n n (1)证明：数列}1{n s nn +⋅是等差数列，并求,n s (2)设,323n n s b n n +=求证：⋅<+++12521n b b b 7．（2013浙江嘉兴5月．19）已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且*).()12(2N n a n s n n ∈+-= (1)求证：数列}{n an ⋅是等比数列； (2)设数列}2{n n a 的前n 项和为++++= 321111,T T T A T n n ,1n T 试比较n A 与nna 2的大小． 智力背景数学老师收到的短信 忧愁是可微的，快乐是可积的，从现在起到正无穷的日子里，幸福是连续的， 且我对你们祝福的导数是严格大于零的，随着时间的前进趋向于正无穷．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：40分钟 分值：45分一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013江西南昌一模．7）已知等比数列}{n a 的各项均为不等于1的正数，数列}{n b 满足,12,18,lg 63===b b a b n n 则数列}{n b 的前n 项和的最大值等于( )2．（2013青海玉树3月，11）已知数列}{},{n n b a 满足21,1a a =,2,21==b 且对任意的正整数,,,,l k j i 当l k j i +=+时，都有,l k j i b a b a +=+则)(2013120131i i i b a +∑=（注： ++=∑=211a a a i n i )n a +的值为( )2012.A 2013.B 2014.C 2015.D二、填空题（每题5分，共10分）3．（2013北京海淀一模，14）设关于x 的不等式∈<-n nx x x (22*)N 的解集中整数的个数为,n a 数列}{n a 的前n 项和为,n s 则100S 的值为4．（2011四川成都五校联考．14）正项数列}{n a 中，,32=a 且n s *),(422N n p a a n n ∈++=则实数p= 三、解答题（共25分）5．（2013四川攀枝花二模．20）已知数列}{n a 为等比数列，其前n 项和为,n S 已知,16741-=+a a 且对于任意的+∈N n 有,n s 12,++n n s S 成等差数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)已知),(+∈=N n n b n 记++++= ||||||332211a b a b a b T n |,|nn a b 若)1()1(2--≤-n T m n n 对于n≥2恒成立，求实数m 的范围．6．（2013山东聊城二模．20）已知函数k x x f k (log )(=为常数，k>0且k≠1），且数列)}({n a f 是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列}{n a 是等比数列；(2)若),(n n n a f a b ⋅=当2=k 时，求数列}{n b 的前n 项和,n s(3)若,lg n n n a a c =问是否存在实数k ，使得}{n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．智力背景似是而非的数学 父：上次你考了20分，我打了你20下．看这次你考多少分，子：那这次您就别打我了．父：为什么？子：因为我考了0分，父：……——这真是个聪明的儿子，他发现了考试分数与被打数量之间的正比例函数关系．。

20 2 xy ２01２年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(北京卷)本试卷共5页，1５0分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一 、选择题共8小题,每题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{|320}A x R x =∈+>,{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->,则A B =(A)(,1)-∞- (B)2(1,)3-- （Ｃ）2(,3)3-(D)(3,)+∞ 【解析】和往年一样，依然是集合（交集）运算,本次考察的是一次和二次不等式的解法。

利用一次、二次不等式的解法2{|}3A x x =>-,{|13}B x x x =<->或并画出数轴图易得答案:D2.在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（A)(1,3) （B ）(3,1) （C)(1,3)- （D ）(3,1)-【解析】考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

因为10133ii i=++,实部为1,虚部为3,对应复平面上的点为(1,3) 答案：A 3.设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A)4π （B ）22π- (C ）6π(D ）44π-【解析】一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划,圆的概念和面积公式，几何概型。

题目中 表示的区域如右图正方形所示,而动点Ｄ可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分,因此所求概率是44π- ,答案:D 4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 (A)2 （B ）4 （Ｃ）8 （D ）１６【解析】考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻,以及简单整数指数幂的计算。

当ｋ＝3时 ，循环结束,此时输出的Ｓ为8,答案:Ｃ5．函数的零点个数为（A ）0 （Ｂ）1 （C)2 (D)3【解析】表面上考查的是零点问题，实质上是函数图象问题(单调性)的变种,该题所涉及到的图像为幂函数和指数函数混合运算后的零点,即令()0f x = 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}320,(1)(3)0A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A B =（ ） A.(,1)-∞- B.2(1,)3-- C.2(,3)3- D.(3,)+∞ 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C 【试题解析】23A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎭⎩，利用二次不等式的解法可得{3B x x =>或}1x <，画出数轴易得}{3A B x x =>. 2.在复平面内，复数10i 3i+对应的点坐标为 （ ） A. (1,3) B.(3,1) C.(1,3)- D.(3,1-)【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义.【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A【试题解析】10i 10i(3i)13i 3i (3i)(3i)-==++++，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A. 3.设0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩不等式组表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ） A.π4 B. π22- C. π6 D.4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率.【参考答案】D【试题解析】题目中0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224p ⨯-⨯-==⨯，故选D4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.2B.4 C ．8 D.16【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值.【参考答案】C【试题解析】0,11,12,23,8,k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==循环结束，输出的S 为8，故选C.5.函数121()()2xf x x =-的零点个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【测量目标】导函数的定义与应用.【考查方式】已知复合函数，求零点个数.【参考答案】B 【试题解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2x x =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .6. 已知}{n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ） A.1222a a a + B.2221322a a a +C.若则12a a = ,则132a a a +D.若31a a >，则42a a > 【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质.【参考答案】B【试题解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0,a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >⇒<⇒<，与D 选项矛盾。

2012年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一.选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合M={0, 1, 3}，N={x|x=3a, a∈M}，则集合M∩N=()A.{0}B.{0, 1}C.{0, 3}D.{1, 3}2. 已知i为虚数单位，则复数i(1−i)所对应点的坐标为（）A.(−1, 1)B.(1, 1)C.(1, −1)D.(−1, −1)3. “p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也木必要条件4. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A.i<20B.i>20C.i<10D.i>105. 已知直线l:x−y−1=0和圆C:{x=cosθy=1+sinθ(θ为参数，θ∈R)，则直线l与圆C的位置关系为（）A.直线与圆相交B.直线与圆相切C.直线与圆相离D.直线与圆相交但不过圆心6. 甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.12种B.16种C.24种D.48种7. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.60B.80C.100D.1208. 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的点M的个数是（）A.4B.8C.12D.16二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上）若(x+1x)n展开式中第二项与第四项的系数相等，则n=________；展开式中间一项的系数为________．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N∗都有S n=2a n−1，则a1的值为________，数列{a n}的通项公式a n=________．如图所示：圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，∠BAC=30∘，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线，垂足为D，则CD的长为________．已知O 是坐标原点，点A(−2, 1)，若点M(x, y)为平面区域{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，上的一个动点，则OA →⋅OM →的最大值为________．已知A 、B 、P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ⋅k PB =12，则该双曲线的离心率e =________．已知全集为U ，P ⊈U ，定义集合P 的特征函数为f P (x)={1,x ∈P0,x ∈C U P ，对于A ⊊U ，B ⊊U ，给出下列四个结论：①对∀x ∈U ，有f CU A (x)+f A (x)=1； ②对∀x ∈U ，若A ⊊B ，则f A (x)≤f B (x)； ③对∀x ∈U ，有f A∩B (x)=f A (x)⋅f B (x)； ④对∀x ∈U ，有f A∪B (x)=f A (x)+f B (x)． 其中，正确结论的序号是________．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.已知向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R)，设函数f(x)=m →⋅n →． （1）求函数f(x)的值域；（2）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若f(A)=13，BC =2√3，AC =3，求边长AB 的值．如图：四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB =90∘，PA ⊥平面ABCD ，PA =BC =1，AB =√2，F 是BC 的中点．（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ，使CG // 平面PAF ；（3）求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：45、34、23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为：12、23、56，所有考试是否合格相互之间没有影响． （1）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大；（2）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率；（3）用X 表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望EX ．已知函数f(x)=x −ln x ，g(x)=x +a 2x，（其中a >0）．（1）求曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；（2）若x =1是函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的极值点，求实数a 的值；（3）若对任意的x 1，x 2∈[1, e]，(e 为自然对数的底数，e ≈2.718)都有f(x 1)≤g(x 2)，求实数a 的取值范围．已知动圆过点M(2, 0)，且被y 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 的直线交曲线C 于A ，B 两点，若在x 轴上存在定点P(a, 0)，使PM 平分∠APB ，求P 点的坐标．对于定义域为A 的函数f(x)，如果任意的x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N ∗上，函数值也在N ∗中的严格增函数，并且满足条件f （f(k)）=3k ． （I ）证明：f(3k)=3f(k)；（II ）求f(3k−1)(k ∈N ∗)的值；（III ）是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2012年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）一.选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】将集合M中的元素0，1，3分别代入x=3a中计算，确定出集合N中的元素，得到集合N，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵合M={0, 1, 3}，N={x|x=3a, a∈M}，∴集合N中的元素为：0，3，9，即N={0, 3, 9}，则M∩N={0, 3}．故选C2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】先将z化为代数形式，确定好实部虚部，复数与复平面内点的对应关系得出对应的点的坐标．【解答】解：z=i(1−i)=i−i2=1+i，根据复数与复平面内点的对应关系，z对应的点为(1, 1)故选B．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查判断充要条件的方法，可以根据充要条件的定义判断，本题关键是复合命题真假的判断．【解答】解：由p且q是真命题知，p和q均为真命题，所以非p为假命题，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的充分条件；由非p为假命题知，p为真命题，但q真假不知，故无法判断p且q真假，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的不必要条件．故选A 4.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当条件满足时，用1n+s的值代替s得到新的s，并用n+2代替n、用i+1代替i，直到条件满足时，输出最后算出的s值．由此结合题意即可得到本题答案．【解答】解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到s=12，n=4，i=2；经过第二次循环得到s=12+14，n=6，i=3；经过第三次循环得到s=12+14+16，n=8，i=4；…看到S中最后一项的分母与i的关系是：分母=2(i−1)∴20=2(i−1)解得i=11时需要输出所以判断框的条件应为i>10．故选D．5.【答案】C【考点】圆的参数方程直线与圆的位置关系【解析】化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，和半径比较后即可得到结论．【解答】解：由{x=cosθy=1+sinθ(θ为参数，θ∈R)，得x2+(y−1)2=1．所以给出的圆C的圆心是(0, 1)，半径为1．又直线l:x−y−1=0，由点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离d=√12+(−1)2=√2>1．所以直线l与圆C的位置关系为相离．故选C．6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故只恰好有1门相同的选法有36−6−6=24种．故选C7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，其高为4，底面是一个等腰梯形，上下底边分别为2，8，高为4．据此即可得出体积‘【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，其高为4，底面是一个等腰梯形，上下底边分别为2，8，高为4．∴V=(2+8)×42×4=80．故选B．8.【答案】C【考点】椭圆的定义【解析】以椭圆G的一个顶点和一个焦点构成的线段的垂直平分线与椭圆的交点坐标都是满足条件的点M．【解答】解：设椭圆G:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，下顶点为B1，上顶点为B2，∵椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，∴A1F1、A1F2、A2F1、A2F2、B1F1、B2F1的垂直平分线与椭圆G的坐标都是满足条件的点M，∴满足条件的点M的个数是12个．故选C．二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上）【答案】4,6【考点】二项式定理的应用【解析】由题意可得C n1=C n3，故有1+3=n，求得n的值，从而求得展开式中间一项的系数【解答】解：若(x+1x)n展开式中第二项与第四项的系数相等，则得C n1=C n3，∴1+3=n，则n=4．展开式中间一项的系数为C42=6，故答案为4；6．【答案】1,2n−1【考点】数列递推式【解析】把n=1代入S n=2a n−1就可以求出a1的值；首先表示出s n−1，然后利用a n=s n−s n−1，即可求出通项公式．【解答】解：当n=1时，s1=2a1−1∴a1=1∵S n=2a n−1①∴s n−1=2a n−1−1②①-②得，a n=2a n−2a n−1∴a na n−1=2∴数列{a n}是以1为首项公比为2的等比数列∴数列{a n}的通项公式a n=2n−1故答案为1，2n−1．【答案】3√32【考点】与圆有关的比例线段【解析】连结BC，可得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，结合∠BAC=30∘且AB=6算出AC=3√3．由弦切角定理，得Rt△ADC中，∠DCA=∠B=60∘，从而算出CD=AC cos60∘=3√32，得到本题答案．【解答】解：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90∘∵∠BAC=30∘，AB=6，∴BC=12AB=3，AC=√32AB=3√3，∠B=60∘又∵直线CD切圆O于C，∴∠DCA=∠B=60∘因此，Rt △ADC 中，CD =12AC =3√32故答案为：3√32【答案】3【考点】 简单线性规划数量积的坐标表达式 【解析】首先画出可行域，z =OA →⋅OM →代入坐标变为z =x +2y ，即y =−2x +z ，z 表示斜率为−2的直线在y 轴上的截距，故求z 的最大值，即平移直线y =−2x 与可行域有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值即可． 【解答】解：如图所示：z =OA →⋅OM →=−2x +y ，即y =2x +z ，首先做出直线l 0:y =2x ，将l 0平行移动，当经过B(−2, −1)点时在y 轴上的截距最大，从而z 最大． 因为B(−2, −1)，故z 的最大值为z =2×2−1=3．故答案为：3．【答案】 √62【考点】 双曲线的特性 【解析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA ⋅k PB =12，即可求得结论． 【解答】解：由题意，设A(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)，则B(−x 1, −y 1)∴ k PA ⋅k PB =y 2−y 1x 2−x 1×y 2+y1x 2+x 1=y 22−y 12x 22−x 12∵ x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1，∴ 两式相减可得y 22−y 12x 22−x 12=b 2a 2∵ k PA ⋅k PB =12，∴ b 2a 2=12∴c 2−a 2a 2=12，∴c 2a 2−1=12∴ c 2a 2=32，∴ e =ca =√62故答案为：√62【答案】 ①、②、③ 【考点】全称命题与特称命题 【解析】利用特殊值法，先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案． 【解答】解：利用特殊值法进行求解．设U ={1, 2, 3}，A ={1}，B ={1, 2}．那么：对于①有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f C U A (1)=0，f C U A (2)=1，f C U A (3)=1．可知①正确； 对于②有f A (1)=1=f B (1)，f A (2)=0<f B (2)=1，f A (3)=f B (3)=0可知②正确；对于③有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f B (1)=1，f B (2)=1，f B (3)=0，f A∩B (1)=1，f A∩B (2)=0，f A∩B (3)=0．可知③正确；对于④有f A (1)=1，f A (2)=0，f A (3)=0，f B (1)=1，f B (2)=1，f B (3)=0，f A∪B (1)=1，f A∪B (2)=1，f A∪B (3)=0可知．④不正确. 故答案为：①、②、③．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 【答案】解：（1）∵ 向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R)∴ f(x)=m →⋅n →=2cos 2x2−1=cos x ， ∵ x ∈R ，∴ f(x)=cos x 的值域为[−1, 1]． （2） f(A)=cos A =13，由余弦定理BC 2=AC 2+AB 2−2AC ⋅AB ⋅cos A ∴ 12=9+c 2−2×3×c ×13，即c 2−2c −3=0 ∴ AB =c =3． 【考点】 余弦定理数量积的坐标表达式【解析】(I 利用向量的数量积公式，结合二倍角公式化简函数，即可求函数f(x)的值域；（2）利用余弦定理，建立方程，即可求c 的值． 【解答】解：（1）∵ 向量m →=(2cos x2,1)，n →=(cos x2,−1)，(x ∈R) ∴ f(x)=m →⋅n →=2cos 2x2−1=cos x ，∵ x ∈R ，∴ f(x)=cos x 的值域为[−1, 1]． （2） f(A)=cos A =13，由余弦定理BC 2=AC 2+AB 2−2AC ⋅AB ⋅cos A ∴ 12=9+c 2−2×3×c ×13，即c 2−2c −3=0 ∴ AB =c =3．【答案】（1） 证明：∵ 四边形是平行四边形，∴ ∠ACB =∠DAC =90∘， ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥DA ，又AC ⊥DA ，AC ∩PA =A ，∴ DA ⊥平面PAC ．（2）解：分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,0,0),B(1,−1,0),D(0,1,0),F(1,−12，0)，P(0,0,1) 设G 为PD 上一点，使CG // 平面PAF ，令PG →=λPD →=(0,λ,−λ)，(0≤λ≤√2)，GC →=PC →−PG →=(1,−λ,−1+λ) 设平面PAF 法向量为m →=(x,y,z) ∵ AP →=(0,0,1)，AF →=(1,−12,0) ∴ {z =0x −y 2=0∴ 可取平面PAF 法向量m →=(1,2,0)，要CG // 平面PAF ，∴ m →⋅GC →=0，解得λ=12． ∴ G 为PD 中点时，CG // 平面PAF ． （3）解：平面PCD 法向量为n →=(x′,y′,z′) ∵ PC →=(1,0,−1)，PD →=(0,1,−1)∴ {x′−z′=0y′−z′=0∴ 可取平面PCD 法向量n →=(1,1,1)， ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√155∴ 所求二面角的余弦值为√155． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 二面角的平面角及求法【解析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得AD ⊥AC ，再利用线面垂直的性质可得PA ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAF 法向量m →，要CG // 平面PAF ，可得m →⋅GC →=0，即可求得结论；（3）确定平面PCD 法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1） 证明：∵ 四边形是平行四边形，∴ ∠ACB =∠DAC =90∘， ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥DA ，又AC ⊥DA ，AC ∩PA =A ，∴ DA ⊥平面PAC ．（2）解：分别以AC ，AD ，AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,0,0),B(1,−1,0),D(0,1,0),F(1,−12，0)，P(0,0,1)设G 为PD 上一点，使CG // 平面PAF ，令PG →=λPD →=(0,λ,−λ)，(0≤λ≤√2)，GC →=PC →−PG →=(1,−λ,−1+λ) 设平面PAF 法向量为m →=(x,y,z) ∵ AP →=(0,0,1)，AF →=(1,−12,0) ∴ {z =0x −y 2=0∴ 可取平面PAF 法向量m →=(1,2,0)，要CG // 平面PAF ，∴ m →⋅GC →=0，解得λ=12． ∴ G 为PD 中点时，CG // 平面PAF ． （3）解：平面PCD 法向量为n →=(x′,y′,z′) ∵ PC →=(1,0,−1)，PD →=(0,1,−1) ∴ {x′−z′=0y′−z′=0∴ 可取平面PCD 法向量n →=(1,1,1)， ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√155∴ 所求二面角的余弦值为√155． 【答案】解：（1）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ， 则P(A)=45×12=25=3690，P(B)=34×23=12=4590，P(C)=23×56=59=5090 P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．__________ （2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ， ∴ P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C) =25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．__________ （3）由题意可得X =0，1，2，3．， 可得P(X =0)=15×14×13=160，P(X =1)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960，P(X =2)=45×34×13+45×14×23+15×34×23=2660，P(X =3)=45×34×23=2460__________ 故X 的分布列为：∴ EX =0×160+1×960+2×2660+3×2460=13360； __________【考点】离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式【解析】（1）记“甲、乙、丙获得合格证书”分别为事件A 、B 、C ，由独立事件的概率分别可得P(C)，P(B)，P(A)，比较大小可得结论；（2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ，可得P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C)，由独立事件和互斥事件的概率公式可得；（3）由题意可得X =0，1，2，3，分别可得可得其对应的概率，进而可得X 的分布列为和数学期望EX ． 【解答】解：（1）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ， 则P(A)=45×12=25=3690，P(B)=34×23=12=4590，P(C)=23×56=59=5090 P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．__________ （2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ， ∴ P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C) =25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．__________ （3）由题意可得X =0，1，2，3．，可得P(X =0)=15×14×13=160，P(X =1)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960， P(X =2)=45×34×13+45×14×23+15×34×23=2660，P(X =3)=45×34×23=2460__________ 故X 的分布列为：∴ EX =0×160+1×960+2×2660+3×2460=13360； __________【答案】解：（1）f(1)=1−ln 1=1，f′(x)=1−1x ，则f′(1)=0，即切线斜率为0， 故曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y −1=0⋅(x −1)，即y =1； （2）ℎ(x)=f(x)+g(x)=x −ln x +x +a 2x=2x +a 2x−ln x ，定义域为(0, +∞)，∴ ℎ′(x)=2−a 2x 2−1x =2x 2−x−a 2x 2，令ℎ′(1)=0，解得a 2=1， 又a >0，∴ a =1， 经验证a =1符合条件．（3）对任意的x 1，x 2∈[1, e]都有f(x 1)≤g(x 2)成立，等价于对任意的x ∈[1, e]都有f max (x)≤g min (x)成立， 当x ∈[1, e]时，f ′(x)=1−1x =x−1x≥0，∴ f(x)在[1, e]上单调递增，f max (x)=f(e)=e −1．∵ g ′(x)=1−a 2x 2=(x−a)(x+a)x 2，x ∈[1, e]，a >0，∴ ①若0<a≤1，g′(x)≥0，g(x)=x+a2x在[1, e]上单调递增，∴g min(x)=g(1)=1+a2，∴1+a2≥e−1，解得√e−2≤a≤1．②若1<a<e，当1≤x<a时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2<0，当a≤x≤e时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2≥0，∴g(x)在[1, a)上递减，在[a, e]上递增，g min(x)=g(a)=2a≥f max(x)=e−1，解得a≥e−12，又1<a<e，∴a∈(1, e)③当a≥e时，g′(x)=(x−a)(x+a)x2≤0，∴g(x)在[1, e]上递减，g min(x)=g(e)=e+a2e≥f max(x)=e−1，∴a2≥−e恒成立．综上所述a∈[√e−2，+∞)．【考点】导数求函数的最值函数在某点取得极值的条件利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出切点坐标，切线斜率f′(1)，由点斜式即可求得切线方程；（2）写出ℎ(x)及其定义域，求出ℎ′(x)，由题意得ℎ′(1)=0，解出a值再进行验证即可；（3）对任意的x1，x2∈[1, e]都有f(x1)≤g(x2)成立，等价于对任意的x∈[1, e]都有f max(x)≤g min(x)成立，利用导数易判断f(x)在[1, e]上单调，从而可求得其最大值；求出导数g′(x)=(x−a)(x+a)x2，分0<a≤1，1<a<e，a≥e三种情况进行讨论可得g min(x)，然后解不等式f max(x)≤g min(x)可求得a的取值范围；【解答】解：（1）f(1)=1−ln1=1，f′(x)=1−1x，则f′(1)=0，即切线斜率为0，故曲线y=f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y−1=0⋅(x−1)，即y=1；（2）ℎ(x)=f(x)+g(x)=x−ln x+x+a 2x =2x+a2x−ln x，定义域为(0, +∞)，∴ℎ′(x)=2−a2x2−1x=2x2−x−a2x2，令ℎ′(1)=0，解得a2=1，又a>0，∴a=1，经验证a=1符合条件．（3）对任意的x1，x2∈[1, e]都有f(x1)≤g(x2)成立，等价于对任意的x∈[1, e]都有f max(x)≤g min(x)成立，当x∈[1, e]时，f′(x)=1−1x =x−1x≥0，∴f(x)在[1, e]上单调递增，f max(x)=f(e)=e−1．∵g′(x)=1−a2x2=(x−a)(x+a)x2，x∈[1, e]，a>0，∴ ①若0<a≤1，g′(x)≥0，g(x)=x+a2x 在[1, e]上单调递增，∴g min(x)=g(1)=1+a2，∴1+a2≥e−1，解得√e−2≤a≤1．②若1<a<e，当1≤x<a时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2<0，当a≤x≤e时，则g′(x)=(x−a)(x+a)x2≥0，∴g(x)在[1, a)上递减，在[a, e]上递增，g min(x)=g(a)=2a≥f max(x)=e−1，解得a≥e−12，又1<a<e，∴a∈(1, e)③当a≥e时，g′(x)=(x−a)(x+a)x2≤0，∴g(x)在[1, e]上递减，g min(x)=g(e)=e+a2e≥f max(x)=e−1，∴a2≥−e恒成立．综上所述a∈[√e−2，+∞)．【答案】解：（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)．依题意，有22+|x|2=(x−2)2+y2，化简得y2=4x．所以动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．所以y1+y2=4m，y1y2=−8．若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，所以2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．将y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，得(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，所以a=−2．故定点P的坐标为(−2, 0)．解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，联立{y=k(x−2)y2=4x，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4，∵PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，∴k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，(a≠2)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将y1=k(x1−2)y2=k(x2−2)代入上式，整理得k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)(x1−a)(x2−a)=0，∴k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)=0整理得2x1x2−(x1+x2)(2+a)+4a=0，将x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4代入化简得a=−2，故定点P的坐标为(−2, 0)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题圆锥曲线的轨迹问题【解析】（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)，利用垂径定理和两点间的距离公式即可得到22+|x|2=(x−2)2+y2，化简即可．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．得到根与系数的关系y1+y2=4m，y1y2=−8．由PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得k PA+k PB=0．利用斜率计算公式可得y1x1−a +y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，即2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．把y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，即可得到a的值；解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．②当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，与抛物线方程联立，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，得到根与系数的关系x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4；由已知PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得k PA+k PB=0．以下类比解法1．【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为(x, y)．依题意，有22+|x|2=(x−2)2+y2，化简得y2=4x．所以动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．（2）解法1：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2−4my−8=0．所以y1+y2=4m，y1y2=−8．若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，则有y1x1−a +y2x2−a=0．将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得2my1y2+(2−a)(y1+y2)(my1+2−a)(my2+2−a)=0，所以2my1y2+(2−a)(y1+y2)=0．将y1+y2=4m，y1y2=−8代入上式，得(a+2)⋅m=0对任意实数m都成立，所以a=−2．故定点P的坐标为(−2, 0)．解法2：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，当过点M(2, 0)的直线斜率不存在，则l AB:x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P(a, 0)(a≠2)均满足PM平分∠APB，不合题意．当过点M(2, 0)的斜率k存在时(k≠0)，设l AB:y=k(x−2)，联立{y=k(x−2)y2=4x，消去y得k2x2−4(k2+1)x+4k2=0，△=32k2+16>0，x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4，∵PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，∴k PA+k PB=0．∵P(a, 0)，(a≠2)，则有y1x1−a+y2x2−a=0．将y1=k(x1−2)y2=k(x2−2)代入上式，整理得k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)(x1−a)(x2−a)=0，∴k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)=0整理得2x1x2−(x1+x2)(2+a)+4a=0，将x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4代入化简得a=−2，故定点P的坐标为(−2, 0)．【答案】解：(I)证明：∵对k∈N∗，f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=f(3k)①，由已知f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=3f(k)②，由①、②得f(3k)=3f(k)；（II）若f(1)=1，由已知f（f(k)）=3k得f(1)=3，矛盾；设f(1)=a>1，∴f（f(1)）=f(a)=3，③由f(k)严格递增，即1<a⇒f(1)<f(a)=3．，∴{f(1)≠1f(1)<3f(1)∈N∗，∴f(1)=2，由③有f（f(1)）=f(a)=3，故f（f(1)）=f(2)=3，∴f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3f(1)=6，f(6)=f(3⋅2)=3f(2)=9，f(9)=3f(3)=18，f(18)=3f(6)=27，f(27)=3f(9)=54，f(54)=3f(18)=81，…依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．下面用数学归纳法证明：（1）当k=1时，显然成立；（2）假设当k=l(l≥1)时成立，即f(3l−1)=2×3l−1，那么当k=l+1时，f(3l)=f(3×3l−1)=3f(3l−1)=3×2×3l−1=2⋅3l．猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对k∈N∗f(3k−1)=2×3k−1成立．（III）存在p=3k−1+1，当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．【考点】函数恒成立问题【解析】（I）证明：由f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=f(3k)①，再由f（f(k)）=3k，得f[f(f(k))]=3f(k)②，联立①②可得结论．（II）由已知易判断f(1)=1不成立，设f(1)=a>1，则f（f(1)）=f(a)=3③，由f(k)严格递增，可判断f(1)=2，且f(2)=3，由此可推得f(3)=6，f(9)=3f(3)=18，f(27)=54，…，依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．再用数学归纳法证明即可；（III）由已知及(I)(II)知：当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．【解答】解：(I)证明：∵对k∈N∗，f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=f(3k)①，由已知f（f(k)）=3k，∴f[f(f(k))]=3f(k)②，由①、②得f(3k)=3f(k)；（II）若f(1)=1，由已知f（f(k)）=3k得f(1)=3，矛盾；设f(1)=a>1，∴f（f(1)）=f(a)=3，③由f(k)严格递增，即1<a⇒f(1)<f(a)=3．，∴{f(1)≠1 f(1)<3f(1)∈N∗，∴f(1)=2，由③有f（f(1)）=f(a)=3，故f（f(1)）=f(2)=3，∴f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3f(1)=6，f(6)=f(3⋅2)=3f(2)=9，f(9)=3f(3)=18，f(18)= 3f(6)=27，f(27)=3f(9)=54，f(54)=3f(18)=81，…依此类推归纳猜出：f(3k−1)=2×3k−1(k∈N∗)．下面用数学归纳法证明：（1）当k=1时，显然成立；（2）假设当k=l(l≥1)时成立，即f(3l−1)=2×3l−1，那么当k=l+1时，f(3l)=f(3×3l−1)=3f(3l−1)=3×2×3l−1=2⋅3l．猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对k∈N∗f(3k−1)=2×3k−1成立．（III）存在p=3k−1+1，当p个连续自然数从3k−1→2×3k−1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k−1)=2×3k−1→f(2×3k−1)=3k．。

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{A x=∈R|320}x+>，{B x=∈R|(1)(3)0}x x+->，则A B=I（A）(,1)-∞-（B）2(1,)3--（C）2(,3)3-（D）(3,)+∞（2）设不等式组2,2xy⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）π4（B）π22-（C）π6（D）4π4-（3）设,a b∈R．“0a=”是“复数ia b+是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）2（B）4（C）8（D）16数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）（5）如图，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（A）CE CB AD DB⋅=⋅（B）CE CB AD AB⋅=⋅（C）2AD AB CD⋅=（D）2CE EB CD⋅=（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A）24（B）18（C）12（D）6（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n年的总产量nS与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11BA DCE正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（理）（北京卷）第2 页（共11 页）数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）科数学理注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i--===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形221332()224c P F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( )A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.（3，＋∝）2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A. B. C. D.3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 2B .4C.8D. 165.如图. ∟ACB=90º。

CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12D. 60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。

m值为（）A.5B.7C.9D.11第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。

每小题5分。

共30分.9.直线(t为参数)与曲线(“为多α数)的交点个数为10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则=11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b=12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 2 在复平面内，复数103i i +对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1)（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2（B ）4（C ）8（D ）16(5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+B）30+C）56+D）60+（8）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得弦长为__________。

（10）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1= ，S2=a3，则a2=____________，S n=_________________。

（11）在△ABC中，若a=3，b=，，则的大小为_________。