2018年高考数学考点通关练第一章集合与常用逻辑用语3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词试题理

2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教师用书文北师大版1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：【知识拓展】1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p、q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真；(2)p且q：p、q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p 且q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p 或q 是真命题．( √ ) (4)命题綈(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( × )1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且(綈q ) B ．(綈p )且q C ．(綈p )且(綈q ) D ．p 且q答案 A解析 命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p 且(綈q )为真命题，故选A.2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p 且q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 綈p 为真知p 为假，可得p 且q 为假；反之，若p 且q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p 且q 为假”的充分不必要条件，故选A. 3．(教材改编)下列命题中， 为真命题的是( ) A ．任意x ∈R ，－x 2－1<0 B ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 C ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．存在x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A4．设命题p ：任意x ∈R ，x 2＋1>0，则綈p 为( ) A ．存在x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．存在x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．存在x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．任意x ∈R ，x 2＋1≤0 答案 B解析 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“存在x 0∈R ，x 20＋1≤0”，故选B.5．(2015·山东)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且(綈q ) C ．(綈p )且qD ．p 且(綈q )(2)(2016·聊城模拟)若命题“p 或q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假 D ．p 假，q 假答案 (1)D (2)B解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p 且(綈q )是真命题．(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又p 或q 为真命题，∴q 为真命题．思维升华 “p 或q ”“p 且q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p 且q ”“p 或q ”“綈p ”等形式命题的真假．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p 且q ；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案 C解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知：①p且q为假命题；②p或q为真命题；③p且(綈q)为真命题；④(綈p)或q 为假命题，故选C.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2016·唐山模拟)命题p：存在x0∈N，x30<x20；命题q：任意a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图像过点(2,0)，则( )A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真(2)已知命题p：任意x∈R,2x<3x；命题q：存在x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(綈p)且qC．p且(綈q) D．(綈p)且(綈q)答案(1)A (2)B解析(1)∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题．∵f(x)的图像过点(2,0)，∴log a1＝0，对任意a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立．命题q为真命题．(2)容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图像，易知命题q为真命题．根据真值表易判断(綈p)且q为真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“存在x 0∈R ，使得x 20≥0”的否定为( ) A ．任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．任意x ∈R ，都有x 2≥0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≤0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0(2)(2015·浙江)命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )＞n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )＞n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)＞n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)＞n 0 答案 (1)A (2)D解析 (1)将“存在”改为“任意”，对结论中的“≥”进行否定，可知A 正确． (2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．(1)(2016·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin2x2＋cos2x2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(2016·福州质检)已知命题p ：“存在x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．存在x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．存在x 0∈R ，0e x－x 0－1>0 C ．任意x ∈R ，e x －x －1>0 D ．任意x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 (1)C (2)C解析 (1)C 选项中，当x >0时，x 2＋1－x ＝(x －12)2＋34>0，即x 2＋1>x 恒成立，∴C 正确．(2)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“任意x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C.题型三 含参数命题中参数的取值范围例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞)D ．(－∞，－12]答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)A 解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p 且q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.引申探究本例(2)中，若将“存在x 2∈[1,2]”改为“任意x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 [12，＋∞)解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．(1)已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“存在x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4] D．(－∞，－1)(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________．答案(1)C (2)(－∞，0)解析(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．1．常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题，几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下．解决这类问题应熟练把握各类内在联系．一、命题的真假判断典例1 (1)已知命题p：存在x0∈R，x20＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么( )A．綈p为假命题B．q为真命题C．p或q为假命题D．p且q为真命题(2)下列命题中错误的个数为( )①若p或q为真命题，则p且q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：存在x0∈R，x20＋x0－1<0，则綈p：任意x∈R，x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．A．1 B．2 C．3 D．4解析(1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x 2＋1≥2x ，所以p 为假命题； 对于命题q ，当m ＝0时，－1<0恒成立， 所以命题q 为假命题． 综上可知，綈p 为真命题，p 且q 为假命题，p 或q 为假命题，故选C.(2)对于①，若p 或q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p 且q 不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x 2－4x －5>0可得x >5或x <－1，所以“x >5”是“x 2－4x －5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据特称命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2，故选B.答案 (1)C (2)B 二、求参数的取值范围 典例2 (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1](2)(2016·郑州一模)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈[12，3]，存在x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤0 D ．a ≥0解析 (1)由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝2－xx ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2，由p 是q 的充分不必要条件，知k >2，故选B. (2)∵x ∈[12，3]，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0，故选C.答案 (1)B (2)C三、利用逻辑推理解决实际问题典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A．p或q B．p且q C．q D．綈p答案 B解析命题p假，q真，故命题p且q为假命题．2．下列命题中，真命题是( )A．任意x∈R，x2>0B．任意x∈R，－1<sin x<12x<0C．存在x0∈R,0D．存在x0∈R，tan x0＝2答案 D解析任意x∈R，x2≥0，故A错；任意x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；由y＝2x的图像可知任意x∈R,2x>0，故C错，D正确．3．(2016·西安质检)已知命题p：存在x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)>0答案 B解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：任意x ∈R ，log 2(3x＋1)>0，故选B.4．(2016·河北邯郸收官考试)已知p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0，q ：存在x 0∈(0，＋∞)，sinx 0>1，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或(綈q )B ．(綈p )或qC ．p 且qD ．(綈p )且(綈q )答案 A解析 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以命题p 是真命题；任意x ∈R ，sin x ≤1，所以命题q 是假命题，所以p 或(綈q )是真命题，故选A. 5．(2016·江西高安中学等九校联考)下列判断错误的是( ) A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少之一为假命题B ．命题“任意x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2－1>0” C ．“若a ∥c 且b ∥c ，则a ∥b ”是真命题 D ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的否命题是假命题 答案 C解析 选项A ，B 中的命题显然正确；选项D 中命题的否命题为：若am 2≥bm 2，则a ≥b ，显然当m ＝0时，命题是假命题，所以选项D 中命题正确；对于选项C 中的命题，当c ＝0时，命题是假命题，即选项C 中的判断错误，故选C.6．(2016·唐山检测)已知命题p ：任意x ∈R ，x 3<x 4；命题q ：存在x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝－2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且q C ．p 且(綈q ) D ．(綈p )且(綈q )答案 B解析 若x 3<x 4，则x <0或x >1，∴命题p 为假命题； 若sin x －cos x ＝2sin(x －π4)＝－2， 则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题，∴(綈p )且q 为真命题．7．已知命题“存在x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)答案 B解析 依题意可知“任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3，故选B. 8.(2016·湖南师大附中月考)函数f (x )＝ln x －xa(a >0)，若存在x 0∈R ，使得任意x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(0,1)∪(2，＋∞) 答案 D解析 由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1a(a >0)，当x ∈(0，a )时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；故f (x )max ＝f (a )，存在x 0∈R ，使得任意x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，即f (a )>f (x 1)对任意x 1∈[1,2]恒成立，故a ∉[1,2]，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)，选D.9．以下四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x 10∈Q ，x 20＝2；③存在x 0∈R ，x 20＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4答案 A解析 ∵x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．10．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________．答案 存在x 0∈A,2x 0∉B解析 命题p ：任意x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题， ∴綈p ：存在x 0∈A,2x 0∉B .11．(2016·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“任意x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (12，1)∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“任意x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“存在x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1， ∴实数a 的取值范围是(12，1)∪(1，＋∞)． 12．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )且p ”为真，则x 的取值范围是________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}．13．(2016·江西五校联考)已知命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p 且q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.14．已知命题p ：“任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1. 15.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若存在x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2, ＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若存在x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3]．。

第三讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】 1．简单的逻辑联结词（1）命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2.全称量词与存在量词(1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． （2）全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立"简记为∀x ∈M ，p (x ）．（3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p （x 0)．3．含有一个量词的命题的否定【教材改编】1．（选修2－1 P 22例1改编)下列命题是真命题的是( ) A ．所有素数都是奇数 B ．∀x ∈R,x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ,x 2是有理数 D ．∀x ∈Z，1x∉Z2．（选修2－1 P16例3(1)改编)有下列两命题：①2≥2；②2≥1，则下列正确的为（)A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假【答案】 A【解析】∵命题“2≥2”由命题p：2＝2，q：2＞2用“或”联结后构成的新命题，且p真q假，∴p∨q为真，即①真，同理②也真，故选A。

3．(选修2－1 P27 A组T3(3）改编)命题p：∃x0∈R，x2，0－x0＋1≤0的否定是（）A．∃x0∈R，x错误!－x0＋1＞0B．∀x∈R，x2－x＋1＞0C．∃x0∈R,x20－x0＋1≥0D．∀x∈R,x2－x＋1≤0【答案】 B【解析】∵命题∃x0∈M，p(x0）的否定是∀x∈M，﹁p(x)，故选B.4．(选修2－1 P27 A组T3（1）改编）命题p：∀x∈N，x2＞x3的否定是( ）A．∃x0∈N，x错误!＞x错误!B．∀x∈N,x2≤x3C．∃x0∈N，x2，0≤x30D．∀x∈N，x2＜x3【答案】 C【解析】∵命题∀x∈M,p（x)的否定是∃x0∈M，﹁p（x0)，故选C.5．(选修2－1 P18 B组T(3)（4）改编)命题p：2＞3，q:8＋7≠15，则“p∧q”的否定是( ）A．2≤3且8＋7＝15 B．2≤3或8＋7＝15C．2＞3或8＋7≠15 D．2≤3且8＋7≠15【答案】 B【解析】因为“p∧q”的否定是“(﹁p）∨(﹁q）”,故选B.【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断(1) 设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0,则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( ）A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧（綈q) D．p∧(綈q)【答案】 A【类题通法】1。

专题3 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词考点5 逻辑联结词考场高招1 “p ∨q ”“p ∧q ”“⌝p ”形式命题真假的判断步骤 1.解读高招2.典例指引1．（1）设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称,则下列判断正确的是( ) A．p 为真 B ．⌝q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真（2）已知命题:p 若y x >,则y x -<-；命题:q 若y x >,则22y x >.在命题①q p ∧；②q p ∨；③)(q p ⌝∧；④q p ∨⌝)(中,真命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】（1）C ；(2)C3.亲临考场1. (2014·重庆,文6)已知命题p ：对任意x ∈R ,总有|x |≥0,q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(⌝q )B ．(⌝p )∧qC ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∧q 【答案】A【解析】命题p 为真命题,命题q 为假命题,故⌝q 为真命题,所以p ∧(⌝q )为真命题． 2. (2016·福建厦门一模)已知命题p ：∃x ∈R ,cos x ＝54,命题q ：∀x ∈R ,x 2－x ＋1>0,则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(⌝q )是真命题C ．命题(⌝p )∧q 是真命题D ．命题(⌝p )∨(⌝q )是假命题 【答案】C3. （2017广东上学期阶段测评一）已知命题：2: 2sin 10p x R x x θ∀∈-+≥，；命题(): sin sin sin q R αβαβαβ∀∈+≤+，，.则下列命题中的真命题为（ ） A ．()p q ⌝∧ B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∨ D ．()p q ⌝∨ 【答案】B【解析】 ()()22222:2sin 1sin 1sin sin cos 0p x x x x θθθθθ-+=-+-=-+≥,∴p 为真命题.:q当54παβ==时,52παβ+=,()sin 1αβ+=,sin sin αβ+=∴()sin sin sin αβαβ+>+,∴q 为假命题,∴()p q ∨⌝为真命题.选B.4. (2017河北衡水一调)已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③)(q p ⌝∧；④)()(q p ⌝∨⌝． 则其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由22(2)4(1)440a a ∆=--⨯-=+>,所以方程2210x ax --=有两个实数根,所以命题p 是真命题；当0x <时,函数()4f x x x=+的取值为负值,所以命题q 为假命题,所以p q ∨,)(q p ⌝∧,)()(q p ⌝∨⌝是真命题,故选C ．考场高招2 利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围的规律 1.解读高招2.典例指引2.给定命题p:对任意实数x 都有ax 2+ax+1>0成立;q:关于x 的方程x 2-x+a=0有实数根.如果p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,那么实数a 的取值范围为 . 【答案】(-∞,0)∪3.亲临考场1.已知命题p ：∀x ∈R,x 2－a ≥0；命题q ：∃x 0∈R,x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－∞,－2]【解析】由已知条件可知p 和q 均为真命题,由命题p 为真得a ≤0,由命题q 为真得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0,即a ≤－2或a ≥1,所以a ≤－2.2.（2017河南濮阳二检）已知命题0:[1,3]p x ∃∈,00ln x x m -<；命题:q x R ∀∈,222x m +>.（1）若()p q ⌝∧为真命题,求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,求实数m 的取值范围.4.考场秘笈例 已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0,且a ≠1)的解集是{x |x <0},命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ,如果p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,则实数a 的取值范围为________________． 考生困惑：①不能根据条件确定p ,q 的真假；②不能准确列出关于a 的不等式或不等式组. 解惑绝招：第一步：求出每个命题是真命题时参数的取值范围.第二步：根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；根据 p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,所以p 和q 一真一假,“p 假q 真”或“p 真q 假”,第三步：根据命题的真假列出相关的不等式,从而求出参数的取值范围．根据“p 假q 真”或“p 真q 假”,得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，【解析】由关于x 的不等式a x>1(a >0,且a ≠1)的解集是{x |x <0},知0<a <1. 由函数y ＝lg(ax2－x ＋a )的定义域为R,知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,所以p 和q 一真一假,即“p 假q 真”或“p 真q 假”,故⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12,即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1,＋∞)．考点6 全称量词和存在量词高招3 对含有量词的命题进行否定的步骤 1.解读高招2.典例指引3.（1）(2016陕西西安质检)已知命题p:∃x∈R,log 2(3x+1)≤0,则( )A.p 是假命题;⌝ p:∀x∈R,log 2(3x+1)≤0 B.p 是假命题;⌝ p:∀x∈R,log 2(3x+1)>0C.p 是真命题; ⌝p:∀x∈R,log 2(3x+1)≤0 D.p 是真命题; ⌝p:∀x∈R,log 2(3x+1)>0（2）【2017广东郴州二测】若命题:p “020223xx R a a ∃∈-≤-，”是假命题,则实数a 的取值范围是________.【答案】（1）B ；（2）[1,2]3.亲临考场1.(2015课标Ⅰ)设命题p :∃n ∈N ,n 2>2n,则p 为( ) A .∀n ∈N ,n 2>2n B .∃n ∈N ,n 2≤2nC .∀n ∈N ,n 2≤2nD .∃n ∈N ,n 2=2n【答案】C【解析】∵p :∃n ∈N ,n 2>2n ,∴p :∀n ∈N ,n 2≤2n.故选C .2. (2015·湖北)命题“∃x 0∈(0,＋∞),ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∃x 0∈(0,＋∞),ln x 0≠x 0－1 B ．∃x 0∉(0,＋∞),ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0,＋∞),ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0,＋∞),ln x ＝x －1 【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题,改变原命题中三处即可得其否定：“∃”改为“∀”,“x 0”改为“x ”,“ln x 0＝x 0－1”改为“ln x ≠x －1”．即命题的否定是“∀x ∈(0,＋∞),ln x ≠x －1”． 3.(2014·福建)命题“∀x ∈[0,＋∞),x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞,0),x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞,0),x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0,＋∞),x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0,＋∞),x 30＋x 0≥0 【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题,故原命题的否定为∃x 0∈[0,＋∞),x 30＋x 0<0,故选C. 4. （2017云南大理一测）“2,0x R x x ∀∈-≥”的否定是（ ） A ．2,0x R x x ∀∈-< B ．2,0x R x x ∀∈-≤C ．2000,0x R x x ∃∈-≤D ．2000,0x R x x ∃∈-<【答案】D【解析】 因为全称命题的否定是特称命题,所以“2,0x R x x ∀∈-≥”的否定是“2000,0x R x x ∃∈-<”,故选D.5. （2017河北冀州一模）命题“[1,2]x ∀∈,20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤ C ．5a ≥ D ．5a ≤ 【答案】C高招4 全称命题与特称命题真假的判断方法 1.解读高招2.典例指引 4.下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0,＋∞),⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x0； p 2：∃x 0∈(0,1),031021log log x x >；p 3：∀x ∈(0,＋∞),x x 21log )21(>；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13,x x 31log )21(<.其中的真命题是( )A ．p 1,p 3B ．p 1,p 4C ．p 2,p 3D ．p 2,p 4 【答案】D3.亲临考场1．(2017·湖南四县联考)下列命题中,真命题是( ) A ．∃x 0∈R,e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x>x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．“a >1,b >1”是“ab >1”的充分条件【答案】D2．(2017·西安质检)已知命题p ：∃x 0∈R,log 2(3x 0＋1)≤0,则( ) A ．p 是假命题；⌝ p ：∀x ∈R,log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；⌝p ：∀x ∈R,log 2(3x＋1)>0 C ．p 是真命题；⌝p ：∀x ∈R,log 2(3x＋1)≤0 D ．p 是真命题；⌝p ：∀x ∈R,log 2(3x＋1)>0 【答案】B【解析】∵3x >0,∴3x ＋1>1,则log 2(3x ＋1)>0,∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R,log 2(3x＋1)>0.故选B. 3．有下列四个命题,其中真命题是( ) A ．∀n ∈R,n 2≥nB ．∃n ∈R,∀m ∈R,m ·n ＝mC ．∀n ∈R,∃m ∈R,m 2<n D ．∀n ∈R,n 2<n 【答案】B【解析】对于选项A,令n ＝12即可验证其为假命题；对于选项C 、选项D,可令n ＝－1加以验证,均为假命题,故选B.4．命题p ：∃x ∈N,x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1,＋∞),函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0),则( ) A ．p 假q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 假 D ．p 真q 真【答案】A【解析】∵x 3<x 2,∴x 2(x －1)<0,∴x <0或0<x <1,故命题p 为假命题,易知命题q 为真命题,选A. 高招5 解决含有量词的命题的参数问题的方法 1. 解读高招B≠∅(x1)=g(x2),等价是函数g(x)在),等价于2.典例指引5(1)已知函数f(x)=,g(x)=a sin x-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a 的取值范围是;(2)已知函数f(x)=x2+2x+a和g(x)=2x+,对任意x1∈[-1,+∞),总存在x2∈R使g(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是;(3)已知函数f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,对任意的x1,x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立,则实数m的取值范围是;(4)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.【答案】(1)(2)(-∞,-1](3)(-∞,0)(4)(2)因为f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,所以f(x)∈[a-1,+∞).因为g(x)=2x+在[-1,+∞)上单调递增,所以g(x)∈[-2,+∞).由题意得a-1≤-2,所以a≤-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1].(3)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,当x∈[1,4]时,f(x)min=f(1)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则f (x )min >g (x )max ,即2>2+m ,解得m<0,故实数m 的取值范围是(-∞,0).(4)当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0,当x ∈[1,2]时,g (x )min =g (2)=-m ,由f (x )min ≥g (x )min ,得0≥-m ,所以m ≥.3.亲临考场1.(2017·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ,g (x )＝2x＋a ,若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1,∃x 2∈[2,3],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,1]B ．[1,＋∞)C ．(－∞,2]D ．[2,＋∞)【答案】A2. (2016江西五校联考)已知命题p:∃x∈R,(m+1)(x 2+1)≤0,命题q:∀x∈R,x 2+mx+1>0恒成立.若p∧q 为假命题,则实数m 的取值范围为( ) A.m≥2 B.m≤-2或m>-1 C.m≤-2或m≥2 D.-1<m≤2【答案】B【解析】由命题p:∃x∈R,(m+1)(x 2+1)≤0可得m≤-1,由命题q:∀x∈R,x 2+mx+1>0恒成立,可得-2<m<2,因为p∧q 为假命题,所以m≤-2或m>-1,故选B.3.若命题“∀x ∈R,ax 2－ax －2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是________． 【答案】[－8,0]【解析】当a ＝0时,不等式显然成立；当a ≠0时,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0.综上,－8≤a ≤0.4.已知命题p ：∀x ∈R,x 2－a ≥0；命题q ：∃x 0∈R,x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－∞,－2]【解析】由已知条件可知p 和q 均为真命题,由命题p 为真得a ≤0,由命题q 为真得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0,即a ≤－2或a ≥1,所以a ≤－2.。

第一章错误!集合与常用逻辑用语第一节集合本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念;2。

集合间的基本关系；3。

集合的基本运算.突破点(一）集合的基本概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的有关概念（1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.（3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数）或已知元素个数求参数［例1](1))A．1 B．3C．5 D．9（2）若集合A＝｛x∈R|ax2－3x＋2＝0｝中只有一个元素，则a＝(）A.错误!B。

错误!C．0 D．0或错误!［解析］(1）∵A＝｛0，1，2},∴B＝｛x－y｜x∈A，y∈A｝＝｛0,－1，－2，1，2}．故集合B中有5个元素．(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时,Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝错误!。

故a＝0或错误!.［答案］（1)C（2）D［方法技巧]求元素(个数）的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A，B，求集合C＝｛z|z＝x＊y,x∈A，y∈B}(或集合C的元素个数),其中‘*’表示题目设定的某一种运算"．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*"，一一列举x，y的可能取值(应用列举法和分类讨论思想）,从而得出z的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素,即得该集合元素的个数．元素与集合的关系［例2](1)设集合A＝｛2,3,4｝，B＝{2,4，6｝，若x∈A，且x∉B，则x＝()A．2 B．3 C．4 D．6（2)(2017·成都诊断)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m},若3∈A，则m的值为________．［解析］（1）因为x∈A，且x∉B，故x＝3.(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。

(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定2．量词及含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示。

②含有全称量词的命题，叫做全称命题。

“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)。

③含有存在量词的命题，叫做特称命题。

“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)。

(2)含有一个量词的命题的否定微点提醒1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”。

因此，可以借助集合的“并、交、补”的意义来求解“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题。

2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q见真即真，p∧q见假即假，p与綈p真假相反。

3．全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题)。

其真假性与原命题相反。

要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”。

小|题|快|练一、走进教材1．(选修1－1P26A组T3改编)命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是( )A．∃x0∈R，x20＋x0≤0B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x<0【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。

故选B。

【答案】 B2．(选修1－1P18A组T1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。

故选B。

【答案】 B二、双基查验1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1【解析】全称命题的否定规律是“改变量词、否定结论”，“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1。

2018年高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课时达标3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 理[解密考纲]本考点考查命题及其相互关系，全称命题和特称命题的互化，尤其是后者，频繁出现在高考题中，常以选择题、填空题的形式呈现．一、选择题1．已知命题p ：对任意x >0，总有e x≥1，则¬p 为( B ) A ．存在x 0≤0，使得e x 0<1 B ．存在x 0>0，使得e x 0<1 C ．对任意x >0，总有e x<1D ．对任意x ≤0，总有e x<1解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：对任意x >0，总有e x≥1的否定¬p 为：存在x 0>0，使得e x 0<1.故选B ．2．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( D ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧¬q ”是假命题 C ．命题“(¬p )∨q ”是真命题 D ．命题“(¬p )∧(¬q )”是假命题解析：取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D 是正确的．3．(2017·河南模拟)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a 2－2(a ≠0)，g (x )＝－e x－1e x ，则下列命题为真命题的是( B )A ．∀x ∈R ，都有f (x )＜g (x )B ．∀x ∈R ，都有f (x )＞g (x )C ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)＜g (x 0)D ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)解析：函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a 2－2＝(x －a )2＋a 2－2≥a 2－2>－2，g (x )＝－e x－1ex ＝－⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ≤－2，显然∀x ∈R ，都有f (x )>g (x )，故选B ． 4．命题“存在x ∈R ，使x 2＋ax －4a ＜0为假命题”是命题“－16≤a ≤0”的( A ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：依题意，知x 2＋ax －4a ≥0恒成立，则Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0，故选A ．5．(2016·山东枣庄模拟)命题p ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若¬p 是真命题，则实数a 的取值范围是( D )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：命题p 的否定是¬p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0成立，即ax 2＋ax ＋1<0成立是真命题．当a ＝0时，1<0，不等式不成立；当a >0时，要使不等式成立，须a 2－4a >0，解得a >4或a <0，即a >4；当a <0时，不等式一定成立，即a <0.综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)，故选D ．6．(2016·河南开封一模)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x>2x，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( C )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 在R 上是增函数，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤2，所以命题p 2是假命题，¬p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(¬p 2)是真命题，故选C ．二、填空题7．(2017·四川模拟)已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝0.解析：若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0.8．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 解析：由题可知“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.9．给出下列命题：①函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋x 是偶函数；②函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象的一条对称轴方程为x ＝π8；③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时，f ′(x )＞g ′(x )；④若∀x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则4是该函数的一个周期；其中真命题为①③④.(写出所有真命题的序号)解析：对于①，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋x ＝－cos x 是偶函数，正确；对于②，把x ＝π8代入2x ＋π4，有2×π8＋π4＝π2，而cos π2＝0，故x ＝π8不是函数图象的一条对称轴方程，错误；对于③，根据函数的奇偶性和导数与函数单调性的关系，可以得出，当x <0时，有f ′(x )>0，而g ′(x )<0，故x <0时，f ′(x )>g ′(x )，正确；对于④，令x ＝x ＋2，可以得到f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据周期的定义，可知4是该函数的一个周期，正确．三、解答题10．设命题p ：函数f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ；命题q ：任意m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立；如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：f (x )＝lg(x 2－4x ＋a 2)的定义域为R ⇒Δ＝16－4a 2<0⇒a >2或a ＜－2.命题q ：∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[2 2 ,3]．∵对任意m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立， ∴只须满足a 2－5a －3≥3，解得a ≥6或a ≤－1.∵命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，则p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2或a ＜－2，－1＜a ＜6⇒2＜a ＜6；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，a ≤－1或a ≥6⇒－2≤a ≤－1，综上，a 的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)．11．(2017·湖北孝感调研)命题p ：在f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q ：正数x ，y 满足x ＋2y ＝8，且a ≤2x ＋1y恒成立，若p ∨(¬q )为假命题，求实数a 的取值范围．解析：当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ≤2，解得－1≤a ≤0； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1≤2，解得0<a <1； 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ≤2，解得1≤a ≤2. 所以使命题p 为真的a 的取值范围是a ∈[－1,2]． 由x ＋2y ＝8，得x 8＋y4＝1，又x ，y 都是正数，所以2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 8＋y 4＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 8y ＋y 2x ≥12＋2x 8y ·y2x＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 8y ＝y 2x ，x ＋2y ＝8即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时等号成立，故⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1ymin ＝1.因为a ≤2x ＋1y恒成立，所以a ≤1，所以使命题q 为真的a 的取值范围是a ∈(－∞，1]．因为p ∨(¬q )为假命题，所以p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，a ≤1，则a <－1，故a 的取值范围是(－∞，－1)．12．(2017·河北衡水调研)已知a ∈R ，命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解析：(1)因为命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，令f (x )＝x 2－a ，根据题意，只要x ∈[1,2]时，f (x )min ≥0即可，也就是1－a ≥0⇒a ≤1，即a 的取值范围是(－∞，1]．(2)由(1)可知，命题p 为真时，a ≤1，命题q 为真时，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≤－2或a ≥1.因为命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2＜a ＜1⇒－2＜a ＜1，当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤－2或a ≥1⇒a ＞1.综上，实数a 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．。

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第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为（）A.所有的指数函数都不是单调函数B.所有的单调函数都不是指数函数C.存在一个指数函数，它不是单调函数D。

存在一个单调函数，它不是指数函数解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数,它不是单调函数.答案C2.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称。

则下列判断正确的是（)A。

p为真 B.綈p为假C.p∧q为假D.p∧q为真解析p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假。

答案C3。

2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（)A.（綈p)∨（綈q)B.p∨（綈q)C.(綈p）∧（綈q）D。

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。