2012年北京各区县二模试题分类几何综合解析版

二、[教学重点] 1．了解作者留学日本的情况、与藤野先生的交往和本文的写作背景。

2．把握课文的组织结构，理解课文的思想内容。

三、[教学难点] 掌握本文通过典型事例突出人物品质的写法 五、[教学过程] 第一课时 [教学内容] 了解背景，学习词语，初读课文。

[教学环节] 一、导入新课 学过了《从百草园到三味书屋》这篇散文，我们了解到三味书屋中的老先生虽然施行的是封建书塾教育，但思想还算开明，因此，鲁迅对他“很恭敬”。

虽是“很恭敬”，但并不是很有感情。

藤野先生是鲁迅在日本仙台学医时的一位日本医专的教授，他是一位怎样的老师呢？鲁迅对他的感情又是如何呢？让我们一起走访《藤野先生》吧！ 二、简介作者、藤野先生和作品的写作背景。

三、学生默读课文，疏通有关阅读障碍 要求：1．标注出难字难词。

2．注意：文章变换了几个地点? 3．划分文章的段落层次，并说说各部分的大意。

学生默读后，讨论明确： 1．需要注意的字词列举如下： （多媒体展示） 绯(fēi)红：鲜红。

会馆：旧时同乡或同业的人在京城、省会或大商埠设立的寄寓和机构。

流言：流传的毫无根据的坏话。

瞥(pīe)见：很快地看一下。

畸(jī)形：不正常的形状。

遗民：a．留下的在国外的人；b．改朝换代后仍效忠前一朝代的人；c．大乱后遗留下来的 人民。

不逊(Xùn)：不客气；无礼貌；骄傲、蛮横。

美其名曰：(把不美的事物)美化它的名字叫。

四、学习课文第一部分 1．学生自由朗读第一部分内容。

2．思考：(1)请标出最能表现清国留学生丑态的词语和句子。

(2)对于这些清国留学生，“我”是持什么态度?哪些词语表明了“我”的态度? (3)从“我”的态度，可以看出作者的什么思想? 表达了作者对东京“清国留学生”的恶浊生活的憎恶、失望和不满，强有力地讽刺了这些顽固维护清王朝统治的“遗少”，强烈表达了作者对他们的极端憎恶的感情。

3．找出人物外貌、语言描写的语句，体现了人物什么特点。

一、集合（必修一）
1.（2012年朝阳二模文）设集合，则（ D ）
A．B．C．D．
2.（2012年丰台二模文9）已知集合A =｛x｜2x-x2>0｝，B =｛x｜x>1｝，则______．
答案：。

3.（2012年昌平二模文1）若集合,，则（ B ）
A.{}
B. {}
C. {}
D. {}
4.（2012年东城二模文1）若集合，且，则集合可能是（ A ）
A． B. C. D.
六、不等式（必修五）
1.（2012年西城二模文12）已知函数是上的偶函数，则实数
_____；不等式的解集为_____．
答案：，。

2.（2012年昌平二模文6）爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为，下山的速度为（），乙上下山的速度都是（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间的关系为（ A ）
A． B. C. D. 不能确定
七、常用逻辑用语（选修2-1）
1.（2012年朝阳二模文3）如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（ C ）
A．命题“或”是假命题B．命题“或”是假命题
C．命题“且”是真命题D．命题“且”是真命题
2.（2012年昌平二模文2）“” 是“垂直”的（ C ）
A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.（2012年海淀二模文2）已知命题：，. 则为（ D ）
A．， B. ，
C. ，
D. ，
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1．运用多种修辞方法，表达思想感情，增强气势。

2．品味语言，理解语言中所包含的深意。

教学时数：一课时。

教学过程 一、预习 1．给下列加点字注音。

（多媒体显示） 伫立(zhu4) 睥睨(pi4 ni4) 咆哮(xiao4) 波澜(lan2) 污秽(hui4) 犀利(xi1) 劈开(pi1) 稽首(qi3) 驰骋(cheng3)虐待(nüe4) 2．解释下列词语。

睥睨：眼睛斜着看，形容高傲的样子。

污秽：不干净。

犀利：(武器、言语等)锋利；锐利。

播弄：摆布。

虐待：用残暴狠毒的手段待人。

雷霆：雷暴；霹雳。

踌躇：犹豫。

鞭挞：鞭打。

比喻抨击。

祈祷：一种宗教仪式，信仰宗教的人向神默告自己的愿望。

忏悔：认识了过去的错误或罪过而感觉痛心。

罪孽：迷信的人认为应受到报应的罪恶。

拖泥带水：比喻说话、写文章不简洁或做事不干脆。

二、导入 介绍历史尉《屈原》写作的时代背景。

郭沫若历史剧《屈原》写于1942年1月。

当时是抗日战争后期，日本帝国主义侵占了中国的半壁河山。

1942年1月，时值“皖南事变，，以后，郭沫若在重庆创作了《屈原》，借古讽今，揭露国民党统治下的黑暗现实。

他借屈原的独自，鞭挞蒋介石的反动统治，抒发了人民的愤恨。

《雷电颂>出现在《屈原》第五幕第二场。

屈原被囚禁在东皇太一庙。

他手足带着刑具，颈上系着长链，散发披肩，独身徘徊。

这时，狂风咆哮，电闪雷鸣。

面对这黑暗的世界，他想到祖国就要沦亡，听着风吼、雷鸣，看着闪电劈空，他感到了大自然的伟大力量，他激愤的心情发展到极点，他的心像火一样燃烧起来，铸成了这大气磅礴，动人心魄的独自——《雷电颂》。

它是屈原斗争精神的最集中、最突出的表现。

是全剧高潮中最强力的一个音符。

三、朗读课文 课文在形式上并不押韵，但节奏分明，声调铿锵有力，要求学生反复朗读，品味文章语言，体会文章气势，并谈感受。

四、再读课文，理清思路 学生讨论、交流。

明确： 《雷电颂》这段独白，大致包含两方面的内容：一是对风、雷、电的期待与歌颂，一是对光明的渴望与追求。

2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.（1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形. ∴NG = NC ，DG = CM . …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º， ∴∠NGD =∠3.∴△NGD ≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM . ∴∠DNM =∠GNC = 60º.∴△DMN 是等边三角形.………………………………4分 （2）连接QN 、PM .∴QN =21CE= PM . ……………………5分 Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5. ∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8.∴∠QND = ∠PMD . ………………………6分 ∴△QND ≌△PMD .∴DQ = DP . ……………………7分NM D EF A B C67854PQ NMDEFABCC321GNMD EFAB2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图224．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠ ∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分3.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论. AEFPB D CCE BAD F P 7654321NMCD B PFEAF A ( M ) D N D AA C E D NMB FEC B F N M E C B图1 图2 图325. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM=22.证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°．……………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°.∴ BN ⊥NE ． ……………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，2.CFCD.于是122.2CF CE CE CE BM BA CDCD…………4分 （2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN . ∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN . ∴ ∠BEG =90°． ……………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°．HGA BC DEM N F 321GFEA (M )CD NB∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ． 由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°． ∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -HD =CH=2CE ， ∴CE BM=22. ……………………7分 （3）BN ⊥NE ；CEBM不一定等于22. ……………………8分密云25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =，且112302ADC ∠=∠=∠=． ∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===． ∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------- 3分 （2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上． 证明：如图2：分别连结PE 、P A ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ． 则90PQE PHD ∠=∠=∵60ADC ∠=， ∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=． 又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=． ∴αβ∠=∠． ∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠， ∴ 点P 落在对角线DB 所在直线上--- 6分 ②112DM DN+=． ---------------------- 8分 旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。

门头沟2012.63. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是昌平2012.62．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是AB C D朝阳2012.64．如图，直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α等于A. 19°B. 38°C. 42°D. 52°平谷2012.63．如图，□ABCD 的一个外角∠DCE =70°, 则∠A 的度数是 A ．110° B ．70° C ．60° D ．120°房山2012.65．如图所示，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM ⊥b ，垂足为点M ，若∠1=58°，则∠2的度数是（ ）．A .22B .30C .32D .42Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．mn BE第5题图2a bc MB A 1平谷2012.65．正八边形的每个内角为A．120°B．135°C．140°D．144°门头沟2012.64. 五边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.900°石景山2012.66．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8西城2012.67．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为A . 4 B. 6 C. 8 D. 10东城2012.65. 如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形房山2012.63．若一个正多边形的每个内角都为135°，则这个正多边形的边数是（）.A.9B.8C.7D.6昌平2012.66．如图，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的内孔直径AB长为A．30 B．20 C．10 D．5大兴2012.64．如图，在△ABC中，D、Ｅ分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC为A．2.5 B．10 C．12 D．25丰台2012.6EDCBA 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．19西城2012.64．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E 若35AD DB =，AE =6，则EC 的长为 A . 8 B. 10 C. 12 D. 16门头沟2012.610. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若32=BD AD ，AE =3，则AC = .东城2012.67. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为A ．1B ．2C ．3D ．4顺义2012.610．如图，□ABCD 中，E 是边BC 上一点，AE 交BD 于F ，若2BE =，3EC =，则BF DF的值为 ．昌平2012.6 11．已知一个菱形的周长是20，两条对角线的长的比是4∶3，则这个菱形的面积是 ．西城2012.610．若菱形ABCD 的周长为8，∠BAD =60°，则BD = ．石景山2012.63．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120︒ 的F EDCBAEDCBA菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒大兴7．中，AB ∥DC ，AD=DC=CB ， 若∠ABD ＝25°，则∠BAD 的大小是A ．30°B ．50°C ．45°D ．60°平谷2012.619．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A =150°∠D =90°，AD =4，AB =6，CD =34．求四边形ABCD 的周长．延庆2012.6 17．（本题满分5分）已知：如图，在四边形A B C D 中，60=∠C ，135=∠DAB ,8=BC ，62=AB求DC 的长．石景山2012.619．如图，梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠B =30º．折叠纸片使BC 经过点A ，点B 落在点B ’处，EF 是折痕，且BE =EF =4，AF ∥CD ． （1）求∠BAF 的度数； （2）当梯形的上底AD 多长时，线段DF 恰为该梯形的高？ 解：顺义2012.619．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长DCBA AB DE B '第3题图 FED CBA线上的点，且EB=AB ，DE 与AB 相交于点F ， AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．燕山2012.619. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=CD=BC ，AC ⊥BC ， AB=6cm ，求AC 的长.东城2012.620． 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．门头沟2012.619.已知：如图，四边形ABCD 中，BC =CD =DB ，∠ADB =90°，sin ∠ABD =54，S △BCD =39. 求四边形ABCD 的周长.丰台2012.619．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．西城2012.617. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，CD 的中点.(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)若∠A =60°，AB =2AD =4，求BD 的长.通州2012.619．已知相邻的两根电线杆AB 与CD 高度相同，且相距BC =50m ．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E 架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45°、23°，已知测角仪EF 高1.5m ，请你帮他算出电线杆的高度．（精确到0.1m ，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.43） 显示解析DCBA MEBCDA大兴2012.619．甲、乙两人同时从某地A 出发，甲以60米/分钟的速度沿北偏东30°方向行走，乙沿北偏西45° 方向行走，10分钟后甲到达B 点，乙正好到达甲的正西方向 的C 点，此时甲、乙两人之间的距离是多少米？密云2012.620．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB ⊥于E ．设CD ＝CBAD ＝9，AB ＝15． 求B ∠的余弦值及AC 的长．房山2012.619．如图1，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形． ⑴求证：四边形ABCD 是菱形；⑵如图2，若2AED EAD ∠=∠，AC =6．求DE 的长．AB A图1 图2 证明：⑴ ⑵17．如图，某场馆门前台阶的总高度CB 为0.9m ，为了方便残疾人行走，该场馆决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角A ∠为8°，请计算从斜坡起点A 到台阶最高点D 的距离（即斜坡AD 的长）.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 8°≈0.139,cos 8°≈0.990,tan 8°≈0.141）C ABD解：朝阳2012.621．如图，港口B 在港口A 的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A 出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B 出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C 处，同时快艇到达D 处，测得D 处在C 处的北偏东60°的方向上，且C 、D 两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：414.12≈，732.13≈，236.25≈）朝阳2012.618．如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积.昌平2012.619．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4．过点A 作A E ⊥AB 且AB =AE ，过点E 分别作E F⊥AC ，ED ⊥BC ，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC =5，求四边形ABDE 的周长．E FDA BC19．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60︒方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30︒方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60︒方向．现要在主输气管道AC 上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．(1)问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区铺设的管道最短？(2)求∠AMC的度数和AN的长.。

十一、统计、概率、随机变量及其分布（必修3、选修2-3）1.（2012年西城二模 文6）右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ B ）（注：标准差s =x 为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >，12s s > B.12x x <，12s s < C.12x x >，12s s < D.12x x <，12s s >2.（2012年西城二模 文7）某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ C ）A ．7层 B.8层 C.9层 D.10层3.（2012年东城二模文11）将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据 的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为 . 答案：60。

4.（2012年西城二模 文11）已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____．答案：16。

5.（2012年丰台二模文10）某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，则ˆb =______，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．答案：-2，31.25。

6.（2012年海淀二模文12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________． 答案：12。

五、三角函数（必修四）1.（2012年西城二模理9）在△ABC 中，BC =，AC =，π3A =，则B = _____． 答案：π4. 2.（2012年海淀二模理1）若sin cos 0θθ<，则角θ是（ D ） A ．第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角3.（2012年朝阳二模理4）在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠等于（ C ） A ．60或120 B ．120 C ．150 D ．30或150 4.（2012年丰台二模理7）已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是（ C ）A ．B ．C ．D ．5.（2012年昌平二模理9）在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.答案：127π。

6.（2012年东城二模理11）在平面直角坐标系xOy 中，将点A 绕原点O 逆时针旋转90到点B ，那么点B 的坐标为____，若直线OB 的倾斜角为α，则sin2α的值为 ．答案：)3,1(-2-7.（2012年海淀二模理11）在ABC ∆中，若120=∠A ，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .。

8.（2012年西城二模理15）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围． 解：（Ⅰ）22ππππ()cos ()sin cos 12121262f =--==． ………………5分 （Ⅱ） 1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+--- ………………7分1π13[cos(2)cos 2]2cos 2)2322x x x x =-+=+ ………………8分π)3x =+． ………………9分 因为 π[0,]2x ∈，所以 ππ4π2[,]333x +∈， ………………10分所以当 ππ232x +=，即 π12x =时，()f x 取得最大值2． ………………11分所以 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤ 等价于c ≤．故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c的取值范围是)+∞． ………………13分 9.（2012年朝阳二模理15） 已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M .（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）由()12(cos 21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．…3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上， 所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =. …5分 (Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分10.（2012年丰台二模理15）已知函数()cos sin )f x x x x =-（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值． 解：因为()cos sin )f x x x x =-2sin cos x x x -=1cos 21)sin 222x x +--12sin 22x x -＝cos(2)6x π+（Ⅰ）()cos(2)336f πππ=⨯+==7分 （Ⅱ）因为 [0,]2x π∈， 所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． 当512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． …13分 11.（2012年昌平二模理15）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-.（Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值;（Ⅱ）求||b a +的取值范围.解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分 得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分 即：θ=3π……6分 （Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ … 11分 21)3sin(1≤π-≤-∴θ 4)3sin(42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a … 13分12.（2012年东城二模理15）已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ0,22ωϕ>-<<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）已知在函数()f x 的图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为-解：（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期428T =⨯=.由2π8T ==ω，得4π=ω. ………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<，所以ππ42+=ϕ， 即4π=ϕ . ………5分 所以π()sin()sin (1)444f x x x =+=+ππ. ………6分（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==π(5)sin (51)1,4f =+=-所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --. …………7分所以MN PN MP ===由余弦定理得3cos5MNP ∠==-. ………11分因为[)0,MNP ∠∈π， 所以4sin 5MNP ∠=. ……13分。

2012年北京市中考数学二模分类汇编——实验操作题图形的剪拼问题1.（大兴22）阅读材料1：把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割——重拼”．如图1，一个梯形可以分割——重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以分割——重拼为一个正方形．（1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；阅读材料2：如何把一个矩形ABCD（如图6）分割——重拼为一个正方形呢？操作如下：①画辅助图:作射线OX，在射线OX上截取OM＝AB，MN＝BC．以ON为直径作半圆，过点M 作MI⊥OX，与半圆交于点I；②如图6，在CD上取点F，使AF＝MI，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH 的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．（2EBHG是正方形.22.(1)2分 （2）证明：在辅助图中，连接∵ON 是所作半圆的直径，∴∠OIN ＝90°．∵M I ⊥ON ， ∴∠OMI ＝∠IMN ＝90°且∠∴△OIM ∽△INM ．∴OM IM ＝IM NM ．即IM 2＝OM ·NM ．………………3分 ∵OM=AB ，MN=BC ∴IM 2 = AB ·BC∵AF=IM ∴AF 2＝AB ·BC=AB ·AD ．∵四边形ABCD 是矩形，BE ⊥AF ，∴DC ∥AB ，∠ADF ＝∠BEA ＝90°． ∴∠DFA ＝∠EAB ．∴△DFA ∽△EAB ． ∴AD BE ＝AFAB ．即AF ·BE ＝AB ·AD=AF 2．∴AF ＝BE ．……………………4分∵AF=BH ∴BH ＝BE ． 由操作方法知BE ∥GH ，BE ＝GH ．∴四边形EBHG 是平行四边形． ∵∠GEB ＝90°，∴四边形EBHG 是正方形．………………………5分2.（怀柔22）阅读下面材料：在数学课上，李老师给同学们提出两个问题：①“谁能将下面的任意三角形分割后，再拼成一个矩形”；②“谁能将下面的任意四边形分割后，再拼成一个平行四边形”.图⑤ 图⑥图⑦图⑧ 图⑨图① 图② 图③ 图④. 经过小组同学动手合作，第3案，如图1和图2所示；请你参考小亮同学的做法,解决下列问题：（1）“请你将图3再设计一种分割方法，沿分割线剪开后所得的几块图形恰好也能拼成一个矩形”；（2）“请你设计一种方法，将图4分割后，再拼成一个矩形”.22．答案：（说明：本题分割方法不唯一）(1)…………………2分方法一、方法二、方法三、方法四、（2）……5分方法一、方法二、图形的面积问题3.（房山22）⑴阅读下面材料并完成问题：已知：直线AD与△ABC的边BC交于点D，①如图1，当BD=DC时，则S△ABD________S△ADC．(填“=”或“＜”或“＞”)图3图4DBCADBCABCAD图1 图2 图3②如图2，当BD =21DC 时，则=∆ABD S A D C S ∆ ．③如图3，若AD ∥BC ,则有S ∆DBC S ∆ ．(填“=”或“＜”或“＞”)⑵请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1︰2的两部分．（保留画图痕迹）22．①=--------------------------------------1分②21--------------------------------------2分③=--------------------------------------3分⑵BDE ∥AC 交BC 延长线于点E F 为BE 三等分点 过E 作F G ∥BD 交DC 于点E ，BC 于G 则直线AF 为所求 则直线DG 为所求 --------------------------------------5分BCADlN4.（西城区22） 阅读下列材料小华在学习中发现如下结论：如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时，BCABC A ABC S S S 21∆∆∆==.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知△ABC ，画出一个．．等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等； (2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等．．．)； (3)如图4，已知等腰△ABC 中，AB=AC ，画出一个．．四边形ABDE ，使其面积与△ABC 面积相等，且一组对边DE=AB ，另一组对边BD ≠AE ，对角∠E =∠B .图2 图3 图422.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D 1BC ，△D 2BC ，△D 3BC ，△D 4BC ，△D 5BC 中的一个即可.（将BC 的平行线l 画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可)﹍﹍ 2分符合要求的点，或将BC 的平行线画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分(3) 如图所示(答案不唯一).﹍﹍﹍ 5分如上图所示的四边形ABDE 的画法说明：(1)在线段BC 上任取一点D （D 不为BC 的中点），连结AD ；(2)画出线段AD 的垂直平分线MN ；(3)画出点C 关于直线MN 的对称点E ，连结DE ，AE . 则四边形ABDE 即为所求.B5.（平谷22）在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm ，宽为14cm 的长方形纸上剪下一个腰为12cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）.小明同学按老师要求画出了如图（1）的设计方案示意图，请你画出与小明的设计方案不同的所有满足老师要求的示意图，并通过计算说明哪种情况下剪下的等腰三角形的面积最小（含小明的设计方案示意图）.22．正确画出图形2分图（1）272AEF S cm ∆=；..........................................................3分图（2）2AEF S ∆=；..................................................4分 图（3）2AEF S ∆=.比较上述计算结果可知，图（3）剪下的三角形面积最小. ...............5分图形变换操作题6.（延庆22）阅读下面材料：阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

DABC 15．如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC延庆2012.616．（本题满分5分）如图, △OAB和△COD均为等腰直角三角形，90AOB COD∠=∠=︒, 连接AC、BD.求证: AC BD=.石景山2012.615．已知，如图，点D在边BC上，点E在△ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，∠1=∠2=∠3．求证：BC=DE．证明：顺义2012.615．已知：如图，E，F在BC上，且AE∥DF，AB∥CD ，AB=CD．求证：BF = CE ．门头沟2012.616.已知：如图，点E、F分别为□ABCD的BC、AD边上的点，且∠1=∠2.求证：AE=FC.F EDCB A21FEDCBA16．如图，在△ABC 与△ABD 中， BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO = DO ．求证：∠C =∠D ．密云2012.615．已知：如图，∠C =∠CAF =90°，点E 在AC 上，且AE =BC ，EF ⊥AB 于点D ．求证：AB =FE ． ，请直接写出△AOB 的面积．朝阳2012.616．已知：如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点F ，BD=CE ，∠B =∠C .求证：BE =CD .昌平2012.616．如图：已知在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD =CE ．求证：DC =EA ．西城2012.615．如图，点F ，G 分别在△ADE 的AD ，DE 边上，C ，B 依次21DOCBAA DCEB为GF 延长线上两点，AB=AD ，∠BAF =∠CAE ，∠B=∠D . (1)求证：BC=DE ；(2)若∠B=35°，∠AFB =78°，直接写出∠DGB 的度数．大兴2012.615．已知：如图，∠ABC=90°，DC ⊥BC ，E ，F 为BC 上两点，且BE CF =，AB DC =． 求证：ABF DCE △≌△；燕山2012.615. 已知：如图， P 是线段AB 的中点，线段MN 经过 点P ，MA ⊥AB ，NB ⊥AB .求证：AM=BN.东城2012.615. 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB的平分线． 求证：AB =DC ．．平谷2012.6 16．如图，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥ED 于D ，∠ACB =90°，AC =BC ． 求证：AD =CE ．房山2012.616．如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE =CF ． 证明：ABPMN。

十四、统计、概率、随机变量及其分布（必修3、选修2-3）1.（2012年丰台二模理12）某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．答案：31.25。

2.（2012年东城二模理2）将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据 的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为（ B ） A ．70 B.60 C.50 D.403.（2012年海淀二模理9）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________． 答案：12。

4.（2012年西城二模理5）右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平 均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ C ）（注：标准差s =x 为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >，12s s > B.12x x >，12s s < C.12x x <，12s s < D.12x x <，12s s >5.（2012年丰台二模理5）盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是（ B ） A ．18125 B ．36125 C ．44125 D ．811256.（2012年西城二模理6）已知函数()1f x kx =+，其中实数k 随机选自区间[2,1]-．对[0,1]x ∀∈，()0f x ≥的概率是（ C ）A ．13 B.12 C.23 D.347.（2012年西城二模理7）某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是（ C ）A ．42 B.41 C.40 D.398.（2012年西城二模理17）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．………………1分35310C 1(15)C 12P X =-==； 2155310C C 5(0)C 12P X ===； 1255310C C 5(15)C 12P X ===； 35310C 1(30)C 12P X ===． ………………5分……………6分155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．………………7分 （Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()C ()()()555125P A =+=， ………………10分 511()12122P B =+=．………………11分 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125P P A B =-⋅=-⨯=． ……13分 9.（2012年朝阳二模理16）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望. 解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()84P A C +==. 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584. （Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739281()843C C P B C ===.答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13. ……8分 （Ⅲ）X 的取值为2,3,4,5.12212222391(2)21C C C C P X C +===， 12212424394(3)21C C C C P X C +===，12212626393(4)7C C C C P X C +===， 1218391(5)3C C P X C ===. …11分所以X 的分布列为X 的数学期望234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……13分10.（2012年丰台二模理16）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=， 所以0.25a b +=． 由 806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩ ………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次． 奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……13分11.（2012年昌平二模理16）某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.解：（Ⅰ）设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N,则事件M 与事件N 为对立事件, 6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ……2分 6437642711=-=-=)M (P )N (P ……4分 (Ⅱ) 设选手甲在A 区射击的得分为ξ,则ξ的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3===ξP ;6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ; 649)411()41(6)(223=-==ξC P ; 641)41(9)(3===ξP 所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 设选手甲在B 区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P -=-⋅⋅==η;24)(p P ==η 所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴根据题意， 有 ξηE E > ∴1169494<<∴>p ,p …13分 12.（2012年东城二模理16）某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过三小时.（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE .解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元. ………2分都付2元的概率为1111428P =⨯=； 都付4元的概率为2111248P =⨯=；都付6元的概率为31114416P =⨯=； 故所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=. ……6分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12. ……8分1(4)8P ξ==； 11115(6)442216P ξ==⨯+⨯=；1111115(8)44242416P ξ==⨯+⨯+⨯=； 11113(10)442416P ξ==⨯+⨯=；111(12)4416P ξ==⨯=.故ξ的分布列为…………11分所求数学期望155311546810128161616162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …13分 13.（2012年海淀二模理17）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B 两个项目可供选择：111(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0< p <1)和1-p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X(次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E(X 1)< E(X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==. …………3分 （Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.所以X 2的分布列为:（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦211.76p p =-++. ………………11分因为E(X 1)< E(X 2)， 所以21211.76p p <-++. 所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.6.…13分。

北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇编整理 北京市二十中学 王云松2012-6-7代几综合题，往往是在二次函数背景下的对动点、动直线的位置及数量关系以及常见几何图形的存在性的研究，对学生的思维水平提出了更高的要求，要求学生具有较强的运算能力、作图能力、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等综合能力。

其掌握程度的高低直接决定学生能否达优。

【海淀】24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 标.备用图【参考答案】24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =. ∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F .由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO , ∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得 直线AC '的解析式为321+=x y . 由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G , 过P 1作P1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形， 可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分 如右图，同 方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形， 可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分 综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-.[注]在确定平行四边形时，如果知一边的两点坐标，可以用平移的方法，得到其对边的点的坐标，可使解答简捷。

海淀区九年级第二学期期末练习数 学 2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. -5的倒数是A ．15B ．15- C ．5- D ．52. 2012年4月22日是第43个世界地球日，中国国土资源报社联合腾讯网发起“世界地球 日”微话题，共有18 891 511人次参与了这次活动，将18 891 511用科学记数法表示（保 留三个有效数字）约为 A. 18.9⨯106 B. 0.189⨯108 C. 1.89⨯107 D. 18.8⨯1063. 把2x 2 − 4x + 2分解因式，结果正确的是A ．2(x − 1)2B ．2x (x − 2)C ．2(x 2 − 2x + 1)D ．(2x −2)24. 右图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体， 则这个几何体的俯视图是A BCD 5．从1, -2, 3这三个数中,随机抽取两个数相乘,积为正数的概率是A ．0B ．13C ．23D ．16. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 A. 21B. 3C. 2D. 1A'ED ABCC. 中位数是51.5D. 众数是588．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,∠ABC =60°，AB = DC =2, AD =1， R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 若二次根式23-x 有意义，则 x 的取值范围是 .10．若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是 .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 、B 、C 在双 曲线xy 6=上，BD ⊥x 轴于D , CE ⊥ y 轴于E ,点F 在x 轴上， 且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .12．小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n 颗 珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n 的代数式表示）.FE R P B C D A班级三、解答题（本题共30分，每小题5分） 1311|5|()3tan604---+︒．14．解方程：6123x x x +=-+.15. 如图，AC //EG , BC //EF , 直线GE 分别交BC 、BA 于P 、D ，且AC=GE , BC=FE . 求证：∠A =∠G .16．已知2220a a --=，求代数式221111121a a a a a --÷--++的值．17. 如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (-2, 0)、B (0, 2). （1）求一次函数的解析式;（2）若点C 在x 轴上，且OC =23, 请直接写出∠ABC 的度数.18. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠CBD =90︒，BE//CD 交AD 于E , 且EA=EB ．若AB=54，DB =4, 求四边形ABCD 的面积．GF E D CA P EDCA四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分，第22题4分） 19. 某街道办事处需印制主题为“做文明有礼的北京人，垃圾减量垃圾分类从我做起”的宣传单. 街道办事处附近的甲、乙两家图文社印制此种宣传单的收费标准如下： 甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系如下表：乙图文社的收费方式为：印制2 000张以内（含2 000张），按每张0.13元收费；超过 2 000张，均按每张0.09元收费.（1）根据表中给出的对应规律，写出甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系式； （2）由于马上要用宣传单，街道办事处同时在甲、乙两家图文社共印制了1 500张宣传单，印制费共179元，问街道办事处在甲、乙两家图文社各印制了多少张宣传单？（3）若在下周的宣传活动中，街道办事处还需要加印5 000张宣传单，在甲、乙两家图文社中选择 图文社更省钱.20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，1tan 2D =，求CD 和AD 的长．21. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了 为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ： 较差.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）李老师一共调查了多少名同学？（2）C 类女生有 名，D 类男生有 名，将上面条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位 男同学和一位女同学的概率.类别50%25%15%D C B A22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图1小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点. （1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.E 3 E 1 E 2P 1 P 2 N 1N 22 1 B A图3 GFH24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 标.备用图25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中 点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3A N DA C E D NM B F E C B F N M E C B海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012. 6说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.23x ≥10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13115()3tan604---+︒=54-+ …………………………………………………4分=1. …………………………………………………5分14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分 整理，得 324x =-． 解得 8x =-． ………………………………………………………………4分 经检验，8x =-是原方程的解． 所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EG ，∴ C CPG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，∴ CPG FEG ∠=∠．∴ C FEG ∠=∠． …………………………………………2分在△ABC 和△GFE 中，,,,AC GE C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ ∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分16. 解：原式=()()()21111111a a a a a +-⋅-+-- ……………………………………………2分 =()21111a a a +--- …………………………………………………3分 =22.(1)a -- …………………………………………………4分由2220a a --=，得 2(1)3a -=.∴ 原式=23-. …………………………………………………5分 GFEDC AP17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上， ∴022k =-+. ∴ k =1. ……………………………………………………2分 ∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分 （2）ABC ∠的度数为15︒或105︒． （每解各1分） ……………………5分18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒，∴ DE ∥CB . ∵ BE ∥CD ， ∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE .在Rt △ABD 中，由勾股定理得8AD =. ………2分设DE x =，则8EA x =-． ∴8EB EA x ==-．在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222DE BD EB +=.∴ 22248x x +=-（）． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．∴ 3BC DE ==． ……………………………………………………4分 ∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形 ………… 5分 四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分）19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单， 依题意得 {1500,0.110.13179.x y x y +=+= ………………………………………… 2分解得800,700.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………… 3分答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分（3） 乙 . ……………………………………………………… 5分20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分 （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4,∴ CE =12BC =2.∵ BC //AO , ∴ ∠OCE =∠DOC .D EC BA∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒,∴ ∠COE =∠D . ……………………………………………………3分 ∵tan D =12, ∴tan COE ∠=12. ∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CEOE COE==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得OC ==在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得CD =, ……………………4分由勾股定理可得 10.OD =∴10.AD OA OD OC OD =+=+= …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分 （2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分 （3）解法一：由题意画树形图如下：………………………5分从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 解法二：由题意列表如下：………………………5分由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) …………………………………2分图3从D 类中选取从A 类中选取女女男男女女男女男（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………………………4分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，∴210,(2)4(1)0.m m m ì- ïïíïD =-+->ïî由①得1m ¹， 由②得0m ¹，∴ m 的取值范围是0m ¹且1m ¹． ……………………………………………2分 （2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，211x m =-． ∵1m >， ∴10 1.1m >>-- ∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分 ∴ OA=1，OB =11m -． ∵ OA : OB =1 : 3，∴131m =-. ∴ 43m =．∴ 抛物线的解析式为212133y x x =--． ………………………………………4分 （3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1)-.依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即2121733x x --=． 解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7). 当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =.① ② …………………………………………1分当直线13y x b =+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 2003330.x x b ---=由2(3)4(33)12210b b D =----=+=，得74b =-结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或4b <-． ……………7分 24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =.∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ， ∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F . 由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO ∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO ,∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y .由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G ,过P 1作P 1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形， 可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分 如右图，同 方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形， 可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分 综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-. 25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°. ∴ BN ⊥NE ． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，CFCD= .于是12CFCE CE CE BM BA CD CD ==== ……………………………………4分 （2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN . ∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN . ∴ ∠BEG =90°． ……………………………………………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ． 由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°．HGA BC DEM N F 321GFEA (M )CD NB∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………………………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -，∴CE BM. ……………………………………………7分（3）BN ⊥NE ；CEBM.………………………………………………8分丰台区2012年初三统一练习（二）数 学 试 卷学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的绝对值是A ．12-B ．12C ．2D ．2-2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为A ．62.510⨯ B ．50.2510-⨯ C ． 62.510-⨯ D ．72510-⨯ 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．194．在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 A ．14B ．12C ．34D ．1 5．若20x +=则 y x 的值为A ．－8B ．－6C ．6D ．8 6．下列运算正确的是 A ．222()a b a b +=+B ．235a b ab +=C ．632a a a ÷=D ．325a a a ⋅=EDCBA7．小张每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行 的平均速度的4倍，骑自行车上学比步行上学少用30分钟．设步行的平均速度为x 米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是A ．30428002800=-xx B ．30280042800=-x xC ．30528002800=-x xD ．30280052800=-xx8．如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是 A ．北 B ．京C ．精D ．神二、填空题（本题共16分，每小题4分）9有意义，则x 的取值范围是 ． 10．分解因式：=+-b ab b a 25102．11．如图, ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果1OD =，那么BAC ∠=________︒． 12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12f =+，2(3)13f =+，2(4)14f =+，…， 利用以上运算的规律写出()f n = (n 为正整数) ；(1)(2)(3)(100)f f f f ⋅⋅⋅= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：()︒⎪⎭⎫⎝⎛+45sin 4-211-3-272-03．14．已知2230a a --=，求代数式2(1)(2)(2)a a a a --+-的值．DOCBA15．解分式方程：21124x x x -=--．16．如图，在△ABC 与△ABD 中， BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO = DO ．求证：∠C =∠D ．17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-x 的图象与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点． （1）求k 的值；（2）如果点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点P 的坐标．18．为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y （元）与用电量x （千瓦时）之间的函数关系式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．20．已知：如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，联结AB 交O C 于点D ，AC =CD ． （1）求证：OC ⊥OB ；B21DOCBAMFEBCDA（2）如果OD=1，tan∠OCA=2，求AC的长．22．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF，△AEF的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2)，可以解决这个问题．请你参考小杰同学的思路回答：（1）图2中AH的长等于．（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于．B A DCEFHGHFEDAB图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程242(1)0x x k -+-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果抛物线242(1)y x x k =-+-与x 轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k 的值；（3）直线y =x 与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C ，点P 是射线OC 上的一个动点（点P 不与点O 、点C 重合），过点P 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于点M ，点Q 在直线PC 上，距离点PP 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图2AEFPB D CCE AD F P25．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A （32，0），C （0，2）． (1) 抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度α（0°<α<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标； （3）如图（2），将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°<θ<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E ，联结CE ，当θ= °时，线段CE 的长度最大，最大值为 ．北京市丰台区2011_2012学年第二学期初三综合练习（二）参考答案二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=3-1+4-422⨯……4分 =6-22….5分14．解：2(1)(2)(2)a a a a --+-=22224a a a --+……1分. =224a a -+． ……2分2230a a --= ， ∴223a a -=． (3)分∴原式=224347a a -+=+=．….….5分 15．21124x x x -=-- 解：2(2)(4)1x x x +--=．……1分 22241x x x +-+=．……2分23x =-．…… 3分32x =-．…….4分检验：经检验，32x =-是原方程的解．∴原方程的解是32x =-．……5分16．证明： ∠1=∠2， ∴OA=OB ．…1分在△COA 和△DOB 中 ， OA=OB ，∠AOC =∠BOD ， CO=DO ．∴△COA ≌△DOB ．……….4分 ∴∠C =∠D ． …………….5分17．解：（1） 反比例函数ky x= 的图象经过点A (-1，1) ，∴-11-1k =⨯=．…………1分 （2）P 1(0、 P 2(0，、P 3(0，2)、 P 4(0，-2) ……5分18．解：（1）……2分（2）当0230x ≤≤时，0.49y x =；……3分 当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ．……1分 又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ． ∴四边形EFBD 为平行四边形．……2分∴FB = ED =2．……3分 ∵E 是AD 的中点． ∴AD =2ED =4．……4分 ∴菱形ABCD 的周长为4416⨯=．……5分（2）700⨯（1-0.04）=672．……5分答：这所学校每学期参加社会实践活动的时间不少于23．解：（1）由题意得△>0． ∴△=2(4)4[2(1)]8240k k ---=-+>．……1分 ∴解得3<k ．……2分（2）∵3<k 且k 为正整数，∴1=k 或2．……3分当1=k 时，x x y 42-=，与x 轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意； 当2=k 时，242+-=x x y ，与x 轴的交点不是整数点，故舍去．综上所述，1=k ．……4分（3）∵2,4y x y x x =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标是（5，5）．∴OC 与x 轴的夹角为45°． 过点Q 作QN ⊥PM 于点N ，（注：点Q 在射线PC 上时，结果一样，所以只写一种情况即可）∴∠NQP =45°，NQ PM S ⋅=21． ∵PQNQ =1．∵P （t t ,），则M （t t t 4,2-），∴PM =t t t t t 5)4(22+-=--．……5分∴t t S 5212+-=． ∴当50<<t 时，t t S 25212+-=；……6分 当5>t 时，t t S 25212-=．……7分24．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠． ∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠．∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分 ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分25．解：（1）∵矩形OABC ，A （32，0），C （0，2），∴B （32，2）．∴抛物线的对称轴为x =3．∴b =3．……1分 ∴二次函数的解析式为：22y x =-++．……2分(2)①当顶点A 落在对称轴上时，设点A 的对应点为点A ’，联结OA ’， 设对称轴x =3与x 轴交于点D ，∴OD =3．∴OA ’ = OA =32．在Rt △OA ’D 中，根据勾股定理A ’D =3． ∴A ’(3，-3) ． ……4分 ②当顶点落C 对称轴上时(图略)，设点C 的对应点为点C ’，联结OC ’，在Rt △OC ’D 中，根据勾股定理C ’D =1．7654321NMCD BPFEA∴C ’(3，1)．……6分 (3) 120°，4．……8分2012年门头沟区初三年级第二次统一练习数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的. 1. 4-的倒数是 A.4-B.4C. D. 2. 在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．将 0.000 0963用科学记数法表示为A. 51063.9⨯ B. 51063.9-⨯ C. 41063.9-⨯ D. 31063.9-⨯ 3. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是4. 五边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.900° 5. 为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动， 九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量 绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.46. 某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公41-41Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．EDCB A顷产量的两组数据，两组数据的平均数相同，其方差分别为s 甲2＝0.002、s 乙2＝0.03，则下列说法正确的是 A ．甲比乙的产量稳定B ．乙比甲的产量稳定C ．甲、乙的产量一样稳定D ．无法确定哪一品种的产量更稳定7.关于x 的一元二次方程032=-+m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 A. B. C. D.8. 如图，已知MN 是圆柱底面直径，NP 是圆柱的高.在圆柱的侧面上， 过点M 、P 嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿NP 剪开，所得的侧面展开图是A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 分解因式：22344xy y x x +-= . 10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点， 若32=BD AD ，AE =3，则AC = . 11.一商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元. 该商场为促销决定：买1支毛笔就赠送1本书法练习本. 某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种练习本x （10≥x ）本， 则付款金额y （元）与练习本个数x （本）之间的函数关系式是 .12. 一组按规律排列的式子：22b a ，432b a -，843b a ，1654b a -，…，其中第6个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：4)3(45sin 80-+-+︒-π14.解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321234xx x x15.已知：3=x ，求2212-÷-x x x x 的值.PNM P /N /PN M P /N /P N M P /N /P N M M /P /N/PNM 121>m 121<m 121->m 121-<m16. 已知：如图，点E 、F 分别为□ABCD 的BC 、AD 边上的点，且∠1=∠2. 求证：AE =FC .17. 如图，已知反比例函数y =x6(x ＞0)的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A （1，m ），B （n ，2）两点． （1）求一次函数的解析式；（2）结合图象回答：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.18. 列方程或方程组解应用题某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天修的桌凳套数是甲小组的1.5倍．求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）19.已知：如图，四边形ABCD 中，BC =CD =DB ，∠ADB =90°，sin ∠ABD =54，S △BCD =39. 求四边形ABCD 的周长.20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径． 点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足 为D .(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.21.甲学校到丙学校要经过乙学校. 从甲学校到乙学校有A 1、A 2、A 3三条线路，从乙学校到丙学校有B 1、B 2二条线路．（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果； （2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了B 1线路的概率是多21F EDCBA DC BA少？23. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2.(1)当a ＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x 2＋x ＋2的值为正整数，求x 的值；(3)若a 是负数时，当a ＝a 1时，抛物线y ＝ax 2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点M (m ，0)；当a ＝a 2时，抛物线y ＝ax 2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点N (n ，0). 若点M 在点N 的左边，试比较a 1与a 2的大小.24. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD 、MF ，此时他测得BD ＝8cm ，∠ADB ＝30°． （1）在图1中，请你判断直线FM 和BD 是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离是多少.25. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为 ，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P 从A 点出发，在AB 边上匀速运动. 动点Q 从点B 出发，在折线BCD 上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）. （1）求出点C 的坐标；（2）求S 随t 变化的函数关系式；（3）当t 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.C D MB FE图1D M B图3N 2P 2M 2 D MBFD 1图2B 1K31634+-=x y2012年门头沟数学二模评标一、选择题1.C2.B3.D4.B5.B6.A7.C8.A 二、填空题9.2)2(y x x - 10.215 11. 2005+=x y 12. 6476b a -，n n n n b a 2)1(11++- 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式=412222++-……………………………………4分 =5223+ ………………………………………….5分 14. ()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+)2(321)1(234 xx x x解：由（1）得，1-≥x …………………………………….2分由（2）得，x<3 ………………………………………4分 不等式组的解集是31<≤-x ………………………5分 15.解：2212-÷-x xx x =xx x x x )1(2)1)(1(-⋅-+ ………………………..3分 =12+x ……………………………………..4分 当x=3时，原式=12+x =132+=21…………………………5分16.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D. ………………………….2分 ∵∠1=∠2，……………………………………….3分△ABE ≌△CDF. ………………………………4分 AE=CF. ………………………………………5分17.解：（1）由题意得，m=6，n=3.∴A （1,6），B （3,2）. …………………………2分由题意得，⎩⎨⎧=+=+236b k b k解得，⎩⎨⎧=-=82b k∴一次函数解析式为y=-2x+8. ……………………3分21FEDC B A（2）反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是0<x<1或x>3. …..5分 18.解：设甲组每天修桌凳x 套，则乙组每天修桌凳为1.5x 套. …………………………..1分由题意得，205.1960960+=xx …………………………………………….3分 解得，x=16 ………………………………………………………………………4分经检验，x=16是原方程的解，且符合实际意义.1.5x=1.5⨯16=24 …………………………………………………………..5分 答：甲组每天修桌凳16套，乙组每天修桌凳为24套. 19.解：过C 作CE ⊥BD 于E. ∵∠ADB =90°，sin ∠ABD =54， ∴AD=4x,AB=5x. ………………………..1分 ∴DB=3x∵BC =CD =DB ，∴DE=x 23，∠CDB=60°. ………………………2分 ∴tan ∠CDB=DECE∴CE=x 233. ……………………………3分 ∵S △BCD =39, ∴3921=⋅⋅CE BD ∴ x=2. ………………………………………….4分 ∴AD=8,AB=10,CD=CB=6.∴四边形ABCD 的周长=AD+AB+CD+CB=30. ……………………………..5分 20.(1)证明：连接OC, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC. ∵CD ⊥PA ， ∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO. ………………………1分∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. ∴CD 为⊙O 的切线． …………………………2分 (2)解：过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ， ∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形， ∴OC=FD ，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ， ……………………3分EDCBA∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA . 即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+=解得2x =或9x =（舍）. ………………………4分 ∴AD=2, AF=5-2=3. ∵OF ⊥AB ，AB=2AF=6. ………………………..5分 21.(1)………………………………..2分结果：（A 1，B 1）,（A 1，B 2）,（A 2，B 1）,（A 2，B 2）,（A 3，B 1）,（A 3，B 2） ………….4分（2）小张恰好经过了B 1线路的概率是21………………………………………….6分22.（1）正确 ……………………………….2分（一个1分） （2）正确 ………………………………..4分 23. 当a=-1时，y=-x 2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2. ∴抛物线的顶点坐标为(21，49)，对称轴为直线x=21.……2分 (2)∵代数式-x 2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x 2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为49，∴y 的正整数值只能为1或2. 当y=1时，-x 2+x+2＝1，解得2511+=x ，2512-=x …………3分 当y=2时，-x 2+x+2＝2，解得x 3=0,x 4=1.……………4分∴x 的值为2511+=x ，2512-=x ，0或1. （3） 当a ＜0时，即a 1＜0，a 2＜0.B 2B 2B 1B 1B 2B 1A 3A 2A 1经过点M 的抛物线y=a 1x 2+x+2的对称轴为121a x -=, 经过点N 的抛物线y=a 2x 2+x+2的对称轴为221a x -=.…………5分∵点M 在点N 的左边，且抛物线经过点(0,2)∴直线121a x -=在直线221a x -=的左侧……………6分∴121a -＜221a -. ∴a 1＜a 2.…………………………………………………………7分24. 解：（1）垂直. …………………………1分证明：延长FM 交BD 于N.如图1，由题意得：△BAD ≌△MAF ．∴∠ADB ＝∠AFM ．又∵∠DMN ＝∠AMF ， ∴∠ADB ＋∠DMN ＝∠AFM ＋∠AMF ＝90°．∴∠DNM ＝90°，∴BD ⊥MF ． ······································································· 2分 （2）β的度数为60°或15°（答对一个得1分） ····················································· 4分 （3）如图2，由题意知四边形PNA 2A 为矩形，设A 2A ＝x ，则PN ＝x ．在Rt △A 2M 2F 2中，∵M 2F 2＝MF ＝BD ＝8，∠A 2F 2M 2＝∠AFM ＝∠ADB ＝30°． ∴M 2A 2＝4，A 2F 2＝34. …………………………..5分 ∴AF 2＝34－x ．在Rt △P AF 2中，∵∠PF 2A ＝30°． ∴AP ＝AF 2tan ·30°＝(34－x )·33＝4－33x ． ∴PD ＝AD －AP ＝34－4＋33x ． ……………..6分D M A BF图2NF 2P A 2M 2 C DMB FE图1N∵NP ∥AB ，∴ABPN ＝DA DP ．∴4x＝3433434x ＋－，解得x ＝6－32．即平移的距离是(6－32)cm ． (7)分25. 解：（1）把y ＝4代入y ＝－43x ＋163，得x ＝1. ∴C 点的坐标为（1，4）. ……………………………………….1分（2） 当y ＝0时，－43x ＋163＝0，∴x ＝4.∴点B 坐标为（4，0）.过点C 作CM ⊥AB 于M ，则CM ＝4，BM ＝3. ∴BC5.∴sin ∠ABC ＝CMBC＝45.① 0＜t ＜4时，过Q 作QN ⊥OB 于N ，则QN ＝BQ ·sin ∠ABC ＝45t.∴S ＝12OP ·QN ＝12（4－t ）×45t ＝－25t 2＋85t （0＜t ＜4）. ……………2分②当4＜t ≤5时，连接QO ，QP ，过点Q 作QN ⊥OB 于N .同理可得QN ＝45t .∴S ＝12OP ·QN ＝12×（t －4）×45t .＝25t 2－85t （4＜t ≤5）. …………………………….3分③当5＜t ≤6时， 连接QO ，QP . S ＝12×OP ×OD ＝12（t －4）×4.＝2t －8（5＜t ≤6）. ……………………………….4分S 随t 变化的函数关系式是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-<<+-)65(82)54(5852)40(585222t t t t t t t t .（3）①当0＜t ＜4时，∵－25<0当t ＝8522()5⨯-＝2时，S 最大＝28()54()5-⨯-＝85. ……………………………5分 ②当4＜t ≤5时， S ＝25t 2－85t ，对称轴为t ＝－85225-⨯＝2，∵25>0 ∴在4＜t ≤5时，S 随t 的增大而增大.∴当t ＝5时，S 最大＝25×52－85×5＝2. …………………………..6分③当5＜t ≤6时，在S ＝2t －8中，∵2＞0，∴S 随t 的增大而增大.∴当t ＝6时，S 最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分∴综合三种情况，当t ＝6时，S 取得最大值，最大值是4. ………………………8分顺义区2012届初三第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的平方根是A ．3B ．-3C ．3±D ．132．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为A ．59.110⨯ B ．49.110⨯ C ．49110⨯ D ． 39.110⨯ 3．如图，下列选项中不是．．正六棱柱三视图的是（ ）A B C D4．把2416a bb -分解因式，结果正确的是A ．2(24)b a - B ． (22)(22)b a a +-。

4、背诵课文。

二、能力目标 1、复述课文，掌握作者求学的主要经历，理清行文思路，提高诵读能力。

2、理解本文对比手法的运用，体会其独特的表达效果。

三、情感目标 学习作者克服困难、勤心求学的精神和意志，树立正确的苦乐观，珍惜现有的优越条件，努力学习，早日成才。

四、教学重点 1、翻译课文，背诵课文，理解本文作者执著的求学之志和殷殷劝勉之情。

2、把握寓理于事的写作方法和对比的表现手法，学习形象说理的技巧。

五、教学难点 引导学生运用现代观念重新审视作品，理解文中作者的求学态度。

六、教学方法 诵读法 讨论点拨法 复述法 品读法 延伸拓展法 教学时间：二教时。

第一教时 一、导入新课 方法一：常言道：“自古雄才多磨难，从来纨绔少伟男。

”孟子也说：“夫天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。

” 这些都说明了苦难并非全是坏事。

只要我们善于化苦难为动力，则苦难就会成为成功的垫脚石。

今天我们来学习宋濂的《送东阳马生序》。

(板书课文标题) 方法二：同学们，在五单元前面几篇课文里，我们学习了几种古代不同体裁的文章，如吴均的书信体山水小品文——《与朱元思书》、陶渊明的自传体文章——《五柳先生传》、韩愈的议论性文章——《马说》，今天我们一起来学习一篇体裁为赠序的文章——《送东阳马生序》，看看作者是怎样用自己的切身体会勉励马生勤奋学习的。

二、作者简介： 宋濂，明初文学家。

字景濂，号潜溪，浦江人（现渐江义乌人）。

他年少时受业于元末古文大家吴莱、柳贯、黄等。

元朝至正九年，召他为翰林院编修，因为身老不仕，隐居龙门山著书。

明初，征他作江南儒学提举，让他为太子讲经，修《元史》，官至翰林学士承旨、知制诰，朝廷的重要文书，大都由他参与撰写。

年老辞官，后因长孙宋慎犯罪，被流放到四川，途中病死。

他与刘基、高启为明初诗文三大家。

朱无璋称他为：开国文臣之首。

刘基称赞他为：当今文章第一。

四方学者称他为：太史公。

十、圆锥曲线（选修2-1）1.（2012年东城二模文7）设00(,)M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦 点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是（ A ）A ．(2,)+∞B.(4,)+∞C.(0,2)D.(0,4)2.（2012年西城二模 文5）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ D ） A ．14y x =±B.4y x =±C.12y x =± D.2y x =± 3.（2012年朝阳二模文5）已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ C ）A ．6B ．2 C ．32 D ． 344.（2012年丰台二模文13）已知双曲线2222128x y m m -=+上一点M 到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______． 答案：54。

5.（2012年昌平二模文11）已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为___________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =. 答案：x y 21±= , 52。

6.（2012年海淀二模文10）已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是x y 2±=，那么此双曲线的离心率为 .7.（2012年西城二模 文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．解： （Ⅰ）由 222222213a b b e a a -==-=， 得 b a =． ① ………2分由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b +=． ② …3分 联立① ②，解得 1b =，a =……4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． ……5分 （Ⅱ）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ……7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k =+． ……9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ……10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++，设 21(0)k t t -=>， 则212236363()16(34)4924t x x t t t -==≤=+++． …13分当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23…14分8.（2012年朝阳二模文19）在平面直角坐标系xOy 中，点E 到两点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之和为，设点E 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的斜率为k （0k ≠）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ,N ，点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 纵坐标的取值范围.解：（Ⅰ）由题设知1212||||||EF EF F F +=>,根据椭圆的定义，E 的轨迹是焦点为1F ，2F，长轴长为的椭圆，设其方程为222210x y (a b )a b+=>>则1c =，a =1b =，所以C 的方程为2212x y +=. ……5分 （II ）依题设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得， 2222(21)4220k x k x k +-+-= . 2880k ∆=+>. …6分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+ ……7分 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q ky k x k =-=-+，即2222(,)2121k kQ k k -++. ……8分 因为0k ≠，所以直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，…9分 令0x =解得，211212P k y k k k==++， ……10分当0k >时，因为12k k+≥04P y <≤； …12分 当0k <时，因为12k k+≤-04P y -≤<. ……13分 综上得点P纵坐标的取值范围是2[(0,]. ……14分 9.（2012年丰台二模文19）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，焦距为P 是椭圆上一动点，12PF F ∆的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点N ，若1NA AM λ=，2NB BM λ=，求证：12λλ+为定值．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221x y a b+=．因为焦距为，所以．当点P 在短轴的顶点时，P 到F 1F 2的距离最大，所以此时△PF 1F 2的面积最大， 所以121222PF F Sc b =⋅⋅=，所以b = 因为2224a b c =+=， 所以24a =，椭圆方程为22142x y +=． …………5分 （Ⅱ）依题意，直线l 的斜率存在，可设为k ，则直线l ：(1)y k x =-．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22240(1)x y y k x ⎧+-=⎨=-⎩ 消y 得 2222(21)4240k x k x k +-+-=．显然0∆>，且 2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+．因为直线l 交y 轴于点N ，所以(0,)N k -．所以 11(1,)AM x y =--，11(,)NA x k y =+，且1NA AM λ= 所以 1111x x λ=-，同理2221x x λ=-． 所以 12121212121212()28111()3x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 即12λλ+为定值是83-. ………14分 10.（2012年昌平二模文19）已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>，过点B （0，1）, 离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(0,2)P 的直线l 与椭圆交于M ，N 两个不同的点，且使12PM PN =成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由题意可知1=b ,32211)(122=-=-=aa b a c 解得92=a 故椭圆M 的方程为1922=+y x ……4分 （Ⅱ） 12PM PN =点M 为PN 的中点， 设)()(2211y ,x N ,y ,x M 则 122x x = ① ……5分（1）当直线的斜率k 不存在时，P(0,2)),10()10(-,N ,,M ,易知不符合条件，此时直线方程不存在. ………7分 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x kx y ，消去y 得 027361922=+++kx x )k ( 得072)19(4)36(22>⋅+⋅-=∆k k 解得312>k （*） ……9分 1936221+-=+k k x x ② ，1927221+=k x x ③ 由① ②③可得消去21x ,x ，可得532=k ，故515±=k ……13分综上可知：存在这样直线l 的方程为： 2515+±=x y ………14分 11.（2012年东城二模文19）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是2（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值. 解：（Ⅰ）由已知得2222:221,.a b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得 2a =, b =……4分 故所求椭圆方程为22143x y +=. ……5分证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知()11,0F -，当直线m 斜率存在时，设直线m 的方程为 ：()()10y k x k =+≠.由22(1),1,43y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()22223484120k x k x k +++-=. ……7分由于0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，则有2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+， AB ==()2212134k k +=+. ……9分 同理()2212134k CD k +=+. …11分所以11AB CD +()2234121k k +=++()2234121k k ++()()2271121k k +=+712=. …12分 当直线m 斜率不存在时，此时3,4AB CD ==，11AB CD +1173412=+=. 综上，11AB CD +为定值712. ……14分 12.（2012年海淀二模文19）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点5(,0)4Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ⋅为定值.解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a =…3分所以 2211b =-=. 所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. …4分 证明：（Ⅱ）当直线l 的斜率为0时，(A B . 则557(2,0)(,0)4416QA QB ⋅=⋅=-. …6分 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=.显然0∆>. 1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……9分 因为 111x ty =+，221x ty =+， 所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+.即 716QA QB ⋅=-. …………13分。

12012年北京市各区二模试题汇编--立体几何一填空选择（2012年东城二模文理科）（6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β （C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β（2012年东城二模文科）(14) 已知四棱柱1111ABC D A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面,12AA =，底面A B C D 的边长均大于2，且45DAB ∠=，点P 在底面A B C D 内运动且在,AB AD 上的射影分别为M ，N ，若2PA =，则三棱锥1P D M N -体积的最大值为____.（2012年东城二模理科）（4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（A（B ）（C ）（D）（2012年西城二模文科）4．设m ，n 是不同的直线，α，β则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件（2012年西城二模文理科）13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．（2012年海淀二模文科）5、已知平面,αβ和直线m ，且m Ìα，则“α∥β”是“m ∥β”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条（2012年海淀二模文理科）7、某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是24左俯视图主视图2（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（2012年朝阳二模文科）6. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1A．61 B ．23C．324+D ．322+（2012年朝阳二模理科）8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A. 1B.2C.D. （2012年丰台二模文科）4．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不．正确的结论是 (A) ① (B) ② (C) ③(D) ④（2012年丰台二模理科）2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A) (B)(C) 2(D) 4（2012年顺义二模文理科）7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.60 B.80 C.100 D.120正视图俯视图侧视图P1A 俯视图俯视图左视图正（主）视图82323443（2012年昌平二模文科）4. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.34 B. 38C. 4D. 8（2012年昌平二模文科）7. 四面体的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，记其中最大的面积为S ，则SSi i341∑=的取值范围是A. ]231(, B. ]231[, C. (3432,] D. [3432,] （2012年昌平二模理科）5.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3 个（2012年昌平二模理科）7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B . 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C. 三棱锥QEF P -的体积 D.二面角Q EF P --的大小左视图左视图1A 1C4俯视图侧（左）视图主（正）视图 （2012年怀柔二模文理科）4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A． B ． C ．D ．（2012年怀柔二模理科）7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体, 不同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种（2012年房山二模文科）4. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的侧面积为（ ）（A ） （B ）24 （C ） （D ）（2012年房山二模理科）11．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为 .2112321111ABC D A B C D -24+38主视图俯视图5二解答题（2012年东城二模文科）（17）（本小题共13分）如图，矩形A M N D 所在的平面与直角梯形M B C N 所在的平面互相垂直，M B ∥N C ,M N M B ⊥．（Ⅰ）求证：平面AM B ∥平面； （Ⅱ）若，求证B C A C ⊥. （17）（共13分）证明：（Ⅰ）因为M B //N C ，M B 平面D N C ，N C 平面D N C ，所以M B //平面D N C ． ……………2分 因为A M N D 是矩形，所以M A //D N ．又M A 平面D N C ，D N 平面D N C ， 所以M A //平面D N C ． ……………4分 又MA MB M = ，且M A ，M B ⊂平面AM B ， 所以平面AM B //平面D N C ． ……………6分（Ⅱ）因为A M N D 是矩形，所以A M M N ⊥.因为AMND MBCN ⊥平面平面， 且AMND MBCN =MN 平面平面，所以AM MBCN ⊥平面. 因为BC MBCN ⊂平面，所以A M B C ⊥. ………………10分 因为,MC BC MC AM M ⊥= ，所以BC AMC ⊥平面. ………………12分 因为AC AMC ⊂平面,所以B C A C ⊥. ………………13分（2012年东城二模理科）（17）（本小题共13分）如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥,，且，，，．（Ⅰ）求证：平面；D N C M C C B ⊥⊄⊂⊄⊂A M N D M B C N M B N C M N M B ⊥M C C B ⊥2B C =4M B =3D N =//A B D N C6（Ⅱ）求二面角的余弦值.（17）（共13分）（Ⅰ）证明：因为//，平面，平面所以//平面． ……………2分 因为为矩形，所以//．又 平面，平面， 所以//平面． ……………4分 又，且，平面， 所以平面//平面． ……………5分 又平面，所以平面． ……………6分（Ⅱ）解：由已知平面平面，且平面平面，，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. ……………7分由已知得，易得，．则，，．，． ……………8分设平面的法向量，则 即令，则，．所以． …………10分又是平面的一个法向量， 所以．D B C N --M B N C M B ⊄D N C N C ⊂D N C M B D N C A M N D M A D N M A ⊄D N C D N ⊂D N C M A D N C MA MB M = M A M B ⊂AM B AM B D N C A B ⊂AM B //A B D N C AM N D ⊥M B C N AMND M B C N M N =D N M N⊥D N ⊥M B C N M N N C ⊥N N xyz-30M C M C N =∠=M N =3N C =(0,0,3)D (0,3,0)C 4,0)B (0,3,3)D C =- 0)C B =D B C 1(,,)x y z =n 110,0.D CC B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 330,0.y z y -=⎧⎪+=1x =-y =z=1(=-n2n (0,0,1)=NBC 122112cos ,7⋅===n n n n n n7C故所求二面角的余弦值为． …13分（2012年西城二模文科）17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，A B ∥C D ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使D F // 平面BC E ？若存在，求出E F E A；若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分 因为 A B ∥C D ，CD AB 2=， 所以 BO ∥C D ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． …………4分 因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ……5分所以 ED AB ⊥． ………………6分（Ⅱ）解：点F 满足12E F E A=，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以F G ∥A B ，AB FG 21=．因为A B ∥C D ，AB CD 21=，所以F G ∥C D ，CD FG =．所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 D F ∥C G ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 1（2012年西城二模理科）6．（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．A B ∥C D ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（Ⅰ）求证：AB D E ⊥；（Ⅱ）求直线EC 与平面A B E 所成角的正弦值；D B C N --78（Ⅲ）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？ 若存在，求出E F E A；若不存在，说明理由．16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． ………………1分因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．……………2分 所以⊥AB 平面EOD ． ………………3分 所以 ED AB ⊥． ………………4分（Ⅱ）解：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． …………5分 因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=EC ，平面A B E 的一个法向量为(0,1,0)O D =． ………………7分设直线EC 与平面A B E 所成的角为θ，所以||sin |cos ,|3||||EC O D EC O D EC O D θ⋅=〈〉==，即直线EC 与平面A B E所成角的正弦值为3． ………………9分（Ⅲ）解：存在点F ，且13E F E A=时，有EC // 平面FBD ． ………………10分证明如下：由 )31,0,31(31--==EA EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.B D F B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ． ………………12分 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ．9即点F 满足13E F E A=时，有EC // 平面FBD ． ………………14分（2012年海淀二模文科）17、（本小题满分14分）在正方体''''ABC D A B C D -中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示．（Ⅰ）求证：'AD ∥平面E F G ； （Ⅱ）求证：'A C ^平面E F G ；（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.17、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接'BC .在正方体''''A B C D A B C D -中，''AB C D =，AB ∥'C D 所以 四边形''ABC D 是平行四边形.所以 'A D ∥'BC .因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点，所以 F G ∥'BC .所以 F G ∥'A D . ………2分 因为 ,'EF AD 是异面直线，所以 'AD Ë平面EFG .因为 F G Ì平面EFG ， 所以 'AD ∥平面E F G .………4分 （Ⅱ）证明：连接'B C .在正方体''''A B C D A B C D -中，''A B ^平面''B C C B ，'B C Ì平面''B C C B ， 所以 '''A B B C ⊥.在正方形''B C C B 中，''B C B C ⊥， 因为 ''A B Ì平面''A B C ，'B C Ì平面''A B C ，''''A B B C B = ，所以 'B C ⊥平面''A B C . …………………6分因为 'A C Ì平面''A B C ，所以 ''B C A C ⊥.…………7分 因为 F G ∥'BC ，所以 'A C F G ⊥. 同理可证：'A C E F ⊥.因为 E F Ì平面EFG ，F G Ì平面EFG ，EF FG F = ， 所以 'A C ^平面E F G . ……9分 （Ⅲ）点,',,A D H F 不共面. 理由如下： ………10分 假设,',,A D H F 共面. 连接',,C F AF HF . 由（Ⅰ）知，'A D ∥'BC ，因为 'B C Ì平面''B C C B ，'AD Ë平面''B C C B .C'CAHG FED'C'B'A'D C BAHG FED'C'B'A'DCB A10所以 'AD ∥平面''B C C B . …………12分因为 ''C D H Î，所以 平面'AD HF 平面'''B C C B C F =. 因为 'A D Ì平面'A D H F ，所以 'AD ∥'C F . 所以 'C F ∥'BC ，而'C F 与'BC 相交，矛盾.所以 点,',,A D H F 不共面. …………………14分 （2012年海淀二模理科）(16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30C B A? ，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在 AB 上，且O M ∥A C ． （Ⅰ）求证：平面M O E ∥平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面PAC ^平面P C B ；（Ⅲ）设二面角M B P C --的大小为θ，求cos θ的值．(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段A B 的中点，所以 O E ∥P A . ……………………………………1分 因为 P A Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 O E ∥平面PAC . ……………………………………2分因为 O M ∥A C ， 因为 A C Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 O M ∥平面PAC . ……………………………………3分因为 O E Ì平面M O E ，O M Ì平面M O E ，OE OM O = ，所以 平面M O E ∥平面PAC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90A C B? ，即B C A C ⊥.因为 PA ^平面ABC ，B C Ì平面ABC ， 所以 P A B C ⊥. ……………7分因为 A C Ì平面PAC ，P A Ì平面PAC ，PA AC A = ， 所以 B C ^平面PAC . 因为 B C Ì平面PBC ，所以 平面PAC ^平面P C B . …………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，C A 所在的直线为x 轴，C B 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．ME BOCAP因为 30C B A ? ，2PA AB ==，所以2cos 30C B =?1A C =.延长M O 交C B 于点D . 因为 O M ∥A C ，所以131, 1,2222M D C B M D C D C B ^=+===.所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，0)B，3(0)22M .所以 (1,0,2)C P =，0)C B =. 设平面P C B 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.C P C B ìï?ïíï?ïîm m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面P M B 的一个法向量n ()=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n.所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分（2012年朝阳二模文科）17. （本小题满分13分）如图，四边形ABC D 为正方形，⊥EA 平面ABC D ，//EF AB ，=4,=2,=1A B A E E F . （Ⅰ）求证：⊥BC AF ；（Ⅱ）若点M 在线段A C 上，且满足14C M C A =,求证：//EM 平面F B C ；（Ⅲ）试判断直线A F 与平面E B C 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由 17、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为E F //A B ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，因为⊥EA 平面ABC D ，所以⊥E A B C . ………2分B由已知得⊥AB BC 且= EA AB A ，所以⊥B C 平面EABF . ………3分 又AF ⊂平面EABF ,所以⊥BC AF . ………4分 （Ⅱ）过M 作M N B C ⊥,垂足为N ，连结F N ,则M N //A B . .………5分又14C M AC =,所以14M N A B =.又E F //A B 且14E F A B =,所以E F //M N .………6分且E F M N =,所以四边形E F N M 为平行四边形. ……7分 所以E M //F N .又F N ⊂平面FBC ,E M ⊄平面FBC , 所以//E M 平面FBC . ………9分（Ⅲ）直线A F 垂直于平面E B C . ………10分证明如下：由（Ⅰ）可知，AF BC ⊥.在四边形ABFE 中，=4,=2,=1A B A E E F ，90BAE AEF ∠=∠= ， 所以1tan tan 2E B AF A E ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠.设AF BE P = ,因为90PAE PAB ∠+∠= ,故90PBA PAB ∠+∠= 则90APB ∠= ,即⊥EB AF . ………12分 又因为= EB BC B ，所以⊥AF 平面E B C . ………13分 （2012年朝阳二模理科）17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，， .（Ⅰ）若点M 在线段A C 上，且满足14C M C A =, 求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 17. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）过M 作M N B C ⊥于N ，连结F N ，则M N //A B ，又14C M A C =，所以14M N A B =.又E F //A B 且14E F A B =，所以E F //M N ，且E F M N =，所以四边形E F N M 为平行四边形，ABC D ⊥EA ABC D //EF AB =4,=2,=1A B A E E F //EM F B C ⊥AF E B C --A FB DE CBDMA F E DCMAFNQPBACD所以E M //F N .又F N ⊂平面FBC ，E M ⊄平面FBC ，所以平面. ……4分（Ⅱ）因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得.显然.则，所以.即，故平面.（Ⅲ）因为E F //A B ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，由已知得，，. ……9分因为平面，所以. 由已知可得且，所以平面ABF ，故是平面ABF 的一个法向量.设平面D FB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x,令2=x ，则(2,2,n =.所以7c o s <17,n n n⋅>==⋅BC BC BC 由题意知二面角锐角，故二面角17. ……14分（2012年丰台二模文科）17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱上的动点．（Ⅰ）若Q 是PA 的中点，求证：PC //平面BDQ ； （Ⅱ）若PB =PD ，求证：BD ⊥CQ ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA =PC ，PB =3，∠ABC =60º，求四棱锥P -ABCD 的体积．17．证明：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于O ．因为 底面ABCD 为菱形，所以 O 为AC 中点． 因为 Q 是PA 的中点， 所以 OQ // PC ，//EM F B C ⊥EA ABC D ⊥AB AD A -A xyz (0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F =(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB =0,=0⋅⋅ AF BC AF EB ,⊥⊥ AF BC AF EB ,⊥⊥A F B C A F E B ⊥AF E B C =(0,4,0),=(3,0,-2) BC FB =(4,4,0)-BD ⊥EA ABC D ⊥E A B C ⊥AB BC = EA AB A ⊥B CBC A -FB -D A -FB -D PAOQPBACD因为OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ， 所以PC //平面BDQ ． ……………………5分 （Ⅱ）因为 底面ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ，O 为BD 中点． 因为 PB =PD ，所以 PO ⊥BD ． 因为 PO ∩BD =O ，所以 BD ⊥平面PAC ．因为 CQ ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥CQ ． ……………10分（Ⅲ）因为 PA =PC ，所以 △PAC 为等腰三角形 ． 因为 O 为AC 中点，所以 PO ⊥AC ．由（Ⅱ）知 PO ⊥BD ，且AC ∩BD =O ，所以 PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P -ABCD 的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC =60º， 所以所以所以13P A B C D V -=⨯=P ABCD V -= ………14分（2012年丰台二模理科）17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D -AP -C3，求PF 的长度．17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，PFEDCABOBACDEFPx 所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º， 所以AF ⊥AB ， 因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,C 所以 1(,0,1)2B E =-，1(1,1,)2C P =--，所以cos ,15||||BE C P BE C P BE C P ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15．……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)A P t t =- ，(1,2,0)A C =，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ， 所以 121212||cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅，解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =． ……………14分ADCFPB（2012年顺义二模文科）16. （本小题共13分）如图四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，090ACB ∠=，P A ⊥平面A B C D ，1P A B C ==，AB =，F 是B C 的中点.(Ⅰ)求证：D A ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使C G ∥平面P A F ，并求三棱锥A -C D G 的体积. 16. （本小题共13分）解：(Ⅰ)证明：Q 四边形是平行四边形，∴90ACB DAC ∠=∠=，Q P A ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥，又A C D A ⊥，AC PA A =I ，∴D A ⊥平面PAC . __________4分(Ⅱ)设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作G H PA⊥于H ，则G H 平行且等于12A D ，连接F H ，则四边形F C G H 为平行四边形，__________8分∴G C ∥F H ，Q F H ⊂平面P A E ，C G ⊄平面P A E ，∴C G ∥平面P A E ，∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .__________10分 设S 为A D 的中点，连结G S ，则G S 平行且等于1122P A =，Q P A ⊥平面A B C D ，∴G S ⊥平面A B C D ，∴11312A C D G G A C D A C D V V S G S --===V .__________13分 （2012年顺义二模文理科）16. （本小题共13分）如图：四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，090ACB ∠=，P A ⊥平面A B C D ，1P A B C ==，AB =，F是B C 的中点.(Ⅰ) 求证：D A ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使C G ∥平面P A F ； （Ⅲ）求平面P A F 与平面PC D 所成锐二面角的余弦值16. （本小题共13分）解：分别以,,AC AD AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --.__________（建系正确，ADCFPBADCFPB坐标写对给3分）(Ⅰ) 证明方法一：：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=， Q P A ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥，又AC D A ⊥，AC PA A =I ，∴D A ⊥平面PAC . __________4分方法二：易证DA uu u r是平面平面PAC 的一个法向量，∴D A ⊥平面PAC .______4分(Ⅱ)方法一：设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作G H PA ⊥于H ， 则G H 平行且等于12A D ，连接F H ，则四边形F C G H 为平行四边形，_____6分∴G C ∥F H ，Q F H ⊂平面P A E ，C G ⊄平面P A E ，∴C G ∥平面P A E ，∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .__________8分方法二：设G 为P D 上一点，使C G ∥平面P A E ，令(0,,),(0PG PD λλλλ==-≤≤uuu r uuu r ，(1,,1)GC PC PG λλ=-=--+uuu r uuu r uuu r可求得平面P A E 法向量(1,2,0)m =u r，要C G ∥平面P A E ，∴0m G C ⋅=u r uuu r ，解得12λ=.∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .（Ⅲ）可求得平面PC D 法向量(1,1,1)n =r，__________10分||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴5分（2012年昌平二模文科）17.（本小题满分13分）在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E 为A D 中点, F 为11B C 中点.（Ⅰ）求证:1//A F 平面1EC C ；（Ⅱ）在C D 上是否存在一点G ,使B G ⊥平面1EC C ?若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，取B C 中点M ,连结F ED 1C 1B 1A 1DCBA,.AM FM11//B F BM B F BM ∴=且.∴四边形1B FM B 是平行四边形. 11//FM B B FM B B ∴=且.………2分 11//FM A A FM A A = 且，∴四边形1AA FM 是平行四边形. 1//FA AM ∴. E 为A D 中点，//AE M C AE M C ∴=且.∴四边形A M C E 是平行四边形. ………4分 //C E A M ∴.1//C E A F ∴.11ECC F A 平面⊄ ,1EC EC C ⊂平面，11//A F EC C ∴平面. ……… 6分（Ⅱ） 证明：在C D 上存在一点G ,使B G ⊥平面1EC C ，取C D 中点G ，连结B G ………7分在正方形A B C D 中, ,,,D E G C C D BC AD C BC D ==∠=∠C D E B C G ∴∆≅∆. E C D G B C ∴∠=∠. ………9分90C G B G B C ∠+∠=︒ . 90C G B D C E ∴∠+∠=︒.B G E C ∴⊥. ………11分ABCD CC 平面⊥1 ,ABCD BG 平面⊂ 1C C B G ∴⊥,1EC C C C = . B G ∴⊥平面1EC C . 故在CD 上存在中点G ,使得B G ⊥平面1EC C . ………13分（2012年昌平二模理科）17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABC D A B C D -中, 122AA AB ==,E 为A D 中点,F 为1C C 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥； （Ⅱ）求证://C E 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面A B C D 所成二面角的余弦值.GMF E D 1C 1B 1A 1DCBA17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中四边形A B C D 是正方形, A D C D ∴⊥1D D ABC D AD ABC D ⊥⊂ 平面，平面1AD DD ∴⊥ 1D D C D D = 11AD CD D C ∴⊥平面 111D F C D D C ⊂ 平面 1A D D F ∴⊥……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF .M ∴为1AD 中点.E 为A D 中点，F 为1C C 中点. 111//2M E D D M E D D ∴=且……… 6分又1121DD CF DD //CF =且∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分C E ⊄ 平面1AD F ,M F ⊂平面1AD F .//C E ∴平面1AD F . ………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,D A D C D D 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F ……… 10分 ∴平面A B C D 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n . 1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.A F A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .111cos ,6D D D D D D ⋅〈〉==n n n . ………13分 平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1A D F 与底面A B C D 所成二面角的余弦6.……… 14分（2012年怀柔二模文科）16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形， 其他四个侧面都是等边三角形，与为侧棱上一点．（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面． 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥. 因为平面，平面，所以∥平面（Ⅱ）证明：由已知可得，,是中点，所以，又因为四边形是正方形，所以. 因为，所以.又因为，所以平面平面.-----------14分（2012年怀柔二模理科）16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形， 其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为， 为侧棱上一点．（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）当二面角的大小为 时，试判断点在上的位置，并说明理由．S A B C D -A B C D A C BD E S C E S C S A BD E BD E ⊥SA C O E S A O E SA ËBD E O E ÌBD E S A BD E SB SD =O BD BD SO ^A B C D B D A C ^AC SO O = BD SAC ⊥面BD BDE ⊂面BD E ⊥SA C S A B C D -A B C D A C BD O E S C E S C S A BD E BD E ⊥SA C E B D C --45︒E S C16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接，由条件可得∥. 因为平面，平面，所以∥平面.-----------------------------------------4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥的底面边长为2， 则，，，，，.所以，.设（），由已知可求得.所以，.设平面法向量为，则 即 令，得.易知是平面的法向量.因为， 所以，所以平面平面.-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，平面法向量为.因为，所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为.所以，所以，解得.O E S A O E SA ËBD E O E ÌBD E S A BD E SO ABCD ⊥面A C B D ⊥S A B C D -(0, 0, 0)O (0, 0,S )0, 0A()0, 0B () 0, 0C()0, 0D-() 0, 0AC =-()0, 0BD =-C E a =02a <<45E C O ∠=︒(, 0,)22E a a(,)22BE a a =-B D E (, , )x y z =n 0,0B D B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ nn 0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩1z =(, 0, 1)2a a=-n ()0, 0BD =-SAC (, 0, 1)(0, 0)02aB D a⋅=⋅-=- n BD ⊥n BD E ⊥SA C C E a =02a <<B D E (, 0, 1)2a a=-n SO ABCD ⊥底面(0, 0, 2)O S =SA C E B DC --45︒cos , cos 452O S 〈〉=︒=n 2=1a =所以点是的中点.-----------------------------------------------------------------14分（2012年房山二模文科）17.如图，直四棱柱中，底面是菱形，且，为棱的中点.（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面.17．证明：（Ⅰ）连接，交与,连接 由已知四边形是矩形，所以为的中点， 又为的中点. 所以为的中位线. 所以因为平面,平面，所以平面. ………………6分 （Ⅱ）由已知，又,平面 ，平面 ∴平面∵平面,∴ ………………10分∵底面是菱形，且，为棱的中点.∴又,平面 ，平面E S C 1111ABC D A B C D -A B C D o 60ABC ∠=E C D 1//A C 1AED 1AED ⊥1CDD 1A D 1ADF EF 11AD D A F 1AD E C D EF 1ΔAED 1//A C EF 1A C ⊄1AED E F ⊂1AED 1//A C 1AED 11,D D AD D D BD ⊥⊥AD BD D ⋂=AD ⊂A B C D C D ⊂A B C D 1D D ⊥A B C D A E ⊂A B C D 1AE D D ⊥A B C D o60ABC ∠=E C D AE C D ⊥1C D D D D ⋂=C D ⊂1CDD 1D D ⊂1CDD∴平面 ………………12分 ∵平面∴平面平面. ………………14分（2012年房山二模理科）17．如图，四边形为正方形，，∥，．（I ）证明：平面；（II ）求异面直线与所成角的余弦值; （III ）求直线与平面所成角的正弦值．17．(I)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∵，∥ ∴ ∵ ∴∵A E ⊥11C D D C A E ⊂1AED 1AED ⊥1CDD ABCD ABCD BE 平面⊥EB FA EB AB FA 21==B AF AFD 平面⊥ED CF EC BCFAB AD ⊥ABCD BE 平面⊥EB FA ABCD FA 平面⊥ABCD AD 平面⊂AD FA ⊥A FA AFB ，FB FA AB =⊂ 平面,∴ ∵∴平面 ……………………………………5分 （II ）以为原点，建立如]图所示的空间直角坐标系，设， 则，故，，，，∴直线的方向向量为，直线的方向向量为 设直线与所成的角为，则……………………………………10分（III ）直线的方向向量为，， 设平面的法向量为，则，故，， 设直线与平面所成的角为，则……………………………………14分集所能集，不足之处敬请见谅！AFB AD 平面⊥AFD AD 平面⊂B AF AFD 平面⊥B 2=EB 1==AB AF ()0,0,2E ()1,1,0D ()1,0,0C ()0,1,1F ()0,0,0B ED ()1,1,2-=ED CF ()1,1,1-=CF ED CFθ33cos ==θEC ()1,0,2-=EC ()01,0=BC ()0,1,1=BF BCF ()z y x n ,,=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n BF n BC ⎩⎨⎧=+=00y x z ⎪⎩⎪⎨⎧=-==011z y x ()0,1,1-=n EC BCFα510sin ==α。

一、 集合（必修一）1.（2012年西城二模理1）已知集合2{|log 1}A x x =<，{|0B x x c =<<，其中0}c >．若 A B B =，则c 的取值范围是（ D ）A ．(0,1] B.[1,)+∞ C.(0,2] D.[2,)+∞2.（2012年昌平二模理1）已知全集U = R ，集合}{042≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A =（ B ）A. {0≥x |x }B. {20<≤x |x }C. {42≤<x |x }D. {40≤≤x |x }四、定积分（选修2-2）1.（2012年朝阳二模理6）下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π； :q 已知向量(1)λ，=a ，2(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-；:r 若111a dx =x⎰（1a >），则e =a .其中所有的真命题是（ D ） A ．r B ．,p q C ．,q r D ．,p r2.（2012年丰台二模理3）由曲线1y x=与y=x ，x=4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 （ C ）A ．3132 B ．2316 C ．1ln 42+ D ．ln 41+七、不等式（必修五）1.（2012年西城二模理12）已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数 b =_____；不等式(1)||f x x -< 的解集为_____．答案：0，{|12}x x <<。

2.（2012年朝阳二模理1）已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则=⋂B C A U （ B ）A ．{}04x x ≤<B ．{}04x x <≤C ．{}10x x -≤≤D ．{}14x x -≤≤3.（2012年东城二模理13）已知函数sin 1()1x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为__.答案：2。