高中数学组合课件.ppt

6.2.4 组合数
课标要求
素养要求
通过研究组合数公式及解决有限制条件 1.能利用计数原理推导组合数公式.
的组合问题，提升逻辑推理及数学运算 2.能解决有限制条件的组合问题.
素养.
新知探究
某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2 号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组 去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较 大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方 法有多少种？
一、素养落地 1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养． 2．几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的
点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将 几何问题抽象成组合问题来解决． 3．分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素 个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍 然是可区分的．
题型一 组合数公式的应用 【例 1】 求值：(1)3C38－2C25；
(2)C338n－n＋C32n1＋n. 解 (1)3C38－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＝148.
(2)∵00≤ ＜33n8－ ≤n2≤ 1＋3nn， ，∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝302× ×219＋31＝466.
①Cnm＝Cnn－m；②Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1(其中 n，m∈N*，m≤n)．
提示 成立．它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用．
2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？ 提示 在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式 Cnm＝AAmnmm常用于 n 为具体正 整数的题目，一般偏向于组合数的计算．公式 Cnm＝（n－mn）！！·m！常用于 n 为字母的 题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.

解析答案
类型二 组合的列举问题 例2 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有组合为_a_b_，__a_c_，_ _a_d_，__a_e_，__b_c_，__b_d_，__b_e_，__cd_，__c_e_，__d_e_. 解析 要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好， 然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来.如图所示.
类型三 组合数公式及应用 角度1 有关组合数的计算与证明 例 3 (1)计算 C410－C37·A33； 解 原式＝C410－A37＝140××39××28××17－7×6×5＝210－210＝0. (2)证明：mCnm＝nCmn－－11. 解 mCmn ＝m·m！nn！ －m！＝m－n1·n！－n1－！m！ ＝n·m－1n！－1n－！m！＝nCmn－－11.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 3 (1)计算 C34＋C35＋C36＋…＋C32 015的值为( C )
A.C42 015 C.C42 016－1
B.C52 015 D.C52 015－1
解析 C34＋C35＋C36＋…＋C32 015 ＝C44＋C34＋C35＋C36＋…＋C32 015－C44
解析答案
返回
达标检测
1234
1.下列问题中，组合问题的个数是( B ) ①从全班50人中选出5人组成班委会；②从全班50人中选出5人分别担负班
长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；③从1,2,3，…，9中任
取出两个数求积；④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商.
A.1
B.2 C.3 D.4
＝C45＋C35＋…＋C32 015－1＝…＝C42 015＋C32 015－1＝C42 016－1
(2)计算：C37＋C47＋C58＋C89＝_2_1_0__.

第十五页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝ 120××19＝45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的 选法．
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
第六页，编辑于星期一：点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
第十页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
)
A．4 或 9
B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8
时，解得 x＝9.
答案：A
第十八页，编辑于星期一：点 三十六分。
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服

2.题(2)证明的关键是什么？
第十九页，共43页。
【探究提示】1.选用组合数公式的乘积式，
即
Cmn
A mn A mm
n(n－1)(n－2)…(n－m 1) . m!
2. 有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组合数
的阶乘( jiē chénɡ)式形式作答.
第二十页，共43页。
【自主(zìzhǔ)解答】(1)原C式140－＝A37＝140392－8717×6×5 ＝210－210＝0.
【证明】右边=
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m
!
n!
m!n－m
!
Cnm
,
左边= Cmn ,所以左边=右边,所以原式成立.
第二十二页，共43页。
【方法技巧】关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m !
第十三页，共43页。
知识点2 组合数与组合数公式 1.组合数公式的两种形式的适用范围
形式
适用范围
乘积式
含具体数字的组合数的求值
要注阶意乘性式质(xìngzhì)含字母的组合的数顺的用有、关逆变用形、变及形证用明.顺用是将一
个组合数拆成两Cmn个1 ；C逆nm用 则Cnm是－1“合二为一”；变形式
=
(2)
C18 20
C220
20 19 21
190.
答案：190
(3)
C399
C929＝C1300
100 99 98 3 21
161
700.
答案：161 700

高中数学
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )

2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈学校N课堂*，m≤n）
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
学校课堂
11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种）
排法。
学校课堂
15
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：

(4)先从四个盒子中任取两个有 C42种，问题转化为：“4 个球，
两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为
(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从 4 个球中先选 3 个，然后放入指
定的一个盒子中即可，有 C34·C12种放法；第二类：有 C24种放法．因
此共有 C34·C12＋C24＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒
有向线段共有多少条?
A120 =45
变式(书本第27页A组)
例2
解：（1）C1300 161700 (2)C21 C928 9506
直接法 间接法
例2
变式：抽取的3件中至多1件是次品，抽法有多少种？ （只需列出式子，不用计算结果）
组合数的两个性质（书本第25页阅读材料）
(1)Cnm
C n-m n
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数 Anm ．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：Cnm
Anm Amm
nn 1n 2n m 1
m!
这里 m、n N *，且 m n ，这个公式叫做
组合数公式．
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念及性质
(1)共有多少种做法？ (2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
解析 (1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都可有 4 种
独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有 44＝256(种)．

2019/9/6
4
2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有 A55=120种 排 法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
2019/9/6
6
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有
A
5 5
种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有
C
2 6
15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
2019/9/6
11
7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手
名额分配到高三年级的1到4 班4个教学班,每班的名额
不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，
再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的

(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出 来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙 两个盒子里，有多少种不同的放法？ 【思维导引】与“顺序”有关是排列问题，与“顺序”无关不是排列问题．
【解析】(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个 元素的位置无关，所以不是排列问题． (2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐 标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要 考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．
3．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插 法共有________种(请用数字作答). 【解析】我们可以一本一本插入，先插入一本可以在原来5本书形成的6个空隙中 插入，共有6种插入方法；同理再插入第二本共有7种插入方法，插入第三本共有 8种插入方法，所以共有6×7×8＝336(种)不同的插法． 答案：336
课堂素养达标
1．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( ) A．6个 B．10个 C．12个 D．16个 【解析】选C.从2，3，5，7四个数中任选两个数分别相除，被除数有4种不同选 法，除数有3种不同选法，所以共有4×3＝12个．
2．由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数是 ________． 【解析】先排3，4有2种排法，再插空排5有3种排法，再插空排1有2种排法，插 空排2有3种排法，所以共有2×3×2×3＝36个． 答案：36
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无 关；若这3个数字组成不同的三位数，则与顺序有关．

3．要从12个人中选出5人参加一项活动，按下列要求，各 有多少种不同的选法？
(1)A，B，C三人必须当选； (2)A，B，C三人不能当选； (3)A，B，C三人中只有一人当选．
【解析】(1)∵A，B，C 三人必须当选，∴再从其他 9 个人 中选出 2 人，则可组成 5 人小组，共有选法 C29＝9×2 8＝36(种)．
组合பைடு நூலகம்简单应用
【例3】 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任 取5个球．
(1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？
【解析】(1)从口袋里的 8 个球中任取 5 个球，不同取法的 种数是 C58＝C38＝83××72××61＝56.
1．计算：C28＋C38＋C29＝( )
A．120
B．240
C．60
【答案】A
D．480
2．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( ) ①由1,2,3,4构成的2个元素的集合； ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
A．①③
B．②④
组合数公式的应用
【例 2】 (1)计算：C19080＋C129090；(2)求 C33n8－n＋C321n＋n的值． 【解析】(1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×2 99
＋200＝4 950＋200＝5 150.
0≤38－n≤3n， (2)0≤3n≤21＋n，
即1029≤≤nn≤≤22318. ，
C．①②
【答案】C
D．①②④
3．从2,3,5,7这四个质数中任取两个相乘，可以得到不相

统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧

排列与组合的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合数公式推导过程
推导过程
考虑从n个元素中取出m个元素的所有可能情况，这相当于对n个元素进行全排 列，然后除以m个元素的全排列和剩余(n-m)个元素的全排列，以消除排列中 的重复情况。
进行快速计算。
组合的应用
在概率统计、排列组合问题、 编码理论等领域有广泛应用。
易错点剖析及注意事项
区分排列与组合
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。在计算时，要注意题目要求的 是排列数还是组合数。
注意组合数的范围
由于组合数是从n个元素中取出m个，因此必须满足0≤m≤n的条件， 否则组合数无意义。
阶乘的计算
解答题思路剖析
仔细审题
明确题目要求，理解题意。
制定解题计划
根据题目条件和所学知识，制定详细的解 题步骤和计划。
执行解题计划
检查答案
按照计划逐步进行计算和推导，注意每一 步的正确性和合理性。
对答案进行检验和审查，确保没有遗漏和错 误。如果答案不符合题目要求，需要重新检 查和修正解题过程。
05 练习题巩固提高
证明组合数恒等式
利用组合数的性质和递推关系可以证 明一些组合数恒等式，如范德蒙德恒 等式等。
在概率统计中作用
计算事件概率
在概率论中，组合数经常用于计 算一些事件的概率，如超几何分
布、二项分布等。
抽样问题
在统计学中，组合数也常用于解决 一些抽样问题，如从总体中抽取一 定数量的样本进行检验等。

1
.
对于组合数的概念以及在应用时，需注意：
（1）组合数 Cmn 既表示一个结果，又表示一种运算.
（2）Cmn
A
m n
A
m m
n n 1 n m 1 m m 1 21
n!
n m!m!
（连乘）
（阶乘）
通 使常 用进 连行 乘具形体式计比算较，方或便组，合如数：CC120mn 中1m20较19小时4，5 .
（连乘形式）
n!
（2） Cmn
A
m n
A
m m
n m!
m!
n!
n m!m!
（阶乘形式）
特殊组合数：
（1）当
m
0
时，C0n
n! n!0!
1（注意
0! 1）；
（2）当 m 1 时，C1n
n! n n 1 !1!
；
结合具体问题来直观解 释这3个组合数的含义.
（3）当 m
n
时，Cnn
n! 0!n!
相对于问题（2），问题（1）也可以看作分成两步完成：
第一步，从3所学校中任取2所学校，即完成问题（2），
设有 x 种方法；
第二步，将选出的2所学校全排列，排列数为
A
2 2
.
根据分步乘法计数原理：方法数为 xA22 .
所以
A
2 3
xA22
，即：问题（2）的方法数
x
A32 A 22
.
事实上，问题（2）也是计数问题中的一种重要模型. 问题4：你能否类比排列的知识，从问题（2）中提炼出数学本质吗？
选出剩余（ n–m ）个对象的每一个组合是一一对应的.那
么，从n个不同对象中取出m个对象的组合数 Cmn ，与从n个

跟踪训练 1 (1)若 C6n＝C5n，则 C1n0等于
A.1
B.10
√C.11
D.55
由 C6n＝C5n，得 n＝6＋5＝11， C1n0＝C1110＝C111＝11.
(2)若 C318n＋6＝C41n8－2，则 Cn8＝___2_8___.
由 C31n8＋6＝C41n8－2， 得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18， 解得 n＝2 或 n＝8(舍去)，故 C28＝28.
5.C44＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49等于
A.C410
√B.C510
C.C610
D.A410
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
因为 Cmn ＋Cmn ＋1＝Cmn＋＋11， 所以 C44＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49 ＝C55＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49 ＝C56＋C46＋C47＋C48＋C49 ＝C57＋C47＋C48＋C49 ＝C58＋C48＋C49 ＝C59＋C49 ＝C510.
一施工队，不同的选法有
A.C310种
B.A310种
C.A27A13种
√D.C13C27种
每个被选的人员无角色差异，是组合问题.分两步完成：第一步，选女 工，有 C13种选法；第二步，选男工，有 C27种选法.故有 C13C27种不同的 选法.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
组合数的性质 2：Cmn ＋1＋Cmn ＝Cmn＋＋11. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标 与大的相同的一个组合数. (2)体现了“含”与“不含”的分类思想.
例 2 (1)已知 m≥4，则 C3m－C4m＋1＋C4m等于

a,b, d a, c, d
a,b, d a,c, d
b, a, d d, a,b a, d,b b, d, a d,b, a
c, a, d d, a, cC34 a, d4, c c, d, a d, c, a
b, c, d
b, c, d c,b, d d,b, c b, d, c c, d,b d, c,b
根据分步乘法的计数原理，有 A34 C34 A33
,
C34
A34 A33
c,b, a d,b, a d,c, a d , c, b
有
每 一
A
3 3
种种
组不
合同
组的
内排
列
学习新知
环节二：问题探究，导出公式
问题3：如何将结论从特殊推广到一般的情况呢？
求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”，可以看作由以下 两个步骤得到：
高二年级—人教A版—数学选择性必修第三册第六章
6.2.4组合数
学习目标
1、了解组合数的概念及公式；
2、运用组合数解决实际问题；
3、体会类比的思想方法，从特殊到一般的推理方法， 培养数学计算素养。
知识回顾
1、排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m （m≤ n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2、组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m （m≤ n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合.
表示.
其公式为： Amn n(n 1)(n 2) (n m 1) 问题：能否通过类比得出组合数的概念呢？
学习新知
环节一：类比分析，引出概念
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不 同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组 合数，用符号 Cmn（或 (nm ) ）表示.