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逻辑命题知识点总结逻辑命题是逻辑学的一个基本概念，它指的是一个可以陈述为真或者假的陈述句。
逻辑命题的研究是逻辑学中的一个重要部分，它涉及到命题的真假判断、推理规则和命题之间的关系等内容。
在这篇文章中，我们将对逻辑命题的基本概念、分类、性质以及一些常见的推理规则进行总结和分析。
一、逻辑命题的基本概念1. 命题的定义：逻辑命题是一个可以陈述为真或者假的陈述句。
通常用大写字母P、Q、R 等表示命题。
2. 命题的种类：根据命题的结构和性质，可以将命题分为简单命题和复合命题。
简单命题是不能再分解为更简单命题的命题，而复合命题则由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
3. 命题的关系：在逻辑学中，命题之间存在多种关系，例如与或非关系。
与关系表示两个命题都为真时整个复合命题才为真，或关系表示两个命题中至少有一个为真时整个复合命题为真，非关系表示对一个命题的否定。
二、逻辑命题的性质1. 真值：真值指的是命题的真假状态，在逻辑学中通常用T表示真，用F表示假。
2. 逻辑运算符：逻辑运算符是用来连接命题的符号，包括合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）、等价（↔）和否定（¬）等。
3. 等价关系：命题P和命题Q是等价的，当且仅当它们的真值表相同，即P↔Q。
等价关系是逻辑学中一个重要的概念，它可以用来简化逻辑推理和证明。
4. 矛盾和对偶：矛盾是指两个永远不可能同时为真的命题，例如P与¬P；对偶是指两个命题在真值表中互相对应的关系，当一个命题为真时，对应的命题为假，反之亦然。
5. 充分条件和必要条件：如果P→Q，那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
这是逻辑学中常用的推理规则，也是数学中常用的方法。
三、逻辑命题的推理规则1. 永真命题和矛盾命题：永真命题是指在任何情况下都为真的命题，例如P∨¬P；矛盾命题是指在任何情况下都为假的命题，例如P∧¬P。
2. 排中律和否定律：排中律指的是任何命题要么为真，要么为假；否定律指的是任何命题的否定都是假。
第三章命题逻辑的公式第一节现代命题逻辑简介一、现代命题逻辑与传统命题逻辑的区别与联系1、现代命题逻辑与传统命题逻辑的联系从上一章我们对复合命题及其推理的学习中我们可以看出：复合命题推理所依据的是推理中复合命题的逻辑性质。
复合命题的逻辑性质和构成复合命题的命题联结词有关，与构成复合命题的简单命题的内部结构无关。
因此，考察这种推理是否有效，形式上是否正确，用不着分析推理中所包含的简单命题的内部结构。
从这个意义上说，简单命题是命题逻辑研究中的最基本单位。
这是传统命题逻辑和现代命题逻辑的共同点。
2、现代命题逻辑与传统命题逻辑的区别A、语言传统命题逻辑采用的是日常语言。
日常语言的特点是含义丰富，能够表达丰富多彩的思想内容。
其缺点是容易产生歧义，缺乏确定性。
例如：对于命题“老张或者是湖南人，或者是湖北人”来说，我们必须分析两个肢命题在现实中是否相容来判断或者究竟表达的是相容的选言关系还是不相容的选言关系。
与传统命题逻辑不同，现代命题逻辑采用的是人工语言（一种精确的符号语言）。
同日常语言自身就表达一定的思想内容不同，人工语言本身只是一个抽象的符号系统，只有在我们指定每个基础符号所表示的意义之后，这种人工语言所表示的符号串才具有具体的思想内容。
相对于日常语言，人工语言的优点是含义单一，可进行代入、运算等数学计算。
B、方法传统命题逻辑研究复合命题及其推理的方法是日常语言分析，通过分析命题联结词在具体的语境下所表示的命题间关系来确定复合命题的逻辑性质，并在此基础上确立各种有效推理形式。
现代命题逻辑采用符号化、公理化和形式化的方法，建立命题的逻辑运算和演算。
现代逻辑所采用的精确的人工语言是其公理化、形式化方法的基础。
由于现代逻辑采用公理化、形式化的方法，其对命题逻辑的研究也更加深入、更加严谨。
二、命题逻辑公式的构成现代命题逻辑采用的是符号化的人工语言，因此，在现代逻辑中，无论是命题形式，还是推理形式都表现为一些符号公式，逻辑学中称为命题逻辑的公式。
三段式逻辑推理
三段式逻辑推理是演绎推理中的一种简单推理判断，它包括：一个包含大项和中项的命题（大前提）、一个包含小项和中项的命题（小前提）以及一个包含小项和大项的命题（结论）三部分。
三段论实际上是以一个一般性的原则（大前提）以及一个附属于一般性的原则的特殊化陈述（小前提），由此引申出一个符合一般性原则的特殊化陈述（结论）的过程。
举一个简单的例子：
大前提：所有的金属都是导电的。
小前提：铁是金属。
结论：铁是导电的。
在这个例子中，大前提提供了一个一般性的原则，即所有的金属都是导电的。
小前提则是一个特殊的陈述，即铁是金属。
根据大前提和小前提，我们可以得出结论：
铁是导电的。
三段论是人们进行数学证明、办案、科学研究等思维时，能够得到正确结论的科学性思维方法之一。
是演绎推理中的一种正确思维的形式。
期末逻辑基础知识总结自古以来，人类对于思维与推理的认识和研究一直是重要的话题。
逻辑作为一门科学，可以帮助我们理性地分析和推断，从而帮助我们在日常生活和学术研究中做出更准确的判断和决策。
本文将总结逻辑基础知识，包括命题逻辑、谓词逻辑和推理等内容。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它研究的是关于命题和命题之间的关系。
命题是陈述句，可以是真或假的陈述。
命题逻辑的基本符号有命题变元和逻辑联结词。
命题变元是表示一个命题的符号，通常用字母p，q，r等表示。
逻辑联结词有非（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。
在命题逻辑中，可以使用真值表来确定命题逻辑表达式的真值。
真值表列出了所有可能的命题变元取值组合与表达式的真值之间的关系。
在真值表中，通过逻辑联结词的定义确定表达式的真值。
除了真值表，命题逻辑还具有许多重要的推理规则。
例如，分配律、德摩根定律、假言推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们在求解命题逻辑问题时进行简化和推导。
二、谓词逻辑谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑体系，它能够表示量化和关系。
命题逻辑只能判断陈述的真假，而谓词逻辑可以进行更加复杂的推理和论证。
在谓词逻辑中，除了命题变元，还有谓词和个体变元。
谓词表示性质、状态或关系，可以是一元谓词或二元谓词等。
个体变元表示具体的对象，通常用小写字母a，b，c等表示。
例如，P(x) 表示“x具有性质P”，R(x, y) 表示“x与y有关系R”。
谓词逻辑的逻辑联结词包括非（¬）、合取（∧）、析取（∨）、存在量词（∃）和全称量词（∀）等。
存在量词可以表示存在某个对象使得命题成立，全称量词可以表示对于所有对象命题都成立。
谓词逻辑的推理规则也比命题逻辑更加复杂和丰富。
其中包括一般化规则、特殊化规则、全称量词推理规则和存在量词推理规则等。
三、推理推理是逻辑学中一个重要的概念，它指的是根据已知的信息和推理规则，得出新的结论或判断。
数学的逻辑之道高中数学中的命题与逻辑推理在高中数学中，命题与逻辑推理是一门非常重要的内容。
数学的逻辑之道可以帮助我们理解和解决各种问题，培养我们的思维能力和分析能力。
本文将从命题的基础概念开始，介绍高中数学中命题与逻辑推理的相关知识。
一、命题的基本概念命题是陈述句，可以判断为真或者假。
在数学中，我们经常使用符号来表示命题。
常见的命题符号有p、q、r等，我们可以通过连接词来组合命题，如“与”、“或”、“非”等。
例如，p表示“今天是星期一”，q表示“明天下雨”，则“p与q”表示“今天是星期一并且明天下雨”。
二、逻辑联结词逻辑联结词用于连接命题，常见的有“与”、“或”、“非”、“蕴含”等。
这些联结词遵循一定的逻辑规律，通过它们的运算，我们可以得到复合命题的真值。
1. 与（∧）：当且仅当所有命题都为真时，复合命题才为真。
例如，p为真，q为真，则“p∧q”为真。
2. 或（∨）：当至少有一个命题为真时，复合命题为真。
例如，p为真，q为假，则“p∨q”为真。
3. 非（¬）：表示取反，当命题为真时，取反后为假；当命题为假时，取反后为真。
如¬p表示“不是今天是星期一”。
4. 蕴含（→）：表示“如果...，那么...”的关系。
当假设命题为真时，结论命题为真。
例如，p表示“上午下雨”，q表示“我带伞”，则“p→q”表示“如果上午下雨，那么我带伞”。
三、命题的逻辑关系在数学中，我们还常常关注命题之间的逻辑关系，例如充分条件、必要条件、等价命题等。
1. 充分条件：如果p → q为真，则q是p的充分条件。
例如，上午下雨是我带伞的充分条件。
2. 必要条件：如果p → q为真，则p是q的必要条件。
例如，我带伞是上午下雨的必要条件。
3. 等价命题：如果p → q为真且q → p为真，则称p与q是等价命题。
例如，上午下雨是我带伞的充分必要条件。
四、命题的推理方法在数学中，我们常常使用推理来解决问题。
推理是基于已知命题通过逻辑规律得出新的命题的过程。
逻辑判断的三种命题特点暑假到了，这对于准备考公务员的考生来说是一个难得的时间段，能否有效地利用这段较为集中的时间很可能就是决定下半年公务员考试成败的最关键因素。
判断推理部分中的“逻辑推理”题型既是公务员考试的重点，又是公务员考试的难点，因此，公务员辅导老师就在这里谈谈暑期公务员考试逻辑部分的复习。
公务员考试所考的逻辑推理部分是我们公务员考试题目中较难的部分，其实“逻辑”本身不是什么玄妙的东西，我们生活当中处处都会涉及到逻辑，比如一个三岁的小朋友，他的妈妈给他买玩具，他的爸爸不给他买玩具，于是他就得出一个结论：妈妈是好的，爸爸是坏的。
这就是这个三岁的小朋友的逻辑思维：谁给他买玩具谁就是好的。
三岁的小朋友都有自己的逻辑思维，何况我们大家。
我们生活当中是时时有逻辑、处处有逻辑、人人有逻辑的。
既然逻辑如此普遍和平常，那为什么平时我们做题感觉如此吃力呢？这里有两个原因，第一个原因就是我们做逻辑题需要一些专业性的知识和方法，第二个就是我们考试当中的涉及到的一些逻辑思维和我们生活中的逻辑思维是有些不同的。
第二点就极其容易犯错了，我们要啃逻辑这块硬骨头，核心就是从这一点出发。
第一，我们做逻辑题的一个逻辑精神：我们选择答案不是看这个选项是否符合客观实际，而是看这个选项是否能由题干推出，在这个推出过程中是否符合我们逻辑原则。
例题：所有南京人都是江苏人；所有南京人都喜欢吃咸鸭；有些江苏人喜欢旅游。
如果以上断定成立，那么下列哪项能够推出？I．有些江苏人不是南京人。
II．有些江苏人不喜欢旅游。
III．有些江苏人喜欢吃咸鸭。
A．仅I。
B．仅II。
C．仅III。
D．仅I、II和III。
解析：主要我们看第一句话。
第一句话如果是从客观实际看的话肯定是正确的，可是我们不能选它，因为这句话不能由题干推出。
题干中说“所有南京人都是江苏人”并不能推出“有些江苏人不是南京人”，因为这里有一种特殊情况，那就是南京人和江苏人是全同的关系。
逻辑三段论解题方法每一届管理类联考和经济类联考考研的考生在备考逻辑的过程中总有很多人讨厌三段论，觉得三段论太麻烦太纠结。
其实，这都是没有掌握三段论的解题方法和技巧导致的。
三段论算是基础逻辑里面最经典也是最重要的内容之一，在十年前，三段论都要考好多道题，只是最近几年考的不多了，但这不能成为我们避开它的理由，因为它仍然还是一个重要的考点，而且它也没有那么麻烦，不用那么纠结。
三段论的考法是很多的，可以考结构比较、考补缺或完善、考推断……，大家最讨厌的应该是那种推断题，通常题干会给出一大段信息，要求进行三段论推理找出真的或者假的选项，部分同学看到这样的就觉得晕，其实，说晕真的有点夸张，因为，有正确的方法和技巧那这种题也不是什么难题。
最常见的两种解题方法：一是画圈即用欧拉图来解，二是把信息串联后来推断。
这两种方法我们觉得信息串联的方法更为好用，但这种方法还是需要我们掌握一些三段论的知识点，这样串起来才会得心用手。
下面我们就尝试用串联信息的方法具体来解一个题：在某研究所里，所有的工程师都是工会会员，有的工程师是硕士，所有工会会员都办了信用卡，没有管理人员办信用卡。
如果以上所述为真，则以下哪项必假?在该研究所里：A.所有的工程师都办了信用卡B.有些工程师兼做管理人员C.有些硕士没办信用卡D.有些硕士办了信用卡E.管理人员都不是工会会员这个题一看就知道是三段论的题，一定可以对题干进行三段论推理得到一个结论，而这个结论和某个选项有矛盾关系或反对关系。
首先我们找到搭桥的概念把信息串起来，注意，搭桥的概念至少要有一次是周延的。
第一个信息的中的工程师是周延的，所以，可以把第二个判断简单换位，然后就可以和第一个判断串起来，接着又可以和第三个判断串起来，再把第四个判断等值变形成：所有管理人员没办信用卡，进一步换位：办了信用卡的不是管理人员，这就可以全部串起来了：有些硕士→工程师→工会会员→办了信用卡→非管理人员。
从上述链条可以看出：工程师都不是管理人员。
3 命题逻辑形式系统（FSPC ）3.1 命题逻辑与命题演算Leibniz 提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL 提出了布尔代数。
布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。
把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。
1、 命题（Propositions ）：可以判断真假的陈述句。
不涉及任何联结词的命题称为原子命题。
2、 联结词：⌝, →, ↔, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。
->如果A 成立则B 成立，<->如果A 成立则B 成立，并且如果B 成立则A 成立；A ∨B ，或者A 成立或者B 成立；A ∧B ，A 成立并且B 成立。
3、 真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。
True(⌝A)，如果True(A)＝0，True(⌝A)=1：True(A)=1, True(⌝A)＝0A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=⌝A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=<True （B ）；True(A) =True(B)，True(A<->B)=1；True(A ∨B)=max(True(A), True(B)); True(A ∧B)= min(True(A), True(B));A->A4、 命题变元：以真值为值域的变量称为命题变元。
A5、 赋值映射：命题变元集合到{0,1}上的函数。
如果公式A 对任意的赋值映射，取值为真，则称A 为永真式。
如果公式A 对于所有赋值映射为假，称为A 为矛盾式。
对于任意赋值映射，公式A 的真值等于公式B 的真值，成A 与B 等价。
True(A->A)＝1, True(⌝(A->A))＝0 A=1，True(⌝A->A)=1 A=0, True(⌝A->A)＝0命题逻辑有以下特点：1、 从语义角度研究逻辑命题之间真值变化规律。
对于任意公式可以给出其所有的真值可能性。
2、存在永真式，例如：P P P P →⌝∨,等。
3、 永真式通过三段论推理方法得到的公式，仍然为永真式。
基于这样的事实，提出一个问题“是否有永真式的最小集合？”。
答案是肯定的。
公理方法的出现，使人们开始用公理方法研究逻辑系统。
于是产生了命题逻辑形式系统。
(A VB)->C3.2 命题逻辑形式系统（FSPC ）PC 最著名的形式化系统可能源于Whitehead 和Russell 的《数学原理》(Principia Mathematica)。
3.2.1 FSPC 定义1、 语言部分（1）符号集：∑＝{（, ）,⌝ , →, ,p 1 ,p 2 ,p 3…….} ，其中⌝, →, ↔, ∨,∧为联接词；（，）为技术符号，即括号；p 1 ,p 2 ,p 3……为命题变量（命题变元或者命题符号）。
（2）项集：为空集。
（3）公式集合：公式集合有以下递归定义。
I. p 1 ,p 2 ,p 3……（命题变元）为公式，称为原子公式。
II. 如果A 、B 为公式，那么（A ⌝），（B A →），为公式。
III. 除此之外没有公式。
语言部分定义了FSPC 的公式（语言）产生规则。
2、 推理部分（1）公理：FSPC 包含下列三个公理模式：I A 1))((A B A →→II A 2 ))()(())(((C A B A C B A →→→→→→ III A 3 ))())()(((A B B A →→⌝→⌝IVA->A(2) 推理规则集合：只有一条推理规则，称为分离规则： 分离规则（modus poneus ）BBA A →, 3.2.2 公式结构1、公式产生序列：● 对于一个∑*上的字符串A 是公式的充分必要条件是存在一个公式序列)(,,,,321A A A A A L = 其中i A 为（1）到（3）中的一种：（1）：为原子公式（2）：存在i j <，使得)(j i A A ⌝=（3）：存在i j n <,，使得)(n j i A A A →=● 公式生成过程举例：例如公式：))())()(((p r r q p ∧→∨↔⌝，的生成过程。
（1）首先p 、q 、r 为公式（原子公式）p, q, r, ⌝p, ⌝q, ⌝r, p ∨q, q ∨r, r ∧p, ⌝p ↔( q ∨r), （2）（p ⌝）、)(r q ∨、)(p r ∧为公式 （3）))()((r q p ∨↔⌝为公式 （4）))())()(((p r r q p ∧→∨↔⌝公式我们有树能够更清晰地给出公式的生成过程：))())()(((p r r q p ∧→∨↔⌝为公式))()((r q p ∨↔⌝ → p r ∧)(p ⌝ ↔ )(r q ∨ r ∧ p p ⌝ q ∨ r3、公式结构特点（1）括号是在公式中，是成对出现，左右括号数量相同。
（2）在自然逻辑中，公式有否定式、合取式、析取式、蕴涵式、等值式等不同类型的概念。
（3）由于公式采用递归定义的方法来定义，因此，对∑*上的任意字符串能够判断是否为公式。
（4）形式系统的联结词只有两个→⌝,，因为在命题逻辑的语义上，其他联结词可以有这两个联结词表示。
（5）由于公式是采用递归定义方式来定义的，因此，对于公式的性质通常采用递归证明方法来证明。
例如：设：R 是一个有关公式的性质，如果要证明R 对于所有公式有效则通过下面的证明步骤： I.对于)(FSPC Atom p ∈，则)(P RII. )(FSPC Atom A ∈∀，且)(A R ，则)(A R ⌝III. B A ,∀是公式，如果)(A R 且)(B R ，则)(B A R → 由以上三条，可知R 对于FSPC 上的所有公式成立。
3.3 命题形式演算 3.3.1 形式演算1、概念：演绎结果与定理：设A 为FSPC 上一公式，集合Γ为FSPC 上一公式集合。
称A 为Γ的演绎结果，记为Γ├A ，如果存在一个公式序列：)(,,,,321A A A A A L =使得i A 或者为形式系统FSPC 的公理，或者为公式集合Γ中的元素，或者为),,,,(,,,,13211321i j j j j A A A A n j j j j n <-- 由推理规则r 得到；则称A 为FSPC 的演绎结果。
当Φ=Γ时，称A 为定理FSPC 上的定理。
称)(,,,,321A A A A A L = 为A 的证明序列。
逻辑等价：公式A 和B 分别为两个公式，如果A,B 满足B ├A ，且A ├B 同时成立，则称公式A 和B 为逻辑等价公式，记为A ├│B 。
即A,B 互为演绎结果。
例如：A ⌝⌝├|A ，B A ∧├|A B ∧，B A ∨├|A B ∨。
对偶：设A 为FSPC 上由联结词⌝, ∨, ∧和原子公式构成的公式。
在A 中交换∨和∧，以及原子公式和他的否定公式，得到公式'A ，则称'A 为A 的对偶。
True(⌝A ∨B)=True(⌝(A ∧⌝B))=( ⌝A ∨B)2、形式演算举例例：证明A A →为FSPC 的定理。
证明：（1） A 1 ：)))(((A A A A →→→（2） A 2 ：)))())(()))(((((A A A A A A A A A →→→→→→→→（3）A 1 ：)(A A A →→（4）))())((A A A A A →→→→（1）（2）（5）)(A A →（3）（4）已知A 成立求证A ⌝⌝A)(A A A →⌝⌝→ A A →⌝⌝3.3.2 形式演算方法1、主要的证明方法与手段形式演算方法多种多样，通常有以下方法：（1）公理代入原理：设A(P)为含有变元P 的公理（定理同样适用），如果将公式A 中的变元P 替换为命题变元B ，则A(B)仍为公理（定理）；（公理填充） A->(B->A);A->((A->A)->A);C->(B->C)（2）等价替换原理：设命题公式A 含有子公式C （C 为命题公式），如果C ├│D ，那么将A 中子公式C 提换为命题公式D （不一定全部），所得公式B 满足A ├│B 。
A->(A->A)->(A->A)=A->(B->B)->(A->A) A->A=B->B（3）对偶原理：设A 为FSPC 上的公式，'A 为其对偶，则A ├│'A ⌝。
（4）形式演算规则：在FSPC 之上，利用分离规则扩展的推理规则。
例如：A ├A （自反规则）；如果Γ├A ，则*,ΓΓ├A ，其中*Γ为一个公式集合（引入规则）等。
这样扩充后的系统被称为自然推理系统。
（5）联结词运算规则：针对联结词的运算规律。
例如：交换律、结合律、莫根定律等。
对于（1）是对于任何证明序列所必须的。
其他的定律都可以由分离规则产生。
2、不同类型的证明方法在命题演算时，主要是证明以下问题： 1) 命题A⌝2)命题AA→3)命题BA↔4)命题BA∨5)命题BA∧6)命题B针对这些要证明的问题，通常有以下方法来证明：1)命题A：●自反规则：A├A●增加前提：证明∑├A，只需证明∑0∈∑中，∑0├A●→销去：B→如果∑├A∑├B则∑├A（分离规则）●⌝销去（反证法）：⌝├B如果∑，A∑，A⌝⌝├B则∑├A●包含：∈A∑∑├A●∧销去：A∧如果∑├B则∑├A⌝（同上）2)命题AA→3)命题B∑，A ├B则∑├→A (B ）4) 命题B A ↔∑├→A B ∑├→B A5) 命题B A ∨如果或者∑├A 或者∑├B 则∑├B A ∨6) 命题B A ∧如果∑├A 并且∑├B 则∑├B例：证明：A ⌝⌝├A （1）A ⌝⌝，A ⌝├A ⌝ 包含 （2）A ⌝⌝，A ⌝├A ⌝⌝包含（3）A ⌝⌝├A（反证规则）3.3.3 形式演算性质形式演算主要有以下特点：1) 紧致性：设∑为FSPC 上的公式结合，A 为FSPC 的公式。
如果∑├A ，则存在∑的有限子集∑0 使得∑0 ├A 。
2) 传递性：设∑和∑1为FSPC 上的公式集合，A 为FSPC 的公式。
如果∑├∑1 ，∑1├A ；则∑├A 成立。
例：证明A ⌝⌝├A （1）A ⌝⌝（2）)(A A A ⌝⌝→⌝⌝⌝⌝→⌝⌝A 1（3）A A ⌝⌝→⌝⌝⌝⌝（1）（2）（4）)()(A A A A ⌝⌝⌝→⌝→⌝⌝→⌝⌝⌝⌝A 3（5）A A ⌝⌝⌝→⌝（3）（4）（6）)()(A A A A →⌝⌝→⌝⌝⌝→⌝A 3（7）A A →⌝⌝（5）（6）（8）A* 公理推演系统模式单一，易于机械化，而推理过程复杂。
