隐函数定理的一个证明

第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。

隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理是微积分学中的一个重要定理，它告诉我们，如果给定一组方程，其中至少有一个方程无法表示成 y=f(x) 的形式，但是这组方程在一定条件下仍然能够确定一个函数 y=f(x)，那么这
个函数就是隐函数存在的。

这个定理在数学上有着重要的应用，但是它的几何解释也非常有趣。

我们可以将隐函数存在定理的几何解释简单地描述为以下三步：
1. 给定一个曲面 S，它的方程可以用 f(x,y,z)=0 来表示。

2. 假设我们想要在曲面 S 上找到一个函数 z=f(x,y)。

3. 如果在曲面 S 上每个点 (x,y,z) 的某个邻域内，存在唯一
的 z=f(x,y) 与 f(x,y,z)=0 同时成立，那么 z=f(x,y) 就是隐函数存在的。

这个几何解释告诉我们，如果一个曲面在某些点上不是 y=f(x) 的形式，但是在这些点的某个邻域内，曲面上的每个点都可以用
y=f(x) 的形式表示，那么这个曲面就存在一个隐函数 y=f(x)。

这个隐函数与曲面的几何形状密切相关，它可以帮助我们理解曲面的特征。

隐函数存在定理的几何解释提供了一种直观、有趣的方法来理解这个重要的数学定理。

它让我们看到了数学与几何之间的紧密联系，同时也让我们认识到了数学的实用性。

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隐函数导数存在定理
隐函数导数存在定理，也称为隐函数存在定理，是微积分中一个关于隐函数求导的重要定理。

该定理给出了在什么条件下，隐函数的导数存在以及如何求解的方法。

隐函数导数存在定理的内容如下：
设函数F(x,y)在点(x0, y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，并且F(x0, y0)≠0，Fy(x0, y0)≠0。

那么在点(x0, y0)的某一邻域内，方程F(x, y) = 0能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，这个函数满足条件y = f(x)。

在实际应用中，这个定理可以帮助我们求解隐函数的导数。

根据定理，我们可以先求解方程F(x, y) = 0以得到隐函数y = f(x)，然后利用求得的隐函数求其导数。

求解隐函数导数的方法如下：
1. 根据隐函数存在定理，求解方程F(x, y) = 0，得到隐函数y = f(x)。

2. 对隐函数y = f(x)求导，得到dy/dx = Fx(x, f(x)) / Fy(x, f(x))。

需要注意的是，隐函数导数存在定理的应用范围有限，要求函数F(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，并且F(x0, y0)≠0，Fy(x0, y0)≠0。

在这些条件下，隐函数的导数才能唯一确定。

第二十三章向量函数微分学3 反函数定理和隐函数定理一、反函数定理概念1：若定义在开集D⊂R n上的向量函数f: D→R m是一一映射，即不仅对每一个x∈D只有一个y∈R m与之对应，且对每一个y∈f(D)也只有惟一确定的x∈D, 使得f(x)=y. 于是由后者能确定一个定义在f(D)上的函数，记为f-1: f(D)→D,称它为函数f的反函数. 函数f与其反函数f-1满足：(1)(f-1◦f)(x)=x, x∈D；(2) (f◦f-1)(y)=y, y∈f(D).定理23.17：(反函数定理)设D⊂R n是开集, 函数f: D→R m满足条件：①在D上可微且f’连续；②存在x0∈D, 使det f’(x0)≠0,则存在邻域U=U(x0)⊂D, 使得：(1)f在U上一一映射，从而存在反函数f-1: V→U，其中V=f(U)是开集;(2)f-1在V上存在连续导数(f-1)’, 且(f-1)’(y)=(f’(x))-1, x=f-1(y), y∈V.证：1)将函数f变换为定义在零点邻域内的函数.设T=f’(x0), 由①②知存在点x0的邻域U⊂D, 使得f’(x)在U内非零.在U-x0={x-x0|x∈U}上定义函数F(x)=T-1[f(x0+x)-f(x0)], x∈U-x0.记U-x0为U1, 即有0∈U1, F(0)=0, F’(0)=I (单位矩阵), 且F在U1可微, F’连续, 对所有x∈U1, F’(x)≠0.(2)证明存在邻域U2⊂U1, 使得F在U2上是一一映射.设φ(x)=x-F(x), x∈U1, 则φ’(0)=0. 取定0<α<1, 由φ’(x)的连续性,存在中心在原点的开球U 2⊂U 1, 使得对x ∈U 2, )(x ϕ'<α.应用定理23.14微分中值不等式得)()(x x '-''ϕϕ≤αx x '-'', x ’,x ”∈U 2. ∴)()(x F x F '-''≥(1-α)x x '-'', 即F 在U 2上是一一映射. 若定义F 的反函数H: F(U 2)→U 2, H(F(x))=x, x ∈U 2, 则有H 连续. 3)证明F(U 2)⊃(1-α)U 2, U=H(V)是开集，其中V=(1-α)U 2. 任取y ∈(1-α)U 2, 对任何n>1, 应用迭代法构造x 0,…,x n 使得 x 0=0, x i =y+φ(x i-1), x i-1∈U 2, 1--i i x x ≤αi-1y , 1≤i ≤n. 于是有n x ≤∑=--ni i i x x 11≤∑=-ni i y 11α<y α-11, 即 x n ∈U 2, x n+1=y+φ(x n ), n n x x -+1=)()(1--n n x x ϕϕ≤α1--n n x x . 所以将n 换成n+1时归纳法假设也成立.由于α<1, 因此{x n }是R n 中的柯西序列，于是有x n →x ∈U 2. ∴∞→n lim F(x n )=∞→n lim (x n -φ(x n ))=∞→n lim (x n -x n+1+y)=y. 设V=(1-α)U 2, 于是有U=F -1(V). 由F 连续，而开集的原象是开集知, U 是开集. 4)证明：若y ∈V, x=H(y), 则H ’(y)=F ’(x)-1.设y ∈V, y+k ∈V, k ≠0, x=H(y), x+h=H(y+k), S=F ’(x), 于是有 H(y+k)-H(y)-S -1k=h-S -1k=S -1(Sh-k)= -S -1[F(x+h)-F(x)-Sh]. 由(1-α)h ≤k 得,kkS y H k y H 1)()(---+≤hShx F h x F S )1()()(1α---+-.当k →0时, h →0, 即有上式右边趋于0，∴H ’(y)=F ’(x)-1. 5)证明：H ’(x)在V 内连续.∵)()(y H k y H '-+'≤11)]([)]([--'-+'x F h x F≤11)]([)()()]([--''-+'+'x F x F h x F h x F .由F ’的连续性, 当h 充分小时, 1)]([)()(-''-+'x F x F h x F <21. ∴1)]([-+'h x F ≤21)]([-'x F , 于是)()(y H k y H '-+'≤2)()()]([21x F h x F x F '-+''-, ∴H ’也连续.例1：记w=(x,y,z)T , p=(r,θ,φ)T ,求函数w=f(p)=(rsin θcos φ,rsin θsin φ,rcos θ) 的反函数的导数.解：(f -1)’(w)=[f ’(p)-1]=10sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--θθϕθϕθϕθϕθϕθϕθr r r r r =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin 122222222ϕϕθϕθθϕθθθθϕθϕθθr r r r r r r r r=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin θϕθϕθϕθϕθθϕθϕθr r r r r (r 2sin θ≠0). 将w=f(p)代入上式得：(f -1)’(w)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++02222222222222y x x y x y r y x y x r yz yx r xzrz r y r x, (x 2+y 2≠0), 其中r=222z y x ++.二、隐函数定理概念2：设X ⊂R n , Y ⊂R m , Ω=X ×Y ⊂R n+m , F: Ω→R m . 考察向量函数方程 F(x,y)=0, x ∈X,y ∈Y. 若有向量函数f: U →Y(U ⊂X), 则F(x,f(x))≡0, x ∈U. 称函数f 是由方程F(x,y)=0确定的定义在U 上的隐函数.固定y∈Y时, 关于x的偏导数记为：F’x(x,y)或D x F(x,y) (为m×n矩阵); 固定x∈X时, 关于y的偏导数记为：F’y(x,y)或D y F(x,y) (为m×n矩阵).定理23.18：(隐函数定理)设X⊂R n,Y⊂R m是开集,Ω=X×Y⊂R n+m(为开集), F: Ω→R m. 若F满足下列条件：①存在x0∈X, y0∈Y, 使得F(x0,y0)=0;②F在Ω上可微，且F’连续; ③det F’y(x0,y0)≠0.则存在点x0的n维邻域U=U(x0)⊂X和点y0的m维邻域V=V(x0)⊂Y,使得在点(x0,y0)的n+m维邻域W=U×V⊂Ω内, 由方程F(x,y)=0惟一地确定了隐函数f: U→V，它满足：(1)y0=f(x0);(2)当x∈U时, (x,f(x))∈W, 具有恒等式F(x,f(x))≡0, x∈U;(3)f在U内存在连续偏导数f’, 且f’(x)=-[F’y(x,y)]-1F’x(x,y), (x,y)∈W. 证：定义函数G: Ω→R n×R m, G(x,y)=(x,F(x,y)), 即有det G’(x0,y0)=det F’y(x0,y0)≠0, G(x0,y0)=(x0,F(x0,y0))=(x0,0).应用定理23.17, 存在R n×R m中包含(x0,0)的开集U×V’, U⊂R n, V’⊂R m和R n×R m中包含(x0,y0)的开集U’×V, U’⊂R n, V⊂R m使得G: U’×V→U×V’具有可微反函数H: U×V’→U’×V. 由G(x,y)=(x,F(x,y))得H(x,y)=(x,k(x,y)),其中k(x,y)是从U×V’到V的可微向量函数. 定义映射π: R n×R m→R m, π(x,y)=y. 由于π◦ G=F, ∴F(x,k(x,y))=F◦ H(x,y)=(π◦ G)◦H(x,y)=π◦(G◦H)(x,y)= π(x,y)=y, ∴F(x,k(x,0))=0. 定义f(x)=k(x,0), 即有x∈U, f(x)∈V, F(x,f(x))=0, y0=f(x0). 引入向量增量符号△f=f(x+△x)-f(x), x,x+△x∈U. 于是有F(x+△x,f(x+△x))-F(x,f(x))=F(x+△x,f(x)+△f)-F(x,f(x))=0.各分量运用微分中值公式： F i (x+△x,f(x)+△f)-F i (x,f(x))=k i i nk k i x f x f x x x F ∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ+j i i mj ji f f x f x x y F∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ=0 (i=1,…,m). 又k i mj ji x fx f x y F ∂∂∂∂∑=))(,(1=))(,(x f x x F k i ∂∂-(i=1,…,m; k=1,…,n).将这m ×n 个式子列成矩阵式，即有：F ’y (x,y)f ’(x)=-F ’x (x,y), y=f(x), (x,y)∈U ×V. 由F ’y 在U 内可逆, 解得： f ’(x)=-[F ’y (x,y)]-1F ’x (x,y), (x,y)∈W. 由条件②推得f ’(x)在U 上连续.例2：设Ω⊂R 4, F,G: Ω→R.若向量H=(F,G)T 在点(z 0,w 0)T ∈Ω的某邻域内 满足定理23.18条件, 其中z 0=(x 0,y 0)T , w 0=(u 0,v 0)T , 且det H w ’(z 0,w 0)≠0, 则方程H(x,y,u,v)=0. 在点z 0的某邻域内确定一个可微的隐函数w=f(z), 且f ’(z)=-[H ’w (z,w)]-1H ’z (z,w), 即f ’(z)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v xvyu x u=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂--y G x G yF x F vG u Gv F u F1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂-∂∂-y G x Gy F x Fv F u G v F v GJ 1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-),(),(),(),(),(),(),(),(1y u G F x u G F v y G F v x G F J , 其中J=),(),(v u G F ∂∂.三、拉格朗日乘数法设D ⊂R n 为开集, f: D →R, φ: D →R m , n=m+r, 用行向量记x=(x 1,…,x n )=(x 1,…,x r ,x r+1,…,x r+m )=(y,z), y ∈R r , z ∈R m , 当φ(x)=φ(y,z)=0时,求函数f(x)=f(y,z)的极值, 其格拉朗日函数为L(x,λ)=L(y,z,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z), 其中λ=(λ1,…,λn)T为拉格朗日乘数向量.定理23.19：对上述所设函数f, φ若满足条件：(1)f, φ在D内有连续导数；(2)φ(x0)=φ(y0,z0)=0；(3)rank φ’(x0)=rank[φ’y(y0,z0),φ’z(y0,z0)]=m；(4)x0=(y0,z0)是f在φ(x)=φ(y,z)=0时的极值点.则存在A0∈R m, 使得(x0,A0)是函数L(x,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z)的稳定点, 即满足L’(x0,A0)=[L x(x0,A0)+ Lλ(x0,A0)]=0, 其中λ=(λ1,…,λn)T,又由条件(2)有Lλ(x0,A0)=[φ(x0)]T=0, ∴L x(x0,A0)=f’(x0)+A0Tφ’(x0)=0.证：不妨设由条件(3)有det φ’z(y0,z0)≠0.由条件(1)(2)及上式满足定理23.18, 知由方程φ(x)=φ(y,z)=0确定惟一隐函数z=g(y), (y,z)∈U(y0)×U(z0)⊂D, 使得z0=g(y0), φ(y,g(y))≡0, y∈U(y0) 且g在U(y0)存在连续导数. 于是由复合函数求导法则得φy(y0,z0)+φz(y0,z0)g’(y0)=0. 又(y0,z0)是f的条件极值点,∴y0是h(y)=f(y,g(y))的极值点. 于是有f y(y0,z0)+f z(y0,z0)g’(y0)=0.取A0∈R m为方程f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0的解. 由det φ’z(y0,z0)≠0知, A0存在. ∵A0Tφy(y0,z0)+A0Tφz(y0,z0)g’(y0)=0, ∴A0Tφy(y0,z0)-f z(y0,z0)=0,∴f y(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 又f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 得证.习题1、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+023*******u z y x u z y x u z y x , 证明：除了不能把x,y,z 用u 惟一表示出来外,其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表示出来.证：令F(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+-+u z y x u z y x u z y x 2322232, 则F ’(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---232212112113u . F 满足条件：(1)F(0,0,0,0)=0, 存在(0,0,0,0)T ∈R 4; (2)F 在R 4上可微, 且F ’连续;(3)令ω1=(x,y,z)T , ω10=(0,0,0)T , 则det F ’ω1(0,ω10)=322211113---=0; 令ω2=(x,z,u)T , ω20=(0,0,0)T , 则det F ’ω2(0,ω20)=232121013--=21≠0;令ω3=(x,y,u)T , ω30=(0,0,0)T , 则det F ’ω3(0,ω30)=222111013-=-12≠0;令ω4=(x,y,u)T , ω40=(0,0,0)T , 则det F ’ω4(0,ω40)=232121011---=3≠0; 根据定理23.17，在原点邻域，除了不能把x,y,z 用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表示出来.2、应用隐函数求导公式，求由方程组x=ucosv, y=usinv, z=v 所确定的隐函数之一z=z(x,y)的所有二阶偏导数.解：令F=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---v z v u y v u x sin cos , ω1=(x,y)T , ω2=(z,u,v)T , 依隐函数求导公式有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v xv y u x u y z x z =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------001001101cos sin 0sin cos 01v u v v u v =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0010010cos sin 0sin cos cos sin 1v v v u v u u v v u =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----v vv u v u v v u cos sin sin cos cos sin 1, 其中u=),,(),,(321v u z F F F ∂∂. ∴xz ∂∂=u v sin -, y z ∂∂=u v cos , x u ∂∂=cosv, y u ∂∂=sinv, x v ∂∂=u v sin -, y v ∂∂=u v cos .又u=22y x +, cosv=22yx x +, sinv=22yx y +, 因此有22x z∂∂=2sin cos u vx u x v vu ∂∂-∂∂-=2sin cos 2u v v =222)(2y x xy +; yx z∂∂∂2=2sin cos u vy uy v vu ∂∂-∂∂-=222cos sin u v v -=22222)(y x x y +-;22yz∂∂=2cos sin u vyuy v vu ∂∂-∂∂-=2cos sin 2uv v -=222)(2y x xy +-.3、设方程组⎩⎨⎧=---=0),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u . 试问：(1)在什么条件下，能确定以x,y,v 为自变量, u,z 为因变量的隐函数组？ (2)能否确定以x,y,z 为自变量, u,v 为因变量的隐函数组? (3)计算x u ∂∂,y u ∂∂,vu∂∂.解：设F=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21FF =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u , F: R 5→R 2. 若F 满足下列条件： ①存在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0,v 0)∈R 5, 使F(p 0)=0;②在邻域U(p 0)⊂R 5内，F 可微且F ’连续，则有f, g 可微且f ’, g ’连续; ③由行列式求导法知：F ’=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''+'+''+'+'+'-'-'-00)()(1321321321z y x g g g f f f u f f f v f f f (1)令ω1=(x,y,v)T , ω2=(u,z)T , ω10=(x 0,y 0,v 0)T , ω20=(u 0,z 0)T , 满足det F ’ω2(ω10,ω20)=g ’z [1+v(f 1’+ f 2’+ f 3’)]≠0时，在邻域U(ω10)⊂U(p 0)内， 由方程F=0, 能唯一确定隐函数f(ω1)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),,(),,(v y x z v y x u . (2)令ω3=(x,y,z)T , ω4=(u,v)T , 则det F ’ω4(ω3,ω4)≡0,∴不能判断确定x,y,z 为自变量，u,v 为因变量的隐函数组. (3)由(1)所设, 有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即f ’(ω1)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂v z yz xzv u y uxu =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'+'+'+--0)(0)(13212113321y x z g g f f f u f f g f f f f v =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+''∆-0)()(101321213213y x zg g f f f u f f f f f v f g =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'+'+''+'+'+''+'+''''+''-''+''-∆-0)](1[)](1[)(1321321321323f f f v g f f f v g f f f g u g f g f g f g f y x z y z x z . 其中△=g ’z [1+v(f ’1+f ’2+f ’3)].∴xu ∂∂=∆''-''x z g f g f 3; y u ∂∂=∆''-''y z g f g f 32,v u ∂∂=∆'+'+''-)(321f f f g u z .4、设f(x,y)=(e x cosy,e x siny)T . 证明：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)≠0, 但在R 2上f 不是一一映射； (2)f 在D={(x,y)|0<y<2π}上是一一映射，并求(f -1)’(0,e). 证：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)=ye ye y e y e x x x x cos sin sin cos -=e 2x ≠0,令v=(x,y)T , 取v 1=(0,0)T , v 2=(0,2π)T , v 1≠v 2, 而f(v 1)=f(v 2)=[1,0]T , ∴f 在R 2上不是一一映射.(2)当(x,y)∈D={(x,y)|0<y<2π}时, 令v=(x,y)T, 而u=f(v)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y e y e x x sin cos .取v 1=(x 1,y 1)T , v 2=(x 2,y 2)T , 且x 1≠x 2, y 1≠y 2, 若有f(v 1)=f(v 2), 即e x1cosy 1=e x2cosy 2且e x1siny 1=e x2siny 2, 则有21x x e e =12cos cos y y =12sin sin y y , 从而有11cos sin y y =22cos sin y y , 即tany 1= tany 2, 由正切函数的周期性知|y 1-y 2|=π, 因此知cosy 1与cosy 2异号, 即不可能有21x x ee =12cos cos y y , ∴f(v 1)≠f(v 2),即f 在D 上一一映射.又f 在D 上可微, f ’连续，∴存在可导函数并求f -1:V →D, 其中V=f(D),则(f -1)’(u)=[f ’(v)]-1=1cos sin sin cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e xx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e e x x x x x cos sin sin cos 12. 又e2x=u 12+u 22, e x cosy=u 1, e x siny=u 2,∴(f -1)’(u)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+122122211u u u u u u , 从而(f -1)’(0,e)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0110ee .5、计算下列函数反函数的偏导数：u x ∂∂,v x ∂∂,u y ∂∂,vy ∂∂.(1)(u,v)T =Tx y x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛sin ,cos ；(2)(u,v)T =(e x +xsiny,e x -xcosy)T . 解：令s=(u,v)T , t=(x,y)T , s=f(t), 则有(f -1)’(s)=[f ’(t)]-1, 即 (1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1cos cos sin sin sin cos -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+x y x y x y x y x y x y x y x y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-x y x y x y x y x y x y x y x y sin cos sin cos sin cos =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-⋅+u u v v v u v u v u v u arctan arctan 122. ∴u x ∂∂=22v u u +,v x ∂∂=22v u v +,u y ∂∂=22arctan v u v u v u +-⋅,v y ∂∂=22arctan vu u u v v ++⋅. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1sin cos cos sin -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y x y e y x y e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-x x x x e y e y y x y x y e y e x sin cos cos sin )1cos sin (1. ∴u x ∂∂=1cos sin sin +-y e y e y x x , v x ∂∂=1cos sin cos +--y e y e y x x , u y ∂∂=)1cos sin (cos +--y e y e x e y x x x , v y ∂∂=)1cos sin (sin +-+y e y e x e y x x x .6、设D ⊂R n 为开集, φ, ψ:D →R, f: D →R 2且f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T , x ∈D. 证明：在满足f(x 0)=0的点x 0处, rank f ’(x 0)<2. 但是由方程f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2.证：由f(x 0)=0, 得φ(x 0)=0, φ(x 0)ψ(x 0)=0, 依定理23.9求导公式得f ’(x 0)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+''+''')()()()()()()()()()(0000000000111x x x x x x x x x x nn nx x x x x x ψϕψϕψϕψϕϕϕΛΛ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''')()()()()()(00000011x x x x x x nnx x x x ψϕψϕϕϕΛΛ. 设f 在的导数矩阵两行线性相关，则rank f ’(x 0)<2.但f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2. 例如φ(x 1+x 2+x 3-x 4)=x 1+x 2+x 3-x 4, ψ(x)=(x 1-x 32-x 2x 4), 则f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T =[x 1+x 2+x 3-x 4,(x 1+x 2+x 3-x 4)(x 1-x 32-x 2x 4)]T ,取x 0=(0,0,0,0)满足f(x 0)=0, 能由方程f(x)=0确定函数g(x 1,x 3)=Tx x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++2233223223221,1.7、设D ⊂R n 为开集, f: D →R n , 证明：当满足条件(1)f 在D 上可微，且f ’连续；(2)当x ∈D 时, det f ’(x)≠0. 则f(D)是开集. 证：对任一y 0∈f(D), 存在x 0∈D, 使y 0=f(x 0), 依定理23.17, 存在邻域U(x 0)⊂D, 使f 在U 上一一映射, 存在反函数f -1: V →U(V=f(U)), 且(f -1)’在V 上连续, x 0=f -1(y 0). 由开集U ⊂D, 取ε>0, 使U(x 0,ε)⊂U, 又 (f -1)’在V 上连续知f -1(y)在y 0连续, ∴存在δ>0, 当y ∈U(y 0,δ)时, f -1(y)∈U(x 0,ε)⊂D, 于是U(y 0,δ)⊂f(D), 可见y 0是f(D)的点,由y 在f(D)上的任意性知f(D)为开集.8、设D,E ⊂R n 为开集, f: D →E 与f -1: E →D 互为反函数. 证明：若f 在x ∈D 可微, f -1在y=f(x)∈E 可微, 则f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵. 证：依定理23.13, 复合函数h=f -1◦f: D →D 在x 可微，且h ’(x)=(f -1◦f)’(x)=(f -1)’(y)f ’(x), 把h(x)=(f -1◦f)(x)看作以下两个变换的复合：(x 1,x 2,…,x n )↦(y 1,y 2,…,y n )↦(x 1,x 2,…,x n ), 则有(f -1)’(y)f ’(x)=h ’(x)=n nx x x x x x ∂∂∂∂∂∂0000000000002211ΛΛΛΛΛ=I. ∴f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵.9、对n 次多项式进行因式分解P n (x)=x n +a n-1x n-1+…+a n =(x-r 1)…(x-r n ). 从某种意义上说，这也是一个反函数问题. 因为多项式的每个系数都是它的n 个根的已知函数，即a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1.要求得到用系数表示的根，即r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 试对n=2与n=3两种情形，证明：当方程P n (x)=0无重根时, 函数组 a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1存在反函数组r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 证：(1)当n=2时, P 2(x)=x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)=x 2-(r 1+r 2)x+r 1r 2.则有函数组a 1=-(r 1+r 2), a 0=r 1r 2. ),(),(2101r r a a ∂=1211r r --=r 2-r 1≠0(r 1≠r 2). 当r 1≠r 2时一切点偏导连续, 依定理18.5上述函数组确定反函数组： r 1=2)40211a a a -+-, r 2=2)40211a a a ---.(2)当n=3时,P 3(x)=x 3+a 2x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)(x-r 3)=x 3-(r 1+r 2+r 3)x 2+(r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1)-r 1r 2r 3. 则有函数组a 2=-(r 1+r 2+r 3), a 1=r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1, a 0=-r 1r 2r 3.),,(),,(321012r r r a a a ∂=213132213132111r r r r r r r r r r r r ---+++---≠0 (r 1,r 2,r 3互不相等时).在r1,r2,r3互不相等时,一切点上偏导连续, 依定理18.5确定反函数组：r1=r1(a2,a1,a0), r2=r2(a2,a1,a0), r3=r3(a2,a1,a0).。

第十七章隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ur2,函数F:E-r2.如果存在集合|,JuE,对任何XGI,有惟一确定的yej,使得(x,y)GE,且满足方程F(x,y)=O,则称F(x,y)=O确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.若把它记为y=f(x),xWI,yEJ,则有F(x,f(x))三0,xWI.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+l.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线，「•要使隐函数存在，至少要存在点Po(x o,y o),使F(x o,yo)=O,y0=f(x0).要使隐函数y=f(x)在点P°连续，需F在点P°可微，且(Fx(Po),Fy(P°))TO,O),即曲面z=F(x,y)在点P。

存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P。

可微，则在F可微的假设下，通过F(x,y)=O在P°处对x求导，由链式法则得：Fx(P°)+Fy(P。

)字匚=0.dx当FyR)尹0时,可得字j=-耍2,同理，当V dxi F…(PJFx(Po)尹。

时，可得刑,『=-轶牛r x V r0/三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以Po(x o,yo)为内点的某一区域DUR?上连续；(2)F(x°,yo)=O(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)；(4)Fygyo)尹0.则1、存在点的P。

某邻域U(P°)uD,在U(Po)上方程F(x,y)=O惟一地决定了一个定义在某区间(x0-a,x0+a)上的(隐)函数y=f(x),使得当xG(x0-a,x0+a)时,(x,f(x))e U(P0),且F(x,f(x))三0,y0=f(x0);2、f(x)在(Xo-a,xo+a)上连续.证：1、由条件⑷,不妨设F y(x o,y o)>O(若F y(x o,y o)<O,则讨论-F(x,y)=O).由条件⑶Fy在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点Po的某一闭方邻域[x0-P,x0+p]x[y o-p,y o+p]<=D,使得在其上每一点都有Fy(x,y)>0.对每个固定的xE[Xo-B,xo+。

第十八章 隐函数定理及其应用一、证明题1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有2.设tgxy u =,x sin y v =.证明:当2x 0π<<,y>0时,u,v 可以用来作为曲线坐标;解出x,y 作为u,v 的函数;画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算()()y ,x v ,u ∂∂和()()v ,u y ,x ∂∂并验证它们互为倒数. 3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标()ϕθ,,r 的形式:2221z u y u x u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∆, 2222222zu y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆. 4.证明对任意常数ρ,ϕ,球面2222z y x ρ=++与锥面2222z tg y x ⋅ϕ=+是正交的.5.试证明:函数()y ,x F 在点()000y ,x P 的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数).6.证明:在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+x 3+…+x n =a 下,这n 个正数的乘积x 1x 2x 3…x n 的最大值为n nha .并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算术中值.≤⋅⋅⋅⋅n n 21x x x nx x x n 21+⋅⋅⋅++二、计算题1．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 .2.方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数.3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数:(1)x+y+z= ,求Z 对x,y 的一阶与二阶偏导数;(2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 .4.设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程2f(xy)= f(x)+f(x)在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数?1.试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2z y x 2z y x 22y 在点(1,－1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组.5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=++axy x a z y x 222222, 求x y ∂∂,x z ∂∂; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0xu v y 0yv u x 2222, 求x u ∂∂,x v ∂∂,y u ∂∂,y v ∂∂. (3)()()⎩⎨⎧-=+=y v ,x u g v y v .ux f u 2, 求x u ∂∂,x v ∂∂. 6.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:(1)⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,v cos u e y ,v sin u e x u u 求y x y x v ,v ,u ,u ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧+==+=3322v u z v u y ,v u x ,求x z .7.设函数z=z(x,y)由方程组v u e x +=,v u e y -=,uv z =(u,v 为参量)所定义的函数,求当u=0,v=0时的dz.8.设u,v 为新的自变量变换下列方程:(1)()()0yz y x x z y x =∂∂--∂∂+,设22y x ln u +=, x y arctg v =; (2)0y z y x z x 222222=∂∂-∂∂,设xy u =,y x v =. 9.设函数u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0所确定,求x u ∂∂和yu ∂∂. 10.设2r x u =,2r y v =,2rz w =,其中222z y x r ++=, (1)试求以u,v,w 为自变量的反函数组;(2)计算()()z ,y ,x w ,v ,u ∂∂. 11.求平面曲线323232a y x =+()0a >上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:(1)t sin a x 2=,t cos sin b y =,t cos c z 2=在点4t π=; (2)9z y 3x 2222=++.222y x 3z +=,在点(1,－1,2).13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线:(1)0e y z x 2==-,在点(1,1,2); (2)1c z b y a x 222222=++,在点(3a ,3b 3c ). 14.求曲面上过点21z 3y 2x 222=++的切平面,使它平行于平面0z 6y 4x =++.15.在曲线x=t,2t y =,3t z =上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4.16.求函数222z y x x u ++=在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t,2t 2y =,4t 2z -=在该点切线方向上的方向导数. 17.确定正数λ,使曲面λ=xyz 与椭球面++2222b y a x 1cz 22=在某一点相切. 18.求曲面x z y x 222=++的切平面,使其垂直于平面2z 21y x =--和2z y x =--. 19.求两曲面F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.20.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:(1)f(x,y)=22y x +,若x+y-1=0(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c 4(其中x,y,z,t>0,c>0);(3)f(x,y,z)=xyz,若222z y x ++=1,x+y+z=0.21.(1)求表面积一定而体积最大的长方体.(2)求体积一定而表面积最小的长方体.22.(1)求空间一点()000z ,y ,x 到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.(2)求原点到二平面1111d z c y b x a =++, ++y b x a 22 22d z c =的交线的最短距离.23.设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数,求()n 21x ,,x ,x f ⋅⋅⋅=∑=n1k k k x a 在限制条件1x x x 2n 2221≤+⋅⋅⋅++ 下的最大值.24.求函数 ()n 21x ,,x ,x f ⋅⋅⋅=2n 2221x x x +⋅⋅⋅++在条件∑==n1k k k 1x a,()n ,,2,1k ,0a k ⋅⋅⋅=> 下的最小值.三、考研复习题1.方程()222x 1x y --=0在那些点的邻域内可唯一地确定连续可导的隐函数y=()x f ?2.设函数f(x)在区间(a,b)内连续,函数()y ϕ在区间(c,d)内连续,而()0y >ϕ'.问在怎样的条件下,方程()()x f y =ϕ能确定函数y=()()x f 1-ϕ.并研究例子:(Ⅰ)siny+shy=x;(Ⅱ)x sin e 2y -=-. 3.设f(x,y,z)=0,z=g(x,y),试求dx dy ,dxdz . 4.已知G 1(x,y,z),G 2(x,y,z),f(x,y)都是可微的, g i (x,y)= G i (x,y, f (x,y)),(i=1,2) 证明: ()()y ,x g ,g 21∂∂=2z2y 2x 1z 1y 1x y x G G G G G G 1 f ,f --. 5.设x=f(u,v,w),y=g(u,v,w),z=h(u,v,w).求x u ∂∂,y u ∂∂,zu ∂∂.6.试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ∂∂,yu ∂∂: (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u)(2)u=f(x+u,yu)7.据理说明:在点(0,1)近傍是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y).满足f(0,1)=1,g(0,1)=－1,且()[]3y ,x f +xg(x,y)-y=0, ()[]3y ,x g +yf(x,y)-x=0.8.设()0000u ,z ,y ,x 满足方程组()()()()u F z f y f x f =++()()()()u G z g y g x g =++()()()()u H z h y h x h =++这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点邻域内确定x,y,z 作为u 的函数的充分条件;(2)在f(x)=x.,g(x)=x 2,h(x)=x 3的情形下,上述条件相当于什么?9.求下列由方程所确定的陷函数的极值:(1)1y 2xy 2x 22=++(2)()()222222y x a y x -=+,(a>0) 10.设f=F(x)和一组函数()v ,u x ϕ=,()v ,u y φ=,那么由方程()()()v ,u F v ,u ϕ=ϕ可以确定函数v=v(u).试用u,v ，du dv ，22du v d 表示dx dy ，22dx y d . 11.试证明:二次型()z ,y ,x f =Fxy 2Ezx 2Dyz 2Cz By Ax 222+++++在单位球面 1z y x 222=+上的最大值和最小值恰好是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ΦC D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值.12.设n 为自然数,0y ,x ≥,用条件极值方法证明:2y x n n + ()2y x n+≥ 13.求出椭球22a x +22b y +22cz =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积. 14.设()0000z ,y ,x P 是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点,F 在U(p 0)可微,且为n 次齐次函数.证明:此曲面在P 0处的切平面方程为()0x P XF +()0y P yF +()0z P ZF =n.。

隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理是微积分中的一个重要定理，它提供了一种判断隐函数是否存在的方法。

然而，这个定理的几何解释却不是很直观。

隐函数存在定理告诉我们，如果一个函数在某个点处满足一定的条件，那么它就可以被表示为两个变量之间的函数，即隐函数。

这个定理的几何解释需要从曲线的切线和法线入手。

考虑一个曲线y=f(x)，在某个点(x0,y0)处的切线和法线。

如果这个点处的斜率不存在或为0，那么这个曲线就不能被表示为y=f(x)的形式。

但是，如果这个点处的斜率存在且不为0，那么我们就可以通过求解斜率和函数值的关系式，得到一个关于x和y的方程，从而表示曲线为隐函数。

具体来说，如果在点(x0,y0)处曲线的斜率存在且不为0，那么曲线在这个点处的切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。

又因为曲线在点(x0,y0)处的法线垂直于切线，所以法线的斜率为-k/1=-k。

因此，在这个点处曲线的法线方程可以表示为
y-y0=-k(x-x0)。

我们可以将这个法线方程写成y=f(x)，从而得到一个关于x和y 的方程，即f(x)=y0-k(x-x0)。

因此，我们成功地将曲线表示为了一个隐函数。

总之，隐函数存在定理的几何解释可以通过曲线的切线和法线来理解。

如果一个点处的曲线既有切线又有法线，并且斜率存在且不为0，那么这个曲线就可以被表示为一个隐函数。

逆映射存在定理证明隐函数存在定理隐函数存在定理是微分方程和微分学中一个非常重要的定理。

它基本上是微分学中的一个基本工具，用来证明某些函数的存在性。

而逆映射存在定理又是微分学中的另一个重要定理，从某种程度上说，它们之间有一定的联系。

在本文中，我将与您一起探讨逆映射存在定理证明隐函数存在定理，并以此为主题撰写一篇关于逆映射存在定理和隐函数存在定理的文章。

1. 逆映射存在定理在进行逆映射存在定理的探讨之前，我们需要先了解什么是逆映射。

在数学中，如果一个函数 f(x) 是一一对应的，即对于每一个 x 都有唯一的 f(x) 与之对应，那么我们称这个函数是一一映射。

而逆映射就是对于一一映射中的每一个 y，都存在唯一的 x 与之对应。

在数学上，逆映射通常用 f^-1(y) 来表示。

现在我们来谈谈逆映射存在定理。

逆映射存在定理是微分学中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，存在一个函数的逆映射。

具体来说，如果一个函数 f(x) 在某个区间上是连续的、可微的，并且其导数不为零，那么在这个区间上，函数 f(x) 是一一映射的。

根据逆映射存在定理，我们可以得出结论：在这个区间上，函数 f(x) 存在逆映射f^-1(y)。

2. 隐函数存在定理接下来，我们来讨论隐函数存在定理。

隐函数存在定理是微分学中的另一个重要定理，它用来证明一个方程定义了一个隐函数。

具体来说，如果一个方程 F(x, y) = 0 在某个点 (a, b) 附近有连续的偏导数，并且满足一定的条件，那么在这个点附近，存在一个函数 y = f(x)，满足方程 F(x, f(x)) = 0，并且在这个点附近是可微的。

这个函数就是我们所说的隐函数。

综合论述通过以上的讨论，我们可以发现逆映射存在定理和隐函数存在定理有着一定的联系。

在证明隐函数存在时，我们可以利用逆映射存在定理来简化证明过程，从而更好地理解和应用这两个定理。

逆映射存在定理为我们提供了一种判断函数是否存在逆映射的方法，而隐函数存在定理则为我们提供了一种求解隐函数的方法。

1 隐函数1.1隐函数的定义设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程(,)0F x y = ()1若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为(),,,f x y x I y J =∈∈则成立恒等式(,())0F x f x ≡,x I ∈.例如方程10xy y +-=能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理定理1 若满足下列条件1）(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; 2）00(,)0F x y =;3）(,)y F x y 在D 内连续;4）0,()0y o F x y ≠.则在0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在00(,)x x αα-+内的隐函数()y f x =,使得00001(),(,)f x y x x x αα=∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡. 02()f x 在00(,)x x αα-+内连续.这里有几点需要注意，i ）定理的条件只是充分的,ii ）.定理的条件（3）,（4）还可减弱.iii ）定理的条件（3）,（4）换为：x F 连续,0()0x F P ≠,则可确定隐函数()x f y =.1.3. 隐函数的可导条件定理2 若(1)(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; (2)(,)F x y ;(3)(,)(,)y x F x y F x y 在D 内连续;(4)0()0y F P ≠.则(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =,在00(,)x x αα-+内有连续的导数,且 ()xyF f x F '=-.若已知(,)0F x y =存在连续可微的隐函数()y f x =,利用复合函数求导法则,也求出'()f x .例 1 讨论笛卡儿叶形线3330x y axy +-=所确定的函数()yf x =的一阶与二阶导数解 由隐函数定理知,在使得23()0y F y ax =-≠的点(,)x y 附近,方程确定隐函数()y f x =.方程两边对x 求导并整理可得,22ay x y y ax -'=- 2()0y ax -≠ .两边再对x 求导,并将上式代入可得：3232()a xyy y ay ''=--.例2 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐数及其偏导数.解 (0,0,0)0,(0,0,0)10z F F ==-≠且,,x y z F F F F 处处连续,因此在原点(0,0,0)附近能惟一地确定连续可微的隐函数(,)z f x y =,且可求得它的偏导数如下：32213x z x y F yz z F xyz ∂+=-=∂- , 322313y z y z F xz y F xyz∂+=-=∂-. 2.隐函数组2.1 隐函数组概念设(,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 为定义在4R 上的四元函数.若存在2D R ⊂,对任意(,)x y D ∈,都有惟一确定的,u v ,使(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩成立,则在D 上定义了两个函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.称它们是由方程确定的隐函数组.2.2 隐函数组存在条件定理3 若（1） (,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 在以00000(,,,)P x y u v =为内点的区域4V R ⊂内连续（2） 00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==;（3） 在V 内,,F G 有连续的偏导数;（4）(,)(,)F G J U V ∂=∂在点0P 不等于零. 则在点0P 的某一邻域0()U P V ⊂内,方程组惟一地确定了定义点000(,)Q x y 的某一邻域0()U Q 内的两个二元隐函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.使得1. 000000(,),(,),u f x y v g x y ==(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡(,,(,),(,))0.G x y f x y g x y ≡.2 .(,),(,)u f x y v g x y ==在0()U Q 内有连续的偏导数,且：1(,)1(,),,(,)(,)u u x F G F G J x v y J y v ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂1(,)1(,),(,)(,)v v x y F G F G J u x J u y ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂例3 讨论方程组2222(,,,)0(,,,)10F x y u v u v x yG x y u v u v x y ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩ 在点0(2,1,1,2)P 的邻域能确定怎样的隐函数组,并求其偏导数.解 00()()0F P G P ==且2,1,2,2.x y u v x F x F F u F v G y =-=-===-,,y G x =- 1,1u v G G =-=.在点0P 处的所有雅可比行列式中仅有(,)0(,)F G x v ∂=∂因此,仅有(,)x v 不能断定能否作为以(,)y u 为自变量的隐函数.除此之外,在点0P 附近,任意两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如,要求(,),(,)x f u v y g u v ==的偏导数,对方程组分别关于,u v 求偏导数,得22010u u u u u xx y yx xy --=⎧⎨---=⎩, 22010v v v v v xxy xy yx --=⎧⎨--=⎩分别解之,得221,2u xu x x y +=- 221;2v xvx x y -=- 222,2u x yu y x y +=--222.2v x yvy x y -=-3 隐函数的几何应用本节的重点是掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面以及求曲面的切平面与法线．3.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 (,)0F x y =,F 在000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理的条件.隐函数 ()y f x =在0x 的导数 '000()()/()x y f x F P F P =-.曲线在0x 的切线方程为0000()()()()0x y F P x x F P y y -+-=.法线方程为0000()()()()0y x F P x x F P y y ---=.例4 求曲线 332()90x y xy +-=在(2,1)处的切线与法线. 解 设33(,)2()9F x y x y xy =+-,则2269,69x y F x y F y x =-=-处处连续, 且(2,1)15,(2,1)12x y F F ==-.因此曲线在(2,1)处的切线与法线分别为5460,x y --=及45130x y +-=3.2 空间曲线的切线与法平面设有空间曲线 []0:(),(),(),,,L x x t y t z z t t P L αβ===∈∈.且 []000000000(,,)((),(),()),,P x y z P x t y t z t t αβ=∈.再设L 为光滑曲线.在L 上任取一点0000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆,则割线 0P P 的方程为00,x x y yz z x y z ---==∆∆∆因此：00o x x y y z zx y z z t t---==∆∆∆∆∆∆令 0t ∆→,则由L 为光滑曲线知,0p p →.所以L 在0p 的切线方程是000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''.过0p 与切线垂直的平面称为L 在0p 的法平面,其方程为 000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.(,,)0:(,,)0F x y z LG x y z =⎧⎨=⎩ 且在0000(,,)P x y z 的某一个邻域内满足隐函数组定理的条件（不妨设0(0(,)P x y ∂≠∂F,G)） 方程组在0P 附近确定惟一连续可微的隐函数组：(),()x z y z ϕψ==.则()()x z y z z z ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.且 (,)(,),(,)(,)x z F G d z y F G d x y ∂∂=-∂∂ (,)(,)(,)(,)y z F G d x z F G d x y ∂∂=∂∂ 所以L 在0P 的切线方程是000(,)(,)(,)(,)(,)(,)x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. 例5：求曲线22222250x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在(3,4,5)处的切线与法平面. 解：令22222250,F x y z G x y z =++-=+-.在(3,4,5)处,6,x F = 8,y F = 10,z F = 6,x G = 8,y G = 10z G =- (,)160,(,)F G y z ∂=-∂ (,)120,(,)F G z x ∂=∂ (,)0(,)F G x y ∂=∂ 所求切线为3451601200x y z ---==- . 所求法平面为430x y -= .3.3空间曲面的切平面与法线设曲面S 的方程是：0000(,,)0,(,,)F x y z P x y z S =∈.在0()U p 内满足隐函数定理的条件,不妨设0()0z F p ≠.方程在0p 附近确定隐函数 (,)z f x y =,且0000()(,),()x x z F p f x y F p =- 0000()(,)()y y z F p f x y F p =-由此得S 在0p 处的切平面为000000()()()()()()0y x z F P x x F P y y F P z z -+-+-=.法线为000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==.例6．求曲面：222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面与法线方程. 解：设222(,,)236F x y z x y z =++-,则在(1,1,1)处,2,4,6x y z F F F ===. 因此,切平面方程2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=即236x y z ++=. 所得法线方程：111123x y z ---==.。

隐函数存在定理1几何解释
隐函数存在定理1指出，在一定条件下，如果一个多元函数表达式可以被表示为一个变量的函数和其他变量的常数（或者函数）的形式，且该变量在特定点的偏导数不为零，则在该点附近可以存在一个隐函数。

其几何解释可以理解为，在平面直角坐标系中，如果一个函数的图像可以被表示为一个变量（例如$x$）和其他变量（例如$y$）的方程形式，且在特定点$(x_0,y_0)$处$\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0$，则在该点附近可以存在一条曲线（例如$y=g(x)$），该曲线是函数
$f(x,y)$在该点的图像在$y$方向上的切线，也就是说，函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的图像在该点附近可以表示成一个关于$x$的函数$g(x)$的形式。

标准的例子是圆的方程$x^2+y^2=r^2$，在点$(x_0,y_0)$处如果$\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0$则在该点附近可以表示成一个关于$x$的函数$y=\sqrt{r^2-x^2}$或$y=-\sqrt{r^2-x^2}$的形式。