相似三角形判定与性质(10.23)

相似三角形的判定及性质
1.相似三角形 (1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形 叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相 似比(或相似系数). (2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例 如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.
2.相似三角形的判定
定理
内容
规律方法 直角三角形相似的判定方法很多，既 可根据一般三角形相似的判定方法，又有其独特 的判定方法，在求证、识别的过程中可由已知条 件结合图形特征，确定合适的方法.
要点三 相似三角形的性质 例 3 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，DABB＝BBCE
＝DACE＝53. (1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为 10 cm，求 △ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为 170 cm2， 求△DBE 的面积.
外接(内切)圆的面积相等 的平方
要点一 相似三角形的判定 例 1 如图所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝a，
BC＝b，当 BD 与 a，b 之间满足怎样的关系 时，△ABC 与△CDB 相似？
解 (1)∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴当ABCC＝BBDC时， △ABC∽△CDB.即ab＝BbD，∴BD＝ba2时，△ABC∽△CDB. (2)∵∠ABC＝∠BDC＝90°，∴当ABCC＝BADB时， △ABC∽△BDC，即ab＝ aB2－D b2，∴BD＝b aa2－b2时， △ABC∽△BDC.综上，当 BD＝ba2或 BD＝b aa2－b2时， △ABC 与△CDB 相似.
4.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

相似三角形的判定与性质相似三角形是数学几何中的一个重要概念，它在解决实际问题和证明定理时起着关键作用。

相似三角形的判定是基于其边比和角相等的条件，而相似三角形的性质则涉及到各个角的对应关系和边的比例关系。

本文将详细介绍相似三角形的判定方法和性质。

一、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，常用的判定方法有以下几种：1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们是相似三角形。

具体来说，如果两个三角形的一个角相等，且对应边的夹角也相等，那么它们是相似的。

2. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三边分别成比例，那么它们是相似三角形。

具体来说，如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们是相似的。

3. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，那么它们是相似三角形。

这些判定方法是相似三角形性质的基础，通过判定可以确定两个三角形是否相似。

二、相似三角形的性质1. 两个相似三角形的对应角相等，即相应的角相等。

这是相似三角形定义的直接性质，对应角相等是相似三角形的必要条件。

2. 两个相似三角形的对应边成比例。

如果两个三角形相似，则它们的对应边的长度之比等于任意两个对应边的长度之比。

具体来说，设两个相似三角形的对应边分别为AB和A'B'、AC和A'C'、BC和B'C'，则有AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'。

3. 两个相似三角形的高线成比例。

如果两个相似三角形的高线分别为h和h'，那么h/h'等于相应的边的长度之比。

4. 两个相似三角形的面积之比等于对应边长度之比的平方。

设两个相似三角形的面积分别为S和S'，对应边的长度之比为k，则有S/S' = k^2。

5. 两个相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。

相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。

在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。

本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

记为AA相似性质。

2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SSS相似性质。

3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SAS相似性质。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。

三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。

已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。

根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。

根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。

由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。

相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。

相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。

一、相似三角形的判定方法1. AA相似定理AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。

当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。

2. SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。

当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。

3. SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。

当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质相似三角形的对应角是相等的。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。

3. 高度与边成比例性质相似三角形的对应边上的高度成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。

4. 面积与边长平方的比例性质相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2，其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。

5. 定理勾股定理性质边长成比例的三角形中，对应边长的平方和成比例。

相似三角形的性质与判定相似三角形在几何学中是一个重要的概念，它们具有一些特殊的性质和判定条件。

本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

相似三角形的性质有以下几个方面：1. 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。

具体来说，如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。

2. 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们一定是相似的。

具体来说，如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。

3. 高度比例相等：如果两个相似三角形之间的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。

换句话说，如果两个三角形的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。

二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么它们是相似的。

这是相似三角形的基本判定法。

2. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。

这是相似三角形的充要条件，也是最常用的判定法。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。

这是相似三角形的另一种判定法。

4. SAS判定法：如果两个三角形的两个对应边成比例，且夹角也相等，那么它们是相似的。

三、应用示例下面通过一个具体的示例来说明相似三角形的性质和判定方法。

假设有两个三角形ABC和XYZ，已知∠A = ∠X，∠B = ∠Y，且AB/XY = BC/YZ。

根据AA判定法可知，∠A = ∠X 和∠B = ∠Y，所以三角形ABC 与三角形XYZ相似。

根据对应边成比例可知，AB/XY = BC/YZ，所以三角形ABC与三角形XYZ相似。

因此，根据相似三角形的性质和判定方法，可以得出三角形ABC 与三角形XYZ是相似的。

结论：相似三角形具有相同形状但可能不同大小的特点。

判定两个三角形是否相似可以使用AA判定法、AAA判定法、SSS判定法和SAS判定法。

证明结论：证明了相似三角形的性质定理，为后续的判定定理证明提供了基础
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地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
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相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题

相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。

在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它帮助我们理解和解决很多与三角形相关的问题。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及它们的性质。

一、相似三角形的判定方法1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。

即如果两个三角形的各个内角对应相等（即对应角相等），那么它们是相似的。

2. AA判定法：如果两个三角形的两个内角分别相等，并且它们的对应边成比例，则这两个三角形相似。

即如果两个三角形的两个角对应相等，并且对应边成比例，那么它们是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一组对边成比例，并且其中一组对边夹角相等，则这两个三角形相似。

即如果两个三角形的两组对边成比例，并且夹角对应相等，那么它们是相似的。

二、相似三角形的性质1. 边长比：在相似三角形中，任意两对对应边的比值相等。

换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的三条边的比值是相等的。

2. 高度比：在相似三角形中，任意两对对应高度的比值相等。

两个相似三角形的高度比等于对应边长比的倒数。

3. 面积比：在相似三角形中，任意两对对应面积的比值等于边长比的平方。

4. 角度比：在相似三角形中，任意一对对应角的比值相等。

换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角的比值是相等的。

5. 相似三角形的角平分线三等分：在相似三角形中，若一个角的两边与另一个角的两边成比例，则这两个角的角平分线相互平行。

6. 重心的性质：在相似三角形中，两个相似三角形的重心在同一直线上。

7. 相似三角形的垂心：在相似三角形中，两个相似三角形的垂心在同一直线上。

8. 相似三角形的外心：在相似三角形中，两个相似三角形的外心在同一直线上。

三、应用举例1. 比例问题：利用相似三角形的性质可以解决很多比例问题。

例如，已知一座塔的阴影与杆子的阴影的比值等于塔的高度与杆子高度的比值，通过相似三角形的比例关系可以求解塔的高度。

求证 : BC 2 AC CD.
D
分析 要证明BC 2 AC CD ,即证明
AC BC ,只要证明AC、BC 和 BC、 BC CD CD为一对相似三角形的两组对应边 B 即 可.为 此, 要 证 明ABC和BDC 相 似.
C 图1 20
证明 因为ABC是等腰三角形,所以A 1800 2C. 因为BCD也是等腰三角形,所以DBC 1800 2C.
A
D1 D
D2
E1 E E2
B
图1 18
C
探究 沿着"从运动变化中找不变性"的思路,可 以发现,在图1 18中,对于 DE 的任意一个位置,
A是ABC 和ADE 的公共角,而且 AD AE , AB AC
即两边对应成比例,夹角相等. 满足这两个条件 时,两 个 三 角 形 是 否 一 定 相似 ? 你 能 否 依照 判 定 定理1 的证明思路证明它?
探究 判定定理2的证明可以采用判定定理 1的思路,即在AB上截取AD A`B`,过D作DE // BC,交AC于点E 这样就可以绕开引理, 殊 途 同 归, 你 能 给 出 证 明 吗?
A
例3 如图1 24 , 在 ABC 内任 取
一点D,连接 AD和BD.点E在ABC
外, EBC ABD, ECB DAB.
是否相似. EB、EC在EBD中, DB、CB B
C
在 ECB中,因此可以考虑证明EBD与 ECB相似.
图1 21
证明 由已知,可得ACE BCE. 因为ACE与ABE
是同弧上的圆周角.故ACE ABE .则BCE ABE.
又因为BED CEB,故EBD ~ ECB.因此 EB DB . EC CB
过D作DE // BC,交AC于点E.由预备定理得ADE ~ ABC.

相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中一个重要的概念，理解相似三角形的性质和判定方法对于解题和应用数学非常有帮助。

本文将介绍相似三角形的性质，并讨论如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的性质1. 边长比例：两个三角形相似的充分必要条件是它们对应边长之比相等。

设两个三角形分别为ABC和DEF，若满足以下条件，则可判断它们为相似三角形：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 角度相等：两个三角形相似的另一个重要性质是它们对应角度相等。

即若三角形ABC和DEF满足以下条件，则可以判断它们为相似三角形：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F3. 高度比例：相似三角形的高度之比等于对应边长之比。

假设ABC 和DEF为相似三角形，且BC和EF为对应边，h1和h2为它们的高度，则有以下关系：h1/h2 = BC/EF二、相似三角形的判定方法1. AA（角-角）判定法：若两个三角形的两个角相等，则这两个三角形相似。

即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。

2. SAS（边-角-边）判定法：若两个三角形的两个对应边的比例相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形相似。

假设AB/DE =BC/EF，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。

3. SSS（边-边-边）判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

即若AB/DE = BC/EF = AC/DF，可判断三角形ABC与DEF相似。

三、相似三角形的应用1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以测量高度。

例如，根据两个相似三角形的高度比例，可以利用已知的高度和对应的边长，求解未知高度的长度。

2. 图形放缩：相似三角形的性质使得我们能够进行图形的缩放。

通过改变相似三角形的边长比例，可以将图形按照一定的比例进行放大或缩小。

3. 建模与设计：相似三角形的应用还可以用于建模和设计。

例如，在设计模型中，可以利用相似三角形的概念，按照一定的比例来缩放和调整图形的形状。

相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相等对应角度的三角形，它们的对应边长之比也相等。

相似三角形不仅在几何学中具有重要意义，而且在实际生活中应用广泛。

本文将介绍相似三角形的性质及其判定方法。

一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对于两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判断这两个三角形相似。

2. 相似三角形的对应边长比相等：对于两个相似三角形ABC与DEF，若AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以判断这两个三角形相似。

二、判定相似三角形的方法1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别对应相等（即两个角的对应边平行），则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，∠C = ∠F，并且∠B与∠E不相等，但∠B与∠E之间没有已知的关系。

根据AA判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

2. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF。

根据SAS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

3. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知AB/DE = BC/EF =AC/DF。

根据SSS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

4. RHS判定法（直角边-斜边-直角边判定法）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个直角三角形ABC与DEF，已知∠C = ∠F = 90°，并且AB/DE = AC/DF。

根据RHS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

三、实际应用相似三角形的性质及判定方法在实际生活中有广泛的应用。

A 'B 'C 'CBAA 'B 'C 'CB A相似三角形的性质和判定 一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”。

2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。

三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比） 。

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。

如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C B A图（1）H 'H AB C C 'B 'A '图（2）D 'D A 'B 'C 'C B A图（3）A 'B 'C 'CBAH 'HA BC C 'B 'A '如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△． 图4图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。

AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
AF ， 变 为 证 △ FAD ∽ △ FDB. 其 中
BD∶AD 正是两对相似三角形的中
间比．
图 1－3－3
【自主解答】 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CDA. ∴AB∶AC＝BD∶AD. 又∵E 是 AC 的中点， ∴AE＝DE＝EC， ∴∠DAE＝∠ADE，
如图 1－3－5，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H， 连接 GH.
求证：GH∥AB.
图 1－3－5
【思路探究】 结合图形的特点可以先证比例式EEGD＝ EEHB成立，再证△EGH∽△EDB，由此得∠EHG＝∠1
判定 定理 2
判定 定理 3
定理内容
简述
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等 ，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三 角形相似
对于任意两个三角形，如果一个三角形 两边对应成比例且夹
的两边和另一个三角形的两
角相等，两三角形相
边对应成比例，并且夹角相等，那么这 似．
2．判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对 应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理， 还缺少什么条件就推导出这些条件．
如图 1－3－3，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC 于 D，E 是 AC 的中点，连接 ED 并延长与 AB 的延
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF. 【思路探究】 由条件知：AB∶
所 以 ∠ BAC ＝ ∠ EAD ， ∠ BAC － ∠ DAC ＝ ∠ EAD － ∠ DAC，即∠DAB＝∠EAC.

相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

在几何学中，相似的三角形有着许多有趣的性质和特点。

本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。

一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

例如，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC相似于DEF。

2. 相似三角形的对应边成比例。

如果两个三角形的对应边长之比相等，则它们是相似的。

例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

3. 相似三角形的周长比例等于任意一边长的比例。

如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一边的比例。

例如，若三角形ABC 相似于DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = BC/EF = AC/DF。

4. 相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。

如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长比例的平方。

例如，若三角形ABC相似于DEF，则△ABC的面积/△DEF的面积 = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：若两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。

例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC相似于DEF。

2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，两边成比例，则它们是相似的。

例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们是相似的。

例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

4. 直角三角形的判定法：若两个直角三角形的斜边和直角边成比例，则它们是相似的。

例如，若∠C = ∠F = 90°，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。

相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。

相似图形之间的互相变换称为相似变换。

二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。

三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。

2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。

3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。

例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。

如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。

如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。

4.相似三角形周长的比等于相似比。

如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。

ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。

这种方法被称为等量代换法。

在证明比例式时，常常会用到中间比。

证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。

这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。

证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。

去意已决/他晓得/她是壹各意志坚强の诸人/也是壹各言行壹致の诸人/她の回复已经说明咯壹切/于是他没什么再说啥啊/只是缓缓地转过身去/当他转过身去の壹瞬间/水清立即低下头去/迅速地将那双大大の眼睛埋在小小格の襁褓上/再又迅 速地抬起咯头/襁褓是那样の厚实/又是那样の柔软/令他根本就听别到泪滴落下の声音/由于他进来の时候根本就没什么打算落座/所以连披风、雪帽都没什么脱/现在他走の时候/也别需要任何人伺候他の穿戴/直接抬脚就走/当他抬手刚刚把 房门推开壹点点の时候/忽然想起来啥啊/于是回头对水清说道：/别送咯/外面风大雪滑/您又才出咯月子/当心身子/另外/小小格那里/别太累咯/凡事事必躬亲/总有壹天您の身子要被拖垮の/再说咯/有那么多の奴才是干啥啊の？您只有保重 身子最重要///妾身谢爷の恩典/您也多保重//水清第二次诚心诚意地感谢王爷の恩典/只是那壹句回话是暖の/而他の心也是随之暖咯起来/因为那颗心根本就没什么冷过/得到水清の真心祝福/他没什么再多说啥啊/径自推开咯房门/踏入风雪 之中/望着他渐行渐远の背影/水清突然想起来咯啥啊/担心他走得远咯听别到/可是她正怀抱着福惠小格/外面又是风又是雪/根本追别上他/于是水清顾别得失礼/站在房门口大声地朝他问道：/启禀爷/您没什么别の事情咯吗？/王爷已经走到 咯游廊の位置/突然身后传来水清大声询问/令他の脚步倏地壹滞/他既没什么料到水清还会向他提出问题/也没什么料到她会用那么大の声音/第1456章/乳名月影の适时出现有效地缓解咯当前の僵局/王爷总算是找到咯开口の话题/于是立即吩 咐道：/茶就别用上咯/您先退下去吧//月影根本别想退下/她晓得水清有无数の错处被他抓在手心中/生怕她家仆役遇有啥啊别测/身边连各帮着说话の人都没什么/于是乍着胆子说道：/回爷/天儿冷风寒/您还是喝口热茶暖暖身子吧///倘若那 心是冷の/喝啥啊茶也暖别过来//只那壹句吓

相似三角形判定条件与性质相似三角形是指形状相似但大小不同的两个三角形。

在几何学中，判定两个三角形是否相似有一些条件和性质。

下面将详细介绍相似三角形的判定条件与性质。

一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理（全等三角形基本性质之一）当两个三角形的对应角度分别相等时，这两个三角形相似。

也就是说，如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。

2. AA相似定理（全等三角形基本性质之二）当两个三角形的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。

也就是说，如果两个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是相似的。

3. SSS相似定理当两个三角形的对应边分别成比例时，这两个三角形相似。

也就是说，如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的性质1. 边比例性质在相似三角形中，相应边之间的比例相等。

如果两个三角形相似，则对应边的比例相等。

2. 角度性质在相似三角形中，对应角度相等。

如果两个三角形相似，则对应角度相等。

3. 高比例性质在相似三角形中，相应高的比例等于对应边的比例。

即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应高之间的比例相等。

4. 周长比例性质在相似三角形中，相应边的比例等于相应高和周长的比例。

即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应高以及周长之间的比例相等。

5. 面积比例性质在相似三角形中，相应边的比例的平方等于面积的比例。

即，如果两个三角形相似，它们的对应边的比例的平方等于面积的比例。

6. 中线比例性质在相似三角形中，相应中线的比例等于对应边的比例。

即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应中线之间的比例相等。

通过上述判定条件与性质，我们可以方便地判断两个三角形是否相似，并且得出相应的比例关系。

相似三角形在几何学中具有广泛的应用，可以用于解决实际问题，如测量高度、距离等。

总结：相似三角形的判定条件包括AAA相似定理、AA相似定理和SSS相似定理。

相似三角形具有边比例性质、角度性质、高比例性质、周长比例性质、面积比例性质和中线比例性质等性质。