x
x
3e x 3 解: y 3e 3 0, e 1, x 0,
x
单调增区间为 0,); ( 3e 3 0, e 1, x 0,
x x
单调减区间为 ,0); (
知识应用
二、应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
1 2 x
y f '( x )
2 x
o
o
(A)
y
(B)
y
y f ( x)
2
y f ( x)
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A ) (A)(-1,1) （B)(1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 2、函数y=a(x3-x)的减区间为
函数y=x2－4x＋3的图象： y
0 2
x
单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２).
那么如何求出下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
(2) y x ln x;
(3) y e x 1.
x
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
知识应用
一、应用导数求函数的单调区间
求函数
解 : y 6 x 3 6 x 3 0, x
y 3x 3x
2
的单调区间。
1 1 , 单调增区间为 ,); ( 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 , ). ( 2 2
变1：求函数
解 : y 9 x 2 6 x
a的取值范围为( A
(A)a>0
)
3 3 ( , ) 3 3
(B)–1<a<1
(C)a>1
(D) 0<a<1
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号(与０比较)，从而
得函数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
y 3x 3x
3
2 的单调区间。
2 2 9 x 2 6 x 0, x 或x 0, 单调增区间为 ,0) ( ,); ( 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x , 单调减区间为 0, ). ( 3 3
变2：求函数
y 3e 3 x 的单调区间。
第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1.一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果 对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1， x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上 是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A y f ( x) B o 2 3 x
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， f '( x )的图象如 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y y
y f ( x)
1 2
x o
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y f ( x)
x-x+1的单调区间. 例3、判定函数y=e 解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
例2：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
增函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x 减函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y
0
. . . . . ..
2
x
总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2， +∞）上单增,切线斜 率大于0,即其导数为 正.而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
