高中数学选修2-2第一章第二节《导数的计算》全套教案

（二）导数的计算知识梳理1.基本初等函数的导数公式函数 导函数y c ='0y = *()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -= sin y x = 'cos y x =cos y x = 'sin y x =-()x y f x a ==()x y f x e =='x y e = ()log a f x x =()ln f x x ='1()f x x= 2.导数运算法则导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 3. 复合函数的求导法则如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，则(f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ' 或记作 x y '=u y '•x u '注：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

教案解读本次课的内容较为简单基础，结合考纲要求系统梳理知识点，让学生正确地把握知识的重难点。

例题由浅入深，逐步加强学生学习数学的自信心，更好的激发学生的学习兴趣；如基本初等函数的导数公式以及导数运算法则的应用到复合函数的求导法则的过渡；求切线方程中，由切点到非切点的应用。

在课后作业的布置，1-5，7-9题较基础简单，适合大部分学生；而第6、10、11题难度较大，针对基础较好的学生布置的。

§1.2导数的运算§1.2.1常见函数的导数目的要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数 （2）掌握基本初等函数的运算法则 教学内容一．回顾 函数在某点处的导数、导函数思考：求函数导函数的流程图新授；求下列函数的导数（1）y kx b =+ （2）2()f x x =（3）3()f x x = （4）1()f x x=（5）()f x =思考：你能根据上述（2）～（5）发现什么结论？ 几个常用函数的导数：基本初等函数的导数： （7）1()'(x x αααα-=为常数） （8）'()ln (0,x x a a a a =>且1)a ≠（7）11(log )'log (0,ln a a x e a x x a==>且1)a ≠ （8）()'x x e e = （9）1(ln )'xx=（10）(sin )'cos x x = （11）(cos )'sin x x =- 例1．若直线y x b =-+ 为函数1y x=图像的切线，求b 及切点坐标。

例2．直线132y x =+能作为下列函数()y f x =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由 （1）1()f x x = （2）1()f x x=-（3）()sin f x x = （4）()xf x e =小结：（1）求函数导数的方法（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式作业：（1） 在曲线24y x=上一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135o。

（2） 当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点§1.2.2函数的和、差、积、商的导数目的要求：了解导数的四则运算法则，能利用导数的四则运算法则求函数的导数 重点难点：四则运算法则应用 教学内容：一．填写下列函数的导数：（1）()'kx b += （2）()'C =（3）()'nx = （n 为常数） （4）()'xa = （0a >且1a ≠） （5）(log )'a x = （0a >且1a ≠）（6）()xe = （7）(ln )x = （8）(sin )'x = （9）（cos )x '= 二．新授：例1．求2y x x =+的导数思考：（1）已知'(),'()f x g x ，怎样求[()()]'f x g x +呢？（2）若'2y x =+，则y =导数的四则运算法则：（1） （2） （3） （4） （5）特别，当()u x c =(c 为常数)时，有 )()()(2x v x v c x v c '-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 例2．求下列函数的导数（1）2()sin f x x x =+ （2）323()622g x x x x =--+例3．求下列函数的导数：（1）()sin f x x x = （2）21()t S t t+=板演：1． 用两种方法求函数(21)(3)y x x =-+的导数2．求下列函数的导数 （1）21()f x x = （2）()23xf x x =+（3）2sin ()x f x x= （4）22y x x =•2． 已知函数()f x 的导数是'()f x ，求函数2[()]f x 的导数。

第二课时导数的运算法例预习课本P15～ 18，思虑并达成以下问题(1)导数的四则运算法例是什么？在使用运算法例时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法例又是什么？[新知初探 ]1．导数的四则运算法例(1)条件： f(x)， g(x)是可导的．(2)结论：① [f(x) ±g(x)] ＝′f′(x)±g′(x)．② [f (x)g(x)] ＝′ f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)．③f x′＝f xg x － f x g x(g(x) ≠ 0)．g x2[g x[点睛 ]应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推行到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零 )必可导．(3)若两个函数不行导，则它们的和、差、积、商不必定不行导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适合的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 y＝ f(g( x))．②可分解为 y＝ f(u)与 u＝ g(x)，此中 u 称为中间变量．(2)求导法例：复合函数y＝ f (g(x))的导数和函数y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为：y x′＝ y u′·u x′.[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) f′(x)＝2x，则 f(x)＝ x2 .()(2)函数 f(x)＝ xe x的导数是 f′(x)＝e x(x＋ 1)． ()(3)函数 f(x)＝ sin(－ x)的导数为 f′(x)＝ cos x． ()答案： (1) × (2) √ (3) ×2．函数 y ＝ sin x ·cos xA ． y ′＝ cos 2x ＋ sin 2xC ． y ′＝ 2cos x ·sin x答案： B的导数是()B ． y ′＝ cos 2xD ． y ′＝ cos x ·sin x3．函数 y ＝ xcos x － sin x 的导数为 ________．答案： － xsin x4．若 f(x)＝ (2x ＋ a)2，且 f ′(2)＝ 20，则 a ＝ ________.答案： 1利用导数四则运算法例求导[典例 ] 求以下函数的导数：2＋ log 3x ； (2)y ＝ x 3 x(3)y ＝ cos x(1) y ＝ x ·e ；x .解 ′＝ 2＋ log ＝′ 2 ) ′＋ (log′ [ ] (1) y (x 3x)(x 3x) ＝ 2x ＋ 1.xln 33 x 3x3 x′′＝ · ) ′＝ ( x) ′·e＋x· )(2) y(x e(e＝ 3x 2·e x ＋x 3 ·e x ＝ e x (x 3＋ 3x 2)． (3) y ′＝ cos x ′＝ xx － cos x x2xx － x ·sin x － cos x xsin x ＋ cos x＝ 2 ＝－ 2. xx求函数的导数的策略(1)先划分函数的运算特色，即函数的和、差、积、商，再依据导数的运算法例求导数．(2) 对于三个以上函数的积、商的导数，挨次转变为“两个 ”函数的积、商的导数计算．[活学活用 ]求以下函数的导数：x(1) y ＝ sin x － 2x 2； (2)y ＝cos x ·ln x ； (3) y ＝ sin ex .解： (1)y ′＝ (sin x － 2x 2) ′＝ (sin x) ′－ (2x 2) ′＝ cos x － 4x. (2) y ′＝ (cos x ·ln x) ′＝ (cos x) ′·x ＋ln cos x ·(ln x) ′＝－ sin x ·ln x ＋ cos xx.e xxx － e x x(3) y ′＝ sin x ′＝sin 2x ＝ e x ·sin x － e x ·cos x e x x － cosx2 ＝2sin xsin x复合函数的导数运算[典例 ] 求以下函数的导数：(1) y ＝ 1 2； (2)y ＝ e sin(ax ＋b)；1－ 2x(3) y ＝ sin 2 2x ＋π3 ； (4)y ＝ 5log 2(2x ＋ 1)．[解 ] (1)设 y ＝u － 1， u ＝ 1－ 2x 2，2则 y ′＝ (u －12) ′ －(12x2) ′＝ －21u － 32 ·(－ 4x)＝－1 23 23.(1－ 2x )－2(－ 4x)＝ 2x(1－ 2x )－ 22(2) 设 y ＝ e u ， u ＝ sin v ， v ＝ ax ＋ b ，则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ e u ·cos v ·asin(ax ＋b) ．＝ acos(ax ＋ b) ·e(3) 设 y ＝ uπ2， u ＝ sin v ， v ＝2x ＋ ，3则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ 2u ·cos v ·22π＝ 4sin vcos v ＝ 2sin 2v ＝ 2sin 4x ＋ 3 .(4) 设 y ＝ 5log 2 u ， u ＝ 2x ＋ 1，则 y ′＝ 5(log 2u) ′·x ＋(21) ′＝ 10 ＝ 10 .uln 2 x ＋1． 求复合函数的导数的步骤2． 求复合函数的导数的注意点(1) 内、外层函数往常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导， 这是求复合函数导数时的易错点．[活学活用 ]求以下函数的导数：(1) y ＝ (3x － 2)2 ； (2) y ＝ ln(6x ＋ 4)；(3) y ＝ e 2x ＋1；(4)y ＝ 2x － 1；π； (6)y ＝ cos 2x.解： (1)y ′＝ 2(3x － 2) ·(3x －2) ′＝ 18x － 12；13；(2) y ′＝ 6x ＋ 4·(6x ＋ 4) ＝′3x ＋ 2(3) y ′＝ e 2x ＋ 1·(2x ＋ 1) ′＝2e 2x ＋1；(4) y ′＝ 1 ′＝1. ·(2x － 1) 2x － 1 2 2x － 1π ππ(5) y ′＝ cos 3x － 4 ·3x － 4 ′＝3cos 3x － 4 .(6) y ′＝ 2cos x ·(cos x) ′＝－ 2cos x ·sin x ＝－ sin 2x.与切线相关的综合问题2π[典例 ]处的切线斜率为 ________．(1) 函数 y ＝ 2cos x 在 x ＝12(2) 已知函数 f(x)＝ ax 2＋ ln x 的导数为 f ′(x)，①求 f(1)＋ f ′(1)．②若曲线 y ＝ f (x)存在垂直于 y 轴的切线，务实数a 的取值范围．[分析 ] (1) 由函数 y ＝ 2cos 2x ＝ 1＋ cos 2x ，得 y ′＝ (1＋ cos 2x) ′＝－ 2sin 2x ，所以函数在π 2sinπ＝处的切线斜率为－2 × ＝－1.x1212答案：－1(2) 解： ①由题意，函数的定义域为(0，＋ ∞)，由 f( x)＝ ax 2＋ ln x ，得 f ′(x)＝ 2ax ＋ 1，x 所以 f(1)＋ f ′(1)＝ 3a ＋ 1.② 因为曲线 y ＝ f(x)存在垂直于y 轴的切线， 故此时切线斜率为0，问题转变为在 x ∈ (0，＋∞)内导函数f ′(x)＝ 2ax ＋ 1存在零点，x即 f ′(x)＝ 0?2ax ＋ 1x ＝ 0 有正实数解，(5) y ＝ sin 3x － 4即 2ax 2＝－ 1 有正实数解，故有 a<0 ，所以实数 a 的取值范围是 (－∞， 0)．对于函数导数的应用及其解决方法(1) 应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及波及切线问题的综合应用．(2) 方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再依据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用 ]若存在过点 (1,0) 的直线与曲线y ＝ x 3 和 y ＝ ax 2＋15都相切，则 a 的值为 ()4 x － 92521A ．－ 1 或－ 64B ．－ 1 或 4C ．－ 7或－ 25D ．－7或 74 644分析：选A 设过点 (1,0)的直线与曲线 y ＝ x 3 相切于点 (x 0， x 03)，则切线方程为y － x 03＝ 3x 02(x － x 0)，即 y ＝ 3x 02x － 2x 03.又点 (1,0)在切线上，代入以上方程得 3x 0＝ 0 或 x 0＝ .2当 x 0＝ 0 时，直线方程为 y ＝ 0.21525由 y ＝ 0 与 y ＝ ax ＋4 x － 9 相切可得 a ＝－ 64.当 x 0＝ 3时，直线方程为 y ＝ 27x － 27.24 42727215由 y ＝ 4 x － 4 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切可得 a ＝－ 1.层级一学业水平达标1．已知函数 f (x)＝ ax 2 ＋c ，且 f ′(1)＝ 2，则 a 的值为 ()A ． 1B. 2C ．－ 1D ． 0分析： 选A∵ f(x)＝ ax 2＋ c ，∴ f ′(x)＝ 2ax ，又∵ f ′(1)＝ 2a ，∴ 2a ＝ 2，∴ a ＝ 1.2．函数2y ＝ (x ＋ 1) (x － 1)在x ＝ 1 处的导数等于()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：选 D y ′＝ [(x ＋ 1) 2] ′(x － 1)＋ (x ＋ 1) 22＝ 3x 2＋ 2x(x － 1) ′＝ 2(x ＋ 1) ·(x － 1) ＋ (x ＋ 1) － 1，∴ y ′|＝＝ 4.x 13．曲线 f(x)＝ xln x 在点 x ＝ 1 处的切线方程为 ( )A ． y ＝ 2x ＋ 2B ． y ＝ 2x － 2C ． y ＝ x － 1D ． y ＝ x ＋ 1分析：选C∵ f ′(x)＝ ln x ＋ 1，∴ f ′(1)＝ 1，又 f(1) ＝0，∴在点 x ＝ 1 处曲线 f(x)的切线方程为 y ＝ x － 1.4. 已知物体的运动方程为s ＝ t 2＋ 3(t 是时间， s 是位移 )，则物体在时辰 t ＝ 2 时的速度t为 ()19 17 A. 4B. 415 13C. 4D. 4分析：选D33 13∵ s ′＝ 2t －t ，∴ s ′|t2＝ 4－4＝4＝5．设曲线 y ＝ ax － ln(x ＋ 1)在点 (0,0) 处的切线方程为 y ＝ 2x ，则 a ＝ ()A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析：选Dy ′＝ a － 1，由题意得 y ′|x ＝0＝ 2，即 a － 1＝ 2，所以 a ＝3.x ＋ 13－ x ＋ 3 在点 (1,3)处的切线方程为 ________．6．曲线 y ＝ x22分析：∵ y ′＝ 3x － 1，∴ y ′x1＝ 3×1 － 1＝ 2.＝∴切线方程为 y － 3＝ 2(x －1) ，即 2x － y ＋ 1＝ 0.答案： 2x － y ＋ 1＝ 07．已知曲线y 1＝ 2－ 1与 y 2＝ x 3－ x 2＋ 2x 在 x ＝x 0 处切线的斜率的乘积为3，则 x 0＝x ________.分析： 由题知 y ′＝12处切线的斜率分别为12＝ 3x － 2x ＋ 2，所以两曲线在 x ＝ x2，1x ， y ′2x 02－2x 0＋ 2，所以3x 02－ 2x 0＋ 23x 02＝ 3，所以 x 0＝ 1.x 0答案： 1ππ8．已知函数 f (x)＝ f ′4 cos x ＋ sin x ，则 f 4 的值为 ________．π分析： ∵ f ′(x)＝－ f ′4 sin x ＋ cos x ，ππ 2 2∴ f ′4 ＝－ f ′4 ×2 ＋ 2 ，π得 f ′4 ＝ 2－ 1.∴ f( x)＝ ( 2－ 1)cos x ＋ sin x.π∴ f 4 ＝ 1. 答案： 19．求以下函数的导数：2e x ＋ 1x；(1) y ＝ xsin x ； (2)y ＝ e － 1x ＋ cos x(3) y ＝ x ＋ sin x ； (4)y ＝ cos x ·sin 3x.22解： (1)y ′＝ (x) ′sinx ＋ x(sin x) ′＝ sin 2 x ＋ x ·2sin x ·(sin x) ′＝sin 2x ＋ xsin 2x.(2) y ′＝ e x ＋ 1 ′ e x － 1－ e x ＋ 1e x － 1 ′x 1 2e －－ 2e x .＝x－ 12ex ＋ cos x ′ x ＋ sin x － x ＋ cos xx ＋ sin x ′(3) y ′＝x ＋ sin x2＝1－ sin xx ＋ sin x －x ＋ cos x1＋ cos xx ＋ sin x 2－ xcos x －xsin x ＋ sin x － cos x － 1 ＝ x ＋ sin x 2.(4) y ′＝ (cos x ·sin 3x) ′＝ (cos x) ′sinx3＋ cos x(sin 3x) ′＝－ sin xsin 3x ＋ 3cos xcos 3x＝ 3cos xcos 3x － sin xsin 3x.10．偶函数 f(x)＝ ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e 的图象过点 P(0,1)，且在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝x － 2，求 f(x)的分析式．解： ∵ f(x)的图象过点 P(0,1)，∴ e ＝ 1.又∵ f( x)为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)．故 ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e ＝ ax 4－ bx 3＋ cx 2－ dx ＋ e.∴ b ＝ 0， d ＝ 0.∴ f(x)＝ ax 4＋ cx 2＋ 1. ∵函数 f(x)在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝ x － 2，∴切点为 (1，－ 1)．∴ a ＋ c ＋ 1＝－ 1.∵f′(x)|x＝1＝ 4a＋ 2c，∴ 4a＋ 2c＝ 1.∴a＝5， c＝－9.225492∴函数 f(x)的分析式为 f (x)＝x－ x ＋ 1.22层级二应试能力达标1．若函数 f(x)＝ ax4＋ bx2＋ c 知足 f′(1)＝ 2，则 f′(－1)等于 ()A．－ 1B．－ 2C． 2D． 0分析：选B∵ f′(x)＝ 4ax3＋ 2bx 为奇函数，∴ f′(－1)＝－ f′(1)＝－ 2. 2．曲线 y＝ xe x－1在点 (1,1)处切线的斜率等于 ()A． 2e B． eC． 2D． 1分析：选C函数的导数为 f′(x)＝ e x－1＋ xe x－1＝ (1＋ x)e x－1，当 x＝ 1 时， f′(1)＝ 2，即曲线x－1在点 (1,1)处切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，应选 C. y＝ xe3．已知函数 f (x)的导函数为 f′(x)，且知足 f(x)＝ 2xf ′ (e)＋ ln x，则 f′ (e)＝ ()－ 1B．－ 1A． e－ 1D．－ eC．－ e分析：选C∵ f(x)＝ 2xf′(e)＋ ln x，∴f′(x)＝ 2f′(e)＋1 x，∴f′(e)＝ 2f′(e)＋1，解得 f′(e)＝－1，应选 C.e e4．若 f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，则 f′(x)＞ 0的解集为 ()A． (0，＋∞ )B． (－ 1,0)∪ (2，＋∞) C． (2，＋∞ )D． (－ 1,0)分析：选C∵ f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，∴f′(x)＝ 2x－ 2－4x＞ 0，x＋x－或 x＞ 2，整理得＞ 0，解得－ 1＜ x＜ 0x又因为 f(x)的定义域为 (0，＋∞)，所以 x＞ 2.5．已知直线y＝ 2x－ 1 与曲线 y＝ ln(x＋ a)相切，则a 的值为 ________________．1分析：∵ y＝ ln(x＋ a)，∴ y′＝，设切点为(x0，y0)，1则 y0＝ 2x0－ 1， y0＝ ln(x0＋ a)，且x0＋a＝ 2，解之得 a＝1ln 2. 2答案：1ln 22x在点 (1,1)的切 l， l 上的点到x2＋ y2＋ 4x＋ 3＝ 0 上的点的6．曲 y＝2x－1近来距离是 ____________．分析： y′＝－1|y－ 1＝－ (x－ 1)，即 x＋ y－ 2 2， y′x＝1＝－ 1，∴切方程＝ 0，心 (－ 2,0)到直的距离d＝ 2 2，的半径 r＝ 1，∴所求近来距离 2 2－ 1.答案： 2 2－17．已知曲 f (x)＝ x3＋ ax＋ b 在点P(2，－ 6)的切方程是13x－ y－ 32＝ 0.(1) 求a， b 的；1(2)假如曲 y＝ f(x)的某全部与直 l：y＝－4x＋ 3 垂直，求切点坐与切的方程．解： (1)∵ f(x)＝ x3＋ ax＋ b 的数 f′(x)＝ 3x2＋ a，由意可得f′(2)＝ 12＋ a＝13， f(2)＝ 8＋ 2a＋ b＝－ 6，解得 a＝ 1， b＝－ 16.1(2)∵切与直 y＝－4x＋ 3 垂直，∴切的斜率k＝ 4.切点的坐(x0， y0)，2f′(x0)＝ 3x0＋ 1＝ 4，∴ x0＝±1.由 f( x)＝ x3＋x－ 16，可得 y0＝ 1＋ 1－ 16＝－ 14，或 y0＝－ 1－ 1－ 16＝－ 18.切方程y＝ 4(x－ 1)－ 14 或 y＝ 4(x＋ 1)－ 18.即 y＝ 4x－ 18 或 y＝ 4x－ 14.8． f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1， x≥0， n∈ N， n≥2.(1) 求 f n′ (2)；明：在 0，2内有且有一个零点(a，且＜12n(2)f n(x)n)a n－＜n＋13023.解： (1)由 f n′(x)＝ 1＋ 2x＋⋯＋ nx n－1.所以 f n′ (2)＝ 1＋ 2×2＋⋯＋ (n－ 1)2n－2＋n·2n－1，①2f n′ (2)＝ 2＋ 2×22＋⋯＋ (n－ 1)2n－1＋ n·2n，②①－②得，－ f n′ (2)＝ 1＋ 2＋ 22＋⋯＋ 2n－1－ n·2n＝1－ 2n n n－ n·2＝ (1－ n) ·2－ 1，1－ 2所以 f n′ (2)＝ (n－1)n ·2＋1.(2)因 f(0)＝－ 1＜ 0，22nn 231－3－ 1＝1－2×2n2×22＞ 0，f3＝23≥ －3 1－13因 x≥0， n≥2.所以 f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1 增函数，所以 f n(x)在 0，2内增，3所以 f n在 0，2内有且有一个零点 a n(x)3.n＋ 1x－ x因为 f n(x)＝－1，n＋1所以 0＝ f n(a n) ＝a n－ a n－ 1，1－ a n由此可得11n＋ 11，故12 a n＝＋a n＞2＜ a n＜ .22231 1 n＋112 n＋1n所以 0＜ a n－22＝2a n＜2×3＝3n＋ 1.。

教学设计第一章导数及其应用复习课本章知识网络知识点精析(一)求函数的导数1．导数的基本概念、变化率；2．记住基本初等函数的导数公式；3．记住导数的四则运算法则；4．理解复合函数的求导，即[f(φ(x))]′＝f′(φ(x))φ′(x)．(二)导数的应用1．求函数的单调区间与极值步骤：①求出函数的定义域，求导数；②求出导数为0的点或导数不存在点；③列表讨论；④总结．2．求函数的最大值与最小值①闭区间[a，b]上连续函数f(x)一定能取到最大值与最小值，且最大值点与最小值点一定包含在区间内部导数值为0的点或内部导数不存在点或端点之中．②实际应用问题的最大与最小值．设所求的量为y，设与y有关量为x，建立y＝f(x)，x∈D，求f(x)的最大值或最小值．注意：若f(x0)为唯一极值，若f(x0)为极大值，则f(x0)为最大值；若f(x0)为极小值，则f(x0)为最小值．3．关于证明题(1)证明方程根的存在性；(2)证明不等式．(三)定积分1．定积分的概念(四个步骤、本质)(求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程)．2．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，b f(x)dx＝F(b)－F(a)．那么⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．3．应用定积分求面积的基本步骤和注意事项．整体设计教材分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一，体现了现代数学思想，在研究函数的性质时，有独到之处．纵观近几年各地的新课程试卷，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关．作为新教材的新增内容，复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用．课时分配2课时．第1课时教学目标知识与技能目标1．复习巩固导数与积分的基础知识，理清知识网络．2．理解和掌握导数与积分及其有关概念，会求一些实际问题的最大值与最小值．过程与方法目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力，注意数形结合、分类讨论、函数等思想的应用．情感、态度与价值观在解决问题的过程中，培养学生独立思考问题、解决问题的能力，增强其学习积极性和提高其数学交流能力．重点难点重点：掌握导数与积分及其有关概念，巩固导数与积分的基础知识． 难点：运用导数的知识解决有关函数问题．教学过程提出问题请同学们解答下列问题：1．函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________，0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝__________.2．函数f(x)＝13x 3－x 2－3x ＋6的单调递增区间为__________单调递减区间为__________．3．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 答案：1.2 －2基础知识聚焦：函数在某一点处的导数的定义为f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx及其变形，特别注意函数值的增量与自变量的增量．f ′(x 0)的几何意义表示曲线在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．2．(－∞，－1)，(3，＋∞) (－1,3)评析：函数的单调递增区间是两个区间(－∞，－1)，(3，＋∞)，但是不能写成(－∞，－1)∪(3，＋∞)．有关函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a ，b)内单调递增，在(b ，c)内单调递增，又知函数在x ＝b 处连续，因此f(x)在(a ，c)内单调递增．3．D 解析：y ′＝4x 3－4，令y ′＝0，即4x 3－4＝0，所以x ＝1. 当x<1时，y ′<0；当x>1时，y ′>0.所以y 极小值＝y|x ＝1＝0，而端点的函数值y|x ＝－2＝27，y|x ＝3＝72，因此y min ＝0. 基础知识聚焦：考查利用导数求最值．典型示例类型一 导数的概念例1(1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x ＝1处的导数； (2)用导数的定义求函数f(x)＝1x ＋2的导数．思路分析：用导数的定义求导数时，先求平均变化率，再求极限． 解：(1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx＝1－1＋Δx Δx 1＋Δx＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx )＝－11＋Δx ＋1＋Δx，所以f ′(1)＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.(2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx ＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx ) ＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，所以f ′(x)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ －1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2.点评：(1)用导数定义求函数的导数，必须把分式Δy Δx 中的分母Δx 这一因子约掉才能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而对分子、分母约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”，“有理化”是处理根式问题常用的方法． (3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别．变式练习：设函数f(x)在x 0处可导，则下列极限等于f ′(x 0)的是( ) A. 0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx B. 0lim x ∆→ f (x 0＋3Δx )－f (x 0)ΔxC. 0lim x ∆→f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx D. 0lim x ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx答案：D类型二 导数的基本运算例2求导：(1)y ＝(x ＋1)(x 2＋2x)；(2)y ＝cos(2x 2＋1)；(3)y ＝sinxx. 思路分析：运用求导公式及导数运算法则求导．解：(1)y ′＝3x 2＋6x ＋2；(2)y ′＝－4xsin(2x 2＋1)；(3)y ′＝xcosx －sinxx 2. 点评：要熟记常见函数的求导公式及导数运算法则．在求复合函数的导数时，关键是分清函数的复合关系，逐步求导直到最后，把中间变量转变为自变量的函数．变式练习：求y ＝sin 2(3x ＋1)的导数．解：y ′＝[sin 2(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)[sin(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)(3x ＋1)′＝6sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)＝3sin(6x ＋2)． 类型三 导数的几何意义例3若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为…( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 思路分析：导数值对应函数在该点处的切线斜率．解析：设与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处的导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0，故选A.答案：A点评：有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线的切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”；第二类是已知曲线的切线求字母参数．变式练习：过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，于是切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为点(－1,0)在切线上，可解得x 0＝0或x 0＝－2，代入可验证知D 正确，选D.答案：D类型四 定积分的计算 例4计算下列定积分的值．(1)∫3－1(4x －x 2)dx ；(2)∫21(x －1)5dx ；(3)∫π20(x ＋sinx)dx. 解：(1)∫3－1(4x －x 2)dx ＝(2x 2－x 33)|3－1＝(2×32－333)－[2×(－1)2－(－1)33]＝203；(2)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5，所以∫21(x －1)5dx ＝16(x －1)6|21＝16； (3)∫π20(x ＋sinx)dx ＝(x 22－cosx)|π20＝[(π2)22－cos π2]－(0－1)＝π28＋1.变式练习：求∫π2－π2cos 2xdx 的值．解：∫π2－π2cos 2xdx ＝∫π2－π21＋cos2x 2dx ＝x 2|π2－π2＋14sin2x|π2－π2＝π2.类型五 求函数的极值与最值例5f(x)＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4思路分析：本题考查求函数最值，可用导数法先求其极值，再与端点值进行比较． 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，令f ′(x)＝0，可得x ＝0或x ＝2(x ＝2舍去)．当－1≤x<0时，f ′(x)>0；当0<x ≤1时，f ′(x)<0，所以当x ＝0时，f(x)取得极大值为2.又f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以f(x)在[－1,1]上的最大值为2.选C. 答案：C点评：此题较为基础，求完极值点，要注意与题目已知区间结合起来综合考虑问题． 变式练习：a 为何值时，函数f(x)＝asinx ＋13sin3x 在x ＝π3处具有极值？是极大值还是极小值？试求此极值．解：a ＝2，极大值为f(π3)＝ 3.类型六 求函数的单调区间例6设函数f(x)＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b,0<a<1.求函数f(x)的单调区间．思路分析：本题考查用导数法求单调区间，需注意参数a ，有时候需要对其进行讨论． 解：f ′(x)＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a)(x －a)， 令f ′(x)＝0，得x 1＝a ，x 2＝3a.列表如下：∴f(x)在(a,3a)上单调递增，在(－∞，a)、(3a ，＋∞)上单调递减．点评：本题考查内容为利用导数求单调区间．但涉及到参数问题，参数讨论是难点．本题在0<a<1这个条件下降低了难度，若去掉此条件，难度会加大．变式练习：已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x)＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x .当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)； 极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，得g ′(x)＝2x ＋a x －2x 2.又函数g(x)＝x 2＋alnx ＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，又φ(x)＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数，所以[φ(x)]max ＝φ(1)＝0，因此a ≥0.拓展实例：设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值．思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的极值取决于导数值为零的点的两侧的点对应的导数值的符号，即导数值为零的点两侧函数的单调性．解：由已知，得f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1. (1)当a ＝1时，f ′(x)＝6x 2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>1时，f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a －1)上单调递减；在(a －1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a ＝1时，函数f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x ＝0处取得极大值1；在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3. 点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值的基础知识，以及运用数学知识解决问题的能力．变练演编已知f(x)＝23x 3－2ax 2－3x(a ∈R )，(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的范围； (2)试讨论y ＝f(x)在区间(－1,1)内极值点的个数．思路分析：(1)已知函数在(－1,1)上单调递减，一般转化为f ′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．(2)讨论y ＝f(x)在区间(－1,1)内极值点的个数，即讨论f ′(x)＝0在(－1,1)内变号零点的个数．解：(1)f ′(x)＝2x 2－4ax －3，因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即f ′(x)的最大值小于等于零．只需要满足⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －1≤0，－4a －1≤0，所以－14≤a ≤14.(2)方法一：(数形结合法)要讨论y ＝f(x)在区间(－1,1)内极值点的个数，即讨论f ′(x)＝0在(－1,1)内变号零点的个数．f ′(x)＝2x 2－4ax －3.若⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0时，即－14≤a ≤14时，f(x)在区间(－1,1)上为减函数，无极值点．若⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)>0，f ′(1)>0时，即⎩⎨⎧a>14，a<－14，此时不成立．若f ′(－1)f ′(1)<0，即(4a －1)(－4a －1)<0，a<－14或a>14时，函数有一个极值点．综上：当a<－14或a>14时，函数有一个极值点；当－14≤a ≤14时，函数无极值点．方法二：(分离参数法)f ′(x)＝2x 2－4ax －3，令f ′(x)＝0，所以4ax ＝2x 2－3.因为x ＝0不可能为方程的根，所以a ＝2x 2－34x ＝12x －34x .设g(x)＝12x －34x ，则g ′(x)＝12＋34x 2>0恒成立，所以g(x)在(－1,0)和(0,1)上均为增函数．所以g(x)的值域为(－∞，－14)∪(14，＋∞)．故当a ∈(－∞，－14)∪(14，＋∞)时，函数有一个极值点；当a ∈[－14，14]时，函数无极值点．点评：1.第(1)问中，f ′(x)<0和f ′(x)≤0都不是函数y ＝f(x)在(－1,1)上为减函数的充要条件，但只要函数不是常数函数，则f ′(x)≤0就是充要条件，故用f ′(x)≤0.2．第(2)问中，求极值点的个数转化为求方程解的个数，研究根的分布问题时，“数形结合法”与“分离参数法”是常用的两种方法．变式练习：上题的第(1)问中，若将区间(－1,1)改为[－1,1]呢？再将其改为(1,3)呢？ 解：函数y ＝f(x)在(－1,1)上为减函数和[－1,1]上为减函数没有区别，故－14≤a ≤14.若将(－1,1)改为(1,3)时，还可以用分离参数法．解法如下：令f ′(x)≤0，所以4ax ≥2x 2－3.因为x ∈(1,3)，所以a ≥2x 2－34x ＝12x －34x .由(2)知函数g(x)＝12x －34x 在(1,3)上为增函数，故只需a ≥g(3)，所以a ≥54.点评：解决不等式恒成立问题可以用“数形结合法”和“分离参数法”，对这两种方法的选择应按照先“分离参数法”后“数形结合法”的原则．如果“分离参数”时不好分离，可用“数形结合法”．如原题中区间为(－1,1)时，“数形结合法”要分三种情况讨论，不如用“分离参数法”简洁．达标检测1．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 222．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，若∫10f(x)dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________． 答案：1.D 解析：y ′＝e x ，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为e 2，因此切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，则切线与坐标轴交点为A(1,0)，B(0，－e 2)．所以S △AOB ＝12×1×e 2＝e 22.2.33 解析：∫10f(x)dx ＝∫10(ax 2＋c)dx ＝(13ax 3＋cx)|10＝a 3＋c.而f(x 0)＝ax 20＋c ，所以ax 20＋c ＝a 3＋c.又0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 课堂小结1．知识收获：导数作为工具研究函数的相关问题的方法，以及定积分的简单运算． 2．方法收获：数形结合、分类讨论的方法．3．思维收获：数形结合思想、分类讨论思想以及将代数式子视为函数的意识和转化化归的思想．让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．设计意图布置作业课本本章复习参考题A 组第6、7、16题．补充练习1．函数f(x)＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a<1 B ．a<13C ．a<0D ．a ≤02．已知f(x)为偶函数，且∫60f(x)dx ＝8，则∫6－6f(x)dx 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．163．函数y ＝lnx －x 在x ∈(0，e]上的最大值为__________． 答案：1.D 2.D 3.－1 拓展练习4．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有f(x 1)－f(x 2)≤4； (3)若过点A(1，m)(m ≠－2)可作曲线y ＝f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围． 思路分析：本小题主要考查应用导数研究函数的极值，利用导数为工具解决函数与不等式的有关综合问题，运用导数的几何意义来解决函数与解析几何的综合问题，这是高考的热点问题．解：(1)f ′(x)＝3ax 2＋2bx －3，依题意，得f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f(x)＝x 3－3x. (2)证明：∵f(x)＝x 3－3x ，∴f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1,1]上为减函数，f(x)max ＝f(－1)＝2，f(x) min＝f(1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |，∴|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |≤2－(－2)＝4.(3)f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵曲线方程为y ＝x 3－3x ，m ≠－2，∴点A(1，m)不在曲线上．设切点为M(x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的斜率为3(x 20－1)＝x 30－3x 0－m x 0－1， 整理得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0. ∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线，∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根．设g(x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3，则g ′(x 0)＝6x 20－6x 0，由g ′(x 0)＝0，得x 0＝0或x 0＝1.∴函数g(x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3的极值点为x 0＝0，x 0＝1.∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是g(1)g(0)<0，即(m ＋3)(m ＋2)<0，解得－3<m<－2.故所求实数a 的取值范围是(－3，－2)．点评：总的说来，对于这部分知识的复习，要认识到新课程中增加了导数内容，增添了一部分的变量数学，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率，解决函数的单调性、极值等问题的作用．要全面复习，抓住导数基础知识．注意考题的难度逐年增大，要有意识地与解析几何(特别是切线，最值)、函数的单调性、函数的极值、最值、二次函数、方程、不等式、代数式的证明等知识进行交汇、综合训练，特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题进行训练．设计说明本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是构建知识体系，形成知识网络，总结解题规律、方法，使学生能够见题想法，见题有法，能够做到一题多解，触类旁通．备课资料设a ∈R ，若函数f(x)＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a>－3B ．a<－3C ．a>－13D ．a<－13解析：f ′(x)＝3＋ae ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x)＝3＋ae ax ＝0有正根．当有f ′(x)＝3＋ae ax ＝0成立时，显然有a<0，此时x ＝1a ln(－3a)．由x>0，我们就能得到参数a 的范围为a<－3.答案：B点评：本题考查导数、函数、方程的有关知识，考查等价转化、分类讨论的数学思想以及分析问题、解决问题的能力，是试卷中一道以能力考查为主的试题．解决本题的关键是用a表示出x，通过x>0建立关于参数a的不等式，这也是解决参数取值范围问题的一个通用方法，值得仔细体会．(设计者：李锋)第2课时教学目标知识与技能目标1．在复习巩固导数基础知识的基础上，进一步理解利用导数解决函数单调性、极值、最值等问题的处理方法．2．提高学生转化化归意识，体会导数在解决实际问题中的作用．过程与方法目标掌握利用导数解决问题的方法、规律，深化学生对导数知识的理解及把握．情感、态度与价值观培养学生的观察、分析问题的能力，以及转化、化归的数学思想，让学生学会用数学方法认识世界、改造世界．重点难点重点：巩固常见导数题型，并培养学生解决实际问题的能力．难点：运用导数知识解决有关问题的方法．教学过程典型示例类型一求函数的导数例1函数y＝x3lnx＋2x＋cos2x－3e＋sinπ的导数为________．思路分析：本题考查函数求导公式及导数运算法则，且搞清变量是x，一般在不做任何说明的情况下，将x视为变量．答案：y′＝3x2lnx＋x2＋2x ln2－2sin2x点评：本题一方面考查了导数求导公式及导数运算法则，另一方面学生容易出现诸如“(sinπ)′＝cosπ”的错误，因此本题有助于帮助学生克服思维定势．变式练习1．函数y＝e x＋x2cosx＋lnx的导数为__________．2．下列函数求导运算正确的是()A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x)′＝1xln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2sinx)′＝2xcosx答案：1.y ′＝e x ＋2xcosx －x 2sinx ＋1x2.B 类型二 用导数研究函数的性质(单调性、极值和最值)例2设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2，(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[－34，14]上的最大值和最小值． 思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的最值取决于函数的极值以及端点函数值的大小．解：f(x)的定义域为(－32，＋∞)． (1)f ′(x)＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当－32<x<－1时，f ′(x)>0；当－1<x<－12时，f ′(x)<0；当x>－12时，f ′(x)>0. 从而，f(x)在区间(－32，－1)，(－12，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－12)上单调递减． (2)由(1)知f(x)在区间[－34，14]上的最小值为f(－12)＝ln2＋14. 又f(－34)－f(14)＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12(1－ln 499)<0. 所以f(x)在区间[－34，14]上的最大值为f(14)＝116＋ln 72. 点评：(1)对数形式的函数求导一定要注意定义域；(2)注意求闭区间上函数最值的基本方法．变式练习：设函数f(x)＝x 3－3ax ＋b(a ≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．思路分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．解：(1)f ′(x)＝3x 2－3a ，∵曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.∴a ＝4，b ＝24.(2)∵f ′(x)＝3(x 2－a)(a ≠0)，当a<0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点； 当a>0时，由f ′(x)＝0，得x ＝±a.当x ∈(－∞，－a)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－a ，a)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增．∴此时x ＝－a 是函数f(x)的极大值点，x ＝a 是函数f(x)的极小值点．类型三 不等式证明例3当x>0时，证明不等式e x >1＋x ＋12x 2成立． 思路分析：在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效．这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论．证明：设f(x)＝e x －1－x －12x 2，则f ′(x)＝e x －1－x. 令g(x)＝e x －1－x ，则g ′(x)＝e x －1.当x>0时，g ′(x)＝e x －1>0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0.∴g(x)>g(0)＝0.∴g(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立．∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，∴e x －1－x －12x 2>0，即x>0时，e x >1＋x ＋12x 2成立． 点评：利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为命题的一个新热点，其关键是构造合适的函数，通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式．变式练习：利用导数证明不等式lnx ＋1≤x 恒成立．解：设函数f(x)＝lnx ＋1－x(x>0)，则f ′(x)＝1x－1，则0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，故f(x)≤f(1)＝0，即lnx ＋1－x ≤0，即lnx ＋1≤x.点评：一般地，证明f(x)<g(x)，x ∈(a ，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F ′(x)<0，则F(x)在(a ，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．类型四 微积分基本定理及其应用例4(1)求∫21(1x＋x ＋e x ＋cosx)dx 的值；(2)求∫2－24－x 2dx. 思路分析：(1)本题考查微积分基本定理，需结合导数公式记忆该定理．(2)本题若用微积分基本定理，不易求解，可考虑几何意义，即半径为2的半圆面积．解：(1)∫21(1x ＋x ＋e x ＋cosx)dx ＝(lnx ＋x 22＋e x ＋sinx)|21＝ln2＋32＋e 2－e ＋sin2－sin1. 点评：求导问题和求微积分问题可以看做互逆的两个过程，因此须牢记求导公式．(2)∫2－24－x 2dx ＝2π. 点评：对于某些比较难求的积分，可考虑其几何意义，数形结合．变式练习：1．求∫a －aa 2－x 2dx 的值，其中a>0. 2．求由y ＝1x，y ＝1，y ＝2，x ＝0所围成的图形的面积． 3．物体A 以速度v ＝6t ＋1在一直线上运动，同时物体B 在A 的正前方2米处以v ＝6t 的速度运动，两物体速度方向相同，两物体何时相遇？相遇处与物体A 的出发地距离是多少？答案：1.∫a －a a 2－x 2dx 几何意义为半径为a 的半圆的面积，故其值为πa 22. 2．本题以y 为变量较好，故面积S ＝∫211ydy ＝lny|21＝ln2－ln1＝ln2. 3．解：设在时刻t 0时相遇，则由题意，知∫t 00(6t ＋1)dt ＝2＋∫t 006tdt ，∴(3t 2＋t)|t 00＝2＋3t 2|t 00.∴3t 2＋t ＝2＋3t 2.∴t ＝2.相遇处与物体A 的出发地距离是s ＝∫20(6t ＋1)dt ＝(3t 2＋t)|20＝14(米)．类型五 导数在实际问题中的应用例5某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入—成本)思路分析：建立利润函数，利用导数求其最值．解：每月生产x 吨时的利润为f(x)＝(24 200－15x 2)x －(50 000＋200x) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)． 由f ′(x)＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)． 因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×(200)3＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)． 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．点评：此题考查导数的实际应用，注意建立数学模型，将实际问题化为数学问题，最后一定要还原为实际问题来作答．变式练习：某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元．已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？解：设生产x 件产品的利润为L(x)元，则L(x)＝500x －2 500－C(x)＝300x －136x 3－2 500(x 为正整数)． ∴L ′(x)＝300－112x 2. 令L ′(x)＝0，得到x ＝60(x ＝－60舍去)．当0≤x<60时，L ′(x)>0；当x>60时，L ′(x)<0.∴x ＝60是L(x)的唯一极大值点．故[L(x)]max ＝L(60)＝9 500.因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．拓展实例1．已知函数f(x)＝sin2x －acos2x 的图象关于直线x ＝π8对称，则a 的值为…( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．1或－1思路分析：此题方法较多，可以利用定义f(π8＋x)＝f(π8－x)求解，也可以利用特殊值求解．例如用f(0)＝f(π4)求解，若能抓住此类三角函数在对称轴处取到极值，则可利用该点处导数值为零解决．解析：f ′(x)＝2cos2x ＋2asin2x ，因为函数图象关于直线x ＝π8对称，故f ′(π8)＝0，代入得cos π4＋asin π4＝0，所以a ＝－1. 答案：C2．已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)，求函数的单调递增区间． 解：∵f(x)＝sin(2x ＋π6)，∴f ′(x)＝2cos(2x ＋π6)． 令f ′(x)>0，得2kπ－π2<2x ＋π6<2kπ＋π2，k ∈Z . 解得kπ－π3<x<kπ＋π6，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k ∈Z . 变练演编1．已知f(x)＝xlnx ＋e x ，则下列关系正确的是( )A ．f ′(x)＝1＋e xB ．f ′(1)＝1＋eC ．f(1)>f(2)D ．f ′(1)>f ′(2)2．对R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x －1)f ′(x)≥0，则必有( )A ．f(0)＋f(2)<2f(1)B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)C ．f(0)＋f(2)≥2f(1)D ．f(0)＋f(2)>2f(1)3．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，则f(π4)的值为__________． 4．求∫20(4－x 2＋|x －1|)dx 的值．5．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 6．设函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3a 2x ＋1(a ，b ∈R )在x ＝x 1，x ＝x 2处取得极值，且|x 1－x 2|＝2.(1)若a ＝1，求b 的值，并求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求b 的取值范围．答案：1.B 2.C 3.1 4.π＋1.5．解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈Z *)． f ′(x)＝48－10 800x 2，令f ′(x)＝0，得x ＝15. 当x>15时，f ′(x)>0；当0<x<15时，f ′(x)<0.因此，当x ＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．6．解：f ′(x)＝3ax 2＋2bx －3a 2.①(1)当a ＝1时，f ′(x)＝3x 2＋2bx －3.由题意知x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3＝0的两根，所以|x 1－x 2|＝4b 2＋363. 由|x 1－x 2|＝2，得b ＝0.从而f(x)＝x 3－3x ＋1，f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当x ∈(－1,1)时，f ′(x)<0；当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0.故f(x)在(－1,1)上单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增．(2)由①式及题意知x 1，x 2为方程3ax 2＋2bx －3a 2＝0的两根，所以|x 1－x 2|＝4b 2＋36a 33a. 从而|x 1－x 2|＝2＝9a 2(1－a)，由上式及题设知0<a ≤1.考虑g(a)＝9a 2－9a 3，g ′(a)＝18a －27a 2＝－27a(a －23)． 故g(a)在(0，23)内单调递增，在(23，1)内单调递减，从而g(a)在(0,1]上的极大值为g(23)＝43. 又g(a)在(0,1]上只有一个极值，所以g(23)＝43为g(a)在(0,1]上的最大值，且最小值为g(1)＝0.所以b 2∈[0，43]，即b 的取值范围为[－233，233]． 达标检测1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)2．f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.1033．当x ≠0时，有不等式( )A ．e x <1＋xB ．当x>0时，e x <1＋x ；当x<0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x<0时，e x <1＋x ；当x>0时，e x >1＋x4．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为…( )A ．－1<a<2B ．－3<a<6C ．a<－1或a>2D ．a<－3或a>65．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是__________．6．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________． 7．已知函数f(x)＝13x 3＋a 2x 2＋ax ＋b ，当x ＝－1时，函数f(x)的极值为－712，则f(2)＝__________.答案：1.C 2.D 3.C 4.D 5.(－∞，－53)，(1，＋∞) 6.(0，＋∞) 7.53课堂小结1．知识收获：导数在解决函数极值与最值、不等式证明以及在解决实际问题中的应用．2．方法收获：转化化归的思想方法．3．思维收获：分类讨论思想以及转化化归的思想．设计意图注重基础，由学生总结导数常见题型，培养学生的总结能力以及对知识的梳理能力，这样可以帮助学生尽快建立完整的知识体系．布置作业1．已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f ′(x)＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y ＝f(x)在区间(a －1，a ＋1)内的极值．2．设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2，(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线f(x)与x 轴所围成图形的面积．答案：1．解：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f(x)＝x 3＋ mx 2＋nx －2，得f ′(x)＝3x 2＋2mx ＋n ，则g(x)＝f ′(x)＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n.而g(x)图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3.代入①得n ＝0， 于是f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．由f ′(x)>0，得x>2或x<0.故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；由f ′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x)＝3x(x －2)．令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a ＝1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a ≥3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6.2．解：(1)a ＝0，b ＝－3.(2)92. 补充练习1．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋a(a 是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f(x)的最小值是( )A ．－5B ．－11C ．－37D ．－292．设函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx(x ∈R )，已知g(x)＝f(x)－f ′(x)是奇函数，(1)求b 、c 的值；(2)求f(x)在点x 0＝1处的切线方程；(3)求g(x)的单调区间与极值．3．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，要使弹簧伸长10 cm ，需作多少功？答案：1.C 2.(1)b ＝3，c ＝0；(2)y ＝9x －5；(3)单调增区间(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调减区间(－2,0)；极大值f(－2)＝42，极小值f(2)＝－4 2.3．0.25 J.拓展练习4．以长为10的线段为直径作半圆，求它的内接矩形面积的最大值．解：如图所示，设AB ＝2x ，∴BC ＝52－x 2＝25－x 2.∴面积S(x)＝2x 25－x 2(0<x<5)．S ′(x)＝225－x 2－2x 225－x 2＝2(25－2x 2)25－x 2， 令S ′(x)＝0，解得x ＝522(x ＝－522舍去)． 当x ∈(0，522)时，S ′(x)>0；当x ∈(522，5)时，S ′(x)<0， ∴在x ＝522时，S(x)取得极大值，也是最大值S(522)＝25. 因此当x ＝522时，它的内接矩形面积最大，最大值为25. 设计说明导数是高等数学最为基础的内容，是中学必选的重要知识之一．由于导数应用的广泛性，可为解决所学过的函数问题提供更有效的工具或更一般性的方法，导数方法与初等方法相比，对技巧性的要求有所降低，因此运用导数方法可以简捷地解决相关问题．可以说导数的加入使函数这部分内容更加充实，也显得更加重要．但本部分也是难点，因此设计时尽可能地以小见大，从基础题入手，使学生循序渐近地掌握好本章内容．备课资料已知m ，n 是正整数，且1<m<n ，证明(1＋m)n >(1＋n)m .分析：要证(1＋m)n >(1＋n)m 成立，只要证ln(1＋m)n >ln(1＋n)m ，即要证1m ln(1＋m)>1nln(1＋n)成立．因为m<n ，所以，设函数f(x)＝1xln(1＋x)，只要证f(x)在[2，＋∞)上是减函数即可．证明：设函数f(x)＝1x ln(1＋x)，则f ′(x)＝－1x 2ln(1＋x)＋1x ·11＋x， 即f ′(x)＝1x 2[x 1＋x －ln(1＋x)]，因为x ≥2,0<x 1＋x<1，ln(1＋x)≥ln3>1， 所以f ′(x)<0.所以f(x)在[2，＋∞)内是减函数，而m<n ，所以f(m)>f(n)，即1m ln(1＋m)>1nln(1＋n)，从而有(1＋m)n >(1＋n)m . 评注：这类非明显一元函数式的不等式证明问题，首先变换成某一个一元函数式分别在两个不同点处的函数值的大小比较问题，只要将这个函数式找到了，通过设函数，求导判断它的单调性，就可以解决不等式证明问题．难点在于找这个一元函数式，这就是“构造函数法”．通过这类数学方法的练习，对提高学生分析问题、解决问题的能力是有很大好处的，这也是进一步学习高等数学所需要的．(设计者：李宾)。

1.2 导数的计算一、教学目标 1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力． 2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x===== （2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数． 3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x ===== （2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数． 4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？ 是如何计算得到的？ 任务2阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？2．预习自测 1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =-2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x - 解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计 1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应. （2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()limlim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数. 2．问题探究问题探究一 、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x===== ●活动一 动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====. 1．若y c =（c 为常数），则y '=_________； 2．若y x =，则y '=_______________； 3．若2y x =，则y '=___________________； 4．若1y x=，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二 阅读查表，记忆导数公式1．若()f x c =（c 为常数），则()f x '=_______； 2．若*()()f x x Q αα=∈，则()f x '=_______. 3．若()sin f x x =，则()f x '=________________； 4．若()cos f x x =，则()f x '=_____________.5．若()x f x a =，则()f x '=_________； 特别地：若()x f x e =，则()f x '=_________. 6．若()log a f x x =，则()f x '=_______； 特别地：若()ln f x x =，则()f x '=________.为避免记忆混淆，可将上述公式可分为四类记忆：（1）（2）属于幂函数的导数公式；（3）（4）属于三角函数的导数公式；（5）是指数函数的导数公式；（6）是对数函数的导数公式． 例1求下列函数的导数．(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝5x 3； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x . 【知识点：导数的运算】解：(1)∵a 为常数，∴a 2为常数，∴y ′＝(a 2)′＝0.(2)'32'553'5y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭(3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5 (4)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. 例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【知识点：导数的运算】解：''113122211'()22f x x x x ----⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭∴f ′(1)＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.点拨：熟记导数公式，能够应用导数公式求相应函数的导数. ●活动三 认识规律，熟练掌握法则 导数的四则运算法则是什么？（1）[()()]f x g x '±=___________； （2）[()()]__________________f x g x '⋅=； （3）()[]___________________()f xg x '=. 由积的导数运算法则可推出：[()]()cf x cf x ''=．在积、商的导数运算法则中，要注意：一般情况下，[()()]()()f x g x f x g x '''⋅≠⋅，()()[]()()f x f xg x g x ''≠'，不要与[()()]()()f x g x f x g x '''±=±混淆． ●活动四 应用法则，扩充导数公式请利用初等函数的导数和导数的四则运算法则计算下列函数的导数： 1．若()ln f x x x =，则()f x '=_______； 2．若2()x f x x e =，则()f x '=_______.3．若()tan f x x =，则()f x '=_____________；4．若()ln f x x =，则()f x '=_____________. 例3 求下列函数的导数．(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝x 2sin x ；(4)y ＝2tan x ＋3tan x ；(5)y ＝x ·e x ＋ln x . 【知识点：导数的运算】解： (1)y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)先化简，得y ＝－x 12 ＋x －12 ∴y ′＝－12x －12 －12x －32 ＝－x ＋12x x .(3)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x.(4)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x cos x ＋3cos x sin x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋－3sin 2x －3cos 2xsin 2x ＝2cos 2x －3sin 2x .解法2：y ′＝2ta n′x －3tan′x tan 2x ＝tan′x (2－3tan 2x )＝1cos 2x (2－3cos 2x sin 2x )＝2cos 2x －3sin 2x . (5)y ′＝(x ·e x )′＋(ln x )′＝e x ＋x ·e x ＋1x ＝(1＋x )·e x ＋1x . 点拨：熟记导数公式是求导函数的关键.●活动一 什么是复合函数及复合函数求导法则？（1）一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =． （2）复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数的关系为：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例4求下列函数的导数．(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝3ax 2＋bx ＋c ； (3)ax b y e -+=. 【知识点：导数的运算】 解：(1)y ＝u －4，u ＝1－3x .∴y ′＝y ′u ·u ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4·u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(2)y ＝u 13 ，u ＝ax 2＋bx ＋c .y ′＝y ′u ·u ′x ＝13u －23 ·(2ax ＋b )＝13(ax 2＋bx ＋c ) －23 ·(2ax ＋b )＝(2ax ＋b )3ax 2＋bx ＋c 3(ax 2＋bx ＋c ).(3)y ＝e u ，u =－ax +b .，y ′＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(－ax +b )′＝e u ·(－a )＝ax b ae -+-． 点拨：分清函数由哪些函数复合而成，是求复合函数导数的关键. ●活动二 应用新知，解决典型例题例5 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.例6已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：设切点为(x 0，y 0)，00013131222x x y x x x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝＝－＝－＝－.∵x 0>0，∴x 0＝2.点拨：求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率．(3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．●活动三 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系. （1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f (x )的导函数 （3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一． 3．课堂总结 【知识梳理】（1）基本初等函数的导数公式（2①[()()]'f x g x ±= ；②()()'f x g x =⎡⎤⎣⎦ ； ③()[]'()f xg x = [()0].g x ≠ （3）复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .【重难点突破】（1）运用导数的四则运算法则，可推出以下三个常用结论： ①1212[()()()]()()()n n f x f x f x f x f x f x ''''±±±=±±±；②[()()]()()af x bg x af x bg x '''±=±；③2()1()[()]g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． （2）求复合函数导，一般按以下三个步骤进行：①分解：分解复合函数为基本初等函数，注意适当选择中间变量；②层层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；③作积还原：将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量． 利用复合函数求导时，要注意选择合适的中间变量.例如，对于函数41(34)y x =+，可令31u x =+，4y u -=；也可令4(31)u x =+，1y u -=，显然前一种形式更有利于求导．（3）应用导数公式与运算法则求导时，应注意以下三点： ①对幂函数求导时，要将根式、分式化为指数式，以便应用公式； ②对较复杂函数求导时，可考虑“先化简，再求导”，以减少运算量. ③根据函数的结构，合理选择求导公式与运算法则. 4．随堂检测1．已知f (x )＝x 2，则(3)f '=（ ） A ．0B ．2xC ．6D ．9【知识点：导数的运算】 解：C2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是（ ） A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x【知识点：导数的运算】 解：D 3．函数y ＝cos x1－x的导数是（ ） A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x【知识点：导数的运算】 解：C4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C. 2D ．a >0【知识点：导数的运算】 解：B5．设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)，则a =_________.【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：12（三）课后作业基础型自主突破1．给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若3y'=，则y＝3x.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点：导数的运算】解：B2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解：B3．若2()24lnf x x x x=--，则()0f x'>的解集为（）A．(0,)+∞B．(1,0)(2,)-+∞C．(2,)+∞D．(1,0)-【知识点：导数的运算】解：C4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 【知识点：导数的几何意义】解：C提示：∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b得b＝ln 2－1.5．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于（）A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点：导数的运算】解：C6．求下列函数的导数（1）3log y x = （2）31x y x e =+- （3）sin(12)y x =+（4）1ln y x x x=+（5） y ＝2sin x 2(1－2sin 2x4)．【知识点：导数的运算】 解：（1）1ln 3y x '=（2）232ln 2x y x '=+⋅（3）()22cos(1)(12)2cos 1y x x x ''=+⋅+=+ （4）211ln y x x'=+-（5）∵y ＝2sin x 2(1－2sin 2x 4)＝2sin x 2cos x2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．能力型 师生共研7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e【知识点：导数的运算】 解： B8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足()()f x g x ''=，则f (x )与g (x )满足（ ）A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数【知识点：导数的运算】 解： B9．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：14 提示：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a＝14满足题意．10．若函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是（ ）A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n【知识点：导数的运算】 解： A探究型 多维突破11．已知1()sin cos ()f x x x x R =+∈，记*21321()(),()(),,()()(,2)n n f x f x f x f x f x f x n N n -'''===∈≥，则122014()()()222f f f πππ+++=____________.【知识点：导数的运算】解：0 提示：2()cos sin f x x x =-，3()sin cos f x x x =--，4()cos sin f x x x =-+，5()sin cos f x x x =+，以此类推，可得出4()()n n f x f x +=，又1234()()()()0f x f x f x f x +++=，所以122014123412()()()503[()()()()]()()0222222222f f f f f f f f f πππππππππ+++=+++++=12．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. （1）求C 上斜率最小的切线方程；（2）证明：曲线C 关于斜率最小时切线的切点对称．【知识点：导数的运算】 解：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0. (2)证明：设(x 0，y 0)∈C ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则⎩⎨⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6， 整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．自助餐1．下列四组函数中导数相等的是（ ）A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋4【知识点：导数的运算】 解： D2．设函数22()(0)x a f x a x+=>，若0()0f x '=，则x 0＝（ ）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【知识点：导数的运算】 解： B3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为（ ） A.193 B.103C.133D.163【知识点：导数的运算】 解： B4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是（ ）A.2＋xx 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1【知识点：导数的运算】 解： B5．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 【知识点：导数的运算】解： D6．（1）已知f (x )＝xe x ＋sin x cos x ，则f ′(0)＝________.（2）已知g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则g ′(1)＝________.【知识点：导数的运算】解：（1）2 ；（2） 24提示：(1)f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＋cos2x ，∴f ′(0)＝1＋1＝2.(2)()(1)[(2)(3)(4)(5)](2)(3)(4)(5)g x x x x x x x x x x ''=-----+---- 所以g ′(1)＝(1－2)(1－3)(1－4)(1－5)＝24.7．设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)f '=______________.【知识点：导数的运算】 解：28．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是_____________ ①2()f x x =，②()x f x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =.【知识点：导数的运算】 解：①③提示： ①中，令00()()f x f x '=，可得：00x =或02x =，故存在“巧值点”.②中，令00()()f x f x '=，可得：0x x e e --=-，显然无解，故不存在“巧值点” ③中，令00()()f x f x '=，可得：001ln x x =，由于ln y x =与1y x=的图像有交点，因此方程有解. 故存在“巧值点”.④中，令00()()f x f x '=，可得：0201tan cos x x =，即：00sin cos 1x x =，显然无解. 故不存在“巧值点”9．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离，则实数a =_______.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：49提示：曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x的距离为d =-==曲线C 1：y =x 2+a 对应函数的导数为2y x '=，令12=x 得21=x ，所以C 1：y =x 2+a 上的点为)41,21(a +，点)41,21(a +到到直线l :y =x 的距离应为2，所以211|4121|22=+--a ，解得49=a 或47-=a （舍去）. 10．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，则()f x =____________. 【知识点：导数的运算】解：212x e x x -+ 提示：1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f =，即1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=，得：21()2x f x e x x =-+11．已知11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为函数2()2f x x x a =++（0x <，a R ∈）的图像上的两点,且12x x <.若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为___________.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：1 提示：由题知：()22f x x '=+，且12()()1f x f x ''=-，于是可得：12(22)(22)1x x ++=-，化简得：12114(1)x x =--+，从而21221114(1)x x x x -=++≥+.12．已知二次函数()f x 只有一个零点，且()22f x x '=+. （1）求()f x 的表达式； （2）若()()x f x g x e=，求曲线()y g x =在点(0,(0))P g 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形面积S .【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，又()22f x x '=+，所以1,2a b ==. 即2()2f x x x c =++，又()f x 只有一个零点，故1c =，所以2()21f x x x =++.（2）由（1）知2()21()x xf x x xg x e e++==，所以2222(21)(21)1()()x xx xx x e e x x xg xe e'++-++-'==.故(0)1g'=，又(0)1g=，从而切斜l的方程为1y x-=，即10x y-+=，于是切线l与两坐标轴围成的三角形面积111122 S=⨯⨯=.数学视野微积分学是由牛顿和莱布尼茨在总结了诸多数学家的工作之后，分别独立地创立的.牛顿（Newton，1642—1727），英国数学家，物理学家，天文学家和自然哲学家.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分. 17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，运动的瞬时速度，面积、体积、曲线长度、物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算（微积分基本定理）.牛顿的微积分中有一个重要的基本概念“流数”，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量（用,,,x y z表示）的变化率（速度），并用在字母上加点来表示，如,,,x y z.牛顿表述流数术的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的流数间的关系，以及逆运算. 牛顿创立微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题.莱布尼茨（Leibniz，1646—1716），德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分学的创始人.莱布尼茨终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法.这种努力导致许多数学上的发现，最突出的是微积分学.莱布尼茨创立微积分主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号（如：d,x⎰等）以及微分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响.。

选修2-2第一章 导数及其应用 1.2导数的计算1 导学案导学习目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．思 1.复习回顾 利用定义求导数的步骤(1)求函数增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限lim Δx →0 ΔyΔx . 2.对几个常用函数的导数公式的理解(1).常数的导数为0，其几何意义为f(x)=c 在任意点处的切线平行于x 轴，其斜率为零。

若y=c 表示路程关于时间的函数，则y =0可以解释为某物体作瞬时速度为0，即一直处于静止状态。

(2). f(x)=x 的导数为1，其几何意义为y=x 图像上每一点处的切线斜率为1，若y=x 表示路程关于时间的函数，则y =1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动。

(3).函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x .y ′＝2x 表示函数y ＝x 2图象上点(x ，y )处的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释当某物体做变速运动做，它在时刻x 的瞬时速度为2x . 3．基本初等函数的导数公式表议 题型一 利用常用函数的导数公式求导数值例1 求曲线y ＝1x 在点M (3,3)处的切线方程．''变式训练：求曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程．归纳总结：将曲线上点的横坐标代入曲线导数方程便可求出切线的斜率，再代入点斜式即可求出切线方程．题型二 常用函数的导数公式的综合应用例2 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．变式训练：设直线l 1与曲线y ＝x 相切于P ，直线l 2过P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，又作PK 垂直于x 轴于K 点，求KQ 的长．题型三 常见函数导数公式的综合应用例3 已知f (x )＝x 2，g (x )＝1x ，求适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值．变式训练：已知函数，则f (1)与f (－1)的大小关系是 ( )A ．f (1)＝f (－1)B ．f (－1)<f (1)C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定展 评检 1.已知函数f (x )＝36，则＝( )A ．3B ．5C ．0D ．不存在2．函数f (x )＝x ，则＝ ( )A.36B ．0 C.12xD.323．曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处切线的倾斜角α是( )A ．0°B ．45°C ．135°D ．－45°4.曲线y ＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时，P 点坐标为________。

人教版高中选修2-2第一章导数及其应用课程设计一、课程概述本章主要介绍导数的概念、求导法则、高阶导数及其应用，包括函数的极值、最小二乘法、牛顿法等，旨在让学生了解函数的变化趋势，提高学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学目标1.了解导数的概念和意义，掌握导数的基本概念；2.掌握求导的基本法则，能够熟练求导；3.能够计算高阶导数，并应用到实际问题中；4.了解函数的极值及其求解方法；5.能够掌握最小二乘法求解实际问题；6.能够掌握牛顿法求解实际问题。

三、教学重点和难点教学重点1.导数的概念和求导法则；2.函数的极值及其求解方法；3.最小二乘法及其应用；4.牛顿法及其应用。

教学难点1.计算高阶导数；2.将导数应用到实际问题中；3.极值的求解方法；4.最小二乘法和牛顿法的求解方法和应用。

四、教学内容及安排教学内容1. 导数的概念和求导法则1.1 导数的定义和基本性质； 1.2 函数的求导法则； 1.3 高阶导数的概念。

2. 函数的极值及其求解方法2.1 极值的定义和判别条件； 2.2 极值的求法。

3. 最小二乘法及其应用3.1 最小二乘法的概念和应用； 3.2 最小二乘法的求解方法。

4. 牛顿法及其应用4.1 牛顿法的概念和应用； 4.2 牛顿法的求解方法。

教学安排第一节导数的概念和求导法则时间：2课时内容：介绍导数的概念和基本性质，掌握函数的求导法则，学会计算高阶导数。

第二节函数的极值及其求解方法时间：2课时内容：介绍极值的定义和判别条件，学会极值的求法。

第三节最小二乘法及其应用时间：2课时内容：介绍最小二乘法的概念和应用，学会最小二乘法的求解方法。

第四节牛顿法及其应用时间：2课时内容：介绍牛顿法的概念和应用，学会牛顿法的求解方法。

五、教学方法和技巧1.通过数学公式、图示等方式，生动形象地介绍导数的概念和求导法则。

2.将实际问题引入课堂，通过例题让学生熟练掌握极值的求解方法。

3.借助案例等方式，让学生了解最小二乘法和牛顿法的应用场景和求解方法。

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。

导数的计算__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。

2、使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数． 一、几个常用函数的导数： 1．函数()y f x c ==的导数函数导数 y c =2．函数()y f x x ==的导数函数导数 y x =3．函数2()y f x x ==的导数函数导数 2y x =4．函数1()y f x x==的导数 函数导数 1y x=（2）推广：若*()()ny f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=二、基本初等函数的导数公式：函数导数 y c =*()()n y f x x n Q ==∈sin y x =cos y x =2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则1． 2． 3．推论：[]''()()cf x cf x =类型一：利用公式及运算法则求导数 例1．求下列函数的导数： （1）41y x=；（2）53y x =（3）222log log y x x =-； （4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4举一反三：【变式】求下列函数的导数： （1）y x x =； （2）22sin(12cos )24x x y =-- （3）y=6x 3―4x 2+9x ―6例2．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)f x x x =+-； （2）y=x 2sinx;（３）y=1e 1e -+x x ；（４）y=xx xx sin cos ++举一反三：【变式1】函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【变式3】求下列函数的导数.（1）2311()y x x x x =++；（2）1(1)(1)y x x=+-；（3）52sin x x x y x ++=. ()xy f x a == ()x y f x e == ()log a f x x =()ln f x x =类型二：复合函数的求导 例3．求下列函数导数. （1）41(13)y x =-； （2）ln(2)y x =+；（3）21ex y +=；（4）cos(21)y x =+.举一反三：【变式1】求下列函数的导数： (1)82)21(x y +=；（2）33x x y +=（3）y=ln （x ＋21x +）； （4）()(cos sin )xf x e x x -=+类型三：求曲线的切线方程例8．求曲线y=x 3+2x 在x=1处的切线方程. 举一反三： 【变式1】求曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率，并写出切线方程. 【变式2】已知(1,1)P -，(2,4)Q 是曲线2y x =上的两点，则与直线PQ 平行的曲线2y x =的切线方程是________.【变式3】已知曲线3:C y x =.（1）求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？例9．已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积. 举一反三：【变式1】如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程【变式2】曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为________.【变式3】曲线2e cos3xy x =在（0，1）处的切线与l 的距离为5，求l 的方程.1．下列求导过程中①⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；②(x )′＝12x ；③(log a x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝1x ln a ；④(a x)′＝(eln a x)′＝(ex ln a)′＝ex ln aln a ＝a xln a其中正确的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )． A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )． A ．－12B.12C ．－22D.224．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )． A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝______；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆＝________(用数字作答)．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0)2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x －23．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－14．y ＝cos x1－x的导数是( )A ．y ′＝cos x ＋sin x ＋x sin x（1－x ）2B ．y ′＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2C ．y ′＝cos x －sin x ＋x sin x1－xD ．y ′＝cos x ＋sin x －x sin x（1－x ）2能力提升5．若函数y ＝x33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.π4B.π6C.5π6D.3π46．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 7．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2158．若曲线y ＝x －12在点⎝⎛⎭⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．89．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π10． 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为________．11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________．12．曲线y ＝14x 2过点4，74的切线方程是________．13．已知f (x )＝e x－e－x e x ＋e －x ，则f ′(0)＝________．14．(10分)求下列函数的导数：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ；(2)y ＝e 1－2x＋ln(3－x )；(3)y ＝ln 1－x1＋x.15．(13分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．难点突破16．(12分)用导数方法求和：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠0，1，n ∈N *)．。

教学设计1．1.2 导数的概念教材分析一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．课时分配 1课时．教学目标 1．知识与技能目标利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解． 2．过程与方法目标用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法． 3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．重点难点重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点：准确理解导数的概念．教学过程引入新课问题1：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝12gt 2，求1 s 到2 s 的平均速度．问题2：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝12gt 2，如何求t ＝3 s 这一时刻的速度呢？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题．对于第二个问题，可能在理解“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手．教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t ＝3 s 这一时刻”怎么理解？学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚．教师提示：我们可以取t ＝3 s 临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t ＝3 s 时刻的“瞬时速度”，如在[3,3＋Δt]内或在[3－Δt,3]内，不过时间间隔Δt 要尽可能小．学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了．活动成果：师生共同得出如下结论：取一小段时间：[3,3＋Δt]，Δs ＝12g(3＋Δt)2－92g ，Δv ＝Δs Δt ＝g2(6＋Δt)．当Δt →0时，Δv →3g. 设计意图从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念．探究新知在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度．那么，如何求运动员的瞬时速度呢？提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，试探求运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是多少？活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔Δt ＝－0.01，－0.001，－0.000 1，－0.000 01，－0.000 001，…在区间[2＋Δt,2]内的平均速度和Δt ＝0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，…时，在区间[2,2＋Δt]内的平均速度．并观察当|Δt|逐渐变小时，平均速度v 的取值变化情况．活动成果：当Δt<0时，在[2＋Δt,2]这段时间内 v ＝h (2)－h (2＋Δt )2－(2＋Δt )＝4.9Δt 2＋13.1Δt－Δt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝－0.01时，v ＝－13.051；当Δt ＝－0.001时，v ＝－13.095 1； 当Δt ＝－0.000 1时，v ＝－13.099 51； 当Δt ＝－0.000 01时，v ＝－13.099 951； 当Δt ＝－0.000 001时，v ＝－13.099 995 1； ……当Δt>0时，在[2,2＋Δt]这段时间内v ＝h (2＋Δt )－h (2)(2＋Δt )－2＝－4.9Δt 2－13.1ΔtΔt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝0.01时，v ＝－13.149； 当Δt ＝0.001时，v ＝－13.104 9； 当Δt ＝0.000 1时，v ＝－13.100 49； 当Δt ＝0.000 01时，v ＝－13.100 049； 当Δt ＝0.000 001时，v ＝－13.100 004 9； ……可以看出，当|Δt|逐渐变小时，平均速度v 的取值逐渐趋近于一个稳定的值－13.1，从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度v 就无限趋近于t ＝2 s 时的瞬时速度．所以说，运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是－13.1 m/s.为了表述方便，我们用lim t ∆→h (2＋Δt )－h (2)Δt＝－13.1来表示“当Δt →0时，v →－13.1”．提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率吗？活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评．活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：运动员在某一时刻t 0的瞬时速度为0lim t ∆→h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt.类似地，函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率可以表示为lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔfΔx.我们称它为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔfΔx.理解新知例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)，计算第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h 时和第6 h 时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确．活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果．教师适时点评．活动结果：在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δf Δx ＝f (2＋Δx )－f (x 0)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx ＝Δx －3，所以，f ′(2)＝0lim x ∆→ΔfΔx ＝0lim x ∆→ (Δx －3)＝－3.同理可得：f ′(6)＝5. 在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.说明在2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．点评：(1)函数f(x)在x ＝x 0处的导数即为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率； (2)瞬时变化率是平均变化率的极限；(3)Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，x →x 0，所以f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0；(4)由定义知，求f(x)在x 0处的导数的步骤为：求增量Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x) 算比值Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 求极限y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx .由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等．设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等．设计意图运用新知例2(1)求函数f(x)＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．思路分析：求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x 0)．解：(1)因为Δf Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx＝3－Δx ，所以f ′(－1)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝0lim x ∆→ (3－Δx)＝3.(2)因为Δf ＝Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝6Δx ＋3(Δx)2，所以Δf Δx ＝6＋3Δx ，0lim x ∆→ ΔfΔx ＝6.点评：体会求函数f(x)在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．例3函数f(x)满足f ′(1)＝1，则当x 无限趋近于0时， (1) 0lim x →f (1＋x )－f (1)2x＝__________，(2) lim x →f (1＋2x )－f (1)x＝____________.思路分析：因为f(x)在x ＝1处存在导数，所以当x 无限趋近于0时，2x 也无限趋近于0，故lim x →f (1＋x )－f (1)x ＝1， lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x ＝1. 解：(1) lim x →0f (1＋x )－f (1)2x ＝lim x →0 12f (1＋x )－f (1)x ＝12，(2) lim x →f (1＋2x )－f (1)x ＝2lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x ＝2.点评：理解导数的意义，关键在理解当Δx →0时，Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 的变化趋势．巩固练习1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4 D ．4.1 2．设函数f(x)可导，则0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．不存在 C.13f ′(1) D ．以上都不对 3．设f(x)＝1x ，则lim x a→ f (x )－f (a )x －a 等于( )A ．－1a B.2a C ．－1a 2 D.1a 2答案：1.D 2.C 3.C 变练演编变式(1)设f(x)在x ＝x 0处可导，若f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________.变式(2)设f(x)在x ＝x 0处可导，若f (x 0－4Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________.变式(3)设f(x)在x ＝x 0处可导，当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx 所对应的常数与f ′(x 0)的关系．活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案．答案：变式(1)：14变式(2)：－14变式(3)：当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx ＝4f ′(x 0)设计意图对于函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim t ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim t ∆→ ΔfΔx，Δx 表示的意义是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念．通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解．达标检测1．当自变量x 由x 0增加到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数…… ( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．下列各式中正确的是( ) A ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx B ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (Δx )ΔxC ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)－Δx D ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx3．设f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 4．y ＝x 3－1，当x ＝2时，0lim t ∆→ΔyΔx＝______. 答案或提示或解答：1.A 2.D 3.A 4.12课堂小结本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念．其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用．布置作业课本习题1.1A2、A3、B1.补充练习1．若f(x)＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．3 3 2．设函数f(x)＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝__________.3．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度．答案：1.C 2.1 3.开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒．设计说明本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义．这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解．教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上．整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律．另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解．备课资料1．求电流强度问题1设电流通过导线的横截面的电量是Q(t)，它是时间t 的函数，求任一时刻t 0的电流强度．思路分析：我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即电流强度＝电量时间.在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求任一时刻t 0的电流强度．我们可通过以下方法得到：设在t 0到t 0＋Δt(Δt ≠0)这段时间内通过导线的电量是ΔQ ＝Q(t 0＋Δt)－Q(t 0)． 因此在这段时间内，平均电流强度为I ＝ΔQ Δt.易知，Δt 取值越小，I 就越接近时刻t 0的电流强度I.若当Δt →0时，I 的极限存在，则平均电流强度I 的极限就是时刻t 0的电流强度．因此，我们定义：I ＝0lim t ∆→I ＝0lim t ∆→ΔQΔt ＝0lim t ∆→ Q (t 0＋Δt )－Q (t 0)Δt. 2．导数的表达式问题为了与导数的表达式更吻合，有时我们把x 0＋Δx 记作x ，于是Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，有x →x 0，则f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0.利用导数定义求导数的难点是有一些比值ΔyΔx的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，以便于计算．2证明若f ′(x 0)存在，则0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx＝2f ′(x 0)．思路分析：已知f ′(x 0)存在，也即是极限0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx存在且等于f ′(x 0)，只要紧扣导数的定义，并把等式的左端化成f(x)在点x 0处的导数的形式，该题的证明将容易得到．证明：0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋0lim x ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)．点评：在导数的结构(定义) 0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，函数的增量f(x 0＋Δx)－f(x 0)与自变量的增量Δx 是相应的，即自变量有增量Δx 时，相应的函数的增量是f(x 0＋Δx)－f(x 0)，而在上面的极限中，函数的增量f(x 0－Δx)－f(x 0)所对应的自变量的增量是－Δx(而非Δx)，这一点是至关重要的．因此应该有(易知Δx →0时，－Δx →0)：lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝-0lim x ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝f ′(x 0)．(设计者：张春生)。

1.2 导数的计算一、教学目标1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力．2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x=====（2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数．3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x =====（2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数．4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？ 是如何计算得到的？任务2 阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？ 2．预习自测1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =- 2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x -解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应.（2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()lim lim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数.2．问题探究问题探究一 、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x ===== ●活动一 动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====.1．若y c =（c 为常数），则y '=_________；2．若y x =，则y '=_______________；3．若2y x =，则y '=___________________；4．若1y x =，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二 阅读查表，记忆导数公式。

人教版高中数学选修2-2教案全集第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基础知识基本技能基础知识1定义法求几个常用函数的导数 函数 y=f(x)导函数 f (x) = y = lim lim fl 推算得：常见函数f(x) =x f(x) =x 2 f(x)」xf(x)二 x基础知识2基本初等函数的导数公式f (x . ：X)-f(x))'1 口f (x) = log a xf (x) = (a = 0且a^1 xln a1 f (x) =x熟记以上8个基本初等函数导数公式。

求一个函数的导数可以利用导数定义求解，还可以直接转化为基本初等 方法更简单更常用。

基础技能3导数的四则运算1.函数和（或差）的求导法则:f(x) _g(x) f (x) _g (x)[f (x) g(x) I - f '(x)g(x) 一 f (x)g '(x)明确函数的运算形式选择适当的导数运算法则。

综合方法解题能力综合方法4方程思想一一研究切线问题在曲线方程中有关切点问题时，若切点未知，通常要设出切点的坐标，然后利用方程思想列出有关的方程求 而不求继续求解。

方程思想在研究复杂的曲线问题时通常要设出一些量，设而可求、设而不求研究问题，并结合结合数形结合3.函数商的求导法则: 严)Lf(x)g (x)f xM x )(g(xTig(x) f推论：Cf (x) I - cf(x) （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） y = f (x) =e x' xy -ef (x) Jog a Xf (x) = I n x2.函数积的求导法则:解题能力5能清函数的式子的特点灵活求导明确函数的结构形式：属于那种函数四则运算，函数是否是复合形式。

是公式法求导的关键，并且要熟记基应用的基础，一定要熟练掌握。

能力拓展知识迁移能力拓展6复合函数的导数般地, 设函数u= :(x)在点x处有导数u'x = '(x),函数y= f(u)在点x的对应点u处有导数y'u=f '(u), 导数，且y'x = y'u • u'x・或写作 f 'x ( (x))= f '(u) '(x).复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量复合函数求导通常引入中间变量利用换元法求解，熟练后，中间步骤可省略不写。

课 题： 复合函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： . 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)318u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x yu y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =．解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅ 24654511115(1)5()x x x x x-=⋅=---⋅24515()x x x =-- 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅ =()ωω' (1+x 2)′x=22211122)2(21x x x x x +=+=-ω∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u uu u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nx n 2sin =－n csc 2nx 五、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代七、板书设计（略）八、课后记：。

人教版高中数学选修2-2教学案1.2：导数的计算（教师版）导数的计算__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 一、几个常用函数的导数： 1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以0lim lim 00x x yy x∆→∆→∆'===∆ 函数 导数 y c =0y '=y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以0lim lim 11x x yy x∆→∆→∆'===∆ 函数 导数 y x =1y '=1y x=21y x '=-（2）推广：若*()()ny f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'= 二、基本初等函数的导数公式： 2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.类型一：利用公式及运算法则求导数函数导数 y c ='0y =*()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -= sin y x = 'cos y x= cos y x='sin y x=-()xy f x a== 'ln (0)xy a a a =⋅>()x y f x e == 'xy e = ()log a f x x='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x='1()f x x=例1．求下列函数的导数： （1）41y x =； （2）53y x =（3）222log log y x x=-； （4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4解析：（1）44154514'()'()'44y xx x x x ----===-=-=-. （2）3321535555233'()'()'555y x x x x x --=====.（3）∵2222loglog log y x x x=-=，∴21'(log)'ln 2y x x ==⋅.（4）322'2()'3()'5()'(4)'665y x x x xx =-++=-+总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数： （1）y x x =（2）22sin (12cos )24xxy =--（3）y=6x 3―4x 2+9x ―6 【答案】（1）3312233'()'()'22y x x x x x-====（2）22sin (12cos )24xx y =--22sin (2cos 1)24x x =-2sin cos sin 22x xx ==（3）322'6()'4()'9()'(6)'1889y x x x x x =-+-=-+例2．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)f x x x =+-； （2）y=x 2sinx;（３）y=1e 1e -+x x ； （４）y=xx xx sin cos ++ 解析：（1）法一：去掉括号后求导.法二：利用两个函数乘积的求导法则 =2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2（2）y ′=（x 2）′sinx ＋x 2（sinx ）′=2xsinx ＋x 2cosx（３）2(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'(e 1)x x x x x y ''+--+-=-2)1(e e 2--x x （4）2(cos )(sin )(cos )(sin )'(sin )x x x x x x x x y x x ''++-++=+ 举一反三：【变式1】函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D法一： 22'[(1)]'(1)(1)(1)'y x x x x =+-++-法二：∵22(1)(1)(1)(1)y x x xx =+-=-+321x x x =+--【变式2】下列函数的导数 （1）2(1)(231)y x x x =++-； （2）3x y x x=【答案】 （1）法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x xx y（2）231212332----+-=xx xx y【变式3】求下列函数的导数.（1）2311()y x x x x =++；（2）(1)(1)y x x=-；（3）52sin x x x y x =.【答案】 （1）321y x x -=++，∴23'32y xx -=-.（2）11221(x y x x x x x--===-，（3）∵3322sin y xxx x--=++，类型二：复合函数的求导 例3．求下列函数导数.（1）41(13)y x =-； （2）ln(2)y x =+； （3）21e x y +=； （4）cos(21)y x =+.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.解析：（1）4y u -=，13u x =-.（2）ln y u =，2u x =+ （3）e uy =，21u x =+.（4）cos y u =，21u x =+， 总结升华：①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。

知识导入（进入美妙的世界啦~）（一）导数的概念知识梳理1. 导数的定义 一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是 x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000 我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000. 注：x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.⑵如果函数)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x y ，故x y x ∆∆→∆0lim 不存在.（二）导数的计算1.基本初等函数的导数公式2.导数运算法则3. 复合函数的求导法则如果函数)(xϕ在点x处可导，函数f (u)在点u=)(xϕ处可导，则复合函数y= f (u)=f[)(xϕ]在点x处也可导，则(f [)(xϕ])ˊ=[])(xfϕ')(xϕ'或记作xy'=uy'•xu'注：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

（三）导数的几何意义与切线方程知识梳理1. 导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-2. 求切线方程可分为两类：（1）.求曲线()f x 在某点(切点)00(,)x y 处的切线步骤：1)求0()k f x '=；2)点斜式求方程000()()y y f x x x '-=- （2）.求过某点(非切点)11(,)x y 的切线 步骤：1)设切点00(,)x y ，则00()y f x =2)0()k f x '=，10101010()y y y f x x x x x k ----== 3)解0,x k ，1010()0()y f x x x f x --'=4)点斜式求方程000()()y y f x x x '-=-知识 典例（注意咯，下面可是黄金部分！）考点一：.利用导数的定义求函数的导数例1 设函数1)(2-=x x f ，求：（1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ∆；（2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ∆；（3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率；（4）函数在1x =处的变化率.变式迁移1 利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)＝1x 在x ＝1处的导数； (2)f(x)＝1x ＋2.【方法技巧】1.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x ∆与函数值的增量y ∆，求平均变化率的主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量10()()y f x f x ∆=-； (2)再计算自变量的改变量10x x x ∆=-；(3)得平均变化率1010()()f x f x y x x x -∆=∆-.2.求瞬时变化率根据导数的概念，对平均变化率y x ∆∆取极限，即00()lim x y f x x ∆→∆'=∆考点二：导数的运算例2 求下列函数的导数： (1)y ＝)11)(1(x x +-； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x xe ； (4)y ＝tan x.变式迁移2求下列函数的导数：(1)y＝x2sin x；(2)y＝3x e x－2x＋e；. 考点三.导数的几何意义例3已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移3求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．误区警示1.求函数的导数时，应熟记基本初等函数的求导公式、导数的运算法则以及复合函数的求导法则；对于复合函数的求导时，遵循由外到里逐一求导。