相似三角形中哪些比值等于相似比

相似三角形的性质及应用--知识讲解（提高）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.（2016•长春）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF；（2）若=，BE=4，求EC的长．【思路点拨】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【答案】B.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；（2）∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF=BE=4．∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽CEG ，∴=，∴CE==4×=6． 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．举一反三【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF ⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB,∴, 且∠B=∠B ，∴△EBD ∽△CBA,∴, ∴, 又∵DE=2，∴AC=6，∴,BD AB BD BE BE CB AB CB==即221189BEDBCA DE AC S S ⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△13DE AC =11862ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=.2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．【答案与解析】∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE．∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．∵AE︰BE=1:2，∴S△ADE:S△BCE=1:4．∵S△ADE=1，∴S△BCE=4．∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6．∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．举一反三：【变式】如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽.(2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3.（2015春•江津区校级月考）如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴=，∴=，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故树高DC为5.2米．【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，∴，∴.∵AB∥EF， AD∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF=AB=1.8m.∴m.4.（2015•齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015=．【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，从而找出规律答案即可求出．【答案与解析】2（）2014解：∵四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=，AA1=2，∴A1B2=A1B1=，∴A1A2=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，…∴A n A n+1=2（）n，∴A2014A2015=2（）2014，故答案为：2（）2014．【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.。

数学中，相似是指两个图形形状相同，但大小不一定相等。

相似图形的一组对应边长成比例，且对应角相等。

全等图形是相似的特例，即它们的形状相同且大小相等。

相似三角形的判定定理有：
1.相似三角形对应角相等，对应边的比相等。

2.两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形相似。

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则三角形ABC的周长与三角形DEF的周长之比等于它们的相似比，面积之比等于相似比的平方。

在实际问题中，相似三角形经常被用来解决实际问题，例如测量不可直接测量的距离、高度等。

相似三角形的应用范围很广，如工程测量、建筑设计等。

以上信息仅供参考，如有需要建议查阅初中数学教辅资料。

相似三角形性质在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活中的各种领域有着广泛的应用。

相似三角形，简单来说，就是形状相同但大小不一定相同的三角形。

那相似三角形都有哪些性质呢？首先，相似三角形的对应角相等。

这是相似三角形最基本也是最明显的一个性质。

比如说，有两个相似三角形 ABC 和 A'B'C'，那么角 A就等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。

这个性质就好像是两个相似三角形之间的“身份证明”，只要知道它们是相似的，那么对应的角必然相等。

其次，相似三角形的对应边成比例。

假设三角形 ABC 和三角形A'B'C'相似，那么边 AB 与边 A'B'的比值，边 BC 与边 B'C'的比值，边AC 与边 A'C'的比值都是相等的。

这个比例关系可是解决很多数学问题的关键。

比如说，在实际测量中，如果我们无法直接测量一个物体的高度或者长度，就可以利用相似三角形的这个性质来解决。

比如要测量一棵大树的高度，我们可以在同一时间，同一地点，先测量出一个小木棍的长度以及它的影子长度，再测量出大树的影子长度。

因为此时太阳照射的角度是相同的，所以大树和它的影子，以及小木棍和它的影子分别构成了相似三角形。

通过小木棍及其影子长度的比例关系，就可以算出大树的高度。

再来看相似三角形的周长比等于相似比。

什么是相似比呢？就是对应边的比值。

如果两个相似三角形的相似比是 k，那么它们的周长比也是 k。

比如一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个与其相似的三角形对应边分别是 6、8、10，相似比就是 2，那么它们的周长比也是 2。

第一个三角形的周长是 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12，第二个三角形的周长是 6 ＋8 ＋ 10 ＝ 24，24 与 12 的比值正好是 2。

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。

数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

相似三角形与比例相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。

在数学中，研究相似三角形的关系和性质对于解决几何问题和建立比例关系至关重要。

本文将重点探讨相似三角形与比例之间的关系。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，而对应边的比例相等。

即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC与DEF为相似三角形。

相似三角形的性质主要有以下几点：1. 边比例性质：若两个三角形相似，则对应边的比值是相等的，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。

2. 角度比例性质：两个相似三角形中，对应角度的度数比值相等，即∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F。

3. 边角性质：两个相似三角形中，相同角度对应边之比相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，同时对应边之比也会相等。

根据以上性质，我们可以根据已知条件来求解未知的边长或角度，并且通过相似三角形的比例关系来建立几何问题的数学模型。

二、相似三角形的证明方法要证明两个三角形相似，一般有以下几种常用的证明方法：1. AA相似定理：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SAS相似定理：若两个三角形的一个角相等，并且对应的两个边的比值相等，则这两个三角形相似。

3. SSS相似定理：若两个三角形的三个边的比值相等，则这两个三角形相似。

通过运用这些相似三角形的证明方法，我们能够推导出更多的相似三角形，并进一步应用到实际问题中。

三、相似三角形与比例的应用相似三角形与比例的应用广泛，特别是在解决几何问题和测量问题中。

下面以一些具体的应用案例来说明：1. 直角三角形的相似：在解决直角三角形的问题时，通过相似三角形的比例关系，可以求解未知的边长或角度。

例如，已知一个直角三角形的一个角以及两个边的比值，我们可以利用相似三角形的性质来求解另一个角的度数。

2. 平面图形的相似：在解决平面图形的问题时，相似三角形与比例关系也有重要的应用。

初二数学几何相似三角形的判定与性质在初二数学的几何学习中，相似三角形是一个重要且有趣的部分。

相似三角形的知识不仅在数学领域有着广泛的应用，对于我们理解和解决现实生活中的许多问题也非常有帮助。

首先，我们来了解一下什么是相似三角形。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小可能不同，那么它们就是相似三角形。

那么，如何判定两个三角形是否相似呢？这就需要我们掌握一些重要的判定方法。

第一种判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。

比如说，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，那么这两个三角形就是相似的。

这是因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角也必然相等，所以这两个三角形的形状就相同了。

第二种判定方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与A'C'的比值，并且角 A 等于角 A'，那么这两个三角形就是相似的。

第三种判定方法是“三边成比例的两个三角形相似”。

例如三角形ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形 A'B'C'的三条边分别为 a'、b'、c'，如果 a/a' ＝ b/b' ＝ c/c'，那么这两个三角形相似。

了解了相似三角形的判定方法，接下来我们看看相似三角形有哪些重要的性质。

相似三角形的对应边成比例。

这是相似三角形最基本的性质之一。

也就是说，如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C'。

相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。

相似图形之间的互相变换称为相似变换。

二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。

三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。

2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。

3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。

例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。

如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。

如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。

4.相似三角形周长的比等于相似比。

如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。

ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。

这种方法被称为等量代换法。

在证明比例式时，常常会用到中间比。

证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。

这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。

证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。