高中数学阶段滚动检测(六)课时提能训练理新人教A版

第六章 6.2.1A 级——基础过关练1．从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数,一个为根指数．上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】排列与顺序有关,故②④⑤是排列．2．(多选)下面问题中,不是排列问题的是( )A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B ．从40人中选5人组成篮球队C ．从100人中选2人抽样调查D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合【答案】BCD 【解析】选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关,选项B 、C 、D 只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关．3．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的不同结果有( )A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个【答案】C 【解析】不同结果有4×3＝12(个)．4．从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a ,b ,共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C 【解析】 lg a －lg b ＝lg a b,从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ,b ,共有5×4＝20(种),其中lg 13＝lg 39,lg 31＝lg 93,故其可得到18种结果． 5．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．24 【答案】B 【解析】可组成下列四位数：1 012,1 021,1 102,1 120,1 201,1 210,2 011,2 101,2 110,共9个．6．某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．【答案】1 560 【解析】根据题意,得40×39＝1 560,故全班共写了1 560条毕业留言．7．8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,有________种不同的种法(用数字作答).【答案】1 680 【解析】将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种)．8．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示________种不同的信号．【答案】15 【解析】第1类,挂1面旗表示信号,有3种不同方法；第2类,挂2面旗表示信号,有3×2＝6(种)不同方法；第3类,挂3面旗表示信号,有3×2×1＝6(种)不同方法．根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．9．判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题；(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．10．10个人走进只有6把不同椅子的屋子,若每把椅子必须且只能坐一人,共有多少种不同的坐法？解：10个人坐6把不同的椅子,每个人有6种选择,故有610种不同的坐法．B级——能力提升练11．(多选)下列选项是排列问题的是( )A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动C．从a,b,c,d中选出3个字母D．从1,2,3,4,5这五个数字中取出两个数字组成一个两位数【答案】AD 【解析】由排列的定义知AD是排列问题．12．从1,2,3,4中,任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标,则组成不同点的个数为( )A．2 B．4C．12 D．24【答案】C 【解析】本题相当于从4个元素中取2个元素的排列,即4×3＝12.13．从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人1本,则送法种数为( )A．5 B．10C．20 D．60【答案】C 【解析】从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人一本,是一个排列问题,由排列的定义可知共有5×4＝20(种)不同的送法．14．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学,每名同学至多1张,并且票必须分完,那么不同的分法的种数为( )A．54B．45C．5×4×3×2 D．5【答案】D 【解析】由于参观票只有4张,而人数为5人,且每名同学至多1张,故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学,有5种选法．又因为4张参观票是相同的,不加以区分,所以不同的分法有5种．15．从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成________个以b为首的不同的排列,它们分别是__________________________________________．【答案】12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed. 【解析】画出树状图如下：可知共12个,它们分别是bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed.16．5个小朋友站成一圈,不同的站法一共有______种．【答案】24 【解析】将5个小朋友编为1～5号,因为12345,23451,34512,45123,51234围成一个圈后,就是一个排列,所以按5个小朋友对应5个位置算出的排列数还需“÷5”,即5×4×3×2×1÷5＝24.17．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站,双线铁路全长1 318公里,途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市,设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站,计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解：对于两个火车站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同,因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此,结果应为从21个不同元素中,每次取出2个不同元素的排列数21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．C级——探究创新练18．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次,共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区,8支来自南部赛区,为增加比赛观赏度,各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后,再进行一场总冠军赛,共要进行多少场比赛？解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛,对应于从16支球队任取两支的一个排列,比赛的总场次是16×15＝240.(2)由(1)中的分析,比赛的总场次是8×7×2＋1＝113.。

- 1 - "【全程复习方略】（福建专用）
2013版高中数学 阶段滚动检测(四)训练 理 新
人教A 版 "
（第一～七章）
（120分钟 150分）
第I 卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (滚动单独考查)设复数z=1-i,则222z z
+等于( ) (A)-1+i (B)1+i (C)-1+2i (D)1+2i
2.已知E 、F 、G 、H 是空间内四个点，条件甲：E 、F 、G 、H 四点不共面，条件乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.(滚动交汇考查)设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T=3，若f(1)≥1,f(2)=
2a 3a 1
-+,则a 的取值范围是( ) (A)a<-1或a ≥
23
(B)a<-1 (C)-1<a ≤23 (D)a ≤23 4.(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
(A)(95-
2π) cm 2 (B)(94-2π) cm 2。

第六章 6.1 第1课时A级——基础过关练1．某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有( )A．24种B．9种C．3种D．26种【答案】B 【解析】不同的杂志本数为4＋3＋2＝9(种),从其中任选一本阅读,共有9种选法．2．已知x∈{2,3,7},y∈{－31,－24,4},则(x,y)可表示不同的点的个数是( )A．1 B．3C．6 D．9【答案】D 【解析】这件事可分为两步完成：第一步,在集合{2,3,7}中任取一个值x 有3种方法；第二步,在集合{－31,－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知,有3×3＝9(个)不同的点．3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个数a,b组成复数a＋b i,其中虚数有( )A．30个B．42个C．36个D．35个【答案】C 【解析】要完成这件事可分两步,第一步确定b(b≠0)有6种方法,第二步确定a有6种方法,故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36(个)虚数．4．5名同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】D 【解析】每位同学限报其中的一个小组,各有2种报名方法,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法共有25＝32(种)．5．如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A．60 B．48C．36 D．24【答案】B 【解析】首先考虑6个表面,每个表面有其相对的长方形的4条边与之平行,还有该四边形有2条对角线与之平行,因此每个表面可以构造6个平行线面组,6个表面,就有6×6＝36(个)平行线面组．再考虑对角面,即体对角线是其对角线的矩形,这样的矩形有6个,每个矩形对应有2条边与之平行,因此一共有6×2＝12(个)平行线面组．相加得48.6．已知a∈{2,4,6,8},b∈{3,5,7,9},能组成log a b＞1的对数值有________个．【答案】9 【解析】分四类,当a＝2时,b取3,5,7,9四种情况；当a＝4时,b取5,7,9三种情况；当a＝6时,b取7,9两种情况；当a＝8时,b取9一种情况,所以总共有4＋3＋2＋1＝10(种),又log23＝log49,所以对数值有9个．7．用0到9这十个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________．【答案】328 【解析】由题意知本题是一个分类计数问题,若个位数字为0,前两位的排法种数为9×8＝72；若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,所以排法种数为4×8×8＝256.所以可以组成256＋72＝328(个)没有重复数字的三位偶数．8．如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通．今发现A,B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有________种．【答案】13 【解析】按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类,脱落1个,有1,4,共2种；第2类,脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种；第3类,脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种；第4类,脱落4个,有(1,2,3,4),共1种．根据分类加法计数原理,共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．9．用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”,求上述四位数中“渐降数”的个数．解：分三类：第一类,千位数字为3时,要使四位数为“渐降数”,则四位数只有3 210,共1个；第二类,千位数字为4时,“渐降数”有4 321,4 320,4 310,4 210,共4个；第三类,千位数字为5时,“渐降数”有5 432,5 431,5 430,5 421,5 420,5 410,5 321,5 320,5 310,5 210,共10个．由分类加法计数原理,得共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”．10．现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类,从一班学生中选1人,有7种选法；第二类,从二班学生中选1人,有8种选法；第三类,从三班学生中选1人,有9种选法；第四类,从四班学生中选1人,有10种选法,所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类,每类又分两步：从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法．所以,共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．B级——能力提升练11．由数字1,2,3,4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为( )A．12 B．24C．48 D．32【答案】D 【解析】依据分步乘法计数原理,由数字1,2,3,4组成有重复数字的三位奇数共有2×4×4＝32(个)．12．如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9【答案】B 【解析】由题意可知E→F有6种走法,F→G有3种走法,由分步乘法计数原理知,共6×3＝18(种)走法．13．将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法的种数有( )A．81 B．64C．14 D．12【答案】B 【解析】对于第一个小球有4种不同的放法,第二个小球也有4种不同的放法,第三个小球也有4种不同的放法,即每个小球都有4种可能的放法,根据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64(种)放法．14．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x,y)|x∈A,y∈B}．若A＝{a,b,c},B＝{a,c,d,e},则集合A*B的元素个数为( )A．34B．43C．12 D．以上都不对【答案】C 【解析】由分步乘法计数原理可知,A*B中有3×4＝12(个)元素．15．圆周上有2n个等分点(n大于2),任取3个点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为________．【答案】2n(n－1) 【解析】先在圆周上找一点,因为有2n个等分点,所以应有n条直径,不过该点的直径应有(n－1)条,这(n－1)条直径都可以与该点形成直角三角形,即一个点可形成(n－1)个直角三角形,而这样的点有2n个,所以一共可形成2n(n－1)个符合条件的直角三角形．16．某运动会上,8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．【答案】2 880 【解析】分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排,共有4×3×2＝24(种)方法；第二步：安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,共有5×4×3×2＝120(种)方法．所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)．17．某校高二共有三个班,各班人数如下表：(1)(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法？解：(1)从三个班中选1名学生任学生会主席,共有3类不同的方案：第1类,从高二(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法；第2类,从高二(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法；第3类,从高二(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知,从三个班中选1名学生任学生会主席,共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有3类不同的方案：第1类,从高二(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法；第2类,从高二(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法；第3类,从高二(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知,从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．C级——探究创新练18．标号为A,B,C的三个口袋,A袋中有1个红色小球,B袋中有2个不同的白色小球,C 袋中有3个不同的黄色小球,现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球的颜色不同,有多少种取法？(2)若取出的两个小球颜色相同,有多少种取法？解：(1)若两个球颜色不同,则应在A,B袋中各取1个,或A,C袋中各取1个,或B,C袋中各取1个,共有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)取法．(2)若两个球颜色相同,则应在B袋中取出两个,或在C袋中取出两个,共有1＋3＝4(种)取法．。

2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。

第6章 6.2.4A 级——基础过关练1．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( ) A ．120 B ．240 C ．60D ．480【答案】A 【解析】C 28＋C 38＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．有10个一模一样的小球,现分给甲、乙、丙3人,若甲至少得1球,乙至少得2球,丙至少得3球,则他们所得的球数的不同情形有( )A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】A 【解析】首先分给甲1个球,乙2个球,丙3个球,还剩4个球． ①4个球分给1个人,有C 13＝3种分法； ②4个球分给2个人,有3C 23＝9种分法； ③4个球分给3个人,有3种分法． 共有3＋9＋3＝15(种)分法． 3．方程C x14＝C 2x －414的解集为( ) A ．{4} B ．{14} C ．{4,6}D ．{14,2}【答案】C 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x ≤14，解得x＝4或6.4．有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种【答案】C 【解析】由题意知,选2名男医生、1名女医生的方法有C 26C 15＝75(种)． 5．从8名女生和4名男生中,抽取3名学生参加学校组织的活动,若按性别比例采用分层随机抽样,则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28【答案】B 【解析】由分层随机抽样知,应从8名女生中抽取2名,从4名男生中抽取1名,所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝112.6．若C m －18＞3C m8,则m 的值为________．【答案】7或8 【解析】由8！m －1！9－m ！＞3×8！m ！8－m ！,得m >27－3m ,所以m >274.又0≤m －1≤8,0≤m ≤8,m ∈N ,即7≤m ≤8,所以m ＝7或8.7．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖,则可能的决赛结果共有________种．【答案】60 【解析】利用排列组合知识列式求解．根据题意,所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．8．在某互联网大会上,为了提升安保级别,将甲、乙等5名保安分配到3个不同的路口值勤,每个人只能分配到1个路口,每个路口最少分配1人,最多分配3人,且甲和乙不能安排在同一个路口,则不同的安排有________种．【答案】114 【解析】不考虑条件“甲和乙不能安排在同一个路口”,则有两种情况： ①3个路口人数分别为3,1,1时,安排方法共有C 35·A 33＝60(种)； ②3个路口人数分别为2,2,1时,安排方法有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)．若将甲、乙安排在同一个路口,安排法有C 24·A 33＝36(种), 故甲和乙不安排在同一路口的方法共有60＋90－36＝114(种)．9．某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上不同的选择,则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？解：设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意,得C 25·C 2x ≥200,从而有C 2x ≥20,即x (x －1)≥40.又x ≥2且x ∈N *,所以x 的最小值为7.10．把12个一模一样的球放入编号为1,2,3,4的盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,则不同放法有几种？解：给每个盒子放入与其编号数相同的小球,则还剩2个小球．这2个小球可以放在1个或2个盒子中,故不同的放法有C 14＋C 24＝10(种)．B 级——能力提升练11．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ,则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15【答案】C 【解析】 因为C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ,即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1,所以n ＋1＝7＋8,即n ＝14.12．某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队,不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 27A 13种D ．C 27C 13种【答案】D 【解析】 每个被选的人员无角色差异,是组合问题．分两步完成：第一步,选女工,有C 13种选法；第二步,选男工,有C 27种．故有C 13C 27种不同选法．13．现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法种数为( )A ．135B ．172C ．189D ．162【答案】C 【解析】 不考虑特殊情况,共有C 312种取法,取3张相同颜色的卡片,有4种取法,只取2张红色卡片(另一张非红色),共有C 23C 19种取法．所求取法种数为C 312－4－C 23C 19＝189.14．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套,黑色手套15只,白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套,若两只是同色手套,则甲获胜,若两只手套颜色不同,则乙获胜,则甲、乙获胜的机会是( )A ．甲多B ．乙多C ．一样多D ．不确定【答案】C 【解析】两只是同色手套的取法有C 215＋C 210＝150(种)；两只不是同色手套的取法有C 115·C 110＝150(种)．15．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m 个不同的积；任取两个不同的数相除,有n 个不同的商,则m ∶n ＝________.【答案】1∶2 【解析】∵m ＝C 24,n ＝A 24,∴m ∶n ＝1∶2.16．从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法(用数字作答)．【答案】660 【解析】总的选法为C 48C 14C 13种,其中不满足条件的选法为C 46C 14C 13种,则满足条件的选法为C 48C 14C 13－C 46C 14C 13＝660(种)．17．已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有次品为止． (1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次测试才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少？ 解：(1)先排前4次测试,只能取正品,有A 46种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有C 24·A 22＝A 24(种)测法,再排余下4件的测试位置,有A 44种测法．所以共有不同测试方法A 46·A 24·A 44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有不同测试方法C 14·(C 16·C 33)A 44＝576(种)．C 级——探究创新练18．已知C 4n ,C 5n ,C 6n 成等差数列,求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n , 所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！,整理得n 2－21n ＋98＝0,解得n ＝7或n ＝14, 要求C 12n 的值,故n ≥12,所以n ＝14, 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.。

第六章 6.3 6.3.1A 级——基础过关练1．设e 1,e 2是平面内两个向量,则有( ) A ．e 1,e 2一定平行 B ．e 1,e 2的模一定相等C ．对于平面内的任一向量a ,都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)D ．若e 1,e 2不共线,则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R) 【答案】D【解析】由平面向量基本定理知D 正确．2．(2021年达州模拟)(多选)已知e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,能作为一组基底的是( )A ．{e 1＋e 2,e 1－e 2}B ．{3e 1－2e 2,4e 2－6e 1}C ．{e 1＋2e 2,e 2＋2e 1}D ．{e 2,e 1＋e 2}【答案】ACD【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2),∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线,∴它们不能作为一组基底,作为基底的两向量一定不共线．A 、C 、D 选项均可．3．(2021年福建模拟)设向量e 1与e 2不共线,若3xe 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2xe 2,则实数x ,y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4【答案】D【解析】因为e 1与e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解方程组得x ＝3,y ＝4.4．(2021年天津期末)在△ABC 中,点D 在BC 边上,且BD →＝2DC →,设AB →＝a ,AC →＝b ,则AD →可用基底a ,b 表示为( )A ．12(a ＋b ) B ．23a ＋13b C ．13a ＋23b D ．13(a ＋b ) 【答案】C【解析】AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(AC →－AB →)＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C ．5．如图,在正方形ABCD 中,点E 满足AE →＝ED →,点F 满足CF →＝2FB →,那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD → B ．13AB →＋12AD →C ．AB →－16AD →D ．AB →＋16AD →【答案】C【解析】EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝－16AD →＋AB →.故选C ．6．若D 点在△ABC 的边BC 上,且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,则3r ＋s 的值为( ) A ．165B ．125C ．85 D ．45 【答案】C【解析】因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →.所以r ＝45,s ＝－45.所以3r ＋s ＝125－45＝85. 7．设{e 1,e 2}是平面内的一个基底,且a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,则e 1＋e 2＝______a ＋______b .【答案】23⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 8．如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝______．【答案】34【解析】因为BE →＝BO →＋OE →＝12BD →＋EA →＝12BD →＋EB →＋BA →,所以BE →＝12BA →＋14BD →.所以λ＝12,μ＝14,λ＋μ＝34. 9．如图所示,D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →,AC →表示AD →.解：因为D 是BC 边的四等分点, 所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)．所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a ＝e 1－2e 2,b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：{a ,b }可以作为一个基底； (2)以{a ,b }为基底表示向量c ＝3e 1－e 2.(1)证明：假设a ＝λb (λ∈R),则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1,e 2不共线,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，所以λ不存在．故a 与b 不共线,{a ,b }可以作为一个基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ,n ∈R),则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .B 级——能力提升练11．(2021年南通模拟)(多选)若e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法错误的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ,使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ,μ有无数多对C ．若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ,μ,使λe 1＋μe 2＝0,则λ＝μ＝0 【答案】BC【解析】由平面向量基本定理,可知A,D 说法正确,B 说法错误．对于C,当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时,这样的λ有无数个,故C 说法错误．12．(2021年上海模拟)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,若BE →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ＝( )A ．－34B ．－12C ．34D ．1【答案】B【解析】∵AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,∴BE →＝12BA →＋12BD →＝12BA →＋14BC →＝－12AB →＋14(AC →－AB →)＝－34AB →＋14AC →.∵BE →＝λAB →＋μAC →,∴λ＝－34,μ＝14,∴λ＋μ＝－12,故选B ．13．(2021年杭州模拟)已知O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0,＋∞)),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】AB→|AB →|为AB →上的单位向量,AC →|AC →|为AC →上的单位向量,则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD →的方向．又λ∈[0,＋∞),∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|,∴点P 在AD →上移动,∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．14．若OP 1→＝a ,OP 2→＝b ,P 1P →＝λPP 2→,则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋b C ．λa ＋(1＋λ)b D ．a ＋λb1＋λ【答案】D【解析】∵P 1P →＝λPP 2→,∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →),(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→.OP →＝λb ＋a1＋λ.15．△ABC 中,D 为AC 上的一点,满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点,满足AP →＝mAB →＋nAC→(m >0,n >0),则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．【答案】11616【解析】因为AD →＝13DC →,所以AD →＝14AC →.所以AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋4nAD →.因为B ,P ,D 三点共线,所以m ＋4n ＝1,则4mn ≤（m ＋4n ）24＝14,则mn ≤116,即mn 最大值为116,当且仅当m ＝4n 时取等号；4m ＋1n＝(m ＋4n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16n m ＋m n＋8≥216＋8＝16,当且仅当m ＝4n 时取等号．故答案为116,16.16．已知平行四边形ABCD 中,E 为CD 的中点,AP →＝yAD →,AQ →＝xAB →,其中x ,y ∈R,且均不为0.若PQ →∥BE →,则xy＝________．【答案】12【解析】因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →,由PQ →∥BE →,可设PQ →＝λBE →,即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12.17．(2021年北京模拟)在平行四边形ABCD 中,已知AB →＝a ,AD →＝b ,E 、F 分别是边CD 和BC 上的点,满足DC →＝3DE →,BC →＝3BF →.(1)分别用a ,b 表示向量AE →,AF →；(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,求出λ＋μ的值．解：(1)AE →＝AD →＋13DC →＝13a ＋b ,AF →＝AB →＋13BC →＝a ＋13b .(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,则λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a ＋b ,∴⎝⎛⎭⎪⎫λ3＋μa ＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ3b ＝a ＋b .∵a ,b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＋μ＝1，λ＋μ3＝1，解得λ＋μ＝32.18．(2021年天门模拟)如图所示,在□ABCD 中,AB →＝a ,AD →＝b ,BM ＝23BC ,AN ＝14AB ．(1)试用向量a ,b 来表示DN →,AM →； (2)AM 交DN 于O 点,求AO ∶OM 的值．解：(1)因为AN ＝14AB ,所以AN →＝14AB →＝14a ,所以DN →＝AN →－AD →＝14a －b .因为BM ＝23BC ,所以BM →＝23BC →＝23AD →＝23b ,所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)因为A ,O ,M 三点共线,所以AO →∥AM →,设AO →＝λAM →,则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD →＝λa ＋23b －b ＝λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b . 因为D ,O ,N 三点共线,所以DO →∥DN →,存在实数μ使DO →＝μDN →,则λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b .由于向量a ,b 不共线,则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14μ，23λ－1＝－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67.所以AO →＝314AM →,OM →＝1114AM →,所以AO ∶OM ＝3∶11.C 级——探索创新练19．(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,AB ＝2CD ,M ,N 分别为CD ,BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →,则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45 D ．54【答案】C【解析】(方法一)连接AC (图略),由AB →＝λAM →＋μAN →,得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC→＋AB →),则μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AC →＝0,得μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AD →＋12AB →＝0,得14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →,AD →不共线,所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.(方法二)根据题意作出图形如图所示,连接MN 并延长,交AB 的延长线于点T ,由已知易得AB ＝45AT ,所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →.因为T ,M ,N 三点共线,所以λ＋μ＝45.20．如图,在△ABC 中,设AB →＝a ,AC →＝b ,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为P ,若AP →＝ma ＋nb ,则m ＝________,n ＝________．【答案】27 47【解析】根据已知条件,得BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(ma ＋nb )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b ,CR →＝BR→－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ,∴QP →＝m 2a ＋n 2b ,RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ,RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47.。

【全程复习方略】（湖南专用）2022版高中数学 阶段滚动检测六课时提能训练理 新人教A 版（120分钟 150分）第I 卷选择题 共40分一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1滚动交汇考查设全集U=R ，集合A={|2-232iz 1i -=+，1”1”∃0”⌝∀0”()1x 23,x 0f x x 4x 3,x 0-⎧≥⎪=⎨++<⎪⎩，1214log x12121212731433πx 26π6π6π2222x y 1a b －＝5()()()()1111A B C D 5678 OA 1OB 3OA OB 0===，，，OC mOA nOB =+m n()11f x dx⎰－2f 110cm1411243334816，，，A ,3π=3a 2b+14()n 1n n 1a 1a 2----n1a ()2n 12-π23223-22OM ON⊥1252()()()()32i 1i 32i 15i 15z i,1i 1i 1i 222----====-++-1522-，1，则||>1成立；若||>1，则>1或331214log x 1214log x1212221142(2141).33⨯⨯+⨯=2πω3π62ππ＝3π522c 5a>，222a b 5a >＋，2a121214182π223k 1=+，36π2π2π56π6π56π6π56πOA OB 3OA OB 0==，，OC AB ⊥()()mOA nOBOB OA 0,+-=22mOA nOB 0-+=m n 0m121m 1m 0∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪-++≥⎪⎩，222t 1t 1+-2t 1t 1+-2t 1t 1+-2t 1-()22t 12222t 1-=+-，22在区间I 上恒成立⇔f min >≥a 在区间I 上恒成立⇔f min ≥a 不等式f1232111(3x 2x 1)dx (x x x)|4⎰－－＋＋＝＋＋＝，3a2a3a2a 1313110 cm110 cm14121414121212222(cos2x 22+2(sin cos2x cos sin2x)442sin(2x ).4ππ=+π=+2π4π2π3k x k ,88ππ-+π≤≤+π3k 8π-+πk 8π+π4π24πa b c k,sinA sinB sinC ===53ksin 2ksin 10k 10k 4.342ππ=⇒=⇒=4(sin cos cos sin )6 2.3434ππππ+=3321212NC NE 3NC n NE 3x=n 311AM ()222=，，AM n AM ⊥n ⊄DC ()DE 3,1,0=-DC z 0,DE 3y 0===-=；m m ()3,0=m 36cos ,||||422-===-⨯〈〉n m n m n m 64()()()()()()x 1y 1z 0.08,xy 1z 0.12,11x 1y 1z 0.88,--=⎧⎪-=⎨⎪----=x 0.4y 0.6,z 0.5=⎧⎪=⎨⎪=⎩()n 1n nn 1a a 1a 2--=--()()nn n 1nn 1n 11a 2121,a a a -----==--()()n n n n 112121a a -+-=--()n 1n 111a --+-11a n 1a n 1a n1a ()()n n 1n1a ,321-=---()n n 2n 1c a sin2-π=()()()n 1n 1nn 1n 11111,32132321----=-=<+---nn n 111()21232T 1().132312-<=-<-［］［］OM ON⊥2y 2p x =2222x y 1a b+=22241a 211a 2b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，22a 4,b 1⎧=⎪⎨=⎪⎩2x 422x 1myx y 14-=⎧⎪⎨+=⎪⎩22m m 4-+23,m 4-+OM ON,⊥OM ON 0=，22244m 30,m 4m 4--+=++12()25x b 3x 12+-+()25x b 3x 12+-+1212x 21e x 12,x --x 21e x 12,x--()x 221e x 1x 12.x--+12120, ∴φ在［12， ∞上单调递增，∴φ≥φ12=70,8> 因此g ′>0，故g 在［12,∞上单调递增，则g ≥g 12=121e 198,142--=∴b 的取值范围是b ≤94。

第6章 6.3.2A 级——基础过关练1．在(a ＋b )n的二项展开式中,与第k 项二项式系数相同的项是( ) A ．第n －k 项 B ．第n －k －1项 C ．第n －k ＋1项 D ．第n －k ＋2项【答案】D 【解析】第k 项的二项式系数是C k －1n ,由于C k －1n ＝C n －k ＋1n,第n －k ＋2项的二项式系数为C n －k ＋1n,故选D ．2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中第5项是常数项,那么这个展开式中系数最大的项是( )A ．第9项B ．第8项C ．第9项和第10项D ．第8项和第9项【答案】A 【解析】因为展开式的第5项为T 5＝C 4n x n －43－4,所以令n －43－4＝0,解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．3．已知(ax ＋1)n的展开式中,二项式系数的和为64,则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【答案】C 【解析】由2n＝64,得n ＝6.4．若对于任意实数x ,有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3,则a 2的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12【答案】B 【解析】x 3＝[2＋(x －2)]3,a 2＝C 23·2＝6.5．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11,则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．2×39【答案】A 【解析】令x ＝－1,则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.6．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和,则n 的值为________．【答案】5 【解析】(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210,令(x＋3y )n 中x ＝y ＝1,则由题设知,4n ＝210,即22n ＝210,解得n ＝5.7．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________．【答案】1－3102 【解析】设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10,令x ＝1,得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1,再令x ＝－1,得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10,两式相减,可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102. 8．(1＋x )n展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是________． 【答案】6x 【解析】因为8＜C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＜32,即8＜2n＜32.所以n ＝4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x .9．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100,求下列各式的值． (1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 解：(1)令x ＝0,则a 0＝2100.(2)令x ＝1,可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100①, 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1,可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100②. ①－②,可得a 1＋a 3＋…＋a 99＝2－3100－2＋31002.(4)由①②,可得(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|,即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和,在(2＋3x )100的展开式中,令x ＝1,可得各项系数的和为(2＋3)100.10．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m x n 展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358,求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m 的取值情况． 解：(1)二项式系数之和为2n＝256,可得n ＝8. (2)设常数项为第k ＋1项,则T k ＋1＝C k 8x 8－k⎝ ⎛⎭⎪⎫m x k ＝C k 8m k x 8－2k ,故8－2k ＝0,即k ＝4, 则C 48m 4＝358,解得m ＝±12.(3)易知m ＞0,设第k ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C k 8m k ≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9mm ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大,所以⎩⎪⎨⎪⎧4＜8m －1m ＋1≤5，6≤9mm ＋1＜7，即⎩⎪⎨⎪⎧54＜m ≤2，2≤m ＜72.所以m 只能等于2.B 级——能力提升练11．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)展开式中的一次项系数为( ) A ．C n －1n B ．C 2n C ．C 2n ＋1D ．12C 2n ＋1 【答案】C 【解析】一次项的系数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12＝C 2n ＋1.12．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中,x 4的系数是首项为－2,公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项【答案】D 【解析】(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中,x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝55.以－2为首项,3为公差的等差数列的通项公式为a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5,令a n ＝55,即3n －5＝55,解得n ＝20.13．若(1－2x )2 021＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 021x2 021(x ∈R ),则a 12＋a 222＋…＋a 2 02122 021的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2【答案】C 【解析】(1－2x )2 021＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 021x2 021,令x ＝12,则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 021＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02122 021＝0,令x ＝0,则a 0＝1,所以a 12＋a 222＋…＋a 2 02122 021＝－1.14．设m 为正整数,(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ,(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ,则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】 由二项式系数的性质知,二项式(x ＋y )2m的展开式中二项式系数的最大值有一项,即C m2m ＝a ,二项式(x ＋y )2m ＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项,即C m2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b ,因此13C m 2m ＝7C m2m ＋1,所以13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！,所以m ＝6.15．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为________．【答案】20 【解析】∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为2n ,∴2n＝64,∴n ＝6.∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r .由6－2r ＝0得r ＝3,∴其常数项为T 3＋1＝C 36＝20. 16．已知(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0,则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________(填数字)． 【答案】－8 128 【解析】在所给的等式中,令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27①,再令x ＝－1可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7＝(－4)7②,把①②相加可得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝27＋(－4)7,所以a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128.17．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数和小120,求第一个展开式中的第3项．解：因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n －1,而(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1,所以有2n －1＝22n －1－120,解得n ＝4,故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x .C 级——探究创新练18．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数．解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ,整理得n 2－21n ＋98＝0,∴n ＝7或n ＝14,当n ＝7时,展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5,T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352；T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70；当n ＝14时,展开式中二项式系数最大项是T 8,T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.。

第六章 6.2 6.2.1A级——基础过关练1．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝a B．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0D．CA＋AC＝MN＋NP＋PM【答案】B　【解析】AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC≠0.故B错．2．(2021年重庆期末)在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则一定有( )A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是正方形D．四边形A BCD是平行四边形【答案】D　【解析】由AC＝AB＋AD得AD＝BC，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形ABCD为平行四边形．3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 kmC．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km【答案】B　【解析】如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B．4．(2021年成都模拟)(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为BC的是( )A．BA＋AC B．BD＋DA＋ACC．AB＋BD＋DC D．DC＋BA＋AD【答案】ABD　【解析】在A中，BA＋AC＝BC；在B中，BD＋DA＋AC＝BA＋AC＝BC；在C中，AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC；在D中，DC＋BA＋AD＝DC＋BD＝BD＋DC＝BC.5．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的是( )A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向C．若a与b同向，则a＋b与a同向D．若a与b同向，则a＋b与b同向【答案】ACD　【解析】a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．6．在边长为1的等边三角形ABC中，|AB＋BC|＝________，|AB＋AC|＝________．【答案】1 【解析】易知|AB＋BC|＝|AC|＝1.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|AB＋AC|＝|AD|＝2|AB|×sin 60°＝2×1×＝.7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，则|BC＋CD|＝________．【答案】1　【解析】在菱形ABCD中，连接BD，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为|AB|＝1，所以|BD|＝1，所以|BC＋CD|＝|BD|＝1.8．平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为平面内任意一点．求证：PA＋PB＋PC＋PD＝4PO.证明：∵PA＋PB＋PC＋PD＝PO＋OA＋PO＋OB＋PO＋OC＋PO＋OD＝4PO＋(OA ＋OB＋OC＋OD)＝4PO＋(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝4PO＋0＋0＝4PO，∴PA＋PB＋PC＋PD＝4PO.9．(2021年银川月考)如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＋CQ＝0.求证：AP＋AQ＝AB＋AC.证明：∵AP＝AB＋BP，AQ＝AC＋CQ，∴AP＋AQ＝AB＋AC＋BP＋CQ.又∵BP＋CQ＝0，∴AP＋AQ＝AB＋AC.10．如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：(1)AB＋BE＝AC＋CE；(2)EA＋FB＋DC＝0.证明：(1)由向量加法的三角形法则，∵AB＋BE＝AE，AC＋CE＝AE，∴AB＋BE＝AC＋CE.(2)由向量加法的平行四边形法则，∵EA＝EF＋ED，FB＝FE＋FD，DC＝DF＋DE，∴EA＋FB＋DC＝EF＋ED＋FE＋FD＋DF＋DE＝(EF＋FE)＋(ED＋DE)＋(FD＋DF)＝0＋0＋0＝0.B级——能力提升练11．(2021年聊城期末)(多选)若a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则下列结论正确的是( )A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|【答案】AC　【解析】∵a＝AB＋BC＋CD＋DA＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．12．如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于( )A．0B．BEC．AD D．CF【答案】D　【解析】∵在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，EF＝CB，∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CF.13．已知有向线段AB，CD不平行，则( )A．|AB＋CD|>|AB|B．|AB＋CD|≥|CD|C．|AB＋CD|≥|AB|＋|CD|D．|AB＋CD|<|AB|＋|CD|【答案】D　【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，|AB＋CD|<|AB|＋|CD|.14．如图所示，点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝________．【答案】0　【解析】如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，则GB＋GC＝GD，GD＋GA＝0，∴GA＋GB＋GC＝0.15.(2021年重庆月考)如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N．绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为______ __N，方向为________．【答案】12　竖直向上　【解析】以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，即OA＋OB＝OC，则∠OAC＝60°，|OA|＝24，|AC|＝|OB|＝12，∴∠ACO＝90°，∴|OC|＝12.∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上．16．在长江某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【答案】解：如图，AB表示水速，AC表示渡船实际垂直过江的速度，以AB为一边，AC为对角线作平行四边形，AD就是船的速度．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5，|AD|＝25，所以∠CAD＝30°.所以渡船的航向为北偏西30°.C级——探索创新练17．(2021年绵阳模拟)若在△ABC中，AB＝AC＝1，|AB＋AC|＝，则△ABC的形状是( )A．正三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形【答案】D　【解析】设线段BC的中点为O(图略)，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|AB＋AC|＝2|AO|，又|AB＋AC|＝，故|AO|＝，又AB＝AC＝1，所以∠AOB＝∠AOC＝90°，BO＝CO＝，所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．。

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 阶段滚动检测(二)课时提能训练 理 新人教A 版第一～五章 (120分钟 150分) 第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)“m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )(A)充分不必要条件 (B)充分必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件2.(滚动交汇考查)若定义：a ⊕b ＝a －b ，a ⊗b ＝|a ＋b|，则“－2≤x≤2”是“f(x)＝24x x (2)2⊕⊗--有意义”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件3.若AB u u u r ＝(1,1)，AC uuu r ＝(3,8)，AD u u u r＝(0,1)，BC uuu r ＋CD uuu r ＝(a ，b)，则a ＋b ＝( )(A)－1 (B)0 (C)1 (D)24.(2012·玉林模拟)曲线y ＝2sin(x ＋π4)cos(x －π4)与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3、…，则|P 2P 4|等于( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π5.(2012·北海模拟)已知tanα＝－12，则sin2α＋2cos2α4cos2α－4sin2α的值是( )(A)52 (B)－52 (C)114 (D)－1146.(滚动单独考查)已知f(1－x 1＋x )＝1－x 21＋x 2，则f(x)的解析式为( )(A)f(x)＝x 1＋x 2 (B)f(x)＝－2x1＋x 2(C)f(x)＝2x 1＋x 2 (D)f(x)＝－x1＋x27.(2012·柳州模拟)已知两点M(－1，－6)，N(3,0)，点P(－73，y)分有向线段MN u u u u r 的比为λ，则λ，y的值为( )(A)－14，8 (B)14，－8(C)－14，－8 (D)4，188.已知点O(0,0)，A(2,1)，B(－1,7)，OP u u u r ＝OA u u u r ＋13BA u u u r，又OQ uuu r ⊥OP u u u r ，且|OQ uuu r |＝2，则Q 点的坐标为( ) (A)(105，3105)或(－105，－3105) (B)(105，3105) (C)(－105，－3105) (D)(105，3105)或(1010，31010) 9.函数y ＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可能是( )(A)x ＝－π6 (B)x ＝－π12(C)x ＝π6 (D)x ＝π1210.(滚动单独考查)y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )11.(2012·梧州模拟)若点H 是△ABC 的垂心，且OH u u u r ＝OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC uuu r，则点O 是△ABC 的( )(A)垂心 (B)内心 (C)外心 (D)重心12.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB u u u r＋DC uuu r )·(AC uuu r ＋BD u u u r)＝( )(A)7 (B)6 (C)5 (D)4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.将函数y ＝f(x)的图象按向量a ＝(1，－1)平移后所得图象的解析式为y ＝x 2－2x ＋2，则函数y ＝f(x)的解析式为 .14.(2012·贺州模拟)已知sinx ＝55，x∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝ . 15.(2012·杭州模拟)甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取 方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了 海里.16.给出下列4个命题：①非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°；②“a ·b ＞0”是“a ，b 的夹角为锐角”的充要条件；③将函数y ＝|x ＋1|的图象按向量a ＝(－1,0)平移， 得到的图象对应的函数表达式为y ＝|x ＋2|；④在△ABC 中，若(AB u u u r ＋AC uuu r )·(AB u u u r －AC uuur )＝0，则△ABC 为等腰三角形.其中正确的命题是 .(注：把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2012·南宁模拟)已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－2(1)求函数的最小正周期. (2)求函数f(x)在区间[π，17π12]上的最大值和最小值. 18.(12分)已知向量m ＝(2cos 2x ，sinx)，n ＝(1,2cosx). (1)若m ⊥n 且0＜x ＜π，试求x 的值；(2)设f(x)＝m ·n ，试求f(x)的对称轴方程、对称中心.19.(12分)(2012·郑州模拟)在锐角三角形ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2sinB(2cos 2B2－1)＝－3cos2B.(1)求B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值.20.(12分)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足AP u u u r ＋2BP u u u r＋3CP u u u r ＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，求证：CQ uuu r＝2CP u u u r .21.(12分)已知点F(1,0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，设P(0，b)，M(a,0)且PM u u u r ·PF u u r＝0，动点N 满足2PNNM u u u r u u u u r＋＝0. (1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)F′为曲线C 的准线与x 轴的交点，过点F′的直线l 交曲线C 于不同的两点A 、B ，若D 为AB 的中点，在x 轴上存在一点E ，使AB u u u r ·(AE u u u r －AD u u u r)＝0，求|OE uuu r |的取值范围(O 为坐标原点).22.(12分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数. (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 4(a·2x－43a)，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.答案解析1.【解题指南】本题考查充分、必要条件，一元二次方程根的判定.先求出一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的条件，再分析与m<14的关系.【解析】选A.由“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”得： 12－4m ≥0⇒m ≤14，则m<14是m ≤14的充分不必要条件.2.【解析】选B.由题意，f(x)＝4－x2|x －2|－2，由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x －2|≠2得函数f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2].∴－2≤x ≤2时，f(x)不一定有意义.故选B.3.【解析】选A.∵BC uuu r ＋CD uuu r ＝BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r＝(－1,0)，∴a ＝－1，b ＝0，∴a ＋b ＝－1.4.【解析】选A.2sin(x ＋π4)cos(x －π4)＝2sin 2(x ＋π4)＝1－cos[2(x ＋π4)]＝1＋sin2x ，其最小正周期为π，又|P 2P 4|显然是一个最小正周期，故选A. 5.【解析】选C.tan α＝－12，则tan2α＝－43，原式＝tan2α＋24－4tan2α＝114.6.【解析】选C.(特殊值法)：对于f(1－x 1＋x )＝1－x21＋x 2，令x ＝0，代入其中有f(1)＝1. 经检验只有选项C 满足f(1)＝1. 【一题多解】(换元法)：选C.令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t ，所以f(t)＝1－(1－t 1＋t )21＋(1－t 1＋t )2＝2t1＋t 2，从而f(x)的解析式为f(x)＝2x 1＋x2. 7.【解析】选C.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－73＝－1＋3λ1＋λy ＝－6＋01＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8λ＝－14，故选C.8.【解题指南】设Q 点的坐标为(x ，y)，根据条件列出关于x 、y 的方程组.【解析】选A.OP u u u r ＝(2,1)＋13(3，－6)＝(3，－1)，设Q 点的坐标为(x ，y)，则根据题意列方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0x 2＋y 2＝4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝105y ＝3105或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－105y ＝－3105.9.【解析】选D.令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x＝π12.本题也可用代入验证法来解. 10.【解析】选A.函数有意义，需使e x－e －x≠0，其定义域为{x|x ≠0}. 又因为y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x－1＝1＋2e 2x －1，所以当x ＞0时函数为减函数，故选A. 11.【解析】选C.OH u u u r ＝OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC uuu r ⇒AH u u u r ＝OB uuur ＋OC uuu r ， 取BC 的中点D ，则OB uuu r ＋OC uuu r ＝2OD u u u r ，∴AH u u u r＝2OD u u u r .又∵AH ⊥BC ，∴OD ⊥BC ， ∴点O 在BC 的中垂线上. 同理点O 在CA 、AB 的中垂线上， 所以点O 是△ABC 的外心.12.【解题指南】用已知模的向量AC uuu r 、BD u u u r 表示目标向量AB u u u r 、DC uuur . 【解析】选C.由于AB u u u r ＝AC uuu r ＋CB u u u r ，DC uuu r ＝DB u u u r ＋BC uuur ， 所以AB u u u r ＋DC uuu r ＝AC uuu r ＋CB u u u r ＋DB u u u r ＋BC uuu r ＝AC uuu r －BD u u u r.(AB u u u r ＋DC uuu r )·(AC uuu r ＋BD u u u r )＝(AC uuu r －BD u u u r )·(AC uuu r ＋BD u u u r )＝AC uuu r 2－BD u u u r 2＝9－4＝5.13.【解析】设(x ，y)为函数y ＝f(x)图象上任一点，点(x ′，y ′)为平移后的对应点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1y ′＝y －1，代入y ′＝x ′2－2x ′＋2，整理得y ＝x 2＋2.故所求函数的解析式为y ＝x 2＋2.答案：y ＝x 2＋2 14.【解析】∵sinx ＝55，x ∈(π2，3π2)， ∴tanx ＝－12，∴tan(x －π4)＝tanx －11＋tanx ＝－3.答案：－315.【解析】如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙船到C 点用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sinCAB ＝ACsinB ，∴1sinCAB ＝3sin120°， ∴sinCAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos120° ＝a 2＋a 2－2a 2·(－12)＝3a 2， ∴AC ＝3a. 答案：北偏东30°3a16.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当a ，b 的夹角为0°时，a ·b ＞0也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正确；④可得AB u u u r 2＝AC uuur 2，即AB ＝AC ，正确.所以①③④正确.答案：①③④17.【解题指南】(1)利用降幂公式将f(x)化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最小正周期.(2)利用整体代换的思想求最值.【解析】(1)f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－2＝12sinx ＋1＋cosx2－2 ＝12(sinx ＋cosx)－32 ＝22sin(x ＋π4)－32， ∴最小正周期T ＝2πω＝2π.(2)由(1)知f(x)＝22sin(x ＋π4)－32， ∵x ∈[π，1712π]，∴x ＋π4∈[54π，53π]，当x ＋π4＝32π，即x ＝54π时，f(x)有最小值，f(54π)＝－22－32.当x ＋π4＝54π，即x ＝π时，f(x)有最大值，f(π)＝－2.【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.18.【解析】(1)m ⊥n ⇒2cos 2x ＋2sinxcosx ＝0⇒cos2x ＋sin2x ＋1＝0⇒2sin(2x ＋π4)＝－1 ⇒sin(2x ＋π4)＝－22.∵0＜x ＜π，∴2x ＋π4∈(π4，9π4)，∴2x ＋π4＝5π4或7π4，∴x ＝π2或3π4.(2)由(1)得f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1， 令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，可得x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，即对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，令2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π8，k ∈Z.即对称中心坐标为(k π2－π8，0)，k ∈Z.19.【解析】(1)2sinB(2cos 2B2－1)＝－3cos2B⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－3， ∵0＜B ＜π2，∴0＜2B ＜π，∴2B ＝2π3， ∴B ＝π3.(2)由(1)知B ＝π3，∵b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ≤3，∴△ABC 面积的最大值为 3.20.【证明】∵AP u u u r ＝AQ uuur ＋QP u u u r ， BP u u u r ＝BQ uuur ＋QP u u u r ，∴(AQ uuu r ＋QP u u u r )＋2(BQ uuu r ＋QP u u u r)＋3CP u u u r ＝0， ∴AQ uuu r ＋3QP u u u r ＋2BQ uuu r＋3CP u u u r ＝0，又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线，故可设AQ uuu r ＝λBQ uuu r ，CP u u u r ＝μ QP u u u r， ∴λ BQ uuu r ＋3QP u u u r ＋2BQ uuu r ＋3μ QP u u u r＝0， ∴(λ＋2)BQ uuu r ＋(3＋3μ)QP u u u r＝0. 而BQ uuu r ，QP u u u r 为不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝03＋3μ＝0.∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP u u u r ＝－QP u u u r ＝PQ u u u r. 故CQ uuu r ＝CP u u u r ＋PQ u u u r＝2CP u u u r .21.【解析】(1)P(0，b)，M(a,0)，设N(x ，y)，由PM u u u r ·PF u u r ＝0⇒a ＋b 2＝0，① 由2PN u u u r ＋NM u u u u r ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a －x ＝02(y －b)－y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－xb ＝12y.②将②代入①得曲线C 的轨迹方程为y 2＝4x.(2)由(1)得点F ′的坐标为(－1,0)，由题意知直线l 的斜率存在，故设直线l ：y ＝k(x ＋1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0Δ＞0⇒0＜k 2＜1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)， 则x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k，∵AB u u u r ·(AE u u u r －AD u u u r )＝0⇒AB u u u r ⊥DE u u u r ，故直线DE 的方程为y －2k ＝－1k (x －2－k 2k 2)，令y ＝0，得x E ＝1＋2k2(0＜k 2＜1)⇒x E ＞3，即|OE uuu r|的取值范围是(3，＋∞).22.【解析】(1)由函数f(x)是偶函数可知：f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，∴log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－43a)有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x ＝a ·2x－43a 有且只有一个实根，令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根，①a ＝1⇒t ＝－34，不合题意；②a －1≠0且Δ＝0⇒a ＝34或－3，- 11 - 若a ＝34⇒t ＝－2，不合题意；若a ＝－3⇒t ＝12， ③一个正根与一个负根，即－1a －1<0⇒a>1， 综上：实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).。

阶段滚动检测(六)(第十一、十二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020·三明模拟)将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是() A．283 B．286 C．287 D．288【解析】选D.样本间隔为18－3＝15，即抽取样本数为300÷15＝20，则最大的样本编号为3＋15×19＝288.2．(2020·海南模拟)统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间(公元1068－1077年)，天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如表的统计表格：分组(万贯)[0,0.5)[0.5,1)[1,3)[3,5)[5,10)[10,20)[20,40)≥40合计合计73359551301953311 A．0.5 B．2 C．5 D．10【解析】选B.因为总频数为311，所以中位数是所有数据从小到大第156个数据，156－73－35＝48，中位数大约在区间[1，3)的中点处，所以中位数大约为2.3．(2020·运城模拟)2020年2月初，由于A地叫外卖人数的猛然增多以及商家工作人员的不足，外卖骑手的配送速度饱受批评，客户给骑手的评分(满分50分)也是参差不齐，现将某骑手一个上午得到的评分统计如图所示，则任取2个评分，至少有1个高于平均分的概率为()A.49 B ．59 C ．29 D ．79 【解析】选D.平均分为30＋－10－5－2＋6＋7＋8＋15＋15＋16＋2010＝37；而高于37的评分有5个，则至少有1个高于平均分的概率为P ＝1－C 25C 210 ＝1－29 ＝79 .4．(2021·锦州模拟)某商场为了了解毛衣的月销售量y(单位：件)与月平均气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4个月的销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程ˆy＝b x ＋ˆa 中的b ＝－2，气象部门预测下个月的平均气温为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量为( ) A ．46 件 B ．40 件 C ．38 件 D ．58 件 【解析】选A.由题中数据，得x ＝10，y ＝38，回归直线ˆy＝ˆb x ＋ˆa 过点(x ，y )，且ˆb＝－2，所以ˆa ＝58，则线性回归方程为ˆy ＝－2x ＋58，所以当x ＝6时，ˆy ＝46，即下个月毛衣销售量为46件．5．(2020·胶州模拟)随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A ，记“向上的点数之差为奇数”为事件B ，则( ) A ．A ∩B ≠∅B ．A ⊆BC ．A ，B 互斥但不对立D ．A ，B 对立【解析】选D.随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A ，记“向上的点数之差为奇数”为事件B ，则事件A 与事件B 既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件，故A ，B ，C 均错误，D 正确．6．(2020·辽阳模拟)若X ～B(20，0.3)，则( ) A ．E(X)＝3B ．P(X ≥1)＝1－0.320C ．D(X)＝4D ．P(X ＝10)＝C 1020 ×0.2110【解析】选D.由X ～B(20，0.3)，所以E(X)＝20×0.3＝6，所以A 错误；计算P(X ≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.720，所以B 错误；又D(X)＝20×0.3×0.7＝4.2，所以C 错误；计算P(X ＝10)＝C 1020 ×0.310×0.710＝C 1020 ×0.2110，所以D 正确．7．(2020·淄博模拟)某校高二期末考试学生的数学成绩ξ(满分150分)服从正态分布N(75，σ2)，且P(60＜ξ＜90)＝0.8，则P(ξ≥90)＝( )A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1【解析】选D.因为数学成绩ξ服从正态分布N(75，σ2)，则正态分布曲线的对称轴方程为x ＝75，又P(60＜ξ＜90)＝0.8，所以P(ξ≥90)＝ 12 [1－P(60＜ξ＜90)]＝12(1－0.8)＝0.1. 8．(2020·贵港模拟)⎝⎛⎭⎫2a x －3x 2 6的展开式中，含x 3项的系数为－160，则a ＝( ) A ．3 B ．－13 C ．13D ．－3【解析】选C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －3x 2 6 的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x 6－r(－3x 2)r＝(－3)r (2a)6－r C r 6 x 3r －6，令3r －6＝3，求得r ＝3，可得展开式中含x 3项的系数是(－3)3(2a)3C 36＝－160，解得a ＝13.9．如图是省实验高三年级人数相同的四个班级某次地理考试成绩的频率分布直方图，其中标准差最小的是( )【解析】选C.选项A ，E(x)＝55×0.02×10＋65×0.02×10＋75×0.02×10＋85×0.02×10＋95×0.02×10＝75，方差D(x)＝0.2×(55－75)2＋0.2×(65－75)2＋0.2×0＋0.2×(85－75)2＋0.2×(95－75)2＝200； 选项B ，E(x)＝55×0.01×10＋65×0.03×10＋75×0.02×10＋85×0.03×10＋95×0.01×10＝75， 方差D(x)＝0.1×(55－75)2＋0.3×(65－75)2＋0.2×0＋0.3×(85－75)2＋0.1×(95－75)2＝140； 选项C ，E(x)＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.04×10＋85×0.02×10＋95×0.01×10＝75， 方差D(x)＝0.1×(55－75)2＋0.2×(65－75)2＋0.4×0＋0.2×(85－75)2＋0.1×(95－75)2＝120； 选项D ，E(x)＝55×0.03×10＋65×0.01×10＋75×0.02×10＋85×0.01×10＋95×0.03×10＝75， 方差D(x)＝0.3×(55－75)2＋0.1×(65－75)2＋0.2×0＋0.1×(85－75)2＋0.3×(95－75)2＝260.因为方差小的标准差也小，120＜140＜200＜260，所以C 的标准差最小．10．(2020·河南模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下： ①先请高三年级1 000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x ，y)(0＜x ＜1，0＜y ＜1)；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m ＝218，那么可以估计π的值约为( )A ．389124B ．391124C ．389125D ．391125【解析】选D.由题意知，1 000对正实数对(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1， 面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(x ，y)，满足x 2＋y 2＞1且满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1，x ＋y ＞1，面积为1－π4，因为统计两数能与1构成锐角三角形三边的数对(x ，y) 的个数m ＝218，所以2181 000 ＝1－π4 ，所以π＝391125.11．(2020·安阳模拟)2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习．为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为( ) A ．130 B ．190 C ．240 D ．250 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【解析】选B.依题意，设男、女生的人数各为5x ，建立2×2列联表如表所示：故K 2的观测值k ＝（8x 2－3x 2）2·10x 5x ·5x ·3x ·7x ，由题可知6.635＜10x21 ＜10.828，所以139.335＜10x＜227.388.只有B 符合题意．12．(2020·焦作模拟)某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型y ＝2lg x 进行拟合．在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该( ) A ．使x 增加1个单位 B ．使x 增加2个单位 C ．使x 增加到原来的2倍 D ．使x 增加到原来的10倍【解析】选D.由y ＝2lg x ，得y ＋2＝2lg x ＋2＝2(lg x ＋1)＝2lg 10x ，所以应该使x 增加到原来的10倍．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(2020·太原模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n ＝________．【解析】因为甲、乙、丙三个车间生产的产品的数量之比依次为120∶80∶60＝6∶4∶3，现用分层抽样的方法抽出的样本中乙车间抽4件，所以由分层抽样性质，得：46＋4＋3 ＝4n ，解得n ＝13. 答案：1314．(2020·韶关模拟)某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如表(单位：吨)：【解析】由于1 000吨生活垃圾中投错的有30＋20＋100＋20＋100＋30＝300(吨)，故投错的比例约为3001 000＝0.3.故每天产生20 000吨垃圾，估计该市生活垃圾投放错误的有20 000×0.3＝ 6 000(吨). 答案：6 00015．甲、乙两人进行飞镖比赛，规定命中6环以下(含6环)得2分，命中7环得4分，命中8环得5分，命中9环得6分，命中10环得10分(两人均会命中)，比赛三场，每场两人各投镖一次，累计得分最高者获胜．已知甲命中6环以下(含6环)的概率为13 ，命中7环的概率为14 ，命中8环的概率为16 ，命中9环的概率为16 ，命中10环的概率为112 ，乙命中各环对应的概率与甲相同，且甲、乙比赛互不干扰．若第一场比赛甲得2分，乙得4分，第二场比赛甲、乙均得5分，则三场比赛结束时，乙获胜的概率为________．【解析】由题意，若三场比赛结束时，乙获胜，则第三场比赛乙至多落后甲1分，当甲乙都得2分时，乙获胜，概率为P 1＝13 ×13 ＝19 ；当乙得4分时，则甲至多得5分，乙获胜， 概率为P 2＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋16 ＝316；当乙得5分时，则甲至多得6分，乙获胜， 概率为P 3＝16 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋16＋16 ＝1172 ；当乙得6分时，则甲至多得6分，乙获胜， 概率P 4＝16 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋16＋16 ＝1172； 当乙得10分时，乙获胜，概率为P 5＝112 ×1＝112 ；故乙获胜的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＋P 4＋P 5＝1116 .答案：111616．某学科考试共有100道单项选择题，有甲、乙两种计分法．某学生有a 道题答对，b 道题答错，c 道题未作答，则甲计分法的得分为X ＝a －b 4 ，乙计分法的得分为Y ＝a ＋c5 .某班50名学生参加了这科考试，现有如下结论： ①同一学生的X 分数不可能大于Y 分数；②任意两个学生X 分数之差的绝对值不可能大于Y 分数之差的绝对值； ③用X 分数将全班排名次的结果与用Y 分数将全班排名次的结果是完全相同的； ④X 分数与Y 分数是正相关的．其中正确的有________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】根据题意，a ＋b ＋c ＝100，且a ，b ，c ∈N ； 又X ＝a －b 4 ，Y ＝a ＋c5，所以X －Y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 4 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4＋c 5 ≤0，所以同一学生的X 分数不可能大于Y 分数，①正确；又|△X|－|△Y|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－b 14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 24 －⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋c 15－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 25＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a 1－a 2）＋14（b 2－b 1） －⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a 1－a 2）＋15（c 1－c 2） ，且14 (b 2－b 1)与15 (c 1－c 2)的大小不确定，所以②错误；又因为X ＝a －14 b ，Y ＝a ＋c5 ，所以Y ＝a ＋c5 ＝a ＋100－a －b 5 ＝45 a －15 b ＋20＝45 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14b ＋20＝45X ＋20，所以X 与Y 正相关，因此全班按X 或Y 的值排列，名次不变，所以③④正确． 答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2020·泸州模拟)为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物性试验：将试验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求抗体浓度百分比的中位数；(2)为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用R 症状”，从试验中分层抽取了抗体浓度在[2.5，3.5)，[5.5，6.5)中的6只小白鼠进行研究，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5，6.5)中的概率．【解析】(1)由频率分布直方图得： [1.5，3.5)的频率为：0.15＋0.20＝0.35，[3.5，4.5)的频率为0.30，所以抗体浓度百分比的中位数为3.5＋0.5－0.350.3×1＝4.(2)从试验中分层抽取了抗体浓度在[2.5，3.5)，[5.5，6.5)中的6只小白鼠进行研究，则从抗体浓度在[2.5，3.5)中抽取：6×0.200.20＋0.10 ＝4只，抗体浓度在[5.5，6.5)中抽取：6×0.100.20＋0.10＝2只，从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，基本事件总数n ＝C 26＝15，这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5，6.5)中包含的基本事件个数m ＝C 14 C 12＝8，所以这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5，6.5)中的概率P ＝mn＝815. 18．(12分)(2020·宁德模拟)A ，B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩(单位：分)记录如下：A 71 62 72 76 63 70 85 83B 73 84 75 73 78 76 85B 同学的成绩不慎被墨迹污染(，分别用m ，n 表示).(1)用茎叶图表示这两组数据，现从A ，B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由(不用计算)；(2)若B 同学的平均分为78，方差s 2＝19，求m ，n.【解析】(1)A ，B 两同学参加了8次测验，成绩(单位：分)的茎叶图如图：由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于A 同学的平均成绩，所以选派B 同学参加数学竞赛更好．(2)因为B x＝18 (73＋84＋75＋73＋70＋m ＋80＋n ＋76＋85)＝78，所以m ＋n ＝8，①，因为s 2＝18[2×(－5)2＋62＋(－3)2＋(m －8)2＋(n ＋2)2＋(－2)2＋72]＝19，所以(m －8)2＋(n ＋2)2＝4，②，联立①②解得，m＝8，n＝0(舍去其他解).19．(12分)(2020·西安模拟)3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．(1)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少有一件是A生产线生产的概率；(2)请完成列联表，并判断能否在误差不超过0.05的情况下认为产品等级是否达到良好及以上与生产产品的生产线有关？A生产线生产的产品B生产线生产的产品总计良好及以上合格总计附：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋d）（b＋c），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】(1)等级为优秀的样本中，A生产线生产的产品有2件，记为a，b，B生产线生产的产品有3件，记为C，D，E；从这5件产品中随机抽取两件，基本事件为：ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE共10个；抽取的两件产品中至少有一件是A生产线生产的基本事件为ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE共7个．故所求的概率为P＝710；(2)根据题意填写列联表，由表中数据，计算K 2的观测值k ＝40×（6×8－14×12）220×20×18×22 ＝4011 ≈3.636＜3.841，所以不能在误差不超过0.05的情况下认为产品等级是否达到良好及以上与生产产品的生产线有关．20．(12分)(2020·龙潭区模拟)全国文明城市，一块在国内含金量最高，综合性最强，影响力最大的“金字招牌”．为进一步提升城市整体竞争力，提升城市品质和管理水平，提升市民文明素质，提升人民群众幸福指数，2019年吉林市决定再次参加创建“全国文明卫生城”测评．为确保创建全国文明城市各项目标顺利完成，“创城办”不断加大宣传力度和管理力度等，在期间通过网络对江城市民进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人中，得分统计结果如表所示：的平均值，利用该正态分布求P(37.5＜ξ≤79.5)； (注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)在(1)的条件下，“创城办”为鼓励市民参与“创建”，对参加问卷调查的市民制定了如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：求X 的分布列与数学期望．附：参考数据：①35×2＋45×13＋55×21＋65×25＋75×24＋85×11＋95×4＝6 550； ②198 ≈14；③若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈ 0.954 5，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 【解析】(1)由题意得，μ＝35245135521652575248511954100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝65.5， σ＝198 ≈14，所以P(37.5＜ξ≤79.5)＝P(μ－2σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.954 5－0.954 5－0.682 72 ＝0.818 6.(2)由题意知P(ξ＜μ)＝P(ξ≥μ)＝12，获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，P(X ＝20)＝12 ×23 ＝13 ，P(X ＝40)＝12 ×23 ×23 ＝29 ，P(X ＝50)＝12 ×13 ＝16 ，P(X ＝70)＝12 ×23 ×13 ＋12 ×13 ×23 ＝29 ，P(X ＝100)＝12 ×13 ×13 ＝118 ，则X 的分布列为：E(X)＝20×13 ＋40×29 ＋50×16 ＋70×29 ＋100×118＝45.21．(12分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室100颗种子浸泡后的发芽数，得到表中资料：(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“⎩⎪⎨⎪≤m ≤30，25≤n ≤30 ”的概率；(2)该小组发现种子的发芽数y(颗)与昼夜温差x(℃)呈线性相关关系，试求线性回归方程ˆy＝ˆbx ＋ˆa ． (参考公式：线性回归方程ˆy＝ˆb x ＋ˆa 中系数计算公式ˆb ＝，ˆa＝y －ˆbx .其中x ，y 表示样本均值．参考数据：10×23＋11×25＋13×30＋12×26＋9×16＝1 351；102＋112＋132＋122＋92＝615). 【解析】(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件共有C 25 ＝10种结果，满足条件“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30 ”的有：(25，30)，(25，26)，(30，26)共3个，所以要求的概率是p ＝310；(2)由表中数据，计算x ＝15×(10＋11＋13＋12＋9)＝11，y ＝15×(23＋25＋30＋26＋16)＝24，计算ˆb＝＝1 351－5×11×24615－5×112＝3110＝3.1，ˆa＝y－ˆb x＝24－3.1×11＝－10.1，所以y关于x的线性回归方程为ˆy＝3.1x－10.1.22．(12分)(2020·金安区模拟)某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m衡量，并依据质量指标值m划分等级如表：频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m的平均数(同一区间数据用该区间数据的中点值代表)；(2)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间[150，200)和[200，250)内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[200，250)的概率；(3)该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：A设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台A设备和800台B设备；方案二：购买200台A设备和450台B设备．假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数(同一组数据用该区间数据的中点值代表)的前提下，试依据使用A，B两种设备后的日增加的利润(日增加的利润＝日增加的收入－日维护费用)的均值为该公司决策选择哪种方案更好？【解析】(1)由题意得m ＝175×0.05＋225×0.15＋275×0.2＋325×0.3＋375×0.2＋425×0.1＝312.5；(2)因为区间[150，200)和[200，250)上的频率之比为1：3，所以应从区间[150，200)上抽取1件，记为A 1，从区间[200，250)上抽取3件，记为B 1，B 2，B 3，则从中任取两件的情况有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共6种，其中两件都取自区间[200，250)上的情况有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共3种； 所以其概率为P ＝36 ＝12 .(3)每天生产件数的频数分布表为：件数 6 000 7 000 8 000 9 000 天数20304010若采用方案一，使用100台A 设备和800台B 设备每天可进一步加工的件数为30×100＋4×800＝6 200(件)，可得实际加工件数的频数分布表为：实际加工件数6 000 6 200 频数2080所以方案一中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为 25×（6 000×20＋6 200×80）100－500×100－80×800＝40 000(元)；若采用方案二，使用200台A 设备和450台B 设备每天可进一步加工的件数为30×200＋4×450＝7 800(件)，可得实际加工件数的频数分布表为：实际加工件数6 0007 0007 800所以方案二中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为 25×（6 000×20＋7 000×30＋7 800×50）100 －500×200－80×450＝44 000(元).综上所述，公司应该选择方案二．。

- 1 - 【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 阶段滚动检测(三)课时提能训练 理 新人教A 版第一～八章(120分钟 150分)第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·河池模拟)已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )(A)x －2y ＋1＝0 (B)2x －y －1＝0(C)x －y ＋3＝0 (D)x －y －3＝02.(滚动单独考查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，a 2＋a 4＝0，则公差d 为( )(A)1 (B)－3 (C)－2 (D)33.(2012·南宁模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为( )(A)(－1,0) (B)(1,0)(C)(2,0) (D)(－2,0)4.(滚动交汇考查)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则此双曲线的离心率为( ) (A) 1.5 (B)2 (C)3.5 (D)45.设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>0，n>0)的焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，离心率为12，则椭圆的方程为( ) (A)x 212＋y 216＝1 (B)x 216＋y 212＝1 (C)x 248＋y 264＝1 (D)x 264＋y 248＝1 6.在数列{a n }中，a n ＝2n －7，则当前n 项和取得最小值时的n 的值等于( )(A)3 (B)4 (C)3或4 (D)4或57.椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2b 2＝1有公共的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则cosF 1PF 2＝( ) (A)34 (B)14 (C)13 (D)23。

课时作业梯级练六十八二项式定理【基础落实练】（30分钟50分）一、选择题(每小题5分，共35分)1.(1+x)7的展开式中x2的系数是( )A.42B.35C.28D.21【解析】选D.(1+x)7的展开式的通项公式为T r+1=x r,令r=2,得x2的系数为=21. 【加练备选·拔高】(1+x4)61(1)x+的展开式的常数项为( )A.6B.10C.15D.16【解析】选D.由题意得61(1)x+的展开式的通项为：T r＋1＝C r6·x－r，(r＝0，1，2，…，6)，令r＝4，则C46＝15，所以(1＋x4)61(1)x+的展开式的常数项为：1＋15＝16.2.二项式的展开式的第二项是( )A.6x4B.-6x4C.12x4D.-12x4【解析】选D.展开式的通项公式T r+1=x6-r,令r=1,可得展开式的第二项为x5=-12x4.3.若实数a=2-,则a10-2a9+22a8-…+210=( )A.32B.-32C.1024D.512【解析】选 A.因为(a-2)10=a10-2a9+22a8-…+210,a=2-,所以a10-2a9+22a8-…+210=(-)10=32.4．若(1－2x)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a5(x－1)5，则a1＋a3＋a5＝( )A．－121B．－122C．－243 D．－1【解析】选B.因为(1－2x)5＝[－1－2(x－1)]5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a5(x－1)5，所以a1＋a3＋a5＝C15·(－1)4·(－2)1＋C35·(－1)2·(－2)3＋C55·(－1)0·(－2)5＝－122.5．1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是( ) A．－1B．1 C．－87 D．87【解析】选B.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，因为前10项均能被88整除，所以余数是1.6．(2020·某某模拟)已知(x＋1)8＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a9x8，若数列a1，a2，a3，…，a k(1≤k≤9，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )A．6 B．5 C．4 D．3【解析】选B.由二项式定理，得a i＝C9－i8(1≤i≤8，i∈N*)，因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5＞a6，且数列a1，a2，a3，…，a k是一个单调递增数列，所以k的最大值是5.【加练备选·拔高】二项式(1+x)100的展开式中系数之比为5546的相邻两项是( )A.第46、47项B.第25、26项C.第55、56项D.第81、82项【解析】选C.因为(1+x)100,所以r r r1100T C x+=,设二项式(1+x)100的展开式中系数之比为5546的相邻两项为m+1,m+2,则m100m1100100!C m155m!(100m)!100!C100m46 (m1)!(99m)!++-===-+-,解得m=54.所以二项式(1+x)100的展开式中系数之比为5546的相邻两项是第55、56项.7．组合恒等式C m n＋1＝C m n＋C m－1n，可以利用“算两次”的方法证明：分别求(1＋x)n＋1和(1＋x)(1＋x)n的展开式中x m的系数．前者(1＋x)n＋1的展开式中x m的系数为C m n＋1；后者(1＋x)(1＋x)n的展开式(1＋x)(C0n＋C1n x＋…＋C m－1nx m－1＋C m n x m＋…＋C n n x n)中x m的系数为1×C m n＋1×C m－1n.因为(1＋x)n＋1＝(1＋x)(1＋x)n，所以两个展开式中x m的系数相等，即C m n＋1＝C m n＋C m－1 n .请用“算两次”的方法化简式子C0n C n n＋C1n C n－1n＋…＋C n n C0n＝( )A．C n2n B．C n＋12n C．C n2n＋1D．C n＋12n＋1【解析】选A.因为(1＋x)2n＝(1＋x)n(1＋x)n，则两个展开式中x n的系数相等．在(1＋x)2n的展开式中，x n的系数为C n2n；而在(1＋x)n(1＋x)n＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n)· (C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )中， x n 的系数为C 0n C n n ＋C 1n C n －1n ＋…＋C n n C 0n ，所以C 0n C n n ＋C 1n C n －1n ＋…＋C n n C 0n ＝C n 2n .二、填空题(每小题5分，共15分)8．二项式(1＋2x )4的展开式中，二项式系数最大的项是________．【解析】根据二项式系数的性质，当n 为偶数时，只有中间一项，即⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数最大，故(1＋2x )4的展开式中二项式系数最大的项是第3项，即T 3＝C 24·(2x )2＝24x 2.答案：24x 29.⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －3x 26的展开式中，含x 3项的系数为－160，则a ＝________． 【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －3x 26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x 6－r(－3x 2)r＝(－3)r (2a )6－r C r 6x 3r －6，令3r －6＝3，求得r ＝3，可得展开式中含x 3项的系数是(－3)3(2a )3C 36＝－160，解得a ＝13.答案：1310．(一题多解)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________．【解析】方法一：因为(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－ (－1094)＝2 187.方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1－2x )7展开式中各项系数的和，令x ＝－1， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187. 答案：2 187【素养提升练】（20分钟 35分）1．(5分)(2021·某某模拟)(x ＋1)4(1－2x )3展开式中x 6的系数为( ) A ．20 B ．－20C ．44 D ．40【解析】选B.因为(x ＋1)4中x 的4次方，3次方的系数分别为：C 44＝1和C 34＝4； 而(1－2x )3展开式中x 的3次方，2次方的系数分别为：C 33·(－2)3＝－8和C 23·(－2)2＝12；所以(x ＋1)4(1－2x )3展开式中x 6的系数为：4×(－8)＋1×12＝－20.2．(5分)已知(x 2－1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 16x 16，则a 4＋a 5＝________．【解析】二项式(x 2－1)8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－1)r ， 令16－2r ＝4，求得r ＝6，故展开式中含x 4项的系数为C 68＝28，即a 4＝C 68＝28，令16－2r＝5，求得r 无解，故式中a 4＋a 5的值为28. 答案：283．(5分) (2021·博兴模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x n的展开式中，各项系数的和为128，则展开式中无理项有________项，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为________．【解析】二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x n的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为2n ＝128，所以n ＝7，展开式的通项公式为T r ＋1＝C r7·x 7－3r 2，可知，当r ＝0，2，4，6时，为有理项，即展开式中有4项有理项，有4项无理项，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的方法有A 44·A 45种，而所有的排法有A 88种，故有理项都互不相邻的概率为A 44·A 45A 88＝114.答案：41144．(10分) (2021·某某模拟)已知(1＋mx )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，且a 3＝－35. (1)求m 的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值．【解析】(1)因为a i ＝C i 7m i ，i ＝0，1，2，3， (7)依题意得：C 37m 3＝－35，所以m 3＝－1，得m ＝－1.(2)由(1)可知(1－x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝1得：a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(1－1)7＝0①，令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝(1＋1)7＝27②，由①－②得：2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－27， 即a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－26＝－64.5．(10分) (2021·某某模拟)在①只有第八项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3n，若其展开式中，________，是否存在整数k ，使得T k 是展开式中的常数项？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．【解析】若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，则n ＝14；若选填条件③，即各项系数之和为414，则4n ＝414，即n ＝14.二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x 314展开式的通项：T k ＝C k －114·(x )15－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 3k －1＝3k －1·C k －114·x21－7k2．由21－7k ＝0，得k ＝3.即存在整数k ＝3，使得T k 是展开式中的常数项； 若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47， 则2n －1＝47＝214，所以n ＝15.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 315展开式的通项：T k ＝C k －115·(x )16－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 3k －1＝3k －1·C k －115·x22－7k 2．由22－7k ＝0，得k ＝227∉Z ，即不存在整数k ，使得T k 是展开式中的常数项．【加练备选·拔高】(2021·某某模拟)在①只有第6项的二项式系数最大;②第4项与第8项的二项式系数相等;③所有二项式系数的和为210;这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.已知(2x-1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a n x n(n∈N*),若(2x-1)n的展开式中,.(1)求n的值；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|的值．【解析】(1)在二项式(2x－1)n的展开式中，若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即n＝10；若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则C3n＝C7n，即n＝10；若选填③，所有二项式系数的和为210，则2n＝210，即n＝10.故n＝10.(2)(2x－1)n＝(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10.因为二项式(2x－1)10的展开式的通项T r＋1＝C r10(2x)10－r(－1)r＝(－1)r·210－r·C r10·x10－r.可知x的奇数次方的系数为负，x的偶数次方的系数为正．在(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10中，取x＝0，得a0＝1；取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝310.所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a0＝310－1.。

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 阶段滚动检测(二)课时提能训练 理 新人教A 版第一～五章 (120分钟 150分) 第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)“m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )(A)充分不必要条件 (B)充分必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件2.(滚动交汇考查)若定义：a ⊕b ＝a －b ，a ⊗b ＝|a ＋b|，则“－2≤x≤2”是“f(x)＝24x x (2)2⊕⊗--有意义”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件3.若AB ＝(1,1)，AC ＝(3,8)，AD ＝ (0,1)，BC ＋CD ＝(a ，b)，则a ＋b ＝( ) (A)－1 (B)0 (C)1 (D)24.(2012·玉林模拟)曲线y ＝2sin(x ＋π4)cos(x －π4)与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3、…，则|P 2P 4|等于( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π5.(2012·北海模拟)已知tan α＝－12，则sin2α＋2cos2α4cos2α－4sin2α的值是( )(A)52 (B)－52 (C)114 (D)－1146.(滚动单独考查)已知f(1－x 1＋x )＝1－x 21＋x 2，则f(x)的解析式为( )(A)f(x)＝x 1＋x 2 (B)f(x)＝－2x1＋x 2(C)f(x)＝2x 1＋x 2 (D)f(x)＝－x1＋x27.(2012·柳州模拟)已知两点M(－1，－6)，N(3,0)，点P(－73，y)分有向线段MN 的比为λ，则λ，y的值为( )(A)－14，8 (B)14，－8(C)－14，－8 (D)4，188.已知点O(0,0)，A(2,1)，B(－1,7)，OP ＝OA ＋13BA ，又OQ ⊥OP ，且|OQ |＝2，则Q 点的坐标为( ) (A)(105，3105)或(－105，－3105) (B)(105，3105) (C)(－105，－3105) (D)(105，3105)或(1010，31010) 9.函数y ＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可能是( )(A)x ＝－π6 (B)x ＝－π12(C)x ＝π6 (D)x ＝π1210.(滚动单独考查)y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )11.(2012·梧州模拟)若点H 是△ABC 的垂心，且OH ＝OA ＋OB ＋OC ，则点O 是△ABC 的( ) (A)垂心 (B)内心 (C)外心 (D)重心12.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝( )(A)7 (B)6 (C)5 (D)4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.将函数y ＝f(x)的图象按向量a ＝(1，－1)平移后所得图象的解析式为y ＝x 2－2x ＋2，则函数y ＝f(x)的解析式为 .14.(2012·贺州模拟)已知sinx ＝55，x∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝ . 15.(2012·杭州模拟)甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取 方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了 海里.16.给出下列4个命题：①非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°； ②“a ·b ＞0”是“a ，b 的夹角为锐角”的充要条件；③将函数y ＝|x ＋1|的图象按向量a ＝(－1,0)平移， 得到的图象对应的函数表达式为y ＝|x ＋2|； ④在△ABC 中，若(AB ＋AC )·(AB －AC )＝0，则△ABC 为等腰三角形. 其中正确的命题是 .(注：把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2012·南宁模拟)已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－2(1)求函数的最小正周期. (2)求函数f(x)在区间[π，17π12]上的最大值和最小值. 18.(12分)已知向量m ＝(2cos 2x ，sinx)，n ＝(1,2cosx). (1)若m ⊥n 且0＜x ＜π，试求x 的值；(2)设f(x)＝m ·n ，试求f(x)的对称轴方程、对称中心.19.(12分)(2012·郑州模拟)在锐角三角形ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2sinB(2cos 2B2－1)＝－3cos2B.(1)求B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值.20.(12分)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足AP ＋2BP ＋3CP ＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，求证：CQ ＝2CP .21.(12分)已知点F(1,0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，设P(0，b)，M(a,0)且PM ·PF ＝0，动点N 满足2PN NM ＋＝0. (1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)F′为曲线C 的准线与x 轴的交点，过点F′的直线l 交曲线C 于不同的两点A 、B ，若D 为AB 的中点， 在x 轴上存在一点E ，使AB ·(AE －AD )＝0，求|OE |的取值范围(O 为坐标原点). 22.(12分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数. (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 4(a·2x－43a)，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.答案解析1.【解题指南】本题考查充分、必要条件，一元二次方程根的判定.先求出一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的条件，再分析与m<14的关系.【解析】选A.由“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”得：12－4m ≥0⇒m ≤14，则m<14是m ≤14的充分不必要条件.2.【解析】选B.由题意，f(x)＝4－x2|x －2|－2，由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x －2|≠2得函数f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2].∴－2≤x ≤2时，f(x)不一定有意义.故选B.3.【解析】选A.∵BC ＋CD ＝BD ＝AD －AB ＝(－1,0)， ∴a ＝－1，b ＝0，∴a ＋b ＝－1.4.【解析】选A.2sin(x ＋π4)cos(x －π4)＝2sin 2(x ＋π4)＝1－cos[2(x ＋π4)]＝1＋sin2x ，其最小正周期为π，又|P 2P 4|显然是一个最小正周期，故选A. 5.【解析】选C.tan α＝－12，则tan2α＝－43，原式＝tan2α＋24－4tan2α＝114.6.【解析】选C.(特殊值法)：对于f(1－x 1＋x )＝1－x21＋x 2，令x ＝0，代入其中有f(1)＝1. 经检验只有选项C 满足f(1)＝1. 【一题多解】(换元法)：选C.令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t ，所以f(t)＝1－(1－t 1＋t )21＋(1－t 1＋t )2＝2t1＋t 2，从而f(x)的解析式为f(x)＝2x 1＋x2. 7.【解析】选C.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－73＝－1＋3λ1＋λy ＝－6＋01＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8λ＝－14，故选C.8.【解题指南】设Q 点的坐标为(x ，y)，根据条件列出关于x 、y 的方程组. 【解析】选A.OP ＝(2,1)＋13(3，－6)＝(3，－1)，设Q 点的坐标为(x ，y)，则根据题意列方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0x 2＋y 2＝4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝105y ＝3105或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－105y ＝－3105.9.【解析】选D.令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x＝π12.本题也可用代入验证法来解. 10.【解析】选A.函数有意义，需使e x－e －x≠0，其定义域为{x|x ≠0}. 又因为y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x－1＝1＋2e 2x －1，所以当x ＞0时函数为减函数，故选A. 11.【解析】选C.OH ＝OA ＋OB ＋OC ⇒AH ＝OB ＋OC ， 取BC 的中点D ，则OB ＋OC ＝2OD ，∴AH ＝2OD . 又∵AH ⊥BC ，∴OD ⊥BC ， ∴点O 在BC 的中垂线上. 同理点O 在CA 、AB 的中垂线上， 所以点O 是△ABC 的外心.12.【解题指南】用已知模的向量AC 、BD 表示目标向量AB 、DC . 【解析】选C.由于AB ＝AC ＋CB ，DC ＝DB ＋BC ， 所以AB ＋DC ＝AC ＋CB ＋DB ＋BC ＝AC －BD .(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝(AC －BD )·(AC ＋BD )＝AC 2－BD 2＝9－4＝5.13.【解析】设(x ，y)为函数y ＝f(x)图象上任一点，点(x ′，y ′)为平移后的对应点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1y ′＝y －1，代入y ′＝x ′2－2x ′＋2，整理得y ＝x 2＋2.故所求函数的解析式为y ＝x 2＋2.答案：y ＝x 2＋2 14.【解析】∵sinx ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴tanx ＝－12，∴tan(x －π4)＝tanx －11＋tanx ＝－3.答案：－315.【解析】如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙船到C 点用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sinCAB ＝ACsinB ，∴1sinCAB ＝3sin120°， ∴sinCAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos120° ＝a 2＋a 2－2a 2·(－12)＝3a 2， ∴AC ＝3a. 答案：北偏东30°3a16.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当a ，b 的夹角为0°时，a ·b ＞0也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正确；④可得AB 2＝AC 2，即AB ＝AC ，正确.所以①③④正确.答案：①③④17.【解题指南】(1)利用降幂公式将f(x)化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最小正周期.(2)利用整体代换的思想求最值.【解析】(1)f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－2＝12sinx ＋1＋cosx2－2 ＝12(sinx ＋cosx)－32 ＝22sin(x ＋π4)－32， ∴最小正周期T ＝2πω＝2π.(2)由(1)知f(x)＝22sin(x ＋π4)－32，∵x ∈[π，1712π]，∴x ＋π4∈[54π，53π]，当x ＋π4＝32π，即x ＝54π时，f(x)有最小值，f(54π)＝－22－32.当x ＋π4＝54π，即x ＝π时，f(x)有最大值，f(π)＝－2.【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.18.【解析】(1)m ⊥n ⇒2cos 2x ＋2sinxcosx ＝0⇒cos2x ＋sin2x ＋1＝0⇒2sin(2x ＋π4)＝－1 ⇒sin(2x ＋π4)＝－22.∵0＜x ＜π，∴2x ＋π4∈(π4，9π4)，∴2x ＋π4＝5π4或7π4，∴x ＝π2或3π4.(2)由(1)得f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1， 令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，可得x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，即对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，令2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π8，k ∈Z.即对称中心坐标为(k π2－π8，0)，k ∈Z.19.【解析】(1)2sinB(2cos 2B2－1)＝－3cos2B⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－3， ∵0＜B ＜π2，∴0＜2B ＜π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)由(1)知B ＝π3，∵b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ≤3，∴△ABC 面积的最大值为 3. 20.【证明】∵AP ＝AQ ＋QP ，BP ＝BQ ＋QP ，∴(AQ ＋QP )＋2(BQ ＋QP )＋3CP ＝0， ∴AQ ＋3QP ＋2BQ ＋3CP ＝0， 又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， 故可设AQ ＝λBQ ，CP ＝μ QP ， ∴λ BQ ＋3QP ＋2BQ ＋3μ QP ＝0， ∴(λ＋2)BQ ＋(3＋3μ)QP ＝0.而BQ ，QP 为不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝03＋3μ＝0.∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP ＝－QP ＝PQ . 故CQ ＝CP ＋PQ ＝2CP .21.【解析】(1)P(0，b)，M(a,0)，设N(x ，y)， 由PM ·PF ＝0⇒a ＋b 2＝0，①由2PN ＋NM ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a －x ＝02(y －b)－y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－xb ＝12y.②将②代入①得曲线C 的轨迹方程为y 2＝4x.(2)由(1)得点F ′的坐标为(－1,0)，由题意知直线l 的斜率存在，故设直线l ：y ＝k(x ＋1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0Δ＞0⇒0＜k 2＜1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)， 则x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k，∵AB ·(AE －AD )＝0⇒AB ⊥DE ，故直线DE 的方程为y －2k ＝－1k (x －2－k 2k 2)，令y ＝0，得x E ＝1＋2k 2(0＜k 2＜1)⇒x E ＞3，即|OE |的取值范围是(3，＋∞).22.【解析】(1)由函数f(x)是偶函数可知：f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，∴log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－43a)有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x ＝a ·2x－43a 有且只有一个实根，令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根，①a ＝1⇒t ＝－34，不合题意；②a －1≠0且Δ＝0⇒a ＝34或－3，若a ＝34⇒t ＝－2，不合题意；若a ＝－3⇒t ＝12，③一个正根与一个负根，即－1a －1<0⇒a>1， 综上：实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).。