电磁场有限元-2009

这一整体矩阵又常常是稀疏短阵，可以更进一步简化和加快求解过程。由于 计算机非常适合于重复性的计算和处理过程，所以整体矩阵的形成过程很容易 使用计算机来实现，

2. 一维有限元法
以满足帕松方程的有源静电场为例：
2 -1 x 1 0.5 1 0 2 n x 0

2. 一维有限元法
整个问题的代数方程组：
K f b
5 5 1 0.1 5 10 5 0.2 2 3 0.3 5 7.5 2.5 2.5 7.5 5 4 0.3 5 5 5 0.1
2 2,3
k 012 11 . f
4 4,5
1 5 5 1 5 5 0.5 0.1 0.2 0.5 0.1

2. 一维有限元法
整体矩阵的封装
各单元系数矩阵按照节点编号次序，在整体矩阵的相应行列填充并相加即可

2. 一维有限元法
第e号单元局部系数矩阵的计算

k ie,i e k ij e k i 1,i
f ie bie k ie,i 1 f i e e bie e k ie1,i 1 f i 1 bi 1
e i 1 i 1 d
e e le 0
le
0
1 2 1 ( ) dt le le
q是问题的激励
f i e i qd
e
le t Leabharlann (1 )dt le 2le
f
e i 1
l t e i 1qd 1( )dt e 0 le 2

1. 有限元法
尝试函数j、i 两两作用，
上一讲，利用加权余数法和变分法将偏微分方程转化为代数方程组求解
K C f b
kij k ji j i d

f j＝ j q d

b j j h d
2
通过尝试函数的 选取，近似解满 足1类边界条件，
当单元足够多（剖分足够细）时每单元内的尝试函数可以非常简单，即： 尝试函数：在一维中有限元尝试函数为直线段；二维中为平面 (形函数) 任意单元内的形函数只与该单元节点坐标有关，与其它单元无关


2. 一维有限元法
某单元内尝试函数确定
i
1
i i i 1 i 1
i 1
i
i 1 i 1
1 1 k 1 1 1 2 e f i le 1 2 bie 0
e i , i 1

1 le
k
e i , i 1

2. 一维有限元法
f
e i
1 1 1 1 0.5 le 0.5 1 le
1 0.5 0.48 2 3 0.42 4 0.18
由于参考电位为0.5V，所 以1－4号节点计算值+0.5
1 1 0.98 2 3 0.92 4 0.68 5 0.5
称为有限元刚度矩阵，但不能直接求 解，需要消去1行、1列。这里消去第 5行、第5列

2. 一维有限元法
由边界条件对整个问题的代数方程组消元：
由问题的边界条件，第5 个节点电位为0.5V，已知，故消去该节点的方程：5 行5列。必有这一步，实际上原K矩阵行列式的值为0，本质上是找参考电位
5 5 1 0.1 5 10 5 0.2 2 5 7.5 2.5 3 0.3 2.5 7.5 4 0.3

k 55
4 4, 5

5 4 0.1 f 4, 5 5 0.1

5 5 5 5 5 5 k 5 5 2.5 2.5 2.5 2.5 5 5 5 5 0.1 0.1 0.1 f 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1
i
i 1
X i 1
Xi
(ei )
X i 1
X i2
t
e单元近似解： i i i 1 i 1
0
(ei )
le
任意单元内尝试函数的形式相同，只在单元内才不为0，构成的局部系数矩阵才对整体矩阵有 贡献 在单元外，尝试函数为0，即当i, j不属于同一单元时，构成的局部系数矩阵为0，只有当i, j 属于同一单元（或者说i，j相关）时，构成的局部系数矩阵才不为0，才对整体矩阵有 贡献。这样每个单元的计算分开、独立了，且每个单元的计算有是相同的、重复的， 便于计算机求解。
该矩阵方程包括系数矩阵、激励源矩阵和边界矩阵，而计算这些矩阵的元素 时，常常用到分部积分法。如果为了计算精度而选取很多个尝试函数，那么 计算这些为数众多的分部积分既十分复杂又很费时间，并且很难用计算机进 行数值计算。 因此，我们需要寻找一个改进的方法来简化计算，并设法利用计算机进行处 理，有限元法就是其中的一种。
i i
X i 1
Xi
(ei )
X i 1
1
X i2
X i 1
Xi
(ei )
i 1
X i 1 X i2
X i 1
Xi
(ei )
X i 1
X i2

2. 一维有限元法
某单元内尝试函数的表达（局部坐标表示时）
1
1
t i ( t ) 1 l e ( t ) t i 1 le
f j＝ j q d


i 1
b j j h d
2
f j＝ e j qd f je
e e 1 N
N
N

i 1 N
b j＝ e j hd b e j
e e 1

i 1

2. 一维有限元法
e k ij e j i d e

2. 一维有限元法
单元化后，整体场域积分转化为局部 单元求和，且每个单元可独立处 理
K C f b
k ij k ji j i d

kij j i d

N e e j i d kij e e 1 N

2. 一维有限元法
本例，场域分割成4个单元，5个节点， 求场域内电势分布，转化为求5个节点的 电位即可。 场域内其它点（各单元内）的电位，由5 个节点电位来插值表示。(一阶插值、高 阶插值)
对一 维场域来说，单元就是一个线段； 对二维场域，有限元单元形状可为二角 形、矩形等，单元形状对有限元的简化 有影响，通常为三角形
局部系数矩阵元素的计算
k e i i d
e i ,i e
le
0
1 2 1 ( ) dt le le
le
k k
e i ,i 1
1 1 1 e i 1 i d ( )( )dt 0 le le le
e
e i 1,i 1


e k ij e j i d e t i (t ) 1 le e e f j e j qd ( t ) t b e e j h d e i 1 le j
i
t 1 (1 ) t le le
t 1 i 1 ( ) t le le

2. 一维有限元法
t i (t ) 1 le ( t ) t i 1 le
i
t 1 (1 ) t le le t 1 ( ) t le le
i 1
e

2. 一维有限元法
局部系数矩阵的计算 任意单元e的局部系数矩阵，只与该单元的 长度（坐标）有关，与其它单元无关，矩阵 的i,i+1的行列上有值，其它位置为0。 其它所有单元的系数矩阵结构形式完全相同， 只是不同单元的长度le不同而已。 这样极便于计算机作重复计算。


局部单元系数矩阵相加就可构成整个问题的 整体系数矩阵（称为封装）
{K f b }
e e e

2. 一维有限元法
重新确定尝试函数的思想 尝试函数本质上是在场域内对真解的近似。 以前的尝试函数是针对整个场域来选取的（随意性大，有技巧经验因素）

现在整个场域被剖分为N个单元，每个单元内的真解由该单元尝试函数线性 组合来近似，（即尝试函数也局部化，）
2

2. 一维有限元法
由对称性，将上述问题化为一维问题，用有限元方法求解
场域单元化 （剖分） 场域(0，1)分割成四个“单元”，e1、e2、 e3、e4。 单元大小和数量与精度和计算量有关。 为处理复杂场域和激励源带来极大方便。
作为一种数值计算方法，有限元法并非用来寻求问题的解析解。实际上，很多工程问题目 前都无法找到解析解。有限元的作用就在于求解分布场的势函数在每个节点上的值，而势 函数在单元的其它位置的值可用插值来表示：如果采用线性捅值的方法来表示分布势函数， 则称为一阶有限元法，如果采用高阶插值法表示分布势函数，则称为高阶有限元法，通常 一阶插值即可。
本例中局部系数矩阵
k 012 11 .
1 1, 2
f
1 1, 2 2 2,3
1 5 5 1 5 5 0.5 0.1 0.2 0.5 0.1 1 5 5 1 5 5 0.5 0.1 0 .2 0.5 0.1