初等数学模型
本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法
复习要求
1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。
类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.
利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.
1．雨中行走问题
雨中行走问题的结论是：
（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即2
0π
θ≤
≤，那么全身被淋的雨水总量为
?
?
?
??++=++=
+=h v hr dr pwD v r h dr v
pwD C C C θθθθcos sin )]
cos (sin [21
这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.
（2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2
. 令απθ+=2
，则2
0π
α<<. 那么全身被淋
的雨水总量为
??
?
??+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),(
这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.
从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。
有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的.
另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.
例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O
（如
图2-1）的东偏南)10
2(cos =
θθ方向300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向
西偏北?45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km ，并以10km /h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受 到台风的侵袭？
问题分析与假设
1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵 袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心p
（动点）为圆心的圆的半径r ，这个圆的半径划过的区域自然是侵 袭范围.
2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北?45，速度为20km /h ，而当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大，即半径的增加
速度为t t r 1060)(+=，t 为时间.于是只要6010+≤t p o ，便是城 图2-1 市O 受到侵袭的开始.
模型I 如图2-2建立坐标系：以O 为原点，正东方向 为x 轴正向.在时刻t (h )台风中心),(y x P 的坐标为
??
?
???
??+?-=?-?
=.22201027300,2
2
20102300t y t x 此时台风侵袭的区域是
,)]([)()(2
2
2
t r y y x x ≤-+-
其中r (t )=10t +60. 图2-2
若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有
,)6010()0()0(2
2
2
+≤-+-t y x
即 ,)6010()2
22010
27300()2
22010
2300(2
22
+≤?
+?
-+?
-?
t t t
整理可得 ,0288362
≤+-t t
由此解得 12≤t ≤24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
模型II 设在时刻t (h )台风中心为P （如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t +60，因此，若在时刻t 城市O 受到台风侵袭，应有
6010+≤t P O
由余弦定理知
.cos 22
2
2
P OP PO P P PO
P
P P
O ∠??-+=
注意到 t P P OP 20,300==
,
5
42
210
212210
245sin sin 45cos cos )45cos(cos 2
=
?
-
+
?
=
?
?+??=?-=∠θθθP OP
故
.
30096002054300202300
)20(2
2
2
2
22
+-=?
??-+=t t t t P
O
因此 .)6010(3009600202
2
22+≤+-t t t
即 0288362≤+-t t 解得 .2412≤≤t
2．动物的身长与体重问题
在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，
（1）问题分析
众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.
类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法.
类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系.
（2）模型假设与求解
我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似.
为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l 、直径为d 、断面面积为S （如图2—3）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.
设动物在自身体重（记为f ）的作用下，躯干的最 大下垂度为b ，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的 研究，可以知道 2
3Sd
fl b ∝
.
又由于∝f Sl (体积)，于是
2
3d
l l
b ∝
.
b 是动物躯干的绝对下垂度，b /l 是动物躯干的相对下垂度.b /l 太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b /l
图2—3
太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b /l 已经达到其最适宜的数值，换句话说，b /l 应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此
2
3
d l ∝，
又由于2,d S Sl f ∝∝,故
4
4
,kl f l f =∝从而.
即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k 后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了.
（3）模型评注
在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题.
例2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性
质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.
情形1 已知：ABC ?中，?=∠90C ，AC =BC =1，BD 是AC
边上的中线，E 点在AB 边上，且BD ED ⊥.求DEA ?的面积.
如图2-4，引BA CF ⊥，易证24/1=?DEA S
类比 若去掉情形1中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？
由此想到 图2-4
情形2 已知ABC ?中(图2-5)，A B C ∠=∠=∠44，BD 是 AC 边上的中线，E 点在AB 上，且
C AE
D ∠=∠，1=?ABC S ，求A
E D
S ?. 类似情形1的证法，易证得12/1=?AED S ；当2/1=?ABC S 时， 24
/1=?AED S ，与情形1结果相同.
图2-5
类比 若保留情形1中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到.
情形3 已知ABC ?中?=∠90C ，AC =2BC =2，BD 是AC 边上中线，AB CF ⊥交BD 于H ，求CBH S ?.
同样可证6/1=?CBH S .这里，若在情形3中令AC =2BC =1，也有24/1=?ADE S ，与情形1结论相同；情形3是由情形1类比而来，最自然的想法是求ADE S ?，为了增加变换方式获得新命题，本情形求的是CBH S ?.
3．实物交换问题
实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案.
下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交 换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等 价交换.
不失一般性，设交换前甲占有数量为x 0的物品X ， 乙占有数量为y 0的物品Y ；交换后甲所占有的物品X ， Y 的数量分别记为x ,y ；单位数量的物品X ，Y 的价值 （价格）设为p 1,p 2.由等价交换准则，x ,y 满足方程 ,0,0,)(00201y y x x y p x x p ≤≤≤≤=-
容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换
准则。在等价交换准则下双方均满意的交换方案必是此直线与曲线AB 的交点（如图2—6）.
无差别曲线概念的提出是用图形方法建立实物交换模型的基础，确定这种曲线需要收集大量的数据，还可以研究无差别曲线的解析表达式及其性质.
例3 消费者的选择
在本章中讨论实物交换模型时，引进了无差别曲线描述人 们对两种物品的满意和偏爱程度，用图形的方法确定两个人进 行实物交换时应遵循的途径. 本例要利用无差别曲线族的概念 讨论，一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时应作怎样 的选择，即他应该分别用多少钱去买这两种商品.
记甲乙两种商品的数量分别是q 1和q 2，当消费者占有它们 时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，用q 1、q 2 的 函数，记作U （q 1,q 2），经济学中称为效用函数（Utility function ）. 图2-7
U （q 1,q 2）=c （常数）的图形就是无差别曲线族，如图2-7是一族单调降、下凸、互不相交的曲线.在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数U （q 1,q 2）的值不变.而随着曲线向右上方移动，U （q 1,q 2）的值增加（图中l 2上的U 值高于l 1上的U 值）.曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况.这里假定消费者的效用函数U （q 1,q 2），即他的无差别曲线族已经完全确定了.
设甲乙两种商品的单价分别是p 1和p 2（元），消费者有s (元)钱.当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，应该使效用函数U （q 1,q 2）达到最大，即得到最大的满意度.经济学上称这种最优状态为消费者平衡.
因为当消费者对两种商品的购买量分别为q 1和q 2时，他用的钱分别为p 1q 1和p 1q 2，于是问题归结为在条件
p 1q 1+p 2q 2=s (2.1)
下求比例p 1q 1/p 2q 2，使效用函数U （p 1,q 2）达到最大.
这是二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘子法不难得到最优解应满足
2
12
1
p p q u q u =???? （2.2）
图2—6
当效用函数U （q 1,q 2）给定后，由（2.2）式即可确定最优比例p 1q 1/p 2q 2.
上述问题也可用图形法求解.约束条件（2.1）在该图上是一条直线MN.MN 必与无差别曲线族U （q 1,q 2）=c 中的某一条曲线相切（图中是与l 2相切），则q 1,q 2的最优值必在切点Q 处取得.
图解法的结果与（2.2）式是一致的.因为在切点Q 处直线MN 与曲线l 2的斜率相同，而MN 的斜率是K MN =- p 1/p 2，l 2的斜率是2
1
1
22
q U q U dq dq K l ????-
==
，在Q 点处2
l MN K K =，即给出（2.2）式.
经济学中
1
q U ??，
2
q U ??称为边际效用，即商品购买量增加一个单位时效用函数的增量.（2.2）式表
明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的价格之比时达到.
从以上讨论可见，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数U （q 1,q 2）.下面列举几个常用的效用函数，并分析消费者均衡状态，即最优比例p 1q 1/p 2q 2的实际含义.
（1）若效用函数为
0,,),(2
12
121>+=
βαβαq q q q q q U （2.3）
根据（2.2）式可以求得最优比例p 1q 1/p 2q 2为
2
12
211αp βp q p q p =
（2.4）
结果表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例，与商品价格比的平方根成正比.同时与效用函数U （q 1,q 2）中的参数α、β有关：α越大购买商品甲的钱越少，β越大购买商品甲的钱越多.这说明在（2.3）式给出的效用函数中，参数β和α分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度.于是调整β和α可以改变消费者对两种商品的爱好倾向，或者说可以改变无差别曲线的具体形状.
（2）若效用函数为
1,0,),(2121<<=μλμ
λ
q q q q U （2.5）
根据（2.2）式可以求得最优比例p 1q 1/p 2q 2为
μ
λ=
2
211q p q p （2.6）
这表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例与价格无关，而参数λ和μ分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度.
（3）设效用函数为
0,,)(),(2
2121>+=b a q b q a q q U （2.7）
对（2.7）式的求解及结果分析留给读者.
应用这个模型时，可以根据上面的分析决定选用哪一种形式的效用函数，并由经验数据确定其参数.
4．代表名额的分配问题：
（1）问题的提出
分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代
表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题.代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型.一个自然的问题是如何分配代表名额才是公平的呢？
（2）模型的分析与建立
在数学上，代表名额分配问题的一般描述是：设名额数为N ，共有s 个单位，各单位的人数分别为p i ,i =1,2,…,s .问题是如何寻找一组整数q 1,…,q s 使得q 1+q 2+…+ q s =N ，其中q i 是第i 个单位所获得的代表名额数，并且“尽可能”地接近它应得的份额p i N /(p 1+p 2+…+p s )，即所规定的按人口比例分配的原则.
如果对一切的i =1,2,…,s ，严格的比值)/(1
∑=s
i i i p N p 恰好是整数，则第i 个单位分得q i 名额，这
样分配是绝对公平的，每个名额所代表的人数是相同的.但由于人数是整数，名额也是整数，q i 是整数这种理想情况是极少出现的，这样就出现了用接近于q i 的整数之代替的问题.在实际应用中，这个代替的过程会给不同的单位或团体带来不平等，这样，以一种平等、公正的方式选择q i 是非常重要的，即确定尽可能公平（不公平程度达到极小）的分配方案.
设某校有3个系（s =3）共有200名学生，其中甲系100名（p 1=100），乙系60名（p 2=60），丙系40名（p 3=40）.该校召开学生代表大会共有20个代表名额（N =20），公平而又简单的名额分配方案是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三个系分别应占有q 1=10,q 2=6,q 3=4个名额.这是一个绝对公平的分配方案.现在丙系有6名同学转入其他两系学习，这时p 1=103,p 2=63,p 3=34，按学生人数的比例分配，此时q i 不再是整数，而名额数必须是整数，一个自然的想法是：对q i 进行“四舍五入取整”或者“去掉尾数取整”，这样将导致名额多余或者名额不够分配.因此，我们必须寻求新的分配方案.
Hamilton (哈密顿)方法
哈密顿方法具体操作过程如下：
① 先让各个单位取得份额q i 的整数部分[q i ]；
② 计算r i =q i -[q i ]，按照从大到小的数序排列，将余下的席位依次分给各个相应的单位，即小数部分最大的单位优先获得余下席位的第一个，次大的取得余下名额的第二个，依此类推，直至席位分配完毕.
上述三个系的20个名额的分配结果见表2—1.
哈密顿方法看来是非常合理的，但这种方法也存在缺陷.譬如当s 和人数比例)/(1
∑=s
i i i p N p 不变
时，代表名额的增加反而导致某单位名额q i 的减少.
表2—1 按哈密顿方法确定的20个代表名额的分配方案
考虑上述某校学生代表大会名额分配问题.因为有20个代表参加的学生代表大会在表决某些提案时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加一个名额.按照哈密顿方法分配结果见表2—2.
表2—2
显然这个结果对丙系是极其不公平的，因为总名额增加一个，而丙系的代表名额却由4个减少为3个.
由此可见，哈密顿方法存在很大缺陷，因而被放弃.20世纪20年代初期，由哈佛大学数学家Huntington （惠丁顿）提出了一个新方法，简述如下.
Huntington （惠丁顿）方法
众所周知，p i /n i 表示第i 个单位每个代表名额所代表的人数.很显然，当且仅当p i /n i 全相等时，名额的分配才是公平的.但是，一般来说，它们不会全相等，这就说明名额的分配是不公平的，并且p i /q i 中数值较大的一方吃亏或者说对这一方不公平.同时我们看到，在名额分配问题中要达到绝对公平是非常困难的.既然很难作到绝对公平，那么就应该使不公平程度尽可能的小，因此我们必须建立衡量不公平程度的数量指标.
不失一般性，我们考虑A ，B 双方席位分配的情形（即s =2）.设A ，B 双方的人数为p 1,p 2，占有的席位分别为n 1,n 2，则A ，B 的每个席位所代表的人数分别为p 1/n 1，p 2/n 2，如果p 1/n 1=p 2/n 2，则席位分配是绝对公平的，否则就是不公平的，且对数值较大的一方不公平.为了刻划不公平程度，需要引入数量指标，一个很直接的想法就是用数值|p 1/n 1-p 2/n 2|来表示双方的不公平程度，称之为绝对不公平度，它衡量的是不公平的绝对程度.显然，其数值越小，不公平程度越小，当|p 1/n 1-p 2/n 2|=0时，分配方案是绝对公平的.用绝对不公平度可以区分两种不同分配方案的公平程度，例如：
,2.4,
11,100,9,120221
12211=-====n P n P n p n p
,2,
10,100,10,1202
21
12211=-
====n P n P n p n p
显然第二种分配方案比第一种更公平.但是，绝对不公平度有时无法区分两种不公平程度明显不同的情况：
,2,
10,100,10,1202
21
12211=-====n P n P n p n p
,2,
10,10000,10,100202
21
12211=-
====n P n P n p n p
第一种情形显然比第二种情形更不公平，但它们具有相同的不公平度，所以“绝对不公平度”不是一个好的数量指标，我们必须寻求新的数量指标.
这时自然想到用相对标准，下面我们引入相对不公平的概念.如果p 1/n 1>p 2/n 2，则说明A 方是吃亏的，或者说对A 方是不公平的，称
1),(1
2212
22
21
1
21-=-=
n p n p n p n p n p n n r A
为对A 的相对不公平度；如果p 1/n 1
1),(2
1121
11
12
2
21-=-=
n p n p n p n p n p n n r B
为对B 的相对不公平度.
相对不公平度可以解决绝对不公平度所不能解决的问题，考虑上面的例子：
,
10,
10000,
10,10020,
10,
100,10,
12022112211========n p n p n p n p
显然均有p 1/n 1>p 2/n 2，此时
002.0)10,10(,2.0)10,10(2
1
==A A r r
与前一种情形相比后一种更公平.
建立了衡量分配方案的不公平程度的数量指标r A ，r B 后，制定分配方案的原则是：相对不公平度尽可能的小.
首先我们作如下的假设：
（1）每个单位的每个人都具有相同的选举权利；
（2）每个单位至少应该分配到一个名额，如果某个单位，一个名额也不应该分到的话，则应将其剔除在分配之外；
（3）在名额分配的过程中，分配是稳定的，不受任何其他因素所干扰.
假设A ，B 双方已经分别占有n 1，n 2个名额，下面我们考虑这样的问题，当分配名额再增加一个时，应该给A 方还是给B 方，如果这个问题解决了，那么就可以确定整个分配方案了，因为每个单位至少应分配到一个名额，我们首先分别给每个单位一个席位，然后考虑下一个名额给哪个单位，直至分配完所有名额.
不失一般性，假设p 1/n 1>p 2/n 2，这时对A 方不公平，当再增加一个名额时，就有以下三种情形： 情形1：p 1/（n 1+1）>p 2/n 2，这表明即使A 方再增加一个名额，仍然对A 方不公平，所以这个名额应当给A 方；
情形2：p 1/（n 1+1）
1)1(),1(2
11221-+=
+n p n p n n r B ；
情形3：p 1/n 1>p 2/(n 2+1)，这表明B 方增加一个名额后，对A 方更加不公平，这时对A 的相对不公平度为
1)1()1,(1
22121-+=
+n p n p n n r A .
公平的名额分配方法应该是使得相对不公平度尽可能的小，所以若情形1发生，毫无疑问增加的名额应该给A 方；否则需考察r B (n 1+1,n 2)和r A (n 1,n 2+1)的大小关系，如果r B (n 1+1,n 2) 注意到r B (n 1+1,n 2) )1() 1(112 1 222 2 +< +n n p n n p ， 而且若情形1发生，仍然有上式成立.记 ) 1(2 += i i i i n n p Q ， 则增加的名额应该给Q 的值较大的一方. 上述方法可以推广到s 个单位的情形，设第i 个单价的人数为p i ，已经占有n i 个名额，i =1,2,…，s ，当总名额增加一个时，计算 ) 1(2 += i i i i n n p Q ， 则这个名额应该分给Q 值最大的那个单位. 表2—3是利用惠丁顿法重新分配三个系21个名额的计算结果.丙系保住了险些丧失的一个名额. 表2—3 惠丁顿法分配21个名额的结果 （3）模型评注 名额（席位）分配问题应该对各方公平是理所当然的，问题的关键是在于建立衡量公平程度的即合理又简明的数量指标.惠丁顿法所提出的数量指标是相对不公平值r A ，r B ，它是确定分配方案的前提.在这个前提下导出的分配方案—分给Q 值最大的一方—无疑是公平的.但这种方法也不是尽善尽美的，这里不再探讨. 5．森林救火模型 森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往 的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？ （1）问题分析 如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小. 救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支 出，只与队员人数有关. 设火灾发生时刻为t =0，开始救火时刻为t =t 1，灭火时刻为t =t 2，t 时刻森林烧毁面积为B （t ），则造成损失的被烧毁的森林的面积为B （t 2），而 dt dB 是森林被烧毁的速度， 也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而B （t ）应是时间t 的单调非减的函数，即 20,0t t dt dB ≤≤≥.从火灾 发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即 12 2 0,0t t dt B d ≤≤≥. 开始救火以后，即21t t t ≤≤时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即 2122 ,0t t t dt B d ≤≤≤，并且当 t =t 2时， =dt dB . 在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度dt dB 作出 合理的假设. （2）模型假设 ① 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的； ② 损失费与森林烧毁面积B （t 2）成正比，比例系数为c 1，即烧毁单位面积的损失费为c 1； ③ 从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度dt dB 与时间t 成正比，比例系数为 β，称之为火势蔓延速度，即 ; 0,1t t t dt dB ≤≤=β ④ 派出消防队员x 名，开始救火以后（1t t ≥），火势蔓延速度降为x λβ-（线性化），其中λ可视为每个队员的平均灭火速度，且有x λβ<，因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制； ⑤ 每个消防队员单位时间费用为c 2（包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t 2-t 1，于是每个队员的救火费用为c 2(t 2-t 1)；每个队员的一次性支出为c 3(运送队员、器材等一次性支出). 对于假设3可作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r 与时间t 成正比，又因为烧毁面积B 与r 2成正比，故B 与t 2成正比，从而dt dB 与t 成正 比. （4）模型建立 总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森林损失费等于烧毁面积B （t 2）与单 位面积损失费c 1的积，即c 1B (t 2)；由假设5，救援费为c 2x (t 2-t 1)+c 3x ，因此，总费用为 x c t t x c t B c x C 312221)()()(+-+=. 由假设3，4，火势蔓延速度 dt dB 在10t t ≤≤内线性地增加，t 1时刻消防队员到达并开 始救火，此时火势用b 表示，而后，在21t t t ≤≤内，火势蔓延的速度线性地减少（如图2—6），即 ???≤≤--≤≤=, ), )((0, 2121t t t t t x t t t dt dB βλβ 因而有 β λβ-= -=x b t t t b 121,. 烧毁面积为 ? = = 2 22,2 1)(t bt dt dt dB t B 恰为图2—6中三角形的面积. 图2—6 dt dB 与时间t 的关系 由b 的定义有))((121t t x t b --==βλβ，于是 ,, 212β λββλ-+ = -= -x b b t x b t t 所以 x c x b x c x b b bc x C 321)( 21)(+-+-+ = β λβ λβ ， 其中只有派出的消防队员的人数是未知的. 问题归结为如下的最优化问题： ???? ?>->. 0..)(min 0 βλx t s x C x （5）模型求解 这是一个函数极值问题.令 0=dx dC ，容易解得 λ βλ βλ+ += 2 322 122c b c b c x . （6）模型分析与改进 ① 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，其中 λ β 是为了把火扑灭所必须 的最低限度,因为β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理的. ②派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭火速度λ和救援费用系数c3增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及损失费用系数c1增加时，消防队员人数增加；当救援费用系数β增大时，队员人数也增大. ③改进方向： i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势、消防队员的体力有关； iii 对不同种类的森林发生火灾，派出的队员数应不同，虽然β（火势蔓延速度）能从某种程度上反映森林类型不同，但对β相同的两种森林，派出的队员也未必相同； iv 决定派出队员人数时，人们必然在森林损失费和救援费用之间作权衡，可通过对两部分费用的权重来体现这一点。 §16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理 性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的 1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。 一、摘要 内容： （1）用1、2句话说明原问题中要解决的问题； （2）建立了什么模型（在数学上属于什么类型），建模的思想（思路），模型特点； （3）算法思想（求解思路），特色； （4）主要结果（数值结果，结论）；（回答题目的全部“问题”） （5）模型优点，结果检验；模型检验，灵敏度分析，有无改进，推广 要求 （1）特色和创新之处必须在这里强调； （2）长度 （3）要确保准确、简明、条理、清晰、突出特色和创新点； 二、问题的提出 内容： 用自己的语言阐述背景，条件，要求；重点列出‘问题’也即要求； 要求： （1）不是题目的完整拷贝 （2）根据自己的理解，用自己的语言清楚简明的阐述背景、条件和要求； 三、条件假设 内容 （1）根据题目中的条件做出假设 （2）根据题目中的要求做出假设； 要求 （1）合理性最重要； （2）假设合理且全面，但不欣赏罗列大量的无关假设，关键性假设不能缺； （3）合理假设作用： 简化问题，明确问题，限定模型的适用范围 四、符号约定 五、问题分析 1．名词解释 2．问题的背景分析 3．问题分析 六、模型建立 抽象要求 （1）模型的主要类别：初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、统计预测模型、 优化模型、决策模型、图论模型等 （2）几种常见的建模目的：（对应相对（1）的方法） 描述或解释现实世界的各类现象，常采用机理型分析方法，探索研究对象的内在规律性； 预测感兴趣的时间爱你是否会发生，或者事物的房展趋势，常采用数理统计或模拟的方法； 优化管理、决策或者控制事物，需要合理地定义可量化的评价指标及评价方法； （3）建模过程常见的几个要点： 模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、建立数学表达式； （4）模型的要求： 明确、合理、简洁、具有一般性； 例如：有些论文不给出明确的模型，只是就赛题所给的特殊情况，用凑得方法给出结果，虽然结果大致对，但缺乏一般性，不是建模的正确思路；（（与第三点对应）） （5）鼓励创新，特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 （6）避免出现罗列一系列的模型，又不做评价的现象； 具体要求： （1）基本模型：首先要有数学模型：数学公式、方案等；基本模型，要求完整，正确，简明（2）简化模型：要明确说明，简化思想，依据；简化后的模型尽可能给出； 七、模型求解 每一块内容包括：计算方法设计或选择、算法设计或选择、算法思想依据、步骤及实现、计算框图、所采用的软件名称 写作要求： 1、需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密 2、需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称 3、计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出 4、设法算出合理的数值结果 5、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 6、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进 7、题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出 8、列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据 9、结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析 ▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式 ▲求解方案，用图示更好 10、必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确 内容 （1）算法设计或选择，算法的思想依据，步骤； （2）引用或建立必要的数学命题和定理； （3）在不能给出精确解的情况下，需要给出不知一种解法（算法），并进行测试比较，给出 《数学模型》考试大纲 适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业 一、课程性质与目的要求 数学模型课亦称为数学建模课，它是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业必修课或限选课，教育部1998年颁布的高等学校本科专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课。数学模型是架于实际问题与数学理论之间的桥梁。数学模型就是应用数学语言和方法，对于现实世界中的实际问题进行抽象、简化和假设所得到的数学结构。本课程是研究数学建模的理论、思想和方法，研究建立数学模型、简单的优化模型、数学规划模型、微分方程模型、代数方程与差分方程模型、稳定性模型、离散模型、概率模型等。 数学模型课需要用到数学分析、高等代数、微分方程、图论、概率统计、运筹学等数学知识，它是学生所学数学知识的综合应用，是培养学生综合素质以及应用数学知识解决实际问题的能力的良好课程。该课程的考试评价依据是按照课程目标、教学内容和要求，把握合适的难易程度出试卷，用笔试的方法对学生学习情况和学习成绩做出评价。 二、课程内容和考核要求 第一章建立数学模型 １、考核知识点： 数学建模的背景及重要意义、数学模型与数学建模、数学模型的分类与特点、数学建模的基本方法和步骤、数学建模举例等。 ２、考核要求： （1）理解数学建模的背景及意义、原型、模型、数学模型、数学建模等概念。 （2）理解数学模型的各种分类、数学模型的特点。 （3）理解数学建模的基本方法和步骤、通过实例初步了解数学建模的思想和方法。 第二章简单的优化模型 １、考核知识点： 存储模型、生猪的出售时机、森林救火、冰山运输等。 ２、考核要求： （1）掌握应用微积分理论建立存储问题模型。 （2）理解应用微积分理论建立生猪的出售时机模型和森林灭火模型。 （3）理解应用微积分理论建立冰山运输问题模型。 第三章数学规划模型 １、考核知识点： 数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤、生产安排问题、奶制品的生产与销售等。 ２、考核要求： （1）掌握数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤。 （2）掌握生产安排问题的模型及图解法。 （3）理解奶制品的生产与销售的模型及求解。 第四章微分方程模型 １、考核知识点： 传染病模型、正规战与游击战、药物在体内的分布与排除、香烟过滤嘴的作用等。 ２、考核要求： （1）理解传染病问题的建模及讨论。 （2）理解战争问题、房室问题的建模及讨论。 （3）了解香烟过滤嘴作用问题的建模及讨论。 第五章代数方程与差分方程模型 １、考核知识点： 量纲、量纲齐次原理、量纲分析法、差分方程的基本概念、市场经济中蛛网模型、节食与运动问题等。 ２、考核要求： （1）掌握量纲、量纲齐次原理、量纲分析法建模及解法步骤。 （2）掌握市场经济中蛛网模型及解法步骤。 （3）理解理解差分方程的基本概念、减肥问题的建模思想。 第六章稳定性模型 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）元胞自动机 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 以上为各类算法的大致介绍，下面的内容是详细讲解，原文措辞详略得当，虽然不是面面俱到，但是已经阐述了主要内容，简略之处还望大家多多讨论。 1、蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。 可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤： 构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 例：蒲丰氏问题 为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式： 数学模型按照不同的分类标准有许多种类： 1.按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型。概率模型，最优控制模型，规划论模型，马氏链模型。 2.按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分，有人口模型，交通模型，经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分，有预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。 数学建模的十大算法： 蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。） 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。） 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lingo、lingdo软件实现）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。） 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认得是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。） 图像处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab来处理问题。） 数学建模方法 统计：1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化：5.优化与控制 预测与预报 ①灰色预测模型（必须掌握） 满足两个条件可用： a数据样本点个数少，6-15个 b数据呈现指数或曲线的形式 ②微分方程预测（备用） 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式 实验02 初等模型（4学时） （第2章初等模型） 1.（编程）光盘的数据容量p23~27 表1 3种光盘的基本数据 CAV光盘：恒定角速度的光盘。 CLV光盘：恒定线速度的光盘。 R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1。 CLV光盘的信息总长度(mm) L CLV 22 21 () R R d π- ≈ CLV光盘的信息容量(MB) C CLV = ρL CLV / (10^6) CLV光盘的影像时间(min) T CLV = C CLV / (0.62×60) CAV光盘的信息总长度(mm) L CAV 2 2 2 R d π≈ CAV光盘的信息容量(MB) C CAV = ρL CAV / (10^6) CAV光盘的影像时间(min ) T CAV = C CAV / (0.62×60) 1.1（验证、编程）模型求解 要求： ①（验证）分别计算出LCLV, CCLV和TCLV三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。 程序如下： ②（编程）对于LCAV, CCAV和TCAV，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。 ★要求①的程序的运行结果： ★要求②的程序及其运行结果： 1.2（编程）结果分析 信道长度LCLV 的精确计算：21 2R CLV R L d π=? 模型给出的是近似值：2221() CLV R R L L d π-= ≈ 相对误差为：CLV L L L δ-= 要求： ①取R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1（题1）。 分别计算出LCLV, L和delta三个3行1列的列向量，仍后将它组合起来输出一个3行3列的结果。 ②结果与P26的表2和P27（教材）的结果比较。 [提示] 定积分计算用quad、quadl或trapz函数，注意要分别取d的元素来计算。要用数组d参与计算，可用quadv（用help查看其用法）。 ★编写的程序和运行结果： 程序： 1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜 坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周 最经典的数学模型 怎样得到最好的女孩子的数学模型 【关键词】怎样得到最好女孩子数学模型 由于老天爷在你的生命中安排的异性并不是同时出现任你挑选，因此无论你在何时选择结婚都是有机会成本的。 人们常常希望能够获得一个最可爱的人作为自己的伴侣。但是，由于老天爷在你的生命中安排的异性并不是同时出现任你挑选，因此无论你在何时选择结婚都是有机会成本的。也许你很早就结婚了，但是结婚之后却又不断发现还有不少更好更适合结婚的异性，这就是结婚太早的机会成本。那么，是不是晚一点结婚就可以避免这个问题呢？不是的！当结婚太晚，你错过最好的异性的可能性也就更大。那么，一个人究竟应采取什么样的策略才能最大可能地遇到最适合的异性，从而使结为伴侣的机会成本最低呢？我们不妨建立一个模型来考察。 假设你是一个男孩子，而老天爷在你20岁到30最之间安排了20位适合你的女孩子。这些女孩子都愿意作为你的伴侣，但是你只能选择其中的一位。对于你来说，这20位女孩子的质量是可以排序的，也就是说事后你可以对她们的质量排名，质量排第一的对你来说就是最好的，排第20的对你来说就是最差的。可惜的是，由于20位女孩不是同时出现在你的生命中，而是按时间先后出现，每出现一个你都要决定是否留下她或拒绝她。如果留下她则她成为你的伴侣，你将再没有权利选择后面的女孩子；如果拒绝她，则你还可以选择后面的女孩子，但是对前面已经拒绝的女孩子将没有机会从头再来。 20个女孩子的排名虽然可以在事后决定，但是在观察完20个女孩子之前，你并不知道全部女孩子的排名，你只知道已经观察过的女孩子谁比谁会更好。而且，上帝是完全随机地安排每个时间段出现的女孩子的，也就是说出现时间的先后与女孩子的质量是完全没有关系的。那么，你应该在什么时候决定接受一个女孩子，并且使得被接受那个女孩子属于最好女孩的概率最大呢？ 当然，你完全可以在碰到第一个女孩子时就接受她。她确有可能刚好就是最好的，但也有可能是最差的。当你接触到第二个女孩子，你可以知道她和第一个女孩子谁更好，但却不知道她们与剩下的18个女孩比又如何——前两个分别是最差的、次差的概率当然有，但前两个刚好是最好的、次好的可能性也是存在的，其他的概率情况也是有的。看来，你要尽可能挑到最好的女孩做伴侣还真是费神哦。 现在让我们来设计几种挑选策略，以便在不确定性中尽可能找到最好的女孩子。 策略1：事先抽签，抽到第几个就第几个。比如，抽到第10位，那么第10个在你生命中出现的女孩就事前被确定为你的伴侣。而她刚好是最好的女孩之概率是多少呢？答案是1/20=0.05。这种策略使你有5%的可能性获得最好的女孩。这样的概率显然太小，很难发生。 策略2：把全部女孩分成前后两段，最先出现的10位均不接受，但了解了这10位女孩的质量，然后在后来出现的10位女孩当中，第一次碰到比以前都可爱的女孩子，就立马接受。这是一种等一等、看一看的策略。这样的策略中，你得到最好的女孩子的概率是 数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有 初等数学模型 本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法 复习要求 1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构. 利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽. 1．雨中行走问题 雨中行走问题的结论是： （1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即2 0π θ≤ ≤，那么全身被淋的雨水总量为 ? ? ? ??++=++= +=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )] cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑. （2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2 . 令απθ+=2 ，则2 0π α<<. 那么全身被淋 的雨水总量为 ?? ? ??+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量. 从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。 有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的. 另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要. 例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如 数学建模有下面十种常用算法, 可供参考： 1.蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问 题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数 据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多 数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4.图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算 法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算 法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些 问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7.网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很 多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8.一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计 算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9.数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分 析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10.图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中 也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理） 数学建模实验答案初等 模型 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 实验02 初等模型（4学时） （第2章初等模型） 1.（编程）光盘的数据容量p23~27 表1 3种光盘的基本数据 CAV光盘：恒定角速度的光盘。 CLV光盘：恒定线速度的光盘。 R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1。 CLV光盘的信息总长度(mm) L CLV 22 21 () R R d π- ≈ CLV光盘的信息容量(MB) C CLV = ρL CLV / (10^6) CLV光盘的影像时间(min) T CLV = C CLV / ×60) CAV光盘的信息总长度(mm) L CAV 2 2 2 R d π≈ CAV光盘的信息容量(MB) C CAV = ρL CAV / (10^6) CAV光盘的影像时间(min ) T CAV = C CAV / ×60) （验证、编程）模型求解 要求： ①（验证）分别计算出LCLV, CCLV和TCLV三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。 程序如下： ②（编程）对于LCAV, CCAV和TCAV，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。 ★要求①的程序的运行结果： ★要求②的程序及其运行结果： （编程）结果分析 信道长度LCLV 的精确计算：21 2R CLV R L d π=? 模型给出的是近似值：2221() CLV R R L L d π-= ≈ 相对误差为：CLV L L L δ-= 第2章初等数学建模方法示例 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式 数学建模中常见的十 大模型 精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 初等模型 ——贷款、税收等问题 一、房贷款 小李夫妇欲购一套价值10万元的房子，俩人现有积蓄4万元。需向银行贷款6万元，准备25年还清，假定银行贷款利息为月息1%，每月还款数一定，一月还一次，问每月需还多少钱，给出一般数学模型。 1、重述问题（略） 2、符号及假设： 设总贷款额为M 元，n 个月还清，月息r ，每月还款额为定值x ，每月月底还钱。 3、模型的建立与求解： 第1月底还欠多少钱：()1M r x +- 第2月底还欠多少钱：()()()()2 1111M r x r x M r x r x +-+-=+-+-???? 第3月底还欠多少钱： ()()()()()()232111111M r x r x r x M r x r x r x ??+-+-+-=+-+-+-?? … … 第n 月底还欠多少钱： ()() () ()() ()1 2 11 11111n n n n n r M r x r x r x r x M r x r --+-+-+-+- -+-=+- 由于n 个月还清，因此有() ()11 10n n r M r x r +-+-= ()()()11 11111n n n r x M r Mr r r ??+∴=?=+ ? ?+-+-?? 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.001 代入得 x =232 (231.5970) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.01 代入得 x =632 (631.9345) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.02 代入得 x =1203 (1203.1643) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.03 代入得 x =1800 (1800.2536)建立数学模型的方法步骤特点及分类
数学建模中常见的十大模型
什么是数学模型与数学建模
数学建模的经典模板
《数学模型》
十大经典数学模型
数学建模算法分类
数学建模实验答案初等模型
初等数学建模试题极其标准答案
最经典的数学模型
数学建模常用的十种解题方法
一些经典初等数学模型
数学建模十种常用算法
数学建模实验答案初等模型
初等数学建模方法示例
数学建模中常见的十大模型讲课稿
数学建模之初等模型
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