1.2.2 空间两条直线的位置关系 学案3 高中数学 必修二 苏教版 Word版

* 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
3、等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（证明见书P24）
四、数学应用：
1、P24例1：连接AC 再利用公理4即可
2、P25例2：除了利用等角定理，还可以提供平面几何的证法，即利用CEB B E C ∆≅∆111
3、例3：如下图，空间四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

证明：连接BD ，∵EH 是△ABD 的中
位线 ∴EH ∥BD, EH=2
1BD 同理，FG //BD,FG=21BD ∵EH ∥FG,且EH=FG ∴四边形EFGH 为平行四边形 4、如图，P 是△ABC 所在平面外一点，
点D,E 分别是△PAB 和△PBC 的重心，求证：
DE ∥AC,DE=3
1AC 证明：连接PD ，PE ，并延长分别交AB,BC
于点M,N ，∵点D,E 分别是△PAB, △PBC 的
重心，∴M,N 分别是AB,BC 的中点
连接MN,则MN ∥AC ，且MN=
21AC ① 在△PMN 中，∵PN
PE PM PD =∴DE ∥MN,且DE=32MN ② 由①②根据公理4，得DE ∥AC,且DE=32MN=3
1AC 五、回顾反思：
1、理解空间两条直线的三种位置关系：相交、平行、异面
2、共面直线：相交直线：同一平面内，只有一个公共点的两条直线 平行直线：同一平面内，没有公共点的两条直线 不共面直线：异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线平行
3、掌握公理4和等角定理
教学反思
G A E
B
F C D
H。

空间两条直线的位置关系（1） 导学案学习目标（1）了解空间中两条直线的位置关系，培养学生的作图能力和空间想象能力；（2）理解并掌握公理4及等角定理，培养学生将空间问题转化为平面问题的能力和逻辑思维能力． 课堂学习一、重点难点重点：异面直线的概念；公理4及等角定理．难点：公理4及等角定理的应用．二、建构数学问题一：长方体1111ABCD A BC D -的棱1AA ，与棱AB 和1BB 所在直线的位置关系；棱1AA 与棱CD 所在的直线位置关系.异面直线的概念：注意：不要把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线.空间两条直线的位置关系：问题二：观察长方体1111ABCD A BC D -，1AA 1BB ，1BB 1CC ，则1AA 1CC .公理4 ：符号表示：公理4即 ，这个性质在平面、空间都适用.公理4作用：观察例1中的BEF ∠和111B AC ∠的两边 ，大小关系是 .猜想： 推导证明：思考：若定理中将“方向相同”这一条件去掉，会有什么样的结论？三、数学应用例1.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，已知,E F 分别是,AB AC 的中点.求证：11//EF AC变式训练：已知空间四边形ABCD ，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.例 2. 如图. 已知1,E E 分别为正方体1111ABCD A BC D -的棱11,AD A D的中点, 求证: 111C E B CEB ∠=∠.课后复习1. 设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱有 条.2. ①对于不重合的三条直线,,a b c ，若//a b ，//b c ，则,a c 可确定一个平面；②空间中，过直线外一点可作多条直线与这条直线平行；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④四条边均相等的四边形是平面图形.上述命题正确的序号有 .3. ①没有公共点的两条直线是平行直线；②两条直线不相交就平行；③两条直线有既不相交又不平行的情况；④一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行.期中正确的是 .4. 如果角α和角β的两边分别平行，50α=，则β= . 5. 如图在一个长方体木块的11AC 面上有一点P ，过P 点画一直线和棱CD 平行，应怎样画？ .若要求过P 点画一直线和BD平行，应怎样画？ .6. 已知：棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别为1111,C D A D 的中点，求证：四边形MNAC 是梯形．7. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别为棱1CC ，1BB ，1DD 的中点，证明：1BFC GD E ∠=∠.。

1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。

1.2.2 空间两条直线的位置关系（2）教学目标：1．深化对异面直线定义的理解；2．理解异面直线所成角的定义和范围，能通过平移的方法将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角；3．进一步体会空间问题平面化的解题策略．教材分析及教材内容的定位：两条直线异面是空间两条直线重要一种位置关系．异面直线所成的角反映了两条异面直线的相互倾斜程度．通过平移，我们将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角，公理4为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证，等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础．异面直线所成的角的定义不仅体现了空间问题平面化的解题策略，也给出了探求异面直线所成角的具体方法．另外，异面直线所成的角是空间角的重要一种，它的平面化的探求过程也为后面学习线面所成的角以及二面角提供了思想基础．教学重点：异面直线所成角的定义．教学难点：将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角．教学方法：13． 如图在正方体中和对角线C 1A 异面的棱有哪几条？ 二、学生活动1．回忆空间两条直线的位置关系有哪些？什么叫异面直线？（进一步理解异面直线定义的实质）2．每两位同学一组，把桌面作为平面α，一位同学持一支笔在桌面上移动表示平面内一条直线l ，另一位同学持一支笔（表示另一条直线m ）使其一端经过桌面上一点B ，观察并思考什么情况下直线l 和直线m 是异面直线？（由此引导学生得出异面直线的判定定理）3．借助合作构建异面直线的模型，思考如何刻画异面直线间的相互倾斜程度？平面内两条直线的相互倾斜程度是用什么来刻画的？（由此导出异面直线所成角的定义）4．利用异面直线的模型，思考如何将空间角转化成平面角？如何平移两条异面直线成为相交直线？（由此得出探求异面直线所成角的一般步骤）三、建构数学1．异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；2．异面直线的直观图画法：通常把一条直线画在一个平面内，另一条直线在平面外（如下图所示）．3．异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．符号表示：若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l，则直线AB 与l 是异面直线． （可以引导学生用反证法给予证明）4．两条异面直线所成的角的定义：如下图所示，a ，b 是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O 点分别作 a ，b 的平行线 a ′和 b ′，则这两条直线a′和 b ′所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a ，b 所成的角．若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直． 异面直线a 与b 垂直也记作a ⊥b ．异面直线所成角θ的取值范围： (0,90]︒︒．（3）求直线A 1B 与直线B 1C 所成的角的度数．例2 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点， （1）若BC ＝AD ＝2EF ，求直线EF 与AD 所成角的大小． （2）若AB ＝8，CD ＝6，EF ＝5，求AB 与CD 所成角的大小．2．练习．（1）指出下列命题是否正确，并说明理由．①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． ③若a ∥b ，c ⊥a 则b ⊥c ． ④若c ⊥a ，b ⊥c 则a ∥b ．⑤分别与两条异面直线a ，b 都相交的两条直线c ，d 一定异面．（2）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1所成角为60︒的面对角线有 条．（3）已知不共面的三直线a ，b ，c 相交于点O ，M ，P 是a 上两点，N ，Q 分别在b ，c 上 ．求证：MN ，PQ 异面．BCDA EFC1A。