福建省泉州市泉州一中、莆田哲理中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

一、选择题：（每题3分，共30分）1．若反比例函数y x=-1的图象经过点A （2，m ），则m 的值是（ ）．A ．-2B ．2C ．-12D ．212．二次函数3)1(2+--=x y 图象的顶点坐标是（ ） A ．（-1，3） B ．（1，3） C ．（-1，-3）D ．（1，-3）3．如图，正三角形ABC 内接于圆O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上， 且不与A B ，重合，则BPC ∠等于（ ） A ．30°B ．45°C.60°D ．90°4．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 45．⊙O 的弦AB 的长为8cm ，弦AB 的弦心距为3cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．4cm B. 5cmC. 8cmD. 10cm6．已知),(),,(222111y x P y x P 是反比例函数2y x=的图象上的两点，且210x x <<，则21,y y 的大小关系是（ ）A.21y y φB.21y y πC.21y y =D.无法判断7．四条线段d c b a ,,,满足dcba =，则以下比例式不成立的是（ ） A ．db ca = Ｂ．cda b =Ｃ．ab a =+ Ｄ．dc dc b a b a -+=-+ 8．已知c bx ax y ++=2的图象如图，那么关于x 的方程2ax 况（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 以上答案均不对 9．下列说法：① 三角形的外心到三角形三边的距离相等。

② 在直径为20的圆中，长为10的弦所对圆心角是030 ③ 垂直平分弦的直线必经过圆心 ④ 平分弦的直径垂直于弦 ⑤ 等弧所对的圆周角相等其中正确的个数有 ( ) A ．2个 B. 3个 C. 4个 10. 如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线k y x=(k ≠0)与ABC ∆有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．12k <<B ．13k ≤≤C ．14k ≤≤D ．14k <≤ 二、填空题：（每题4分，共24分）11．把二次函数x x y 422-=改写成k m x a y ++=2)(的形式是__________， 其顶点坐标是__________。

福建省泉州市2020年九年级上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2019九下·锡山月考) 方程x2＝2x的解是（）A . 2B . 0C . 0或2D . 都不是2. （1分）已知x=1是方程的一个根，则方程的另一个根是（）A . 1B . 2C . -1D . -23. （1分） (2017九上·下城期中) 已知，则的值为（）A .B .C .D .4. （1分）如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值为（）A . 5B . 2C . 5或D . 5或25. （1分）(2017·抚顺) 我校四名跳远运动员之前的10次跳远测试中成绩的平均数相同，方差s2如表所示，如果要选出一名跳远成绩最稳定的选手参加抚顺市运动会，应选择的选手是（）选手甲乙丙丁s2 0.5 0.5 0.6 0.4A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁6. （1分）已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（）A . 1：2B . 1：4C . 2：1D . 4：17. （1分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（）A . 1∶2B . 4∶9C . 1∶4D . 2∶38. （1分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α－cos α＝（）A .B . －C .D . －9. （1分）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的中点，AC、BE相交于点F，则S△AEF：S△CBF=（）A . 1：4B . 1：2C . 1：9D . 4：110. （1分）下列语句中，正确的是（）A . 长度相等的弧是等弧B . 在同一平面上的三点确定一个圆C . 三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D . 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2019九下·桐梓月考) 设m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，则m3+2020n﹣2019＝________.12. （1分） (2018九上·大洼月考) 已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________.13. （1分） (2018九上·吴兴期末) 已知线段c是线段a、b的比例中项，且a=4，b=9，则线段c的长度为________ ．14. （1分）(2011·宜宾) 一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1．则这个圆锥形零件的全面积是________．15. （1分）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的________．16. （1分） (2019九上·虹口期末) 如图，正方形的边长为4，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，如果点在同一直线上，那么的长为________．17. （1分）(2019·哈尔滨模拟) 如图，在平面直角坐标系中，OA＝4，OB＝3，连接AB，点M为线段OA的中线点，点N为线段AB的中点，作射线MN、在射线MN上有一动点P，连接AP，BP若△ABP是直角三角形，则线段PB的长为________．18. （1分） (2019九上·南岗期末) 如图,正方形中,点分别在边和上,连接点分别在边上,连接 ,若 ,则________.三、解答题 (共10题；共25分)19. （4分） (2019九上·遵义月考) 解方程：（1）（2）；20. （3分） (2017九上·五莲期末) 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B （3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是________；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是________；（3）△A2B2C2的面积是________平方单位．21. （1分）(2017·淄川模拟) 已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=1的两根为x1 ， x2 ，且x1 ， x2满足x12﹣x1x2=0，试求a的值，并求出此时方程的两个实数根．22. （2分） (2019八下·广东月考) 已知：∠AOB和两点C、D，求作一点P，使PC=PD，且点P到∠AOB的两边的距离相等．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）23. （2分）(2018·东营模拟) 如图，△ 内接于⊙ ，60°，是⊙ 的直径，点是延长线上的一点，且 .（1）求证：是⊙ 的切线；（2）若，求⊙ 的直径.24. （2分）(2019·梅列模拟) 我市公交总公司为节约资源同时惠及民生，拟对一些乘客数量较少的路线换成中巴车，该公司计划购买10台中巴车，现有甲、乙两种型号，已知购买一台甲型车比购买一台乙型车少10万元，购买3台甲型车比购买2台乙型车多30万元．（1）问购买一台甲型车和一台乙型车分别需要多少万元？（2）经了解，每台甲型车每年节省2.5万元，每台乙型车每年节省2.1万元，若要使购买的这批中巴车每年至少能节省21.8万，则购买甲型车至少需至少多少台？25. （3分）(2017·徐州模拟) 已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是________，衍生直线的解析式是________；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x 轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．26. （2分）(2015·江东模拟) 如图是由梯子A B和梯子AC搭成的脚手架，其中AB=AC=5米，∠α=70°．（1）求梯子顶端A离地面的高度AD的长和两梯脚之间的距离BC的长．（2）生活经验告诉我们，增大两梯脚之间的距离可降低梯子的高度，若BC长达到6米，则梯子的高度下降多少米？（以上结果均精确到0．1米，供参考数据：sin70°≈0．94，cos70°≈0．34，tan70°≈2．75）27. （3分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，连接DE．（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．28. （3分）(2017·和平模拟) 如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共10题；共25分)19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、27-1、27-2、28-1、28-2、28-3、。

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列事件中，是必然事件的是（）A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°2．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3）B．图象位于第二、四象限C．图象关于直线y＝x对称D．y随x的增大而增大3．对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（）A．20人B．40人C．60人D．80人4．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．先变短后变长C．先变长后变短D．逐渐变长5．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为S，则△DCF的面积为（）A．S B．2S C．3S D．4S6．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．抛物线C1：y＝x2+1与抛物线C2关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为（）A．y＝﹣x2B．y＝﹣x2+1 C．y＝x2﹣1 D．y＝﹣x2﹣1 8．对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确9．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝10．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A．y＝x B．y＝﹣C．y＝x2D．y＝﹣x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．cos30°＝．12．二次函数y＝x2﹣3的对称轴是．13．从甲、乙、丙三名同学中随机抽取环保志愿者，抽取两名，甲在其中的概率．14．如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值为．15．如图，在△ABC中，AB：AC＝7：3，∠BAC的平分线交BC于点E，过点B作AE的垂线段，垂足为D，则AE：ED＝．16．已知如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0）、双曲线y＝（n＞0，x ＞0）交于点A，点B，且＝，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则mn的值为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解方程x（x﹣2）﹣1＝2x．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝36°．求证：△ADC∽△DEB．19．如图所示，已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8．求：△ABC的面积．（结果可保留根号）20．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．解答要求如下：（1）对于图中△ABC，用尺规作出一条中位线DE；（不必写作法，但应保留作图痕迹）（2）根据（1）中作出的中位线，写出已知，求证和证明过程．21．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点H．（1）写出H的坐标．（2）若抛物线经过点A（0，3），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．22．市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率＝×100%，其中SPF≥1．请回答下列问题：（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？（2）某防晒产品文宣内容如图所示．请根据SPF与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．23．有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．24．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝°；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC的长．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”（1）若对任意m，n，点M（m，n）和点N（﹣m+4，n）恒在“等边抛物线”C1：y＝ax2+bx 上，求抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2：y＝ax2+bx+c为“等边抛物线“，求b2﹣4ac的值；（3）对于“等边抛物线“C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列事件中，是必然事件的是（）A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【解答】解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；故选：D．2．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3）B．图象位于第二、四象限C．图象关于直线y＝x对称D．y随x的增大而增大【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，故选：D．3．对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（）A．20人B．40人C．60人D．80人【分析】扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．【解答】解：调查总人数：40÷20%＝200（人），选择黄鱼的人数：200×40%＝80（人），故选：D．4．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．先变短后变长C．先变长后变短D．逐渐变长【分析】小亮由A处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B处，他的影子则由短变长．【解答】解：晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．故选：B．5．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为S，则△DCF的面积为（）A．S B．2S C．3S D．4S【分析】根据平行四边形的性质，可证△EDF∽△CBF，继而证得相似之比为EF：CF＝ED：BC＝1：2，所以当△DEF的面积为S时，则△DCF的面积为2S．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△EDF∽△CBF，∴ED：CB＝EF：CF，∵E为AD的中点，∴ED＝AD＝BC，∴EF：CF＝1：2，从图中可以看出△EDF与△DCF共一顶点D，所以高相等，∴面积之比为：EF：CF＝1：2，∴当△DEF的面积为S时，则△DCF的面积为2S．故选：B．6．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】画出三组对应点的直线，它们的交点即为位似中心．【解答】解：如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点D．故选：D．7．抛物线C1：y＝x2+1与抛物线C2关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为（）A．y＝﹣x2B．y＝﹣x2+1 C．y＝x2﹣1 D．y＝﹣x2﹣1【分析】画出图形后可根据开口方向决定二次项系数的符号，开口度是二次项系数的绝对值；与y轴的交点为抛物线的常数项进行解答．【解答】解：关于x轴对称的两个函数解析式的开口方向改变，开口度不变，二次项的系数互为相反数；对与y轴的交点互为相反数，那么常数项互为相反数，故选D．8．对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△＝0求得c＝1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c＝3，4，5，故c＝3，4，5【解答】解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式得x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得：c＝1，当c＝1时，相切时只有一个交点，和题目相符所以不用舍去；②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c的最小值＝2，但取不到，c的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，故选：D．9．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，故y关于x的函数表达式为：y＝．故选：A．10．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A．y＝x B．y＝﹣C．y＝x2D．y＝﹣x2【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m）的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（1，m），C（2，m﹣n）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确．【解答】解：∵A（﹣1，m），B（1，m），∴点A与点B关于y轴对称；由于y＝x，y＝的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；∵n＞0，∴m﹣n＜m；由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴D选项正确故选：D．二．填空题（共6小题）11．cos30°＝．【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：cos30°＝．故答案为：．12．二次函数y＝x2﹣3的对称轴是y轴．【分析】二次函数对称轴x＝﹣，将表达式中的相关量直接代入即可求解．【解答】解：由对称轴x＝﹣知：二次函数y＝x2﹣3的对称轴是y轴；故答案为：y轴．13．从甲、乙、丙三名同学中随机抽取环保志愿者，抽取两名，甲在其中的概率．【分析】利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，∴抽取2名，甲在其中的概率为；故答案为：．14．如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值为．【分析】设正多边形的边长为a，求出GD长，根据正切值算出GD与CD的比．【解答】解：连接FD，设正多边形的边长为a，∵在△FED中，EF＝ED＝a，∠FED＝120°，∴FD＝a．∴DG＝DF+FG＝（+1）a．在Rt△GCD中，tan∠GCD＝＝．故答案为．15．如图，在△ABC中，AB：AC＝7：3，∠BAC的平分线交BC于点E，过点B作AE的垂线段，垂足为D，则AE：ED＝3：2 ．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用相似三角形的判定和性质可以求得AE：ED的比值．【解答】解：作CF⊥AD于点F，如右图所示，则∠AFC＝∠ADB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAF，∴△ABD∽△ACF，∴＝，∵AB：AC＝7：3，BD：CF＝7：3，∴AD：AF＝7：3，∵∠CFE＝∠BDE＝90°，∠CEF＝∠BED，∴△CEF∽△BED，∴，∵CF：BD＝3：7，∴，∵，，AF+FE+DE＝AD，解得，，故答案为：3：2．16．已知如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0）、双曲线y＝（n＞0，x ＞0）交于点A，点B，且＝，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则mn的值为100 ．【分析】先求出直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝x+4，那么直线y ＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．根据互相垂直的两直线斜率之积为﹣1得出直线EF的解析式为y＝﹣x+4，再求出F（，），EF＝＝，根据S△ABC＝4，求出AB＝，那么OA＝AB＝，进而求出A、B两点坐标，求出m、n即可解决问题．【解答】解：直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝（x+6），即y＝x+4，∴直线y＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．可得直线EF的解析式为y＝﹣x+4，由，解得，即F（，）．∴EF＝＝，∵S△ABC＝4，∴•AB•EF＝4，∴AB＝，∵＝，∴OA＝AB＝，∴A（3，2），B（5，），∴m＝6，n＝，∴mn＝100．故答案为100．三．解答题（共9小题）17．解方程x（x﹣2）﹣1＝2x．【分析】直接利用一元二次方程的解法得出答案．【解答】解：x（x﹣2）﹣1＝2xx2﹣4x﹣1＝0，（x﹣2）2＝5则x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE ＝36°．求证：△ADC∽△DEB．【分析】根据题意求出∠B＝∠C，∠BED＝∠ADC，进而利用相似三角形的判定证明即可．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，又∵∠ADE＝36°，∴∠DEB+∠BDE＝180°﹣∠B＝144°，∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE＝144°，∴∠DEB＝∠ADC，在△ADC和△DEB中，∠ADC＝∠DEB，∠C＝∠B，∴△ADC∽△DEB19．如图所示，已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8．求：△ABC的面积．（结果可保留根号）【分析】过C作CD⊥AB于D，利用直角三角形的性质求得CD的长．已知AB的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，∴＝cot∠DAC＝cot60°＝，即AD＝CD×．在Rt△BDC中，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝45°，∴CD＝BD．∵AB＝DB+DA＝CD+CD×＝8，∴CD＝12﹣4．∴S△ABC＝AB×CD＝×8×（12﹣4）＝48﹣16．答：△ABC的面积为48﹣16．20．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．解答要求如下：（1）对于图中△ABC，用尺规作出一条中位线DE；（不必写作法，但应保留作图痕迹）（2）根据（1）中作出的中位线，写出已知，求证和证明过程．【分析】（1）分别作AB、AC的中垂线，交AB、AC于点D、E，连接DE．线段DE即为所求．（2）利用相似三角形的性质即可证明．【解答】解：（1）分别作AB、AC的中垂线，交AB、AC于点D、E，连接DE．线段DE即为所求．（2）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE BC证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴＝＝，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴＝＝，∴DE＝BC．21．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点H．（1）写出H的坐标．（2）若抛物线经过点A（0，3），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．【分析】（1）把解析式y＝x2﹣mx+2m﹣1整理成y＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，即可求得H 的坐标；（2）把（0，3）代入y＝x2﹣mx+2m﹣1求得m＝2，设y1＝x2﹣4x+3，y2＝﹣2x+1，计算y1﹣y2＞0即可证明结论成立．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣mx+2m﹣1＝x2﹣4﹣m（x﹣2）+3＝（x+2）（x﹣2）﹣m（x﹣2）+3＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，∴抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点（2，3），故H的坐标为（2，3）；（2）证明：∵抛物线经过点A（0，3），∴2m﹣1＝3，解得m＝2，∴抛物线y＝x2﹣2x+3，设y1＝x2﹣2x+3，y2＝﹣2x﹣1，则y1﹣y2＝（x2﹣2x+3）﹣（﹣2x﹣1）＝x2+4＞0，∴y1＞y2，∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．22．市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率＝×100%，其中SPF≥1．请回答下列问题：（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？（2）某防晒产品文宣内容如图所示．请根据SPF与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．【分析】（1）根据公式列出方程进行计算便可；（2）根据公式计算两个的防护率，再比较可知结果．【解答】解：（1）根据题意得，，解得，SPF＝10，答：该产品的SPF应标示为10；（2）文宣内容不合理．理由如下：当SPF＝25时，其防护率为：；当SPF＝50时，其防护率为：；98%﹣96%＝2%，∴第二代防晒乳液比第一代防晒乳液的防护率提高了2%，不是提高了一倍．∴文宣内容不合理．23．有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．【分析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1＝AB•BC ＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，求出BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝1，AG＝AB﹣BG ＝5，得出S2＝AE•AG＝6×5＝30；（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG＝BC＝5，BM ＝CG，FG＝CG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，得出S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．【解答】解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB•BC＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，∴BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1，∴AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5，∴S2＝AE•AG＝6×5＝30；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝CG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣5.5）2+30.25，∴当x＝5.5时，即：AM＝5.5时，FM＝11﹣5.5＝5.5，S的最大值为30.25．24．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝15 °；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC的长．【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2＝CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2＝FB•FA，设FB＝x，则有：x（x+7）＝122，推出x＝9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B+∠A＝90°，解得，∠B＝15°，故答案为：15°；（2）如图①中，在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B+2∠BAD＝90°，∴△ABD是“准互余三角形”，∵△ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠B+∠BAE＝90°，∵∠B+∠BAE+∠EAC＝90°，∴∠CAE＝∠B，∵∠C＝∠C＝90°，∴△CAE∽△CBA，可得CA2＝CE•CB，∴CE＝，∴BE＝5﹣＝．（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD，∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD+∠CBD＝90°，∴∠ABD+∠DBC+∠CBF＝180°，∴A、B、F共线，∴∠FAC+∠ACF＝90°∴2∠ACB+∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC，∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB•FA，设FB＝x，则有：x（x+7）＝122，∴x＝9或﹣16（舍弃），∴AF＝7+9＝16，在Rt△ACF中，AC＝＝＝20．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”（1）若对任意m，n，点M（m，n）和点N（﹣m+4，n）恒在“等边抛物线”C1：y＝ax2+bx上，求抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2：y＝ax2+bx+c为“等边抛物线“，求b2﹣4ac的值；（3）对于“等边抛物线“C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．【分析】（1）先由点H与点N关于对称轴对称知对称轴为x＝2，依据x＝﹣＝2知b ＝﹣4a，从而得y＝ax2﹣4ax，再分a＞0，a＜0两种情况，依据等边三角形性质得出顶点坐标，代入计算可得；（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||，结合顶点坐标（﹣，）知＝，据此求解可得；（3）由（2）中b2﹣4ac＝12知c＝，结合等边抛物线过（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依据对称轴位置得b＝﹣6，联立求得x＝1或x＝6，从而得出答案．【解答】解：（1）由题意得，点H和点N关于对称轴对称，∴对称轴x＝＝2，又∵x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，①当a＞0时，顶点坐标为（2，﹣2），代入y＝ax2﹣4ax，得：﹣2＝4a﹣8a，解得：a＝，∴y＝x2﹣2x；②当a＜0时，顶点坐标为（2，2），代入y＝ax2﹣4ax，得：2＝4a﹣8a，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x；综上，y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），令y＝ax2+bx+c＝0，∴x＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||，又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴＝，∵b2﹣4ac≠0，∴||＝，∴b2﹣4ac＝12；（3）由（2）得b2﹣4ac＝12，∴c＝，∴C3：y＝x2+bx+，由题意知该等边抛物线过（1，1），∴1+b+＝1，解得b＝﹣6或b＝2，又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，∴b＜﹣2，∴b＝﹣6，∴y＝x2﹣6x+6，联立，解得x＝1或x＝6，∴m的最大值为6．。

2020-2021学年福建省某校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题1．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝02．（3分）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 5．（3分）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（）A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能6．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2 7．（3分）已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA 绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）8．（3分）如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（）A．B．0＜x＜1 C．D．﹣1＜x＜2 9．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（3分）如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k 为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍二.填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．（4分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是．13．（4分）如图，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝75t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是秒．15．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．16．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O 是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是．三、解答（本题共9小题，86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x＝1．18．（8分）如图，△ABC的项点坐标分别为A（0，1），B （3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）写出A2，B2，C2的坐标．19．（8分）福州国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195公里）”，“半程马拉松（21.0975公里）”，“迷你马拉松（5公里）”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为．（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．20．（8分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．22．（10分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．23．（10分）（1）已如：如图，正方形ABCD中，∠EDF＝45°，DE、DF分别交边AB、BC平点E、F，求证：EF＝AE+CF．（2）在平面直角坐标系中、正方形OABC的两顶点A、C 分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，将正方形OABC 绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上停止，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论．24．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB 分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．25．（13分）已知抛物线的对称轴是直线m，顶点为点M，若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x﹣10123y1030（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线m′，A为直线m′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线m′于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2），①用含t与x的代数式示y2．②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．参考答案一、选择题（共10小，每题3分，满分30分）1．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．解：移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，则x1＝2，x2＝﹣2，故选：A．2．（3分）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合；轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；据此判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的是哪个即可．解：∵选项A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，∴选项A不正确；∵选项B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形，∴选项B正确；∵选项C中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，∴选项C不正确；∵选项D中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形，∴选项D不正确．故选：B．3．（3分）一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（）A．B．C．D．【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．解：因为一共有6个球，白球有4个，所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：．故选：D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 【分析】由△ABC∽△DEF与它们的面积比为4：1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC 与△DEF的相似比．解：∵△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，∴△ABC与△DEF的相似比为2：1．故选：A．5．（3分）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（）A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．解：∵点到圆心的距离5，大于圆的半径3，∴点在圆外．故选C．6．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，故选：A．7．（3分）已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据题意画出图形利用旋转的性质即可解答．解：如图，根据旋转的性质可知，OB1＝OB＝1，A1B1＝AB＝2，可知点A1的坐标是（﹣2，1），故选：A．8．（3分）如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（）A．B．0＜x＜1 C．D．﹣1＜x＜2 【分析】先根据抛物线与x轴的交点求出其对称轴方程，再根据抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称性即可进行解答．解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（2，0），∴其对称轴方程为：x＝＝，∵抛物线与y轴的交点为（0，2），∴此点关于对称轴的对称点横坐标为：2×＝1，∵0＜x＜1时函数的图象的纵坐标大于2，∴当y＞2时，自变量x的取值范围是0＜x＜1．故选：B．9．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF ＝AB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF 可得答案．解：∵AF⊥BF，∴∠AFB＝90°，∵AB＝10，D为AB中点，∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，∴∠ABF＝∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即，解得：DE＝8，∴EF＝DE﹣DF＝3，故选：B．10．（3分）如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k 为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍【分析】先证出点B、C、D在以A为圆心的圆上再根据圆周角定理解答即可．解：∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，∵∠DAC＝k∠CAB，∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，故选：A．二.填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣．【分析】由方程根的情况可得方程根的判别式△＞0，得到关于k的不等式，解不等式即可求得k的范围．解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣3）2+4k＞0，解得k＞﹣，故答案为：﹣．12．（4分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是．【分析】根据一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的，再根据概率公式即可得出答案．解：∵一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的，∴飞镖落在白色区域的概率是；故答案为：．13．（4分）如图，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝80°．【分析】由∠P＝50°，根据三角形内角和定理，可求得∠B+∠C的度数，又由OA＝OB＝OC＝OD，即可求得∠OAB+∠ODC的度数，继而求得∠AOB+∠COD，则可求得答案．解：∵∠P＝50°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠P＝130°，∵OA＝OB，OC＝OD，∴∠OAB＝∠B，∠ODC＝∠C，∴∠OAB+∠ODC＝∠B+∠C＝130°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣（∠B+∠OAB+∠C+∠ODC）＝100°，∴∠AOD＝180°﹣（∠AOB+∠COD）＝80°．故答案为：80°．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝75t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是25 秒．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．解：由题意得，s＝75t﹣1.5t2＝﹣1.5（t2﹣50t+625﹣625）＝﹣1.5（t﹣25）2+937.5，即当t＝25秒时，飞机才能停下来．故答案是：25．15．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或者（1，0）时，使得△BOC∽△AOB．【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．解：∵点A为（4，0），∴AO＝4；∵点B为（0，2），∴OB＝2．若△BOC∽△AOB．则：＝．即：＝，∴OC＝1．故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．16．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O 是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是 5 ．【分析】分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，证明△AED≌△AOB可得DE＝OB，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，再根据勾股定理即可求得结论．解：如图，分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，∵△ABD和△AOE都是等边三角形，∴AE＝AO，AD＝AB，∠OAE＝∠BAD＝60°，∴∠DAE＝∠BAO，在△AED和△AOB中，，∴△AED≌△AOB（SAS），∴DE＝OB，∴OA+OB+OC＝OE+DE+OC，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，∵∠BAC＝30°，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝90°，又AB＝4，AC＝3，在Rt△ADC中，CD＝＝＝5．故答案为：5．三、解答（本题共9小题，86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x＝1．【分析】方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝1+1，∴（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝±，∴x＝1±∴x 1＝1+，x2＝1﹣．18．（8分）如图，△ABC的项点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）写出A2，B2，C2的坐标．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；（3）利用（2）中所画图形写出点A2、B2、C2的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）A2（1，0），B2（3，﹣3），C2（3，﹣1）．19．（8分）福州国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195公里）”，“半程马拉松（21.0975公里）”，“迷你马拉松（5公里）”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为．（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．解：（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为，故答案为：；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小智和小慧被分配到同一个项目组的结果数为3，所以小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为＝．20．（8分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．【分析】（1）△PBA与△ABC相似，利用勾股定理计算出AB的长，利用由两边的比值和一个夹角相等的两个三角形相似可证明结论成立；（2）由（1）可知：∠BAC＝∠BPA，因为∠BPA易求，问题得解．解：（1）△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝＝，BC＝5，BP＝1，∴，∵∠PBA＝∠ABC，∴△PBA∽△ABC；（2）∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA，∵∠BPA＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．【分析】连接BO并延长交圆O与点D，连接AD，根据BD 是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D＝∠C＝30°．则BD＝2AB＝8．解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝30°，∴∠BOA＝60°．又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形．∴OB＝AB＝4，∴BD＝8．∴⊙O的直径为8．22．（10分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解；（2）利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：（50﹣x）（40+2x）＝2400，解得：x1＝10，x2＝20，因为尽量减少库存，x1＝10舍去．答：每件衬衫应降价20元．（2）设每天盈利为W元，则W＝（50﹣x）（40+2x）＝﹣2（x﹣15）2+2450，当x＝15时，W最大为2450．答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．23．（10分）（1）已如：如图，正方形ABCD中，∠EDF＝45°，DE、DF分别交边AB、BC平点E、F，求证：EF＝AE+CF．（2）在平面直角坐标系中、正方形OABC的两顶点A、C 分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，将正方形OABC 绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上停止，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论．【分析】（1）把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG，如图1，根据旋转的性质得∠EDG＝90°，DE＝DG，AE＝CG，∠DCG＝∠A＝90°，再证明△DFE≌△DFG得到EF＝FG，则EF＝FC+CG＝FC+AE；（2）如图2，利用直线y＝x为第一、三象限的角平分线得到∠MON＝45°，根据（1）的结论得MN＝AM+CN，然后利用等线段代换得到P＝2AB，从而可判断P的值为定值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠ACB＝90°，把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG，如图1，∴∠EDG＝90°，DE＝DG，AE＝CG，∠DCG＝∠A＝90°，∵∠DCB+∠DCG＝180°，∴B、C、G三点共线，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDG﹣45°＝45°，∴∠EDF＝∠GDF，在△DFE和△DFG中，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝FC+CG＝FC+AE；（2）解：在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．理由如下：∵直线y＝x为第一、三象限的角平分线，∴∠MON＝45°，由（1）的结论得MN＝AM+CN，∴P＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝BA+BC＝2AB，而AB为正方形的边长，∴P的值为定值．24．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB 分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，再由角平分线的意义和圆周角定理可求出∠AOE＝90°，得出OE⊥AB，最后由MN∥AB，得出OE⊥MN，进而得出结论；（2）根据等腰直角三角形的边角关系可求出AE＝BE＝5，再由相似三角形求出BN，CE，进而求出CD．【解答】证明：（1）补全图形如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，又∵MN∥AB，∴OE⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）过点C作CQ⊥MN，垂足为Q，交AB于点P，则CQ⊥AB，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10∴OE＝PQ＝OA＝OB＝5，由三角形的面积公式得，AC•BC＝AB•CP，∴6×8＝10CP，∴CP＝4.8，∴CQ＝4.8+5＝9.8，∵AB∥MN，∴△CAB∽△CMN，∴＝，即＝，∴MN＝，连接BE，则BE＝AE，在Rt△ABE中，AE＝BE＝×AB＝5，∵EN是⊙O的切线，∴∠BEN＝∠BCE＝∠ACE，∵ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠EBN＝∠CAB，∴△AEC∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝，∵∠ACE＝∠ECN，∠CAE＝∠CEN，∴△CAE∽△CEN，∴＝，即＝，解得，CE＝7，又∵∠ACD＝∠ECB，∠CAD＝∠CEB，∴△ACD∽△ECB，∴＝，即＝，解得，CD＝，∴MN＝，CD＝．25．（13分）已知抛物线的对称轴是直线m，顶点为点M，若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x﹣10123y1030（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线m′，A为直线m′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线m′于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2），①用含t与x的代数式示y2．②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先根据（1）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M 的坐标．①记直线m与直线m′交于点C（1，t），当点A′与点C 不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥m，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM＝PA＝|y2﹣t|，过点P作PQ⊥m于点Q，则点Q（1，y2），故QM＝|y2﹣3|，PQ＝AC ＝|x﹣1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x 之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，求出y1﹣y2的值，进而求解．解：（1）∵抛物线经过点（0，），∴c＝．∴y1＝ax2+bx+，∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1＝ax2+bx+上，∴，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝﹣x2+x+；（2）∵y1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，∴直线m为x＝1，顶点M（1，3）．①由题意得，t≠3，如图，记直线m与直线m′交于点C（1，t），当点A与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ABMP为菱形，∴PA∥m，又∵点P（x，y2），∴点A（x，t）（x≠1），∴PM＝PA＝|y2﹣t|，过点P作PQ⊥m于点Q，则点Q（1，y2），∴QM＝|y2﹣3|，PQ＝AC＝|x﹣1|，在Rt△PQM中，∵PM2＝QM2+PQ2，即（y2﹣t）2＝（y2﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y2＝（x﹣2）2+，即y2＝x2﹣x+；∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P（1，），∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2＝x2﹣x+（t ≠3）；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），∵3＞，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，y1﹣y2＝﹣（x﹣1）2+3﹣[（x﹣1）2+]＝（x ﹣1）2+，若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y＝（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞，符合题意；若3t﹣11＝0，y1﹣y2＝﹣＜0，即t＝也符合题意．综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥．。