最新湘教版九年级数学上册《一元二次方程小结与复习》教学设计(精品教案)

第2章一元二次方程小结与复习第二章一元二次方程回顾与思考本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；实际应用是方程建模思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，逐步加深对建模思想的理解.为此，设置本节课的教学目标如下：1、知识与技能：①经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；②能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；③了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；2、过程与方法：①通过让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；②通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法.情感与态度：①通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；②在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.第一环节：课前准备----构建知识结构教师展示一下本章的框架，指出本节课的重点是：利用一元二次方程解决实际问题.㈡本章的重点：一元二次方程的解法和应用.㈢本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.本章的知识体系包括三大部分：（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问题是：⑴只含有一个未知数；⑵未知数的最高指数必须是2；(3)二次项系数不为0）（二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴ 直接开平方法；⑵ 配方法；⑶ 公式法；⑷ 分解因式法.（注意：在运用配方法解一元二次方程时，一般先将二次项系数化为1；在运用公式法解一元二次方程时，必须先将方程化为ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的形式，同时判断b 2-4ac 是否≥0，如果b 2-4ac ≥0，才可用公式a ac b b x 242-±-=求解） （三）一元二次方程的应用：花边、道路宽度（P 42 引例）；梯子滑动（P 43 引例）；养鸡场问题（P 56 2）；古算题（P 65 1）；简单动点问题（P 66 2）；利润问题（P 66 例2）（其关键是能找出题目中的等量关系，列出方程）本章的重点和难点是：一元二次方程的解法和应用.第二环节：基础知识重现㈠ 问题情景---- —元二次方程1、定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数,a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ⑴ 直接开平方法 ⑵ 配方法 ⑶ 公式法 ax 2+bx+c=0 (a ≠0，b 2-4ac ≥0)的解为： a ac b b x 242-±-= ⑷ 分解因式法2、解法：3、应用 ：其关键是能根据题意找出等量关系.1、当m 时，关于x 的方程(m －1)12 m x+5+mx=0是一元二次方程. 2、方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.3、将一元二次方程x 2-2x-2=0化成(x+a)2=b 的形式是 ；此方程的根是 .4、用配方法解方程x 2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－75、解下列一元二次方程(1) 4x 2－16x+15=0 (用配方法解)(2) 9－x 2=2x 2－6x(用分解因式法解)(3) (x ＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)第三环节：情境中合作学习其中的1、3小题作为例题，2、4小题作为小组合作学习的题目，仿照例题的分析方式小组合作完成，第5题作为师生互动的题目.选择第1题作为例题规范板书，其余题目只需分析、列方程即可.对于第1题，可以从以下几个方面提出问题，帮助学生分析问题、解决问题：（1）成本为多少？（2）“如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支”在本题中的作用是什么？（3）“售价每上涨1元就少卖10支”的作用？（4）利润的表达形式有哪几种？（5）本题中的等量关系是什么？在用一种方法解决完本题之后，可以让学生尝试其它的思路，进行一题多解.对于第3题，可以从以下几个方面入手分析：（1）题目中的等量关系是什么？（2）点P 、Q 移动的过程中，哪个量是相同的？（3）如何求出△PCQ 的面积？（4）如何求出Rt △ACB 面积？对于第5题，着重于第（4）（5）两个小问题，需要借助于一定的经验加以解决.同时，此题是典型的二次函数最值问题，放在此处，给学生一个直观的感受.1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？3、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BC=6m ，AC=8m ，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，已知点P 移动的速度是20cm/s ，点Q 移动的速度是10cm/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的85？ 4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°， AC=6m ，BC=8m ，点P 、Q 同时由A 、B两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半？ 5、新苑小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m)，三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m ，(1) 花圃的面积能达到180m 2吗？(2) 花圃的面积能达到200m 2吗？(3) 花圃的面积能达到250m 2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．(4) 你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗？此时，篱笆该怎样围？(5) 如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花，需要在花圃中再加一道篱笆，若不想改变篱笆的总长度，那么，此时花圃的最大面积会是多少，篱笆该怎样围？第四环节：巩固提高内容：重点放在一元二次方程的实际应用上，内容呈现形式多样化，设置实际背景比较全面.其中3、4小题表面上看类似，实际有一定的差异，可以对比来看；第5小题为后续学习的二次函数作铺垫；第7题为一道经典的中考真题，让学生感受一下中考的氛围.1、新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直)，其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面 积的6511.则甬路宽为多少米？设甬路宽为x 米，则根据题意，AB C PQ C BP Q A可列方程为 .2、由于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢得消费者，在半年之内连续两次降价，从4980元降到3698元，如果每次降低的百分率相同，设这个百分率为x，则根据题意，可列方程： .3、王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人，则根据题意，可列方程： .4、初三、三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题意，可列方程( )A.x(x+1)=1640B. x(x－1)=1640C.2x(x+1)=1640D.x(x－1)=2×16405、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品售价为x元，则每天可卖出(350－10x)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店要想每天赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应定为多少元？6、用一块面积为888cm2的矩形材料做一个无盖的长方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为高的2倍，盒子的宽和高应为多少？7、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风2010海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.第五环节：课堂小结内容：师生共同总结本节课的收获，内容主要设计以下几个方面：（1）整节课的感悟：如在解决概念性题目时，要注意领会概念的实质含义；在计算时要做到细心；对于学过的内容，自己要及时进行梳理等等；（2）解决问题时所用到的方法；（3）对于某个知识点的困惑；（4）通过本节课的学习，自己的最大收获.第六环节：布置作业1、本节课中涉及的所有题目在课下进行分类整理，留作资料；2、针对自己对本章的理解，每名同学命制一份试卷，要求时间在60分钟左右，重点突出，难度适宜，并配有答案（此作业不要求第二天必须上交，给学生一定的收集资料时间）。

3、某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是多少？
4、《能力拓展》：如图，东风养鸡场要建一个面积150㎡的长方形鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠墙，墙长am，另三边用竹篱笆围成，篱笆若长为35m：
（1）求篱笆墙的长与宽各是多少？am
（2）根据（1）中的结果讨论，随着a值的
不同，鸡场的规格有何变化。
六、收获与反思
5、在下列方程①2x+1=0;②y2+x=1;③x2+1=0;④ +x2=1中，是一元一次方程的是_____。
6、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m=______。
7、若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常项为0，则m=________。
8、关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是__________。
9、写出两个一元二次方程，使每个方程都有一根为0，并且二次项系数都为1：________；______________。
10、三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________。
11、解方程5（x- ）2=2(x- )最适当的方法是_____________。
二、我的疑问
城西中学课堂教学改革讲学稿（）课题：《一元二次方程》小结与复习
年级：九（上）主备人：徐逢春审核：九年级数学组班次：学：
教学过程：
[课标告诉我们]
1、理解一元二次方程的基本思路是降次转化为两个一元一次方程。
2、理解一元二次方程中b2-4ac的作用。
[本节课我们应学会]
2、一元二次方程的一般形式是_______________________________。

湘教版数学九年级上册《一元二次方程解法的综合运用》教学设计一. 教材分析《一元二次方程解法的综合运用》是湘教版数学九年级上册的一节课。

本节课主要让学生掌握一元二次方程的解法，并能够综合运用各种解法解决实际问题。

教材通过引入具体的一元二次方程，引导学生探讨、总结和掌握解一元二次方程的方法，从而提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学过一元二次方程的基本概念和相关性质，对解一元二次方程的方法有一定的了解。

但学生在实际应用中，可能会遇到各种问题，如对各种解法的理解不透彻，解题步骤不清晰等。

因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，引导学生深入理解一元二次方程的解法，并通过实际问题，让学生巩固所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法等，并能够灵活运用各种解法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探讨、总结和运用一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在实际生活中的应用价值。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.难点：灵活运用各种解法解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生探讨、总结一元二次方程的解法。

2.案例分析法：教师通过引入具体的一元二次方程，让学生分析和解决实际问题。

3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备一些一元二次方程的实际问题，用于引导学生运用所学知识解决实际问题。

2.学生准备：学生需要预习教材，了解一元二次方程的基本概念和相关性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一个具体的一元二次方程，激发学生的学习兴趣，引导学生进入本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师展示一些一元二次方程的实际问题，让学生观察和分析，引导学生运用所学知识解决实际问题。

二、一元二次方程的根与系数的关系
已知 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)的两根. 则有：
x1
x2
b a
，
x1 x2
c a
.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条
件下应用，即
b2-4ac≥0；(3)在使用
x1
x2
b a
时，注意“-”不要漏写.
大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每
千克 3.2 元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得 x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20% 答：平均每次下调的百分率是 20%.
10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为 30m，
高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？
解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件；
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150
解得 x1=25，x2=35 由题意 x≤28，∴ x=25，即销售价应当为 25 元.
针对训练
9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩
A.(x－1)2＝6
B.(x＋2)2＝9
C.(x＋1)2＝6
D.(x－2)2＝9
(2)某三角形两边长分别为 3 和 6，它第三边的长是方程 x2－13x＋36＝0 的根，则该三角形
的周长为( )
A.13 B.15 C.18 D.13 或 18