2020版高考数学一轮复习教程学案第81课互斥事件及其发生的概率 Word版含解析

§ 几何概型及互斥事件的概率一、知识导学1. 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.一般地，在几何区域 Ｄ 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域ｄ内”为事件Ａ，则事件Ａ 发生的概率Ｐ（Ａ）＝ 的测度的测度D d ． 这里要求Ｄ 的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ 确定，当Ｄ 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等2．互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A 、B 、C ，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A 、B 、C 彼此互斥. 当A ，B 是互斥事件时，那么事件A ＋B 发生（即A ，B 中有一个发生）的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和.P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）.如果事件A 1、A 2、…、A ｎ彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和. 3．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A .对立事件的概率和等于1.P （A ）＝1－P （A ）4．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.当A ，B 是相互独立事件时，那么事件A •B 发生（即A ，B 同时发生）的概率，，等于事件A ，B 分别发生的概率的积.P （A •B ）＝P （A ）•P （B ）.如果事件A 1、A 2、…、A ｎ相互独立，那么事件A 1•A 2•…•A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ同时发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的积.5．独立重复试验如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在ｎ次独立重复试验中这个试验恰好发生ｋ次的概率k n k k n n k P C k P --=)1()(二、疑难知识导析1．对互斥事件、对立事件的理解：从集合角度看，事件A 、B 互斥，就是它们相应集合的交集是空集（如图1）；事件A 、B 对立，就是事件A 包含的结果的集合是其对立事件B 包含的结果的补集（如图2）.“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.根据对立事件的意义，（A ＋A ）是一必然事件，那它发生的概率等于1，又由于A 与A 互斥，于是有P （A ）＋P （A ）＝P （A ＋A ）＝1，从而有P （A ）＝1－P （A ）.当某一事件的概率不易求出或求解比较麻烦，但其对立事件的概率较容易求出时，可用此公式，转而先求其对立事件的概率.2．对相互独立事件的理解：相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的.3．正确理解A •B 与A ＋B 的关系：设A 、B 是两个事件，则A •B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生；而A ＋B 表示这一事件是在A 或B 这两个事件中，至少有一个发生的前提下而发生的.公式P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）与P （A •B ）＝P （A ）•P （B ）的使用都是有前提的.一般情况下，P （A ＋B ）＝1－P （B A +）＝P （A ）＋P （B ）－P （A •B ）它可用集合中的韦恩图来示意.三、经典例题导讲［例1］ 从0,1，2,3这四位数字中任取3个进行排列，组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率.错解：记“排成的三位数是偶数”为事件A ，P （A ）＝342312A A A ＝21. 错因:上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零.正解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事件A ，“排成的三位数的个位数字是2”为事件B ，且A 与B 互斥，则“排成的三位数是偶数”为事件A ＋B ，于是P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）＝231323A A A ＋23132212A A A A ＝95. [例2] 从1,2，3，…,100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率. 错解：从1,2，3，…,100这100个数中，随机取出两个数，其积是3的倍数，则须所取两数至少有一个是3的倍数. 记事件A 为任取两整数相乘为3的倍数，则P （A ）＝50332100199133=C C C 错因: 这里相关的排列组合问题没有过关.正解：基本事件数有2100C 种.在由1到100这100个自然数中，3的倍数的数组成的集合M 中有33个元素，不是3的倍数组成的集合N 中有67个元素，事件A 为任取两整数相乘为3的倍数，分两类：（1）取M 中2个元素相乘有233C 种；（2）从集合M 、N 中各取1个元素相乘有167133C C 种.因为这两类互斥，所以P （A ）＝150832100167133233=+C C C C . [例3] 在房间里有4个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？解：由于事件A “至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件A 是“任何两个人的生日都不同月”.因而 至少有两个人的生日是同一个月的概率为：P （A ）＝1－P （A ）＝1－441212A ＝1－96419655=. [例4] 某单位6名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是（相互独立）.求（1）至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于？解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即1－6065.0C －6165.0C －6265.0C ＝1－3221641561=++. （2）6人同时上网的概率为6415.0666=C ＜； 至少5人同时上网的概率为6665.0C ＋6475.0656=C ＜； 至少4人同时上网的概率为6665.0C ＋6565.0C ＋32115.0646=C ＞. 故至少5人同时上网的概率小于.说明：本题是2022年全国高考新课程卷试题，以互联网为题设的背景，有很强的时代气息.所提出的问题（至少几人同时上网）难度适当，切合考生的实际.解答时应具备适度的逻辑思维能力，体现了以素质和能力为考查重点的试题设计理念.[例5]设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为、，求：（1）目标恰好被甲击中的概率；（2）目标被击中的概率.解：设事件A 为“甲击中目标”，事件B 为“乙击中目标”.由于甲、乙两射手独立射击，事件A 与B 是相互独立的，故A 与B 、A 与B 也是相互独立的.（1）目标恰好被甲击中，即事件A B 发生.P （A ·B ）＝P （A ）×P （B ）＝×（1－）＝.∴目标恰好被甲击中的概率为.（2）目标被击中即甲、乙两人中至少有1人击中目标，即事件A ·B 、A ·B 、A ·B 发生.由于事件A ·B 、A ·B 、A ·B 彼此互斥， 所以目标被击中的概率为 P （A ·B ＋A ·B ＋A ·B ）＝P （A ·B ）＋P （A ·B ）＋P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）＋P （A ）·P （B ）＋P （A ·B ）＝×＋×＋×＝.评注：运用概率公式求解时，首先要考虑公式的应用前提.本题（2）也可以这样考虑：排除甲、乙都没有击中目标.因为P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）＝×＝.所以目标被击中的概率为1－P （A ·B ）＝1－＝.[例6]（06年高考四川）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为，，；在实验考核中合格的概率分别为，，，所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）解： 记“甲理论考核合格”为事件A 1，“乙理论考核合格”为事件A 2，“丙理论考核合格”为事件A 3，“甲实验考核合格”为事件B 1，“乙实验考核合格”为事件B 2，“丙实验考核合格”为事件B 3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C.则P （C ）＝P （A 1 A 2 3A ＋A 1 2A A 3＋1A A 2 A 3＋A 1 A 2 A 3）＝P （A 1 A 2 3A ）＋P （A 1 2A A 3）＋P （1A A 2 A 3）＋P （A 1 A 2 A 3）＝××＋××＋××＋××＝（2）记“三人该课程考核都合格”为事件D.则P （D ）＝P ［（A 1·B 1）·（A 2·B 2）·（A 3·B 3）］＝P （A 1·B 1）·P （A 2·B 2）·P （A 3·B 3）＝P （A 1）·P （B 1）·P （A 2）·P （B 2）·P （A 3）·P （B 3）＝×××××≈所以，理论考核中至少有两人合格的概率为；这三人该课程考核都合格的概率为。

2020年高考数学一轮复习精品教学案11.1 随机事件的概率（新课标人教版，教师版）【考纲解读】【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2020年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件．(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)(A1，A2，…，A n彼此互斥)．(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)．【例题精析】考点一互斥事件与对立事件例1.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解析】(1)是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．【名师点睛】本小题主要考查互斥事件与对立事件,对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．.【变式训练】1.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )．A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件考点二随机事件的概率与频率例2.（2020年高考湖南卷文科18)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（I）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70 110 140 160 200 220频率120420220（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【名师点睛】本小题主要考查随机事件的概率与频率,考查了学生分析问题、解决问题的能力. 【变式训练】2. 某市统计的2020～2020年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：时间2020年2020年2020年2020年新生婴儿数21 84023 07020 09419 982男婴数 11 453 12 031 10 297 10 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到0.001)； (2)该市男婴出生的概率约是多少？【易错专区】 问题：综合应用例. (2020年高考湖南卷文科17)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.xy已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率） 一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 【课时作业】1.(2020年高考江西卷文科9)有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是(01)p p ＜＜，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A ．(1)n p -B ．1np - C ．np D ．1(1)np --2．（2020年高考重庆卷文科14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为___________ . 【答案】370【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=. 3．（2020年高考安徽卷理科15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

2019-2020年高考数学一轮复习随机事件的概率与古典概型教学案一、考点要求：学习目标：了解随机事件与概率；理解古典概型；理解互斥事件的概率；能熟练掌握用穷举法解古典概型问题。

二、知识要点：2．古典概型：（1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果；（2）等可能基本事件：若在一次实验中，每个基本事件发生的 相同；（3）具有以下两个特点：① ；② ， 称这样的随机试验的概率模型为古典概型。

（4）如果一次实验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 。

若果某个事件A 包含了其中m 各等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为 3．互斥事件：（1） 的两个事件叫做互斥事件； 的互斥事件叫做对立事件． （2）从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 ．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． （3）由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A 、B 是两个事件，那么A+B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 或B 中 就表示A+B 发生．我们称事件A+B 为事件A 、B 的和．它可以推广如下：“12A A A n+++”表示这样一个事件，在同一试验中，,,,12A A A n中 即表示12A A A n+++发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．（4）如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于 ．即P(A+B)＝ ．（5）由于A A +是一个必然事件，再加上P(A+B)=P(A)+P(B)，故1P(A A )P (A )P (A )+=+=，于是P( A)= ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．三、课前热身：1. 下列说法正确的是_________（1）某事件发生的频率为P （A ）=1.1；（2）不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；（3）小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件；（4）某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的。

课时规范练81 离散型随机变量及其分布列、数字特征1.(江苏镇江模拟)随机变量Y的分布列如下表,且E(Y)=3,则D(3Y-5)=( )A.10B.15C.40D.452.设0<a<1,随机变量X的分布列为则当a在(0,1)内增大时( )A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先减小后增大D.D(X)先增大后减小3.(多选题)已知投资A,B两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下表,则( )A.m+n=0.5B.E(2X+1)=4C.投资两种项目的收益数学期望一样多D.投资A项目的风险比B项目高4.一个不透明的盒子中有质地、大小相同的5个球,其中红球3个,黄球2个,每次不放回地随机从盒子中取1个球,当盒子中只剩一种颜色时,停止取球.(1)求盒子中恰好剩2个红球的概率;(2)停止取球时,记盒子中所剩球的个数为X,求X的分布列与均值.5.(广东揭阳模拟)某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分为60分.整理评分数据,将分数分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表:A餐厅分数的频率分布直方图B餐厅分数的频数分布表定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:(1)在随机抽取的200人中,求对A餐厅评价的“满意度指数”为4的人数;(2)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”低的概率;(3)如果根据学生对餐厅评价的“满意度指数”从A,B两家餐厅中选择一家用餐,从数学期望的角度你会选择哪一家?并说明理由.6.(山西太原模拟)对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:887 939 643 996 715 838 1 082 923 9011 182 1 035 863 772 943 1 035 1 022 8551 118 768 809将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率,分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率;(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/亩)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由.7.中非经贸合作座谈会议在长沙举行,拟在某单位招募5名志愿者,该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔,每个部门有3个小组,每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔,假设每名志愿者入选的机会相等.(1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率;(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率;(3)求某小组志愿者入选人数X的分布列及数学期望.课时规范练81 离散型随机变量及其分布列、数字特征1.D 解析由题意得16+m+13=1,得m=12,所以E(Y)=0×16+2×12+13a=3,解得a=6,所以D(Y)=(0-3)2×16+(2-3)2×12+(6-3)2×13=5,所以D(3Y-5)=32D(Y)=9×5=45.2.A 解析根据随机变量分布列的性质可知2-a 3+13+b=1,所以b=13a,所以E(X)=0×2-a 3+1×13+2b=13(1+2a),所以D(X)=0-13(1+2a)2×2-a 3+1-13(1+2a)2×13+2-13(1+2a)2×a 3=-49a 2+89a+29=-49(a-1)2+23,又0<a<1,所以当a 在(0,1)内增大时,D(+0.6=1,所以m=0.2,0.3+0.4+n=1,所以n=0.3,所以m+n=0.5,故A 正确;所以E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6=1,则E(2X+1)=2E(X)+1=3,故B 错误; E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,所以E(X)=E(Y),故C 正确; 因为D(X)=(-1-1)2×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2×0.6=1.6,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,即D(X)>D(Y),所以投资A 项目的风险比B 项目高,故D 正确.故选ACD.4.解(1)因为恰好剩2个红球,所以第1次和第2次必是1个红球和1个黄球,第3次必是黄球,所以盒子中恰好剩2个红球的概率P=C 21C 31A 22A 53=15.(2)X 的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=C 32C 21A 33C 21A 54=35,P(X=2)=A 33A 53+C 21C 31A 22A 53=310,P(X=3)=A 22A 52=110,所以X 的分布列为E(X)=1×35+2×310+3×110=32.5.解(1)由对A 餐厅分数的频率分布直方图,得对A 餐厅评价的“满意度指数”为4的频率为(0.020+0.020)×10=0.4,所以,对A 餐厅评价的“满意度指数”为4的人数为200×0.4=80(人).(2)设“对A 餐厅评价的‘满意度指数’比对B 餐厅评价的‘满意度指数’低”为事件C.记“对A 餐厅评价的‘满意度指数’为3”为事件A 1;“对A 餐厅评价的‘满意度指数’为4”为事件A 2;“对B 餐厅评价的‘满意度指数’为4”为事件B 1;“对B 餐厅评价的‘满意度指数’为5”为事件B 2.所以P(A 1)=(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,P(A 2)=(0.020+0.020)×10=0.4, 由频率估计概率得P(B 1)=30+80200=0.55,P(B 2)=70200=0.35.所以P(C)=P(A 1B 1+A 1B 2+A 2B 2)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 1)P(B 2)+P(A 2)·P(B 2)=0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35=0.32,所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”低的概率为0.32.(3)设对A 餐厅评价的“满意度指数”为X,对B 餐厅评价的“满意度指数”为Y,则随机变量X 的可能取值有3,4,5,P(X=3)=0.2,P(X=4)=0.4,P(X=5)=0.4,所以对A 餐厅评价的“满意度指数”X 的分布列为所以E(X)=3×0.2+4×0.4+5×0.4=4.2.随机变量Y 的可能取值有3,4,5,P(Y=3)=0.1,P(Y=4)=0.55,P(Y=5)=0.35,所以B 餐厅评价的“满意度指数”Y 的分布列为所以E(Y)=3×0.1+4×0.55+5×0.35=4.25.因为E(X)<E(Y),所以如果根据学生对餐厅评价的“满意度指数”的数学期望角度看,会选择B餐厅用餐.6.解(1)将过去20年的年降水量按照降水量等级分类,可知:降水量偏少有4年,概率可估计为4=0.2;20=0.5;降水量适中有10年,概率可估计为1020降水量偏多有6年,概率可估计为6=0.3.20于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2,0.5,0.3. (2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量X,Y,Z,X的分布列为X 8 12P 0.5 0.5故种植甲则每亩地获利的数学期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10,Y的分布列为故种植乙则每亩地获利的数学期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5,Z的分布列为故种植丙则每亩地获利的数学期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10,所以E(Y)<E(X)=E(Z),即种植甲、丙的获利的数学期望值比乙更高,不考虑推广乙,又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2 +0.3×(12-10)2=3,D(X)>D(Z),故种植丙时获利的稳定性更好,因此,农作物丙最适合在该地区推广种植.7.解(1)由题意,甲部门志愿者入选人数为1人的概率为C 31C 64C 95=514.(2)由题意,所招募的5名志愿者来自三个部门的概率为1-C 32×(C 33×C 32×2)C 95=67.(3)由题意可知X 的可能取值为0,1,2, P(X=1)=C 22C 41C 63×C 21C 74C 95+C 21C 42C 63×C 11C 84C 95=49,P(X=2)=C 22C 41C 63×C 22C 73C 95=118,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=12,所以X 的分布列为所以E(X)=0×12+1×49+2×118=59.。

互斥事件有一个发生的概率人教版高中数学必修系列：11.2互斥事件有一个发生的概率(备课资料)一、参考例题［例1］判断下列事件是否是互斥事件.(1)将一枚硬币连抛2次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次正面”；(2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：“两次都击中敌机”,事件B：“至少有一次击中敌机”.分析：(1)中两事件不可能同时发生;(2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生.解：(1)事件A与B是互斥事件.(2)事件A与B不是互斥事件.评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系.［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：(1)摸出红球或黑球的概率.(2)摸出红球或黑球或白球的概率.分析：(1)设事件A：“摸出一球是红球”，事件B：“摸出一球是黑球”.因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.(2)设事件C：“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥.解：设事件A：“摸出一球是红球”，设事件B：“摸出一球是黑球”，设事件C：“摸出一球是白球”.∵A与B、B与C、C与A两两互斥,且P(A)= ，P(B)= ，P(C)∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)(2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.医生人数012345人以上概率0.10.160.30.40.20.04求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率.分析：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.解：设事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出5名以上医生”.∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0P(E)=0.2,P(F)=0. 04,∴“派出医生至多2人”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0“派出医生至少2人”的概率为P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.4+0.2+0.04=0［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：“出现一个次品”和事件B：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.解：设事件A：“出现一个次品”,事件B：“出现两个次品”,∴事件A与B互斥.∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,∴P(A)P(B)∴所求的“出现次品”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.二、参考练习1.选择题(1)有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为A. BD.答案：D(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为A. BD.答案：B(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为A.0.50B.00.97D.0.2答案：B(4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是①恰有一个奇数和恰有一个偶数②至少有一个是奇数和两个数都是奇数③至少有一个是奇数和两个数都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A.①B.②④C.③D.①③答案：C2.填空题(1)若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1+A2+…+An)=________.答案：不可能同时发生P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙输的概率是________.答案：(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.答案：0.32(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.答案：解答题(1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量(单位：mm)［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］概率0.100.250.200.12求：①降水量在［２００，３００］范围内的概率；②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.解：①P=0.20+0.12=0.32，∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.②P=0.10+0.25+0.20=0∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.解：记“取出2个球为红球”为事件A,“取出2个球为白球”为事件B,“取出2个球为黄球”为事则A、B、C彼此互斥,且P(A)P(B)P(C)“2个球颜色相同”则可记为A+B+C, ∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：①至少有2枚币值相同的概率；②3枚币值的和为7分的概率.分析：①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.解：①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事又∵P(A)∴P( )=1- .②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)评述：要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.●备课资料?一、参考例题［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？(1)A与B;(2)A与C;(3)B与C.分析：利用互斥事件与对立事件的概念.解：(1)∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.解：设事件A：“一次射击击中的不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”，∴事件A与B是互斥事件.∵事件A与B中必有一个发生,∴事件A与B又是对立事件.∴P(A)=1-P(B).∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0∴P(A)=1-0.71=0.29.∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.评述：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：(1)三人都分配到同一个房间的概率；(2)至少有两人分配到同一房间的概率.分析：(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,事件B“三人都分配到不同的房间”,故事件A与B是对立事件.而P(B)因此，利用对立事件的概率关系可求P(A).解：(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为P∴三人都分配到同一房间的概率为 .(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.∵事件A与B是对立事件，且P(B)∴P(A)=1- .∴至少有两人分配到同一房间的概率为 .［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.分析：设事件A：“至少有一个二级品”，则事件A 是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.解法一：设事件A：“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，∴P(A)= ≈0.2解法二：事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为 , ∴P(A)=1- ≈0.2∴至少有一个二级品的概率约为0.2［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？分析：设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A 与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P解法一：P(A)解法二：P(A)=1-P( )=1-∴至少有1名女生的概率是 .二、参考练习1.选择题(1)下列命题中，真命题的个数是①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件A.1B.2D.4答案：B(2)袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是A. BD.答案：B2.填空题(1)在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：“所取的都是一级品”，则事件表示为________.答案：所取的不都是一级品(2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.答案：0.23.解答题(1)某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;②选出的2名学生中没有班干部的概率.解：①P=1- .②P(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.解：①P= = ;②P=1- .(3)某班共有学生n(n≤50)个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.解：记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即 . ∵P( )∴P(A)=1- .(4)某单位的36人的血型分别是：A型的有12人，B 型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？解：记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则发生，而P( )∴P(A)=1-P( )=1- .(5)一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是，求n的值.解：记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即 .又∵P( )由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1-即n2+5n-204=0.解得n=12.评述：对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率。

高三数学第一轮复习学案---互斥事件概率一、教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。

二、教学重点：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点；互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。

三、教学过程： （一）主要知识：1.不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

2.其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

3.从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交。

事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集。

4.由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算。

设A 、B 是两个事件，那么A+B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 或B 中至少有一个发生就表示A+B 发生。

我们称事件A+B 为事件A 、B 的和。

它可以推广如下：“12A A A n +++ ”表示这样一个事件，在同一试验中，,,,12A A A n 中至少有一个发生即表示12A A A n +++ 发生，事实上，也只有其中的某一个会发生。

5.如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和。

即P(A+B)=P(A)+P(B)。

6.由于A A +是一个必然事件，再加上P(A+B)=P(A)+P(B),故1P(A A)P(A)P(A)+=+=,于是P( A)=1-P(A)，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化。

当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率。

7.值得注意的是，如果两个事件不互斥，就不能运用上面的公式。

例如把抛掷一个正方形玩具（各面分别标有数1 ~ 6）作为一次试验，事件A 表示出现奇数（指向上的数是奇数），事件B 表示向上的数不超过 3。

那么A 与B 就不互斥，因为如果出现1或3，都表示A 与B 同时发生了。

现在再看A+B 这一事件，这个事件包括4种结果，出现1、2、3和5。

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——互斥事件有一个发生的概率一、明确复习目标了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式运算一些事件的概率。

二．建构知识网络1．互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。

一样地：假如事件A 1、A 2、……A n 中的任何两个差不多上互斥的，那么就讲事件A 1、A 2、……A n 彼此互斥。

2.互斥事件有一个发生的概率：假如事件A 、B 互斥，那么事件A 、B 有一个发生的概率 P(A+B)=P 〔A 〕+ P(B) 。

事件A 、B 同时发生的概率P(A •B)=０〕。

一样地，假如事件A 1、A 2、……A n 彼此互斥 那么A 1、A 2、……A n 中有一个发生的概率P 〔A 1+A 2+……+A n 〕〕=P 〔A 1〕+ P 〔A 2〕+……+ P 〔A n 〕.3．对立事件的概念:假如事件Ａ、B 互斥，且必有一个发生，那么称A 、B 为对立事件，A 的对立事件记为A 。

明显 P(A+A )=P 〔A 〕+ P(A )＝１也即()1()p A P A =-。

4.关于互斥事件明白得：〔1〕互斥事件是一次试验中所发生的事件，这些事件不能同时显现。

从集合角度来看，两个事件互斥A 、B 所含结果组成的集合的交集是空集。

〔2〕对立事件是互斥事件的专门情形，是指在一次试验中的两个事件有且仅有一个发生， A ∩A =∅， A ∪A =U 〔全集〕。

〔3〕事件的和的意义:当A 、B 为互斥事件时， A 、B 中至少有一个发生的事件叫做A 、B 的和事件，记作A +B ，易知：P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕- P 〔A ·B 〕 其中P(A ·B 〕表示A 、B 同时发生的概率。

5．互斥事件概率的运算反映了分类讨论的思想；而()1()p A P A =-那么表达了〝正难那么反〞的策略，在解题中要注意灵活运用。

互斥事件教学教案（优质）一、教学目标1. 让学生理解互斥事件的定义，掌握互斥事件的概念及特性。

2. 培养学生运用互斥事件解决实际问题的能力。

3. 提高学生对概率论的基本概念的理解，为后续学习打下基础。

二、教学内容1. 互斥事件的定义及示例2. 互斥事件的概率计算方法3. 互斥事件在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：互斥事件的定义、概率计算方法及应用。

2. 难点：如何判断事件是否互斥，以及如何运用互斥事件解决实际问题。

四、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体示例让学生理解互斥事件的定义和特性。

2. 运用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生对互斥事件的理解。

3. 利用实践教学法，让学生通过解决实际问题，掌握互斥事件的运用。

五、教学过程1. 导入新课：通过抛硬币实验，引导学生思考两个事件是否互斥。

2. 讲解互斥事件的定义及示例：明确互斥事件的定义，举例说明互斥事件的特性。

3. 互斥事件的概率计算方法：讲解如何计算两个互斥事件的概率，引导学生掌握计算方法。

4. 互斥事件在实际问题中的应用：分析实际问题，引导学生运用互斥事件解决问题。

5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

教案示例：【案例一】抛硬币实验抛掷一枚硬币两次，求事件A（至少有一次正面）与事件B（两次都是反面）的概率。

【讲解】事件B只有一种情况：反反。

因为事件A与事件B没有共同的结果，它们是互斥事件。

事件A的概率为：P(A) = (3/4) ×(3/4) + 2 ×(1/4) ×(3/4) = 9/16 + 6/16 = 15/16。

事件B的概率为：P(B) = (1/4) ×(1/4) = 1/16。

事件A与事件B的概率分别为15/16和1/16。

【练习】1. 抛掷一枚硬币三次，求事件A（至少有一次正面）与事件B（三次都是反面）的概率。

第80课 第81课互斥事件及其发生的概率1. 理解互斥事件与对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件、对立事件.2. 了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论.3. 能用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.1. 阅读：必修3第112～117页.2. 解悟：①读懂互斥事件、对立事件的定义；②归纳出互斥事件、对立事件的特征；③重解课本例题，体会方法.3. 践习：在教材空白处，完成本节习题.基础诊断1. 根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为 0.35 .解析：设事件“某地6月1日下雨”为事件A ，“某地6月1日阴天”为事件B ，“某地6月1日晴天”为事件C ，由题意可得事件A ，B ，C 为互斥事件，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.因为P(A)＝0.45，P(B)＝0.2，所以P(C)＝0.35.2. 一个人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是 2次都不中靶 .3. 将两枚均匀的正六面体的骰子各掷一次，出现点数之和不小于8的概率是 512. 解析：将两枚均匀的正六面体骰子各掷一次，则基本事件的总数是6×6＝36，且每个基本事件都是等可能的.出现点数之和不小于8的基本事件有(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有15种，所以出现点数之和不小于8的概率为P ＝1536＝512. 4. 从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”. 其中是对立事件的有 ③ .(填序号)解析：从袋中任意取3只球，可能的情况有“3只红球”“2只红球、1只白球”“1只红球、2只白球”“3只白球”，由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件；对于③，“取出3只球中至少有1只球”包含“2只红球、1只白球”“1只红球、2只白球”“3只白球”三种情况，故“取出3只红球”与“取出3只球中至少1只白球”是对立事件.范例导航考向❶ 互斥事件的概念例1 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：(1) 射中10环或7环的概率；(2) 不够7环的概率.解析：(1) 记“射中10环”为事件A ，记“射中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件，故P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.(2) 记“不够7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”， 所以P(E)＝1－P(E)＝1－(0.21＋0.23＋0.25＋0.28)＝0.03.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色不同的概率为 35. 解析：从5只球中一次摸出2只球，共有10种摸法，摸到的2只球颜色不同的摸法共有6种，则所求的概率为35. 考向❷ 对立事件的概念例2 一盒中装有各色球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1个球，求：(1) 取出的1个球是红球或黑球的概率；(2) 取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.解析：方法一：(1) 从12个球中任取1个球得到红球有5种取法，得到黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法.任取1球，有12种取法，故任取1球得到红球或黑球的概率为P 1＝912＝34. (2) 从12个球中任取1个球得到红球有5种取法，得到黑球有4种取法，得到白球有2种取法，从而得到红球或黑球或白球的概率为P 2＝512＋412＋212＝1112. 方法二：记事件A 1＝{任取1个球为红球}，A 2＝{任取1个球为黑球}，A 3＝{任取1个球为白球}，A 4＝{任取1个球为绿球}，则P(A 1)＝512，P(A 2)＝13，P(A 3)＝16，P(A 4)＝112. 根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式，得：(1) 取出的1个球为红球或黑球的概率为P(A 1＋A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝512＋13＝34. (2) 取出的1个球为红球或黑球或白球的概率为P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝512＋13＋16＝1112. 方法三：(1) 由方法二知，取出的1个球为红球或黑球的对立事件为取出1白球或绿球，即A 1＋A 2的对立事件为A 3＋A 4，所以取得1个红球或黑球的概率为P(A 1＋A 2)＝1－P(A 3)－P(A 4)＝1－16－112＝34. (2) A 1＋A 2＋A 3的对立事件为A 4，所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝1－P(A 4)＝1－112＝1112.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 23 . 解析：将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种法有4种，故概率为23. 考向❸ 互斥与对立事件的综合例3 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.(1) 问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2) 若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为奇数的概率. 解析：(1) 一共有8种不同的结果，列举如下：红红红，红红黑，红黑红，红黑黑，黑红红，黑红黑，黑黑红，黑黑黑.(2) 记“3次摸球所得总分为5”为事件A ，事件A 包含的基本事件为：红红黑，红黑红，黑红红，故P(A)＝38. 记“3次摸球所得总分为3”为事件B ，事件B 包含的基本事件为：黑黑黑，所以P(B)＝18， 所以3次摸球所得总分为奇数的概率P ＝P(A)＋P(B)＝18＋38＝12.某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选1个.假设各部门选择每个景区是等可能的.(1) 求3个景区都有部门选择的概率；(2) 求恰有2个景区有部门选择的概率.解析：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34＝81.由于任意选择，所以这些结果出现的可能性都相等.(1) 从4个部门中任选2个作为1组，另外两个部门各作一组，共3组，共有6种分法，每组选择不同的景区，共有3×2×1＝6种选法，所以3个景区都有部门选择可能出现的结果数为6×6＝36.记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，所以事件A 1的概率P(A 1)＝3681＝49. (2) 分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P(A 3)＝334＝127，所以事件A 2的概率为P(A 2)＝1－P(A 1)－P(A 3)＝1－49－127＝1427. 【注】 注意区分放回不放回.自测反馈1. 一只口袋中有大小一样的5只球，其中3只红球，2只黄球，从中摸出2只球，2只球颜色不同的概率为 35. 解析：从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10.记：“从5只球中任意取2只球颜色相同”为事件A ，“从5只球中任意取2只为红球”为事件B ，“从5只球中任意取2只为黄球”为事件C ，则A ＝B ＋C.因为P(B)＝310，P(C)＝110， 所以P(A)＝P(B ＋C)＝310＋110＝25， 则“从5只球中任意取2只球颜色不同”的概率为：P(A)＝1－P(A)＝1－25＝35. 2. 甲、乙两个人下棋，甲获胜的概率为0.2，甲、乙两人和棋的概率0.5，则甲不输的概率为 0.7 .解析：“甲不输”由“甲胜”和“甲、乙和棋”两个互斥事件构成，故“甲不输”的概率为0.2＋0.5＝0.7.3. 在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 12 . 解析：在数字1，2，3，4中任取两个不同的数，共有6种情况，其中满足和大于积的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，共3种，故其和大于积的概率是36＝12. 4. 从数字1，2，3，4，5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 19125 . 解析：从1，2，3，4，5中随机抽取3个数字(允许重复)，可以组成5×5×5＝125(个)不同的三位数，其中各位数字之和等于9的三位数，可分为以下情形：①由1，3，5三个数字组成的三位数：135，153，315，351，513，531共6个；②由1，4，4三个数字组成的三位数：144，414，441，共3个；③同理由2，3，4三个数字可以组成6个不同的三位数；④由2，2，5三个数字可以组成3个不同的三位数；⑤由3，3，3三个数字可以组成1个三位数，故满足条件的三位数共有6＋3＋6＋3＋1＝19，所求的概率为19125.1. 在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.特别是计算“至少有一个发生”的概率问题时，常用方法二.2. 你还有那些体悟，写下来：。