教学大纲-物理与电子信息学院-安徽师范大学

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国内(外)现有教材：四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学（第一、二册，第三版），高等教育出版社，1995年。

学习参考资料1、徐小湛编著，高等数学学习手册（第一版），科学出版社，2005年。

2、中国科学技术大学高等数学教研室编，高等数学导论（上、中、下册，第二版），中国科学技术大学出版社，1995年。

3、李安平主编，高等数学指导与提高（第一版），西北工业大学出版社，2001年。

4、刘国志，张彩华，王学理等主编，高等数学习题全解（第一版），东北大学出版社，2004年。

二、课程描述（300字以内）《高等数学》是理工科(非数学)各专业学生的一门必修的重要基础理论课。

通过本课程的学习，使学生获得“极限”、“一元函数微积分学”、“多元函数微积分学”、“向量代数与空间解析几何”、“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本方法和运算技巧；为今后学习各类后续课程奠定必要的数学基础。

三、课程目标通过高等数学的整个教学过程逐渐培养学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力以及创新能力。

在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

通过高等数学的整个教学过程中，不断提高学生的素质，为培养我国社会主义现代化建设所需的高层次、综合性、复合型工程技术人才作准备。

四、教学要求（1）正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，极值，不定积分，定积分，偏导数，全微分，条件极值，重积分，曲线积分，曲面积分，无穷级数，微分方程。

（2）正确理解下列基本定理和公式并能正确运用：极限的主要定理，罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理，泰勒定理，积分上限函数求导定理，牛顿—莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式。

（3）牢固掌握下列公式：两个重要极限，基本初等函数、双曲函数的导数公式，牛顿-莱布尼兹公式，函数e x、sinx、ln(1+x)的麦克劳林展开式。

（4）熟练运用下列法则和方法：导数的四则运算法则和复合函数的求导法，换元积分法和分部积分法，二重积分的计算法，正项级数的比值收敛法，变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

（5）会运用微积分和常微分方程的方法解一些简单的几何、物理和力学问题。

（6）在讲授知识的过程中要自觉的体现寓于其中的数学思维方法以及常用的一般数学方法，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用数学知识去分析问题、解决问题的能力。

（7）坚持课后练习是教好、学好本门课程的关键。

在整个教学过程中，将根据正常教学进度布置一定量的课后作业，要求学生按时完成。

五、考核方式及要求为实现课程教学目标，本门课程考核方式及要求为：平时成绩占25%，期中考试成绩占15%；期末考试成绩占60%。

其中，平时成绩主要由课堂作业和课堂讨论组成，测评学生的应用、评价等能力；“考试”主要考查高等数学的基本概念、基本理论和基本知识，测评学生的理解、判断、分析、综合等能力。

六、课程内容注:第一学期第1-6章;第二学期第7-12章第一章函数与极限【教学目的】1. 了解数列、函数的概念，了解函数主要特性以及基本初等函数的主要特性。

2. 理解极限的概念，了解极限的ε-N，ε-δ，ε-X定义的含义，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系，会利用极限定义证明某些简单的极限。

3. 掌握极限的性质及四则运算法则。

4. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法，知道Cauchy收敛准则。

5. 理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小替换求极限。

6. 理解函数在一点处连续和间断的概念，知道函数的一致连续性概念。

7. 了解初等函数的连续性，掌握讨论连续性的方法，会判别间断点的类型。

8. 了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理和介值定理），会用介值定理讨论方程根的存在性。

【重点难点】重点：极限概念，无穷小量，极限的四则运算，函数的连续性。

难点：极限的定义，函数的一致连续性概念。

第一节函数一、集合常量与变量二、函数概念三、函数的几种特性四、反函数第二节初等函数一、幂函数二、指数函数与对数函数三、三角函数与反三角函数四、复合函数初等函数五、双曲函数与反双曲函数第三节数列的极限一、数列的定义二、数列的极限三、数列极限的性质第四节函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限第五节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大第六节极限运算法则一、无穷小的运算性质二、极限运算法则三、求极限方法举例第七节极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限第八节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换第九节函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点第十节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性第十一节闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理二、介值定理第二章导数与微分【教学目的】1. 理解导数与微分概念、导数几何意义及可微、可导与连续性之间的关系；会用导数描述某些物理量。

2. 掌握导数运算法则、求导基本公式；理解高阶导数概念，熟练掌握计算初等函数的一、二阶导数（包括隐函数和参数式表示的函数）；会求分段函数的导数和一些简单函数的n阶导数。

3. 了解微分运算法则、一阶微分形式不变性和微分在近似计算中的应用；会计算函数的微分。

【重点难点】重点：导数和微分的概念；复合函数微分法。

难点：微分的概念；隐函数及参数式二阶导数。

第一节导数概念一、引例二、导数的定义三、求导数举例四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系第二节函数的和、差、积、商的求导法则一、函数和差的求导法则二、函数积的求导法则三、函数商的求导法则第三节反函数的导数复合函数的求导法则一、反函数的导数二、复合函数的求导法则第四节初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数一、初等函数的求导问题二、双曲函数与反双曲函数的导数第五节高阶导数一、高阶导数概念二、常用的高阶导数公式第六节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、曲线的切线与切点和极点的连线间的夹角四、相关变化率第七节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则第八节微分在近似计算中的应用一、近似计算二、微分在误差估计中的应用第三章中值定理与导数的应用【教学目的】1. 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理；了解柯西中值定理、泰勒中值定理；会利用中值定理证明一些较为简单的数学问题。

2. 掌握罗必达法则求极限的方法。

3. 掌握利用导数判断函数单调性的方法；会用导数判断函数图形（凹凸性、拐点、渐近线）。

4. 理解极值概念；掌握求函数极值的方法；会求函数的最大值、最小值及其简单应用问题。

5. 了解曲率和曲率半径概念，并会计算曲率和曲率半径。

【重点难点】重点：拉格朗日中值定理，罗比达法则，极值及最大值、最小值。

难点：泰勒定理，中值定理用于证明问题。

第一节中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第二节洛必达法则一、洛必达法则二、未定式的极限第三节泰勒公式一、泰勒公式二、麦克劳林公式三、泰勒公式的应用第四节函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法二、函数单调性的应用第五节函数的极值及其求法一、函数的极值二、函数极值的求法第六节最大值、最小值问题一、函数的最值二、函数最值的应用第七节曲线的凹凸与拐点一、凹凸性的判别法二、拐点的求法第八节函数图形的描绘一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘第九节曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径第十节方程的近似解一、二分法二、切线法第四章不定积分【教学目的】1. 理解原函数、不定积分概念。

2. 掌握不定积分性质及基本公式；掌握用换元法及分部积分法计算有关函数的不定积分。

3. 了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分计算。

【重点难点】重点：不定积分的概念，基本积分公式；难点：不定积分的换元积分法与分部积分法。

第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法第三节分部积分法一、分部积分公式二、分部积分举例第四节几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分第五节积分表的使用一、积分表的结构二、积分表的使用第五章定积分【教学目的】1. 理解定积分概念及性质。