广东省河源市中英文实验学校2014届九年级中考模拟(三)数学(附答案)
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（第5题）数学预测卷（三）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．据广东统计信息网发布：2013年，广东全年实现地区生产总值6.22万亿元，同比增长8.5%.数据6.22万亿用科学计数法表示正确的是（ ）A ．6.22×104亿B ．0.622×105亿C ．6.22×105亿D ．62.2×103亿2．16的算术平方根是（ ）A ．4±B ．4C ．2±D ．23.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．菱形D ．正五边形4．下列计算正确的是（ ）A ．m n mn =-33B ．336)2(m m =C ．222)(b a b a +=+D ．3233m m m =⋅ 5．如图，直线1l ∥2l ，若∠1＝135°,∠2＝65°，则∠3的度数是（ ）A ．70°B ．80°C ．65°D ．60°6．已知⊙O 与直线AB 相交，且圆心O 到直线AB 的距离是方程2x -1＝4的根，则⊙O 的半径可为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．37．已知正比例函数kx y =的图象经过点（2，1），则下列各点不在．．此正比例函数的图象上的是（ ）A ．（4，2）B ．（3，6）C ．（5，2.5）D ．（-6，-3）8．已知一个三角形的两边长为5和10，则第三边的长可以为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20（第13题）9．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，称量情况如图所示.那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■ 10．在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （2，1）和点B （3，0），则sin ∠AOB 的值等于（ ）A ．55B ．25 C ．23 D ．21 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：=++x x x 232 ．12．在以下的几个调查问题中:①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准；②检测某地区空气质量；③调查全市中学生一天的学习时间；④检测一批灯泡的使用寿命.你认为适合抽样调查的有 .（选填序号）13．如图,已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ，连接DE ， 则∠BDE ＝ °.14．用一个圆心角为120°、半径为3 cm 的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径为 .15．将点P （－1，－2）向右平移3个单位到点Q 的位置，则点Q 的坐标是 ，在第 象限.16．有一数值转换器,其原理如图所示．若开始输入x 的值是1，可发现第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是3，第3次输出的结果是8,依次继续下去……,第2 014次输出的结果是 .三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．化简：12)11112(22+-÷---+x x x x x x .18．解方程组：⎩⎨⎧=+=-．②，①14532y x y x19．一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的3个球，球上分别标有2，3，5三个数字.（1）从这个袋子中任意摸出一个球，所标数字是奇数的概率为 .（2）从这个袋子中任意摸出一个球，记下所标数字，不放回，再从袋子中任意摸出一个球，记下所标数字，将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数．求所组成的两位数是5的倍数的概率.（请用画树状图或列表的方法写出过程）四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）（第16题）20．已知反比例函数xk y =1的图象与一次函数b ax y +=2的图象交于点A （1，4）和点B （m ，2-）．（1）求这两个函数的解析式；（2）如果点C 与点A 关于y 轴对称，求△ABC 的面积．21．某百货商店服装专柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接六一国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，那么每件童装应降价多少元？22.泗州塔，又名西山塔，位于广东惠州西湖的西上之巅，是惠州著名的旅游景点之一．小明运用所学的数学知识对塔进行测量，测量方法如图所示.他在A 处测得塔尖D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进20 m 到达山脚B 处，测得塔尖D 的仰角为60°，塔底E 的仰角为30°，求塔DE 的高．（结果精确到0.1 m 1.732≈）五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．小明在学习二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个含有根号的式子的平方，例如(231+=+.善于思考的小明进行了如下探索：(2a m +=+（其中 a ，b ，m ，n 均为正整数），则有2222a m n +=+，∴,222n m a += .2mn b = 这样，小明找到了把部分a +.请你仿照小明的方法探索并解决问题：（1）当 a ，b ，m ，n 均为正整数时，若(2a m +=+，用含 m ，n 的式子分别表示 a ，b 得，a ＝ ，b ＝ .（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a ，b ，m ，n 填空：+ ＝（ + 2（3）若(2a m ++，且 a ，m ，n 均为正整数，求 a 的值.24．（1）如图①，四边形ABCD 是正方形，点E 在BC 边上（点E 不与点B ，C 重合）运动，当∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F 时，求证：AE ＝EF.（2）如图②，若在（1）的基础上，点E 在BC 边的延长线上（点E 不与点C 重合）运动，其他条件不变，问AE 和EF 相等吗？并说明理由.（3）若将（1）（2）中的正方形ABCD 换成长方形ABCD ，AB 长为a ，BC 长为b ，其他条件不变，且BE ＝m.问：如图③，当点E 在BC 边上（点E 不与点B ，C 重合）运动时，EFAE ＝ ；如图④，当点E 在BC 边的延长线上（点E 不与点C 重合）运动时，EF AE ＝ .并请对其中的一个结论进行证明．25．如图①,在边长为6 cm 的等边三角形ABC 的三边上, 有三个动点D ，E ，F （不考虑与A ，B ，C 重合）,点D 从A 向B 运动,点E 从B 向C 运动,点F 从C 向A 运动,三点同时运动,到终点结束,且速度均为1 cm/s.设运动的时间为t s,解答下列问题:（1）求证:如图①,不论t 如何变化,△DEF 始终为等边三角形.（2）如图①,记△DEF 的面积为y （cm 2）,求y 与t 的函数关系式.并求当t 取何值时, y ① ② ③ ④最小,最小值为多少?（3）如图②,建立平面直角坐标系,过点E作直线EQ∥AB,交AC于点Q,当直线EQ运动到何处时,能使△AEQ的面积最大？求出这个最大值和此时点Q的坐标.2014年广东省高中阶段学校招生考试数学预测卷（三）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--++=)1)(1(1)1)(1(12x x x x x x ·x x 2)1(-)1)(1(112-+--+=x x x x ·x x 2)1(-.11+-=x x 18．解：由①得，2+=y x ③,代入②，得145)2(3=++y y ,解之得1=y ．将1=y 代入③，得3=x .∴解方程组的解为⎩⎨⎧==.13y x ， 19．（1）32（2）解：画树状图如下：由上可知,共有6种等可能结果,其中是5的倍数的有25,35两种可能,即P(5的倍数) ＝3162=. 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 20．解：（1）∵点A （1，4）在x k y =1的图象上， ∴k ＝1×4＝4 . ∴x y 41=. ∵点B 在xy 41=的图象上，∴2-=m .∴点B 的坐标 为（－2，－2）.又∵点A ，B 在一次函数b ax y +=2的图象上，十位数 个位数 结果 3 52 35 2 5 2 3 23 25 32 35 52 53∴ ⎩⎨⎧-=+-=+，，224b a b a 解得⎩⎨⎧==．，22b a∴222+=x y . ∴这两个函数的解析式分别为x y 41=，.222+=x y （2）∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴C （1-，4）.∴△ABC 的底边AC ＝1）（1--＝2 ，AC 边上的高是4-（2-）＝6.∴S △ABC ＝21×2×6＝6.五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（1）2²3m n + 2mn （2）4 2 1 1（答案合理即可） （3）解：由b=2mn ＝4，得mn ＝2.∵a ，m ，n 均为正整数，∴m ＝1，n ＝2或m ＝2，n ＝1.当21==n m ，时， a ＝；13431322=⨯+=+n m当12==n m ，.7134322=⨯+=+=n m a 时，24．（1）证明：在AB 上取点G ，使得BG ＝BE ，连接EG.∵正方形ABCD 中，BG ＝BE ，∴AG ＝EC ，△BEG 为等腰直角三角形.∴∠AGE ＝180°- 45°＝135°.又∵CF 为正方形的外角平分线，∴∠ECF ＝90°+ 45°＝135°.∴∠AGE ＝∠ECF.∵∠AEF ＝90°，∴∠GAE ＝90°- ∠AEB ＝∠CEF.∴∠GAE ＝∠CEF.∴△AGE ≌△E CF.∴AE ＝EF.（2）解：AE ＝EF.理由：在BA 的延长线上取点G ，使得AG ＝CE ，连接EG.∵四边形ABCD 为正方形，且AG ＝CE ，∴BG ＝BE ，△BEG 为等腰直角三角形． ∴∠G ＝45°.又∵CF 为正方形的外角平分线，∴∠ECF ＝45°.∴∠G ＝∠ECF ＝45°.∵∠AEF ＝90°，∴∠FEM ＝90°-∠AEB ，而∠BAE ＝90°-∠AEB.∴∠FEM ＝∠BAE.∴∠GAE ＝∠CEF.∴△AGE ≌△ECF.∴AE ＝EF ．（3）m b m a -- bm a m -- 证明mb m a EF AE --=：如图③，在AB 上取点G ，使得BG ＝BE ＝m ，连接EG. ∵长方形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝m ，∴AG ＝a-m ，EC ＝b-m.∵BG ＝BE ＝m ，∴△BEG 为等腰直角三角形.∴∠AGE ＝180°－45°＝135°. 又∵CF 为正方形的外角平分线，∴∠ECF ＝90°＋45°＝135°.∴∠AGE ＝∠ECF. ∵∠AEF ＝90°，∴∠GAE ＝90°-∠AEB ＝∠CEF.∴∠GAE ＝∠CEF.∴△AGE ∽△ECF.∴mb m a EC AG EF AE --==. 证明bm a m EF AE --=：如图④，在BA 的延长线上取点G ，使得BG ＝BE ，连接EG. 由∠G ＝∠ECF ＝45°，∠GAE ＝∠CEF ，可知△AGE ∽△ECF.∴bm a m EC AG EF AE --==.25．（1）证明：在等边三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝6,∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，由题意知，当0＜t ＜6时,AD ＝BE ＝CF ＝t ,∴BD ＝CE ＝AF ＝6-t.∴ △ADF ≌△CFE ≌△BED （SAS ）.∴ EF ＝DF ＝DE .∴△DEF 是等边三角形. ∴不论t 如何变化,△DEF 始终为等边三角形.（2）解：作DG ⊥BC 于G ,AH ⊥BC 于H,则AB AH =·BD DG ==⨯=︒,3323660sin ·.26360sin ）（t -=︒ ∴S △ABC ＝，3933621=⨯⨯ S △BED ＝21BE ·DG ＝21t ·.4)63263t t t -=-（）（ 由（1）知△ADF ≌△CFE ≌△BED ，．）（）（△△439343339239433463339322+-=+-=--=-=∴t t t t t S S y BED ABC∵0a =>,∴抛物线开口向上,有最小值.∴当t ＝3时, y 最小, y 最小＝4cm 2.（3）解：由（2）知，AH ＝，33 ∴S △AEC ＝21.2633633）（）（t t -=-⨯ ∵EQ ∥AB,∴△CEQ ∽△ABC..4)6(33936)6(36)6(36)6(22222t t S t S t CB CE S S ABC CEQ ABC CEQ-=⨯-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴△△△△，即 .439)3(434)6(32)6(3322+--=---=-=∴t t t S S S CEQAEC AEQ △△△∵0a =<,∴抛物线开口向下,有最大值.∴当t ＝3时,△AEQ cm 2. 此时E 点为BC 的中点,线段EQ 为△ABC 的中位线,作QK ⊥BC 于K ，如图．∴.321==AB EQ 在Rt △︒=∠60QEK EQK 中，， ∴EQ QK =·sin60°EQ EK ==，233·cos60°，23= .29233=+=+=EK BE BK 即.23329⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴，的坐标为点Q。
